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UFABC - Física Quântica - Curso 2017.3 Prof. Germán Lugones

Aula 1 Evidências experimentais da teoria

quântica : radiação do Corpo Negro.

1Cosmic microwave background Planck Satellite

Motivações para se estudar física quântica

2

A mecânica quântica (também conhecida como física quântica ou teoria quântica), é a teoria física que descreve a natureza nas pequenas escalas (átomos e partículas subatômicas).

A mecânica quântica é muito diferente da física clássica, por exemplo:

• a energia, o momento e outras quantidades são freqüentemente restritas a valores discretos (quantização),

• os objetos possuem características de partículas e ondas (ou seja, dualidade onda-partícula), e

• há limites para a precisão com que as quantidades podem ser conhecidas (princípio da incerteza).

A Física Quântica muitas vezes desafia o senso comum!

3

A física quântica é essencial em vários ramos da ciência e da tecnologia:

- química, nanotecnologia: a dinâmica dos átomos e moléculas é regida pela mecânica quântica.

- microeletrônica, componentes como transistores e diodos, que fazem parte dos dispositvos eletrônicos, funcionam com base nas leis da mecânica quântica.

- Fisica de Partículas - Astrofísica, Cosmologia, origem do Universo - etc… etc….

A física quântica foi surgindo gradualmente a partir do início do século XX.

Os primeiros indícios do comportamento quântico da natureza foram obtidos por Max Planck em 1900 analisando o problema da radiação do corpo negro e por Albert Einstein em 1905 analisando o efeito fotoelétrico.

A primeira pista da natureza quântica da radiação veio do estudo da radiação térmica emitida por corpos opacos.

Quando a radiação incide sobre um corpo opaco, parte dela é refletida e parte é absorvida.

Os corpos de cor clara refletem a maior parte da radiação visível incidente sobre eles, enquanto os corpos escuros absorvem a maior parte.

Corpo negro

4

A parte de absorção do processo pode ser descrita brevemente da seguinte forma.

• A radiação absorvida pelo corpo aumenta a energia cinética dos átomos constituintes, que oscilam sobre suas posições de equilíbrio.

• Como a energia cinética translacional média dos átomos determina a temperatura T do corpo, a energia absorvida faz com que T aumente.

• No entanto, os átomos contêm cargas (os elétrons) e são acelerados pelas oscilações.

• Cargas aceleradas devem emitir radiação eletromagnética → a emissão de radiação reduz a energia cinética das oscilações dos átomos e portanto reduz T.

• Quando a taxa de absorção é igual à taxa de emissão, T fica constante e dizemos que o corpo está em equilíbrio térmico com seus arredores.

A radiação eletromagnética emitida nessas circunstâncias é chamada de radiação térmica. 5

Um corpo que absorve todas as radiações que incidem sobre isso é chamado de corpo negro ideal.

Em 1879, Josef Stefan encontrou uma relação empírica entre a potência irradiada por um corpo negro ideal e a temperatura:

R = σ T4 Lei de Stefan-Boltzmann

onde: • R é a potência irradiada por unidade de área. R também é chamada de

radiância. R nos diz a taxa em que a energia é emitida pelo objeto. • Unidades de R: W/m2 • T é a temperatura absoluta • σ = 5.6705×10−8 W/m2·K4 é a constante de Stefan-Boltzmann

R de um corpo negro depende apenas de T e não de qualquer outra característica do objeto, como a cor ou o material do qual é composto.

A lei de Stefan Boltzmann

6

Objetos que não são corpos negros ideais irradiam energia por unidade de área a uma taxa R inferior à de um corpo negro à mesma T.

Para esses objetos, a taxa R depende de propriedades além de T, como por exemplo a cor e a composição da superfície.

Os efeitos dessas dependências são combinados em um fator chamado de emissividade 𝜀, que multiplica o lado direito da Lei de Stefan-Boltzmann:

R = 𝜀 σT4

• Os valores de 𝜀 são sempre menores do que a unidade: 0 < 𝜀 < 1 • A emissividade 𝜀 pode depender da temperatura e de outros fatores.

Emissividade

7

Potência espectral

A radiância total R definida antes leva em consideração a radiação emitida em todos os comprimentos de onda.

Definimos agora a radiância espectral R(𝜆) (ou distribuição espectral) de maneira que dR=R(𝜆)d𝜆 seja a potência emitida por unidade de área no intervalo de comprimentos de onda entre 𝜆 e 𝜆+ d𝜆. Pela definição anterior, dR=R(𝜆)d𝜆, temos:

e, portanto:

R(�) =dR

d�

R =

Z 1

0R(�)d�

8

• Na figura vemos a radiância espectral R(𝜆) medida a diferentes T. • O eixo vertical está em unidades arbitrárias apenas para comparação. • O intervalo de 𝜆 está no espectro visível. • O Sol emite radiação muito próxima da de um corpo negro a T=5800 K.

3-2 Blackbody Radiation 125

This result is known as Wien’s displacement law. It was obtained by Wien in 1893. Examples 3-1 and 3-2 illustrate its application.

EXAMPLE 3-1 How Big Is a Star? Measurement of the wavelength at which the spectral distribution R( ) from a certain star is maximum indicates that the star’s surface temperature is 3000 K. If the star is also found to radiate 100 times the power P radiated by the Sun, how big is the star? (The symbol Sun.) The Sun’s surface temperature is 5800 K.

SOLUTIONAssuming the Sun and the star both radiate as blackbodies (astronomers nearly always make that assumption, based on, among other things, the fact that the solar spectrum is very nearly that of an ideal blackbody), their surface temperatures have been determined from Equation 3-5 to be 5800 K and 3000 K, respectively. Mea-surement also indicates that Pstar 100 P . Thus, from Equation 3-4 we have that

RstarPstar

(area)star

100 P4 r 2

starT 4

star

and

RP

(area)P

4 r 2 T 4

Thus, we have

r 2star 100 r 2 T

Tstar

4

rstar 10 rTTstar

2

1058003000

2

r

rstar 37.4 r

Since r 6.96 108 m, this star has a radius of about 2.6 1010 m, or about half the radius of the orbit of Mercury. This star is a red giant (see Chapter 13).

FIGURE 3-4 Spectral distribution function R( ) measured at different temperatures. The R( ) axis is in arbitrary units for comparison only. Notice the range of in the visible spectrum. The Sun emits radiation very close to that of a blackbody at 5800 K. m is indicated for the 5000 K and 6000 K curves.

0.3

0.2

0

0.1

0 500

Visible6000 K

4000 K3000 K

1000Wavelength (nm)

1500 2000

R(

)

5000 K

m

m

0.001

00

2000 K

1500 K

1000 K

2000 4000 (nm)

R(

)

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9

Para uma T dada, se observa que a radiância espectral R(𝜆) tem um máximo (pico).

O comprimento de onda 𝜆m do pico da distribuição se desloca para comprimentos de onda menores à medida que T aumenta:

Wien descobriu empiricamente que

�m / 1

T! �mT = constante = 2.898⇥ 10

�3m ·K

Lei de deslocamento de Wien

Este resultado é conhecido como lei de deslocamento de Wien. Foi obtido por Wien em 1893. 10

Questão: A medição do comprimento de onda em que a radiância R(𝜆) de uma determinada estrela é máxima, indica que T = 3000K na superfície da estrela.

Também é medida a potência total emitida pela estrela, e o valor obtido é 100 P⊙, onde P⊙ é a potência irradiada pelo Sol,

Qual é o raio da estrela?

A temperatura da superfície do Sol é de 5800 K.

Resolução: Suponhamos que o Sol e a estrela irradiam como corpos negros (os astrônomos quase sempre fazem essa suposição, com base, entre outras coisas, no fato de que o espectro solar é quase o de um corpo negro ideal).

Exemplo: Determinação do tamanho de uma estrela.

11

Pela Lei de Stefan-Boltzmann, R = σ T4 , temos:

- para a estrela:

- para o Sol:

Portanto:

Como r = 6.96×108 m, esta estrela tem um raio de cerca de 2.6×1010 m, ou cerca de metade do raio da órbita de Mercúrio. Esta estrela é uma gigante vermelha.





RstarPstar

(area)star

100 P4 r 2

starT 4

star

and

RP

(area)P

4 r 2 T 4

Thus, we have

r 2star 100 r 2 T

Tstar

4

rstar 10 rTTstar

2

1058003000

2

r

rstar 37.4 r



0.3

0.2

0

0.1

0 500

Visible6000 K

4000 K3000 K

1000Wavelength (nm)

1500 2000

R(

)

5000 K

m

m

0.001

00

2000 K

1500 K

1000 K

2000 4000 (nm)

R(

)

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RstarPstar

(area)star

100 P4 r 2

starT 4

star

and

RP

(area)P

4 r 2 T 4

Thus, we have

r 2star 100 r 2 T

Tstar

4

rstar 10 rTTstar

2

1058003000

2

r

rstar 37.4 r



0.3

0.2

0

0.1

0 500

Visible6000 K

4000 K3000 K

1000Wavelength (nm)

1500 2000

R(

)

5000 K

m

m

0.001

00

2000 K

1500 K

1000 K

2000 4000 (nm)

R(

)

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RstarPstar

(area)star

100 P4 r 2

starT 4

star

and

RP

(area)P

4 r 2 T 4

Thus, we have

r 2star 100 r 2 T

Tstar

4

rstar 10 rTTstar

2

1058003000

2

r

rstar 37.4 r



0.3

0.2

0

0.1

0 500

Visible6000 K

4000 K3000 K

1000Wavelength (nm)

1500 2000

R(

)

5000 K

m

m

0.001

00

2000 K

1500 K

1000 K

2000 4000 (nm)

R(

)

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12

O corpo negroRadiacao de corpo negro

Aula 3 4 / 21

O corpo negro e um objeto ideal que absorve toda a radiacao incidente sobre elee irradia com emissividade ε = 1 a chamada radiacao do corpo negro.

radiacao Modelo de um corpo negro ideal

■ A radiacao eletromagnetica de qualquer compri-mento de onda entra por um pequeno orifıcio deuma cavidade. Ao bater nas suas paredes, umaparte dela e absorvida e uma outra e refletida.Eventualmente, toda a radiacao sera absorvidapela cavidade;

■ Os atomos das paredes da cavidade absorvem a radiacao. Na situacao deequilıbrio termico, as paredes possuem uma temperatura T e emitem radiacaotermica. Eventualmente, parte dessa radiacao pode escapar da cavidadeatraves do orifıcio.

Alguns materiais pretos como o lampblack se aproximam de um corpo negro ideal, mas a melhor realização prática de um corpo negro ideal é uma cavidade com um pequeno orifício.

A radiação que incide no buraco entra na cavidade e é refletida inúmeras vezes até ser completamente absorvida.

A catástrofe ultravioleta

Os átomos das paredes da cavidade absorvem a radiação. Na situação de equilíbrio térmico, as paredes possuem uma temperatura T e emitem radiação térmica.

Parte dessa radiação pode escapar da cavidade através do orifício e ser observada.

13

A potência irradiada para fora do furo é proporcional à densidade de energia total U (a energia por unidade de volume da radiação na cavidade). É possível mostrar que a constante de proporcionalidade é c/4, onde c é a velocidade da luz.

Da mesma forma, a distribuição espectral da potência, R(𝜆), emitida a partir do furo é proporcional à distribuição espectral da densidade de energia na cavidade, u(𝜆).

Se u(𝜆)d𝜆 é a fração da energia por unidade de volume na cavidade no intervalo d𝜆, então u(𝜆) e R(𝜆) estão relacionados por

126 Chapter 3 Quantization of Charge, Light, and Energy

Rayleigh-Jeans EquationThe calculation of the distribution function R( ) involves the calculation of the energy density of electromagnetic waves in a cavity. Materials such as black velvet or lampblack come close to being ideal blackbodies, but the best practical realiza-tion of a ideal blackbody is a small hole leading into a cavity (such as a keyhole in a closet door; see Figure 3-5). Radiation incident on the hole has little chance of being reflected back out of the hole before it is absorbed by the walls of the cavity. The power radiated out of the hole is proportional to the total energy density U (the energy per unit volume of the radiation in the cavity). The proportionality constant can be shown to be c 4, where c is the speed of light.8

R14

cU 3-6

Similarly, the spectral distribution of the power emitted from the hole is proportional to the spectral distribution of the energy density in the cavity. If u( ) d is the frac-tion of the energy per unit volume in the cavity in the range d , then u( ) and R( ) are related by

R( )14

cu( ) 3-7

The energy density distribution function u( ) can be calculated from classical physics in a straightforward way. The method involves finding the number of modes of oscillation of the electromagnetic field in the cavity with wavelengths in the inter-val d and multiplying by the average energy per mode. The result is that the number of modes of oscillation per unit volume, n( ), is independent of the shape of the cav-ity and is given by

n( ) 8 4 3-8

According to classical kinetic theory, the average energy per mode of oscillation is kT, the same as for a one-dimensional harmonic oscillator, where k is the Boltzmann constant. Classical theory thus predicts for the energy density distribution function

u kT n 8 kT 4 3-9

This prediction, initially derived by Lord Rayleigh,9 is called the Rayleigh-Jeans equation. It is illustrated in Figure 3-6.

At very long wavelengths the Rayleigh-Jeans equation agrees with the experi-mentally determined spectral distribution, but at short wavelengths this equation pre-dicts that u( ) becomes large, approaching infinity as 0, whereas experiment shows (see Figure 3-4) that the distribution actually approaches zero as 0. This enormous disagreement between the experimental measurement of u( ) and the pre-diction of the fundamental laws of classical physics at short wavelengths was called the ultraviolet catastrophe. The word catastrophe was not used lightly; Equation 3-9 implies that

0

u d 3-10

That is, every object would have an infinite energy density, which observation assures us is not true.

CCR

FIGURE 3-5 A small hole in the wall of a cavity approximating an ideal blackbody. Radiation entering the hole has little chance of leaving before it is completely absorbed within the cavity.

16

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14


Rayleigh-Jeans EquationThe calculation of the distribution function R( ) involves the calculation of the energy density of electromagnetic waves in a cavity. Materials such as black velvet or lampblack come close to being ideal blackbodies, but the best practical realiza-tion of a ideal blackbody is a small hole leading into a cavity (such as a keyhole in a closet door; see Figure 3-5). Radiation incident on the hole has little chance of being reflected back out of the hole before it is absorbed by the walls of the cavity. The power radiated out of the hole is proportional to the total energy density U (the energy per unit volume of the radiation in the cavity). The proportionality constant can be shown to be c 4, where c is the speed of light.8

R14

cU 3-6

Similarly, the spectral distribution of the power emitted from the hole is proportional to the spectral distribution of the energy density in the cavity. If u( ) d is the frac-tion of the energy per unit volume in the cavity in the range d , then u( ) and R( ) are related by

R( )14

cu( ) 3-7

The energy density distribution function u( ) can be calculated from classical physics in a straightforward way. The method involves finding the number of modes of oscillation of the electromagnetic field in the cavity with wavelengths in the inter-val d and multiplying by the average energy per mode. The result is that the number of modes of oscillation per unit volume, n( ), is independent of the shape of the cav-ity and is given by

n( ) 8 4 3-8

According to classical kinetic theory, the average energy per mode of oscillation is kT, the same as for a one-dimensional harmonic oscillator, where k is the Boltzmann constant. Classical theory thus predicts for the energy density distribution function

u kT n 8 kT 4 3-9

This prediction, initially derived by Lord Rayleigh,9 is called the Rayleigh-Jeans equation. It is illustrated in Figure 3-6.

At very long wavelengths the Rayleigh-Jeans equation agrees with the experi-mentally determined spectral distribution, but at short wavelengths this equation pre-dicts that u( ) becomes large, approaching infinity as 0, whereas experiment shows (see Figure 3-4) that the distribution actually approaches zero as 0. This enormous disagreement between the experimental measurement of u( ) and the pre-diction of the fundamental laws of classical physics at short wavelengths was called the ultraviolet catastrophe. The word catastrophe was not used lightly; Equation 3-9 implies that

0

u d 3-10

That is, every object would have an infinite energy density, which observation assures us is not true.

CCR

FIGURE 3-5 A small hole in the wall of a cavity approximating an ideal blackbody. Radiation entering the hole has little chance of leaving before it is completely absorbed within the cavity.

16

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u(𝜆) pode ser calculada a partir da física clássica de maneira direta:

• O método envolve encontrar o número de modos de oscilação do campo eletromagnético na cavidade com comprimentos de onda no intervalo d𝜆 e multiplicar pela energia média por modo (ver livro do Eisberg)

• O resultado é que o número de modos de oscilação por unidade de volume, n(𝜆), é independente da forma da cavidade e é dado por: n(𝜆) = 8π𝜆-4

• De acordo com a teoria cinética clássica, a energia média por modo de oscilação é Ē = kT onde k é a constante de Boltzmann (o mesmo que para um oscilador harmônico unidimensional). Assim, a teoria clássica prevê:

Esta previsão, inicialmente derivada por Lord Rayleigh, é chamada de equação de Rayleigh-Jeans.

15

u(�) = E n(�) = kTn(�) = 8⇡kT��4

• Para 𝜆 grande, a eq. de RJ concorda com a distribuição espectral determinada experimentalmente.

• Para 𝜆 pequeno (região do ultravioleta), a eq. de RJ prevê que u(𝜆) se torne grande.

• Mais ainda, de acordo com a eq. de RJ, u(𝜆) diverge quando 𝜆 → 0, • No entanto, os dados experimentais mostram que a distribuição realmente

se aproxima de zero quando 𝜆 → 0.

A equação de Rayleigh-Jeans (RJ) e a distribuição espectral de energia determinada experimentalmente.

Esse enorme desacordo entre a medida experimental de u(𝜆) e a predição das leis fundamentais da física clássica em comprimentos de onda curtos foi chamado de catástrofe ultravioleta. 16

A equação de Rayleigh-Jeans apresenta outro severo problema. Se calculamos a radiância total obtemos:

Ou seja, o corpo negro teria uma radiância infinita, em contradição com os experimentos.

R =

Z 1

0R(�)d� =

Z 1

0

1

4cu(�)d� = 2⇡kTc

Z 1

0

d�

�4! 1

17

Em 1900, o físico alemão Max Planck anunciou que, ao fazer pressupostos um tanto estranhos, poderia derivar uma função u(𝜆) que concordava com os dados experimentais.

Sabemos que, para qualquer cavidade, quanto menor o comprimento de onda, mais ondas estacionárias (modos) serão possíveis.

Planck raciocinou que, para que u(𝜆) se aproxime de zero quando 𝜆 é pequeno, a energia média por modo devia depender de 𝜆, em vez de ser igual ao valor kT previsto pela teoria clássica.

A Lei de Planck

Max Planck 1858-1947

18

Planck considerou que os átomos das paredes da cavidade emitiam radiação com apenas alguns valores de energia, especificamente com valores 0, 𝟄, 2𝟄, ... , n𝟄,…. , com n inteiro.

Assim, a energia emitida por um átomo pode ser:

onde h é uma constante universal e f é a frequência da radiação eletromagnética.

A constante h é conhecida hoje como a constante de Planck e possui o valor h=6.626×10−34 J·s = 4.136×10−15 eV·s.

En = n✏ = nhf n = 0, 1, 2, · · ·

19

Para obter a energia média, usamos a função de distribuição de Boltzmann. Com a hipótese de quantização da energia emitida pelo corpo negro, a função de distribuição de Boltzmann se torna discretizada:

onde k=1,38×10−23 J/K é a constante de Boltzmann.

Como f(E) é uma função de distribuição de probabilidade, ela deve ser normalizada:

Portanto:

fn = Ae�En/kT = Ae�n✏/kT

1X

n=0

fn = A1X

n=0

e�n✏/kT = 1

A =1P1

n=0 e�n✏/kT

20

A energia média dos modos de radiação é:

Realizando as somas acima obtemos (ver Apêndice):

Para obter a função de distribuição de densidade de energia u(𝜆) da radiação na cavidade, devemos fazer:

isto é, multiplicamos a energia média pelo número de modos de oscilação por unidade de volume.

E =1X

n=0

Enfn =1X

n=0

EnAe�n✏/kT =

P1n=0 n✏ e

�n✏/kT

P1n=0 e

�n✏/kT

E =✏

e✏/kT � 1=

hf

ehf/kT � 1=

hc/�

ehc/�kT � 1

21

u(�) = E n(�)

22

No slide 15, mostramos que n(𝜆) = 8π𝜆-4; logo obtemos:

Portanto:

Esta função é chamada Lei de Planck. É claro a partir da figura que o resultado se adequa muito bem aos dados experimentais.

u(�) = E n(�) =

✓hc/�

ehc/�kT � 1

◆ ✓8⇡

�4

◆

u(�) =8⇡hc

�5

1

ehc/�kT � 1

23


Planck’s LawIn 1900 the German physicist Max Planck10 announced that by making somewhat strange assumptions, he could derive a function u( ) that agreed with the experimen-tal data. He first found an empirical function that fit the data and then searched for a way to modify the usual calculation so as to predict his empirical formula. We can see the type of modification needed if we note that, for any cavity, the shorter the wave-length, the more standing waves (modes) there will be possible. Therefore, as 0 the number of modes of oscillation approaches infinity, as evidenced in Equation 3-8. In order for the energy density distribution function u( ) to approach zero, we expect the average energy per mode to depend on the wavelength and approach zero as approaches zero, rather than be equal to the value kT predicted by classical theory.

Parenthetically, we should note that those working on the ultraviolet catastrophe at the time—and there were many besides Planck—had no a priori way of knowing whether the number of modes n( ) or the average energy per mode kT (or both) was the source of the problem. Both were correct classically. Many attempts were made to re-derive each so as to solve the problem. As it turned out, it was the average energy per mode (that is, kinetic theory) that was at fault.

Classically, the electromagnetic waves in the cavity are produced by accelerated electric charges in the walls of the cavity vibrating as simple harmonic oscillators. Recall that the radiation emitted by such an oscillator has the same frequency as the oscillation itself. The average energy for a one-dimensional simple harmonic oscil-lator is calculated classically from the energy distribution function, which in turn is found from the Maxwell-Boltzmann distribution function. That energy distribution function has the form (see Chapter 8)

f (E) Ae E kT 3-11

where A is a constant and f (E) is the fraction of the oscillators with energy equal to E. The average energy E is then found, as is any weighted average, from

E0

E f (E) dE0

EAe E kT dE 3-12

with the result E kT , as was used by Rayleigh and others.

u( )

0 2000

Planck’slaw

Rayleigh-Jeanslaw

4000 6000 nm

FIGURE 3-6 Comparison of Planck’s law and the Rayleigh-Jeans equation with experimental data at T 1600 K obtained by W. W. Coblenz in about 1915. The u( ) axis is linear. [Adapted from F. K. Richmyer, E. H. Kennard, and J. N. Cooper, Introduction to Modern Physics, 6th ed., McGraw-Hill, New York (1969), by permission.]

TIPLER_03_119-152hr2.indd 127 8/22/11 11:33 AM

Casos limite da lei de Planck

Para comprimentos de onda grandes, podemos expandir em série de potências a exponencial que aparece na lei de Planck:

Logo,

Substituindo na Lei de Planck temos:

Portanto, para comprimentos de onda grandes, a Lei de Plank apresenta o mesmo comportamento que a Lei de Rayleigh-Jeans.

e

x ⇡ 1 + x+ · · · x ⌧ 1

e

hc/�kT ⇡ 1 + hc/�kT + · · · hc/�kT ⌧ 1


Planck found that he could derive his empirical formula by calculating the aver-age energy E assuming that the energy of the oscillating charges, and hence the radia-tion that they emitted, was a discrete variable; that is, that it could take on only the values 0, , 2 , . . . n , where n is an integer, and further, that was proportional to the frequency of the oscillators and, hence, to that of the radiation. Planck therefore wrote the energy as

En n nhf n 0, 1, 2,c 3-13

where the proportionality constant h is now called Planck’s constant. The Maxwell-Boltzmann distribution (Equation 3-11) then becomes

fn Ae En kT Ae n kT 3-14

where A is determined by the normalization condition that the sum of all fractions fn must, of course, equal one, that is,

n 0

fn An 0

e n kT 1 3-15

The average energy of an oscillator is then given by the discrete sum equivalent of Equation 3-12:

En 0

En fnn 0

En Ae En kT 3-16

Calculating the sums in Equations 3-15 and 3-16 (see Problem 3-60) yields the result:

Ee kT 1

hfehf kT 1

hcehc kT 1

3-17

Multiplying this result by the number of oscillators per unit volume in the interval d given by Equation 3-8, we obtain for the energy density distribution function of the radiation in the cavity:

u8 hc 5

ehc kT 1 3-18

This function, called Planck’s law, is sketched in Figure 3-6. It is clear from the fig-ure that the result fits the data quite well.

For very large , the exponential in Equation 3-18 can be expanded using ex 1 x … for x 1, where x hc kT. Then

ehc kT 1hckT

and

u 8 4kT

which is the Rayleigh-Jeans formula. For short wavelengths, we can neglect the 1 in the denominator of Equation 3-18, and we have

u 8 hc 5e hc kT 0

as 0. The value of the constant in Wien’s displacement law also follows from Planck’s law, as you will show in Problem 3-23.

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u(�) =8⇡hc

�5

1

ehc/�kT � 1⇡ 8⇡hc

�5

�kT

hc= 8⇡kT��4

24

Para comprimentos de onda pequenos, podemos negligenciar o 1 no denominador da Lei de Plank:

Portanto, a Lei de Planck resolve o problema da catástrofe ultravioleta.

u(�) =8⇡hc

�5

1

ehc/�kT � 1⇡ 8⇡hc

�5e�hc/�kT �!

�!00

25

Lei de Stefan-Boltzmann a partir da lei de Planck

Usando a lei de Planck, é possível mostrar que a densidade de energia em uma cavidade de corpo negro é proporcional a T4 de acordo com a lei de Stefan-Boltzmann (Lista 1, questão 6).

A densidade de energia total U é obtida a partir da função de distribuição u(𝜆). Lembremos que u(𝜆)d𝜆 representa a energia por unidade de volume considerando apenas a radiação com comprimento de onda entre 𝜆 e 𝜆+d𝜆.

Portanto, integrando sobre 𝜆, obtemos a energia por unidade de volume U que leva em consideração as ondas com todos os comprimentos de onda possíveis:


EXAMPLE 3-4 Stefan-Boltzmann from Planck Show that the total energy density in a blackbody cavity is proportional to T 4 in accordance with the Stefan-Boltzmann law.

SOLUTIONThe total energy density is obtained from the distribution function (Equation 3-18) by integrating over all wavelengths:

U0

u d 0

8 hc 5

ehc kT 1 d

Define the dimensionless variable x hc kT. Then dx (hc 2kT ) d ord 2(kT hc) dx. Then

U0

8 hc 3

ex 1

kThc

dx 8 hckThc

4

0

x3

ex 1 dx

Since the integral is now dimensionless, this shows that U is proportional to T 4. The value of the integral is 4 15. Then U (8 5k 4 15h3c3)T 4. This result can be com-bined with Equations 3-4 and 3-6 to express Stefan’s constant in terms of , k, h, and c (see Problem 3-13).

A dramatic example of an application of Planck’s law on the current frontier of physics is in tests of the Big Bang theory of the formation and present expansion of the universe. Current cosmological theory suggests that the universe originated in an extremely high-temperature explosion of space, one consequence of which was to fill the infant universe with radiation whose spectral distribution must surely have been that of an ideal blackbody. Since that time, the universe has expanded to its present size and cooled to its present temperature Tnow. However, it should still be filled with radiation whose spectral distribution should be that characteristic of a blackbody at Tnow.

FIGURE 3-7 The energy density spectral distribution of the cosmic microwave background radiation. The solid line is Planck’s law with T 2.725 K. These measurements (the black dots) were made by the COBE satellite.

1500

1000

500

0

Ener

gy d

ensi

ty u

(f)

0 100 200 300Frequency ( 109 Hz)

400 500 600 700

TIPLER_03_119-152hr2.indd 130 8/22/11 11:33 AM

26

Para realizar a integração, introduzimos a variável adimensional x:

Substituindo na integral, temos:

Como a integral é adimensional, isso mostra que U é proporcional a T4.

O valor da integral é 𝜋4/15. Portanto:




U0

u d 0

8 hc 5

ehc kT 1 d


U0

8 hc 3

ex 1

kThc

dx 8 hckThc

4

0

x3

ex 1 dx




1500

1000

500

0

Ener

gy d

ensi

ty u

(f)

0 100 200 300Frequency ( 109 Hz)

400 500 600 700

TIPLER_03_119-152hr2.indd 130 8/22/11 11:33 AM




U0

u d 0

8 hc 5

ehc kT 1 d


U0

8 hc 3

ex 1

kThc

dx 8 hckThc

4

0

x3

ex 1 dx




1500

1000

500

0

Ener

gy d

ensit

y u(f)

0 100 200 300Frequency ( 109 Hz)

400 500 600 700

TIPLER_03_119-152hr2.indd 130 8/22/11 11:33 AM




U0

u d 0

8 hc 5

ehc kT 1 d


U0

8 hc 3

ex 1

kThc

dx 8 hckThc

4

0

x3

ex 1 dx




1500

1000

500

0

Ener

gy d

ensi

ty u

(f)

0 100 200 300Frequency ( 109 Hz)

400 500 600 700

TIPLER_03_119-152hr2.indd 130 8/22/11 11:33 AM




U0

u d 0

8 hc 5

ehc kT 1 d


U0

8 hc 3

ex 1

kThc

dx 8 hckThc

4

0

x3

ex 1 dx




1500

1000

500

0

Ener

gy d

ensi

ty u

(f)

0 100 200 300Frequency ( 109 Hz)

400 500 600 700

TIPLER_03_119-152hr2.indd 130 8/22/11 11:33 AM

⇒ ⇒

0

∞

U =8⇡5k4

15h3c3T 4

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Lembrando que a radiância total é R = 1/4 c U (slide 14) temos:

Comparando com a Lei de Stefan R = 𝜎 T4 descobrimos que a constante de Stefan-Boltzmann é:

R =c

4U =

2⇡5k4

15h3c2T 4

� =2⇡5k4

15h3c2

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O fundo de radiação cósmica




U0

u d 0

8 hc 5

ehc kT 1 d


U0

8 hc 3

ex 1

kThc

dx 8 hckThc

4

0

x3

ex 1 dx




1500

1000

500

0

Ener

gy d

ensi

ty u

(f)

0 100 200 300Frequency ( 109 Hz)

400 500 600 700

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Estrelas de nêutrons emitem como corpos negros

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