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Aula IX – Técnicas de análise de registros– métodos quantitativos

Metodologia da Pesquisa em Ensino de Ciências I

Curso de Metodologia da Pesquisa – Aula 9 Prof. Paulo Rosa Curso de Mestrado em Ensino de Ciências - UFMS

Primeiro aviso inicial

[email protected] 2

A Análise Estatística apenas pode nos dizer se há alguma diferença entre amostras de um grupo. Ela não pode nos informar sobre a origem desta diferença (porque ela existe).

Isto somente um modelo teórico pode fazer.


Segundo aviso inicial

[email protected] 3

A Análise Estatística mais sofisticada possível não pode salvar registros obtidos de maneira inadequada.Apenas bons testes produzem boa análise estatística, no sentido de que as conclusões obtidas sejam válidas.


Parte I – Conceitos Básicos de Estatística

[email protected] 4

Alguns conceitos básicos• Estatística descritiva: se preocupa com a

organização e representação dos dados;• Estatística inferencial: se preocupa com

inferências que possam ser feitas a partir dos dados coletados.

[email protected] Curso de Metodologia da Pesquisa – Aula 9 Prof. Paulo Rosa Curso de Mestrado em

Ensino de Ciências - UFMS

5


População

População: conjunto de sujeitos que queremos estudar.

Estatística Inferencial - Definições

[email protected] 6


Elementos da amostra.População

Estatística Inferencial - Definições

[email protected] 7

Amostra: subconjunto da população.


Estatística Inferencial – Problema Básico

[email protected] 8

Problema Básico da Estatística Inferencial: dada uma amostra da

população como inferir informações sobre a própria população?


Parte II - Descrevendo a amostra e a população

[email protected] 9


Estatística Inferencial – Medidas de tendência central

[email protected] 10

São quantidades que nos dão uma ideia sobre o comportamento da população ou da amostra.

Medidas de Tendência

Central

Média Moda

Mediana


Estatística Inferencial – Medidas de Dispersão


São quantidades que nos dão uma ideia sobre o como os valores se distribuem em torno da média, ou seja, se os valores estão próximos ou distantes do valor médio.

Medidas de Dispersão

Variância Desvio padrão


Estatística Inferencial – Curva Distribuição de Valores


Considere que em um teste tenhamos obtido os seguintes valores para as notas dos alunos:

Notas no teste Número de alunos com a nota0,0 5,00,5 8,01,0 13,01,5 20,02,0 22,02,5 25,03,0 35,03,5 42,04,0 60,04,5 85,05,0 69,05,5 60,06,0 55,06,5 43,07,0 34,07,5 26,08,0 18,08,5 12,09,0 9,09,5 6,0

10,0 2,0


Estatística Inferencial – Curva Distribuição de Valores


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80

100

Núme

ro de

alun

os

Notas

Valor médio

Curva Distribuição de Notas

Vamos traçar um gráfico colocando no eixo das ordenadas os valores das notas e no eixo das abscissas o número de alunos que obtiveram aquela nota.


Estatística Inferencial – Curva de Distribuição de Valores (cont.)


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80

100

Dados brutos Curva normal

Núme

ro de

alun

os

Notas

Valor médio


Podemos aproximar esta curva por outra, chamada Curva Normal.


A curva normal


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80

100

Núme

ro de

alun

os

Notas

Valor médio



Equação para a curva normal


Dada uma população com desvio padrão e média conhecidos, então a curva normal desta população será dada por:

2

1/2 2

1 1 ( )( ) exp

(2 ) 2p p

x xy x

Desvio padrão da população.

Valor médio de x para a população


Equação normalizada para a curva normal


21 1( ) exp

22y x z

Nesta expressão:

p

x xz

Desvio padrão 1.


Curva normal e probabilidades


Se integrarmos a curva normal, o resultado será 1:

21 1( ) exp

22

( ) 1

y z dz z dz

y z dz

Podemos interpretar a

área sob a curva normal como uma

probabilidade


Curva normal e Probabilidades (cont.)


Quando integramos a curva normal entre dois valores, obtemos a probabilidade de encontrar um valor dentro deste intervalo. Por exemplo, qual a probabilidade de encontrar um valor entre -1 e +1?

1 2

1

1 1( 1,1) exp

22( 1,1) 0,68

p z dz

p

Ou seja, temos uma possibilidade de encontrar um dos valores em uma

medida entre o valor médio menos um desvio padrão e o valor médio mais um

desvio padrão!


Curva de Distribuição Normal


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0Cu

rva No

rmal

x

MédiaModaMediana

Largura de 2 desviospadrão


Intervalos de confiança


Um intervalo de confiança é um intervalo de valores para o qual uma nova medida da variável possui certa probabilidade de estar.Exem

plos

68%

95%

;

2 ; 2

p p

p p

I x x

I x x


Parte III – Analisando testes



Fidedignidade de testesO objetivo da análise de fidedignidade é responder

à seguinte questão:

Se aplicado novamente a um grupo nas mesmas condições o teste nos dará o mesmo resultado?

www.dfi.ufms.br/prrosa


Se o teste for aplicado na mesma situação , o

resultado do teste será o mesmo?


Podemos estimar a fidedignidade de um teste a partir do coeficiente α de Cronbach:

Cálculo da fidedignidade de testes


Número de

questões no teste

Variância de cada item no

teste

Variância total no teste

11( 1)

n

ii

T

Vnn V

Fidedignidade da pesquisa é relacionada com a fidedignidade dos seus instrumentos de coleta de dados.

Coeficiente α de Cronbach


• Os valores do coeficiente α de Cronbach variam, teoricamente entre 0 e 1;

• Somente valores positivos fazem sentido;• Quanto mais próximo de 1, melhor o teste;• Valores abaixo de 0,7 indicam um teste

não confiável.

Cálculo da fidedignidade de testes (cont.)


Um exemplo de cálculo de

fidedignidade


O que fazer se o coeficiente de fidedignidade do teste for ruim?

Análise de Consistência Interna (cont.)


Temos que descobrir quais itens do teste fazem com que o

resultado seja ruim.


Ideia básica: a fidedignidade de um teste é baixa porque as questões no teste medem conteúdos e/ou habilidades cognitivas diferentes.



Isto sendo verdadeiro, não há sentido em somar os resultados obtidos em cada item do teste e

construir um escore total.


Solução: calcular a correlação entre os itens e o escore total no teste.



Hipótese: os itens com correlação baixa com o escore total estão

medindo conteúdos e/ou atividades diferentes.


Correlação


Correlação

O coeficiente de correlação mede se duas variáveis têm a mesma tendência.

O coeficiente de correlação é um número que varia entre -1 e +1.

A correlação não indica relação de causalidade entre duas variáveis.


Correlação (cont.)


Coeficiente de

Correlação

Valores próximos de -1 indicam que as duas séries têm tendências opostas: quanto uma cresce outra diminui ().

Valores próximos de +1 indicam que as duas séries têm tendências iguais: quanto uma cresce outra cresce, quando uma diminui a outra diminui ( ou ) .

Valores próximos de 0 (zero) indicam que as duas séries não têm relação.


Valor médio de y.

Valores de x.

Equação para o Coeficiente de Correlação entre duas variáveis x e y:

Correlação (cont.)


1

2 2

1 1

n

i ii

xy n n

i ii i

x x y yr

x x y y

Coeficiente

de correlação Valor médio

de x.Valores de

y.


Considere dois testes que são aplicados a um grupo de alunos. Um teste mede a habilidade na leitura de textos em literatura e outro a habilidade na interpretação de enunciados de problemas em Física. Os dois testes são respondidos por 20 alunos. Veja a tabela a seguir.

Correlação (cont.) – Um exemplo





Aluno Teste 1

Teste 21 2,5 3,82 3,5 2,93 2,8 3,24 8,4 7,65 6,1 5,86 0,5 2,17 9 7,58 4,8 59 7 6,1

10 7,6 7,911 8,2 4,512 2,5 3,513 3,8 4,714 4,9 615 1,5 2,616 2 0,817 4,9 3,418 0,5 119 0,5 1,120 3 2,9


Mostramos a seguir as transformações necessárias para obter o coeficiente de correlação:



Aluno Teste 1 Teste 2 x-xm y-ym (x-xm)(y-ym) (x-xm)^2 (y-ym)^2

1 2,5 3,8 -1,7 -0,32 0,544 2,89 0,1024

2 3,5 2,9 -0,7 -1,22 0,854 0,49 1,4884

3 2,8 3,2 -1,4 -0,92 1,288 1,96 0,8464

4 8,4 7,6 4,2 3,48 14,616 17,64 12,1104

5 6,1 5,8 1,9 1,68 3,192 3,61 2,8224

6 0,5 2,1 -3,7 -2,02 7,474 13,69 4,0804

7 9 7,5 4,8 3,38 16,224 23,04 11,4244

8 4,8 5 0,6 0,88 0,528 0,36 0,7744

9 7 6,1 2,8 1,98 5,544 7,84 3,9204

10 7,6 7,9 3,4 3,78 12,852 11,56 14,2884

11 8,2 4,5 4 0,38 1,52 16 0,1444

12 2,5 3,5 -1,7 -0,62 1,054 2,89 0,3844

13 3,8 4,7 -0,4 0,58 -0,232 0,16 0,3364

14 4,9 6 0,7 1,88 1,316 0,49 3,5344

15 1,5 2,6 -2,7 -1,52 4,104 7,29 2,3104

16 2 0,8 -2,2 -3,32 7,304 4,84 11,0224

17 4,9 3,4 0,7 -0,72 -0,504 0,49 0,5184

18 0,5 1 -3,7 -3,12 11,544 13,69 9,7344

19 0,5 1,1 -3,7 -3,02 11,174 13,69 9,1204

20 3 2,9 -1,2 -1,22 1,464 1,44 1,4884

xm 4,2 4,12 soma 101,86 144,06 90,452


O coeficiente de correlação pode ser calculado agora:



101,86144,06 90, 452

0,892325

xy

xy

r

r

O Coeficiente de Correlação dado pela função CORREL do Excel é exatamente

igual.


Análise de Consistência Interna – Algoritmo básico


Análise de Consistência InternaCalcule o

coeficiente de α

Cronbach para o teste

É adequa

doSim

Bom teste.

Fim

Não

Calcule o coeficiente de

correlação entre cada

item do teste e o escore

total

Descarte os itens com

coeficiente de correlação

com o escore total baixos

(ou negativos).

Calcule novamente o coeficiente α

Cronbach para o teste sem os itens retirados

É adequa

do

Sim

Não Refaça o teste

Fim


Fim da aula 9

[email protected]


Variância (V) em um conjunto de dados


Número de sujeitos que

responderam ao item

Escore de cada sujeito no item

Valor médio dos escores

2

21

1 1

N

ii

xNV x

N N

A variância mede o quão dispersos os valores estão em torno do valor médio do conjunto de dados. Quanto mais próximos do valor médio os dados estiverem menor será a variância do conjunto.


• Outra expressão para a variância de um conjunto de valores é dada por:

Variância (V de um conjunto de dados – Uma expressão alternativa


2

1

1

N

ii

x xV

N

Esta expressão é

equivalente à anterior.


• Considere um teste no qual os alunos (em número de 10) tenham tirado as seguintes notas em uma questão:

Um exemplo de cálculo de variância


Aluno Item 1 Escores ao quadradoJoão 4,5 20,3Maria 6,5 42,3Karla 7,2 51,8José 5,6 31,4Paulo 9,8 96,0Vera 7,5 56,3Kamila 6,9 47,6Ronaldo 8,3 68,9Daniel 6,2 38,4Carlos 5,2 27,0Cassiano 5,8 33,6

Valor médio = 6,68Valor médio ao quadrado

=44,6 Soma dos escores ao quadrado = 513,6

10 alunos -> N=10


Cálculo da variância


2

21

2513,6 6,10

6, 1

N

ii

xV x

N

V

VVoltar


Valor médio do conjunto de

valores medidos

Número de valores medidos

Valor de uma medida

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância de uma distribuição de valores:

Desvio Padrão


2

1

1

N

ii

s

x x

N


Considere a distribuição de valores mostrada na tabela abaixo:

Desvio padrão – Um exemplo


Aluno Nota na avaliaçãoJoão 4,5Maria 6,5Karla 7,2José 5,6Paulo 9,8Vera 7,5Kamila 6,9Ronaldo 8,3Daniel 6,2Carlos 5,2Cassiano 5,8

Valor médio = 6,69

11 alunos -> N=11


Vamos agora adicionar uma coluna na tabela que nos mostre a diferença entre a nota do aluno e o valor médio da turma:

Desvio Padrão – Um exemplo


AlunoNota na avaliação

(xi) Nota na avaliação menos o valor médio

(xi – xm)João 4,5 -2,2Maria 6,5 -0,2Karla 7,2 0,5José 5,6 -1,1Paulo 9,8 3,1Vera 7,5 0,8Kamila 6,9 0,2Ronaldo 8,3 1,6Daniel 6,2 -0,5Carlos 5,2 -1,5Cassiano 5,8 -0,9


Vamos agora adicionar uma coluna na tabela que nos mostre a diferença entre a nota do aluno e o valor médio da turma tomada ao quadrado:



Aluno

Nota na avaliação

(xi)

Nota na avaliação menos o valor médio

(xi – xm) (xi – xm)2

João 4,5 -2,2 4,76Maria 6,5 -0,2 0,03Karla 7,2 0,5 0,27José 5,6 -1,1 1,17Paulo 9,8 3,1 9,72Vera 7,5 0,8 0,67Kamila 6,9 0,2 0,05Ronaldo 8,3 1,6 2,62Daniel 6,2 -0,5 0,23Carlos 5,2 -1,5 2,20Cassiano 5,8 -0,9 0,78


Vamos agora somar a coluna na tabela que nos mostra a diferença entre a nota do aluno e o valor médio da turma tomada ao quadrado:



Aluno

Nota na avaliação

(xi)

Nota na avaliação menos o valor médio

(xi – xm) (xi – xm)2

João 4,5 -2,2 4,76Maria 6,5 -0,2 0,03Karla 7,2 0,5 0,27José 5,6 -1,1 1,17Paulo 9,8 3,1 9,72Vera 7,5 0,8 0,67Kamila 6,9 0,2 0,05Ronaldo 8,3 1,6 2,62Daniel 6,2 -0,5 0,23Carlos 5,2 -1,5 2,20Cassiano 5,8 -0,9 0,78

Soma = 22,50


Podemos agora calcular o desvio padrão do conjunto de valores:



2

1

1

N

ii

s

x x

N

22,5011 1

1,49

s

s

Voltar


• Considere um teste com cinco questões, aplicado a dez alunos. Veja a tabela abaixo.

Um exemplo do cálculo da fidedignidade de um teste


Aluno Item 1 Item 2 Item 3 Item 4 Item 5 Nota no testeJoão 4,5 0,3 5,6 8,6 9,4 28,4Maria 6,5 4,3 4,9 6,4 6,9 29Karla 7,2 5,8 8,2 3,5 6,5 31,2José 5,6 3,4 8,5 1,5 4,9 23,9Paulo 9,8 9,0 9,3 9,4 3,2 40,7Vera 7,5 5,3 5,6 3,2 9,0 30,6Kamila 6,9 4,6 6,9 5,9 4,3 28,6Ronaldo 8,3 6,9 3,5 5,8 6,5 31Daniel 6,2 3,4 9,5 9,5 6,5 35,1Carlos 5,2 2,0 4,4 3,5 9,0 24,1Cassiano 5,8 3,6 6,5 0,5 2,5 18,9


Variância em cada item


Item 1 Item 2 Item 3 Item 4 Item 5 Escore total

6,7 7,5 8,5 12,3 9,4 119,2

Soma das variâncias nos itens: 44,4

5

111

10 44,41

10 1 119,2

0,70

ii

T

Vn

n V

Voltar


Dado um conjunto de N valores de uma variável X, a média do conjunto é dada por:

Média Aritmética Simples


1 2 3 1

1

... N N

N

ii

X X X X XXN

XX

N

Símbolo de somatório

Na Média Aritmética Simples supomos que todos os valores são igualmente importantes (têm o mesmo peso).


Dado um conjunto de N valores de uma variável X, a média aritmética ponderada do conjunto é dada por:

Média Aritmética Ponderada


1 1 2 2 3 3 1 1

1 2 3 1

1

1

...

...N N N N

N N

N

i iiN

ii

p X p X p X p X p XXp p p p p

p XX

p

Na Média Aritmética Ponderada supomos que os valores não são

igualmente importantes (têm peso diferentes).

pi Peso de cada

escore.

Voltar


• É o valor em um conjunto de registros ordenados para o qual 50 % dos valores são superiores e 50 % dos valores são inferiores.

Mediana


1 2 1 1

50% dos valores 50% dos valores

... ...M M M NX X X X X X

Voltar

Mediana da distribuição

.


Valores tabelados da distribuição t de Student


glTeste Unilateral

15% 10% 5% 2,5% 2% 1% 0,5% 0,1% 0,05% Teste Bilateral

30% 20% 10% 5% 4% 2% 1% 0,2% 0,1%

1 1,9626 3,0777 6,3137 12,7062 15,8945 31,8210 63,6559 318,2888 636,5776 2 1,3862 1,8856 2,9200 4,3027 4,8487 6,9645 9,9250 22,3285 31,5998 3 1,2498 1,6377 2,3534 3,1824 3,4819 4,5407 5,8408 10,2143 12,9244 4 1,1896 1,5332 2,1318 2,7765 2,9985 3,7469 4,6041 7,1729 8,6101 5 1,1558 1,4759 2,0150 2,5706 2,7565 3,3649 4,0321 5,8935 6,8685 6 1,1342 1,4398 1,9432 2,4469 2,6122 3,1427 3,7074 5,2075 5,9587 7 1,1192 1,4149 1,8946 2,3646 2,5168 2,9979 3,4995 4,7853 5,4081 8 1,1081 1,3968 1,8595 2,3060 2,4490 2,8965 3,3554 4,5008 5,0414 9 1,0997 1,3830 1,8331 2,2622 2,3984 2,8214 3,2498 4,2969 4,7809 10 1,0931 1,3722 1,8125 2,2281 2,3593 2,7638 3,1693 4,1437 4,5868 11 1,0877 1,3634 1,7959 2,2010 2,3281 2,7181 3,1058 4,0248 4,4369 12 1,0832 1,3562 1,7823 2,1788 2,3027 2,6810 3,0545 3,9296 4,3178 13 1,0795 1,3502 1,7709 2,1604 2,2816 2,6503 3,0123 3,8520 4,2209 14 1,0763 1,3450 1,7613 2,1448 2,2638 2,6245 2,9768 3,7874 4,1403 15 1,0735 1,3406 1,7531 2,1315 2,2485 2,6025 2,9467 3,7329 4,0728 16 1,0711 1,3368 1,7459 2,1199 2,2354 2,5835 2,9208 3,6861 4,0149 17 1,0690 1,3334 1,7396 2,1098 2,2238 2,5669 2,8982 3,6458 3,9651 18 1,0672 1,3304 1,7341 2,1009 2,2137 2,5524 2,8784 3,6105 3,9217 19 1,0655 1,3277 1,7291 2,0930 2,2047 2,5395 2,8609 3,5793 3,8833 20 1,0640 1,3253 1,7247 2,0860 2,1967 2,5280 2,8453 3,5518 3,8496 21 1,0627 1,3232 1,7207 2,0796 2,1894 2,5176 2,8314 3,5271 3,8193 22 1,0614 1,3212 1,7171 2,0739 2,1829 2,5083 2,8188 3,5050 3,7922 23 1,0603 1,3195 1,7139 2,0687 2,1770 2,4999 2,8073 3,4850 3,7676 24 1,0593 1,3178 1,7109 2,0639 2,1715 2,4922 2,7970 3,4668 3,7454 25 1,0584 1,3163 1,7081 2,0595 2,1666 2,4851 2,7874 3,4502 3,7251 26 1,0575 1,3150 1,7056 2,0555 2,1620 2,4786 2,7787 3,4350 3,7067 27 1,0567 1,3137 1,7033 2,0518 2,1578 2,4727 2,7707 3,4210 3,6895 28 1,0560 1,3125 1,7011 2,0484 2,1539 2,4671 2,7633 3,4082 3,6739 29 1,0553 1,3114 1,6991 2,0452 2,1503 2,4620 2,7564 3,3963 3,6595 30 1,0547 1,3104 1,6973 2,0423 2,1470 2,4573 2,7500 3,3852 3,6460 35 1,0520 1,3062 1,6896 2,0301 2,1332 2,4377 2,7238 3,3400 3,5911 40 1,0500 1,3031 1,6839 2,0211 2,1229 2,4233 2,7045 3,3069 3,5510 50 1,0473 1,2987 1,6759 2,0086 2,1087 2,4033 2,6778 3,2614 3,4960 60 1,0455 1,2958 1,6706 2,0003 2,0994 2,3901 2,6603 3,2317 3,4602 120 1,0409 1,2886 1,6576 1,9799 2,0763 2,3578 2,6174 3,1595 3,3734 + 1,0364 1,2816 1,6449 1,9600 2,0537 2,3264 2,5758 3,0902 3,2905


Dado um conjunto de valores, a moda é o valor que mais aparece no conjunto.

Moda


1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3, , , , , , , , , , ,X X X X X X X X X X X X

A moda do conjunto de valores é o valor X1 o qual aparece seis vezes

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