1

2.2. TEORIA DE SISTEMAS COM N GDL’S

2.2.1 Sistemas com 2 GDL

2.2.2 Equação Matricial do Movimento

2.2.3 Determinação de Freqüências naturais e Formas Modais

2.2.4 Vibração Forçada de Sistemas com 2 GDL

2.2.5. Equações de Lagrange

2

2.2. TEORIA DE SISTEMAS COM N GRAUS DE LIBERDADE

Estudamos vibrações em sistemas em que apenas uma coordenada era suficiente para descrever a posição destes sistemas.

Contudo, muitos sistemas mecânicos podem não ser modelados com precisão com apenas um grau de liberdade.

Nestes casos, o modelo deverá ter mais de um grau de liberdade (ou seja, serão necessárias mais de uma coordenada para descrever o movimento do sistema).

3

2.2.1. SISTEMAS COM 2 GDL

Sistemas com dois graus de liberdade são aqueles que requerem duas coordenadas independentes para descrever seus movimentos.

Exemplo:

4

Existem duas equações diferenciais do movimento para um

sistema com dois graus de liberdade.

O sistema com dois GDL possui duas freqüências naturais.

O movimento livre do sistema com dois GDL, em qualquer

uma das coordenadas, envolve as duas freqüências

naturais.

Características de Sistemas com 2 GDL’s:

Ex:)cos()cos()( 221211111 tAtAtx

)cos()cos()( 222211212 tAtAtx

5

Durante a vibração livre do sistema em uma das freqüências naturais, as amplitudes das duas coordenadas possuem uma configuração específica de movimento.

Esta configuração é chamada de modo normal, modo principal, ou modo natural de vibração.

Os conceitos acima servem para sistemas com mais de dois graus de liberdade, ou seja:

Possui N Equações do MovimentoPossui N Freqüências NaturaisPossui N Modos de Vibração

Sistema com N GDL

6

2.2.2. EQUAÇÕES DO MOVIMENTO PARA VIBRAÇÃO FORÇADA

(Equação Matricial do Movimento)

Diagrama de Corpo Livre (supondo x2 > x1):

)(1 tF )(2 tF)( 122 xxk

)( 122 xxc

11xk 23xk

23xc 11xc 1m 2m

Aplicando a 2ª Lei de Newton, vem:

7

)()()( 1221212212111 tFxkxkkxcxccxm

)()()( 2232122321222 tFxkkxkxccxcxm

)(

)(

0

0

2

1

2

1

322

221

2

1

322

221

2

1

2

1

tF

tF

x

x

kkk

kkk

x

x

ccc

ccc

x

x

m

m

)( tFxKxCxM

Estas são as Equações do Movimento ou Modelo Matemático do Sistema

8

2.2.3. DETERMINAÇÃO DAS FREQÜÊNCIAS NATURAIS E FORMAS MODAIS (VETORES MODAIS)

Sistema Livre Sem Amortecimento:

0)( 2212111 xkxkkxm

0)( 2321222 xkkxkxm

0

0

0

0

2

1

322

221

2

1

2

1

x

x

kkk

kkk

x

x

m

m

Assumindo solução harmônica:

)cos()(

)cos()(

22

11

tAtx

tAtx )cos()cos()(

)()}({

2

1

2

1

tAtA

A

tx

txtx

0

0

0

0

2

1

2

12

322

221

A

A

m

m

kkk

kkk 02 AMK

Problema de Autovalor e Autovetor

9

02 AMK

0

0

2

1

22

322

212

21

A

A

mkkk

kmkk

0

det

22

322

212

21

mkkk

kmkk

(*)

223221

2132221

421 ))(()()()( kkkkkmkkmkkmm

Equação Característica

22

21 ,

Autovalores

21 , Freqüências Naturais

Com o primeiro autovalor na equação (*) determina-se o primeiro vetor modal:

0

0

21

11

221322

212121

A

A

mkkk

kmkk

112111 /

1

AAA

Com o segundo autovalor na equação (*) determina-se o segundo vetor modal:

0

0

22

12

222322

212221

A

A

mkkk

kmkk

122212 /

1

AAA

10

Exemplo: Determinar as freqüências naturais e vetores modais do sistema abaixo:

02 211 kxkxxm

02 212 kxkxxm

Equações do Movimento:

2,1 ),cos()( itAtx ii

Assumindo solução harmônica:

0

0

2

2

2

12

2

A

A

mkk

kmk

0 xKxM

m

mM

0

0 ][

kk

kkK

2

2 ][

0

0

0

0

2

2

2

12

A

A

m

m

kk

kk

02

2 det

2

2

mkk

kmk034 2242 kkmm

m

k1 m

k32

Freqüências Naturais

2

1}{x

xx

11

0

0

2

2

21

1121

21

A

A

mkk

kmk

1

1

/

1 11

112111 A

AAA

0

0

2

2

22

1222

22

A

A

mkk

kmk

1

1

/

1 12

122212 A

AAA

1o Vetor Modal

2o Vetor Modal

12

2.2.4. RESPOSTA FORÇADA DE SISTEMA DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE (MÉTODO DIRETO)

* Sistema Forçado Sem Amortecimento

)()( )( tFtxKtxM

tF

tF

tF

tF

tx

tx

kk

kk

tx

tx

m

m

cos

cos

)(

)(

)(

)(

)(

)(

0

0

02

01

2

1

2

1

2221

1211

2

1

2

1

Dados [M], [K], {F(t)}, determinar {x(t)} em regime permanente.

Como as forças externas são harmônicas, assume-se soluções harmônicas de mesma freqüência que a excitação, ou seja, .

1 1

2 2

( )cos

( )

x t Xt

x t X

Quantidades a serem determinadas

Valor conhecido

Substituindo a resposta e aceleração na eq. do movimento, vem:

13

tF

Ft

X

X

kk

kkt

X

X

m

m

coscos

cos)(

0

0

02

01

2

1

2221

12112

2

1

2

1

02

01

2

1

22

2221

1212

11

F

F

X

X

mkk

kmk

0 )( FXZ

Vetor das amplitudes das forças externas. Valores conhecidos

Vetor das amplitudes da vibração forçada. Valores desconhecidos

Matriz Impedância. Valores conhecidos

-10( ) X Z F

02

01

12

1121

1222

22

2

1

)](det[

1

F

F

mkk

kmk

ZX

X

14

)](det[

)(

)](det[

)(

0212

1101212

02120122

221

Z

FmkFkX

Z

FkFmkX

211222

2212

11 ))(()](det[ sendo kkmkmkZ

15

Exemplo:

Excitação harmônica sendo aplicada somente na massa M e o gráfico da amplitude da resposta desta massa em função da freqüência da excitação.

Na resposta de X1 percebe-se que há duas ressonâncias, porque há duas freqüências naturais no sistema.

16

2.2.5. EQUAÇÕES DE LAGRANGE

As leis de Newton-Euler foram formuladas para uma única

partícula extendidas para sistemas de partículas e corpos

rígidos.

Na descrição do movimento, são empregadas coordenadas

físicas e forças, que podem ser representadas por vetores. Por

esta razão, esta abordagem é referida como mecânica vetorial.

A principal desvantagem desta abordagem é que esta

considera separadamente cada componente individual do

sistema, o que pode tornar o procedimento um tanto trabalhoso

para sistemas com muitos corpos rígidos conectados entre si.

17

Uma diferente abordagem, referida como mecânica analítica,

considera o sistema como um todo, sem a necessidade de

diagramas de corpos livres.

Esta abordagem (atribuída a Leibnitz e Lagrange) formula os

problemas de mecânica em termos de duas funções escalares (a

energia cinética e a energia potencial) e uma expressão

infinitesimal, o trabalho virtual associado às forças não-

conservativas.

18

A formulação de Lagrange para a determinação das equações do movimento é descrita por:

iiiiiQ

q

D

q

U

q

T

q

T

dt

d

i = 1, 2, .., N

Sendo:

T = Energia Cinética

U = Energia Potencial

D = Energia Dissipativa

qi = Coordenadas Generalizadas

Qi = Forças Externas Generalizadas

0

iii q

U

q

T

q

T

dt

d

Para sistemas conservativos:

...2

1

2

1ou

2

1 : 2

221

2 xmxmTxmTEx

...)(2

1

2

1ou

2

1 : 2

2121

2 xxkkxUkxUEx

...)(2

1

2

1ou

2

1 : 2

212211

2 xxcxcDxcDEx

19

Exemplo:

m1 m2

k0

iii q

U

q

T

q

T

dt

d

( ) ( ), 1, 2i iq t x t i

2 21 2

1 1( ) ( )

2 2T mx t mx t 2

1 21

( ) ( )2

U k x t x t

1 1 1 2( ) ( ) ( ) 0m x t kx t kx t

1 21

( ) ( )U

k x t x tx

Determinação da 1ª Equação do movimento:

1 11

1 11

( )

( )

Tm x t

x

d Tm x t

dt x

1

0T

x

De modo análogo:

2 2 2 1( ) ( ) ( ) 0m x t kx t kx t