aula 14 taxas relacionadas. introdução em um problema de taxas relacionadas, a idéia é calcular...
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Aula 14
Taxas Relacionadas
Introdução
Em um problema de taxas relacionadas, a
idéia é calcular a taxa de variação de uma
grandeza em termos da taxa de variação da
outra. O procedimento é achar uma
equação que relacione as duas grandezas e
então usar a Regra da Cadeia para derivar
ambos os lados em relação ao tempo.
Exemplo 1
Ar está sendo bombeado para dentro de umbalão esférico e seu volume cresce a umataxa Quão rápido o raio do balãoestá crescendo quando o diâmetro for
3100cm / s.50cm?
Solução
Dado: (taxa de
crescimento do volume do ar)
Incógnita: (taxa de crescimento do
raio quando o raio é )
Solução
Volume da esfera
Se colocarmos e nessaequação, obteremos
O raio do balão está crescendo a uma taxa de
Exemplo 2
Uma escada de de comprimento estáapoiada em uma parede vertical. Se a baseda escada desliza, afastando-se da parede auma taxa de quão rápido o topo daescada está escorregando para baixo naparede quando a base da escada está a da parede?
5 m
1m / s,
3 m
Solução
Dado: Diagrama Derivando cada lado em
relação a t usando a Regra da cadeia
temos:5
2 2 25x y
2 2 0dx dyx ydt dt
/ 1dx dt / ? quando 3mdy dt x
Solução
Note que . Quando Logo
O topo da escada está deslizando para baixo a
uma taxa de
2 2 0dx dyx ydt dt
dy x dx
dt y dt
2 2 25x y 3x 4.y 3
(1)4
dy
dt 3
m / s4
3m / s.
4
/ 1dx dt
Exemplo 3
Um tanque de água tem a forma de umcone circular invertido, com base de raio e altura igual Se a água está sendobombeada para dentro do tanque a umataxa de encontre a taxa pelaqual o nível da água estará se elevandoquando a água tiver de profundidade.
Solução
Dado:Esboço do cone
/ ? quando 3mdh dt h
Solução
Logo
Substituindo e temos
O nível da água estará subindo a uma taxade
Exemplo 4
O carro segue em direção ao oeste a e o carro segue rumo ao norte a Ambos estão se dirigindo para a intersecçãode duas estradas. A que taxa os carros seaproximam um do outro quando o carro está a e o carro está daintersecção?
90km/ h100km/ h.
60m 80m
Solução
Dado:
Esboço
/ 90km/ h e / 100km/ h
( e são decrescentes)
dx dt dy dt
x y
/ ?dz dt
Daí
Solução
Para e
Logo
Os carros aproximam-se um do outro auma taxa de
0,06kmx 0,08km,y
0,1kmz
10,06( 90) 0,08( 100) 134
0,1
dz
dt
134km/h.
Exemplo 5
Um homem anda ao longo de um caminhoreto a uma velocidade de Umholofote localizado no chão a docaminho é mantido focalizado no homem. Aque taxa o holofote está girando quando o homem está a do ponto do caminhomais próximo da luz?
1,5m/s.6m
8m
Solução
Dado:Esboço:
/ 1,5m/s.dx dt / ? quando 8md dt x
tg 6 tg6
xx
Daí
26secdx d
dt dt
6
Solução
Quando temos . Logo
O holofote está girando a uma taxa de
26secdx d
dt dt
21cos
6
d dx
dt dt
2 21 1cos (1,5) cos
6 4
/ 1,5dx dt
8m,x cos 3 / 5 2
1 3 90,09
4 5 100
d
dt
0,09 rad / s.
Obrigado !