aula10

5/12/2018 aula10 - slidepdf.com

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Programação Linear

Aderson Passos, M.A.

Utilização de Software e

Aplicações da Programação

Linear

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O problema do vendedor de

frutas (dever de casa 1-1)

Um vendedor de frutas pode transportar 800caixas de frutas para sua região de vendas.Ele necessita transportar 200 caixas delaranja a R$20,00 de lucro por caixa, pelomenos 100 caixas de pêssegos a R$10,00 delucro por caixa, e no máximo 200 caixas detangerinas a R$30,00 de lucro por caixa. Deque forma ele deverá carregar o caminhãopara obter o lucro máximo?

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O Modelo do vendedor defrutas

0,,

200

100

200

800

s.r.

301020max

321

3

2

1

321

321

≥

≤

≥

=

≤++

++

x x x

x

x

x

x x x

x x x

Resolveremos

usando o Solver do Excel.



4 / 48

Chamando o Solver a partir

do Excel

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Examinando a janela para os

parâmetros do Solver

Função Objetivo

variáveis

restrições

Para o Excel, tudo tem que estar em células. A função objetivo,as variáveis e as restrições. Para tanto, precisamos definir ascélulas onde estarão as variáveis, e calcular a função objetivo eas restrições com fórmulas que usem estas células

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Passando os parâmetros parao Excel

Lugar para o Excelcolocar a solução ótima

Lugar para o valor ótimo de Z

Cálculo dasrestrições



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Calculando a função objetivo

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Calculando as restrições

Escrevendo asfórmulas com $,

basta arrastar àsdemais

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Passando os parâmetros doSolver



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Passando as restrições

800321 ≤++ x x x

E assim, para todas as restrições

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O Solver totalmente

preenchido

Faltam apenas algumas opções

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Preenchendo as opções dosolver

As opções do solver servem para controlar os métodos numéricosde aproximação.Como estamosresolvendo problemaslineares, é bastanteassinalar os camposindicados. O campo

de não negativos, senecessário.



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Verificando a resposta do

Solver

Depois de clicar no botão Resolver , o Solver mostrará uma janela como esta:

Preste atenção nesta mensagem. Em caso de Solução Impossívelou Solução Ilimitada, ele relatará apenas aqui.

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Mensagens de erro do Solver

Solução Impossível

Solução Ilimitada

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A solução do Solver

Solução Ótima

Valor Ótimo de Z



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Pedindo o Relatório de

Resposta

Quando o Solver oferece a mensagem de resposta,

você tem a opção de pedir relatórios. Por enquanto,

vamos examinar apenas o Relatório de Resposta.

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O Relatório de RespostaMicrosoft Excel 8.0 Relatório de resposta

Planilha: [Aula 05_1.xls]dados

Relatório criado: 01/01/2001 19:36:04

Célula de destino (Máx)

Célula Nome Valor original Valor final

$F$5 F. Objetivo 0 14000

Células ajustáveis

Célula Nome Valor original Valor final

$C$3 Valor X1 0 200

$D$3 Valor X2 0 400

$E$3 Valor X3 0 200

Restrições

Célula Nome Valor da célula Fórmula Status Transigência

$F$11 Valor Rest rição 200 $F$11<=$G$11 Agrupar 0

$F$9 Valor Restrição 200 $F$9=$G$9 Agrupar 0

$F$10 Valor Res trição 400 $F$10>=$G$10 Sem agrupar 300

$F$8 Valor Restrição 800 $F$8=$G$8 Agrupar 0

Valor antes e depois dosolver atuar da funçãoobjetivo e das variáveis.

Valor final do ladoesquerdo das restrições

Fórmula passadaao Solver

Agrupar = restrição

no limitedistância aolimite

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Problema de Mistura

A firma LCL TINTAS produz dois tipos de tintas: Seca A firma LCL TINTAS produz dois tipos de tintas: SecaRRáápido (SR) e Super Seca (SS).pido (SR) e Super Seca (SS).

Ambas são produzidas a partir de uma base de Ambas são produzidas a partir de uma base desilicato e uma solusilicato e uma soluçção deão de óóleo de linhaleo de linhaçça, que sãoa, que sãoadquiridos pela LCL de v adquiridos pela LCL de v áários fornecedores.rios fornecedores. Atualmente estão dispon Atualmente estão disponí í veis no mercado apenas veis no mercado apenasduas soluduas soluçções preliminares e os produtos isolados.ões preliminares e os produtos isolados.

A solu A soluçção do tipo A contão do tipo A contéém 60% de silicato e 40% dem 60% de silicato e 40% deóóleo de linhaleo de linhaçça.a.

A solu A soluçção do tipo B contão do tipo B contéém 30% de silicato e 70% dem 30% de silicato e 70% deóóleo de linhaleo de linhaçça.a.



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Problema de Mistura

A solu A soluçção A custa R$ 0,50 por litro, a soluão A custa R$ 0,50 por litro, a soluçção B custaão B custaR$ 0,75 por litro, e o silicato eR$ 0,75 por litro, e o silicato e óóleo de linhaleo de linhaçça purosa puroscustam R$ 1,00 e R$1,10 por litro.custam R$ 1,00 e R$1,10 por litro.

Cada litro de SR requer no mCada litro de SR requer no mí í nimo 25% de silicato enimo 25% de silicato e50% de50% de óóleo de linhaleo de linhaçça;a;

Cada litro de SS requer no mCada litro de SS requer no mí í nimo 20% de silicato enimo 20% de silicato eno mno mááximo 50% deximo 50% de óóleo de linhaleo de linhaçça.a.

Quantos litros de cada matQuantos litros de cada matééria prima, devem serria prima, devem seradquiridos para produzir exatamente 100 litros de SRadquiridos para produzir exatamente 100 litros de SRe 250 litros de SS?e 250 litros de SS?

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Variáveis de Decisão

Por exemplo,Por exemplo,

x x AR AR= Qtde. em litros da solu= Qtde. em litros da soluçção A que foi utilizado naão A que foi utilizado naproduproduçção da tinta SRão da tinta SR

.tintada produçãonausados

primamatériada(litros)Qtde.

j

i xij =

=

PuroLinhaçadeÓleo:

PuroSilicato:

BSolução:

ASolução:

O

S

B

A

i

=

==

SecaSuper Tinta

RápidoSecaTinta

S

R j

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Problema de Mistura

FunFunçção Objetivoão Objetivo( ) ( )

( ) ( )OS ORSS SR

BS BR AS AR

x x x x

x x x x

+++

++++

1,10,1

75,05,0min

250

100

=+++

=+++

OS SS BS AS

ORSR BR AR

x x x x

x x x x

RestriRestriçções de Quantidade de Produões de Quantidade de Produççãoão



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Problema de Mistura

RestriRestriçções de tipo de componentesões de tipo de componentes

( )

( )

( )

( )OS SS BS AS OS BS AS

OS SS BS AS SS BS AS

ORSR BR AROR BR AR

ORSR BR ARSR BR AR

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

+++≤++

+++≥++

+++≥++

+++≥++

50,07,04,0

20,03,06,0

50,07,04,0

25,03,06,0

RestriRestriçções de não negatividadeões de não negatividade

0≥ij x

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Problema de Mistura – Excel

Variáveisde Decisão

24 / 48




25 / 48


26 / 48


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Parâmetros e Opções doSolver



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Solução do Excel

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Decisões do tipo Fazer vs

Comprar

A LCL Motores recebeu recentemente R$90.000,00 A LCL Motores recebeu recentemente R$90.000,00

em pedidos de seus quatro tipos de motores. Cadaem pedidos de seus quatro tipos de motores. Cada

motor necessita de um determinado nmotor necessita de um determinado núúmero demero de

horas de trabalho no setor de montagem e dehoras de trabalho no setor de montagem e de

acabamento. A LCL pode terceirizar parte da suaacabamento. A LCL pode terceirizar parte da sua

produproduçção. A tabela a seguir resume estes dados.ão. A tabela a seguir resume estes dados.

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Decisões do tipo Fazer vsComprar

R$ 140R$ 140

R$ 120R$ 120

4 h/4 h/unun

0,5 h /0,5 h /unun

500500 unun

33

R$ 92R$ 92R$ 65R$ 65TerceirizadoTerceirizado

R$ 90R$ 90R$ 50R$ 50CustoCustoProduProduççãoão

10000 h10000 h1 h/1 h/unun2,5 h/2,5 h/unun Acabamento Acabamento

6000 h6000 h2 h /2 h /unun1 h/1 h/ununMontagemMontagem

60006000 unun25002500 unun30003000 ununDemandaDemanda

TotalTotal2211ModeloModelo



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Comprar

Vari Variáá veis de Decisão veis de DecisãoFabricando:Fabricando:

•• FF11 – – NNºº Motores do modelo 1 fabricados pela LCLMotores do modelo 1 fabricados pela LCL



TerceirizandoTerceirizando

•• TT11 – – NNºº Motores do modelo 1 Terceirizados pela LCLMotores do modelo 1 Terceirizados pela LCL



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Comprar

FunFunçção Objetivoão Objetivo

321321 14092651209050 T T T F F F Min +++++

o)(acabament 100004 15,2(montagem) 60005,02 1

321

321

≤++≤++

F F F

F F F

RestriRestriçções de Produões de Produççãoão

33 / 48

Decisões do tipo Fazer vsComprar

RestriRestriçções de Demandaões de Demanda

3)tipodo(motor 500

2)tipodo(motor 2500

1)tipodo(motor 3000

33

22

11

=+

=+

=+

T F

T F

T F



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Comprar

Função Objetivo

Variáveis de Decisão

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Definição da Função Objetivo

36 / 48

Forma alternativa para aFunção Objetivo



37 / 48

Definição do lado esquerdo

das restrições

=B3+B4=C3+C4=D3+D4

38 / 48

Definição do lado esquerdo

das restrições

=(B13*B3)+(C13*C3)+(D13*D3)=(B14*B3)+(C14*C3)+(D14*D3)

39 / 48

Forma alternativa para olado esquerdo das restrições

=SUMPRODUCT(B13:D13,$B$3:$D$3)=SUMPRODUCT(B14:D14,$B$3:$D$3)



40 / 48

As opções do Solver

opcional

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Alternativa para os

parâmetros do Solver

várias restrições por linha

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Modelo LinearVariáveis não-negativas



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Solução

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A LCL Previdência Privada escolhe carteiras de A LCL Previdência Privada escolhe carteiras deinvestimento para diversos clientes, baseados eminvestimento para diversos clientes, baseados em‘‘BondsBonds’’ de diversas empresas. O cliente exige que:de diversas empresas. O cliente exige que:

•• Não mais de 25% do total aplicado deva ser investido emNão mais de 25% do total aplicado deva ser investido emumum úúnico investimento.nico investimento.

•• Mais de 50% do total deve ser aplicado em tMais de 50% do total deve ser aplicado em tí í tulos detulos dematuridade de mais de 10 anos.maturidade de mais de 10 anos.

•• O total aplicado em tO total aplicado em t í í tulos de alto risco deve ser notulos de alto risco deve ser nommááximo de 50% do total investido.ximo de 50% do total investido.

A tabela a seguir mostra os dados dos t A tabela a seguir mostra os dados dos tí í tulostulosselecionadosselecionados

Um Problema de

Investimento

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RiscoRisco Anos para Anos para Vencimento Vencimento

RetornoRetorno Anual Anual

55-- Muito AltoMuito Alto5520,0%20,0%TTí í tulo 6tulo 6

44-- Alto Alto111113,0%13,0%TTí í tulo 5tulo 5

22-- BaixoBaixo779,0%9,0%TTí í tulo 4tulo 4

44-- Alto Alto8812,0%12,0%TTí í tulo 3tulo 3

33-- RegularRegular12129,5%9,5%TTí í tulo 2tulo 2

11-- Muito BaixoMuito Baixo15158,7%8,7%TTí í tulo 1tulo 1

Um Problema deInvestimento



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Um Problema de

Investimento

Vari Variáá veis de Decisão veis de Decisão

•• PP11 – – Percentual do total aplicado no tPercentual do total aplicado no tí í tulo do tipo 1tulo do tipo 1






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A Função Objetivo

+

+

+

+

+

+

100

2.0

100

13.0

100

09.0

10012.0

100095.0

100087.0

154

321

P P P

P P P Max

48 / 48

Um problema deInvestimento - Restrições

RestriRestriçção de Orão de Orççamentoamento

100654321 =+++++ P P P P P P

25 25 25

25 25 25

654

321≤≤≤

≤≤≤

P P P

P P P

RestriRestriçções de Mões de Mááximo de Aplicaximo de Aplicaçção por Tipoão por Tipode Tde Tí í tulotulo



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Um Problema de

Investimento - Restrições

RestriRestriçções de Mões de Mí í nimo de Aplicanimo de Aplicaçção em Tão em Tí í tulotulode Maturidade maior que 10 anos.de Maturidade maior que 10 anos.

50521

≥++ P P P

50ou50 653421 ≤++≥++ P P P P P P

RestriRestriçções de Mões de Mááximo de Aplicaximo de Aplicaçção em Tão em Tí í tulotulode Alto Risco.de Alto Risco.

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Excel

=(SUMPRODUCT(B4:B9,D4:D9)

=SUMPRODUCT(B4:B9,F4:F9)

=SUMPRODUCT(B4:B9,H4:H9)

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Excel - Solver



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Excel - Solução

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Target Cell (Max)

Cell Name Original Value Final Value

$D$11 Retorno Anual 0,00% 12,88%

Adjustable Cells

Cell Name Original Value Final Value

$B$4 Título 1 Investido 0,00% 0,00%

$B $5 Título 2 Invest ido 0,00% 25,00%

$B$6 Título 3 Investido 0,00% 0,00%




Constraints

Cell Name Cell Value Formula Status Slack

$H$10 Risco calculado Alto 50,00% $H$10<=$H$11 Binding 0

$F$10 Maturidade 10 anos 50,00% $F$10>=$F$11 Binding 0,00%

$B$10 Total Invest. Investido 100,00% $B$10=$B$11 Binding 0

$B$4 Título 1 Investido 0,00% $B$4<=$C$4 Not Binding 0,25

$B$5 Título 2 Inves tido 25,00% $B$5< =$C$5 B inding 0

$B$6 Título 3 Investido 0,00% $B$6<=$C$6 Not Binding 0,25




Excel – Relatório de Resposta

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Escala de Funcionários

Uma franquia da ECTUma franquia da ECT-- Empresa de Correios eEmpresa de Correios eTelTeléégrafos, deseja estabelecer o ngrafos, deseja estabelecer o núúmero demero defuncionfuncionáários de horrios de horáário integral que deverio integral que devecontratar para iniciar suas atividades. Para talcontratar para iniciar suas atividades. Para talrecebeu uma tabela da ECT com o mrecebeu uma tabela da ECT com o m í í nimo denimo defuncionfuncionáários por dia da semana. Estasrios por dia da semana. Estasinformainformaçções se encontram na tabela a seguir.ões se encontram na tabela a seguir.



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O sindicato dos empregados de franqueadoresO sindicato dos empregados de franqueadoresdos correios mantdos correios mantéém um acordo sindical quem um acordo sindical quedetermina que cada empregado deve trabalhardetermina que cada empregado deve trabalharcinco dias consecutivos e folgar em seguidacinco dias consecutivos e folgar em seguida

dois dias. (por exemplo um funciondois dias. (por exemplo um funcionáário querio quetrabalhe de 2trabalhe de 2ªª àà 66ªª deve folgar sdeve folgar sáábado ebado edomingo) e que as franquias devem ter apenasdomingo) e que as franquias devem ter apenasempregados com horempregados com horáário integral. Formule orio integral. Formule oproblema de maneira a resolver o problema.problema de maneira a resolver o problema.

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Dia da Semana N.º Mínimo deEmpregados Requeridos

Segunda-feira 18

Terça-feira 12

Quarta-feira 15

Quinta-feira 19

Sexta-feira 14

Sábado 16

Domingo 11

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Vari Variáá veis de Decisão veis de Decisão

N1N1 – – nnºº de funcionde funcionáários que iniciam atividades no domingorios que iniciam atividades no domingo

N2N2 – – nnºº de funcionde funcionáários que iniciam atividades na segundarios que iniciam atividades na segunda

N3N3 – – nnºº de funcionde funcionáários que iniciam atividades na terrios que iniciam atividades na terççaa--feirafeira

N4N4 – – nnºº de funcionde funcionáários que iniciam atividades na quartarios que iniciam atividades na quarta --feirafeira

N5N5 – – nnºº de funcionde funcionáários que iniciam atividades na quintarios que iniciam atividades na quinta--feirafeira

N6N6 – – nnºº de funcionde funcionáários que iniciam atividades na sextarios que iniciam atividades na sexta--feirafeiraN7N7 – – nnºº de funcionde funcionáários que iniciam atividades no srios que iniciam atividades no sáábadobado



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Feira4ªnatrabalhaqueempregadosde Nº-


Feira2ªnatrabalhaqueempregadosde Nº- Domingonotrabalhaqueempregadosde Nº-

Sábadonotrabalhaqueempregadosde Nº-



43217

32176

21765

17654

76543

65432

54321

N N N N N

N N N N N

N N N N N N N N N N

N N N N N

N N N N N

N N N N N

++++

++++

++++

++++

++++

++++

++++

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FunFunççãoão ObjetivoRestriObjetivoRestriççõesões de Nde Nºº MMí í nimo denimo deEmpregadosEmpregados

7654321 N N N N N N N Min ++++++

15

12 18

11 16

14 19

43217

3217621765

1765476543

6543254321

≥++++

≥++++≥++++

≥++++≥++++

≥++++≥++++

N N N N N

N N N N N N N N N N

N N N N N N N N N N

N N N N N N N N N N


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Escala de Funcionários – Alternativa A

=SUMPRODUCT(B4:B10,$I$4:$I$10)



61 / 48

Excel - Solver

62 / 48

Solução da Alternativa A

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Escala de Funcionários – Alternativa B

=SUM(B4,B7:B10)



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Parâmetros e opções do

Solver

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Solução da Alternativa B

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Programação LinearEscala de Funcionários

PorPoréém nenhuma das solum nenhuma das soluçções apresentadasões apresentadasparece lparece lóógica jgica jáá que o nque o nºº de pessoas ade pessoas ainiciar o trabalho num determinado dia nãoiniciar o trabalho num determinado dia nãopode ser fracionpode ser fracionáário.rio.

A solu A soluçção para talão para tal éé identificar as variidentificar as variáá veis veisde decisão como inteirasde decisão como inteiras



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Restringindo a solução a ser

inteira – Alternativa A

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Escala de Funcionários -

Solução Inteira no Excel

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Restringindo a solução a serinteira – Alternativa B



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Escala de Funcionários -

Solução Inteira no Excel

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Produção e Estoque

A A SunshineSunshine Armaz Armazééns e Comns e Coméércio Ltda. possui 1rcio Ltda. possui 1armazarmazéém com capacidade de armazenamento dem com capacidade de armazenamento de200.000 toneladas de grãos. No in200.000 toneladas de grãos. No iní í cio do mês de janeirocio do mês de janeiroaa SunshineSunshine tinha 8.000 toneladas de grãos de trigo;tinha 8.000 toneladas de grãos de trigo;

Existe uma previsão de preExiste uma previsão de preçços de compra e venda paraos de compra e venda parao ano (tabela a seguir). A o ano (tabela a seguir). A SunshineSunshine pode comprar oupode comprar ou vender em qualquer quantidade desejada, desde que: vender em qualquer quantidade desejada, desde que:

Respeite a capacidade de armazenamento;Respeite a capacidade de armazenamento; Venda apenas o que possuir em estoque (não Venda apenas o que possuir em estoque (não ééposspossí í vel vender uma mercadoria que ainda não foi vel vender uma mercadoria que ainda não foicomprada).comprada).

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Mês Preço de Venda Preço de CompraJaneiro 3 8Fevereiro 6 8Março 8 2Abril 2 3Maio 4 4Junho 5 3Julho 6 3Agosto 1 2Setembro 3 5Outubro 2 5

Novembro 3 3Dezembro 3 3



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Modelagem

Vari Variáá veis de Decisão: veis de Decisão:

QC QC i i – – Quantidade de Grãos Comprados no mêsQuantidade de Grãos Comprados no mês i i ;;

QV QV i i – – Quantidade de Grãos Vendidos no mêsQuantidade de Grãos Vendidos no mês i i ;;

Vari Variáá veis Auxiliares: veis Auxiliares:SF SF i i – – Saldo Final no mêsSaldo Final no mês i i ;;

SF SF 00 – – Saldo Final em Dezembro anterior = 8000Saldo Final em Dezembro anterior = 8000toneladas.toneladas.

i = 1, 2, ..., 12

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( )

( )∑

∑

=

=

×=

×=

−=

12

1

12

1

i

ii

i

ii

QC PCompraCusto

QV PVenda Receita

Custo Receita LucroMax

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Programação LinearProdução e Estoque

RestriRestriçções Auxiliares de Saldo Armazenadoões Auxiliares de Saldo Armazenado

RestriRestriçções de Armazenagemões de Armazenagem

RestriRestriçções de Quantidade Vendidaões de Quantidade Vendida

12...1 para 1 =−+= − iQV QC SF SF iiii

12...1 para 000.200 =≤ iSF i

12...1 para 1 =≤ − iSF QV ii



76 / 48

Fórmulas no Excel

77 / 48

Fórmulas no Excel

Saldo Anterior

Qtde. Vendida

Qtde. Comprada

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Solução do Excel

80 / 48

Fluxo De Caixa Multi-

Período

A LCL restaurantes quer construir uma nova filial. Para A LCL restaurantes quer construir uma nova filial. Paratal necessita de um total R$500 mil, que sertal necessita de um total R$500 mil, que ser áá pago apago aconstrutora em duas parcelas de R$150 mil ao final doconstrutora em duas parcelas de R$150 mil ao final do22ºº e 5e 5ºº meses e umameses e uma úúltima de R$200 mil ao final daltima de R$200 mil ao final daconstruconstruçção, no 7ão, no 7ºº mês.mês.

A empresa dispõe de 4 tipos de investimentos (tabela A empresa dispõe de 4 tipos de investimentos (tabela

a seguir) que podem ser utilizados afim de gerar caixaa seguir) que podem ser utilizados afim de gerar caixafuturo para quitar a construfuturo para quitar a construçção, de maneira aão, de maneira aminimizar a necessidade de caixa presente.minimizar a necessidade de caixa presente.

81 / 48

Fluxo De Caixa Multi-Período

3,2%3,2%221,3,51,3,5Tipo BTipo B

9,0%9,0%7711Tipo DTipo D

4,5%4,5%331,41,4Tipo CTipo C

1,5%1,5%111,2,3,4,5,6,71,2,3,4,5,6,7Tipo A Tipo A

Retorno ao FinalRetorno ao Finaldo Investimentodo Investimento

Meses de DuraMeses de Duraççãoão

Da aplicaDa aplicaççãoão

Mês DisponMês Disponí í vel vel

para aplicapara aplicaççãoãoInvestimentoInvestimento



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Fluxo De Caixa Multi-

Período

Vari Variáá vel de Decisão vel de Decisão•• A A ii – – Valor aplicado no mês i na aplica Valor aplicado no mês i na aplicaçção A ão A

(i=1,2,3,4,5,6,7)(i=1,2,3,4,5,6,7)•• BBii – – Valor aplicado no mês i na aplica Valor aplicado no mês i na aplicaçção Bão B

(i=1,3,5)(i=1,3,5)•• CCii – – Valor aplicado no mês i na aplica Valor aplicado no mês i na aplicaçção Cão C

(i=1,4)(i=1,4)•• DDii – – Valor aplicado no mês i na aplica Valor aplicado no mês i na aplicaçção Dão D

(i=1)(i=1)

83 / 48

1 2 3 4 5 6 7 8

Fluxo de Caixa

150 mil 150 mil 200 mil

A1

B1

C1

D1

A4

C4

A5

B5

A6 A7A3

B3

Aplicação

Resgate

Parcela a pagar O índice refere-se ao início do mês

A2

1,015A1 1,015A2

1,032B1

1,015A3

1,045C1

1,015A4

1,032B3

1,015A5 1,015A6

1,032B5

1,045C4

1,015A7

1,09D1

84 / 48

Metodologia para modelagem


minimizar a aplicaminimizar a aplicaçção inicialão inicial::

1111 DC B AMin +++

( ) ( )

i

ii

=−

pagar a

ParcelaentoReinvestimResgate

8...,,3,2=i

RestriRestriççõesões



85 / 48

O Modelo no Excel

Variáveisde Decisão

86 / 48

O Modelo no Excel

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88 / 48

Solução do Excel

aula10

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