aula_003

7/23/2019 Aula_003

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Aula 3 : Nmero de elementos de um conjunto

3.1

Contedo:

Conceitos iniciais

Introduo ao princpio aditivo

Introduo ao princpio da incluso e excluso

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Faz sentido saber quantos elementos tem um

conjunto?

sempre possvel contar os elementos de um

conjunto?

Tem uma frmula para calcular o nmero de

elementos de A B ?

Conceitos iniciais:

3.2Conjuntos: Nmero de elementos

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Questo 1:

O vaqueiro Joo cuida das vacas da fazenda "Trs

Irmos". Ele leva as vacas para pastar nos campos

fora da fazenda. Ele no pode perder nenhuma vaca.

Ento o que ele faz ? Conta as vacas que formam o

gado antes e depois do pastoreio.

Faz sentido saber quantos elementos tem um conjunto ?

Exemplo 1:

3.3Conjuntos: Nmero de elementos / Conceitos iniciais

Conjunto de

vacas depois

do pastoreio.

=>Conjunto de

vacas antes do

pastoreio.

=>

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Voc deu dez notas de R$ 1,00 para um amigo fazer

compras. No retorno, voc contou o dinheiro que

sobrou (3 notas de R$ 1,00 ).

Questo 1:

Exemplo 2:


Faz sentido saber quantos elementos tem um conjunto ?

Resposta: SIM

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n(A): o nmero de elementos do conjuntoA(ou

cardinalidade deA).

n(A) = 7

Exemplo 1:


Notao:

= { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }

A= {x ||x| 3 } =

{x |-3 x 3 }

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Questo 2:

sempre possvel contar os elementos de um conjunto ?

A= {x

||x

| 3 } ={ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }

- Como contamos os elementos de A ?

Exemplo 1:


=>Enumerando seus elementos:

1 o nmero -32 o nmero -2

7 o nmero 3.

.

.

.

.

.

=>Acabamos a enumerao em 7

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-n(C) um nmero que no conhecemos


sempre possvel contar os elementos de um conjunto

finito.

ento:

C= {x|x uma pessoa que nasceu antes de 2000 }

-C est bem definido

-C finito

Exemplo:Mas, ser que sempre conseguimos contar ?

N d l / C i i i i i

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Assumimos, nesta aula:

A um conjunto finito;

possvel determinar o nmero de elementos

deA, n(A).

Questo 3:

Tem uma frmula para calcular o nmero de

elementos de A B ?

3.10Conjuntos:Nmero de elementos / Conceitos iniciais

3 11C j t N d l t

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Dados os conjuntos A e B,

calcular n(A B)

Problema inicial:

{

Introduo ao princpio aditivo:

Encontrar uma frmula para calcular n(A B).

Objetivo:


ento n(A B)=n(A) + n(B)

Princpio aditivo(para dois conjuntos)

Se A e B so disjuntos, A B = , U

3 12C j t N d l t /

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Dados n(U) = 300, n(A) = 150, n(B)= 40

Determinar o nmero de alunos do IL que est

no 1oou no 4

oano do curso de ingls.

U = {x|x aluno do Instituto de Lnguas IL }

A = {xU |xest no 4oano do curso de ingls }

B = {x

U |x

est no 1

o

ano do curso de ingls }

A B = =>n

(A B) =n

(A) +n

(B)=190

Problema:

Exemplo 1:

3.12Conjuntos: Nmero de elementos / Introduo ao princpio aditivo

3 13Conj ntos: Nmero de elementos /

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Problema:

Dados os conjuntos A, B e C,

calcular n(A B C){

Prova:

n(A B C) = n((A B) C) = n(A B) + n(C)(A B) C =

AB =

= n(A) + n(B) + n(C)

ento n(A B C)=n(A) + n(B) + n(C)

Se A, B e C so disjuntos dois a dois:

Princpio aditivo(para trs conjuntos)

A B = , A C = , B C =

U

C

3 14Conjuntos: Nmero de elementos /

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Princpio aditivo (para quatro conjuntos)

Se A, B, C e D so conjuntos disjuntos dois a dois

( A B = A C = A D = B C = B D = C D = )

ento n(A B C D)= n(A) + n(B) + n(C) + n(D)

Tente fazer a prova aplicando o raciocnio anterior.


3 15Conjuntos: Nmero de elementos /

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Prova

Prova: n(A B C D) = n((A B) C D)

Voltar


3 16Conjuntos: Nmero de elementos

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Encontrar uma frmula para n(A B).

Objetivo:

Problema inicial:

A e B podem no ser disjuntos

A B

Introduo ao princpio da incluso e excluso:


Dados os conjuntos A e B,

calcular n(A B){

Reescrever A B como conjuntos disjuntos.

Estratgia:

n(A B)= ?

U

3.17Conjuntos: Nmero de elementos /

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Como reescrever A B como unio de conjuntos

disjuntos?

U

U

Dados A, B, A B

A B

Disjuntos Voltar

3.17Conjuntos: Nmero de elementos /Introduo ao princpio da incluso e excluso

Conjuntos: Nmero de elementos / 3.18

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U

Unio

U

Unio

U

Conjuntos: Nmero de elementos /


A = (A - B) (A B)

B = (B - A) (A B)

Voltar Voltar

Voltar

3.18

n(A B)= n(A - B) + n(A B) + n(B - A)

Concluso:A B= (A - B) (A B) (B - A)


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n(A B) = n( (A B) (A B) (B A) )

= n(A B) +n(A B) +n(B A)

U

U

A

B

U

=>

=>

A = (A B) (A B)

B = (A B) (B A)

j


A-B

B-A

A

B

n(B)= n(B A) +n(A B)

n(A)= n(A B) +n(A B)

U


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Resumindo:

j


n(A B) = n(A B) +n(A B) +n(B A)

n(A) = n(A B) +n(A B)

n(B) = n(B A) +n(A B)

=>

=>

n(A B) = n(A) n(A B)

n(B A) = n(B) n(A B)

n(A B) = [n(A) n(A B) ]+ n(A B) + [n(B) n(A B)]

= n(A) + n(B) n(A B)


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Princpio da incluso e excluso(para dois conjuntos)

n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)

n(A) + n(B) -n(A B)

Interpretao visual

U

Dados A e B,

ento


Voltar


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U = {x|x aluno do Instituto de Lnguas IL }


B = {xU |xest no 2oano do curso de francs }

Exemplo 2:


ento o nmero de alunos do IL que cursam o 4oano

de ingls ou o 2oano de francs :

= 40 + 20 - 2 = 58n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)

n(B) = 20

dados: n(U) = 300 n(A) = 40

n(A B) = 2


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Questo:

Como calcular n(A B C)usando o Princpio da

incluso e excluso para dois conjuntos ?


n(A B C)= n( (A B) C ){

= [n(A) + n(B) - n(A B) ]+ n(C) -n((A C) (B C))

= n(A) + n(B) + n(C) - n(A B)

- [ n(A C) + n(B C)) - n((A C) B C) ]A B C

{ {

= n(A B) + n(C) -n( (A B) C ){

= n(A) + n(B) + n(C) n(A B) n(A C) n(B C) + n(A B C)


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Princpio da incluso e excluso(para trs conjuntos)

Interpretao grfica:


U

n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C)

-n

(A B) -n

(A C) -n

(B C)+ n(A B C)

Dados A, B e C,

ento


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U = {x

|x

aluno do Instituto de Lnguas IL }


B = {xU |xest no 2oano do curso de francs }

C = {xU |xest no 1oano do curso de italiano }

Exemplo 3:



I d i i d i l l

3.26

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Dados: n(U) = 300 , n(A) = 40 , n(B) = 20 , n(C) = 30

n(A B) = 2 n(A C) = 5

n(B C) = 3 n(A B C) = 1

ento o nmero de alunos do IL que esto cursando

o 4oano de ingls ou o 2

oano de francs ou o

1

o

ano de italiano :

Exemplo 3 (continuao):


n(A B C)=40 + 20 + 30 - 2 - 5 - 3 + 1 = 81

n(A B C)=

=n(A) + n(B) + n(C) n(A B) n(A C) n(B C)+n(A B C)


I t d i i d i l l

3.27

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Proveo princpio da incluso e exclusono seguinte caso:

Dados A1, A2, A3 e A4,

ento n( A1A2A3A4)=


n(A1) +n(A2) +n(A3) +n(A4) n(A1A2) n(A1A3)n(A1A4) n(A2A3) n(A2A4)

n(A3A4)+n(A1A2A3) +n(A1A2A4) +n(A2A3A4)

n(A1A2A3A4)

=

Frmula Voltar



3.28

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Prova:n(A1A2A3A4) = n((A1A2) A3A4)

VoltarProva



3.29

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Observao:

A partir de n(A B) podemos obter outras relaes.

Determine a quantidade de nmeros naturais que existeentre 1 e 100 e no so divisveis por 2 nem por 5.


Exemplo:

{x

|x

C,x

A ex

B }

C = {x | 1 x100 }

= {2, 4, 6, ... ,100}A = {x |xC, x= 2k, k }

= {5, 10, 15, ... ,100}B = {x |xC, x= 5k, k }



3.30

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{x

|x

C ex

A ex

B }


= C - (A B)

= {x |xC e x(AB) }

= {x |xC e (x A_

B_

) }

= {x |xC e (xA_

exB_

) }

= {x |xC e x(AB) }_____



3.31

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Determine a quantidade de nmeros naturais que

existe entre 1 e 100 e no so divisveis por 2 nem

por 5.

Lembremos o enunciado do exemplo:


C

A B

Pede-se n(C - (A B) )

Concluso:



3.32

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Observe que:

( C - (A B) )(A B) = C

e ( C - (A B) )(A B) =


n(C - (A B)) = n(C) - n(A B)=>

=>n((C - (A B)) (A B)) = n(C - (A B)) + n(A B)

princpio

aditivo

n(C)


Introduo ao princpio de incluso e excluso

3.33

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33/39

Introduo ao princpio de incluso e excluso

Devemos calcular n(C - (A B)) = n(C) - n(A B)

n(C)= 100

Resumindo:

C = {x | 1 x100 }

= 50 + 20 - 10 = 60

n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)princpio

incluso e excluso

logo, n(C - (A B)) = 100 - 60 = 40

Resposta: A quantidade de nmeros naturais que existe

entre 1 e 100 e no so divisveis por 2 nem por 5 40.

A = {x |xC ,x= 2k , k }

= {2, 4, 6, ... , 100}

B = {x |xC ,x= 5k , k }

= {5, 10, 15, ... , 100}


R

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Resumo:

Conceitos:

- Nmero de elementos de um conjunto, n(A) -

(cardinalidade)

- Conjunto finito

- Conjunto infinito- Introduo ao princpio aditivo:

(Nmero de elementos da unio de conjuntos disjuntos dois a dois)

A1e A2disjuntos => n(A1A2) = n(A1) +n(A2) =

2

i=1n(Ai)

A1, A2e A3disjuntos => n(A1A2A3) =

= n(A1) +n(A2) +n(A3) = 3

i=1

n(Ai)

Aidisjuntos dois a dois => n(4

i=1

Ai) = 4

i=1

n(Ai)


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Resumo:

Conceitos:

- Introduo ao princpio da incluso e excluso:

(Nmero de elementos da unio de conjuntos no necessariamente disjuntos)

n(A1A2) = n(A1) +n(A2) - n(A1A2) =

2

i=1

n(Ai) - n(A1A2)

n(A1A2A3) = n(A1) +n(A2) +n(A3)- n(A1A2)- n(A1A3)-

- n(A2A3) +n(A1A2A3) =

3

i=1n(Ai)-

3

i , j=1

i < j

n(AiA2)+n(

3

i=1Ai)

n(4

i=1

Ai) =

4

i=1

n(Ai)- 4

i, j=1

i < j

n(AiAj) + 4

i, j, l = 1

i

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1. Sejam A e B dois subconjuntos de um conjuntouniverso U. Usando o princpio aditivo prove que

n(A B) = n(A) n(B).

Exerccios

2. Quantos nmeros inteiros entre 1 e 100 so

divisveis por 3 ou por 7.

Dica: Considere A = {x | 1 x100 ex=3k para algum k }

B = {x | 1 x100 ex=7k para algum k }

e use o princpio de incluso e excluso.

3 U i i diti d i l l


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3. Use os princpios aditivo ou de incluso e excluso

para determinar, em cada caso, a quantidade de nmeros

naturais entre 1 e 60 que verificam:

(i)so divisveis por 2 e por 3

(ii)so divisveis pelo menos por 2 e por 3

(iii)no so divisveis nem por 2 nem por 3

(iv)so mpares divisveis por 3 ou so divisveis por 2

(v)so divisveis por 2 ou por 3 ou por 5

3.38ConjuntosNmero de elementos

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4. Foram consultadas 200 pessoas que estavam

pesquisando preos de televisores em lojas de

eletrodomsticos. As respostas foram as seguintes:

- 40% perguntaram pela marca A;

- 35% pela marca B;

- 10% pelas marcas A e B;

- 25% somente perguntaram por outras marcas.

Use o princpio de adio ou o princpio da incluso e

excluso para determinar:

3.39Conjuntos:Nmero de elementos

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(i)quantidade de pessoas que perguntaram pelos

preos das televises de marcas A ou B.

(ii)nmero de pessoas que perguntaram pela marca A

e no pela marca B (lembre-se do exerccio 1).

4. (continuao)

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