Aula 6Aula 6Ótica geométrica (complementos)Ótica geométrica (complementos)

Referência: E. Hecht, óptica, Fundação Calouste Gulbekian, segunda edição portuguesa (2002);Óptica moderna – Fundamentos e Aplicações S. C. Zílio (e-book)-Desenho e Fabricação Óptica – S. C. Zílio (e-book)-Internet-Artigos RBEF, The Physics Teacher, Physics Education, American Journal of Physics, European Journalof Physics, etc...

Na aula anterior estudamos a teoria paraxial aplicada a sistemas de lentes esféricas e delgadas. Duas aproximações foram realizadas:

1- todas as lentes eram delgadas;

2- A teoria de primeira ordem era suficiente para a sua análise;

Sistemas óticos reais que exigem precisão, no entanto, não são compatíveis com estes pressupostos.estes pressupostos.

LENTES ESPESSASLENTES ESPESSAS

Foco objeto

Planoprincipal objeto

Veremos que uma lente espessa pode ser encarada como um conjunto de lentes delgadas

Fo

H1

V1

LENTES ESPESSASLENTES ESPESSAS

Plano principal imagem

Foco imagem

Veremos que uma lente espessa pode ser encarada como um conjunto de lentes delgadas

H2

Fi

V2

OS SEIS PONTOS CARDINAIS (2 focais, 2 principais e 2 nodais)OS SEIS PONTOS CARDINAIS (2 focais, 2 principais e 2 nodais)

Pontos principais objeto e imagem

H2

Fi

H1

Fo

Pontos focais

PONTOS NODAIS PONTOS NODAIS

N2N1 O

Centro ótico

Numa lente imersa num meio único,

normalmente o ar, os pontos nodais

(N1 e N2 ) e os pontos principais (H1e H2 ) coincidem

Nas lentes simétricas, os planos principais se distribuem simetricamente

Regra útil: para lentes de vidro no ar, a

separação H1 H2 é aproximadamente igual

a um terço da espessura V1 V2

A lente plástica plana de um retroprojetor pode ser usada para figuras cômicas

Formulação MatricialFormulação Matricial

Ideal para descrever sistemas com muitos elementos óticos

Y

θeYYi

θiYe

Ye = S11 Yi + S12 θiθe = S21 Yi + S22 θi

ie

i

i

e

e

RSR

Y

SS

SSY

=

=

θθ 2221

1211

innn RSSSR 11....−=

Ex. Matriz S para uma lente positiva

s

s’

ffd

d’

s

objeto

imagem

Na aproximação paraxial, d e d’ são muito menores do que f

Para o raio 1: Yi = Ye = +d’ , θi ≈ d’/f, θe = 0Para o raio 2 :Yi = Ye = -d , θi =0, θe ≈ d’/f

s

s’

=

=

f

dd

SS

SSd

Y

SS

SSY

i

i

e

e

''

0

'

2221

1211

2221

1211

θθ

raio 1

raio 1

ffd

d’

s

objeto

imagem

θi

raio 2

−

=

−

0'

2221

1211 d

SS

SS

f

dd

raio 2

−= 11

01

f

S

Temos, então:

aberraçõesaberrações

−+−=!5!3

53 θθθθsen

Teoria de terceira ordem

Paraxial ou primeira ordem

Os desvios em relação à teoria de primeira ordem dão origem às aberrações primárias.

Aberração esféricaAberração esférica: consiste na dependência da distância focal com a abertura para raios não paraxiais.

hC F

R

Aberração esférica longitudinal

Foco paraxial

R

−+

++

−=+

2

2

2

121221 11

2

11

2 iiooio sRs

n

Rss

nh

R

nn

s

n

s

n

Termo adicional

Coma:Coma: aberração primária monocromática, que degrada a imagem de objetos pontuais não axiais. A origem do coma reside no fato de que os “planos” principais só são realmente planos na região paraxial, sendo de fato superfícies curvas.

Planoprincipal objeto

Fo

Foco objeto

H1

V1

A distância focal efetiva varia quando se consideram raios que atravessam a lente em posições não axiais. Quando a imagem se forma sobre o eixo ótico, esta situação é irrelevante; no entanto, para feixes de raios oblíquos e imagens não axiais, o coma torna-se bem visível.

Ótica da partículas carregadasÓtica da partículas carregadasRefração de um feixe de partículas

dE = 0 E = 0

θr

v2y = v1y

v2x

V1V1 V2 V2

θi

θr

E = (V2 –V1)/d

v1x

v1y

Supondo que o elétron foi acelerado a partir do repouso

q(V1 –Vo )= ½ mv12

senvsenv θθ =

dE = 0 E = 0

θi

θr

v2y = v1y

v2x

Quando cruza a superfície equipotencial, a componente tangencial de sua velocidade (vosenθi) não mudará, mas a componente normal (vocosθi) mudará para vocos(θr). Então

ri senvsenv θθ 21 =V1

V1 V2 V2

E = (V2 –V1)/d

v1x

v1y

2

1

2

1

2

1

)(

)(

n

n

VV

VV

v

v

sen

sen

o

o

r

i =−

−==

θθ

Analogia com lentes óticas

+

+

-

-

+

+ +

++

+

-

-

+

+ +

+

Ótica de partículas em campos axialmente simétricos Ótica de partículas em campos axialmente simétricos

Na ausência de campos magnéticos, a equação do movimento de uma partícula carregada e escrita como

xq

dt

xdm

∂∂

=φ

2

2

xq

dt

xdm

∂∂

=φ

2

2

xq

dt

xdm

∂∂

=φ

2

2

Na ausência de fontes, a equação de Lapace pode ser escrita como

02

2

2

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

zyx

φφφ

De modo geral, não há solução analítica para a maioria dos casos, mas pode-se resolver numericamente. A maioria das lentes eletrostáticas, sao feitas por campos elétricos com simetria axial, obtidas por tubos ou aberturas cilíndricas.

Lente eletrostática consistindo de dois tubos cilindricos. a) representação esquemática, b) o potencial e sua segunda derivada, c) analogia com a ótica geométrica.

Solução numérica: Método da relaxação

2 22

2 2U U U

x y

∂ ∂∇ = +

∂ ∂

∂ ∆ ( , ) ( , )2 2Ux y Ux xx y−+∆ ∆−UUx x

∂ ∆≈

∂ ∆

( , ) ( , )2 2Ux y Ux xx y

x

−=

+∆ ∆∆

−

Segunda derivada

2

2U

x

∂∂

( 2, ) ( 2, )U x x y U x x y

x x

∂ + ∆ − −∆ = ∂ ∆

Vamos calcular o primeiro termo da expressão acima:

1( 2, ) ( 2, )U x x y U x x y

x x x

∂ ∂ = + ∆ − −∆ ∆ ∂ ∂

( 2, )U x x yx

∂+ ∆

∂

Vamos calcular o primeiro termo da expressão acima:

1( , ) ( ( , ) ( , ) ( , ) ( , ))

4U x y U x y U x y U x y U x y= + ∆ + + ∆ + −∆ + −∆

(x,y+∆)

(x,y) (x+∆,y)(x-∆,y)

(x,y-∆)

Representação de uma lente espessa

F2

P

objeto

imagem

Plano de referência

P2P1

F2

P

objeto

imagem

Plano de referência

P2P1

Plano principal

F1

f1f2

F1 F2

Q

F1

f1f2

F1 F2

Q

Plano principal

A partícula entrando na lente paralela ao eixo ótico segue uma linha reta até o plano principal P2, onde a trajetória é refratada de tal modo que passa pelo ponto focal F2.

A partícula passando pelo ponto focal F1 segue uma linha reta até o plano principal P1e é então refratada de tal modo que deixa a lente paralela ao eixo ótico.

Trajetórias paralelas na entrada, se cruzam no ponto focal F2.

Algumas relações úteis podem ser obtidas a partir da lente espessa:

2121 ))(( ffFQFP =−−

2

2

1

1 )(

)( f

FQ

fP

fM

−−=

−−=

magnificação linear (r2/r1).

Geometria de lentes

D

0.1 D

V1 V2

V1 V2 V3

D

D

0.1 D

V1 V2

V1 V2 V3

D

0.1 D

0.1 D

V1 V2

0.1 D

V3 V4

D

D

0.1 D

0.1 D

V1 V2

0.1 D

V3 V4

D

D

Programas de simulação

Lente einzel

12

16

Q/D

100 eV 90 eV 80 eV 70 eV

12 14 16 18 20 22 24 264

8

Q/D

P/D

2121 ))(( ffFQFP =−−