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Curso Tecnologia em Automação

FMA – Profa Gisele – 1º sem de 2015

Aula 2: Função

1) Conceito de função

I) Introdução histórica

O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. Este conceito sofreu uma

grande evolução ao longo dos séculos, sendo que a introdução do método analítico na definição

de função (século XVI, XVII) veio revolucionar a Matemática.

Desde o tempo dos Gregos até a Idade Moderna a teoria dominante era a Geometria Euclidiana

que tinha como elementos base: o ponto, a reta e o plano.

Vai ser a partir desta época que uma nova teoria, o Cálculo Infinitesimal, vai surgir e a noção de

função vai ser um dos fundamentos dessa teoria. Dessa forma, a origem da noção de função

confunde-se com os primórdios do Cálculo Infinitesimal.

II) Introdução teórica

No estudo científico de qualquer fato sempre procuramos identificar grandezas mensuráveis ligadas a

ele e, em seguida, estabelecer as relações existentes entre essas grandezas.

A temperatura de ebulição da água depende da altitude (o ponto de ebulição diminui quando a altitude

aumenta). Os juros pagos sobre um investimento dependem do tempo que o dinheiro permanece investido,

o preço pago pelo abastecimento de um carro, seja a álcool ou gasolina, depende da quantidade de litros,

...

Em todos os casos, o valor de uma variável, que podemos chamar de y, depende do valor de outra, que

podemos denominar de x, onde para cada valor x obtemos um único valor de y. Simbolicamente, temos:

y = f (x) (lê-se y é igual a f de x)

onde: x: variável independente, y: variável dependente e f representa a função.

Muitas vezes, o valor de y é dado por uma regra ou fórmula que diz como calculá-lo a partir da

variável x.

Exemplos:

1) Em uma indústria de autopeças, o custo de produção de peças é de R$ 12,00 fixo mais um custo

variável de R$ 0,70 por cada unidade produzida.

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a) Determine a lei algébrica da função que indica o custo total (C(x)) para a produção de (x) unidades.

b) Qual o custo, em reais, para a produção de 500 peças? c) Se em certo mês o custo de produção foi de R$ 117,00, quantas unidades foram produzidas?

2) A fórmula que dá o número do sapato (N) em função do comprimento (c) do pé, em centímetros,

é

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285)(

ccN . Responda os testes abaixo:

Para uma pessoa que tem o comprimento do pé igual a 20 cm, o número sugerido pela fórmula é:

a) 42 b) 40 c) 38 d) 34 e) 32

Qual é o comprimento do pé de uma pessoa que calça número 42?

a) 28 cm b) 32 cm c) 34 cm d) 35 cm e) 36 cm

Definição:

Uma função f de um conjunto A em um conjunto B é uma regra que associa a cada elemento x A

exatamente um único elemento yB.

Notação: f: AB ( f é uma função de A em B)

Suponhamos , por exemplo, que temos dois conjuntos: um conjunto de nomes de pessoas: A ={Natália,

Antonio, Daniel, Maria,Cláudia }, e um conjunto de números: B = {1,2,3,4,5,6 }. Uma relação de A em B

pode ser aquela que associa a cada nome o seu número correspondente,em ordem alfabética.

Podemos representar essa relação que é uma função por meio de um diagrama chamado diagrama de

flechas( diagrama de

A = Domínio da função (Dom f) , ou seja, é o conjunto dos possíveis valores da variável independente

B= Contradomínio da função (CD f) , ou seja, é o conjunto dos possíveis valores da variável dependente

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Conjunto Imagem (Im f) : é o conjunto formado pelos valores encontrados para a variável independente

No diagrama acima temos:

Dom f: A

CD f : B

Im f: { 1,2,3,4,5}

Exemplo: 1.) Verificar se as relações abaixo representadas nos diagramas de flechas são funções ou não.

Justifique sua resposta.

2.) O diagrama de flechas ao lado representa uma função de A em B. Complete o que se pede:

a) Df =

b) CDf =

c) Imf =

d) x = 4 y =

e) f(x) = 4 x = f) f(2) = g) f(3) =

Funções Reais de uma Variável Real

Estudaremos as funções que têm como domínio um subconjunto X R cujos valores f(x) para todo xX,

são números reais.

Representações de uma função

Lei algébrica: É a fórmula matemática que relaciona as variáveis.

Exemplo: f (x) = 5x2 – 3x + 2, y = 3x + 2

Gráfico: representação geométrica no plano cartesiano

Plano Cartesiano ( 2) Par ordenado: (x, y) A = (x, y) representa um ponto no plano cartesiano x e y representam suas coordenadas.

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x: abscissa y : ordenada

1) Represente no plano cartesiano, os elementos da função f: A B , A= {-2,-1,0,1,2} ;B= { -

1,0,1,2,3,4}, definida por y = f(x) = x+1

2) Represente no plano cartesiano, o gráfico da função f: : A B , A= [-2,2] ;B= [-1,4] definida por y

= f(x) = x+1

.

x

yA

eixo x

eixo y

eixo das

ordenadas

eixo das

abscissas

x y

x y

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3) O gráfico ao lado mostra a temperatura num dia de inverno em Campos do Jordão (SP).

a) Em que intervalo a temperatura permaneceu negativa?

b) Em que intervalo a temperatura permaneceu positiva?

c) Em que momento a temperatura foi nula?

Função crescente e decrescente

Definição: Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é crescente neste intervalo se para

quaisquer x1 e x2 I, x1 < x2, temos f (x1) ≤ f (x2)

Definição: Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é decrescente neste intervalo se para

quaisquer x1 e x2 I, x1 < x2, temos f (x1) ≥ f (x2)

Se uma função é crescente ou decrescente em um intervalo, dizemos que é monótona neste intervalo.

Exemplo:

1) Considere a função f (x) = 3x – 1

a) Complete a tabela abaixo:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = f (x)

b) Classifique a função acima em crescente ou decrescente.

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2) Considere a função cujo gráfico está abaixo:

Classifique em (V) verdadeiro e (F) falso:

a) No intervalo x [2, 7] a função é crescente.

b) O valor mínimo da função ocorre para x = -5.

c) No intervalo x ]0, 7[ a função é positiva

d) O gráfico da função corta o eixo y no ponto de coordenadas (-1,0)

Exercícios:

1) Observe na tabela a medida do lado (em cm) de uma região quadrada e sua área (em cm2)

a) Os dados da tabela representam uma função? Por quê? Em caso afirmativo, qual a lei da função?

b) Qual a variável dependente?

c) Qual a variável independente?

d) Qual a área de uma região quadrada cujo lado mede 12 cm?

e) Qual é a medida do lado da região quadrada cuja área é de 169 cm2?

2) Verificar quais diagramas abaixo representam uma função de A em B:

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3) Considere a função f: A B dada pelo diagrama de flechas abaixo. Complete:

a) Df =

b) CDf =

c) Imf =

d) x=5 y=________ e) f(5) = _________ f) f(1) = _________

g) f(– 2) =__________ h) y=2 x = _________ i) f(x) = 0 x = __________

4) Escreva a fórmula matemática que expressa a lei de cada uma das funções abaixo:

a) Uma firma que conserta televisores cobra uma taxa fixa de R$ 40,00 de visita mais R$ 20,00 por

hora de mão-de- obra. Então o preço y que se deve pagar pelo conserto de um televisor é dado em

função do número de x horas de trabalho (mão-de-obra).

b) Um fabricante produz objetos a um custo de R$ 12,00 a unidade, vendendo-as por R$ 20,00 a

unidade. Portanto, o lucro y do fabricante é dado em função do número x de unidades produzidas e

vendidas.

c) Um triângulo tem base fixa de 6 cm e altura variável de x cm. A área y, em cm2, é dada em função

de x.

5) Um retângulo tem base b, altura h e perímetro 20. Determine:

a) a fórmula que dá o valor de b em função de h;

b) h em função de b.

6) Considere g: A B a função para qual A = { 1, 3, 4}, B = {3, 6, 9, 12, 15} e g(x) é o triplo de x para

todo x A.

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a) Construa o diagrama de flechas da função.

b) Determine D(g), CD(g) e Im(g) (imagem de g).

c) Determine g(3).

d) Determine x para o qual f(x) = 12.

7) Seja a função f: é dada por f (x) = x

3. Calcule:

a) o valor de f ( 3 );

b) o número real x, para que f (x) = 6.

8) Dada a função f: N N tal que f (x) =

ímpar é x se 2x,

par é x se ,5x. Calcule:

a) f(5) b) f(4) c) f(0) d) f(31) e) x | f(x) = 14

9) Seja a função f: a função definida por f(x) =

Determine o valor de f ( 2 )+ f

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1+ f ().

Exercícios de fixação:

1) Dado o gráfico de uma função f: a. Obtenha o valor de f(-1) b. Estime o valor de f(2) c. f(x) = 2 para quais valores de x? d. Estime os valores de x para os quais f(x) =0 e. Obtenha o domínio e o conjunto imagem de f f. Em qual intervalo f é crescente?

Q x se ,2

Q x se ,3

x

x

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2) Dados os gráficos de das funções f e g: a. Obtenha os valores de f(-4) e g( 3) b. f(x) = g(x) para quais valores de x? c. Estime a solução da equação f(x) = -1 d. Em qual intervalo f é decrescente? e. Dê o domínio e o conjunto imagem de f f. Dê o domínio e o conjunto imagem de g

3) O gráfico ao lado representa a função f. a.

Identifique o domínio e a imagem

Identifique: f(-4); f(-2); f(0); f(1); f(3)

Dê o intervalo em que a função é crescente

Dê o sinal de f(-3); f(-2);f(1); f(2)

Dê o intervalo em que f é positiva

Dê o intervalo em que f é negativa

b.

Identifique o domínio e a imagem

Identifique: f(1); f(5); f(7)

Identifique x | f(x) = 4

Estime f(6)

Dê o intervalo em que a função é crescente

Dê o sinal de f(2); f(4,5);f(2

3)

c.

Identifique o domínio e a imagem

Identifique: f(-1); f(5

7); f(3); f(

2

7)

Identifique x | f(x) = 6

Estime f(4)

Dê o intervalo em que f é negativa

4) O gráfico ao lado representa uma função f: A B.

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Determine:

a. Domínio e imagem de f b. f(-4) c. f(-2) d. f(0) e. f(2) f. f(4) g. f(6) h. Dê o intervalo em que a função é crescente i. Dê os intervalos em que a função é positiva

5) Dada a função f: RR tal que f(x) = 5-x:

a. Calcule: f(0);f(3); f(-2); f(2

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b. Determine os valores de x para os quais f é positiva c. Determine x tal que f(x) = 0

6) Sendo a função f: R* R tal que f(x) = x

x 21, calcule:

a. f(2) b. f(-2)

c. f(4

1)

d. f(-4

1)

7) Seja g a função de domínio A = { 1,-1,2,-2,0,3} e contradomínio R tal que g(x) = x 2 - x + 1. Determine o conjunto imagem de g.

8) Considere a função f: R* R tal que f(x) = x

x 122 . Que números do domínio de f possuem como

imagem o número 4? 9) Um fazendeiro estabelece o preço da saca de café, em função da quantidade de sacas adquiridas

pelo comprador, usando a equação: P(x) = 50 + x

200, em que P é o preço da saca em reais e x é o

número de sacas vendidas. a. Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 100 sacas? b. Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 200 sacas? c. Sabendo que o comprador pagou 54 reais por saca, quantas sacas ele comprou?

10) Determine o domínio das seguintes funções:

a. f(x) =3x-4

b. f(x) = x 2 -x +1

c. f(x) = 3

4

x

d. f(x) = 4x

e. f(x) = 4

62

x

x

f. f(x) = 36

1

x

x