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Estatística e Probabilidade

Aula 1

Assimetria e CurtoseProfessor Luciano Nóbrega

2º Bimestre

Medidas de assimetria

As medidas de assimetria e curtose (esta última veremos na próxima aula) são as que restam para completarmos o quadro das estatísticas descritivas, que proporcionam, juntamente com as medidas de posição e dispersão, a descrição e compreensão completas da distribuição de freqüências estudadas até agora.

As medidas de assimetria referem-se à forma da curva de uma distribuição de freqüências, mais especificamente do polígono de freqüência ou do histograma.

Você lembra?

Distribiuição simétrica

1º caso: Curva ou Distribuição de Freqüências SimétricaNeste caso, a média, a moda e a mediana são iguais.

Assim:

x = md = mo


A idéia é que podemos classificar aqueles gráficos a partir do comportamento da série com o auxílio de algumas fórmulas.

Vejamos alguns casos:

x = mo Simetria

Em resumo:


2º caso: Curva ou Distribuição de Freqüências Assimétrica NegativaNeste caso, a média aritmética apresentará um valor menor do que a

mediana, e esta, por sua vez, apresentará um valor menor do que a

moda. Assim: x < md < mo

< <

Distribuição assimétrica negativaA “cauda”apresenta-se à esquerda do eixo de simetria.

x < mo Assimetria Negativa

Em resumo:


3º caso: Curva ou Distribuição de Freqüências Assimétrica PositivaNeste caso, a média aritmética apresentará um valor MAIOR do que a

mediana, e esta, por sua vez, apresentará um valor MAIOR do que

a moda. Assim: mo < md < x

< <

Distribuição assimétrica positivaA “cauda”apresenta-se à direita do eixode simetria.

x > mo Assimetria Positiva

Em resumo:


Como calcular o coeficiente de assimetria?

Existem diversos modos, todos obtidos empiricamente, de se calcular o coeficiente de assimetria.

Vamos estudar os mais usuais:

1º Coeficiente de Pearson

AS = (x - mo) = (x - mo)σ DP

Quando:AS = 0 temos que a distribuição é simétrica;AS > 0 temos que a distribuição é assimétrica positiva;AS < 0 temos que a distribuição é assimétrica negativa.


Exemplo:

Em uma distribuição de frequências foram encontradas as seguintes medidas: x = 45,23 mo = 42,51 md = 43,48 e DP = 21,3

a) Classifique o tipo de assimetria;b) Calcule o coeficiente de assimetria.


AS = (x - mo) = (x - mo)σ DP

x < mo Assimetria Negativax = mo Simetria




AS = 3.(x - md) = 3(x - md)σ DP

Da mesma forma:AS = 0 temos que a distribuição é simétrica;AS > 0 temos que a distribuição é assimétrica positiva;AS < 0 temos que a distribuição é assimétrica negativa.


Exemplo:

Em uma distribuição de frequências foram encontradas as seguintes medidas: x = 15,23 mo = 12,89 md = 13,48 e DP = 7,3

a) Classifique o tipo de assimetria;b) Calcule o coeficiente de assimetria.


AS = 3(x - md) = 3(x - md)σ DP

x < mo Assimetria Negativax = mo Simetria


Testando os conhecimentos

1 – Considerando a distribuição de frequência relativa aos pesos de 100 operários de uma fábrica:

Pesos (Kg) fi xifi (xi – x)2.fi

50 |--- 58 10

58 |--- 66 15

66 |--- 74 25

74 |--- 82 24

82 |--- 90 16

90 |--- 98 10

Classifique, quanto à assimetria, segundo os coeficientes de Pearson. Para isso, siga o seguinte procedimento:

a) Preencha a tabela;b) Determine a média, a moda, a mediana, a var. e o D.P.;c) Substitua as variáveis nas fórmulas:


AS = (x - mo)DP


AS = 3(x - md)DP

Moda de Pearsonmo = 3.md – 2.x

md = ℓmd + n/2 - Fant . h

fmd


2 – Considerando a distribuição de frequência relativa aos salários de 70 operários de uma fábrica:

Pesos (Kg) fi xifi (xi – x)2.fi

500 |--- 580 10

580 |--- 660 15

660 |--- 740 25

740 |--- 820 20

Classifique, quanto à assimetria, segundo os coeficientes de Pearson. Para isso, siga o seguinte procedimento:

a) Preencha a tabela;b) Determine a média, a moda, a mediana, a var. e o D.P.;c) Substitua as variáveis nas fórmulas:


AS = (x - mo)DP


AS = 3(x - md)DP

Moda de Pearsonmo = 3.md – 2.x

md = ℓmd + n/2 - Fant . h

fmd

Testando os conhecimentos:

3 – Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de frequências. Determine os coeficientes de assimetria de Pearson e classifique-as de acordo com a escala.

Quando:AS = 0 → Distribuição Simétrica

0 < |AS| < 1 → Assimétrica Fraca|AS| ≥ 1 → Assimétrica Forte

Distribuições x mo md DP

A 54 54 54 20

B 35 40 15 38

C 45 30 20 42

1º Coeficiente de PearsonAS = (x - mo)

DP

2º Coeficiente de PearsonAS = 3(x - md)

DP

Resumo

Classificação quanto a assimetriax – mo = 0 → Distribuição Simétrica

x – mo < 0 → Distribuição Assimétrica Negativax – mo > 0 → Distribuição Simétrica Positiva


AS = (x - mo)DP


AS = 3(x - md)DP

Quando:AS = 0 → Distribuição Simétrica

0 < |AS| < 1 → Assimétrica Fraca|AS| ≥ 1 → Assimétrica Forte

Índice de Momento de Curtose (fórmula do 4)

Medidas de Curtose

DefiniçãoDenominamos por “CURTOSE” o grau de achatamento de uma curva de distribuição de frequência. Esse comportamento é dado pela concentração dos valores em relação a moda.

c = ∑(xi – x)4

.fi

∑fi – 3

DP4 Coeficiente Percentílico de Curtose

c = 0,263 – Q3 – Q12.(D9 – D1)

São duas as fórmulas:

1º caso: Curva NormalOs dados estão razoavelmente em torno da moda.

Medidas de Curtose

São três casos para classificarmos a curtose:

mo

Mesocúrtica

c = 0

2º caso: Curva AfiladaOs dados estão fortemente em torno da moda.

Medidas de Curtose

mo

Leptocúrtica

c >0

3º caso: Curva AchatadaOs dados estão fracamente em torno da moda.

Medidas de Curtose

mo

Platicúrtica

c <0

Medidas de Curtose

Exemplo:Sabendo que uma distribuição apresenta as seguintes medidas: ∑fi = 20

Q1 = 24. P75 = 41, P10 = 20, P90 = 48, ∑(xi – x)4

.fi = 29 e DP = 1,5Determine o momento de curtose e o coeficiente percentílico de curtose, em seguida, classifique a curva de

frequência quanto à curtose.

c = ∑(xi – x)4

.fi∑fi – 3

DP4

c = 0,263 – Q3 – Q12.(D9 – D1)

c = 0 → Mesocúrtica c > 0 → Leptocúrtica c < 0 → Platicúrtica

c = 2920 – 3

1,54

c = 1,45 – 3

5,0625c = 0,286 – 3 = – 2,714

Platicúrtica

c = 0,263 – 41 – 242.(48 – 20)

c = 0,263 – 1756

c = 0,263 – 0,303 = – 0,04Platicúrtica


1 – Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de frequências. Determine os coeficientes de assimetria de Pearson e classifique-as de acordo com a escala.

Distribuições ∑(xi – x)4.fi ∑fi DP P75 P25 P90 P10

A 54 20 1,8 93 81 101 77

B 35 40 0,3 80 63 86 55

C 45 30 0,9 45 28 49 20

c = ∑(xi – x)4

.fi∑fi – 3

DP4

c = 0,263 – Q3 – Q12.(D9 – D1)

c = 0 → Mesocúrtica c > 0 → Leptocúrtica c < 0 → Platicúrtica


2 – Uma amostra aleatória de 250 residências revelou a seguinte distribuição do consumo de energia elétrica mensal.

Consumo (Kw/h) fi fri Fi Fri xi xifi (xi – x) (xi – x)2 (xi – x)2.fi

0 |----- 50 2

50 |----- 100 15

100 |----- 150 32

150 |----- 200 47

200 |----- 250 23

Complete a tabela e responda:a) Qual o consumo médio?b) Qual o desvio padrão?c) Qual os coeficientes de Pearson e os de curtose?

1º Coeficiente de PearsonAS = (x - mo)

DP

2º Coeficiente de PearsonAS = 3(x - md)

DP

var = ∑ (xi – x)2

n


3 – Com base na tabela abaixo, determine o coeficiente de curtose e classifique em relação à curva.

Pesos (kg) 50 |--- 58 |--- 66 |--- 74 |--- 82 |--- 90 |--- 98

Quant. Func. 10 15 25 24 16 10

Para isso, faça o que se pede:a) Determine as separatrizes Q1, Q3, D1 e D9b) Utilize a fórmula c = 0,263 – Q3 – Q1

2.(D9 – D1)

Pi = ℓi + i.n

/100 - Fant . hfi

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