Prof Gabriela Rezende FernandesDisciplina: Anlise Estrutural 2

N0 TOTAL DE INCGNITAS = g =grau de hiperestaticidade da

INCGNITAS = ESFOROS HIPERESTTICOS (reaes de apoio e/ou esforos em excesso que a estrutura possui)

N0 TOTAL DE INCGNITAS = g =grau de hiperestaticidade da estrutura

Conhecidos os esforos hiperestticos obtm-se as reaes de apoio e os diagramas dos esforos solicitantes da estrutura

g = ge + gi

ge = grau hiperesttico externo

gi = grau hiperesttico interno

ge = grau hiperesttico externo = n0 de equaes adicionais necessrias ao clculo das reaes de apoio

g = ge + gi

ge = n0 de reaes incgnitas - n0 de eq. de equilbriogi = grau hiperesttico interno

Conhecidas as reaes de apoio, gi o nmero de esforos solicitantes necessrio conhecer para poder traar os diagramas de esforos da estrutura.

Isosttica externamente (com as equaes Y X

S Isosttica externamente (com as equaes de equilbrio consegue-se calcular as reaes de apoio)Hiperesttica internamente (no se pode traar os diagramas de esforos no trecho fechado)

Frmula prtica para o clculo de gg = 3l + 2p + s - 3n

l : n de engastes + n engastes elsticosengaste elstico: ocorre no n no articuladon engastes elsticos em um n = n de barras que chegam no n -1

l =1+(1+1+2)=5 chegam no n -1

p: n de apoios fixos + (para cada articulao: n de barras que chegam na articulao -1)s: n de apoios mveisn: n de barras

Exemplo:

l =1+(1+1+2)=5

p=2+2=4

gi = 0 ge = 8 (3+1) = 4

N de equaes de equilbrio

(3 + M (rtula) = 0)g = 0 +4 =4

l = 2 + (1+2) = 5 p= 1 + (1) = 2S = 0n = 5 g = 15+4+0-15=4

gi = 0 ge = 8 (3+1) = 4N de reaes incgnitas

g = 0 +4 =4

MA

n0 de reaes incgnitas = 5 (RVA, RHA , MA, RVB, RHB)n0 de eq. de equilbrio = 4 (Fx=0, Fy=0, M=0 e Mrtula=0)x

y

z ge= 5 4 = 1gi = 0 g = 1

g = 3l + 2p + s - 3n

MARHA

RVA

RHBRVB

n0 de reaes incgnitas = 6n0 de eq. de equilbrio = 4 (Fx=0, Fy=0, M=0 e Mrtula=0)

l = 1 + (1) = 2 p= 1 + (1) = 2S = 0n = 3 g = 6+4+0-9=1

ge= 6 4 = 2gi = 3 g = 5

l = 0 + (5) = 5 p= 3 + (1) = 4S = 0n = 6 g = 15+8+0-18=5

EXEMPLOS PRTICOS DE ESTRUTURAS HIPERESTTICAS

PrticosA)EXEMPLOS DE PRTICOS EM PONTES- Pontes em Prtico (no h aparelho de apoio entre viga e pilar, vigas e pilares formam um nico slido)

Esquema esttico: considera as vigas junto com os pilares formando um prtico:

PRTICO

Considera esses apoios como apoio fixo ou engaste dependendo da rigidez do solo onde o prtico est apoiado

PRTICO

A) EXEMPLOS DE PRTICOS EM PONTES- Pontes em Prtico (no h aparelho de apoio entre viga e pilar, vigas e pilares formam um nico slido)

ou

Esquema esttico:

2 apoios fixos : hiperesttico1 apoio fixo e 1 mvel : isosttico

2 engastes: hiperesttico

B) EXEMPLOS DE PRTICOS EM ESTRUTURAS DE EDIFCIOS: O CLCULO ESTRUTURAL PODE SER FEITO, CONSIDERANDO-SE PRTICOS PLANOS.

Anlise tridimensional: Considera um prtico tridimensional, o clculo feito com softwares comerciais baseados no mtodo dos elementos baseados no mtodo dos elementos finitos

Anlise plana: desmembra o vigas

pilares

Anlise plana: desmembra o prtico tridimensional em vrios prticos planos

Ponte em viga contnua

H um aparelho de apoio entre a viga e o pilar. As vigas contnuas so calculadas primeiro (cada apoio da viga representa contnuas so calculadas primeiro (cada apoio da viga representa o apoio sobre um pilar ). As reaes calculadas nas vigas sero cargas atuantes nos pilares.

Vigas contnuas em edifcios

Ao invs de modelar o edifcio como prtico, pode calcular as vigas contnuas separadas dos pilares. -As lajes so analisadas primeiro.-Transfere para as vigas as reaes das lajes, que somadas s outras cargas definiro o carregamento nas vigas. Calculam-se as vigas contnuas (cada apoio da viga vigas contnuas (cada apoio da viga representa o apoio sobre um pilar ou sobre outra viga). --As reaes calculadas nas vigas sero cargas atuantes nos pilares, que so calculados por ltimo.

V1

V2V3 V4 V1

A B

Rpilar Rpilar

RV3 RV4

Se V3 e V4 se apiam em V1, V2 ,V5 e V6V5

V6

V2

A B

RV RV

RV3 RV4 V3

RV1 RV6RV2 RV5

V4

Vigas contnuas

RV1 RV6RV2 RV5

Vigas contnuas

V1

V2V3 V4

Os esforos em V1, V7, V8 e V6 podem ser calculados considerando prticos planos.V5

V6

V7

V8

RV3 RV4

No caso do edifcio ter 2 andares, se V3 e V4 se apiam em V1, V2 ,V5 e V6

Prtico plano formado com a V1 e os 2 pilares da extremidade:

RV2 RV5

Prtico plano formado com a V7 e os 2 pilares da extremidade:

RV3 RV4 RV2 RV5

Exemplo de grelhas em pavimentos de edifcios:

Se o pavimento estiver sujeito apenas a cargas transversais ao seu plano, os esforos nas vigas podem ser calculados considerando-se a grelha:

Y

X

z

RV RV

RV

Exemplo: seja a estrutura (a) hiperesttica: g = ge= 6 3 = 3

a Tipos de solicitao que a estrutura pode estar sujeita:

Carregamento externo, variao de temperatura, recalque de apoio.

Y

X

a

ROTEIRO DE SOLUO:1. OBTENO DO SISTEMA PRINCIPAL:Transforma a estrutura hiperesttica (a) em estrutura isosttica rompendo g vnculos quaisquer e aplicando os esforos correspondentes obtm estrutura (b)

b Y

X

SISTEMA PRINCIPAL (SP) ESTRUTURA ISOSTTICA

Incgnitas: esforos hiperestticos: X , X e X

b Y

X

X1 X2

X3 A B

Incgnitas: esforos hiperestticos: X1, X2 e X3

As estruturas a e b so iguais estaticamente.Para ter compatibilidade de deformaes entre a e b, os deslocamentos nas direes dos vnculos rompidos (A, B e HB)devem ser nulos no SP (pois estes eram nulos na estrutura original a)Para uma mesma estrutura hiperesttica, pode-se ter vrios sistemas principais. Chega-se a mesma soluo, independente do sistema principal adotado. Para facilitar os clculos, deve-se escolher um SP, que gere diagramas de esforos mais simples. Para prticos recomenda-se colocar rtulas nos ns da estrutura.

2. EQUAES DE COMPATIBILIDADE ELSTICA: (equaes adicionais que se deve ter para resolver a estrutura)

Para estruturas com comportamento elstico linear e pequenas deformaes vale o princpio da superposio de efeitos. Portanto:

X1 X2

X3 A B

SP

deslocamento na direo e posio do hiperesttico XSejam:

]1[cos

1=+

=

i

ihiperesttdeN

ii XaapenassujeitoSPX

Soluo do Sistema Principal (SP) com a solicitao externa e todos os hiperestticos aplicados

= [ SP com solicitao externa] +

ij deslocamento na direo e posio do hiperesttico Xi devido apenas ao carregamento Xj =1

i0 deslocamento na direo e posio do hiperesttico Xi devido apenas solicitao externa (carga, recalque ou temperatura)

Soluo do Sistema Principal com a solicitao externa e todos os hiperestticos aplicados = a + b + c +d

X3

X2X1

a) b)+ X +

20

Y

X

X1 X2

X3 A B

Sistema Principal com a solicitao externa

c) d)

Sistema Principal com X1 =1 aplicado

X1=111 21

31

+ X1 +10

30

c) d)

Sistema Principal com X2 = 1 aplicado Sistema Principal com X3 =1

aplicado

12 22

32

+ X2+ X3 X3=1

X2=1 13 23

33

A = 10 + 11 X1 + 12 X2 + 13 X3 B = 20 + 21 X1 + 22 X2 + 23 X3 HB = 30 + 31 X1 + 32 X2 + 33 X3

Portanto, considerando-se o princpio da superposio de efeitos:

Para ter compatibilidade de deformaes entre a estrutura original e o

10 + 11 X1 + 12 X2 + 13 X3 = 020 + 21 X1 + 22 X2 + 23 X3 = 030 + 31 X1 + 32 X2 + 33 X3 = 0

Para ter compatibilidade de deformaes entre a estrutura original e o sistema principal A = B = HB = 0. Portanto, obtm-se o seguinte sistema de equaes:

Incgnitas do sistema: esforos hiperestticos: X1, X2 e X3Deslocamentos ij e i0 : so valores conhecidos e so

calculados atravs do PTV

3.1 Clculo do deslocamento ij na direo i devido ao esforo Xj = 1:

Estado de carregamento: estrutura sujeita carga virtual na direo i . Resolve a estrutura obtm

3. CLCULO DOS DESLOCAMENTOS ij e i0 : atravs do PTV

FMD1=iP

Estado de deformao: estrutura sujeita ao carregamento real Xj = 1 Resolve a estrutura obtm

3.2 Clculo do deslocamento i0 na direo i devido

DMF

FMD

Combina os diagramas e , atravs das tabelas obtm ijDMF FMD

3.2 Clculo do deslocamento i0 na direo i devido solicitao externa

Estado de carregamento: igual ao item 3.1

Estado de deformao: depende do tipo de solicitao externa

3.2 Clculo do deslocamento i0 na direo i devido solicitao externa

Estado de deformao: estrutura sujeita ao carregamento externoResolve a estrutura obtm

3.2.a)Solicitao externa = Carregamento externo

DMF

Combina os diagramas e , atravs das tabelas obtm i0DMF FMDCombina os diagramas e , atravs das tabelas obtm i0

3.2.b)Solicitao externa = Variao linear de temperatura T i0 = itEstado de deformao: estrutura sujeita a T

Em estruturas isostticas os deslocamentos devido a T ocorrem sem que se desenvolvam esforos, h apenas deformaes Em estruturas hiperestticas os deslocamentos devido a T provocam deformaes e esforos

Sistema principal estrutura isosttica no h esforos devido a T, apenas deformaes

3.2.b)Solicitao externa = Variao linear de temperatura T (continuao)

T = ti te h

te t

Seja a estrutura, cujas fibras externas sofrem uma variao de temperatura diferente daquela que ocorre nas fibras internas:

te: variao de temperatura na fibras externasti: variao de temperatura nas fibras internas

te

ti

h

h ti

T linear ao longo de hti

h: altura da seo transversal:h

d: :variao de comprimento (deslocamento axial relativo, na direo de x)

2 sees distantes de ds ( ) se deformam da seguinte forma:

de d

sxrr

=

3.2.b)Solicitao externa = Variao linear de temperatura T (continuao)

No CG ocorrem duas deformaes:

tg: variao de temperatura no CG

de = te ds

di= ti dsFibras externas:

Fibras internas:

axial relativo, na direo de x): Coeficiente de dilatao do material

ds

h

di

d

dCGCG

hx ds

d

No CG ocorrem duas deformaes:dCG = tg ds

( ) ( ) ( ) dsh

tdsh

tt

hdddtgd eiei ====

Rotao relativa

No CG

dCG = tg ds

dsh

td =sxrr

=

dCG = tg dx

dxh

td =

3.2.b)Solicitao externa = Variao linear de temperatura T (continuao)

( ) ( ) ( ) MNggCGit Ah tAtdxMh tdxNtdMdN +=+=+= O PTV em termos das deformaes reais:

OBS: Se escrevesse o PTV em termos dos esforos reais, as integrais se anulariam. Ento, nesse caso, deve-se escrever o PTV em termos das deformaes reais.

xxxhh

NA rea total do diagrama de

MA rea total do diagrama de M

N

3.2.c)Solicitao externa = Recalques de apoio i0 = ir

Em estruturas isostticas os recalques provocam apenas deslocamentos de corpo rgido (no h deformao e esforos, pois todos os apoios tm os mesmos

V

V

Estado de deformao: estrutura sujeita a recalques

todos os apoios tm os mesmos deslocamentos ou recalques)

Em estruturas hiperestticas os recalques provocam deformaes e esforos, pois como a estrutura mais rgida, os vnculos impedem que todos os pontos da estrutura tenham os mesmos deslocamentos. Portanto, cada apoio vai ter um recalque diferente do outro, o que faz com que a estrutura se deforme.

h h

Na estrutura isosttica, o recalque provoca um movimento de corpo rgido esforos e deformaes so nulos trabalho virtual das foras internas nulo, ou seja,

diferente do outro, o que faz com que a estrutura se deforme.

Wi = 0Sistema principal estrutura isosttica

( )( ) +++=+

l

tii

ii

ii dMdvVdMdNRP

PTV:

3.2.c)Solicitao externa = Recalques de apoio (continuao)

=

=

recalquesN

iiiir R

1'

1=iP0

1''

=+ =

recalquesN

iiiiri RP

1=P

PTV

Wi = 0 ( ) 0=+++= l

ti dMdvVdMdNW

Reao de apoio no estado de carregamento (devido a ), na 'iR

1=iPReao de apoio no estado de carregamento (devido a ), na direo do recalque real i

4 SOLUO DO SISTEMA DE EQUAES

101131211 X { } [ ] { }1 =X

10 + 11 X1 + 12 X2 + 13 X3 = 020 + 21 X1 + 22 X2 + 23 X3 = 030 + 31 X1 + 32 X2 + 33 X3 = 0

ou

=

30

20

3

2

333231

232221

XX

{ } [ ] { }0=X

p/ variao de temperatura:

{ } { }

==

t

t

t

t

3

2

1

0

p/ recalque de apoio

ou

{ } { }

==

r

r

r

r

3

2

1

0

[] a matriz de flexibilidade (ij= ji de acordo com o teorema de Maxwell){X} o vetor soluo contm os esforos hiperestticos {0} o vetor dos termos da solicitao externa (devido carga, t ou

recalque)

t3 r3

5. OBTENO DOS ESFOROS E REAES DE APOIO FINAIS: E

Pelo Princpio da superposio de efeitos:

=

+=g

iii XEEE

10

O valor final do esforo ou reao de apoio em um ponto qualquer da estrutura dado por:

=i 1

a) para carregamento externo: E0 = valor do esforo (no SP) obtido no ponto, considerando somente a carga externa

Valor deE0 num ponto qualquer da estrutura:

b) para variao de temperatura (esforos so nulos): E0 = 0 c) para recalque (esforos so nulos): E0 = 0 Valor de Ei num ponto qualquer da estrutura: o valor do esforo obtido no ponto, considerando somente Xi = 1

Obs: pode-se ter diversos SP. Deve-se adotar um SP para o qual os diagramas a combinar sejam simples. Para prticos recomenda-se colocar rtulas nos ns da estrutura

ROTEIRO DE CLCULO:1. Clculo do grau de hiperestaticidade (g = ge + gi)2. Obteno do Sistema Principal3. Resoluo do SP sujeito, separadamente, ao carregamento externo 3. Resoluo do SP sujeito, separadamente, ao carregamento externo

e cada um dos esforos hiperestticos4. Clculo de ij e i0 (ou ir ou it) 5. Soluo do sistema de equaes de compatibilidade elstica

6. Obteno dos esforos e reaes de apoio finais

{ } [ ] { }01 =X6. Obteno dos esforos e reaes de apoio finais

=

+=g

iii XEEE

10

Se a estrutura plana, elstica e geometricamente simtrica

SIMPLIFICAES NO CLCULODE ESTRUTURAS SIMTRICAS

Se a estrutura plana, elstica e geometricamente simtrica

1 SIMPLIFICAO: corta a estrutura na seo S de simetria eresolve apenas metade da estrutura (possvel apenas para estruturasabertas)

Dependendo do carregamento e da posio da seo de simetria S,Dependendo do carregamento e da posio da seo de simetria S,pode-se concluir que 1 ou mais esforos em S so nulos 2SIMPLIFICAO: h diminuio do g (n de esforos hiperestticos)

VANTAGENS DE CONSIDERAR A SIMETRIA:

1. H reduo do n de graus de hiperestaticidade (g)2. Estrutura a ser resolvida apenas a metade da original2. Estrutura a ser resolvida apenas a metade da original

1. Para solicitao simtrica: Os diagramas solicitantes da outra metade da estrutura so simtricos (mesmos valores e mesmos sinais) para momento e esforo normal e anti-simtrico (mesmos valores, mas sinais

OBTENO DOS DIAGRAMAS SOLICITANTES DA OUTRA METADE:

esforo normal e anti-simtrico (mesmos valores, mas sinais contrrios) para esforo cortante 2. Para solicitao anti-simtrica: Os diagramas solicitantes da outra metade da estrutura so anti-simtricos para momento e esforo normal e simtrico para esforo cortante

1. Se o eixo de simetria intercepta ortogonalmente a barra na seo S de simetria:

Para estruturas planas, elsticas e geometricamente simtricas com solicitaes simtricas:

Em S, o deslocamento horizontal e rotao so nulos (H e provocados pelo lado da esquerda so anulados pelos H e

Portanto, na seo S de simetria h apenas deslocamentos verticais:0=

0V

0NS 0H = 0M S

provocados pelo lado da esquerda so anulados pelos H e provocados pelo lado da direita):

0QS = Exemplos:

Em SExemplos:

S Como :0QS = Sist. Principal = SX1

X2aa

a)

b) Estrutura simtrica com Diminuio uniforme de TemperaturaS

S X1X2

Outros exemplos de estruturas simtricas com solicitaes simtricas

Como :0QS =Sist. Principal =

c) Estrutura fechada: S

X1X2

X1X2

(Corta em S)

a ab b

a a

Como :0QS = Sist. Principal =

a a

0=0H =

Para estrutura simtrica com solicitao simtrica, se o eixo de simetria intercepta ortogonalmente a barra na seo S de simetria:

Outro modo de soluo para estruturas abertas:

SPP

TT SP

T

Rompe a estrutura na seo de simetria S, coloca um vnculo que impea H e e permita v; ento adota o sistema principal que preferir.

Exemplo:

a

S P P B C

a

S TT

a

bc c

b

g = ge = 6 - 3 = 3

STEstrutura a ser resolvida Reaes: M

e RHg = ge = 5-3 = 2(o g diminuiu de 3 pra 2)

a

b c c b

T T A

B C

D

2.Se o eixo de simetria atravessa toda a barra na seo S de simetria:

Na seo de simetria S h apenas deslocamentos verticais. Portanto:

0=0 0=

Para estruturas planas, elsticas e geometricamente simtricas com solicitaes simtricas:

0=0V 0H =

Mas se v estiver impedido por um apoio na extremidade da barra rompe a estrutura em S e coloca um engaste, pois em S ter: v = H = = 0.

0V =

P P Exemplo:

P

a

b c c b

S P P

T T D

S P

T Estrutura a ser

resolvida

g = 9 3 = 6g = 6 3 = 3

(g diminuiu de 6 para 3)

a

b c c b

S P P

T T D

Exemplo:

S P

T Estrutura a ser

resolvida

g = 9 3 = 6g = 6 3 = 3

g = 9 3 = 6

v impedido pelo engaste em D Portanto, em S: v = H = = 0

Na barra SD h apenas esforo normal constante igual a: N = 2Rvs, onde Rvs a reao vertical calculada no engaste em S.

Vantagens: h reduo de 3 graus hiperestticos, alm da estrutura a ser resolvida ser bem menor !

1. Se o eixo de simetria atravessa ortogonalmente a barra na seo S de simetria:

Para estruturas planas, elsticas e geometricamente simtricas com solicitaes anti-simtricas:

=Em S o deslocamento vertical nulo (v provocado pelo lado da

0V =Em S o deslocamento vertical nulo (v provocado pelo lado da esquerda anulado pelos v provocado pelo lado da direita):

Exemplos:

0V = 0QS

Portanto, na seo S de simetria h deslocamento horizontal e rotao: 0 0NS =0H 0M S =

Exemplos:

S Se Sist. principal S

X1

a a0M S =

0NS =

a)

Estrutura simtrica sujeita a recalque de apoio anti-simtrico

S SSe

Sist. principal

X1

a a

0M S =0NS =

b)

Estrutura fechada:

S Se Sist. principalX1

X1

(Corta em S)

Sist. principala ab b

a a

0M S =0N S =

c)

Para estruturas simtricas com solicitaes anti-simtricas, se o eixo de simetria atravessa ortogonalmente a barra na seo S de simetria : 0V =

Outro modo de soluo para estruturas abertas:

Rompe a estrutura na seo de simetria S, coloca um vnculo Rompe a estrutura na seo de simetria S, coloca um vnculo que impea v e permita H e ; ento adota o sistema principal que preferir.

SPP

TTbb

SP

TEstrutura a ser

Exemplo:

a S P P

T T

a a

bc c

b

g = ge = 6 - 3 = 3

Estrutura a ser resolvida

g = ge = 4 - 3 = 1

b c c b

T T

2. O eixo de simetria atravessa toda a barra na seo S de simetria:

Para estruturas planas, elsticas e geometricamente simtricas com solicitaes anti-simtricas:

Na seo de simetria S h deslocamento horizontal e rotao:00V = 0H

a S

P P

T T I

As cargas dos lados esquerdo e direito da barra contribuem igualmente para sua deformao total metade da barra solicitada pelo carregamento da esquerda e a outra metade pelo carregamento da direita parte a barra ao meio e resolve metade da estrutura

S P

T I/2 Estrutura a ser

resolvida

Exemplo:

b c c b

T T

D

I

b c

T I/2 D

resolvida

g = 9 3 = 6

g = 6 3 = 3Para a outra metade: DMF e DEN so anti-simtricos e DEQ simtrico Para a barra SD o DMF o dobro daquele obtido com essa metade

I: momento de inrcia

Para estruturas planas, elsticas e geometricamente simtricas com solicitao qualquer, para facilitar o clculo pode-se resolv-la da seguinte maneira:

1. Decompe o carregamento em parcelas simtrica e anti-simtrica2. Resolve metade da estrutura com o carregamento simtrico (Para 2. Resolve metade da estrutura com o carregamento simtrico (Para a outra metade: DMF e DEN so simtricos e DEQ anti-simtrico)3. Resolve metade da estrutura com o carregamento anti-simtrico (Para a outra metade: DMF e DEN so anti-simtricos e DEQ simtrico)4. Os diagramas solicitantes finais so obtidos somando os 4. Os diagramas solicitantes finais so obtidos somando os diagramas dos itens 2 e 3.

VANTAGEM: apesar de ter que resolver a estrutura para 2 carregamentos diferentes, a estrutura a ser resolvida a metade da original, alm de haver reduo do g.

a

P

T

a

P/2 P/2

Exemplos:

= +

a

P/2 P/2

Carregamento simtrico

Carregamento anti-simtrico

b c d

T

d q1

q2

b c

a

b c

T/2 T/2

b c

= + a

b c

T/2 T/2

b c

= +

q1/2 q2/2 q2/2

q1/2 q1 q1/2 q2/2 q2/2

q1/2

a a b c

c c c c

d d q1

q2

d d q1/2

q2/2

q1/2

d d q1/2

q2/2

q1/2

q2/2 = +