aula 3 mate matic a finance ira

MATEMÁTICA FINANCEIRA AULA – 3

PROF. RONILSON NUNES MENDES FACEBOOK – AULAS COMENTADAS YOUTUBE – DICAS INÉDITAS

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TAXAS DE JUROS O estudo das taxas de juros é um assunto de extrema importância na resolução dos problemas de matemática financeira. As taxas abordadas neste trabalho são: - Taxas proporcionais - Taxas equivalentes - Taxa aparente, real ou de inflação - Taxa nominal e efetiva - Taxa interna de retorno –TIR

Ao final deste capítulo será feito um quadro sinóptico de todas as taxas. Um palavra de conforto!

Parece ser um assunto difícil e de muitas fórmulas. Na realidade o assunto é fácil. Precisaremos memorizar apenas duas fórmulas e a maioria das questões podem ser resolvidos pela DR1(dica de porcentagem).

TAXAS PROPORCIONAIS

Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos reduzidos à mesma unidade. Exemplo: 5% ao mês é proporcional a 10% ao bimestre.

2

10

1

5 =

É o tipo de taxa que só é utilizado quando o assunto tratado é juros simples.

O que é mais cobrado em provas são as transformações de unidades. Exercícios 1- Uma taxa de 24% ao ano, em juros simples, é proporcional a que taxa ao: a) Mês b) Trimestre c) Quadrimestre d) semestre. e) Ao dia 2 – Uma taxa de 4% ao mês, em juros simples, é proporcional a que taxa ao : a) bimestre b) trimestre c) quadrimestre d) semestre 3 - Uma taxa de 12% ao trimestre é proporcional, em juros simples, a que taxa ao quadrimestre? Dica: “Do maior para o menor dividimos e do menor para o maior multiplicamos”

dividimos Taxa maoir taxa menor Multiplicamos 4-(CAIXA)Dada a taxa anual de juros simples de 24%, qual é a taxa mensal proporcional? (A) 2% a. m. (B) 1% a. m. (C) 4% a. m. (D) 6% a. m. (E) 8% a. m.

TAXAS EQUIVALETES São aquelas que, referindo-se a períodos diferentes,

fazem com que um capital produza o mesmo montante num mesmo tempo. a)Taxas equivalentes em juros simples

Se em juros simples taxas equivalentes e taxas proporcinais são a mesma coisa,logo o procedimento de cálculo será semple o mesmo. b)Taxas equivalentes em juros compostos - Método super prática para até 3 períodos. - Método utilizando a fórmula para qualquer quantidade de períodos.

Como já mencionado essa regra pode ser utilizada

para qualquer quantidade de período Nos livros geralmente é colocado a fórmula tradicional: (1 + ia) =(1 + is)2=(1 + iq)3=(1 + it)4=(1 + iS)6 =(1 + id)360 Onde: ia – taxa ao ano is – taxa ao semestre

iq – taxa ao quadrimestre

it – taxa ao trimestre

is – taxa ao semestre

id – taxa ao dia

REGRA PRÁTICA

1 + iM = (1 + im)X iM – taxa maior im – taxa menor x – quantas vezes o período maior contém o menor REGRAS ESPECIAIS PARA TAXA EQUIVALENTES a)Cálculo da taxa maior

iM = (1 + im)X -1 b)Cálculo da taxa menor

1)1(1

−+= xMm ii

Ou

11 −+= XMm ii

Exercícios: 5-10% ao mês é equivalente, em juros compostos, a que taxa ao bimestre.




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6- 20% ao mês em juros compostos é equivalente a que taxa ao trimestre. 7- Uma taxa de 15% a.m. é equivalente, em juros compostos a quanto por cento ao bimestre? 8- Uma taxa de 12% ao trimestre em juros compostos, corresponde a que taxa ao semestre? 9- 5% ao ano, em juros compostos, é equivalente a que taxa ao biênio? 10- 44% ao ano, em juros compostos, é equivalente a que taxa ao semestre? 11- Uma taxa de 21% ao ano corresponde, em juros compostos, a que taxa ao semestre?

12-Determine a taxa anual equivalente a 5% ao mês, em juros compostos? 13 – Em juros compostos é correto arfimar que 10% ao mês é equivalente a uma taxa ao semestre superior a 60%. 14 – 20% ao quadrimestre, em juros compostos, é equivalente a uma taxa ao mês superior a 5%. 15 – Uma taxa 10% em 200 dias é equivalente a equivalente a que taxa ano. 16-(CESPE)No sistema de juros compostos, a taxa trimestral equivalente à taxa mensal de 10% é superior a 30%. 17- (FCC) Receber juros compostos de 525% ao ano é equivalente a receber juros semestrais de: a) 175,0%. b) 206,25%. c) 218,5%. d) 262,5%. e) 150,0%. 18-(CESGRANRIO-2012)Um investimento rende juros mensais de taxa 2%, com capitalização mensal. Ao final de 3 meses, o percentual de juros, em relação ao capital inicial, é mais próximo de (A) 6,00% (B) 6,08% (C) 6,12% (D) 6,18% (E) 6,24% 19-(CESGRANRIO-PETROBRÁS)-2011) A taxa anual equivalente à taxa composta trimestral de 5% é (A) 19,58% (B) 19,65% (C) 19,95% (D) 20,00% (E) 21,55% 20-(BRB-CESPE) A rentabilidade de uma aplicação foi de 13% em um período de 360 dias. Nessa situação, a taxa equivalente para 252 dias, que, no regime de juros compostos, proporcionaria a essa aplicação a mesma rentabilidade do período mencionado, é igual a

TAXA APARENTE, REAL DE INFLAÇÃO Chama-se taxa aparente aquela que vigora nas

operações correntes.

A taxa aparente pode vir em algumas questões de concursos com o nome de taxa nominal ou custo total efetivo.

Quando não há inflação, a taxa aparente é igual a taxa real(ou custo efetivo); porém, quando há inflação a taxa aparente é formada por dois componentes: taxa real e taxa de inflação:

1 + a = (1 + r). ( 1 + i) A taxa aparente é um conjugado da taxa real com a de inflação. REGRA ESPECIAIS PARA TAXA REAL E DE INFLAÇÃO a)Cálculo da taxa real

r = 11

1 −++

i

a

b)Cálculo da taxa real

i = 11

1 −++

r

a

QUESTÕES COMENTADAS 21- A taxa real de uma aplicação é 10% e no mesmo período a inflação foi de 20%. A taxa aparente dessa aplicação foi de: 22 – A taxa real de uma aplicação num determinado período foi de10% e nesse mesmo período a inflação foi de 15%. Qual foi a taxa aparente dessa aplicação: Relações importante: I-Como foi constatado acima o valor da taxa aparente é superior a soma aritmética das taxas real com a de inflação:

a > i + r 32 > 20 + 10 >30(do exemplo 1)

II - A taxa de inflação é sempre inferior a diferença entre a taxa aparente e a real.

i < a – r 20 < 32 – 10 < 22(do exemplo 1)

III –A taxa real é sempre inferior a diferença entre a taxa aparente e a taxa inflação.

r< a – i 10 < 32 -20<12

23 - A taxa real e a de inflação são respectivamente 5% e 8% é correto afirmar que a taxa aparente é superior a 13%. 24 – A taxa aparente de uma aplicação foi de 25% e nesse mesmo período a inflação foi de 10% é correto afirmar que a real foi de 15%. 25 – A taxa aparente de uma aplicação foi de 69% e no mesmo período a inflação foi de 30%. Qual foi a taxa real dessa aplicação. 26 – que taxa realmente incide sobre uma aplicação que é remunerada aparentemente a 21% a.m sabendo-se que a inflação foi de 10% a.m. 27 – Um empréstimo foi feito a uma taxa nominal de 30% ao ano. Sabendo-se que houve um ganho real de de 5%, calcule a taxa de inflação nesse período foi de? 28-(CAIXA)Um capital foi aplicado por 30 dias à taxa mensal de 1,8%.Se a inflação no período foi de 1,1%, a taxa real de juros foi de, aproximadamente, (A)) 0,69% a.m. (B) 0,75% a.m.




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(C) 1,64% a.m. (D) 1,87% a.m. (E) 2,90% a.m. 29-(CESPE)A taxa de juros real de um financiamento corresponde à diferença entre a taxa de juros efetiva e a taxa da inflação 30-(BB-CESPE – 2009) Se, para uma aplicação de um ano, um fundo de investimentos oferecer a taxa de remuneração de 12,35%, e a taxa de inflação nesse período for de 5%, então a taxa real de ganho desse fundo no período será igual a a)1,07%. b)7%. c)7,35%. d)17,35%. 31 – (CESPE)A renda nacional de um país cresceu 110% em um ano, em termos nominais. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi de 100%. O crescimento da renda real foi de: a)5% b)10% c)15% d)105% e)110% 32 - (BB-FCC) A taxa de inflação em um determinado país no ano de 2005 foi de 10%. Um investimento realizado neste mesmo período, neste país, que apresentou uma taxa real de juros negativa igual a –5%, foi efetuado a uma taxa de juros nominal igual a a) 4%. b) 4,5%. c) 5%. d) 5,5%. e) 6%. 33 - (BB-FCC) Um empréstimo foi liquidado através de pagamentos de prestações, a uma taxa de juros positiva, corrigidas pela taxa de inflação desde a data da realização do referido empréstimo. Verificou-se que o custo efetivo da operação foi de 44% e a taxa de inflação acumulada no período foi de 25%. O custo real efetivo referente a este empréstimo foi de a) 14,4%. b) 15,2%. c) 18,4%. d) 19%. e) 20%. 34 - (BB-FCC) Um investimento é realizado com uma taxa de juros nominal de 26,5% ao ano durante o prazo de exatamente um ano. Se a taxa de inflação referente a este período foi de 10%, significa que a taxa real de juros referente a esta operação foi de a) 13,85%. b) 15%. c) 16,5%. d) 18,75%. e) 23,85%. 35-(CESGRANRIO-BB-2010) Um investimento obteve variação nominal de 15,5% ao ano. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi 5%. A taxa de juros real anual para esse investimento foi (A) 0,5%. (B) 5,0%. (C) 5,5%. (D) 10,0%. (E) 10,5%. 36-(BRB – 2011) Se uma aplicação de R$ 10.000,00 pelo período de um ano produzir juros no valor de R$ 3.200,00, e se a inflação nesse período for de 20%, então a taxa de juros real da aplicação nesse período será inferior a 11%.

TABELA SINÓPSE – DICAS DE TAXA TAXA PROCEDIMENTO Proporcional

Do período menor para a maior – dividi-se Do período maior para a menor- multiplica-se

Equivalente

Equivalente – juros simples: Devemos usar o mesmo procedimento usado para taxas proporcionais Equivalente – juros compostos - períodos pequenos(até n = 3) – dica da taxa sobre taxa - períodos maiores – usamos a regra prática do Ronilson: 1 + iM = (1 + im)X

iM – período maior im – período menor x – quantas vezes o período maior contém o menor(exemplo: para transformar de taxa mensal para taxa trimestral o valor de x é 3) -Cálculo da taxa maior: iM = (1 + im)X -1

-Cálculo da taxa menor: 1)1(1

−+= xMm ii ou

11 −+= XMm ii

REAL APARENTE E DE INFLAÇÃO

- Geralmente aparecem numa mesma questão: Redundâncias: Real = efetiva = custo efetivo Aparente = nominal= custo total efetivo

1 + a = (1 + r). ( 1 + i) a – taxa aparene r – taxa real i – taxa de inflação 1- O valor da taxa aparente é superior a soma aritmética das taxas real com a de inflação: a > i + r 2 - A taxa de inflação é sempre inferior a diferença entre a taxa aparente e a real: i < a – r 3 –A taxa real é sempre inferior a diferença entre a taxa aparente e a taxa de inflação: r< a – i

-Cálculo da taxa real:r = 11

1 −++

i

a

-Cálculo da taxa real:i = 11

1 −++

r

a

NOMINAL E EFETIVA

Para sair da taxa nominal para a taxa efetiva utiliza-se o seguinte procedimento - Da nominal para o período de capitalização(mencionado) Divide-se de acordo a regra da taxa proporcional - Do valor encontrado acima para a taxa efetiva Usa-se a regra da taxa equivalente em juros compostos.

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