aula05_pdi_histograma

5/17/2018 aula05_PDI_Histograma - slidepdf.com

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1

O histograma de uma imagem, com nível de

cinza na faixa de [ 0, L-1 ] , é uma função

discreta h(r k ) que indica o número de pixels queapresentam um determinado nível de cinza.

h( r k ) = nk

onde r k é o k-ésimo nível de cinza e nk é o

número de pixels na imagem com nível de cinzar k .

Histograma de uma imagemHistograma de uma imagem



2


onde:

0 ≤ r k ≤ 1, r k é a escala de cinza normalizada;k = 0, 1, ..., L-1, onde L é o número de níveis de cinza da

imagem digitalizada;

n = número total de pixels na imagem; pr (r k ) = probabilidade do k -ésimo nível de cinza;

nk = número de pixels cujo nível de cinza corresponde a k .

( )nnr p k

k r =

Histograma normalizado, nesse caso teremos a probabilidade

de cada nível de cinza:



3

Através da visualização do histograma de uma imagem

obtemos uma indicação de sua qualidade quanto ao nível

de contraste e quanto ao seu brilho médio (se a imagem é

predominantemente clara ou escura).




4

Exemplo: Considere uma imagem de 128 x 128 pixels, com 8

níveis de cinza.


Exemplo de histograma.Nível de cinza (r k ) nk pr (r k )

0 1120 0,068

1/7 3214 0,196

2/7 4850 0,296

3/7 3425 0,209

4/7 1995 0,122

5/7 784 0,048

6/7 541 0,033

1 455 0,028

Total 16384 1

número de pixels

correspondentes a

cada tom de cinza

probabilidades pr (r k )

0 ≤ k ≤ 7



5

A representação gráfica equivalente do histograma:

00.05

0.1

0.150.2

0.25

0.30.35

Nível de cinza (r k )

p r o b a b i l i d a d e




6

Exemplos de HistogramaExemplos de Histograma



7




8




9

A forma mais usual de se equalizar um histograma é utilizar a

função de distribuição acumulada Sk (CDF - Cumulative

Distribution Function).

∑∑==

=== K

j

jr

K

j

j

k K r P n

nr T S

00

)()(

onde:

0 < r k < 1 (nível de cinza normalizado)

k = 0, 1, 2,..., L-1 (L é o número de níveis de cinza)

Equalização do Histograma



10

Equalizar o seguinte histograma

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 1 2 3 4 5 6 7

Nível de cinza (r k)

P r ( r k )

Histograma de uma imagem de

128x128 pixels e 8 níveis de cinza

Nível de cinza(r k )

nk pr (r k )

0 1120 0,068

1/7 3214 0,1962/7 4850 0,296

3/7 3425 0,209

4/7 1995 0,122

5/7 784 0,0486/7 541 0,033

1 455 0,028

Total 16384 1

Exemplo de equalização do histograma



11

068,0)(

0

0

0 == ∑= j

jr r P S

264,0196,0068,0)(

1

01

=+==

∑= j jr r P S

560,0296,0196,0068,0)(

2

0

2 =++== ∑= j

jr r P S

769,0209,0296,0196,0068,03 =+++=S

891,04 =S

939,05 =S

972,06 =S

17 =S

Nível de

cinza (r k )

pr (r k )

0 0,068

1/7 0,196

2/7 0,296

3/7 0,2094/7 0,122

5/7 0,048

6/7 0,033

1 0,028

Total 1

Cálculo função de distribuição acumulada



12

distribuição acumulada

0.068

0.264

0.56

0.769

0.8910.939 0.972 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7

nível de cinza

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 1 2 3 4 5 6 7

Nível de cinza (r k)

P r ( r k )

Nível de cinza

(r k

)

nk

0 1120

1/7 3214

2/7 4850

3/7 3425

4/7 1995

5/7 784

6/7 541

1 455

Total 16384

Gráfico da função de distribuição acumulada

xemp o e equa zaç o o s ograma



13

7

6891,04 ≈=S

1939,05 ≈=S

1972,06 ≈=S

17 =S

0068,00 ≈=S

7

2

264,01 ≈=S

7

4560,02 ≈=S

75769,03 ≈=S

Como existem apenas 8 níveis de cinza, os valores de SK

devem ser arredondados para o valor mais próximo de (1/7).

Nível de cinza(sk )

nk ps(sk )

0 1120 0,068

1/7 0 0,000

2/7 3214 0,196

3/7 0 0,000

4/7 4850 0,296

5/7 3425 0,209

6/7 1995 0,122

1 1780 0,109

Total 16384 1

Ajuste dos novos valores de cinza

Histograma originalNível de cinza

(r k )nk pr (r k )

0 1120 0,068

1/7 3214 0,196

2/7 4850 0,296

3/7 3425 0,209

4/7 1995 0,122

5/7 784 0,048

6/7 541 0,033

1 455 0,028

Total 16384 1

xemp o e equa zaç o o s ograma

=0.14

=0.29

=0.43

=0.57

=0.71

=0.86

Hi t



14

Histograma

Histograma Original

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3 4 5 6 7

nível de cinza


Histograma Equalizado

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3 4 5 6 7

nível de cinza


distribuição acumulada

0.068

0.264

0.56

0.769

0.8910.939 0.972 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 nível de cinza

S

k

Exemplo de equalização de Histograma Equalization



15

Exemplo de equalização de Histograma Equalization

Lena Soderberg durante as comemorações dos 50 anos da

Society for Imaging Science and Technology, Boston, Maio 1997.

http://www.cs.cmu.edu/~chuck/lennapg/lenna.shtml

qua zaç o o s ogramaqua zaç o o s ograma



16

q ç gq ç g

Equalização do HistogramaEqualização do Histograma



17

Equalização do HistogramaEqualização do Histograma



18

Muitas imagens possuem uma distribuição dos níveis de

cinza não uniforme. É comum encontra-se imagens onde a

maior parte dos níveis de cinza situam-se numa pequenafaixa da escala de cinza, caracterizando assim imagens de

baixo contraste.

7 130

Histograma: Transformação da escalade cinzas



19

Reescalonamento : os valores contidos na faixa

[a,b] são expandidos para preencher a faixa [z1, zk]

a bc

z1

zk

z

ab z z

ac z z k

−−=

−−

11 ( ) 11 z ac

ab z z z k

+− −

−=

Escala original

Escala desejada

Transformação da escala de cinzas



20

7 130

2460

Exemplo da Transformação da escala de

cinzas

Exemplo da Transformação da escala de



21

original

reescalonada

Imagem “sobre-exposta” de raios-x de um paciente sintomático

Exemplo da Transformação da escala decinzas

Comparação da equalização e



22

Imagem original

Histograma reescalon

Histograma equalizad

Comparação da equalização ereescalonamento do Histograma

• u a r ca



23

Algoritmo para determinação e equalização

do histograma de uma imagem.

1) Implementar no Octave um algoritmo para calcular e traçar o

gráfico do histograma de uma imagem.

u a r ca

2) Equalizar o histograma da figura a).O resultado deve ser

parecido com a figura b).

Figura: a) b)

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