Capıtulo 8

Movimentos da Lua

A Lua e o corpo celeste mais proximo da Terra. O valor atual de suadistancia foi obtido por laser, utilizando um espelho colocado na Lua pelosastronautas. Medindo o tempo de ida e vinda de um feixe de laser disparadoda Terra na direcao da Lua, se obtem que sua distancia varia de 356 800 kma 406 400 km, com um valor medio de 384 000 km. A excentricidade da

49

orbita da Lua e de 0,0549.A Lua tem tres movimentos principais: a rotacao em torno de seu proprio

eixo, a translacao em torno da Terra e a revolucao em torno do Sol juntocom a Terra.

O plano orbital da Lua tem uma inclinacao de 5o9′ em relacao a eclıptica.Apesar desse angulo permanecer aproximadamente constante, o plano orbi-tal nao e fixo, movendo-se de maneira tal que seu eixo descreve um cırculocompleto em torno do eixo da eclıptica num perıodo de 18,6 anos. Portanto,em relacao ao equador da Terra, a orbita da Lua tem uma inclinacao quevaria de 18,4o (23,5o - 5,15o) a 28,7o (23,5o + 5,15o).

Em relacao ao equador da Lua, o seu plano orbital tem uma inclinacaode menos do que 1o.

O diametro aparente medio da Lua e de 31’ 5”(0,518o), o mesmo tamanhodo diametro aparente do Sol. Sabendo que a distancia media da Lua e de384 000 km, se deduz que seu diametro e de 3476 km (D=384 000 km × sen0,518). A sua massa e de 1/81 da massa da Terra.

Sendo a Lua o corpo celeste mais proximo, ela e o que se move maisrapidamente em relacao a nos, com excepcao de corpos passageiros, comometeoros.

8.1 Fases da lua

A medida que a Lua viaja ao redor da Terra ao longo do mes, ela passa porum ciclo de fases, durante o qual sua forma parece variar gradualmente. Ociclo completo dura aproximadamente 29,5 dias.

Esse fenomeno e bem compreendido desde a Antiguidade. Acredita-seque o grego Anaxagoras (± 430 a.C.), ja conhecia sua causa, e Aristoteles(384 - 322 a.C.) registrou a explicacao correta do fenomeno: as fases daLua resultam do fato de que ela nao e um corpo luminoso, e sim um corpoiluminado pela luz do Sol. A face iluminada da Lua e aquela que esta vol-tada para o Sol. A fase da lua representa o quanto dessa face iluminada estavoltada tambem para a Terra. Durante metado do ciclo essa porcao esta au-mentando (lua crescente) e durante a outra metade ela esta diminuindo (luaminguante). Tradicionalmente epenas as quatro fases mais caracterısticasdo ciclo - Lua Nova, Quarto-Crescente, Lua Cheia e Quarto-Minguante -recebem nomes, mas a porcao que vemos iluminada da Lua, que e a suafase, varia de dia para dia. Por essa razao os astronomos definem a fase daLua em termos de numero de dias decorridos desde a Lua Nova (de 0 a 29,5)e em termos de fracao iluminada da face visıvel (0% a 100%).

50

Lua Nova: E quando a face visıvel da Lua nao recebe luz do Sol, pois osdois astros estao na mesma direcao. Nessa fase, a Lua esta no ceu du-rante o dia, nascendo e se pondo aproximadamente junto com o Sol.Durante os dias subsequentes, a Lua vai ficando cada vez mais a lestedo Sol, e portanto o lado oeste da face visıvel vai ficando crescente-mente mais iluminado, ate que, aproximadamente uma semana depoistemos o Quarto-Crescente, com 50% da face iluminada.

Lua Quarto-Crescente: E quando toda a metade oeste da face voltadapara a Terra esta iluminada. Lua e Sol, vistos da Terra, estao se-parados de aproximadamente 90◦. A Lua nasce aproximadamente aomeio-dia e se poe aproximadamente a meia-noite. Apos esse dia, afracao iluminada da face visıvel continua a crescer pelo lado oeste,pois a Lua continua a leste do Sol, ate que atinge a fase Cheia.

Lua Cheia 100% da face visıvel esta iluminada. A Lua esta no ceu du-rante toda a noite, nasce quando o Sol se poe e se poe no nascer doSol. Lua e Sol, vistos da Terra, estao em direcoes opostas, separadosde aproximadamente 180◦, ou 12h. Nos dias subsequentes a porcao daface iluminada passa a ficar cada vez menor a medida que a Lua ficacada vez mais a oeste do Sol, que a ilumina pelo lado leste. Aproxi-madamente 7 dias depois, a fracao iluminada ja se reduziu a 50%, etemos o Quarto-Minguante.

Lua Quarto-Minguante A Lua esta aproximadamente 90◦ a oeste do Sol,e vemos iluminada a metade leste de sua face visıvel. A Lua nasceaproximadamente a meia-noite e se poe aproximadamente ao meio-dia. Nos dias subsequentes a Lua continua a minguar, ate atingir odia 0 do novo ciclo.

8.1.1 Lua C ou D?

E comum, no hemiferio sul, representarmos a fase quarto-crescente por umdisco com a metade esquerda iluminada (lembrando a letra C) e a fasequarto-minguante por um disco com a metade direita iluminada (lembrandoa letra D). No hemisferio norte se faz o contrario, a fase quarto-crescente erepresentada por uma figura lembrando a letra D e a fase quarto-minguantepor uma figura lembrando a letra C. Isso gera, em muitas pessoas, a ideiade que o lado iluminado da Lua muda de um hemisferio para o outro, o quenao e verdade.

51

Na fase crescente o lado iluminado da Lua e sempre o seu lado voltadopara o oeste, e na fase minguante o lado iluminado e o lado voltado parao leste. Isso independe de o observador estar no hemisferio norte ou sulda Terra. O que muda e a orientacao da Lua em relacao ao observador,pois para todos os lugares hemisferio sul com latitude mais ao sul do que29o, a Lua sempre cruza o meridiano local ao norte do zenite, ao passoque emt todos os lugares do hemisferio norte com latitudes acima de 29o aLua sempre cruza o meridiano ao sul do zenite. Se a Lua esta ao norte dozenite, o observador, para ve-la quando ela esta mais alta no ceu , se voltapara a direcao norte. Nesse caso, o hemisferio oeste da Lua estara a suaesquerda, e o hemisferio leste a sua direita. Consequentemente, a Lua terauma forma lembrando um C durante a primeira semana do ciclo lunar, eforma lembrando um D na ultima semana. Para um observador que ve a Luaestando voltado para o sul as formas aparentex da Lua nas fases crescentese minguantes ficam invertidas.

8.1.2 Mes lunar e mes sideral

O intervalo de tempo entre duas fases iguais consecutivas e de 29d 12h 44m2,9s (' 29,5 dias). Essa e a duracao do mes sinodico, ou lunacao, ouperıodo sinodico da Lua.

O perıodo sideral da Lua, ou mes sideral e o tempo necessario paraa Lua completar uma volta em torno da Terra, em relacao a uma estrela.Sua duracao e de 27d 7h 43m 11s, sendo portanto ≈ 2,25 dias mais curtodo que o mes sinodico.

8.1.3 Dia lunar

A Lua se move 360◦/27, 3d ≈ 13◦ para leste, por dia, em relacao as estrelas.Esse movimento e um reflexo da translacao da Lua em torno da Terra,completada em 27,32166 dias1 (mes sideral). O Sol tambem se move≈ 1◦ pordia para leste, refletindo a translacao da Terra em torno do Sol, completadaem 365,2564 dias (ano sideral). Portanto, a Lua se move ≈ 12◦ por dia, paraleste, em relacao ao Sol. Devido a isso, a cada dia a Lua cruza o meridianolocal ≈ 50 min mais tarde do que no dia anterior. O dia lunar, portanto,tem aproximadamente 24h 50m (24h 48m).

1Como o sistema Terra—Lua sofre influencia gravitacional do Sol e dos planetas, aTerra e a Lua nao sao esfericas e as mares provocam friccao dentro da Terra e da Lua, aorbita da Lua nao e regular, precisando de mais de cem termos para ser calculada comprecisao. O perıodo sideral varia ate 7 horas.

52

8.1.4 Rotacao da lua

A medida que a Lua orbita em torno da Terra, completando seu ciclo defases, ela mantem sempre a mesma face voltada para a Terra.

Isso indica que o seu perıodo de translacao e igual ao perıodo de rotacaoem torno de seu proprio eixo. Portanto. a Lua tem rotacao sincronizadacom a translacao.

Se não houvesse rotação Com rotação sincronizada

Rotação sincronizada da Lua

E muito improvavel que essa sincronizacao seja casual. Acredita-se queela tenha acontecido como resultado das grandes forcas de mare exercidaspela Terra na Lua no tempo em que a Lua era jovem e mais elastica. Asdeformacoes tipo bojos causadas na superfıcie da Lua pelas mares teriamfreado a sua rotacao ate ela ficar com o bojo sempre voltado para a Terra,e portanto com perıodo de rotacao igual ao de translacao. Essa perda derotacao teria em consequencia provocado o afastamento maior entre Lua eTerra (para conservar o momentum angular). Atualmente a Lua continuaafastando-se da Terra, a uma taxa de 4 cm/ano. Devido a rotacao sincroni-zada da Lua, a face da Lua que nao podemos ver chama-se face oculta, queso pode ser fotograda pelos astronautas em orbita da Lua. Note tambemque como a Lua mantem a mesma face voltada para a Terra, um astronautana Lua nao ve a Terra nascer ou se por. Se ele esta na face voltada para aTerra, a Terra estara sempre visıvel. Se ele estiver na face oculta da Lua,nunca vera a Terra.

53

B

C

A

D

B A

C

D

Penumbra

Sol

Umbra

Figura 8.1: Elementos de uma sombra.

8.2 Eclipses

Um eclipse acontece sempre que um corpo entra na sombra de outro. As-sim, quando a Lua entra na sombra da Terra, acontece um eclipse lunar.Quando a Terra e atingida pela sombra da Lua, acontece um eclipse solar.

8.2.1 Geometria da sombra

Quando um corpo extenso (nao pontual) e iluminado por outro corpo ex-tenso definem-se duas regioes de sombra:

umbra: regiao da sombra que nao recebe luz de nenhum ponto da fonte.

54

penumbra: regiao da sombra que recebe luz de alguns pontos da fonte.

Calculo do tamanho da sombra

Consideremos um corpo luminoso de raio R a uma distancia d de uma esferaopaca de raio R′. Atras do corpo opaco se formara um cone de sombra cujaaltura queremos determinar.

d

RR’ C

L

Sendo:

• L = comprimento da sombra, isto e, a altura do cone de sombra

• d = distancia da fonte a esfera opaca

• R = raio da fonte

• R′ = raio da esfera opaca

Por semelhanca de triangulos temos que:

R′

L=

R

L+ d

E portanto a altura do cone de sombra (L) e:

L =R′ dR−R′

Calculo do raio da sombra

RR’

d

Cl

L

r (l)

A seguir vamos determinar o tamanho da sombra a uma certa distancial da esfera opaca. Como a sombra e conica, sua forma em qualquer ponto ecircular.

Sendo:

55

• r(l) = raio da sombra a distancia l da esfera opaca

• L = comprimento da sombra

• R′ = raio da esfera opaca

Novamente por semelhanca de triangulos temos que:

r(l)L− l

=R′

L

E o raio da sombra a distancia l da esfera opaca e:

r(l) = R′L− l

L

8.2.2 Eclipses do Sol e da Lua

Os eclipses do Sol e da Lua sao os eventos mais espetaculares do ceu.Um eclipse solar ocorre quando a Lua esta entre a Terra e o Sol, de

forma que a sombra da Lua atinge a Terra.Se o disco inteiro do Sol estiver atras da Lua, o eclipse sera total. Caso

contrario, sera parcial. Se a Lua estiver proxima de seu apogeu, o diametroda Lua sera menor que o do Sol, e ocorrera um eclipse anular.

O eclipse solar total comeca quando o disco da Lua alcanca a bordado disco do Sol, e aproximadamente uma hora depois o Sol fica completa-mente atras da Lua. Nos ultimos instantes antes da totalidade, as unicaspartes visıveis do Sol sao aquelas que brilham atraves de pequenos vales naborda irregular da Lua, um fenomeno conhecido como “anel de diamante”.Durante a totalidade, o ceu se torna escuro o suficiente para que se possaobservar os planetas e as estrelas mais brilhantes. Apos a fase de “anel de di-amante” (ja descrito por Edmund Halley no eclipse de 3 de maio de 1715), odisco do Sol fica completamente coberto pela Lua, e aparece a coroa solar, aatmosfera externa do Sol, composta de gases rarefeitos que se estendem pormilhoes de km. E extremamente perigoso olhar o Sol diretamente. Mesmouma pequena exposicao danifica permanentemente o olho, sem apresentarqualquer dor!

Durante um eclipse solar, a umbra da Lua na Terra tem no maximo270 km de largura. Portanto um eclipse solar total so e visıvel, se o climapermitir, em uma estreita faixa sobre a Terra, de no maximo 270 km de lar-gura, chamada de caminho do eclipse. Em uma regiao de aproximadamente3000 km de cada lado do caminho do eclipse, ocorre um eclipse parcial.

56

Como vimos na secao 8.1.3, a Lua se move aproximadamente 12◦ pordia, para leste, em relacao ao Sol, o que implica numa velocidade de:

12◦/dia360◦

× 2π × 384 000 km ' 80 400 km/dia ' 56 km/min

A velocidade de um ponto da superfıcie da Terra devido a rotacao para lesteda Terra e,

2πR⊕1 dia

=2π × 6 370 km

24 h= 1667 km/h ' 28 km/min

Como a velocidade da Lua no ceu e maior do que a velocidade de rotacaoda Terra, a velocidade da sombra da Lua na Terra tem o mesmo sentido domovimento (real) da Lua, ou seja, para leste. O valor da velocidade da som-bra e, grosseiramente, 56 km/min−28 km/min = 28 km/min. Calculos maisprecisos, levando-se em conta o angulo entre os dois movimentos, mostramque a velocidade da Lua em relacao a um certo ponto da Terra e de pelomenos 34 km/min para leste. A duracao da totalidade do eclipse, em umcerto ponto da Terra, sera o tempo desde o instante em que a borda leste daumbra da Lua toca esse ponto ate o instante em que a borda oeste da Luao toca. Esse tempo e igual ao tamanho da umbra dividido pela velocidadecom que ela anda, aproximadamente,

270 km34 km/min

= 7, 9 min

Na realidade, a totalidade de um eclipse dura no maximo 7 1/2 minutos.Um eclipse lunar acontece quando a Lua entra na sombra da Terra. Se

ela fica inteiramente imersa na umbra da Terra o eclipse e total; se somenteparte dela passa pela umbra, e o resto passa pela penumbra, o eclipse eparcial. Se a Lua passa somente na penumbra, o eclipse e penumbral. Umeclipse total e sempre acompanhado das fases penumbral e parcial. Umeclipse penumbral nao e facil de ver diretamente com o olho, pois o brilhoda Lua permanece quase o mesmo. Durante a fase total, a Lua ressurgeinteira, com uma luminosidade tenue e avermelhada. Isso acontece porqueparte da luz solar e refractada na atmosfera da Terra e atinge a Lua. Poremessa luz esta quase totalmente desprovida dos raios azuis, que sofreram forteespalhamento e absorcao na espessa camada atmosferica atravessada.

57

Sol

A distancia da Lua, 384 000 km, a umbra da Terra tem um diametro de9 200 km em media, cobrindo 2,6 diametros da lua. Esses valores variamum pouco porque dependem das distancias relativas entre Sol, Terra e Luaem cada eclipse. Como a velocidade orbital da Lua e de 3 682 km/h, a luapode levar ate 150 min para atravessar a umbra, mas a fase de totalidadenunca dura mais do que 100 min. A duracao maxima de um eclipse lunar,incluindo as fases de parcialidade, e 3,8 hr. Em contraste com um eclipsedo Sol, que so e visıvel em uma pequena regiao da Terra, um eclipse da Luae visıvel por todos que possam ver a Lua, ou seja, por todo o hemisferio daTerra onde e noite. Devido a isso, os eclipses da Lua sao vistos com maiorfrequencia que eclipses do Sol, de um dado local na Terra.

Temporadas dos eclipses

Se o plano orbital da Lua coincidisse com o plano da eclıptica, aconteceriaum eclipse solar a cada Lua nova e um eclipse lunar a cada Lua cheia.No entanto, o plano orbital da Lua nao coincide com o plano da eclıptica,mas sim esta inclinado 5◦ em relacao em relacao a este. Os pontos deintersecoes entre as duas orbitas se chamam nodos, e a linha que une osdois nodos se chama linha dos nodos. Para ocorrer um eclipse, a Lua, alem

58

de estar na fase Nova ou Cheia, precisa estar no plano da eclıptica, ouseja, precisa estar em um dos nodos ou proxima a ele. Como o sistemaTerra-Lua orbita o Sol, aproximadamente duas vezes por ano a linha dosnodos esta alinhada com o Sol e a Terra. Estas sao as temporadas doseclipses, quando os eclipses podem ocorrer. Quando a Lua passar pelo nododurante a temporada de eclipses, ocorre um eclipse. Como a orbita da Luagradualmente gira sobre seu eixo, com um perıodo de 18,6 anos de regressaodos nodos, as temporadas ocorrem a cada 173 dias, e nao exatamente a cadameio ano. A distancia angular da Lua ao nodo precisa ser menor que 4,6◦

para um eclipse lunar total, e menor que 10,3◦ para um eclipse solar total,o que estende a temporada de eclipses para 31 a 38 dias, dependendo dostamanhos aparentes e velocidades aparentes do Sol e da Lua, que variamporque as orbitas da Terra e da Lua sao elıpticas, de modo que pelo menosum eclipse ocorre a cada 173 dias. Em cada temporada, ocorrem de um atres eclipses. No caso de ocorrer somente um eclipse sera um eclipse solar;se ocorrerem tres serao dois solares e um lunar. As temporadas dos eclipsessao separadas por 173 dias [(1 ano-20 dias)/2]. Em um ano, acontecem nomınimo dois eclipses, sendo os dois solares, e no maximo sete eclipses, sendocinco solares e 2 lunares ou quatro solares e tres lunares.

Saros

A direcao da linha dos nodos nao e constante, mas se desloca devido aefeitos gravitacionais provocados pelo Sol. O perıodo de tempo que a linhados nodos leva pra dar uma volta completa chama-se Saros, e tem duracaode 18 anos e 11 dias, ou 6585,32 dias. Nesse perıodo de tempo, Sol, Luae Terra retornam as mesmas posicoes relativas, e a sequencia de eclipsessolares e lunares se repete, mas nao na mesma hora e no mesmo lugar. Umeclipse em um ciclo acontece aproximadamente 8 horas mais tarde e 120◦ delongitude mais a oeste do que no ciclo anterior.

8.3 Exemplos de calculos de eclipses

1. Calcular o comprimento medio da sombra da Terra, considerando-se:

• distancia Terra-Sol: 149 600 000 km

• raio da Terra: 6370 km

• raio do Sol: 696 000 km

59

Tabela 8.1: Eclipses do Sol 2010-2020

Data Tempo Dinamico Latitude Longitude Tipo de(centro) (centro) (centro) Eclipse

15 Jan 2010 07:07:39 2 N 69 E Anular do Sol11 Jul 2010 19:34:38 20 S 122 O Total do Sol4 Jan 2011 08:51:42 65 N 21 E Parcial do Sol1 Jun 2011 21:17:18 68 N 47 E Parcial do Sol1 Jul 2011 08:39:30 65 S 29 E Penumbral do Sol

25 Nov 2011 06:21:24 69 S 82 O Parcial do Sol20 Mai 2012 23:53:54 49 N 176 E Anular do Sol13 Nov 2012 22:12:55 40 S 161 O Total do Sol10 Mai 2013 00:26:20 2 N 175 E Anular do Sol3 Nov 2013 12:47:36 3 N 12 O Total do Sol

29 Abr 2014 06:04:33 71 S 131 E Anular do Sol23 Out 2014 21:45:39 71 N 97 O Parcial do Sol20 Mar 2015 09:46:47 64 N 7 O Total do Sol13 Set 2015 06:55:19 72 S 2 O Parcial do Sol9 Mar 2016 01:58:19 10 N 149 E Total do Sol1 Set 2016 09:08:02 11 S 38 E Anular do Sol

26 Fev 2017 14:54:33 35 S 31 O Anular do Sol21 Ago 2017 18:26:40 37 N 88 O Total do Sol15 Fev 2018 20:52:33 71 S 1 E Parcial do Sol13 Jul 2018 03:02:16 68 S 127 E Parcial do Sol

11 Ago 2018 09:47:28 70 N 174 E Parcial do Sol6 Jan 2019 01:42:38 67 N 154 E Parcial do Sol2 Jul 2019 19:24:07 17 S 109 O Total do Sol

26 Dez 2019 05:18:53 1 N 102 E Anular do Sol21 Jun 2020 06:41:15 31 N 80 E Anular do Sol14 Dez 2020 16:14:39 40 S 68 O Total do SolA diferenca entre o Tempo Dinamico e o Tempo Universal, devido principalmente a

friccao causada pelas mares, aumenta de 67s em 2010 para 74s em 2020.

60

Tabela 8.2: Eclipses da Lua 2010-2020Data Tempo Dinamico Tipo de

(centro) Eclipse26 Jun 2010 11:39:34 Parcial da Lua21 Dez 2010 08:18:04 Total da Lua15 Jun 2011 20:13:43 Total da Lua10 Dez 2011 14:32:56 Total da Lua04 Jun 2012 11:04:20 Parcial da Lua28 Nov 2012 14:34:07 Penumbral da Lua25 Abr 2013 20:08:38 Parcial da Lua25 Mai 2013 04:11:06 Penumbral da Lua18 Out 2013 23:51:25 Penumbral da Lua15 Abr 2014 07:46:48 Total da Lua08 Out 2014 10:55:44 Total da Lua04 Abr 2015 12:01:24 Total da Lua28 Set 2015 02:48:17 Total da Lua

23 Mar 2016 11:48:21 Penumbral da Lua16 Set 2016 18:55:27 Penumbral da Lua11 Fev 2017 00:45:03 Penumbral da Lua07 Ago 2017 18:21:38 Parcial da Lua31 Jan 2018 13:31:00 Total da Lua27 Jul 2018 20:22:54 Total da Lua21 Jan 2019 05:13:27 Total da Lua16 Jul 2019 21:31:55 Parcial da Lua10 Jan 2020 19:11:11 Penumbral da Lua05 Jun 2020 19:26:14 Penumbral da Lua05 Jul 2020 04:31:12 Penumbral da Lua

30 Nov 2020 09:44:01 Penumbral da Lua

61

Como

comprimento da sombra =distancia da fonte× raio da esfera

raio da fonte− raio da esfera

Obtemos:

comprimento da sombra =149 600 000km× 6370km

696 000km− 6370km

oucomprimento da sombra = 1 381 800km

2. Seja r o raio da Terra, R = 109r o raio do Sol, L = 23680r a distanciaentre o Sol e a Terra.

• a) Qual e o comprimento do cone de sombra formado?

h =L× r

R− r=

23680r2

109r − r= 219, 26r

b) Qual e o raio deste cone a uma distancia de l = 60r por ondepassa a Lua? Como

r(l)h− l

=r

h

r(l) =r

h(h− l) =

r

219, 26r(219, 26r − 60r) = 0, 726r

c) Sendo rL = r/3, 6 o raio da Lua, quantos diametros lunarescabem nessa regiao da sombra?

r(l)/rL =0, 726rr/3, 6

= 2, 6

Isto e, na distancia da Lua, a umbra da Terra tem 9200 km. A pe-numbra tem 16 000 km e como a velocidade da Lua na sua orbita ede 3400 km/hr, um eclipse total da Lua dura cerca de 1h 40m e umeclipse parcial da Lua dura cerca de 6 h.

62