AJUSTE NÃO LINEAR

Realizar previsões ou projeções é uma das preocupações das atividades de negócios e governamentais. Nas empresas é necessário prever as vendas, os estoques,

os custos, o fluxo de caixa etc para um determinado período, como é o orçamento anual do próximo ano.

Na administração pública se faz necessário prever o número de habitantes, a arrecadação, os custos dos serviços prestados etc.

Essas previsões implicam em estabelecer relações entre duas ou mais variáveis que tenham a habilidade de prever uma ou mais delas em função das restantes.

As previsões podem ser realizadas a partir do conhecimento dos dados de um corte transversal da população, por exemplo, amostras da quantidade produzida e do preço médio dos produtos, ou das vendas e do investimento em propaganda etc.

Essa relação também pode ocorrer entre uma variável e o tempo, por exemplo, o consumo de energia mensal, as vendas semanais de uma empresa, as exportações e importações mensais do país etc.

A análise da reta de regressão linear mostrou que nem todos os pares de valores das amostras estão incluídos na própria reta e, em alguns casos, esse afastamento pode insinuar um tipo de curva diferente de uma linha reta; por exemplo, o gráfico de dispersão dos pares de valores das amostras pode exibir a forma de uma curva exponencial ou de um polinômio de segundo grau.

Trataremos, agora, das previsões realizadas com o ajuste de funções não-lineares transformadas em retas e, depois, das previsões futuras de observações coletadas periodicamente, ou em função do tempo.

Transformação em Lineares

Como muitos processos econômicos são mais bem explicados com funções matemáticas não-lineares, foram desenvolvidos modelos não-lineares que se tornam lineares depois de uma transformação com logaritmos naturais ln, como mostra a tabela seguinte.

Na primeira linha dessa tabela foi registrada a equação da regressão linear simples conhecida.

Nas outras três linhas da tabela estão registradas três funções não-lineares e as transformações das variáveis x e y para torná-las funções lineares semelhantes à da primeira linha da tabela.

Nas duas últimas colunas da tabela do slide anterior são mostradas as transformações com logaritmos das variáveis x e y, esgotando as quatro combinações de logaritmos com duas variáveis, incluindo a alternativa de não aplicar logaritmos.

Para cada uma dessas equações será apresentado o procedimento de ajuste de cada curva.

Função Exponencial A função exponencial é muito útil para os casos em

que a variável dependente varia com uma taxa percentual constante.

Aplicando logaritmos nos dois membros dessa função exponencial se obtém a expressão linear .

Para realizar essa transformação, observe o seguinte: Os valores da amostra y devem ser transformados em lny

formando a nova amostra com valores lny. Os valores da amostra x permanecem sem transformação.

bxeay .ˆ

bxay lnˆln

Com os valores das novas variáveis x e lny: Calcular os coeficientes de regressão, intercepto h e

declividade k. Foram adicionadas as novas constantes h e k para distingui-las dos coeficientes da função exponencial a e b.

Calcular o coeficiente de determinação r2. Calcular os coeficientes da função exponencial a e b,

considerando: Como o intercepto h da reta é lna, o coeficiente a=eh. A declividade k é o próprio coeficiente b=k.

Exemplo

O departamento de vendas da rede de varejo relacionou as vendas anuais y com o investimento anual x em propaganda, ambos em milhões, cujos valores estão registrados na tabela seguinte.

Ajustar a curva da função exponencial bxeay .ˆ

Função Logarítmica

A função logarítmica é uma expressão linear. Entretanto, os valores da variável x devem ser

transformados: Os valores da amostra y permanecem sem transformação,

e os valores da amostra x devem ser transformados em lnx formando a nova amostra com valores lnx.

xbay ln.ˆ

Com os valores das novas variáveis y e lnx: Calcular os coeficientes de regressão, intercepto h e

declividade k para distingui-los dos coeficientes da função exponencial a e b.

Calcular o coeficiente de determinação r2. Calcular os coeficientes da função logarítmica a e b,

considerando que: O intercepto h é o próprio coeficiente a=h. A declividade k é o próprio coeficiente b=k.

Exemplo

Continuando com o Exemplo anterior. Ajustar a curva da função logarítmica

bxeay .ˆ

Função Potência A função potência é muito útil para negócios,

principalmente a curva de aprendizado. Aplicando logaritmos nos dois membros da função potência

obtém-se a expressão linear . Para realizar essa transformação, observe que: Os valores da amostra y devem ser transformados em lny,

formando a nova amostra com valores lny. Os valores da amostra x devem ser transformados em lnx,

formando a nova amostra com valores lnx.

bxay .ˆ

xbay ln.lnˆln

Com os valores das novas variáveis lny e lnx: Calcular os coeficientes de regressão, intercepto h e

declividade k para distingui-los dos coeficientes da função potência a e b.

Calcular o coeficiente de determinação r2. Calcular os coeficientes da função potência a e b,

considerando que: Se o intercepto h da reta é lna, então o coeficiente a=eh. A declividade k é o próprio coeficiente b=k.

Resumo das Transformações

Qual dessas curvas deve ser escolhida? Se as premissas da regressão linear foram atendidas pelas

quatro transformações, deve-se escolher a curva com maior coeficiente de determinação. No exemplo que está sendo desenvolvido, a curva que

melhor explica é a potência, pois seu coeficiente de determinação é o maior das quatro regressões analisadas.

De forma geral, os exemplos apresentados mostraram que a transformação das variáveis relacionadas de forma não-linear cria novas variáveis relacionadas de forma linear que podem ser analisadas dentro do modelo de regressão linear.

Foi visto que a transformação das funções exponencial, logarítmica e potência permite utilizar o modelo de regressão linear simples apesar de não ser linear a relação entre as variáveis originais.

Essa idéia é estendida para o modelo de regressão linear múltipla, por exemplo, transformando a relação não linear de mais de duas variáveis num polinômio de grau n.

Neste livro será mostrado o comando linha de tendência para ajustar um polinômio.

Linha de Tendência

As transformações anteriores foram realizadas utilizando os recursos das funções estatísticas e o registro de fórmulas na planilha Excel.

Com o comando Linha de tendência do Excel é possível realizar essas e outras transformações dentro do ambiente de gráficos do Excel, tais como gráficos de áreas 2-D não empilhadas, barras, colunas, linhas, ações, dispersão (xy) e bolhas.

Para construir a linha de tendência numa planilha Excel, deve-se registrar a tabela com os dados das duas amostras e depois construir o gráfico de dispersão, procedimento realizado na planilha Linha de tendência da pasta Capítulo 15, como mostra o slide seguinte.

Depois de clicar em OK na caixa de diálogo do slide anterior, o Excel constrói a curva ajustada e registra no mesmo quadro sua equação e coeficiente de determinação. Esses valores estão registrados em um bloco que pode ser

mudado de posição. O slide seguinte mostra primeiro o gráfico de dispersão e

depois o mesmo gráfico com a curva ajustada e o bloco com a equação e o coeficiente de determinação.

y = 47,316x0,6336

R2 = 0,7501

0

100

200

300

400

500

600

0 10 20 30 40 50

É possível modificar as definições da linha de tendência depois de construída, procedendo como segue: Clicar em qualquer ponto da linha de tendência construída

e depois, mantendo o cursor dentro do gráfico, clicar o botão direito do mouse e selecionar Formatar linha de tendência.

Outra alternativa mais rápida é clicar duas vezes seguidas com o botão esquerdo do mouse em qualquer ponto da linha de tendência.

y = 162,74e0,0294x

R2 = 0,7411

0

100

200

300

400

500

600

0 10 20 30 40 50

Ajuste Polinomial

Um polinômio é uma função do tipo Uma linha de tendência polinomial pode ajustar uma curva

quando os dados têm diversas variações. A escolha da ordem da polinomial pode ser determinada pelo

próprio perfil que os dados sugerem num gráfico de dispersão. Por exemplo, uma linha de tendência polinomial de

segundo grau possui apenas um máximo ou um mínimo relativo, pois se trata de uma parábola.

Um polinômio de terceiro grau geralmente possui um ou dois máximos ou mínimos relativos.

nnxbxbxbay 2

21ˆ

Um polinômio de quarto grau pode possuir até três máximos ou mínimos relativos.

É importante observar que, em geral, o ajuste será realizado com um tramo da curva do polinômio.

Uma função polinomial de segundo grau é muito útil para modelar curvas de custos, como mostra o

Exemplo 16.3.

221ˆ xbxbay

Exemplo 16.3

O gerente de projeto do novo motor realizou testes de consumo de combustível em função da velocidade do protótipo de carro que utilizará esse motor.

Ajustar a curva polinomial adequada aos dados registrados na planilha Ajuste polinomial, incluída na pasta Capítulo 16.

Solução O ajuste polinomial foi realizado na planilha Ajuste

polinomial, incluída na pasta Capítulo 16, considerando a linha de tendência polinomial de segundo grau, como mostra o slide seguinte.

Exemplo 16.4

Ajustar a curva polinomial adequada aos dados registrados na planilha Ajuste polinomial II incluída na pasta Capítulo 16.

Solução O gráfico de dispersão do slide seguinte mostra o ajuste com

um polinômio de sexto grau que apresentou o maior coeficiente de determinação R2=0,9631.

Esse resultado foi conseguido depois de tentar manualmente as cinco alternativas disponíveis, do polinômio grau dois até o polinômio de grau seis, utilizando a caixa de diálogo Formatar linha de tendência.

SÉRIES TEMPORAIS

Em geral, as previsões são realizadas com dois tipos de observações.

No primeiro grupo estão incluídos os dados coletados num determinado período, por exemplo, durante uma hora, um dia, uma semana, um mês, três anos etc. Embora não tenham sido coletados no mesmo instante,

esses dados não sofrerão influência do tempo decorrido entre eles, aceitando-se que o prazo da coleta de informações é adequado para atender ao objetivo da pesquisa.

Esses dados serão utilizados para realizar previsões que não dependerão do tempo. Por exemplo, a previsão do consumo de combustível para uma velocidade de 105 km por hora do novo motor do Exemplo 16.3.

Outro exemplo, na previsão dos resultados de uma pesquisa de opinião a demora de uma semana para coletar os dados não influirá nas inferências que serão realizadas a partir dos resultados da pesquisa, entretanto, um prazo de seis meses poderá não ser adequado.

O outro grupo de observações inclui os dados coletados periodicamente, por exemplo, as vendas diárias da loja, a taxa de inflação mensal, as cotações da bolsa a cada trinta minutos etc.

Esses dados formam uma série temporal, pois são periodicamente coletados, e a variável de interesse y está associada à variável tempo t ou a variável dependente y e a variável independente t.

Dessa maneira, yt é o valor da variável y no tempo t, como mostra o slide seguinte.

O objetivo é projetar o valor a partir do conhecimento dos valores coletados y até o tempo t descrito com a função geral

1ˆ ty

),,,(ˆ 211 tttt yyyfy

Como realizar as projeções, ou que função utilizar para realizar a melhor projeção?

Há diversas formas de realizar projeções, das quais destacamos três grupos que serão apresentados a seguir: Taxa média de crescimento, Regressão e Média móvel.

PROCEDIMENTO INICIAL

O procedimento de projeção simples considera que o valor do próximo período t+1 é o do período anterior t utilizando a função

Na planilha Modelo simples, incluída na pasta Capítulo 16, foi construído o modelo de projeção das vendas diárias de uma empresa utilizando o procedimento simples.

tt yy 1ˆ

TAXA MÉDIA

Mesmo que seja fácil de calcular, a projeção simples de t+1 incluindo tendência utiliza somente os valores observados em t-1 e t.

A projeção pela taxa média é um procedimento que utiliza todos os dados disponíveis, ou parte desses dados.

O cálculo da taxa média é fácil, entretanto esse procedimento necessita de atenção para ser aplicado, como mostra o Exemplo 16.5.

Exemplo 16.5 A planilha Exemplo 16.5 incluída na pasta Capítulo 16

registra a rentabilidade de uma carteira de investimento durante dez meses, do mês t-9 até o mês t, medida com a taxa mensal de juro i.

O objetivo é projetar a taxa de juro para o mês t+1.

Solução Conhecidas as taxas mensais de juro de dez meses, parece

sensato calcular a taxa média mensal utilizando a média aritmética das dez taxas de juros mensais.

Entretanto, quando as variações são significativas, a média da taxa de juro retornará um resultado superior à da que seria obtida na prática financeira, como é o valor da média aritmética 0,44% ao mês calculada na célula G4 da planilha.

O procedimento recomendado é utilizar juros compostos, que calculam a taxa equivalente de juro i utilizando a fórmula seguinte, onde Mg é o resultado da média geométrica das taxas de juros mais um:

1

)1()1()1(

)1(

10/11021

101

10

1

Mgi

iiiMg

iMgj

j

Função do ExcelMÉDIA.GEOMÉTRICA(núm1; núm2; ... ; núm30) A função estatística MÉDIA.GEOMÉTRICA retorna a média

geométrica dos valores da amostra. Cada um dos núm pode ser um intervalo de células de uma planilha contendo valores numéricos ou assemelhados. A média geométrica Mg é definida como

com os valores Xi maiores que zero.Comparando com a média aritmética: A média geométrica é menos afetada por valores extremos e

é sempre menor que a média aritmética. A média geométrica é uma medida mais central quando os

valores da variável apresentam uma taxa constante de crescimento.

nnXXXMg /1

21

Função do ExcelVFPLANO(capital;plano) A função financeira VFPLANO retorna o valor futuro de um

capital inicial, sujeito a capitalizações periódicas com valores de taxas de juro definidas no argumento plano. A função financeira VFPLANO calcula o futuro F da fórmula conhecida

Se capital for igual a 1, a função VFPLANO retornará o valor (1+i). Nesse caso, a taxa total de juro da operação poderá ser obtida com a fórmula =VFPLANO(1;plano)-1.

Observe que essa função utiliza os valores das taxas de juros do intervalo C4:C13.

n

jjiPF

1

)1(

A projeção utilizando taxa média de uma série de dados temporais é de fácil aplicação, não requerendo cálculos complexos, e pode ser útil para obter de forma rápida uma estimativa aproximada.

Esse procedimento de projeção pode ser aplicado a qualquer tipo de série, entretanto, é mais recomendado para séries que apresentem tendência de crescimento positivo, negativo ou cíclico mas com pouca volatilidade.

A projeção deve ser aceita como tentativa e não deve ser utilizada para mais de um período.

Exemplo 16.6

PROJEÇÃO MÉDIA MÓVEL

A projeção pela média móvel é o resultado da média dos k últimos valores coletados t, t1, t2, ..., tk+1 e é calculada com

mantendo constante o número de valores k utilizados no cálculo da média.

Pode-se dizer que o futuro é projetado pela média do passado.

1ˆ ty

t

ktiit y

ky

11

1ˆ

Exemplo 16.7

Com os dados registrados na Figura 16.9, projetar as vendas diárias da empresa pelo modelo da média móvel considerando a média dos três últimos meses.

Depois, repetir a projeção com a média dos seis últimos meses.

Solução O dados e a solução estão na planilha Média móvel do

Capítulo 16. A projeção de vendas em t+1 com média móvel dos três últimos é 305, resultado registrado na célula D17. O valor projetado em t+1 pode ser obtido com a fórmula:

0,3053

295312308ˆ

3ˆ

1

1011121

t

t

y

yyyy

A venda da empresa do Exemplo 16.7 foi projetada pela média móvel considerando 3 meses, coluna D, e 6 meses, coluna F, anteriores à data de projeção.

Qual das duas projeções é a melhor? Deve-se escolher a projeção que apresentar menor erro de projeção.

O procedimento de média móvel não é prático quando o número de valores coletados é grande e são necessárias atualizações freqüentes, ou quando apenas os últimos valores são relevantes. Para realizar projeções com média móvel o Excel dispõe dos recursos naturais da planilha, como foi apresentado anteriormente, da ferramenta de análise Média móvel e do comando Linha de tendência utilizado no Capítulo 15 e apresentado de forma completa no início deste capítulo.

FdeA – Média móvel

Função do ExcelSOMAXMY2(matriz_x; matriz_y) A função matemática SOMAXMY2 retorna a soma dos

quadrados das diferenças dos valores correspondentes de matriz_x e matriz_y.

Essa função retorna o resultado de

a soma dos quadrados dos erros de projeção.

2)ˆ( ii yy

PROJEÇÃO REGRESSÃO LINEAR

O ajuste de uma reta de regressão é um modelo linear que relaciona a variável dependente y e a variável independente x por meio da equação de uma reta que resume a relação linear entre duas variáveis, em que as variações de y são provocadas pelas variações de x.

Agora a variável independente é o tempo xt que varia de forma periódica e provoca as variações da variável dependente yt através da função .

Sabendo que a melhor reta é aquela cuja soma dos quadrados dos desvios é mínima, será possível ajustar uma reta numa variável y que varia com o tempo utilizando os conceitos apresentados no Capítulo 15.

Exemplo 16.8

A projeção utilizando a regressão linear simples é muito fácil de utilizar devido às facilidades operacionais do Excel, que resume todo o conteúdo das informações nos coeficientes da reta de regressão.

Entretanto, não se deve esquecer o tratamento linear da solução recebida que pode ser melhorada com os ajustes não-lineares apresentados, utilizando os recursos do comando Linha de tendência do Excel.

PROJEÇÃO ALISAMENTO EXPONENCIAL

Embora seja fácil de aplicar, a projeção pela média móvel requer que uma considerável quantidade de dados se mantenha armazenada.

Outra desvantagem é que todos os dados da série têm o mesmo peso, sendo que em muitos casos os dados mais recentes são mais relevantes que os anteriores.

A primeira desvantagem poderia ser eliminada calculando médias ponderadas, por exemplo, na média de três dados o mais próximo teria mais peso que os dois restantes, mantendo a soma dos pesos igual a um.

Esse procedimento eliminaria a primeira desvantagem, mas manteria a necessidade de manter muitos dados armazenados adicionando complexidade ao procedimento de cálculo.

Essas duas desvantagens da projeção com média móvel são atenuadas com o alisamento exponencial, realizando a projeção de y em (t+1) com a expressão

sendo a constante de alisamento com valores entre zero e um.

Analisando essa fórmula, pode-se ver que o valor projetado de y em (t+1) é a média ponderada do dado coletado yt no período anterior t e da projeção no mesmo período t.

ttt yyy ˆ)1(ˆ 1

Exemplo 16.9

FdeA – Ajuste exponencial

Ajuste da constante de alisamento