aula 09 - whirling e m+®todo de rayleigh
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Vibrações mecânicasTRANSCRIPT
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2.3.3. MOVIMENTO DE PRECESSÃO (“WHIRLING”) DE EIXOS ROTATIVOS
Em muitos equipamentos mecânicos encontramos rotores montados em eixos rotativos e em certas ocasiões estes eixos ficam submetidos a grandes amplitudes de vibração.
Para explicar este fenômeno, serão feita análises em um simples sistema rotativo constituído de um disco desbalanceado (representando o rotor), um eixo circular de massa desprezível em relação ao disco e mancais de rolamento de flexibilidade desprezível em relação ao eixo, ou seja mancais considerados rígidos. O rotor considerado é dito então isotrópico.
Rotor de Jeffcott ou Rotor De Laval
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Devido ao desbalanceamento de massa e à rotação do eixo, há o surgimento de uma força centrífuga causando o eixo fletir.
A trajetória do centro do eixo em relação a linha que une os mancais é conhecida com movimento de precessão (“whirling”) ou rotação secundária.
De maneira geral, quando o rotor não é isotrópico, pode haver movimento de precessão direta ou de precessão retrógrada.
O movimento de precessão direta (“forward whirl”) é quando o centro do eixo gira no mesmo sentido da rotação do eixo
o movimento de precessão retrógrada (“backward whirl”) é quando o centro do eixo gira no sentido contrário ao da rotação do eixo.
Precessão Direta
Precessão Retrógrada
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O: Centro de rotação
C: Centro geométrico
G: Centro de massa do disco
e : Excentricidade (medida do ponto C ao ponto G)
d : Deflexão do eixo (Amplitude do movimento de precessão ou amplitude de whirling) : Velocidade de rotação do eixo
: Ângulo de fase
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Para se determinar as equações do movimento, assume-se que as forças atuantes no disco são a força elástica restauradora do eixo e a dissipação de energia representada pela força de amortecimento viscoso, e estas forças estão atuando no centro do disco de coordenadas xc e yc
)(txkF ckx
Portanto, as forças elásticas e de amortecimento atuantes no centro do disco são iguais a:
)(tykF cky
)(txcF ccx )(tycF ccy Forças atuando na direção x
Forças atuando na direção y
As forças de inércia da massa (situada em G) são:
)(txmF gix )(tymF giy
Aplicando a segunda lei de Newton:
)()( txc(t)xktxm ccg
)()( tyc(t)yktym ccg
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0)()( (t)xktxctxm ccg
0)()( (t)yktyctym ccg
O movimento de precessão é dado pelas coordenadas do centro do eixo, portanto temos que exprimir as coordenadas em G em termos de coordenadas em C:
)cos()()( tetxtx cg )sen()()( tetyty cg
0)()]cos([ 2 (t)xktxctexm ccc
Substituindo estas expressões e suas segunda derivadas, vem:
0)()]sen([ 2 (t)yktycteym ccc
)cos()( 2 tme(t)xktxcxm ccc
)sen()( 2 tme(t)yktycym ccc Equações do Movimento
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As soluções em regime permanente são:
)cos( tX(t)xc )sen( tY(t)yc
222
22
222
2
)2()1(
/
)2()1(
/
rr
e
rr
kmeX n
222
2
)2()1( rr
erX
222
2
)2()1( rr
erY
2
2arctg
1
r
r
222
222
)2()1()()(
rr
ertytxd
222
2
)2()1( rr
r
e
d
A seguir a análise do
gráfico d/e versus r
7
222
2
)2()1( rr
r
e
d
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Análise do Gráfico de ( d/e ) ( r ) (Cont.)
Caso i: região onde a razão de freqüências é muito menor do que 1, ou seja, a freqüência de rotação é muito menor que a freqüência natural do sistema: r << 1 (ou << n) (ou r 0).
Neste caso a deflexão tende a zero, assim como o ângulo de fase. A Figura abaixo exemplifica este caso.
d=0
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Caso ii: região onde a razão de freqüências é quase igual a 1, ou seja, a freqüência de rotação é quase igual a freqüência natural do sistema (velocidade crítica): r 1 (ou n). Neste caso a
deflexão é controlada exclusivamente pelo amortecimento () e o ângulo de fase é em torno de 90o. Esta é a região da ressonância, uma região crítica, de altas amplitudes de vibração (dependendo do valor do amortecimento).
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Caso iii: região onde a razão de freqüências é muito maior do que 1, ou seja, a freqüência de rotação é muito maior que a freqüência natural do sistema: r>>1 (ou >>n) (ou r ). Neste caso a
deflexão do eixo é aproximadamente igual a excentricidade, e o ângulo de fase aproximadamente igual a 180o.
d=e
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Exercício
Considere um rotor de um compressor de massa 55 kg em um eixo cuja rigidez é 1,4x107N/m, com uma velocidade de operação de 6000 rpm e fator de amortecimento viscoso igual a 0,05. A excentricidade devido ao desbalanceamento de massa é igual a 1000m. Calcule:
a) A velocidade crítica do rotor;
b) A amplitude (deflexão) da vibração na velocidade de operação; e
c) A amplitude na velocidade crítica.
Solução
a) m
knc srad / 5,504
55
104,1 7
b) 24,1
5,504
60/)26000(
n
r222
2
)2()1(
rr
red
e = 1000x10-6 = 10-3 m
mm 2,2m 0022,0)24,105,02(])24,1(1[
24,110222
3
d
c) Na velocidade crítica: r = 1. mm 10m 01,0)05,0(2
10
2
3
ed
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* Determinação da Primeira Velocidade Crítica de Sistemas Rotativos com Vários Discos
Determinação através de um método aproximado de determinação da primeira velocidade crítica (primeira freqüência natural) do sistema - Método de Rayleigh.
Neste método de Rayleigh despreza-se o amortecimento.
n
iii
n
iii
c
m
mg
1
2
1
m1
m2
m3
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As deflexões nas localizações das cargas podem ser obtidas a partir da superposição das deflexões devido a cada carga agindo separadamente.
Exemplo: Calcule a primeira freqüência natural da vibração lateral do sistema abaixo utilizando o método de Rayleigh.
Solução:
a) Determinação da equação da linha elástica:
222
6)( bxL
EIL
Pbxxy
para )( bLx
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b) Determinação das deflexões estáticas:
b.1) Devido à massa de 135 kg:
mEIEIL
yy3
2221
10273,35,15,25,5
6
5,25,1)81,9135()5,2(
mEIEIL
yy 10889,2
5,10,45,56
0,45,1)81,9135()0,4(
3222
2
b.2) Devido à massa de 225 kg:
mEIEIL
yy3
2222
10455,55,25,15,5
6
5,15,2)81,9225()5,1(
mEIEIL
yy 10524,7
5,20,35,56
0,35,2)81,9225()0,3(
3222
1
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Adicionando y’ e y”, as deflexões em 1 e 2, devido às duas cargas, vêm a ser:
mEIEIEI
yy 10344,810455,510889,2 333
222
mEIEIEI
yy 10797,1010524,710273,3 333
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Substituindo os valores das deflexões e das massas na expressão de Rayleigh, tem-se:
322 10344,8135797,10225
344,8135797,1022581,9
EIc
rad/s 03129,0 EIc