Aula 2

Introdução à Mecânica e Biomecânica

Vetores

• Entidade com intensidade, direção e sentido

• Todas as flechas representam um mesmo vetor!

Sistema de coordenadas

• Um vetor geralmente é medido com a ajuda de um sistema de coordenadas cartesiano

• Representação final: (i e j são versores)

vetor)do (direção tgtg

vetor)do es(component cos , sen

vetor)do (módulo

1-

22

=⇔=

==

+=

x

y

x

y

xy

yx

V

V

V

V

VVVV

VVV

θθ

θθrr

r

j irrr

yx VVV +=

Soma e subtração de vetores

Ar

Br

Ar

Br

XAr

YAr

YBr

XBr

Soma e subtração de vetores

Ar

Br

XAr

YAr

YBr

XBr

( ) ( ) j irrrr

YYXX BABABA +++=+

BArr

+

Soma e subtração de vetores

Ar

Br

XAr

YAr

YBr

XBr

( ) ( ) j irrrr

YYXX BABABA −+−=−

BArr

−

Exemplo: São dados os vetores

a) Represente graficamente os vetores dados e o vetor

b) Determine o comprimento do vetor

j3i ; ji2rrrrrr

+=+= BA

BArr

+

BArr

−

Cinemática

• Ciência que descreve o movimento, sem se

preocupar com sua causa

)( tts ∆+r

)(tsr

)()( tsttssrrr

−∆+=∆

Origem da referência

Cinemática

• Ciência que descreve o movimento, sem se

preocupar com sua causa

)( tts ∆+r

)(tsr

)(tvr

)( ttv ∆+r

Origem da referência

Definições de cinemática

• Deslocamento:

• Velocidade média

• Velocidade instantânea

)()( tsttssrrr

−∆+=∆

t

s

t

tsttsvmédia

∆

∆=

∆

−∆+=

rrrr )()(

t

stv

t ∆

∆=

→∆

rr

0lim)(

Definições de cinemática

• Aceleração média:

• Aceleração instantânea:

t

v

t

tvttvamédia

∆

∆=

∆

−∆+=

rrrr )()(

t

vta

t ∆

∆=

→∆

rr

0lim)(

Regimes de movimento unidimensional

• Movimento retilíneo uniforme: velocidade é constante

• Gráficos do M.R.U. unidimensional:

0) t(para )( 00 =+= tvstsvrr

s

t

v

t

• Movimento retilíneo uniformemente variado: aceleração éconstante

• Gráficos do M.R.U. unidimensional:

2)(

2

00

tatvstsrrrr

++=

v

t

a

t

tavtvrrr

+= 0)(

Regimes de movimento unidimensional

Exemplo 1: Quanto tempo leva um objeto para cair de

uma altura de h = 45 m, partindo do repouso? Qual seria a

altura inicial do objeto se o tempo da queda for dobro?

Exemplo 2: No instante t = 0 parte um objeto da origem do

plano xy com velocidade: v = 2 i + 4 j m/s. Qual será sua

posição depois de 10 s?

Exemplo 3: A Posição de um objeto que se movimenta na direção +x é dada por: x(t) = 5 + 2 t + 10 t2 m

Determinar: a)Posição inicial; b)Velocidade em qualquer instante; c)Aceleração

Movimento bidimensional: movimento balístico

2

2

00

attvss yyy ++= tvss xxx 00 +=

Exemplo: Um corpo é lançado com ângulo θ em relação à

horizontal, com velocidade inicial de módulo 20m/s.

Sabendo que cos θ=0,8 e sen θ=0,6:

a)Determine o vetor velocidade inicial do corpo

b)Determine o vetor posição do corpo no instante t=1s

c)Determine a distância do corpo até a origem, quando o corpo está no ponto mais alto da trajetória

Leis de Newton

• 1ª. Lei: Um corpo livre da ação de forças tende

a permanecer em repouso ou em M.R.U.

• 2ª. Lei: A ação de todas as forças sobre um

corpo é igual à massa vezes o vetor aceleração:

amFrr

=

Exemplo: Um corpo é sujeito à ação de duas forças:

F1= 2i + 3j (N) e F2= -3i + 4j (N)

a) Determine a força resultante que age sobre o corpo

b) Determine sua aceleração, sabendo que m=2kg

c) Determine o módulo da força F3 que deve ser aplicada

para que o corpo permaneça em repouso

Tipos de forças: força gravitacional

Massas se atraem proporcionalmente ao produto de suas massas e ao inverso do quadrado de sua distância

No caso da superfície terrestre, considerando pequenas as variações na distância, pode-se assumir:

2

12

21

r

mGmF nalgravitacio r

r=

gmF

constgR

Gm

r

Gm

Terra

TerraTerra

rr

r

=

== .)(22

12

Tipos de forças: forças elásticas

xkF

xkllkF

elástica

externa

rr

r

−=

=−= )( 0Lei de Hooke:

Tipos de forças: forças elásticas

Tração Compressão

FlexãoTorção

Exemplo: Um corpo de massa m=5kg se encontra suspenso

por uma mola, e em repouso. Nesta situação, o

comprimento da mola é de 5cm. O comprimento natural da

mola é de 1cm. Determine a constante elástica da mola

• Grau de elasticidade: módulo de Young:

)/(

)/(

0LL

AFY

∆=

Exemplo 1: Uma pessoa de massa 80kg apóia todo o seu

peso em uma de suas pernas. Determine a fração de

encurtamento sofrido pelo osso, nesta situação (área do

osso: 4 cm2; módulo de Young do osso: ~2 x 107 N/m2)

Exemplo 2: A resistência física da tíbia com ponto de

fratura é 5 x 104 N. Um homem de m = 75 kg salta sem

dobrar os joelhos, a partir de uma altura h gerando um

contração da tíbia de 1 cm. Para qual h o osso fratura?

Tipos de forças: forças de atrito

F

NFat µ≤

θ

FNfE

mg

x

y

mg

fE FN

θ

mg cosθ mg senθ

Para qual ânguloθC o bloco começa aescorregar sobre um plano inclinado?

No ângulo crítico, temos: Fat = µE N

Componente x das Forças: - µE N + mg senθ = 0

Componente y das Forças: N - mg cosθ = 0

µE = tg θC

µE ⇒ Coeficiente do atrito estático = tangente do ângulo de iminência de escorregamento

Exemplo: Plano Inclinado

Exemplo : Uma pessoa puxa, por meio de uma corda, um

bloco de massa 50 kg que se encontra apoiado no chão

(horizontal), de acordo com a figura. Sabe-se que µ=0,2

F

a) Qual a melhor forma de puxar o bloco? Horizontalmente

ou com F inclinada? Por quê?

b) Supondo que a inclinação de F com a horizontal seja de

30 graus e o módulo de F seja 100N, calcule a aceleração

do bloco

Tipos de forças: forças musculares

• Ação muscular é provocada por sinais conduzidos pelos neurônios • A força máxima do músculo depende da sua seção transversal e

pode atingir até 3,6 x 105 N/m2

• Contração estática (isomérica) do músculo:

Tensão não é suficiente para gerar ummovimento, músculo não altera o comprimento:

⇒ EQuímica= ETérmica

• Contração dinâmica (isotônica) do músculo:

Tensão produzida gera movimento, o músculo produz energia mecânica:

⇒ EQuímica. = EMecânica + ETérmica

Alavancas

Alavanca: Sistema mecânico que permite através da aplicação de uma pequena força F- equilibrar ou mover um

corpo que exerce uma força maior F+

⇒ Razão F+/ F-: Vantagem mecânica

• Necessidade de pelo menos duas forças, potência P, resistência R e um ponto de apoio O

F2

α = max

F3

α ≈ 0

Ex: Porta pesada

Alavancas: torque de uma força

dFFrMrvrr

== θsen

Exemplos de alavanca

Corpo humano: Ossos atuam como barra solida, onde são aplicadas em certos pontos (alavanca) as forças musculares.

Condições de equilíbrio estático de

um corpo

• A soma de todas as forças é nula

• A soma de todos os torques é nula

0...321 =+++ FFF

0...321 =+++ MMM

Exemplo: braço/antebraço

Calcule a força muscular no diagrama, para que o conjunto permaneça em repouso

FM

60 N25 N

O

L = 36 cm l1 = 4cm

l2 = 20 cm

FN