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Equaes DiferenciaisDany Oliveira

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Srie numrica infinita, definio, propriedadesAula 08

ObjetivosDesenvolver noes de srie numrica infinitas e de convergncia de sries comparando com sequncias.

SequnciasUma sequencia uma lista de nmeros numa certa ordem, a1, a2, a3, ..., an ... , onde a1 o 1 termo, a2 o 2 termo, ... , an o n-simo termo geral.Notao: {a1, a2, a3, ..., an } ou {an }.

Ex:

Convergncia e divergncia de uma sequnciaConverge se

Diverge se no existe ou infinito.

Sries infinitasConsideremos a sequncia (an)nN e construamos a partir desta, a seguinte soma parcial:

S1 = a1S2 = a1 + a2Sn= a1+ a2 + ... + an

Srie numrica infinitaDefinio:Se {an} uma sequncia infinita, ento uma expresso

chamada srie numrica infinita de termo geral an. Se somarmos os N primeiros termos desta srie, teremos o que chamamos de soma parcial:

Exemplos

a) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16

b) 1, 2, 6, 24, 120 ...

Convergncia e divergncia de uma srie

S a soma da srie se .

Converge:

Diverge: Quando no converge.

Exerccios

Limites de uma sequencia

Exemplos

ExerccioPara as sries abaixo determine:Os quatro primeiros termos da srie;A sequencia das somas parciais;A soma da srie, se possvel.

01)

02)

Sries geomtricas

Uma srie geomtrica uma srie da forma:

A n-sima soma parcial da srie geomtrica :

Concluses

Exerccios01. Determine se a srie convergente ou divergente, se convergente encontre a soma.

4)

Exerccios03. Expresse a dzima peridica 0,222 ... Como uma frao comum

04 Encontre os valores de x para os quais a srie converge e a soma da srie para esses valores.

Teste da divergncia ou Critrio do Termo Geral

Mostre que as sries so divergentes:

a)

b)

c)

d) Exemplos

P-srie ou srie hiper-harmnica Uma p- srie uma srie da forma:

Teste da Integral

ExemplosEstude a convergncia das p-sries:

1) 2) 3)

Propriedades das sries

Propriedades das sries

Propriedades das sries

Exemplo: e

d) A convergncia ou divergncia de uma srie no afetada pela retirada ou o acrscimo de um nmero finito de termos. Em outras palavras: Se converge ( diverge), a srie obtida de acrescentando-se ou suprimindo-se alguns termos tambm converge (diverge) .

Ex:

Propriedades das sries

Sries AlternadasTeste de Leibniz

Sries Alternadas

Teste das Sries Alternadas (Teste de Leibniz)

A srie alternada , an > 0 converge se todas as condies a seguir forem satisfeitas:

Os an forem decrescente: an > an +1 , .

Exerccios

Usando o teste de Leibniz (TL) , examine quanto convergncia, as sries:

a)

b)

c)

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Somas Aproximadas de Sries Alternadas

Se uma srie alternada satisfaz s condies do Teste de Leibniz e S a sua soma temos o seguinte resultado:

Exemplo

Determine quantos termos devem ser utilizados para calcular a soma da srie inteira com com um erro de menos de 0,001

Somas Aproximadas de Sries Alternadas

Com este resultado podemos avaliar somas de sries alternadas com preciso de k casas decimais usando que

Convergncia absoluta

ObjetivosIdentificar a diferena entre convergncia absoluta e convergncia de sries.

Convergncia Absoluta

Convergncia absoluta e convergncia condicional

Determine se a srie dada absolutamente convergente:Exerccios

Teste da razo, Teste da Raiz

ObjetivosConhecer mtodos de convergncia.

ExercciosDetermine se a srie convergente ou divergente pelo teste da razo.

ExercciosDetermine se a srie convergente ou divergente pelo teste da raiz.

Sries de Potncias

ObjetivosDeterminar o domnio de convergncia das sries de potncia;Encontrar uma representao em srie de potncias para as funes;

Sries de potnciaDefinio:

Quando em uma srie de potncias a varivel for substituda por um nmero, a srie resultante numrica e pode convergir ou no.

Intervalo de convergncia

Procedimento para encontrar o intervalo de convergncia de uma srie de potncias.

Aplicar o teste da razo ( ou da raiz);Resolver a inequao resultante;Analisar os extremos individualmente.Intervalo de convergncia

Convencionaremos as seguintes observaes:

A varivel x ROs coeficientes an R(x-a)0 = 1 mesmo que x = ax0 = 1 mesmo que x=0

Intervalo de convergncia

01. Determinar os intervalos de convergncias das sries:Exerccios

Uma srie de potncias pode ser encarada como uma funo da varivel x.

Onde o domnio de f o conjunto dos valores de x que tornam a srie convergente. Clculos numricos utilizando srie de potncias so a base para a construo de calculadoras. Clculos algbricos, diferenciao e integrao podem ser realizados com o uso de sries. O mesmo acontece com as funes trigonomtricas, trigonomtricas inversas, logaritmos e hiprboles.Funes definidas por sries de potncias

Se uma srie de potncias tem um intervalo de convergncia ]a r, a + r[ , onde r o raio de convergncia, podemos usar a srie de potncias para definir uma funo cujo domnio o intervalo de convergncia da srie ]a r, a + r[ f: ]a r, a + r[ Rf(x) =

ou seja, para cada valor de x pertencente ao intervalo ]a r, a + r[ associamos o valor que corresponde soma da srie

f(x) = = a0 + a1(x a) + a2(x a)2 + a3(x a)3 +...

Funes definidas por sries de potncias

Exemplos: A srie geomtrica tem regio de convergncia ]1, 1[. Assim, nesteintervalo ela define a funo f(x) =

A srie uma srie geomtrica de razo r = x a. No intervalo ela define a funo f(x)

A partir da srie geomtrica, tanto como potncia de x quanto como potncia de ( x a) podemos obter novas sries que definem outras funes.

Funes definidas por sries de potncias

Exerccios

Considere a srie geomtrica

obtenha uma representao em srie de potncias para

ExercciosEncontre uma representao em srie de potncias para as seguintes funes:

a)

b)

Considere a srie geomtrica

obtenha uma representao em srie de potncias para

, a = 2 , a = 2

, a = 1

Exerccios

Derivao e integrao das sries de potncias

Exemplos

Derivando termo a termo temos:

Exemplo

Integrando termo a termo temos:

1) f(x) = ln(1+x)

Sries de Taylor e Maclaurin

ExemploEncontre a srie de Taylor gerada por f(x) = 1/x em a = 2.

Polinmio de TaylorSeja f uma funo com derivadas de ordem n para n = 1,2, n em algum intervalo contendo a como ponto interior. Ento, para qualquer inteiro n de 0 a N, o polinmio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a o polinmio