PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS

ENGENHARIA CIVIL

DISCIPLINA: ENG2032 – TEORIA DAS ESTRUTURAS I

Prof. Luiz Álvaro de Oliveira Júnior

AULA 25 – MÉTODO DAS FORÇAS

Resolução do exercício da aula 24 com outro sistema principal

1) Utilizando o Método das Forças, traçar o diagrama de momentos fletores da viga

hiperestática abaixo.

Numeração dos nós (esquerda para a direita): A, B, C e D.

Solução 0: Aplicação do carregamento externo

� Reações de apoio

� �� = 0 �� + � + �� + �� = 24

� = 0 4�� − 6 ∙ 4 ∙ 2 = 0 �� = 12 ��

�� = 0 4�� = 0 �� = 0 ��

� = 0 8�� + 4�� = 0 �� = 0 �� ∴ � = 12 ��

� Diagrama de momentos fletores

�� = 0 �� ∙ � � = 0 �� ∙ � �� = 0 �� ∙ � �� = 0 �� ∙ �

�� = ���

8 �� = 6 ∙ 4�

8 �� = 12 �� ∙ �

Solução 1: Aplicação do hiperestático X1 = 1 (binário unitário em B)

� Reações de apoio

� = 0 4�� + 1 = 0 �� = −0,25 ��

�� = 0 4�� = 0 �� = 0 ��

� = 0 8�� + 4�� + 1 = 0 �� = −0,25 �� ∴ � = 0,50 ��

� Diagrama de momentos fletores

�� = 0 �� ∙ � � = 1 �� ∙ � �� = 0 �� ∙ � �� = 0 �� ∙ �

Solução 2: Aplicação do hiperestático X2 = 1 (binário unitário em C)

� Reações de apoio

�� = 0 4�� + 1 = 0 �� = −0,25 ��

� = 0 4�� = 0 �� = 0 ��

�� = 0 8�� + 4� + 1 = 0 � = −0,25 �� ∴ �� = 0,50 ��

� Diagrama de momentos fletores

�� = 0 �� ∙ � � = 0 �� ∙ � �� = 1 �� ∙ � �� = 0 �� ∙ �

Cálculo dos deslocamentos

�� ∙ !" = #13 ���%&�

= − 13 4 ∙ 12 ∙ 1 = −16

�� ∙ �" = 0

�� ∙ !! = #13 ���%&�

+ #13 ���%&�

= 13 4 ∙ 1 ∙ 1 + 1

3 4 ∙ 1 ∙ 1 = 83

�� ∙ !� = #16 ���%&�

= 16 4 ∙ 1 ∙ 1 = 2

3

�� ∙ �� = #13 ���%&�

+ #13 ���%&��

= 13 4 ∙ 1 ∙ 1 + 1

3 4 ∙ 1 ∙ 1 = 83

Com esses deslocamentos, obtemos o seguinte sistema de equações:

'−160 ( + 1

3 ∙ )8 22 8* +,!,�

- = '00( +,!,�

- = '+6,4−1,6(

Reações de apoio

As reações de apoio, assim como qualquer outro efeito provocado pelo carregamento na

estrutura, podem ser calculadas como uma superposição dos efeitos determinados em cada

solução básica (0, 1 e 2, neste caso). Assim:

� = �" + �! ∙ ,! + �� ∙ ,�

�� = 12 + .−0,25/ ∙ .6,4/ + 0 ∙ .−1,6/ �� = 10,4 ��

� = 12 + .0,50/ ∙ .6,4/ + .−0,25/ ∙ .−1,6/ � = 15,60 ��

�� = 0 + .−0,25/ ∙ .6,4/ + .0,50/ ∙ .−1,6/ �� = −2,4 ��

�� = 0 + 0 ∙ .6,4/ + .−0,25/ ∙ .−1,6/ �� = 0,40 ��

Diagrama de momentos fletores

a) Cálculo formal pelo método das forças:

� = �" + �! ∙ ,! + �� ∙ ,�

�� = 0 �� ∙ �

�,012 = 0 + .−1/ ∙ .6,4/ + 0 ∙ .−1,6/ �,012 = −6,40 �� ∙ �

�,345 = 0 + .+1/ ∙ .6,4/ + 0 ∙ .−1,6/ �,012 = 6,40 �� ∙ �

��,012 = 0 + 0 ∙ .6,4/ + .−1/ ∙ .−1,6/ ��,012 = +1,60 �� ∙ �

��,345 = 0 + 0 ∙ .6,4/ + .+1/ ∙ .−1,6/ ��,345 = −1,60 �� ∙ �

�� = 0 �� ∙ �

Diagrama de esforço cortante

a) Cálculo formal pelo método das forças:

Neste caso, os cortantes também foram calculados quando obtivemos as reações de apoio.

Assim:

�� = 12 + .−0,25/ ∙ .6,4/ + 0 ∙ .−1,6/ �� = 10,4 ��

� = 12 + .0,50/ ∙ .6,4/ + .−0,25/ ∙ .−1,6/ � = 15,60 ��

�� = 0 + .−0,25/ ∙ .6,4/ + .0,50/ ∙ .−1,6/ �� = −2,4 ��

�� = 0 + 0 ∙ .6,4/ + .−0,25/ ∙ .−1,6/ �� = 0,40 ��

Observações:

Os valores de X1 e X2 correspondem exatamente aos valores dos momentos fletores nas

seções dos apoios internos da viga contínua. Portanto, esta opção do SP implica, na mesma

solução da estrutura hiperestática.

Outra vantagem desta segunda opção do SP é a facilidade no traçado do diagrama dos

momentos fletores finais. Nas seções onde foram introduzidas rótulas o valor do momento

fletor final é o próprio valor do hiperestático correspondente a cada rótula. O traçado do

diagrama ao longo das barras é obtido por uma superposição simples dos diagramas dos

casos básicos. No primeiro vão é uma superposição de um triângulo com uma parábola, no

segundo é uma superposição de dois triângulos e no terceiro é só um triângulo.