aula 03 - parte a

7/24/2019 Aula 03 - Parte A

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Robótica

Prof. Reinaldo Bianchi

Centro Universitário da FEI2013

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3a aula

Parte A

3ª aula completa para agraduação

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Objetivos desta aula

Sistemas de Referência

Coordenadas Homogêneas.

Transformações entre sistemas decoordenadas.

Cinemática de manipuladores:

– Modelo geométrico de um manipulador. – Modelo de Denavit-Hartenberg.

– Cinemática direta.

Capítulos 2 e 3 de “ Introduction to Robotics”,

de J. J. Craig.

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Introdução

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Introdução

Para realizar o controle do manipuladoré necessário o estudo do seu

funcionamento mecânico. Mecânica =

– dinâmica +

– estática + – cinemática!

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Cinemática

Cinemática é o estudo do movimentodos robôs sem levar em conta as forças

e as massas envolvidas. Envolve apenas:

– posição,

– velocidade, – aceleração

– e suas derivadas.

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O problema central da cinemática

O problema central da cinemática écomo definir a posição do robô:

– Cinemática direta:• A partir das posições das articulações,

encontrar a posição e orientação da ferramentano espaço cartesiano da base.

– Cinemática inversa:• Definir as posições das articulações, dada uma

posição e orientação desejada para aferramenta.

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. . .

X

Y

Z

O

Base

Atuador

1 2

i

n

z

y

x

p

p

p

x

n

.

.

.

2

1

θ

p x , p y , p z

Variáveis das

Juntas Variáveis no

espaço

cartesiano

xDireta

Inversa

(Juntas) (Cartesiano)

O problema central

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Solucionando a Cinemática

Para solucionar os problemas decinemática direta e inversa, “basta”

saber computar as relaçõesmatemáticas entre as posições de cadaelo:

– Adota-se um sistema de coordenadas porelo.

– Utiliza-se conceitos de álgebra linear ...

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Descrições Espaciais eTransformações

Capítulo 2 do Craig.

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Descrições espaciais

Uma descrição é uma matriz utilizadapara descrever os objetos com os quais

um manipulador deve tratar. A descrição de uma posição é uma

matriz 3 x 1:

AP =

p x

py

pz

é

ë

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

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Descrições espaciais (II)

A descrição de uma orientação é umamatriz de rotação 3 x 3:

Denota a diferença entre a orientaçãodesejada e um sistema de coordenadasqualquer:

B

AR = A ˆ XB AYB

AZB[ ] =

r 11 r 12 r 13

r 21 r 22 r 23

r 31 r 32 r 33

é

ë

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

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Descrição de uma posição

YA

XA

ZA

{A}

AP

AP =

p x

py

pz

é

ë

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

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x0 = x1 + xf ,y0 = y1 + yf .

Translação

AP =BP + AP BORG

XA

ZA

YA

{A}

ZB

YB

{B}

XB

AP

APBORG

BP

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P R P B A

B

A Rotação 2D

x 1 = x 0 cosq

+ y 0 sinq

y 1 = x 0 sinq + y 0 cosq

XA

YA

x0

y0

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Rotação 3D

YA

XA

ZA BP

BP = p x X B + py Y B + pz Z B

AP = p x A X B + py

AY B + pz AZ B

AP = A X B AY B

AZ B[ ] p x py

pz

é

ë

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

AP =B AR B

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R x =

1 0 0

0 cosq senq

0 senq cosq

é

ë

êêê

ù

û

úúú

R y =

cosq

0 senq

0 1 0

senq 0 cosq

é

ë

êêê

ù

û

úúú

R z =

cosq senq 0

senq cosq 0

0 0 1

é

ë

êê

ê

ù

û

úú

ú

Matrizes de rotação parciais 3D

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De { A} para { B}

{A}

XB

αX

αY

αZ

cos

X ( )=

X A×

X B

cos Y ( ) =Y A× X B

cos Z ( ) = Z A× X B

Pode-se

concluir que:

A X B =

X A× X B

Y A× X B

Z A× X B

é

ë

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

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Sistemas de Referências ( Frames)

Um sistema de referência é umadescrição da posição e orientação de

um objeto de maneira conjunta. É composto por 4 matrizes, que

eqüivalem a uma matriz de posição

(origem do sistema) e uma matriz derotação.

{B} ={B AR , AP BORG}

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Sistemas de Referências ( Frames)

Como visto na segunda aula, existemdiversos sistemas de referências

utilizados: – Sistema de coordenadas do mundo.

– Sistema de coordenadas de juntas.

– Sistema de coordenadas do ponto demontagem.

– Origem do sistema: Centro do Atuador.

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Sistema do mundo (Base)

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Sistema da garra

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Sistemas com nomes definidos.

Base, Wrist, Tool, Station, Goal

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Sistemas com nomes definidos.

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x

z

yx

z

y

Mapeamento entre 2 sistemas

A relação entre dois sistemas quaisqueré conseguida com uma translação e

uma rotação.

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Mapeamento

Se {A} possui a mesma orientação de{B}, então {B} difere de {A} por uma

translação APBORG: AP = BP + APBORG

Mapeamento: a mudança de descriçãode um frame para outro.

O vetor APBORG define um mapeamento.

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Mapeamentos gerais:

Translação + Rotação 2D

Qual a matriz que implementa esta transformação???

{A}

XB

YB

ZB

BP

XA

YA

ZA

AP

APBORG

AP =B

AR BP + AP BORG

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Matriz de transformaçãohomogênea

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Coordenadas Homogêneas

A matemática para implementar acomposição de translação e rotação se tornacomplicada quando se deseja realizardiversas operações.

Fato comum em Álgebra Linear, usada emRobótica e Computação Gráfica.

Matrizes de transformações homogêneaspermitem compor transformações de maneiraelegante: – Rotações, Translações e Escalas.

– Em qualquer dimensão do espaço.

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Coordenadas Homogêneas

Uma representação homogênea de umvetor n-dimensional utiliza um vetor

com n+1 elementos. O vetor real é obtido dividindo-se todos

os elementos pelo elemento n+1.

O elemento n+1 é um fator de escala.

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x o

y o

1

æ

è

ç

çç

ö

ø

÷

÷÷

=

cos sen x f

sen

cos

y f

0 0 1

æ

è

ç

çç

ö

ø

÷

÷÷

x 1

y 1

1

æ

è

ç

çç

ö

ø

Matriz homogênea

Um conjunto de transformações nomundo 2D pode ser representada

completamente por uma matriz 3 x 3:

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1000

987

654

321

z r r r

yr r r

xr r r 3x3

rotation

matrix

3x1

translation

matrix

perspective global scale

Matriz de Transformação

Homogênea 3D

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Exemplo

Um frame { B} se encontra rotacionadocom relação a um frame { A} por 30

graus (sobre o eixo z), e transladado de10 unidades no eixo x e 5 unidades noeixo y.

Dado que um ponto se encontra naposição (3,7) no frame { B}, onde ele seencontra no frame { A}?

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Dado que:

Usamos a definiçãoe encontramos: AP =B

AT BP =

9

12.5

0

é

ë

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

BP =

3

7

0

é

ë

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

B

AT =

cos30 sen30 0 10

sen30 cos 30 0 5

0 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

Exemplo

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Interpretações da matriz de

transformação homogênea. O mapeamento muda a descrição de

um ponto de um sistema de

coordenadas para o outro. No mapeamento, o ponto não é

modificado: somente sua descrição se

altera.

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Cinemática de manipuladores

Capítulo 3 do Craig.

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Definição mecânica de um

manipulador Um manipulador pode ser representado

por n corpos rígidos móveis e um corpo

fixo, ligados por n juntas (ouarticulações), formando uma estruturade cadeia.

Teoria de elementos (ou corpos rígidos)é muito bem fundamentada naengenharia mecânica.

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Definição mecânica de um

manipulador Um manipulador é uma cadeia cinética

composta por:

– Elos (Links):• Os corpos da cadeia.

– Juntas (Joints):

• As articulações entre os corpos.• Conectam os elos e permitem a realização demovimentos de um elo em relação ao eloanterior.

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Exemplo de manipulador: PUMA

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Elos (Links)

Um elo (link ) é um corpo rígido quedefine uma relação entre duas juntas

adjacentes de um manipulador. Elos são numerados em ordem

crescente, iniciando pela base do

manipulador: – A base imóvel é o elo 0

– A primeira parte móvel é o elo 1,

– ...

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Numeração dos elos

Elo 1

Elo 2

Elo 3

Elo 0

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Juntas ou Articulações

Juntas (ou articulações) são definidaspor vetores no espaço 3D:

– A junta i é definida pelo vetor no espaçosobre o qual o elo i rotaciona (outranslada) em relação ao elo i - 1.

– São numeradas a partir do primeiro elo.

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Rotating pair –

Revolute (R)

Sliding pair –

Prismatic (P)

Juntas

Todas podem ser produzidas a partir deduas: Revolução (R) e Prismática (P)

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Tipos de juntas Revolução (R):

– 1 Dof (Rotação)

Prismática (P): – 1 Dof (Translação)

Cilindrica (C): – 2 Dof (Rotação + Translação)

Helicoidal (H) – 1 Dof (Rotação/ Translação com acoplamento)

Planar (E) – 2 Dof (Translação em 2 direções)

Esférica (S)

– 3 Dof (Rotação em 3 direções)

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Seis possíveis juntas

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Configuração de alguns robôs

Cartesian:

PPP

Cylindrical:

RPP

Spherical:

RRP

SCARA: RRPArticulated: RRR

Hand coordinate:

n: normal vector; s: sliding

vector; a: approach vector

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Numeração das Juntas

J 1

Junta 2J 3

Junta 4

Junta 5

Junta 6

Elo 0

Elo 1

Elo 2

Elo 3

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Parâmetros dos elos

Um elo é especificado por doisparâmetros que definem a posição

relativa e a orientação dos eixos da junta incidente no elo: – O comprimento do elo (link lenght ),

denominado a. – A torção do elo (link twist ), denominado .

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Comprimento do elo ai-1

O comprimento do elo é a distânciaentre os eixos das suas juntas ao longo

de uma linha mutualmenteperpendicular aos eixos das juntas.

Esta perpendicular mútua sempre

existe e é única, exceto no caso ondeos eixos das juntas são paralelos... – Neste caso existem infinitas

perpendiculares de tamanho idêntico.

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Torção do elo i-1

A torção de um elo é o ângulo entre asprojeções dos eixos das juntas em um

plano cuja normal é mutualmenteperpendicular aos eixos.

Este ângulo é medido do eixo i-1 para o

eixo i usando a regra da mão direitasobre a perpendicular mútua.

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Parâmetros dos elos

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Parâmetros das juntas

Offset, d i – A distância ao longo do eixo da junta i

entre as intercessões das perpendicularesmútuas com os eixos dos elos i-1 e i – Variável para juntas prismáticas.

Ângulo de junta, i – O ângulo entre as perpendiculares mútuas

incidentes no eixo da junta i. – Variável para juntas rotacionais.

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Axis i - 1Axis i

i

i - 1

a i - 1a i

d i {

Link i - 1

Link i

Parâmetros elo e juntas

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Notação de Denavit-Hartenberg

Metodologia que está se tornandopadrão para calcular os parâmetros

necessários do modelo cinemático. O modelo de D-H permite obter a

posição e a orientação da ferramenta. O modelo D-H define completamente a

cinemática do manipulador.

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Notação de Denavit-Hartenberg

Um robô pode ser especificado ao sedescrever os valores de 4 parâmetros

para cada elo: – comprimento (i-1), torção (i-1),

offset (i) e ângulo (i).

A definição da mecânica de ummanipulador usando estes parâmetrossegue a notação de Denavit-Hartenberg.

A Notação D-H especifica ainda...

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O comprimento e a torção de um elo i

dependem das juntas adjacentes.

Com isso, os términos da cadeia ficamindefinidos.

Por convenção, define-se:

–

–

Valores para ai e i dos elos 0 e n

a0 = an = 0 0 = n = 0

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Parâmetros da junta 1

Se a junta 1 for prismática: –

Se a junta 1 for de rotação: – d

1

= 0

q 1 = var

d 1 = var

q

1 = 0

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Sistemas de referências

Cada corpo elementar (elo) da cadeiacinemática deve ser fixado em um

sistema de referência (frame). Existe uma convenção para anexar

sistemas de referências aos elos, dada

pela Notação D-H: – Frames são numerados de acordo com o

elo ao qual ele está ligado.

– Frame {i} está ligado ao elo i.

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Designando referências aos elos

O eixo Z i do frame {i} está alinhadocomo eixo da junta i.

A origem do frame {i} está localizadano ponto onde a perpendicular ai intersecciona o eixo da junta i.

O eixo X i do frame {i} está alinhadocomo a perpendicular ai na direção de i para i+1.

Y i = Z i X i (use regra da mão direita).

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Z i Z i

Definição dos eixos Zi

Definição dos eixos Z i

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Frames e elos

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Elo n

n+1 l n

n

Junta n+1

Junta n

z n

x n

x n+1

z n+1

x n

z n

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Elo n-1

Elo n

z n -1 y n -1

x n -1

z n

x n

y n

z n +1

x n +1

y n +1

d n

n

n

Junta n+1

l n

Junta n-1 Junta n

l n -1

D i d f ê i l

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Designando referências aos elos:

casos especiais

Se ai = 0 (ou seja, os eixos seinterceptam):

– X i = Z i x Z i+1, isto é, X i é perpendicular aoseixos i e i+1 (Use a regra da mão direita).

D i d f ê i l

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primeiro elo

O frame {0} é escolhido de maneiraarbitrária:

– escolha o eixo Z 0 alinhado com o Z 1, demaneira que o frame {0} e {1} sejamiguais quando a variável da junta 1 forzero.

– Neste caso:

• e d 1 = 0 se a junta 1 for de rotação,

• ou 1 = 0 se a junta 1 for prismática.

a0 = 0, o = 0

D i d f ê i l

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último elo

Se a junta for de revolução:

– Escolha o eixo X n para coincidir com o X n-1

quando n = 0. – Escolha a origem do frame {n} de maneira

que d n = 0.

Se a junta for prismática: – Escolha o eixo X n de maneira que n = 0.

– A origem do frame {n} é a interseção de

X n-1 e o eixo da junta n quando d n = 0.

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Notação D-H a partir dos frames

ai: a distância entre os eixos Z i e Z i+1 medida sobre o eixo X i.

i: o ângulo entre os eixos Z i e Z i+1 medida sobre o eixo X i. d i: a distância entre os eixos X i-1 e X i

medida sobre o eixo Z i. i: o ângulo entre os eixos X i-1 e X i

medidos sobre o eixo Z i-1 .

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Resumo link-frame attachment

(Craig, pg 77 da 2a. Edição ou 69 da 3a. Edição)

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Exemplo 1: D-H para robô 3R

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Exemplo 1: D-H para robô 3R

Y 0ˆ

Y 1ˆ

Y 3ˆ

Y 2ˆ

X 0ˆ

X 1ˆ

X 2ˆ

X 3ˆ

i i - 1 a i - 1 d i i

1 0 0 0 1

2 0 L1 0 2

3 0 L2 0 3

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Exemplo 2: Braço de Stanford

7/24/2019 Aula 03 - Parte A



7/24/2019 Aula 03 - Parte A



1

23

Axes 4, 5, 6

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X1Y1

Z1

X2

Z2

X3

Z3

X4

X5

X6

Z4

Z5

Z6

X7

Z7

Braço de Stanford

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i ai d i i i

1 a1 b1 90° 1

2 a2 b2 90° 2

3 a3 b3 (var ) 90° 90°

4 a4 0 90° 4

5 a5 b5 0° 5

6 a6 b6 0 6

Parâmetros D-H Stanford Arm

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O Modelo cinemático de ummanipulador

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O modelo cinemático

Expressa a posição e a orientação doelemento terminal do robô em relação a

um sistemas de coordenadas fixo abase, em função das coordenadas de juntas.

O modelo pode ser descrito por umafunção que exprime o espaçocartesiano em função do vetor decoordenadas angulares.

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O modelo cinemático

O mapeamento T consiste naexpressão analítica da composição dos

movimentos das juntas para realizar omovimento do elemento terminal dorobô.

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A transformação para um elo

Rotacione sobre X i-1 o ângulo i -1

Translade sobre X i-1 a distância ai-1

Rotacione sobre Z i o ângulo i Translade sobre Z i a distância d i

Ou seja:

i

i 1T =R x i 1( )T x l i 1( )R z q i ( )T z d i ( )

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=

1 0 0 00 cos i 1 sen i 1 0

0 sen i 1 cos i 1 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

1 0 0 ai 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

cosq

i

senq

i 0 0sen

q i cosq i 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

1 0 0 00 1 0 0

0 0 1 d i

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

=

cosq i senq i 0 ai 1

senq i cos

i 1 cosq i cos

i 1 sen i 1 sen

i 1d i

senq i sen i 1 cosq i sen i 1 cos i 1 cos i 1d i

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

Transformação para um elo.

i i 1T = R

i 1T QR T P QT i P

Notação para diminuir o tamanho:sen = scos = c

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Joint n-1 Joint n

Joint n+1Link n-1

Link n

z n -1 y n -1

x n -1

z n

x n

y n

z n +1

x n +1

y n +1

d n

n

n l n l n -1

n-1

T

n

n

1 n

n

n AT 1

n z n xn x R Rl T 11 1n x l T

n z n z n xn x d T R Rl T 11

n-1

11 n x n x R l T

n

n 1T = An = T x l n 1( )R x n 1( )R z q n( )T z d n( ) =

c q n s

q n 0 an 1

sq nc n 1 c q nc n 1 s

n 1 s n 1d n

sq ns n 1 c q ns n 1 c n 1 c n 1d n

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

7/24/2019 Aula 03 - Parte A


Matriz cinemática

Relaciona o sistema de coordenadassolidárias à base do robô com osistema de coordenadas associadas àsua ferramenta terminal.

Em coordenadas homogêneas. Resulta do produto das matrizes de

transformação de cada elo: – Transforma passo a passo.

n

0T =T 1

T 2

T 3

T i

T n

Exemplo 3: Matriz Cinemática

7/24/2019 Aula 03 - Parte A


Exemplo 3: Matriz Cinemática

para o robô 3R

7/24/2019 Aula 03 - Parte A


n


c q n s

q n 0 an 1


n 1 s n 1d n


0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

1

0

T =

cos(q 1) sin(q 1) 0 0

sin(q 1) cos(

q 1) 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

Matriz cinemática para o robô 3R

7/24/2019 Aula 03 - Parte A


n


c q n s

q n 0 an 1


n 1 s n 1d n


0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

2

1

T =

cos(q 2) sin(q 2 ) 0 L1

sin(q 2) cos(q 2 ) 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú


7/24/2019 Aula 03 - Parte A


n


c q n s

q n 0 an 1


n 1 s n 1d n


0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

3

2

T =

cos(q 3) sin(q 3 ) 0 L2

sin(q 3) cos(q 3 ) 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú


7/24/2019 Aula 03 - Parte A


3

0T =

cos(

1) sin(

1) 0 0sin( 1) cos( 1) 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

×

cos(

2) sin(

2) 0 L1

sin( 2) cos( 2) 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

×

cos(

3) sin(

3) 0 L2

sin( 3) cos( 3) 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

3

0T =

cos(

1 +

2 +

3) sin(

1 +

2 +

3) 0 L1 cos(

1) +L2 cos(

1 +

2)

sin( 1 + 2 + 3) cos( 1 + 2 + 3) 0 L1 sin( 1) +L2 sin( 1 + 2)

0 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

3

0T =

c 123 s123 0 L1c 1 +L2c 21

c 123 c 123 0 L1s1 +L2s12

0 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú


7/24/2019 Aula 03 - Parte A


E a ferramenta (ou o último elo)?

L3 ?????

7/24/2019 Aula 03 - Parte A


E a ferramenta?

L3 ?????

EndEffector

3T =

1 0 0 L3

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

êêêê

ù

û

úúúú

{ End Effector } = {Tool }

7/24/2019 Aula 03 - Parte A


Exemplo 3: Equação completa

EndEffector 0T =

c 123 s123 0 L1c 1 + L2c 21

c 123 c 123 0 L1s1 + L2s12

0 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

êêê

ê

ù

û

úúú

ú

×

1 0 0 L3

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

êêê

ê

ù

û

úúú

ú

EndEffector

0

T =T B

T =

c 123 s123 0 L1c 1 +L2c 21 +L3c 123

c 123 c 123 0 L1s1 +L2s12 +L3s123

0 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

7/24/2019 Aula 03 - Parte A


Exemplo 4: Puma

7/24/2019 Aula 03 - Parte A


first identify the six joint axis

Modelo cinemático de um Puma

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Then assign the z-axis of the coordinate frames(either along the joint axis)

z 0 = z 1 z 2z 3

z 4

z 5z 6


7/24/2019 Aula 03 - Parte A


Then assign the x-axis of the coordinate framesfor 1 –3 (either along the joint perpendicular or

along the normal to the plane)

x 3

z 4

z 5z 6

x 0 = x 1 = x 2

a 2

d 3


7/24/2019 Aula 03 - Parte A



7/24/2019 Aula 03 - Parte A


Then assign the x-axis of the coordinate framesfor 4-6 (either along the joint perpendicular or

along the normal to the plane)

a 3x 5

y 5

x 6

z 6

x 3

y 3

x 4

z 4

d 4


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Parâmetros de elo e junta para o

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i i -1

a i -1

d i

i

1 0 0 0 1

2

-90 0 0 2

3 0 a 2 d

3 3

4 -90 a 3 d

4 4

5

90 0 0 5

6 -90 0 0 6

Parâmetros de elo e junta para o

PUMA

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Transformações para o Puma

0T1 = Trans(z , a1) Rot(z , 1)1T2 = Trans( x , a2) Rot( x , 2)2T3 = Trans(z , a3) Rot( x , 3)3T4 = Trans(z , a4) Trans(y , -a5) Rot(z , 4)4T5 = Rot( x , 5)5T6 = Rot(z , 6)

Axis Frame Description1 1 rotation about z axis

2 2 rotation about x axis

3 3 rotation along x axis

4 4 rotation about z axis

5 5 rotation along x axis

6 6 rotation about z axis

x

y

z

a 1

1

2

4

3

6

a 2

a 3

a 4

a 55

7/24/2019 Aula 03 - Parte A


i

i 1T =

c i s

i 0 ai 1

s i c i 1 c i c i 1 s i 1 s i 1d i

s i s i 1 c

i s i 1 c i 1 c

i 1d i

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

Usando a equação generalizada:

1

0T =

c 1

s 1

0 0

s 1 c

10 0

0 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

2

1T =

c 2

s 2

0 0

0 0 1 0

s 2

c 2

0 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

3

2T =

c 3

s 3

0 a2

s 3 c

30 0

0 0 1 d 3

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

4

3T =

c 4

s 4

0 a3

0 0 1 d 4

s 4

c 4

0 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

5

4T =

c 5

s 5

0 0

0 0 1 0

s 5 c

50 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

6

5T =

c 6

s 6

0 0

0 0 1 0

s 6

c 6

0 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

Computamos cada matriz de transformação deelo:

Compute cada transformação

N

0T = 1

0T 21T 3

2T 43T ....... N

N 1T

d i di id i

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Multiplicando todas as matrizes individuais de links:

Temos finalmente:

6

0

T = 1

0

T 21

T 32

T 43

T 54

T 65

6

0T =

n x o x a x p x

ny oy ay py

nz oz az pz

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

Compute todas as individuais

i á i d A

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Onde:n x = c 1 c 23 c 4c 5c 6 s4s6( ) s23s5c 6[ ] + s1 s4s5s6 +c 4s6( )

ny = s1 c 23 c 4c 5c 6 s4s6( ) s23s5c 6[ ] c 1 s4s5s6 + c 4s6( )

nz = s23 c 4c 5c 6 s4s6( ) c 23s5c 6

o x = c 1 c 23 c 4c 5c 6 s4s6( ) s23s5c 6[ ] + s1 c 4c 6 s4c 5s6( )

oy = s1 c 23 c 4c 5c 6 s4s6( ) s23s5c 6[ ] c 1 c 4c 6 s4c 5s6( )

oz = s23 c 4c 5c 6 s4c 6( ) c 23s5s6

a x = c 1 c 23c 4c 5 s23c 5( ) s1s4s5

ay = s1 c 23c 4c 5 s23c 5( ) + c 1s4s5

az = s23c 4s5 c 23c 5

p x = c 1 a2c 2 + a3c 23 d 4s23( ) d 3s1

py = s1 a2c 2 + a3c 23 d 4s23( ) d 3c 1

pz = a3c 23 a2s2 + d 4c 23

Usando a fórmula de soma dos ângulos :

s23 = sin 2 + 3( ) = c 2c 3 s2s3

c 23 = cos 2 + 3( ) = c 2s3 s2c 3 .

Equações cinemáticas do PUMA

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Cinemática direta

Ci á i di

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Cinemática direta

Permite, a partir dos valores dascoordenadas de juntas, calcular a

posição do manipulador. Usado para o controle do manipulador.

O problema:

– Determine a posição da ferramenta dadosos valores das juntas θ1, θ2, θ3, θ4, θ5, … θn

Solução:

– Basta calcular a matriz cinemática

M i i á i ( d )

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1000

987

654

321

z r r r yr r r

xr r r 3x3

rotationmatrix

3x1

translationmatrix

perspective global scale

Matriz cinemática… (revendo)

E l l éb i R bô 1R

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Exemplo algébrico: Robô 1R

O Robô 1R possui apenas uma juntarotacional…

É o pêndulo simples...

(x,y,f)

10T =

cos(q 1) sin(q 1) 0 0

sin(q

1) cos(q

1) 0 00 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

.

E õ R bô 1R

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Equações para o Robô 1R

EndEffector 0T =

cos(

1) sin(

1) 0 0

sin( 1) cos( 1) 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

êêêê

ù

û

úúúú

×

1 0 0 L1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

êêêê

ù

û

úúúú

EndEffector

0T =

cos( 1) sin( 1) 0 L1 cos( 1)

sin( 1) cos( 1) 0 L1 sin( 1)

0 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

Solução completa:

x = L1 cosq 1

y = L1 sinq 1

= q

1

E õ R bô 2R

7/24/2019 Aula 03 - Parte A



EndEffector

0T =

c 12 s12 0 L1c 1 +L2c 21

c 12 c 12 0 L1s1 +L2s12

0 0 1 00 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

x = L1 cosq 1 + L2 cos q 1 + q 2( )

y = L1 sinq 1 + L2 sin

q 1 + q 2( )

= q 1 + q 2( )

(x,y,f)

Solução completa:

E õ R bô 3R

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REFERENCE

POINT

l 1

l 2

l 3

3

2

1

f ( x , y )

x

y


x = L1 cosq 1 + L2 cos

q 1 + q 2( ) + L3 cos

q 1 + q 2 +

q 3( )

y = L1 sinq 1 + L2 sin

q 1 + q 2( ) + L3 sin q 1 + q 2 + q 3( )

= q 1 + q 2 + q 3( )

EndEffector

0T =

c 123 s123 0 L1c 1 +L2c 21 +L3c 123

c 123 c 123 0 L1s1 +L2s12 +L3s123

0 0 1 0

0 0 0 1

é

ë

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

Solução completa:

E õ bô PRRR

7/24/2019 Aula 03 - Parte A


Palletizador da Adept.

x = l 2 cosq 2 + l 3 cos q 2 + q 3( ) + l 4 cos q 2 + q 3 + q 4( )

y = l 2

sinq

2+ l

3sin q

2+ q

3( )+ l

4 sin q

2+ q

3+ q

4( )z = d 1

= q 2 + q 3 + q 4( )

Equações para um robô PRRR

Solução completa:

C l ã

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Conclusão

Modelagem do manipulador érelativamente simples.

Modelo D-H é uma receita de comomodelar o robô.

Cinemática direta é simples.

A seguir: – Laboratório com Matlab!

Fi ó i l (d t i )

7/24/2019 Aula 03 - Parte A


How do I put myhand here?

Fim… próxima aula (de teoria)…

aula 03 - parte a

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