aula 09: modelagem / variáveis inteiras - otimização ...€¦ · aula de hoje: mais modelagem! 1...

Aula 09: Modelagem / Variáveis inteirasOtimização Linear e Inteira

Túlio A. M. Toffolohttp://www.toffolo.com.br

BCC464/PCC174 –2018/2Departamento de Computação –UFOP

http://www.toffolo.com.br

Previously...

Aulas anteriores sobre Programação Linear:

Modelagem

Método gráfico

Algoritmo Simplex

Dualidade

Análise de sensibilidade

... e implementação dos modelos no Gurobi

2 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras

Aula de Hoje: mais modelagem!

1 Exemplo 1: Mistura de Minérios

2 Exemplo 2: Problemas de Custo Fixo

3 Exemplo 3: Transportes Asteróide

4 Exemplo 4: Transporte de Fábricas

5 Exemplo 5: Investimentos

6 Exercício: Viagem a Paris


Uma empresa mineradora deve exportar 6.000 toneladas de minério de ferro atendendoas especificações a seguir:

Universidade Federal de Ouro Preto – UFOP Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – ICEB Departamento de Computação – DECOM Disciplina: BCC464 / PCC174 – Otimização Linear e Inteira Professor: Túlio A. M. Toffolo

BCC464 / PCC174 Data: 17/04/2018 Página 1 de 5

Aluno: __________________________________________ CPF ou Matrícula: ______________

Prova 01 – 20,0 pontos

Questão 01 Questão 02 Questão 03 Questão 04 Nota Total

• A interpretação das questões faz parte da avaliação, por isso faça as observações que achar

necessário, por escrito; • Utilize o espaço abaixo de cada questão para responde-la. Se necessário, utilize o verso das

folhas disponibilizadas.

Questão 01 (6,0 pontos)

Uma empresa mineradora deve exportar 6.000 toneladas de minério de ferro atendendo as especificações a seguir:

Fe Al2O3 P PPC He Teor mínimo 44,5 0,27 0,035 2,05 38 Teor máximo 49,5 0,37 0,043 2,65 50

A mineradora dispõe de um conjunto de pilhas de minérios, cuja composição, disponibilidade e custo são dados a seguir:

Fe Al2O3 P PPC He Disp. Custo Pilha 1 52,64 0,52 0,084 4,48 45 1500t 10,5 Pilha 2 39,92 0,18 0,029 0,65 97 2000t 12,5 Pilha 3 47,19 0,5 0,05 2,52 52 1700t 12 Pilha 4 49,36 0,22 0,039 1,74 78 1450t 10 Pilha 5 43,94 0,46 0,032 2,36 41 1250t 11,5 Pilha 6 48,97 0,54 0,057 4,34 90 1890t 11 Pilha 7 47,46 0,2 0,047 5,07 9 1640t 10,8 Pilha 8 46,52 0,32 0,039 3,51 4 1124t 11,2 Pilha 9 56,09 0,95 0,059 4,1 80 1990t 10,4 Pilha 10 46 0,26 0,031 2,51 21 900t 12 Pilha 11. 49,09 0,22 0,04 4,2 12 1540t 10,3 Pilha 12 49,77 0,2 0,047 4,81 12 1630t 11,9 Pilha 13 53,03 0,24 0,047 4,17 1 1320t 12,3 Pilha 14 52,96 0,29 0,052 4,81 1 1245t 11,1 Pilha 15 42,09 0,17 0,031 1,38 47 1859t 12,1

A mineradora dispõe de um conjunto de pilhas de minérios, cuja composição,disponibilidade e custo são dados a seguir:

Universidade Federal de Ouro Preto – UFOP Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – ICEB Departamento de Computação – DECOM Disciplina: BCC464 / PCC174 – Otimização Linear e Inteira Professor: Túlio A. M. Toffolo

BCC464 / PCC174 Data: 17/04/2018 Página 1 de 5

Aluno: __________________________________________ CPF ou Matrícula: ______________

Prova 01 – 20,0 pontos

Questão 01 Questão 02 Questão 03 Questão 04 Nota Total

• A interpretação das questões faz parte da avaliação, por isso faça as observações que achar

necessário, por escrito; • Utilize o espaço abaixo de cada questão para responde-la. Se necessário, utilize o verso das

folhas disponibilizadas.

Questão 01 (6,0 pontos)

Uma empresa mineradora deve exportar 6.000 toneladas de minério de ferro atendendo as especificações a seguir:

Fe Al2O3 P PPC He Teor mínimo 44,5 0,27 0,035 2,05 38 Teor máximo 49,5 0,37 0,043 2,65 50

A mineradora dispõe de um conjunto de pilhas de minérios, cuja composição, disponibilidade e custo são dados a seguir:

Fe Al2O3 P PPC He Disp. Custo Pilha 1 52,64 0,52 0,084 4,48 45 1500t 10,5 Pilha 2 39,92 0,18 0,029 0,65 97 2000t 12,5 Pilha 3 47,19 0,5 0,05 2,52 52 1700t 12 Pilha 4 49,36 0,22 0,039 1,74 78 1450t 10 Pilha 5 43,94 0,46 0,032 2,36 41 1250t 11,5 Pilha 6 48,97 0,54 0,057 4,34 90 1890t 11 Pilha 7 47,46 0,2 0,047 5,07 9 1640t 10,8 Pilha 8 46,52 0,32 0,039 3,51 4 1124t 11,2 Pilha 9 56,09 0,95 0,059 4,1 80 1990t 10,4 Pilha 10 46 0,26 0,031 2,51 21 900t 12 Pilha 11. 49,09 0,22 0,04 4,2 12 1540t 10,3 Pilha 12 49,77 0,2 0,047 4,81 12 1630t 11,9 Pilha 13 53,03 0,24 0,047 4,17 1 1320t 12,3 Pilha 14 52,96 0,29 0,052 4,81 1 1245t 11,1 Pilha 15 42,09 0,17 0,031 1,38 47 1859t 12,1


Ex.: Mistura de minérios

Notação utilizada:

P : conjunto de pilhas

T : conjunto de teores de qualidade

d: quantidade de minério a produzir (demanda)

ci: custo por tonelada utilizada da pilha i

qi: capacidade da pilha i

ai,j : teor de qualidade j da pilha i

b−j : teor mínimo para o parâmetro j

b+j : teor máximo para o parâmetro j



Minimizar:∑i∈P

cixi

Sujeito a:∑i∈P

xi = d

xi ≤ qi ∀i ∈ P∑i∈P

ai,jxi ≥ b−j d ∀j ∈ T∑i∈P

ai,jxi ≤ b+j d ∀j ∈ T

xi ≥ 0 ∀i ∈ P


Ex.: Mistura de minérios (2)

Minimizar:∑i∈P

cixi

Sujeito a:∑i∈P

xi = d


ai,jxi ≥∑i∈P

b−j xi ∀j ∈ T∑i∈P

ai,jxi ≤∑i∈P

b+j xi ∀j ∈ T

xi ≥ 0 ∀i ∈ P



Minimizar:∑i∈P

cixi

Sujeito a:∑i∈P

xi = d


(ai,j − b−j

)xi ≥ 0 ∀j ∈ T

∑i∈P

(ai,j − b+j

)xi ≤ 0 ∀j ∈ T

xi ≥ 0 ∀i ∈ P


Exercícios

Exercício prático

Adapte o modelo de forma que:1 O custo fixo de 100 unidades monetárias seja considerado pela

utilização de uma pilha.2 Uma pilha seja utilizada apenas se 500 ou mais toneladas forem

extraídas.

E agora, como modelar estas situações?


Variáveis inteiras

Embora tenham profundo impacto negativo na resolução do modelo,variáveis inteiras (e binárias) são extremamente úteis!

Para resolver o exercício 1:

criaremos uma variável binária (e portanto inteira) yi ∈ {0, 1}se y1 = 1 então a pilha i é utilizada;

se y0 = 0 então a pilha i não é utilizada.



Minimizar:∑i∈P

cixi + 100yi

Sujeito a:∑i∈P

xi = d

xi ≤ qiyi ∀i ∈ P∑i∈P

(ai,j − b−j

)xi ≥ 0 ∀j ∈ T

∑i∈P

(ai,j − b+j

)xi ≤ 0 ∀j ∈ T

xi ≥ 0, yi ∈ {0, 1} ∀i ∈ P


Variáveis inteiras

Para resolver o exercício 2:

A variável yi pode ser utilizada também para definir um mínimo a serretirado da pilha:

se y1 = 1 então xi ≥ 500

se y0 = 0 então x1 não precisa ser maior ou igual a 500

Basta adicionar a restrição a seguir:

xi ≥ 500yi ∀i ∈ P



Minimizar:∑i∈P

cixi + 100yi

Sujeito a:∑i∈P

xi = d

xi ≤ qiyi ∀i ∈ P

xi ≥ 500yi ∀i ∈ P∑i∈P

(ai,j − b−j

)xi ≥ 0 ∀j ∈ T

∑i∈P

(ai,j − b+j

)xi ≤ 0 ∀j ∈ T

xi ≥ 0, yi ∈ {0, 1} ∀i ∈ P


Ex.: Indústria do Vestuário

Uma indústria fabrica camisetas, meias e calças.

O maquinário necessário para a confecção de cada item pode ser alugadosemanalmente por: camisetas (200), meias (150) e calças (100).

A fabricação de cada item requer um certo tempo de trabalho em horas e umaquantidade de tecido em m2. Além disso, existe um preço de venda para cadaitem e um custo unitário de produção.

Item Horas de Trab. Tecido Preço Venda Custo Produção

Camiseta 3 4 12 6Meias 2 3 8 4Calça 6 4 15 8

Em uma semana, existe a disponibilidade de 150 horas de trabalho e 160 m2 detecido. Formule o programa linear que maximize o lucro dessa indústriaconsiderando o planejamento de uma semana.



Variáveis

x1: número de camisetas produzidas

x2: número de meias produzidas

x3: número de calças produzidas

x1, x2, x3 ∈ Z

Custo FixoNote que o custo de aluguel das máquinas não depende da quantidadeproduzida de um determinado item e sim da decisão binária de produzirou não determinado item.



Variáveis Auxiliares

y1: 1 se alguma camiseta foi produzida e 0 caso contrário

y2: 1 se alguma meia foi produzida e 0 caso contrário

y3: 1 se alguma calça foi produzida e 0 caso contrário

y1, y2, y3 ∈ {0, 1}

Custo FixoNote que cada yi é uma variável inteira tal que 0 ≤ yi ≤ 1(com i ∈ {1, 2, 3})



Maximize6x1 + 4x2 + 7x3 − 200y1 − 150y2 − 100y3

Sujeito a

horas : 3x1 + 2x2 + 6x3 ≤ 150

tecido : 4x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 160

Mas... Como garantir que o valor de y é consistente com o de x, ou seja, quequalquer valor maior que zero em xi implique yi = 1?

Big M

Utilizaremos o Big M: xi ≤Myi,onde M é uma constante suficientemente grande



Maximize6x1 + 4x2 + 7x3 − 200y1 − 150y2 − 100y3

Sujeito a

horas : 3x1 + 2x2 + 6x3 ≤ 150

tecido : 4x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 160

maqCamisetas : x1 ≤My1

maqMeias : x2 ≤My2

maqCalcas : x3 ≤My3

x1, x2, x3 ∈ Zy1, y2, y3 ∈ {0, 1}


Ex.: Transportes de Asteróide

Uma transportadora tem uma frota de caminhões dedicada a uma rota com altarequisição (ex.: Rio – São Paulo).

Os caminhões são utilizados para a entrega de um conjunto de encomendas jáestabelecido. O objetivo é distribuir todas as encomendas minimizando onúmero de caminhões necessário.

Cada caminhão tem uma determinada capacidade. Além disso, por questões desegurança, encomendas de alto valor não devem ser concentradas em umcaminhão só, de modo que existe um limite para o valor máximo estimado dasencomendas na carga de um caminhão. O custo de um caminhão realizar umaviagem no trecho também é pré-determinado.


Ex.: Transportes Asteróide

Dados de entrada

C conjunto de caminhões E conjunto de encomendaswc capacidade do caminhão c pe peso da encomenda evc valor máx. no caminhão c se valor da encomenda etc custo viagem do caminhão c

Variáveis

xe,c =

{1 se encomenda e é transportada pelo caminhão c0 caso contrário

yc =

{1 se o caminhão c é utilizado0 caso contrário


Ex.: Transportes Asteróide - Modelo

Dados de entrada

C conjunto de caminhões E conjunto de encomendaswc capacidade do caminhão c pe peso da encomenda evc valor máx. no caminhão c se valor da encomenda etc custo viagem do caminhão c

Restrições

cada encomande em um caminhão:∑c∈C

xe,c = 1 ∀ e ∈ E

capacidade do caminhão:∑e∈E

pexe,c ≤ wcyc ∀ c ∈ C

valor máx. em cada caminhão:∑e∈E

sexe,c ≤ vcyc ∀ c ∈ C


Ex.: Transportes Asteróide - Modelo

Minimize∑c∈C

tcyc

Sujeito a∑c∈C

xe,c = 1 ∀ e ∈ E∑e∈E

pexe,c ≤ wcyc ∀ c ∈ C∑e∈E

sexe,c ≤ vcyc ∀ c ∈ C

xe,c ∈ {0, 1} ∀ e ∈ E, c ∈ C

yc ∈ {0, 1} ∀ c ∈ C


Variáveis de Folga

Considere o exemplo de Transportes Asteróide

Caso todos os caminhões fiquem cheios e ao menos uma encomendanão caiba mais, o resolvedor indicará que o problema é infactível e nãoinformará nenhuma solução.

Para o usuário, seria mais prático receber uma solução com o máximopossível de itens carregados e com a informação de quais itens nãopuderam ser carregados.


Variáveis de Folga

Restrições Fortes

Até agora os modelos foram especificados com restrições que devem sersatisfeitas sempre. Essas restrições são denominadas RestriçõesFortes.

Restrições Fracas

Para evitar o problema de restringir demais as soluções do problema etorná-lo infactível, podemos utilizar Restrições Fracas: variáveis de folgasão inseridas e penalizadas na função objetivo, de forma a minimizar onão atendimento às restrições consideradas.


Exemplo: Transporte de Fábricas

Fonte: [1] Luís Herique Rodrigues et al. (2014), Pesquisa Operacional -Programação Linear Passo a Passo, Editora Unisinos.

Você possui três fábricas localizadas em regiões geográficas distintas, e precisasaber quanto deve produzir e transportar para quatro diferentes mercados a umcusto mínimo. As informações do custo de transporte unitário entre as fábricas eos mercados estão no quadro a seguir.

Xij – Quantidade de unidades de produto produzidos na fábrica i a ser enviado parao mercado j

Passo 4 – Identificando o que deve ser minimizado ou maximizado

Esse problema indica que “Você possui três fábricas localizadas em regiõesgeográficas distintas e precisa saber quanto deve produzir e transportar para quatrodiferentes mercados, a um custo mínimo”. Dessa maneira, podemos entender que oproblema trata-se da minimização dos custos, e sua função objetivo pode ser definida daseguinte forma:

MINIMIZAR CUSTO

Onde o custo é: custo de transporte da fábrica i para o mercado j multiplicadopela quantidade de unidades de produto produzidos na fábrica i a ser enviado para omercado j.

Passo 5 – Identificando classes de restrições

Ao observar o quadro que apresenta os dados do problema, identificam-se duasclasses de restrições, destacadas a seguir:

Quadro 9 – Classes de restrições do problema 3 – transporte

Custo de transporteMercados

Capacidade Produtiva1 2 3 4

FábricasA $ 0,90/un $ 1,00/un $ 1,80/un $ 1,05/un 22.500 unB $ 2,10/un $ 0,80/un $ 0,70/un $ 1,15/un 21.000 unC $ 1,10/un $ 1,00/un $ 1,20/un $ 1,50/un 19.500 un

Demanda mínima 10.000un 15.000un 11.000un 10.000un

Demanda mínima: Para cada um dos mercados deve ser expedido uma quantidade29 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras


min∑i∈F

∑j∈M

ci,jxi,j

s.a.∑j∈M

xi,j ≤ pi ∀i ∈ F

∑i∈F

xi,j ≥ dj ∀j ∈M

xi,j ≥ 0 ∀i ∈ F,∀j ∈M

Mas... faz sentido enviar uma única unidade?Faz sentido produzir só uma unidade?

Na prática, geralmente tem-se um frete mínimo (ou custo fixo).

E uma produção mínima para viabilizar a fábrica...



ExercícioAdicione as seguintes características do mundo real ao modelo:1 Inclua uma produção mínima mi para cada fábrica i ∈ F .2 Inclua um custo fixo fi,j para transportar produtos da fábrica i ∈ F

para o mercado j ∈M (ou seja, um custo fixo se xi,j > 0).


Ex.: Investimentos

A empresa VALOR está considerando 4 investimentos. Cada um tem umaperspectiva de ganho e um custo, os quais são descritos a seguir:

Investimento Ganho Custo

1 16.000 5.0002 22.000 7.0003 12.000 4.0004 8.000 3.000

A empresa tem atualmente 14.000 disponível para investir. Modele o problemaque descreve como a VALOR irá investir de maneira ótima.


Ex.: Investimentos

Investimentos

(em milhares de unidade monetárias)

max. 16x1 + 22x2 + 12x3 + 8x4

s.t. 5x1 + 7x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 14

x1, x2, x3, x4 ≥ 0


Exercícios

Exercícios (para o final da aula)

Que restrições adicionais devem ser incluídas no problema da VALOR

para tratar as seguintes particularidades:

1 deve-se investir no máximo em 2 investimentos;2 o investimento em 2 implica que se deve investir em 1;3 o investimento em 2 implica que não se deve investir em 4;


Dica: negação

O Complemento Binário

Sejam y e x variáveis binárias (lógicas), se y é a negação de xdenominamos y como complemento binário de x.

y = x

Linearizando:

y = 1− x


Exercício

Exercício 1O casal Uni & Sina decidiu passar a sua lua de mel em Paris. Para tanto,conseguiram uma folga de dez dias para desfrutar as belezas da CidadeLuz. Entretanto, estão com duas grandes dúvidas:

1 Qual passeios escolher dentre as várias possibilidades e estilosdisponíveis.

2 Qual opção de financiamento para custear as despesas.

Os passeios disponíveis são listados a seguir com seus estilos, dias deduração e custo.


Exercício

Passeios disponíveis

Passeio Estilo Duração (dias) Custo (R$)

A Histórico 4 R$ 1000.00

B Histórico 3 R$ 900.00

C Aventura 5 R$ 1500.00

D Aventura 1 R$ 800.00

E Romance 3 R$ 2000.00

F Romance 4 R$ 3000.00

G Infantil 2 R$ 500.00

Opções de financiamento

Financeira Valor mínimo Valor máximo Taxa de juros

I Histórico 4 R$ 1000.00

II Histórico 3 R$ 900.00

III Aventura 5 R$ 1500.00

�1


/ 12

Perguntas?

aula 09: modelagem / variáveis inteiras - otimização ...€¦ · aula de hoje: mais modelagem! 1...

Documents