aula 1, experiência 1 circuitos ca e caos

Notas de aula: www.fap.if.usp.br/~hbarbosa

LabFlex: www.dfn.if.usp.br/curso/LabFlex

Aula 1, Experiência 1

Circuitos CA e Caos

Prof. Henrique Barbosa

[email protected]

Ramal: 6647

Basílio, sala 100

Prof. Nelson Carlin

[email protected]

Ramal: 6820

Pelletron

Prof. Paulo Artaxo

[email protected]

Ramal: 7016

Basilio, sala 101

Profa. Eloisa Szanto

[email protected]

Ramal: 7111

Pelletron

Objetivos Estudar circuitos elétricos em corrente alternada com a

finalidade de explorar fenômenos caóticos

Aprender algumas técnicas avançadas de processamento de sinais e análise de dados

5 aulas

Noções de CA, filtro RC

Circuito integrador e análise de Fourier

Ressonância de um circuito RLC simples

Funções caóticas: mapa logístico

Caos em circuito RLD

Tensões e Correntes Alternadas Tensão alternada: qualquer tensão que varia no tempo

Na prática trabalhamos com tensões harmônicas simples Veremos no lab4 que qualquer tensão dependente do

tempo é uma superposição de tensões harmônicas simples

Aquelas descritas por uma função harmônica simples de freqüência bem definida, ou seja:

0cos tVtV P

f 2

pPP VV 22

Pef

VV

fT

1

VP é a tensão máxima ou tensão de pico ou amplitude, é a freqüência angular e 0 é a fase da tensão alternada no instante t=0

Tensões Harmônicas Simples

Em um circuito de corrente alternada a tensão e corrente não estão necessariamente em fase:

0sin tVtV P

i(t) i0 sin t

2T

T T

defasagem

3T0

TempoA

mplit

ud

e

Período T = 1/f

tensão

corrente

X

i(t)

V(t)

A fase

T

Potência Instantânea

Instantaneamente:

Depende da fase entre corrente e tensão e pode ser negativa!

Potência positiva é aquela consumida

Potência negativa é aquela fornecida

)sin()sin(

)(

)()()(

0

tt

iVtP

titVtP

P

Em um resistor ôhmico simples, a relação entre tensão e corrente é:

ctei

VR

P

P

Exemplo 1: Resistor Ôhmico

X

i(t)

V(t)

)cos()()(

)cos()(

tRitiRtV

titi

P

P

A fase entre tensão e

corrente é nula

A potência instantânea é:

P(t) V(t) i(t)

R i0

2 cos2 t

0, sempre

sem defasagem

3T0

Tempo

Am

plit

ud

e

Período T = 1/f

tensão

corrente

potência

•A potência varia no tempo, mas é sempre positiva o que significa que o resistor sempre consome potência

Exemplo 1: Resistor Ôhmico

Em um capacitor ideal, a capacitância é dada pela razão entre carga acumulada e tensão elétrica, ou seja: Além disso, carga e corrente estão relacionados Portanto:

)2/cos()sin()(

)cos(

tCVtCVti

C

tqtVtV

pp

P

)(tqdt

dti

Exemplo 2: Capacitor Ideal

C

tqtV

tV

tqC

)(

)(

A fase não é nula!

a corrente está adiantada de /2 em relação à tensão aplicada ao capacitor (Atenção: a defasagem de /2 é entre a corrente e a tensão diretamente sobre o capacitor e não quaisquer outras).


A potência em um capacitor pode ser escrita como:

P(t) V(t) i(t)

P(t) i0

2

Ccos t cos t

2

Em circuitos de corrente alternada, muitos elementos possuem fases não nulas entre corrente e tensão. Nestes casos, o

formalismo trigonométrico torna-se bastante complexo e inconveniente.


Exemplo 3: circuito RC

Capacitor e resistor em série a uma fonte de tensão

malha

iVldE 00

C

tqtiRtVtVtVtV eCRe

)()()()()()(

dt

tdqti

)()( sendo

)()(

)()()(

)( tVdt

tdVRCtV

C

tq

dt

tdqRtV C

Cee

RCtV

dt

tdVV C

Ce

1 com )(

)(10

0


Se a tensão de entrada for harmônica

Podemos resolver a e.d. Na sua forma complexa e tomar a parte real da solução

Ve(t) =1

w0

dVC (t)

dt+VC (t) Þ Ve(t) =

1

w0

dVC (t)

dt+VC (t)

tj

ee

eeee

eVtV

tVtVtVtV

)(ˆ com

)](ˆRe[)(cos)(


A solução mais geral para a tensão no capacitor é

Substituindo na e.d.

0

0 1

ˆˆˆ

j

VVeVeVjeV e

C

tj

C

tj

C

tj

e

tj

CC eVtV ˆ)(ˆ

tjeC e

j

VtV

0

1

)(ˆ sejaou


Trabalhando um pouco essa solução

Podemos escrever

tjeC e

j

VtV

0

1

)(ˆ

02

0

arctan e

1

com )(ˆ

eC

tj

CC

VVeVtV

tVtVtV CCC cos)(ˆRe)( que modo de

Sinal de entrada = Ve

Sinal de saída = Vs

Se pensarmos em termos de quadrupolos:

00

1

1

ˆ

ˆˆ

1

ˆ)(ˆ

jV

VG

j

VtV

entrada

saidaeC

O ganho relaciona o sinal de saída com o

sinal de entrada... Ou seja, resume o

funcionamento do quadrupolo.


Impedância de um elemento

A solução da equação diferencial no espaço complexo e posterior uso da parte real como solução física do problema sugere a criação de um análogo à lei de Ohm nesse formalismo.

jbaC ˆ1j

jeCC ˆ sencos je j

22 baC

a

btg

tjtj ejedt

d

tjtj ej

dte

1

Integrais e derivadas nesta notação são apenas

multiplicações e divisões

(( Números Complexos ))

Formalismo Complexo Este formalismo é construído de tal forma a

facilitar todos os cálculos que envolvem tensões alternadas

Vamos definir as tensões e correntes complexas como sendo:

)(

0

)(

0

1

0

)(ˆ

)(ˆ

tj

tj

eiti

eVtV )cos()(ˆRe)(

)cos()(ˆRe)(

10

00

tititi

tVtVtV

A impedância complexa de um elemento X é definida como sendo a razão entre a tensão e corrente complexas neste elemento, ou seja:

ˆ Z ˆ V (t)

ˆ i (t)

1

0

0

0ˆ

tj

tj

ei

eVZ

Usando a definição das tensões e correntes complexas, deduzimos que:

V0

i0

ej 01 jeZ0

Z0 é a impedância REAL do elemento X é a diferença de fase entre a tensão e corrente causada pelo elemento X

A impedância NÃO varia com o tempo. É uma grandeza

característica do elemento X

Impedância Complexa e Real

Da definição de impedância complexa:

Podemos escrever também que:

Define-se resistência (R) de um bipolo como sendo:

E reatância deste bipolo (X)

ˆ Z Z0ej

ˆ Z Z0 cos jZ0 sin

R Z0 cos

X Z0 sin

Resistência e Reatância

As grandes vantagens deste formalismo são:

Operações envolvendo tensão e corrente são simples Multiplicações e divisões de exponenciais

Associações de bipolos tornam-se simples Como resistores comuns, mas realizadas com grandezas complexas

Z1

^ Z2

^ Z

^

ˆ Z ˆ Z 1 ˆ Z 2

Z1

^

Z2

^ Z

^

1

ˆ Z

1

ˆ Z 1

1

ˆ Z 2

Porque usar este formalismo?

Seja uma tensão e corrente complexas, temos:

Mas sabemos que R = V/i, ou seja, a corrente e tensão estão sempre em fase. Assim:

ˆ Z ˆ V (t)

ˆ i (t)

ˆ Z Z0ej R

R

i(t)

V(t)

Z0 R

0

Por conta disto que resistores Ôhmicos são muito utilizados em laboratório para medir correntes

Aplicação 1: Resistor

Sabemos (do começo da aula) que

Se a corrente complexa for dada por:

Fica fácil demonstrar que

A impedância de um capacitor vale:

V (t) 1

Ci(t)dt

ˆ i (t) i0ejt

tjeiC

jtV

0)(ˆ

ˆ Z ˆ V (t)

ˆ i (t)

j

Ci0e

jt

i0ejt

j

CC

i(t)

V(t)

Aplicação 2: Capacitor

Ou seja

Mas lembrando que:

Comparando as duas expressões temos que:

ˆ Z j

C

ˆ Z Z0 cos jZ0 sin

2

Z0 1

C

Aplicação 2: Capacitor

Conclui-se naturalmente que a tensão elétrica está defasada de π/2 em relação à corrente

Seja o circuito ao lado:

A tensão no capacitor é:

A tensão de entrada é:

E o “ganho” no circuito é dado por:

CC ZiV ˆˆˆ

ˆ V e ˆ Z total

ˆ i iZZ CRˆ)ˆˆ(

ˆ G ˆ V Sˆ V e

ˆ Z C

ˆ i

( ˆ Z R ˆ Z C ) ˆ i

j

C

(R j

C)

Aplicação 3: circuito RC

0

1

1

j

Mesma solução encontrada resolvendo

a eq. diferencial....

MUITO MAIS FÁCIL!

Qual a interpretação de um ganho complexo ??

Gj

eGG

0ˆ

A parte real do ganho muda a amplitude do sinal:

c

GG

G

arctan

]ˆRe[

]ˆIm[arctan

E a parte imaginária introduz uma fase

2*

0

1

1ˆˆ

C

GGG

(( Ganho ))

ˆ G 1

1 j

C

)cos()(

)cos()(

0 Ges

ee

tGVtV

tVtV

Portanto, o ganho real do quadripolo RC, depende da freqüência da tensão alternada a que ele está submetido. No caso em que essa freqüência é baixa em relação a ωc:

<<C o termo (2/C

2), fica muito pequeno se comparado à unidade → o ganho é praticamente igual a 1.

222

2

201

1

1

1ˆˆCR

GGG

C

Quadrupolo RC - Baixa frequência

→ tensão de saída é praticamente igual à tensão de entrada Vs~=Vc.

<<C → G0≈1

1

1

1

2

20

Cω

ωGGG

~0

Quadrupolo RC - Baixa frequência

Se a freqüência for alta, ou seja, >>C, o termo (2/C

2) é tão grande, que o algarismo 1, no denominador da fórmula pode ser desprezado e o ganho é praticamente igual à C/. Esse número, porém, é muito pequeno o que significa que para freqüências altas a tensão de saída é muito menor que a tensão de entrada.

>>C → G0 ≈ C/ <<1

Quadrupolo RC – Alta frequência

Se a freqüência é alta: >>C o o termo (2/C

2), fica muito grande se comparado à unidade → o ganho fica muito pequeno: é praticamente igual a ωc/ω.

>>C → G0 ≈ C/ <<1 freqüências altas a tensão de saída é muito menor que a tensão de entrada.

2

20

1

1

Cω

ωGGG

~(ω/ωc)2

1

Quadrupolo RC – Alta frequência

Resumindo: para

O dispositivo está selecionando freqüências!

<<C → G0≈1

>>C → G0 ≈ (C/) <<1

só passam as freq baixas

comparadas a ωC

ele é um filtro passa-baixa

Quadruplo RC - Resumo

Do ganho complexo se extrai o real:

ˆ G ˆ V Sˆ V eG0e

jG

C 1

RCSendo:

G0 VS

0

Ve

0

1

1

C

2

G TSe arctan

C

R e C podem ser

medidos e há valores

nominais

Tensões são

medidas c/

osciloscópio A freqüência

também

Intervalo de tempo

entre duas tensões

também é

mensurável

Medidas da Semana

Vamos estudar o filtro RC:

Objetivos: Obter experimentalmente o ganho (G0 e ΦG) em função da

freqüência (ω) e comparar com a previsão teórica.

Para esta aula

Para isto é preciso conhecer R e C. Não confiar nos valores nominais

canal 1 canal 2 referência 5V

menu interativo

varredura (horizontal)

gatilho (trigger)

300V

terra

A ponta de prova tem atenuador que pode ser alterado

(muda também a impedância)

acoplamento AC, DC ou terra

Osciloscópio

Duty cycle ADJust

Frequency ADJust

Amplitude ADJust

50%

25%

intervalo de frequências

Executa parâmetro

atenuador

Gerador de audio

IMPORTANTE! RESISTOR CAPACITOR

Cuidados Experimentais Instrumentos de medida:

Osciloscópio

Canal 1: Ve

Canal 2: Vc

Cuidado com ruídos

Estimar incertezas na tensão e corrente a partir do nível de ruído

Não confundir freqüência temporal (f) com freqüência angular ()

CH1 CH2

Terra

Tarefas 1 – Para a Síntese Montar um circuito RC com freqüência de corte ~1000Hz, por exemplo com 330Ω e 0.47µF. Usando um sinal de entrada senoidal e Vsaida=VC fazer:

Gráfico de G0 em função de

Comparar com a curva teórica

Fazer os ajustes necessários e tratamento estatístico,

ou seja, ajuste não linear por mínimos quadrados e determinação da frequência de corte experimental

Lembre-se de medir valores << c até >> c para poder fazer um bom ajuste.

Vejam tutorial no site do prof. Henrique!

Tarefas 2 – Para o Relatório Montar um circuito RC com freqüência de corte ~1000Hz, por exemplo com 330Ω e 0.47µF. Usando um sinal de entrada senoidal e Vsaida=VC fazer:

Gráfico de G em função de

Comparar com o esperado teoricamente para o capacitor

Fazer ajustes necessários e tratamento estatístico

Faça as medidas esta semana! Mas estes resultados/análise serão cobrados apenas no relatório.

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