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UNESP – UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CÂMPUS DE PRESIDENTE PRUDENTE

FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

Presidente Prudente

2020

ASTRONOMIA DE POSIÇÃO

Notas de Aulas do Curso de

Graduação em Engenharia Cartográfica e de Agrimensura

Dr. José Milton Arana

MSc. Vinícius Amadeu Stuani Pereira

Dra. Daniele Barroca Marra Alves

Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Triângulo esférico. .................................................................................................. 10 Figura 2 – Igualdade dos triângulos esféricos. ......................................................................... 11

Figura 3 – Triângulo esférico retângulo. .................................................................................. 16 Figura 4 – Coordenadas geográficas ou astronômicas. ............................................................ 20 Figura 5 – Superfícies utilizadas em Geodésia. ........................................................................ 21 Figura 6 – Trecho das efemérides de algumas estrelas. ........................................................... 23 Figura 7 – Atração entre duas partículas. ................................................................................. 26

Figura 8 – Lei das órbitas. ........................................................................................................ 27

Figura 9 – Lei das áreas. ........................................................................................................... 27 Figura 10 – Esfera celeste e definições. ................................................................................... 31

Figura 11 – Coordenadas de um ponto. .................................................................................... 32 Figura 12 – a) Sistema dextrógiro e b) sistema levógiro. ......................................................... 32 Figura 13 – Sistema de coordenadas horizontais. .................................................................... 33 Figura 14 – Sistema de coordenadas horizontais (isolado). ..................................................... 34

Figura 15 – Sistema de coordenadas horárias. ......................................................................... 36 Figura 16 – Eclíptica e linha equinocial. .................................................................................. 38

Figura 17 – Sistema de coordenadas equatoriais ou uranográficas. ......................................... 39 Figura 18 – Sistema de coordenadas eclípticas. ....................................................................... 40

Figura 19 – Efemérides de algumas estrelas do ano de 2009. .................................................. 42 Figura 20 – Astro referido aos sistemas de coordenadas horizontais e horárias. ..................... 43

Figura 21 – Triângulo de posição. ............................................................................................ 44 Figura 22 – Astro referido aos sistemas de coordenadas horárias e uranográficas. ................. 47 Figura 23 – Astro referido aos sistemas de coordenadas uranográficas e eclípticas. ............... 48

Figura 24 – Triângulo esférico Pn-pn-E. .................................................................................. 49 Figura 25 – Esfera reta.............................................................................................................. 53

Figura 26 – Esfera paralela. ...................................................................................................... 54 Figura 27 – Esfera oblíqua........................................................................................................ 55 Figura 28 – Movimento aparente do Sol com a esfera celeste. ................................................ 57

Figura 29 – Trajetória aparente do Sol na esfera reta. .............................................................. 58 Figura 30 – Trajetória aparente do Sol na esfera paralela. ....................................................... 59 Figura 31 – Trajetória aparente do Sol com observador na zona tropical. ............................... 60

Figura 32 – Trajetória aparente do Sol com observador na zona temperada. .......................... 61

Figura 33 – Triângulo de posição. ............................................................................................ 62

Figura 34 – Astro na passagem meridiana superior (H = 0h ou 0º). ........................................ 63 Figura 35 – Astro na passagem meridiana inferior (H = 12h ou 180º). ................................... 65

Figura 36 – Astro na passagem pelo horizonte - nascendo (h = 0º ou z = 90º). ....................... 68 Figura 37 – Astro na passagem pelo horizonte - ocultando (h = 0º ou z = 90º). ...................... 69 Figura 38 – Astro na passagem pelo primeiro vertical (A = 90º ou A = 270º). ....................... 71

Figura 39 – Triângulo de posição retângulo no zênite. ............................................................ 72 Figura 40 – Astro na passagem pelo círculo das seis horas (H = 6h ou H = 18h). ................... 73

Figura 41 – Triângulo de posição retângulo no Pólo. .............................................................. 74 Figura 42 – Astro elongando (Q = 90º). ................................................................................... 75 Figura 43 – Triângulo de posição retângulo no astro. .............................................................. 76

Figura 44 – Hora sideral local. ................................................................................................. 80 Figura 45 – Sistema de fusos horários utilizado na Astronomia. ............................................. 84

Figura 46 – Diferença de horas entre dois meridianos. ............................................................ 85 Figura 47 – a) Ano trópico e b) ano anomalístico. ................................................................... 89


Figura 48 – Relação entre os dias sideral e médio. .................................................................. 90 Figura 49 – Emissora: Observatório Nacional. ........................................................................ 94 Figura 50 – Emissora: Rio Rádio. ............................................................................................ 95 Figura 51 – Emissora: Rádio Relógio Federal.......................................................................... 95 Figura 52 – Emissora: Serviço da Hora do Observatório Nacional. ........................................ 95

Figura 53 – Triângulo de posição. ............................................................................................ 98 Figura 54 – Observação ao Sol pelo método de uma tangência e uma bisseção. ................... 103 Figura 55 – Observação ao Sol pelo método da dupla tangência. .......................................... 104 Figura 56 – Erro do ponto zenital do instrumento. ................................................................. 105 Figura 57 – Paralaxe do astro. ................................................................................................ 106

Figura 58 – Redução da distância zenital ao centro do Sol. ................................................... 107

Figura 59 – Redução do ângulo azimutal ao centro do Sol. ................................................... 108 Figura 60 – Efeito da refração. ............................................................................................... 108

Figura 61 – Refração astronômica. ......................................................................................... 109 Figura 62 – Azimute da mira. ................................................................................................. 124 Figura 63 – Determinação da latitude pelo método de Sterneck. ........................................... 133 Figura 64 – Posições médias das estrelas, 2011. .................................................................... 138

Figura 65 – Posições aparentes das estrelas 1311 e 452 no trânsito pelo meridiano de

Greenwich, 2009. .................................................................................................................... 143

Figura 66 – Posições médias das estrelas, 2011. .................................................................... 152 Figura 67 – Posições aparentes das estrelas 577, 682, 861 e 866 no trânsito pelo meridiano de

Greenwich, 2009. .................................................................................................................... 158 Figura 68 – Determinada da longitude pelo método das alturas iguais de uma mesma estrela.

................................................................................................................................................ 165 Figura 69 – Azimute da mira. ................................................................................................. 168 Figura 70 – Triângulo de posição retângulo no astro. ............................................................ 171

Figura 71 – Posições médias das estrelas, 2011. .................................................................... 180 Figura 72 – Posições aparentes das estrelas 625, 683 e 689 no trânsito pelo meridiano de

Greenwich, 2009. .................................................................................................................... 186 Figura 73 – Precessão lunissolar (1). ...................................................................................... 207 Figura 74 – Precessão lunissolar (2). ...................................................................................... 208

Figura 75 – Nutação (1). ......................................................................................................... 209 Figura 76 – Nutação (2). ......................................................................................................... 209 Figura 77 – Nutação (3). ......................................................................................................... 210

Figura 78 – Coordenadas médias, verdadeiras e aparentes. ................................................... 212


LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Escala de magnitude e brilho das estrelas............................................................... 23 Tabela 2 – Unidades médias dos anos trópico, sideral e anomalístico. .................................... 89

Tabela 3 – Programa de observações para a determinação da latitude pelo método da

passagem meridiana de um estrela. ........................................................................................ 131 Tabela 4 – Programa de observações para a determinação da latitude pelo método de

Sterneck. ................................................................................................................................. 136 Tabela 5 – Programa de observações para a determinação da longitude pelo método das

distâncias zenitais absolutas. .................................................................................................. 150

Tabela 6 – Programa de observações para a determinação do azimute por estrelas em

elongação. ............................................................................................................................... 174

Tabela 7 – Programa de observações para a determinação do azimute por estrelas em circum-

elongação. ............................................................................................................................... 178 Tabela 8 – Comparação da variação da longitude da estrela Spica entre 283 a.C. e 129 a. C..

................................................................................................................................................ 205


SUMÁRIO

1 REVISÃO DE TRIGONOMETRIA ESFÉRICA .......................................................... 10

1.1 Definições ..................................................................................................................... 10

1.2 Igualdade dos Triângulos Esféricos .............................................................................. 11

1.3 Propriedades dos Triângulos Esféricos ......................................................................... 11

1.4 Distância Esférica ....................................................................................................... 12

1.5 Triângulo polar ........................................................................................................... 12

1.6 Excesso Esférico......................................................................................................... 13

1.7 Fórmulas Fundamentais da Trigonometria Esférica ..................................................... 13

1.8 Resolução de Triângulos Esféricos retângulos e relitáteros ......................................... 16

1.9 Exercícios Propostos...................................................................................................... 18

2 COORDENADAS DE UM PONTO SOBRE A SUPERFÍCIE DA TERRA E SOBRE

O MODELO GEOMÉTRICO .......................................................................................... 19

2.1 Introdução ..................................................................................................................... 19

2.2 Coordenadas Geográficas ou Astronômicas ................................................................. 20

3 NOÇÕES PRELIMINARES DE COSMOGRAFIA ...................................................... 22

3.1 Astros Fixos e Errantes ................................................................................................. 22

3.2 Sistema Solar ................................................................................................................ 24

3.3 Universo........................................................................................................................ 25

4 GRAVITAÇÃO UNIVERSAL ......................................................................................... 26

4.1 Lei da Gravitação Universal ......................................................................................... 26

4.2 Leis de Kepler ............................................................................................................... 27

4.3 Movimentos da Terra .................................................................................................... 28

5 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES ............................................................ 29

5.1 Esfera Celeste e Definições .......................................................................................... 29

5.2 Sistema de Coordenadas ............................................................................................... 32

5.2.1 Sistema de coordenadas horizontais ...................................................................... 33

5.2.2 Sistema de coordenadas horárias ........................................................................... 35

5.2.3 Sistema de coordenadas equatoriais ou uranográficas .......................................... 37

5.2.4 Sistema de coordenadas eclípticas ......................................................................... 40

5.3 Efemérides .................................................................................................................... 41

6 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS ................................................................. 43


6.1 Triângulo de Posição .................................................................................................... 43

6.2 Transformação de Coordenadas Horizontais em Horárias e Vice-Versa ..................... 44

6.3 Transformação de Coordenadas Horárias em Equatoriais e Vice-Versa ..................... 46

6.4 Transformação de Coordenadas Equatoriais em Eclípticas e Vice-Versa.................... 48

6.5 Exercícios Propostos..................................................................................................... 51

7 ESTUDO GEOMÉTRICO DO MOVIMENTO DIURNO ............................................ 52

7.1 Movimento Aparente dos Astros Fixos ........................................................................ 52

7.2 Aspectos do Céu Segundo a Latitude ........................................................................... 53

7.3 Movimentos Aparentes do Sol ..................................................................................... 56

7.3.1 Trajetória aparente do Sol em diferentes latitudes ................................................ 58

8 ESTUDO ANALÍTICO DO MOVIMENTO DIURNO ................................................. 62

8.1 Posição de um Astro em um Dado Instante .................................................................. 62

8.2 Astro na Passagem Meridiana Superior ........................................................................ 63

8.3 Astro na Passagem Meridiana Inferior ......................................................................... 65

8.4 Astro na Culminação .................................................................................................... 66

8.5 Astro na Passagem pelo Horizonte ............................................................................... 68

8.6 Astro na Passagem pelo Primeiro Vertical ................................................................... 71

8.7 Astro na Passagem pelo Círculo das Seis Horas .......................................................... 73

8.8 Astro em Elongação ...................................................................................................... 75

8.9 Exercícios Propostos..................................................................................................... 78

9 TEMPO EM ASTRONOMIA .......................................................................................... 79

9.1 Tempo Sideral............................................................................................................... 79

9.2 Tempo Solar Verdadeiro .............................................................................................. 80

9.3 Tempo Solar Médio ...................................................................................................... 81

9.4 Equação do Tempo ....................................................................................................... 82

9.5 Hora Legal .................................................................................................................... 83

9.6 Diferença de Horas entre Dois Meridianos .................................................................. 85

9.7 Tempo das Efemérides ................................................................................................. 87

9.8 Tempo Universal Coordenado (TUC) .......................................................................... 88

9.9 Ano ............................................................................................................................... 88

9.10 Relação entre os Dias Sideral e Médio ....................................................................... 90

9.11 Conversões de Horas .................................................................................................. 91

9.12 Interpolação de Coordenadas Uranográficas .............................................................. 92


9.13 Cronometria e Radiofusão dos Sinais Horários .......................................................... 93

9.14 Exercícios Propostos................................................................................................... 96

10 CIRCUNSTÂNCIAS FAVORÁVEIS ÀS DETERMINAÇÕES ASTRONÔMICAS98

10.1 Circunstância Favorável à Determinação da Latitude ................................................ 98

10.2 Circunstância Favorável à Determinação da Longitude ........................................... 100

10.3 Circunstância Favorável à Determinação do Azimute ............................................. 100

11 CORREÇÕES ÀS OBSERVAÇÕES .......................................................................... 103

11.1 Ponto Zenital (PZ) ..................................................................................................... 104

11.2 Paralaxe (p) ............................................................................................................... 105

11.3 Semidiâmetro do Sol (SD) ........................................................................................ 106

11.4 Refração Astronômica (R) ........................................................................................ 108

11.5 Correção Total nas Distâncias Zenitais .................................................................... 110

11.6 Exercício Proposto .................................................................................................... 111

12 DETERMINAÇÕES ASTRONÔMICAS EXPEDITAS ........................................... 112

12.1 Determinação da Latitude pelo Método da Culminação do Sol ............................... 112

12.2 Determinação da Longitude pelo Método das Distâncias Zenitais do Sol ............... 117

12.3 Determinação do Azimute por Distâncias Zenitais do Sol ....................................... 123

13 DETERMINAÇÃO DE PRECISÃO ........................................................................... 129

13.1 Determinação da Latitude ......................................................................................... 129

13.1.1 Determinação da latitude pelo método da passagem meridiana de uma estrela 129

13.1.2 Determinação da latitude pelo método de Sterneck .......................................... 132

13.2 Determinação da Longitude ...................................................................................... 145

13.2.1 Determinação da longitude pelo método da passagem meridiana ..................... 146

13.2.2 Determinação da longitude pelo método das distâncias zenitais absolutas ....... 147

13.2.3 Determinação da longitude pelo método das alturas iguais de uma estrela ...... 164

13.2.4 Determinação da longitude pelo método de Zinger........................................... 166

13.3 Determinação do Azimute ........................................................................................ 168

13.3.1 Determinação do azimute por distâncias zenitais absolutas de estrelas ............ 169

13.3.2 Determinação do azimute por estrelas em elongação ........................................ 171

13.3.3 Determinação do Azimute por Observações às Estrelas em Circum-elongação175

14 DETERMINAÇÃO DE ALTA PRECISÃO ............................................................... 191

14.1 Determinação da Latitude pelo Método de Horrebow-Talcott ................................. 191

14.2 Determinação da Longitude pelo Método de Mayer ................................................ 196


14.3 Determinação do Azimute Através de Observações à Estrela Polar Sul Sigma

Octantis (σOct) ........................................................................................................... 201

15 VARIAÇÃO DAS COORDENADAS URANOGRÁFICAS ..................................... 205

15.1 Histórico ................................................................................................................... 205

15.2 Fatores Determinantes das Variações ....................................................................... 205

15.3 Precessão Lunissolar................................................................................................. 206

15.4 Nutação ..................................................................................................................... 208

15.5 Precessão Planetária ................................................................................................. 210

15.6 Precessão Geral ......................................................................................................... 210

15.7 Paralaxe Anual .......................................................................................................... 211

15.8 Aberração Estelar ..................................................................................................... 211

15.9 Aberração Anual ....................................................................................................... 211

15.10 Aberração Diária ..................................................................................................... 211

15.11 Movimento Próprio................................................................................................. 212

15.12 Coordenadas Médias, Verdadeiras e Aparentes ..................................................... 212


10

1 REVISÃO DE TRIGONOMETRIA ESFÉRICA

Os fundamentos da Trigonometria Esférica são essenciais para o estudo da

Astronomia de Posição. Assim, uma breve revisão é apresentada a seguir (para mais detalhes

consultar as notas de aulas da disciplina de Trigonometria Esférica).

1.1 Definições

▪ Superfície esférica: é o lugar geométrico dos pontos do espaço que

equidistam de um ponto interior denominado de centro;

▪ Círculo máximo: consiste na interseção de um plano com uma esfera,

sendo o centro da esfera contido no plano;

▪ Círculo menor: consiste na interseção de um plano com uma esfera,

sendo o centro da esfera não contido no plano;

▪ Polígono esférico: é a porção da superfície esférica limitada

exclusivamente por arcos de circunferência máxima; e

▪ Triângulo esférico: é a porção da superfície esférica limitada por 3

arcos de circunferência máxima menores que 180º; ou polígono

esférico formado por 3 lados menores que 180º.

A Figura 1 apresenta a ilustração do triângulo esférico.

Figura 1 – Triângulo esférico.


11

Um triângulo esférico possui 6 elementos: 3 lados (a, b, c) e 3 ângulos (A,

B, C). Resolver um triângulo esférico é determinar 3 de seus elementos quando são

conhecidos os outros 3 elementos.

1.2 Igualdade dos Triângulos Esféricos

Dois triângulos pertencentes à mesma esfera são iguais quando:

▪ Possuir um ângulo igual, compreendido entre dois lados

respectivamente iguais (Figura 2 a));

▪ Possuir três lados respectivamente iguais (Figura 2 b)); ou

▪ Ter um lado igual, adjacentes a dois ângulos iguais (Figura 2 c)).

Figura 2 – Igualdade dos triângulos esféricos.

1.3 Propriedades dos Triângulos Esféricos

▪ Um lado sempre é menor que a soma dos outros dois lados, e maior

que a diferenças dos mesmos:

o a < (b + c); e

o a > (b – c).

▪ O lado maior se opõe ao ângulo maior;

▪ A lados iguais se opõem ângulos iguais;

▪ A soma dos ângulos de um triângulo esférico esta compreendido entre

180º e 540º:

o 180º < (A + B + C) < 540º.

▪ A soma dos lados de um triângulo esférico é sempre menor que 360º:

o (a + b + c) < 360º.


12

1.4 Distância Esférica

É o menor arco de circunferência máxima que liga dois pontos na superfície

esférica, a figura abaixo ilustra a distância esférica entre os pontos A e B.

Se existirem dois pontos não diametralmente opostos de uma superfície

esférica, por ele sempre passa um único arco de círculo máximo. Assim, a distância esférica

entre estes dois pontos é o arco de menor comprimento do círculo máximo que passa por eles.

)(radRd =

1.5 Triângulo polar

Polar é o lugar geométrico dos pontos da superfície esférica que distam 90o

dos polos. Assim, todas as circunferências máximas perpendiculares a polar contém os polos.

Dois triângulos esféricos são polares quando os vértices do primeiro são os pólos dos lados

homônimos do outro, e reciprocamente.

A relação existente entre os triângulos polares diz: “os lados de um

triângulo esférico polar são suplementos dos ângulos do triângulo dado, e seus ângulos são

os suplementos dos lados do triângulo dado”.

Propriedades dos triângulos polares (decorrentes da relação mencionada).

A + a’ = 180o

B + b’ = 180o

C + c’ = 180o

a + A’ = 180o

b + B’ = 180o

c + C’ = 180o

A B

C


13

1.6 Excesso Esférico

A soma dos ângulos de um triângulo esférico euleriano é sempre maior que

180o, e o que excede de 180o é denominado de excesso esférico.

= A + B + C – 180o (este excesso é proporcional à área do triangulo esférico)

O excesso esférico também pode ser calculado com uso da Fórmula de

L’Huillier:

−

−

−

=

22224

2 cstg

bstg

astg

stgtg

, onde

2

cbas

++=

A área do triângulo esférico, determinada a partir de seu excesso esférico é:

radRS 2= o

oRS

180

2 = S = R2 sen 1” ”

1.7 Fórmulas Fundamentais da Trigonometria Esférica

Fórmula dos 4 Elementos (lados) – relaciona três lados e um ângulo.

C cosbsen asen b cosa cosc cos

B coscsen asen c cosa cosb cos

A coscsen bsen c cosb cosa cos

+=

+=

+=

(1)

Fórmula dos 4 Elementos (ângulos) – relaciona três ângulos e um lado.

c cosBsen Asen B cosA cos C cos

b cosCsen Asen C cosA cos B cos

a cosCsen Bsen C cosB cos A cos

+−=

+−=

+−=

(2)


14

Fórmula dos 5 Elementos – relaciona três lados e dois ângulos.

A cosc cosbsen csen b cosB cosasen

C cosb cosasen bsen a cosA coscsen

B cosa coscsen asen c cosC cosbsen

A cosb coscsen bsen c cosC cosasen

C cosa cosbsen asen b cosB coscsen

B cosc cosasen csen a cosA cosbsen

−=

−=

−=

−=

−=

−=

(3)

Analogia dos Senos – relaciona dois lados e dois ângulos respectivamente opostos.

Csen

csen

Bsen

bsen

Asen

asen == (4)

Fórmula das Cotangentes – relaciona dois lados e dois ângulos não opostos.

B cosa cosasen c cotgBsen C cotg

A cosc coscsen b cotgAsen B cotg

C cosb cosbsen a cotgCsen A cotg

A cosb cosbsen c cotgAsen C cotg

C cosa cosasen b cotgCsen B cotg

B cosc coscsen a cotgBsen A cotg

−=

−=

−=

−=

−=

−=

(5)

Fórmula da Borda e Fórmula dos Marinheiros – relaciona um ângulo e três lados.

bsenasen

c)(ssenssen

2

Ccos

bsenasen

b)(ssena)(ssen

2

Csen

csenasen

b)(ssenssen

2

Bcos

csenasen

c)(ssena)(ssen

2

Bsen

csenbsen

a)(ssenssen

2

Acos

csenbsen

b)(ssenc)(ssen

2

Aen

2

2

2

2

2

2

−=

−−=

−=

−−=

−=

−−=s

(6)


15

Por divisão conveniente das fórmulas da Borda, chega-se às chamadas Fórmulas dos

Marinheiros.

CBAS2cba2scom

B)cos(SA)cos(S

C)cos(ScosS

2

ctg

c)sen(sssen

b)sen(sa)sen(s

2

Ctg

C)cos(SA)cos(S

B)cos(ScosS

2

btg

b)sen(sssen

c)sen(sa)sen(s

2

Btg

C)cos(SB)cos(S

A)cos(ScosS

2

atg

a)sen(sssen

c)sen(sb)sen(s

2

Atg

22

22

22

++=++=

−−

−−=

−

−−=

−−

−−=

−

−−=

−−

−−=

−

−−=

Analogias de Delambre ou Equações de Gauss – utilizadas como fórmulas de verificação,

as quais envolvem os seis elementos do triângulo e conduzem a uma identidade quando os

elementos obtidos pelo cálculo estão corretos.

( ) ( )2

bacos

2

Ccos

2

ccos

2

BAsen

−=

+

( ) ( )2

bacos

2

Csen

2

ccos

2

BAcos

+=

+

( ) ( )2

basen

2

Ccos

2

csen

2

BAsen

−=

−

( ) ( )2

basen

2

Csen

2

csen

2

BAcos

+=

−

( ) ( )2

cacos

2

Bcos

2

bcos

2

CAsen

−=

+

( ) ( )2

cacos

2

Bsen

2

bcos

2

CAcos

+=

+

( ) ( )2

casen

2

Bcos

2

bsen

2

CAsen

−=

−

( ) ( )2

casen

2

Bsen

2

bsen

2

CAcos

+=

− (7)

( ) ( )2

cbcos

2

Acos

2

acos

2

CBsen

−=

+

( ) ( )2

cbcos

2

Asen

2

acos

2

CBcos

+=

+

( ) ( )2

cbsen

2

Acos

2

asen

2

CBsen

−=

−

( ) ( )2

cbsen

2

Asen

2

asen

2

CBcos

+=

−

Analogias de Neper

– Dois lados e três ângulos

( )( )

( )2

bacos

2

bacos

2

Ccotg

2

BAtg

+

−

=+

( )

( )

( )2

casen

2

casen

2

Bcotg

2

CAtg

+

−

=−


16

( )( )

( )2

basen

2

basen

2

Ccotg

2

BAtg

+

−

=−

( )

( )

( )2

cbcos

2

cbcos

2

Acotg

2

CBtg

+

−

=+

(8)

( )( )

( )2

cacos

2

cacos

2

Bcotg

2

CAtg

+

−

=+

( )

( )

( )2

cbsen

2

cbsen

2

Acotg

2

CBtg

+

−

=−

– Três lados e dois ângulos

( )( )

( )2

BAcos

2

BAcos

2

ctg

2

batg

+

−

=+

( )

( )

( )2

BAsen

2

BAsen

2

ctg

2

batg

+

−

=−

( )( )

( )2

CAcos

2

CAcos

2

btg

2

catg

+

−

=+

( )

( )

( )2

CBcos

2

CBcos

2

atg

2

cbtg

+

−

=+

(9)

( )( )

( )2

CAsen

2

CAsen

2

btg

2

catg

+

−

=−

( )

( )

( )2

CBsen

2

CBsen

2

atg

2

cbtg

+

−

=−

1.8 Resolução de Triângulos Esféricos retângulos e relitáteros

Regra de Mauduit – regra utilizada para a resolução de triângulo esférico retângulo

(Figura 3). Enunciado: “o cosseno do elemento médio é igual ao produto das cotangentes dos

elementos conjuntos ou o produto dos senos dos elementos separados”.

Figura 3 – Triângulo esférico retângulo.


17

sen__sen__cotg__cotg__cos__ == (10)

Na aplicação da regra deve-se considerar:

▪ Admitindo a como elemento médio (poderia ser escolhido qualquer elemento do triângulo,

exceto o ângulo reto A), seus elementos conjuntos são os ângulos B e C, e seus elementos

separados os lados b e c;

▪ O elemento reto é considerado inexistente na aplicação da regra. Se admitir b como

elemento médio, os elementos conjuntos serão o lado c e o ângulo C; e

▪ Não se “tomam” os catetos, e sim seus complementos: se A for o ângulo reto, utiliza-se

(90º – c) e não c, (90º – b) e não b.

O triângulo esférico retilátero é o triângulo esférico que possui pelo menos um lado

reto (lado igual a 90o), figura abaixo.

A resolução do triângulo esférico retilátero, utilizando da Regra de Mauduit, procede-

se da seguinte maneira:

• Lembrando-se das propriedades dos triângulos polares, verifica-se que um triângulo polar

ao triângulo retilátero será um triângulo retângulo;

• Utilizando das propriedades dos triângulos polares, determina-se o triângulo polar ao

triângulo dado;

• Utiliza-se a Regra de Mauduit para resolver o triângulo polar (este determinado pelas

propriedades polares);

• Resolvido o triângulo polar (utilizando a regra de Mauduit), novamente com as

propriedades dos triângulos polares calcula-se o triângulo dado.

a = 90º

B

C

A

b c


18

1.9 Exercícios Propostos

1. Determinar a área do triângulo esférico pertencente a uma esfera de raio 6 378 km, onde:

A = 144o 15’ 43”

B = 97o 27’ 21”

C = 68o 21’ 43”

2. Determinar a área do triângulo polar ao do exercício anterior.

3. Calcular a distância aproximada entre Presidente Prudente/Brasil e Moscou/Rússia.

Dados:

Presidente Prudente Moscou

φ = 22º 07’ S φ = 55º 45’ N

λ = 51º 24’ W λ = 37º 30’ E

Raio Médio da Terra = 6.371 km

4. Resolver os triângulos e em seguida verificá-los:

a) a = 52º 05’ 50” | b = 66º 06’ 10” | c = 68º 13’ 00”

b) A = 110º 30’ 20” | B = 130º 40’ 10” | C = 100º 20’ 50”

c) a = 88º 42’ 30” | b = 60º 10’ 10” | C = 70º 48’ 40”

d) A = 70º 30’ 30” | B = 100º 30’ 30” | c = 60º 30’ 40”

5. Resolver os triângulos retângulos em A:

a) a = 54º 20’ 00” | b = 43º 32’ 30”

b) b = 12º 17’ 00” | c = 09º 45’ 00”

c) a = 64º 40’ 00” | B = 64º 38’ 00”

6. Resolver os triângulos retiláteros:

a) a = 90o 00’ 00” b = 45o 28’ 52” c = 67o 56’ 28”

b) c = 90o 00’ 00” a = 55o 55’ 55” B = 77o 56’ 00”


19

2 COORDENADAS DE UM PONTO SOBRE A SUPERFÍCIE DA TERRA E SOBRE

O MODELO GEOMÉTRICO

2.1 Introdução

A Astronomia de Posição, também conhecida como Astronomia Esférica ou

Astronomia de Campo, utiliza-se dos astros para o posicionamento e orientação na superfície

da Terra, ou seja, utiliza-se de métodos e técnicas para obter as coordenadas astronômicas de

um ponto, bem como o azimute de uma direção qualquer materializada no terreno.

O uso de teodolitos e cronômetros às observações aos corpos celestes

possibilita a determinação da posição geográfica (latitude, longitude e azimute).

Quanto à precisão, tais observações são classificadas em:

▪ Alta Precisão: as coordenadas astronômicas de um ponto na

superfície terrestre (latitude e longitude) são obtidas com um erro

médio inferior a 0,1” (um décimo de segundo de arco) e o azimute de

uma direção qualquer com erro médio inferior a 0,3” (três décimos de

segundo de arco). Assim, a insegurança de um ponto está dentro de

um círculo de 3 metros de raio. As determinações de alta precisão são

objetos de estudos da Astronomia Geodésica, usualmente utilizadas no

estabelecimento de pontos de Laplace nas triangulações;

▪ Precisão: as coordenadas astronômicas (latitude e longitude) são

obtidas com um erro médio inferior a 1,0” (um segundo de arco) e o

azimute de uma direção qualquer com erro médio inferior a 1,5” (um

segundo e cinco décimos de arco). Esta precisão assegura que a

posição de um ponto esteja dentro de um círculo de,

aproximadamente, 30 metros; ou

▪ Expeditas: as coordenadas astronômicas de um ponto (latitude e

longitude) e o azimute de uma direção qualquer são obtidas com erro

médio superior a 1,0” e 1,5”, respectivamente.


20

2.2 Coordenadas Geográficas ou Astronômicas

Como um dos objetivos da Astronomia de Posição é a determinação das

coordenadas geográficas (ou astronômicas) de um ponto, definem-se as coordenadas em:

▪ Latitude geográfica ou astronômica: ângulo formado pela vertical

de um ponto com sua projeção equatorial, representado pela letra

grega φ, e variando de 0º a ±90º, sendo positivo para o Hemisfério

Norte e negativo para o Hemisfério Sul;

▪ Longitude geográfica ou astronômica: ângulo diedro formado pelo

meridiano astronômico de um ponto e o meridiano astronômico que

passa pelo Observatório de Greenwich (origem), representado pela

letra grega λ, e variando de 0º a ±180º, sendo positivo para o

Hemisfério Oriental (leste de Greenwich) e negativo para o

Hemisfério Ocidental (oeste de Greenwich); e

▪ Azimute astronômico: ângulo formado entre o meridiano

astronômico de um ponto e o alinhamento de uma direção qualquer,

representado pela letra A, variando de 0º a 360º e contado sobre o

plano do horizonte, a partir do Sul por Oeste.

A Figura 4 ilustra os conceitos da latitude e longitude astronômica de um

ponto P, bem como o azimute astronômico entre os pontos P e R.

Figura 4 – Coordenadas geográficas ou astronômicas.


21

Rotineiramente utiliza-se de três superfícies:

▪ Superfície Física da Terra (sft): é a superfície na qual são realizadas

as operações geodésicas ou astronômicas;

▪ Superfície do modelo geométrico: também denominada de superfície

de referência, é sobre a qual são efetuados os cálculos geodésicos ou

astronômicos, sejam no elipsoide de revolução ou na esfera; e

▪ Geoide: superfície equipotencial do campo da gravidade que mais se

aproxima do Nível Médio dos Mares (NMM) não perturbado e

prolongado sob os continentes. O geoide presta-se à definição da

terceira coordenada natural, ou seja, a altitude ortométrica (H)

(distância contada ao longo da vertical, desde o geoide até o ponto

considerado).

A Figura 5 apresenta esquematicamente as três superfícies supracitadas,

sendo i o desvio da vertical, isto é, o ângulo formado pela vertical (V) e pela normal (N)

passante pelo ponto P.

Figura 5 – Superfícies utilizadas em Geodésia.


22

3 NOÇÕES PRELIMINARES DE COSMOGRAFIA

3.1 Astros Fixos e Errantes

São denominados de astros todos os corpos, luminosos ou não, isolados no

espaço. A olho nu apenas cerca de 5.000 são visíveis (são estes astros que tem interesse a

Astronomia de Posição). Didaticamente os astros são divididos em dois grupos: fixos (as

estrelas e os quasares) e errantes (todos os planetas componentes do Sistema Solar).

Características dos astros fixos:

▪ Posição relativa: as distâncias angulares são praticamente constantes.

Por exemplo, observando a constelação Cruzeiro do Sul todos os dias

ver-se-á que sua posição no espaço pode mudar, mas suas estrelas

mantém uma constância de posição na constelação;

▪ Cintilação: os astros fixos apresentam o fenômeno de cintilação, que é

a variação rápida e irregular da intensidade de luz emitida pelo astro;

▪ Espectro luminoso: possuem espectro luminoso próprio; e

▪ Revelam-se como ponto luminoso ao ser observado em um telescópio

ou teodolito (exceção ao Sol).

Características dos astros errantes:

▪ Não conservam suas distâncias angulares constantes;

▪ Sua luz é fixa (não cintilam); e

▪ Ao telescópio ou teodolito revelam-se como um disco.

Esclarece-se que os astros ditos “fixos” na realidade se deslocam pelo

espaço (conforme demonstrado pela primeira vez por Halley em 1718), sendo a sua falsa

imobilidade decorrência das extraordinárias distâncias que os separam da Terra. O movimento

aparente das estrelas sobre a esfera celeste é praticamente desprezível, apenas da ordem de

poucos segundos de arco por século.


23

Magnitude das estrelas

O conceito de magnitude está relacionado ao brilho com que as estrelas

sensibilizam os olhos do ser humano. Quanto mais elevada é a magnitude, menos luminoso é

o astro. A Tabela 1 apresenta a escala que relaciona numericamente magnitude e brilho.

Tabela 1 – Escala de magnitude e brilho das estrelas.

magnitude 1 2 3 4 5 6

brilho 1 1/2,5 1/6,3 1/15,8 1/39,8 1/100

Estes conceitos são importantes, pois as efemérides (tabela de estrelas)

fornecem a posição (coordenadas) de um determinado número de estrelas, bem como sua

magnitude (Figura 6). Portanto, o observador tem condições de saber se a estrela em questão

tem brilho forte ou fraco. Isto é de grande valia, pois as estrelas de primeira grandeza (muito

brilhantes) devem ser evitadas, haja vista que as mesmas não proporcionam pontaria precisa.

Figura 6 – Trecho das efemérides de algumas estrelas.

Fonte: Adaptado de <http://www.on.br/coaa/conteudo/pdf/Se%C3%A7%C3%A3o_1E%20a

%2021E_2015.pdf>. Acesso em: 14 jan. 2015.

Constelações

Constelações são agrupamentos arbitrários de estrelas que formam

determinadas figuras, as quais os antigos as batizavam com os mais variados tipos de nomes,

desde mitológicos a animais e coisas. As constelações atuais, em sua grande maioria, foram

batizadas pelos gregos. Com o intuito de uniformizar estas designações, o Congresso

Internacional de Astronomia, realizado em Roma em 1922, estabeleceu que as constelações

deveriam ser designadas pelo seu nome latino, e que ao se referir a uma estrela de uma

constelação, deve-se utilizar uma letra do alfabeto grego (α, β, γ, δ...) seguida do nome da


24

constelação, cabendo a estrela mais brilhante da constelação a letra α. Exemplificando: nome

da constelação – Crux, nome da estrela – α Crux (que é a estrela mais brilhante da constelação

Crux).

3.2 Sistema Solar

Dá-se o nome de sistema solar ao conjunto de corpos celestes que

encontram sujeitos a ação atrativa do Sol:

▪ Planetas: astros errantes que, subordinados às Leis de Kepler, giram

em torno do Sol (o qual é atribuído o rótulo de centro do sistema). Na

ordem crescente de suas distâncias ao Sol, são: Mercúrio, Vênus,

Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno (Plutão é considerado

planeta anão), onde os dois primeiros são ditos planetas interiores e os

demais, exceto a Terra, de planetas exteriores;

▪ Satélites: são corpos que orbitam os planetas, além de segui-los na

marcha ao redor do Sol. Os planetas interiores não possuem satélites

conhecidos, a Terra possui um (a Lua), Marte dois (Phobos e Deimos),

Júpiter 63, Saturno 50, Urano 27, Netuno13 e Plutão uma;

▪ Asteroides ou Planetoides: são pequenos astros que se espalham pela

região do espaço delimitada pelas órbitas de Marte e Júpiter;

▪ Cometas: são astros com aspecto característico, que descrevem longas

trajetórias em torno do Sol. Um dos mais famosos é o cometa Halley,

que possui um período de 75 anos, sendo a última aparição em 1986;

▪ Satélites Artificiais: Nas últimas décadas o sistema solar foi

enriquecido com alguns milhares de novos corpos celestes, em sua

maioria temporários, que são os satélites artificiais. Dispensa-se aqui a

apresentação da importância destes astros artificiais para a Geodésia e

áreas correlatas.


25

3.3 Universo

▪ Claudio Ptolomeu (100 – 178): astrônomo, geógrafo e matemático

que viveu em Alexandria, e postulava o sistema geocêntrico, ou seja, a

Terra como o centro do universo;

▪ Nicolau Copérnico (1473 – 1543): astrônomo, geógrafo, filósofo e

matemático, nascido em Torum na Polônia. Foi quem revelou as

relações existentes entre a Terra, o Sol, a Lua e os outros corpos

celestes. Idealizador do sistema heliocêntrico;

▪ Galileu Galilei (1564 – 1642): consolidou o sistema heliocêntrico;

▪ Johannes Kepler (1571 – 1630): até Galileu as órbitas dos planetas

eram tidas como circulares. Kepler introduz as órbitas elípticas em

1609, publicando a sua primeira lei, conhecido como “Lei das

Órbitas”;

▪ Isaac Newton (1642 – 1727): nasce a mecânica celeste.


26

4 GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

Os movimentos dos astros do sistema solar estão baseados nas leis de

Newton, cujas raízes encontram-se nos trabalhos de Galileu.

Leis de Newton:

1) Todo corpo não solicitado por forças mantem-se indefinidamente em

repouso ou em estado de movimento retilíneo uniforme;

2) A aceleração é diretamente proporcional à força que atua sobre o

corpo e inversamente proporcional a sua massa; e

3) Toda ação corresponde uma reação igual e contrária.

Com base nestas leis, Newton conseguiu substituir a formulação geométrica

do movimento planetário devida a Kepler pela formulação física denominada “Lei da

Gravitação Universal”.

4.1 Lei da Gravitação Universal

“Toda partícula de matéria no universo atrai qualquer outra partícula com uma força que

tem por direção a linha que liga as duas partículas e cuja magnitude é diretamente

proporcional ao produto das duas massas e inversamente proporcional ao quadrado da

distância”.

Figura 7 – Atração entre duas partículas.

2

21

d

mmGF

= (11)

onde: G – constante gravitacional (G = 6,674287x10-11 m3kg-1s-2); m1,2 – massas das

partículas; e d – distância que separa as duas partículas.


27

4.2 Leis de Kepler

Lei das Órbitas

“Os planetas descrevem órbitas elípticas das quais o Sol ocupa um dos focos”.

Figura 8 – Lei das órbitas.

Lei das Áreas

“O raio vetor descreve áreas iguais em tempo iguais”.

Figura 9 – Lei das áreas.

Lei dos Períodos

“Os quadrados dos períodos das revoluções planetárias são proporcionais aos cubos dos

semieixos maiores de suas órbitas”.

Considerando dois planetas 1 e 2, cujas órbitas possuem semieixos maiores

a1 e a2 e períodos de revoluções P1 e P2, tem-se que:

3

2

3

1

2

2

2

1

a

a

P

P= (12)


28

4.3 Movimentos da Terra

Movimento de Rotação

A Terra gira em torno de seu eixo em 24 horas siderais, de oeste para leste.

O dia sideral possui aproximadamente 86.164 segundos médios (3 minutos e

56 segundos a menos que um dia normal), portanto a velocidade tangencial da Terra, no

Equador é de:

=TV (13)

Na latitude de Presidente Prudente (φ = 22º 07’ S), tem-se que:

=PPTV (14)

Movimento de Translação

A Terra desloca-se com movimento de translação, em torno do Sol, em um

ano sideral. O Sol descola-se na galáxia arrastando consigo os demais componentes do

sistema solar, desse modo o movimento da Terra no espaço não é elíptico, mas sim helicoidal.

A velocidade de translação da Terra é da ordem de 30 km/s.

Movimentos de Precessão e Nutação

Este terceiro movimento da Terra é devido à atração do Sol e da Lua sobre a

protuberância equatorial, que faz com que a Terra tenha um “balanço” no espaço (similar a

um pião em baixa rotação); o eixo de rotação descreve um cone de duas folhas, com vértice

no geocentro, abertura da ordem de 47º e período de 26.000 anos.

Entretanto, o eixo de rotação não descreve um movimento que coincide com

a superfície de um cone de base circular. O eixo oscila levemente em torno de uma

circunferência. Esse movimento oscilatório do eixo de rotação da Terra recebe o nome de

movimento de nutação. Pode-se dizer que a nutação é a componente de pequeno período da

precessão.


29

5 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES

5.1 Esfera Celeste e Definições

Em uma noite de céu limpo (de brigadeiro) pode-se observar a abóboda

celeste como uma grande esfera. A essa esfera imaginária de raio infinito denomina-se Esfera

Celeste, definida como “esfera ideal de raio arbitrário, com centro coincidente com o centro

da Terra (geocentro) e sobre a superfície da qual suponha-se projetados todos os astros”.

Observando os astros tem-se a impressão de que os mesmos estão

engastados/presos na esfera celeste, a qual gira com um movimento aparente (decorrência do

movimento de rotação da Terra) de leste para oeste (sentido retrógrado), arrastando consigo

todos os astros.

Na Astronomia de Posição não se envolvem considerações a respeito das

distâncias aos astros, mas apenas as direções os quais são vistos. Para fins de posicionamento

astronômico, pode-se considerar que todos os astros estão à mesma distância da Terra, ou

seja, que a esfera celeste tem um raio unitário.

Algumas importantes definições relacionadas à esfera celeste são

apresentadas a seguir, sendo que a Figura 10 ilustra o conceito geométrico de cada uma.

▪ Eixo do Mundo: é a reta imaginária PnPs, prolongamento do eixo de

rotação da Terra, em torno do qual se processa o movimento aparente

da esfera celeste, de leste para oeste (sentido retrógrado);

▪ Pólos Celestes: são dois pontos da superfície esférica, diametralmente

opostos, resultantes da interseção do prolongamento do eixo do

mundo com a esfera celeste, chamados de Pólo Sul (ou Pólo Austral

ou Antártico) e Pólo Norte (ou Pólo Boreal ou Ártico);

▪ Equador Celeste: é o círculo máximo QQ’, cujo plano “corta”

perpendicularmente o eixo do mundo. O Equador celeste divide a

esfera celeste em dois hemisférios: o Hemisfério Norte, que contem o

Pólo Norte, e o Hemisfério Sul, que contem o Pólo Sul;

▪ Paralelos Celestes: são círculos menores cujos planos “cortam”

perpendicularmente o eixo do mundo (são paralelos ao Equador

celeste);


30

▪ Meridianos Celestes: são círculos máximos cujos planos contem o

eixo do mundo;

▪ Vertical do Observador: vetor gravidade passante pelo observador,

sendo materializado pelo fio de prumo;

▪ Zênite e Nadir: são formados pela interseção do prolongamento da

vertical do observador com a esfera celeste, onde o zênite está acima

do horizonte do observador (também denominado de horizonte

astronômico ou geocêntrico) e o nadir abaixo do mesmo;

▪ Horizonte do Observador ou Astronômico ou Geocêntrico: é o

circulo máximo polar do zênite e do nadir, ou em outras palavras, é o

círculo máximo passante pelo centro da esfera celeste e perpendicular

à vertical do lugar. Divide a esfera em dois hemisférios: o visível, que

contem o zênite, e o invisível, que contem o nadir;

Observação: quando as observações astronômicas são realizadas

utilizando as estrelas, devido às grandes distâncias destas ao

observador, o raio da Terra é desprezível e pode-se fazer com que o

horizonte aparente (topocêntrico) coincida com o horizonte

astronômico. Mas se as observações são realizadas ao Sol, deve-se

fazer distinção entre o horizonte aparente e o astronômico, sendo

necessário realizar correções às observações, de maneira a reduzi-las

ao horizonte astronômico (correção da paralaxe do Sol).

▪ Plano Vertical: é todo plano que contem a vertical do observador,

sendo assim há uma infinidade de planos verticais para um

determinado local;

▪ Vertical de um Astro: é o plano vertical que contem um determinado

astro;

▪ Almicantarado ou Círculo de Igual Altura: são círculos menores da

esfera celeste, paralelos ao horizonte astronômico;

▪ Meridiano Celeste do Observador: são circunferências máximas da

esfera celeste cujo plano é definido pelo eixo de rotação e pela vertical

do observador, ou seja, meridiano celeste que contem o zênite do

observador. O eixo do mundo divide o meridiano do lugar em dois

semimeridianos, o superior e o inferior. Semimeridiano superior é a


31

parte do meridiano do lugar que contem o zênite, e o semimeridiano

inferior é o que contem o nadir;

▪ Meridiana ou Linha Norte-Sul: é formada pela interseção do

meridiano do observador com o horizonte astronômico. Esta reta

determina a direção Norte-Sul, e nas suas extremidades encontram-se

os pontos Norte e Sul. Ponto Sul (Hs) é a projeção do Pólo Sul,

segundo o meridiano do observador, sobre a meridiana. Ponto Norte

(Hn) é a projeção do Pólo Norte, segundo o meridiano do observador,

sobre a meridiana;

▪ Linha Leste-Oeste: formada pela interseção do plano do Equador

celeste com o plano do horizonte astronômico, ou linha que forma 90º.

Figura 10 – Esfera celeste e definições.


32

5.2 Sistema de Coordenadas

Um ponto no espaço é definido por um terno cartesiano ortogonal:

Figura 11 – Coordenadas de um ponto.

Quanto à orientação do sistema de coordenadas, pode-se ter:

▪ Dextrógiro ou Direto: (regra da mão direita) é o sistema em que o

observador, situado na origem e com a cabeça voltada para o zênite

(Z), vê o eixo X se sobrepor ao eixo Y num ângulo de 90º, da direita

para a esquerda (Figura 12 a)); e

▪ Levógiro ou Retrógrado: (regra da mão esquerda) é o sistema em

que o observador, situado na origem e com a cabeça voltada para o

zênite (Z), vê o eixo X se sobrepor ao eixo Y num ângulo de 90º, da

esquerda para a direita (Figura 12 b)).

Figura 12 – a) Sistema dextrógiro e b) sistema levógiro.


33

5.2.1 Sistema de coordenadas horizontais

Características:

▪ Origem: sistema geocêntrico (origem no centro da Terra);

▪ Orientação: levógiro (retrógrado);

▪ Plano Fundamental: horizonte astronômico (do observador);

▪ Coordenadas:

o A – azimute (abscissa esférica); e

o h – altura ou z – distância zenital (ordenada esférica).

▪ Eixos:

o X – formado pela interseção do meridiano celeste do observador

com o horizonte astronômico (+ p/ Hs);

o Y – coincide com a linha leste-oeste; e

o Z – coincide com a vertical do observador (+ p/ zênite).

Figura 13 – Sistema de coordenadas horizontais.


34

Figura 14 – Sistema de coordenadas horizontais (isolado).

Neste sistema de coordenadas tem-se:

▪ A – Azimute: abscissa esférica, definido como o ângulo contado sobre

o horizonte astronômico, desde o Ponto Sul (Hs), por oeste (sentido

retrógrado), até a vertical do astro, variando de 0º a 360º. Quando o

astro “cruza” o meridiano celeste do observador, seu azimute será 0º

ou 180º; e

▪ h – Altura: ordenada esférica, definido como o ângulo contado sobre

a vertical do astro, desde o horizonte astronômico até o astro, variando

de 0º (astro no horizonte – nascendo ou ocultando) a ±90º (astro no

zênite ou nadir), sendo as alturas negativas correspondentes a astros

situados abaixo do horizonte e, portanto, invisíveis ao observador. Em

muitos casos é conveniente utilizar, ao invés da altura, a distância

zenital z, que é o ângulo contado sobre a vertical do astro, desde o

zênite até o astro, variando de 0º (astro no zênite) a 180º (astro no


35

nadir), sendo que astros com distâncias zenitais superiores a 90º são

invisíveis ao observador. Assim, tem-se a seguinte relação:

h90z −= (15)

Neste sistema as coordenadas podem ser obtidas com o uso de um teodolito;

ao visar o astro com um teodolito nivelado obtém-se z no limbo vertical e, se o observador

conhecer o meridiano, pode-se obter também o A do astro.

Observa-se que este sistema é tipicamente local, pois as coordenadas A e z

dependem da posição do observador, bem como a época em que a observação foi realizada.

Assim este sistema varia no tempo e no espaço.

As coordenadas retilíneas neste sistema são:

hsen Z

Asen h cosY

A cosh cosX

=

=

=

ou

z cosZ

Asen zsen Y

A coszsen X

=

=

=

(16)

5.2.2 Sistema de coordenadas horárias

Características:


▪ Orientação: levógiro (retrógrado);

▪ Plano Fundamental: Equador celeste;

▪ Coordenadas:

o H – ângulo horário (abscissa esférica); e

o δ – declinação (ordenada esférica).

▪ Eixos:

o X – formado pela interseção do meridiano celeste do observador

com o Equador celeste (+ p/ SMS – semimeridiano superior);

o Y – coincide com a linha leste-oeste; e

o Z – coincide com o eixo do mundo (+ p/ Pn).


36

Figura 15 – Sistema de coordenadas horárias.


▪ H – Ângulo Horário: abscissa esférica, definido como o arco contado

sobre o Equador Celeste, desde o semimeridiano superior, por oeste

(sentido retrógrado), até o meridiano celeste do astro, variando de 0º a

360º. Devido a sua vinculação com problemas horários, usualmente é

expresso em hora, assim, varia de 0h a 24h; e

▪ δ – Declinação: ordenada esférica, definido como o arco contado

sobre o meridiano celeste do astro, desde o Equador celeste até o

astro, variando de 0º (astro no Equador) a ±90º (astro no Pólo Norte

ou Pólo Sul), sendo as declinações positivas convencionalmente para

o Hemisfério Norte.

O sistema de coordenadas horárias é dito misto, pois a declinação δ do astro

não depende da posição do observador, isto é, para qualquer observador um determinado astro


37

terá a mesma declinação, se observado no mesmo instante físico. Entretanto, o ângulo horário

H depende do meridiano celeste do observador, assim, a abscissa H depende da posição do

observador.


δsen Z

Hsen δ cosY

H cosδ cosX

=

=

=

(17)

5.2.3 Sistema de coordenadas equatoriais ou uranográficas

No estudo da Astronomia de Posição pode-se considerar a Terra imóvel e os

astros apresentando, em relação à mesma, um movimento aparente. Assim o Sol, no decurso

de um ano, descreve uma circunferência máxima na esfera celeste denominada de eclíptica

(Figura 16). O plano da órbita anual do Sol (eclíptica) forma um ângulo com o plano do

Equador celeste denominado de obliquidade da eclíptica (w), que mede aproximadamente

23º 27’.

A linha resultante da interseção do plano da eclíptica com o plano do

Equador celeste é denominada de linha dos equinócios ou linha equinocial, cujas

extremidades possuem os pontos equinociais. O ponto equinocial que o Sol, em seu

movimento anual aparente, atinge ao passar do Hemisfério Sul para o Norte é denominado de

Ponto Vernal ou Aires (γ) (neste instante tem início no Hemisfério Sul o outono e no

Hemisfério Norte a primavera). O ponto equinocial que o Sol alcança ao cruzar o Equador do

Norte para o Sul é denominado de Ponto Libra (Ω) (instante em que tem início a primavera

no Hemisfério Sul e outono no Hemisfério Norte).


38

Figura 16 – Eclíptica e linha equinocial.

Características do sistema de coordenadas equatoriais ou uranográficas:


▪ Orientação: dextrógiro (direto);

▪ Plano Fundamental: Equador celeste;

▪ Coordenadas:

o α – ascensão reta (abscissa esférica); e

o δ – declinação (ordenada esférica).

▪ Eixos:

o X – formado pela interseção do plano do Equador celeste com o

plano da eclíptica (linha equinocial) (+ p/ γ);

o Y – torna o sistema dextrógiro; e

o Z – coincide com o eixo do mundo (+ p/ Pn).


39

Figura 17 – Sistema de coordenadas equatoriais ou uranográficas.


▪ α – Ascensão Reta: abscissa esférica, definido como o arco contado

sobre o Equador Celeste, desde o ponto vernal (γ), por leste (sentido

dextrógiro), até o meridiano celeste do astro, variando de 0h a 24h; e

▪ δ – Declinação: ordenada esférica, idêntica a ordenada horária.

Este sistema é de caráter geral, pois nenhuma coordenada depende da

posição do observador, onde a declinação tem como origem o Equador celeste e a ascensão

reta o ponto vernal.


δsen Z

αsen δ cosY

α cosδ cosX

=

=

=

(18)


40

5.2.4 Sistema de coordenadas eclípticas

Características:


▪ Orientação: dextrógiro (direto);

▪ Plano Fundamental: Eclíptica;

▪ Coordenadas:

o λ – longitude celeste (abscissa esférica); e

o β – latitude celeste (ordenada esférica).

▪ Eixos:

o X – formado pela interseção do plano do Equador celeste com o

plano da eclíptica (linha equinocial) (+ p/ γ);

o Y – torna o sistema dextrógiro; e

o Z – coincide com o eixo da eclíptica (+ p/ Pólo Norte Eclíptico).

Figura 18 – Sistema de coordenadas eclípticas.


41


▪ λ – Longitude Celeste: abscissa esférica, definido como o arco

contado sobre a eclíptica, desde o ponto vernal (γ), por leste (sentido

dextrógiro), até o círculo de longitude do astro, variando de 0º a 360º;

▪ β – Latitude Celeste: ordenada esférica, definido como o arco

contado sobre o círculo de longitude do astro, desde a eclíptica até o

astro, variando de 0º (astro na eclíptica) a ±90º (astro no Pólo Norte

Eclíptico ou Pólo Sul Eclíptico), sendo as latitudes celestes positivas

convencionalmente para o Hemisfério Norte Eclíptico.

Este sistema é de caráter geral, pois nenhuma coordenada depende da

posição do observador, onde a latitude celeste tem como origem a eclíptica e a longitude

celeste o ponto vernal.


βsen Z

λsen β cosY

λ cosβ cosX

=

=

=

(19)

5.3 Efemérides

Em levantamentos por Astronomia de Campo as coordenadas uranográficas

dos astros (α, δ) são conhecidas. Essas coordenadas variam no tempo em consequência do

movimento precessional e de várias outras causas (aberração da luz, paralaxe, movimento

próprio, etc.). Tais variações são relativamente pequenas, da ordem de dezenas de segundo

por ano.

Uma tabela que contenha a posição dos astros em função do tempo recebe a

denominação de efemérides. Assim, as efemérides astronômicas do Observatório Nacional

(www.on.br) contem as coordenadas do Sol, da Lua, dos planetas e de cerca de 800 estrelas.

A Figura 19 apresenta o exemplo das efemérides de algumas estrelas do ano de 2009.

Destaca-se que as coordenadas dos astros estão tabeladas de 10 em 10 dias e que para obter as

coordenadas para a época de observação deve-se realizar uma interpolação linear. Outra

ressalva é que as coordenadas uranográficas registradas nas efemérides e ditas aparentes são


42

calculadas, por convenção internacional, para o momento da passagem do astro pelo

semimeridiano superior de Greenwich.

Figura 19 – Efemérides de algumas estrelas do ano de 2009.


43

6 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS

6.1 Triângulo de Posição

Considerando-se a esfera celeste, na qual um astro (E) esteja referido

simultaneamente aos sistemas de coordenadas horizontais e horárias (Figura 20):

Figura 20 – Astro referido aos sistemas de coordenadas horizontais e horárias.

A interseção do meridiano celeste do observador, do meridiano celeste do

astro e da vertical do astro, dois a dois, forma o triângulo esférico Pn-Zênite-E, cujos vértices

são o Pólo Norte, o zênite e o astro. Este triângulo fundamental é denominado de Triângulo

de Posição (Figura 21). Devido ao movimento do astro, decorrente do movimento da esfera

celeste, o triângulo de posição está continuamente “se deformando”, degenerando-se em um

arco por duas vezes em seu movimento diurno.


44

Figura 21 – Triângulo de posição.

Observa-se que o triângulo de posição envolve as grandezas que constituem

um dos objetivos da Astronomia de Posição, a posição geográfica: latitude (lado Pn-Zênite) e

a longitude (obtida indiretamente através do ângulo horário do astro).

Normalmente conhecem-se apenas dois elementos do triângulo de posição:

o lado Pn-E (declinação do astro por meio das efemérides) e o lado Zênite-E (distância zenital

do astro, que pode ser medido em campo utilizando um teodolito). É de conhecimento que

com dois elementos é impossível resolver um triângulo esférico, assim, deve-se utilizar

aproximações sucessivas.

6.2 Transformação de Coordenadas Horizontais em Horárias e Vice-Versa

δ H, zou h A,

(deve-se conhecer φ – latitude)

Coordenadas Horizontais para Horárias

Dado o triângulo de posição (Figura 21) e utilizando a fórmula dos 4

elementos relativos a lados (Equação (1)), tem-se o cálculo da declinação (δ):

( ) ( ) ( ) ( )−−+−=− A180coszsen 90senz cos90cosδ90cos

A coszsen cosz cossen δsen −= (20)

ou

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )−−−+−−=− A180cosh90sen90senh90cos90cosδ90cos

A cosh cos coshsen sen δsen −= (21)


45

Aplicando a fórmula dos 5 elementos (Equação (3)) e a analogia dos senos

(Equação (4)) no triângulo de posição, respectivamente, e realizando algumas substituições,

obtém-se o ângulo horário (H):

( ) ( ) ( ) ( )−−−−=− A180cos90coszsen 90senz cosH cosδ90sen

+= A cossen zsen cosz cosH cosδ cos

δ cos

A cossen zsen cosz cosH cos

+=

(22)

( )( ) δ cos

Asen zsen Hsen

Asen

δ cos

Hsen

zsen

A180sen

δ90sen

Hsen

zsen ==

−

−=

(23)

Dividindo a Equação (23) pela Equação (22), tem-se:

+

=

+

=A cossen zsen cosz cos

Asen zsen H tg

δ cos

A cossen zsen cosz cosδ cos

Asen zsen

H cos

Hsen

A cossen cosz cotg

Asen H tg

A cossen coszsen

z coszsen

Asen zsen H tg

+=

+

=

(24)

Coordenadas Horárias para Horizontais

Dado o triângulo de posição (Figura 21) e utilizando a fórmula dos 4

elementos relativos a lados (Equação (1)), tem-se o cálculo da distância zenital (z) ou da

altura (h):

( ) ( ) ( ) ( ) −−+−−= H cosδ90sen90senδ90cos90cosz cos

H cosδ cos cosδsen sen z cos += (25)

ou

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −−+−−=− H cosδ90sen90senδ90cos90cosh90cos

H cosδ cos cosδsen sen hsen += (26)


46


(Equação (4)) no triângulo de posição, respectivamente, e realizando algumas substituições,

obtém-se o azimute (A):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −−−−−=− H cos90cosδ90sen90senδ90cosA180coszsen

−=− H cossen δ cos cosδsen A coszsen

−= cosδsen H cossen δ cosA coszsen

zsen

cosδsen H cossen δ cosA cos

−= (27)

( )( ) zsen

δ cosHsen Asen

Asen

δ cos

Hsen

zsen

A180sen

δ90sen

Hsen

zsen ==

−

−=

(28)


−

=

−

= cosδsen H cossen δ cos

δ cosHsen A tg

zsen

cosδsen H cossen δ coszsen

δ cosHsen

A cos

Asen

cosδ tgH cossen

Hsen A tg

cosδ cos

δsen H cossen δ cos

δ cosHsen A tg

−=

−

= (29)

6.3 Transformação de Coordenadas Horárias em Equatoriais e Vice-Versa

δ α, δ H,

(deve-se conhecer S – hora sideral)

Noção de tempo sideral: o dia sideral é a unidade básica do tempo sideral

correspondente ao intervalo de tempo decorrido entre duas passagens consecutivas do ponto

vernal (γ) pelo mesmo semimeridiano. O início do dia sideral se dá quando o ponto vernal

atinge o semimeridiano superior do observador; dai por diante, a todo instante, o ângulo

horário do ponto vernal mede a hora sideral (S) local: S = Hγ.


47

Na Figura 22 o astro (E) está referido simultaneamente nos sistema de

coordenadas horárias e uranográficas. Observa-se que ambos os sistemas admitem a mesma

ordenada esférica (declinação δ), assim, o problema de transformação se resume em

relacionar as duas abscissas (ângulo horário H e ascensão reta α).

Figura 22 – Astro referido aos sistemas de coordenadas horárias e uranográficas.

Analisando o relacionamento de α, H e S na Figura 22 tem-se que:

αHS += (30)

A Equação (30) é conhecida como Fórmula Fundamental da Astronomia

de Posição, que relaciona a ascensão reta de um astro com o seu ângulo horário em função da

hora sideral.


48

Coordenadas Horárias para Equatoriais

H Sα −= (31)

Coordenadas Equatoriais para Horárias

α SH −= (32)

6.4 Transformação de Coordenadas Equatoriais em Eclípticas e Vice-Versa

β λ, δ α,

(deve-se conhecer w – obliquidade da eclíptica)

Considerando um astro (E) referenciado simultaneamente aos sistemas de

coordenadas equatoriais e eclípticas (Figura 23), tem-se:

Figura 23 – Astro referido aos sistemas de coordenadas uranográficas e eclípticas.


49

▪ O lado Pn-pn mede o ângulo formado pelo eixo do mundo e o eixo da

eclíptica, o que corresponde à obliquidade da eclíptica (w);

▪ O lado Pn-E representa a distância polar do astro; e

▪ O lado pn-E a colatitude celeste do astro.

Figura 24 – Triângulo esférico Pn-pn-E.

Coordenadas Equatoriais para Eclípticas

Dado o triângulo esférico Pn-pn-E (Figura 24) e utilizando a fórmula dos 4

elementos relativos a lados (Equação (1)), tem-se o cálculo da latitude celeste (β):

( ) ( ) ( ) ( )+−+−=− α90cossen wδ90sen wcosδ90cosβ90cos

αsen sen wδ cos wcosδsen βsen −= (33)


(Equação (4)) no triângulo esférico Pn-pn-E, respectivamente, e realizando algumas

substituições, obtém-se a longitude celeste (λ):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )+−−−=−− α90cos wcosδ90sensen wδ90cosλ90cosβ90sen

+= αsen wcosδ cossen wδsen λsen β cos

β cos

αsen wcosδ cossen wδsen λsen

+= (34)


50

( )( )

( )( ) β cos

α cosδ cosλ cos

β cos

α cos

δ cos

λ cos

β90sen

α90sen

δ90sen

λ90sen ==

−

+=

−

−

(35)


+=

+

=α cosδ cos

αsen wcosδ cossen wδsen λ tg

β cos

α cosδ cos

β cos

αsen wcosδ cossen wδsen

λ cos

λsen

α cos

αsen wcossen wδ tgλ tg

α cosδ cos

αsen wcossen wδ cos

δsen δ cos

λ tg+

=

+

= (36)

Coordenadas Eclípticas para Equatoriais

Dado o triângulo esférico Pn-pn-E (Figura 24) e utilizando a fórmula dos 4

elementos relativos a lados (Equação (1)), tem-se o cálculo da declinação (δ):

( ) ( ) ( ) ( )−−+−=− λ90cossen wβ90sen wcosβ90cosδ90cos

λsen sen wβ cos wcosβsen δsen += (37)


(Equação (4)) no triângulo esférico Pn-pn-E, respectivamente, e realizando algumas

substituições, obtém-se a ascensão reta (α):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )−−−−=+− λ90cos wcosβ90sensen wβ90cosα90cosδ90sen

−=− λsen wcosβ cossen wβsen αsen δ cos

δ cos

sen wβsen λsen wcosβ cosαsen

−= (38)

( )( )

( )( ) δ cos

β cosλ cosα cos

β cos

α cos

δ cos

λ cos

β90sen

α90sen

δ90sen

λ90sen ==

−

+=

−

−

(39)



51

−=

−

=β cosλ cos

sen wβsen λsen wcosβ cosα tg

δ cos

β cosλ cosδ cos

sen wβsen λsen wcosβ cos

α cos

αsen

λ cos

sen wβ tgλsen wcosα tg

λ cosβ cos

sen wβ cos

βsen λsen coswβ cos

α tg−

=

−

= (40)


1. Calcular as coordenadas horárias da estrela α-Cru (462) em Presidente Prudente (φ = 22º

07’ S e λ = 3h 25min W), no dia 24 de março de 1999 às 21 horas siderais, sabendo-se que as

coordenadas uranográficas da estrela são: α = 12h 26min 36,149s e δ = 63º 05’ 37,23” S.

2. Calcular as coordenadas horizontais da estrela α-Cru (462) em Presidente Prudente (φ = 22º

07’ S e λ = 3h 25min W) às 21 horas siderais.

3. Um observador em Presidente Prudente (φ = 22º 07’ S e λ = 3h 25min W) deseja observar

Saturno às 21 horas siderais do dia 21 de março de 1999. Calcular as coordenadas horárias e

horizontais do planeta, sabendo-se que as coordenadas uranográficas de Saturno são: α = 2h

02min 54,63s e δ = 10º 06’ 47,7” N.

4. Um observador em Presidente Prudente (φ = 22º 07’ S e λ = 3h 25min W) deseja observar

Júpiter às 21 horas siderais do dia 21 de março de 1999. Calcular as coordenadas horárias e

horizontais do planeta, sabendo-se que as coordenadas uranográficas de Júpiter são: α = 0h

32min 24,41s e δ = 2º 18’ 42,8” N.

5. Um observador em Presidente Prudente (φ = 22º 07’ S e λ = 3h 25min W) deseja observar a

estrela γ-Cru (468) no dia 31 de março de 2009 às 4 horas siderais. Assim, calcule os

elementos de calagem da estrela.

6. Calcule os elementos de calagem de 5 estrelas para o dia 31 de março de 2009. Pretende-se

observar estas estrelas em Presidente Prudente no período das 20 as 23 horas siderais.


52

7 ESTUDO GEOMÉTRICO DO MOVIMENTO DIURNO

Observando a esfera celeste percebe-se que em seu movimento a mesma é

acompanhada por todos os astros, de leste para oeste. Este movimento é chamado de

Movimento Diurno. Há duas hipóteses para explicar esse fenômeno:

▪ Imobilidade da Terra: considera a Terra estática, enquanto que a

esfera celeste gira em torno do seu eixo, de leste para oeste, arrastando

os demais corpos celestes, no período de 24 horas siderais; e

▪ Imobilidade da Esfera Celeste: considera a esfera celeste estática,

enquanto que a Terra exerce o seu movimento de rotação, no mesmo

intervalo de 24 horas siderais, porém de oeste para leste.

7.1 Movimento Aparente dos Astros Fixos

Lei do Movimento Diurno dos Astros Fixos

“Os astros fixos, supostos engastados na esfera celeste, giram com ela em torno do eixo do

mundo, em 24 horas siderais, de leste para oeste, com movimento circular, paralelo, isócrono

e uniforme”.

Sendo que:

▪ Movimento Circular e Paralelo: as estrelas no movimento diurno

descrevem órbitas circulares e paralelas ao Equador;

▪ Movimento Isócrono: todas as estrelas, estejam próximas ao Equador

ou aos Pólos, descrevem seus respectivos paralelos em 24 horas

siderais; e

▪ Movimento Uniforme: a velocidade angular das estrelas no

movimento diurno é constante e igual a 15º por hora sideral.


53

7.2 Aspectos do Céu Segundo a Latitude

Observador no Equador (φ = 0º) – “Esfera Reta”

Observando a Figura 25 pode-se acompanhar o movimento diurno de três

astros, considerando o observador localizado sobre o Equador.

Figura 25 – Esfera reta.

O astro E1 que percorre o Equador celeste, por exemplo, nasce a leste (E),

culmina no zênite e percorre seu paralelo até atingir o horizonte a oeste (W). O intervalo de

tempo para percorrer este espaço é chamado de dia do astro. Assim, o dia do astro E2 inicia-se

quando ele nasce a leste no ponto A; seguindo seu paralelo culmina em B (quando cruza o

semimeridiano superior) e oculta em C (quando cruza o horizonte do observador), terminando

o seu dia. Desta forma, o dia do astro para um observador é o tempo que ele permanece acima

do horizonte do observador (o tempo abaixo do horizonte é denominado de noite do astro).

Para um observador no Equador todos os astros são visíveis em virtude do

horizonte ser perpendicular à trajetória do astro. O tempo que o astro permanece acima do


54

horizonte (visível) é igual ao tempo que permanece abaixo do mesmo (invisível); assim a

duração do dia é igual a duração da noite.

Observador nos Pólos (φ = ±90º) – “Esfera Paralela”

Observando a Figura 26 pode-se acompanhar o movimento diurno de três

astros, considerando o observador localizado no Pólo Norte.

Figura 26 – Esfera paralela.

Este observador apenas vê os astros de seu hemisfério, ou seja, apenas

aqueles astros cuja declinação tenha o mesmo sinal da latitude. Para este observador os astros

E1 e E2 permanecem sempre acima do horizonte, não apresentando os fenômenos de nascer e

ocultar. Já o astro E3 permanece sempre abaixo do horizonte, portanto invisível ao

observador.


55

Observador entre Equador e os Pólos (0º < φ < 90º ou -90º < φ < 0º) – “Esfera Oblíqua”

Observando a Figura 27 pode-se acompanhar o movimento diurno de quatro

astros, considerando o observador localizado no Hemisfério Sul (-90º < φ < 0º).

Figura 27 – Esfera oblíqua.

Os arcos diurnos e noturnos dos astros são diferentes, sendo o tempo de

permanência acima do horizonte e o fato de serem visíveis ou invisíveis dependentes da

latitude do observador e da declinação dos astros.

O astro E1 é sempre visível para este observador (denominado de astro

circumpolar). O astro E2 permanece mais tempo acima do horizonte do que oculto (a duração

do dia do astro é maior que a duração da noite). O astro E3 é contrário do E2, pois permanece

mais tempo oculto. Já o astro E4 é eternamente invisível para o observador nesta latitude.

Pode-se notar que com o aumento da latitude (elevação do Pólo acima do

horizonte) os astros passam a nascer e ocultar em horas siderais diferentes, bem como a

culminação (passagem do astro pelo semimeridiano superior do observador) ocorre em alturas

diferentes, porém à mesma hora sideral. Dependendo da declinação do astro, ele pode não


56

apresentar os fenômenos de ocultação (eternamente visível) e nascimento (eternamente

invisível).

7.3 Movimentos Aparentes do Sol

Ao observar as estrelas no decurso de várias noites ver-se-á que as mesmas

conservam sempre as mesmas posições relativas, o que permite agrupá-las em constelações. O

mesmo não ocorre com o Sol e os demais planetas do sistema solar. Se acompanhar o

movimento do Sol no decurso de vários dias, ver-se-á que nem sempre ele sobe ou culmina à

mesma altura.

No estudo da Astronomia de Posição considera-se o Sol com dois

movimentos aparentes e distintos:

▪ O movimento com a esfera celeste (decorrente da velocidade de

rotação da Terra); e

▪ O movimento próprio, contrário ao sentido do movimento da esfera

celeste, isto é, o Sol sofre um atraso em relação às estrelas

(movimento decorrente da translação terrestre).

Para melhor compreensão destes dois movimentos pode-se fazer uma

analogia com um trem de passageiros: o movimento com a esfera celeste é similar ao

movimento do trem levando o passageiro estático, e o movimento próprio seria o passageiro

deslocando-se dentro do trem, porém em sentido contrário ao trem.

A seguir é explicado como se processa o movimento aparente do Sol na

esfera celeste:

No dia 21 de março (equinócio de primavera para o observador no

Hemisfério Norte) o Sol nasce a leste e oculta-se a oeste (Figura 28), isto é, o plano da

trajetória do Sol intercepta o Equador segundo a linha leste-oeste e com declinação nula. No

dia seguinte a trajetória será diferente do dia anterior: o Sol penetrará no Hemisfério Norte,

nascendo no ponto a e se ocultando no ponto a’, não mais na linha leste-oeste. Nos dias

subsequentes o Sol seguirá uma trajetória diferente da anterior, até que no dia 21 de junho

nascerá no ponto b e se ocultará em b’, atingindo seu máximo afastamento do Equador

(declinação de 23º 27’ N). A partir deste ponto o Sol não mais se deslocará em direção ao

norte, mas sim seguirá o caminho inverso. Desta forma, tem-se a impressão que o Sol estará


57

parado. Dai surgiu o nome solstício (solstitium em latim significa “parada do Sol”). Nesta

época o verão se inicia no Hemisfério Norte (solstício de verão). No dia 21 de setembro o Sol,

seguindo seu caminho em direção ao Hemisfério Sul, nascerá novamente no ponto leste e se

ocultará a oeste: é o equinócio de primavera para o Hemisfério Sul (equinócio vem do latim

equinotium que significa “noite iguais”). No dia 21 de dezembro ele nascerá em c e ocultará

em c’, atingindo sua máxima declinação sul (23º 27’ S). É o início do verão para o Hemisfério

Sul.

Figura 28 – Movimento aparente do Sol com a esfera celeste.


58

7.3.1 Trajetória aparente do Sol em diferentes latitudes

Observador no Equador (φ = 0º) – “Esfera Reta”

Observando a Figura 29 pode-se acompanhar a trajetória aparente do Sol,

considerando o observador localizado sobre o Equador.

Figura 29 – Trajetória aparente do Sol na esfera reta.

Para um observador na latitude nula os arcos diurnos do Sol são iguais aos

arcos noturnos em qualquer época do ano, ou seja, a duração astronômica do dia é igual a da

noite. No Equador, o Sol culmina no zênite duas vezes ao ano; isto ocorre quando sua

declinação é nula, ou seja, nos equinócios (21 de março e 21 de setembro).


59

Observador nos Pólos (φ = ±90º) – “Esfera Paralela”

Figura 30 – Trajetória aparente do Sol na esfera paralela.

Para o Hemisfério Norte, a partir do dia 21 de março (início da primavera)

até o dia 21 de setembro (fim do verão), vê-se o Sol constantemente acima do horizonte,

descrevendo almicantarados, ou seja, tem-se um dia com a duração de 6 meses. Já o

observador no hemisfério oposto, neste mesmo período, jamais vê o Sol, isto é, tem um noite

com a duração de 6 meses. Em 21 de setembro termina o “dia” do Hemisfério Norte, pois o

Sol agora passa ao hemisfério oposto, proporcionando agora 6 meses de luminosidade ao

Hemisfério Sul, de 21 de setembro (início da primavera) a 21 de março (fim do verão).


60

Observador na zona tropical (-23º 27’ < φ < 23º 27’)

Figura 31 – Trajetória aparente do Sol com observador na zona tropical.

Observadores na zona tropical “vê” o Sol culminar no zênite duas vezes no

ano; este fenômeno ocorre quando a declinação do Sol tem o mesmo valor que a latitude do

observador e também estar ambos no mesmo hemisfério. Em Presidente Prudente (φ = -22º

07’) a culminação no zênite ocorrerá (para o ano de 2015) nos dias 9 de janeiro e 4 de

dezembro.


61

Observador na zona temperada (-66º 33’ < φ < -23º 27’ ou 23º 27’ < φ < 66º 33’)

Figura 32 – Trajetória aparente do Sol com observador na zona temperada.

Analisando a Figura 32 observa-se que o Sol, para os moradores das zonas

temperadas, em nenhuma época do ano atinge o zênite, o que significa que durante todo o ano

terá sombras projetadas.

Para os observadores na latitude 66º 33’ (N ou S) – círculo polar ártico ou

antártico –, o Sol permanece 24 horas acima do horizonte no dia do solstício de verão.

Nos locais de latitude maior que 66º 33’, pode-se observar o “Sol de meia-

noite”.


62

8 ESTUDO ANALÍTICO DO MOVIMENTO DIURNO

Em consequência do movimento diurno os corpos celestes giram com a

esfera celeste de leste para oeste. Alguns astros apresentem nascer e ocultar, outros são

circumpolares (eternamente visíveis) ou eternamente invisíveis.

Utilizando-se do triângulo de posição é possível obter as coordenadas de um

astro para um determinado instante. O estudo analítico do movimento diurno dos astros

permitirá o cálculo da hora sideral (S) e das coordenadas horizontais (A, z ou h) do astro em

uma determinada posição de interesse.

8.1 Posição de um Astro em um Dado Instante

Objetivo: determinar A e z (elementos de calagem do astro);

Deve-se conhecer: φ, α, δ e S.

Considerando o triângulo de posição abaixo e um observador na latitude φ,

deseja-se observar o astro E, de coordenadas α e δ, às S horas siderais. O problema consiste

em determinar as coordenadas horizontais A e z do astro.



63

As deduções das equações a seguir são apresentadas nas seções 6.2 e 6.3:


cosδ tgH cossen

Hsen A tg

−= (42)

onde:

α SH −= (43)

8.2 Astro na Passagem Meridiana Superior

Objetivo: determinar A, z e S;

Deve-se conhecer: φ, α e δ;

Condição: H = 0h ou 0º.

Figura 34 – Astro na passagem meridiana superior (H = 0h ou 0º).


64

Diz que um astro está em sua passagem meridiana quando ele cruza o

meridiano celeste do observador. Neste instante o ângulo horário do astro é nulo (H = 0h ou

0º), resultando para a distância zenital:

δ cos cosδsen sen z cos0 cosδ cos cosδsen sen z cos +=+= (44)

Sabendo que:

( ) b cosa cosbsen asen bacos +=− (45)

Portanto:

( ) δ cos cosδsen sen δcosz cos +=−=

( )δcosz cos −=

( )δz −= (46)

Como a distância zenital z é sempre positiva (z ≥ 0º), deve-se escolher o

sinal que torne ou conserve positiva a quantidade entre parênteses (φ – δ), ou seja, caso

(φ – δ) seja positivo utiliza-se o sinal +, ou, caso (φ – δ) seja negativo utiliza-se o sinal –

(multiplica por –1).

O sinal de (φ – δ) convém somente à interpretação do fenômeno:

▪ Se (φ – δ) for positivo, a passagem meridiana dá-se ao Sul do zênite,

sendo A = 0º; ou

▪ Se (φ – δ) for negativo, a passagem meridiana dá-se ao Norte do

zênite, sendo A = 180º.

Observação: como H = 0h, portanto S = α, isto é, a hora sideral da passagem

meridiana superior do astro é o valor da ascensão reta.


65

8.3 Astro na Passagem Meridiana Inferior



Condição: H = 12h ou 180º.

Figura 35 – Astro na passagem meridiana inferior (H = 12h ou 180º).

Na passagem meridiana inferior tem-se que H = 12h ou 180º, portanto:

δ cos cosδsen sen z cos180 cosδ cos cosδsen sen z cos −=+= (47)

Sabendo que:

( ) ( ) b cosa cosbsen asen bacosb cosa cosbsen asen bacos −=+−+−=+ (48)


66

Portanto:

( ) δ cos cosδsen sen δcosz cos −=+−=

( )δcosz cos +−=

( )δ180z += (49)

Como a distância zenital z varia de 0º a 180º, deve-se escolher o sinal que

torne ou conserve negativa a quantidade entre parênteses (φ + δ), ou seja, caso (φ + δ) seja

positivo utiliza-se o sinal –, ou, caso (φ + δ) seja negativo utiliza-se o sinal +.

O sinal de (φ + δ) convém somente à interpretação do fenômeno:

▪ Se (φ + δ) for positivo, a passagem meridiana dá-se ao Norte do

zênite, sendo A = 180º; ou

▪ Se (φ + δ) for negativo, a passagem meridiana dá-se ao Sul do zênite,

sendo A = 0º.

Observação: como H = 12h, portanto S = 12h + α.

8.4 Astro na Culminação

Diz-se que o astro culmina quanto atinge a sua distância zenital mínima (ou

altura máxima). Derivando a equação (50), considerando fixo apenas a latitude do observador,

tem-se que:


−−=− dδH cosδsen cosdHHsen δ cos cosdδδ cossen dzzsen

( ) dHHsen δ cos cosdδH cosδsen cosδ cossen dzzsen −−=− (51)

Para os astros fixos, admite-se que a declinação dos mesmos seja fixa no

movimento diurno, ou seja, dδ = 0. Assim, a equação (51) pode ser simplificada,

proporcionando a derivada temporal da distância zenital:


67

zsen

Hsen δ cos cos

dH

dz =

(52)

Como o astro culminando significa que a distância zenital é mínima,

portanto dz/dH = 0, assim:

0hou 0H0Hsen 0zsen

Hsen δ cos cos =→=→=

Portanto, a culminação dos astros fixos se processa na passagem meridiana

superior.

Já para os astros errantes têm-se que a declinação não é fixa no movimento

diurno, ou seja, dδ ≠ 0. Portanto, a equação (51) pode ser reescrita como:

( )zsen

Hsen δ cos cos

dH

dδ

zsen

H cosδsen cosδ cossen

dH

dz +

−−=

(53)

sendo dz/dH = 0:

( )

=

+−

− 0senz

Hsen δ cos cos

dH

dδ

senz

H cosδsen cosδ cossen

( ) −=dH

dδH cosδsen cosδ cossen Hsen δ cos cos

−=

dH

dδ

δ cos cos

H cosδsen cosδ cossen Hsen

( )dH

dδH cosδ tg tgHsen −= (54)

Sendo o ângulo H muito pequeno, pode-se assumir que:

dH

dδ

1"sen

δ tg tgH"

−=

(55)


68

Expressando o ângulo horário em segundos de tempo:

( )dH

dδδ tg tg98708,13750H

dH

dδ

1"sen 15

δ tg tgH SS −=

−=

(56)

As efemérides dos astros do sistema solar disponibilizam a declinação e a

respectiva variação (Δδ = dδ/dH), este último em “/hora (segundos de arco por hora). Assim,

pode-se obter o ângulo horário da culminação de um astro errante dividindo a equação (56)

sucessivamente por 15 e 3600:

( ) Δδδ tg tg0,2546HS −= (57)

8.5 Astro na Passagem pelo Horizonte

Objetivo: determinar A e S;


Condição: h = 0º ou z = 90º.

Figura 36 – Astro na passagem pelo horizonte - nascendo (h = 0º ou z = 90º).


69

Figura 37 – Astro na passagem pelo horizonte - ocultando (h = 0º ou z = 90º).

Um astro está nascendo ou ocultando quando o mesmo cruza o horizonte do

observador, respectivamente a leste e a oeste. Neste momento o triângulo de posição é

retilátero (lado z = 90º), assim, partindo da equação (58), tem-se que:


+=+= H cosδ cos cosδsen sen 0H cosδ cos cosδsen sen 90 cos

δ tg tgH cosδ cos cos

δsen sen H cosδsen sen H cosδ cos cos −=

−=−=

(59)

Verifica-se que o ângulo horário H da equação (59) somente é possível se:

−− 90δou 90tgδ tg (59)

Analisando a equação (59) verifica-se que apenas os astros de declinação

menor que a colatitude local possuem nascer e ocultar; caso contrário o astro será circumpolar


70

ou eternamente invisível se pertencer ao hemisfério oposto ao do observador. Essa equação

também possui duas raízes, ou seja, são possíveis os ângulos ±H: o sinal positivo é atribuído

aos astros a oeste do meridiano celeste do observador (ocultar), e o sinal negativo aos astros a

leste do meridiano do observador (nascer), sendo que nesse caso deve-se somar 360º ou 24h

ao valor de –H.

Assim, a hora sideral S do nascer ou ocultar do astro é determinada

utilizando a Fórmula Fundamental da Astronomia de Posição (S = H + α), sendo o ângulo

horário do nascer ou ocultar definido anteriormente.

Já o cálculo do azimute A do nascer/ocultar do astro é obtido utilizando a

equação a seguir (dedução apresentada na seção 6.2):


−=−= A cos cosδsen A cos90sen cos90 cossen δsen

cos

δsen A cos −= (61)

Análogo ao ângulo horário, a equação (61) do cálculo do azimute possui

duas raízes (±A): o sinal positivo é atribuído aos astros a oeste do meridiano celeste do

observador (ocultar), e o sinal negativo aos astros a leste do meridiano do observador

(nascer), sendo que nesse caso deve-se somar 360º ao valor de –A.


71

8.6 Astro na Passagem pelo Primeiro Vertical

Objetivo: determinar z e S;


Condição: A = 90º ou A = 270º.

Figura 38 – Astro na passagem pelo primeiro vertical (A = 90º ou A = 270º).

Entende-se por primeiro vertical como sendo o plano vertical que forma um

ângulo de 90º com o meridiano celeste do observador, portanto, intercepta o horizonte

astronômico segundo a linha leste-oeste.

Assim, o azimute do astro na passagem pelo primeiro vertical a oeste (W) é

AW = 90º, e na passagem pelo primeiro vertical a leste (E) é AE = 270º. Nestas condições o

triângulo de posição é retângulo no zênite (Figura 39), o que permite aplicar a Regra de

Mauduit: “o cosseno do elemento médio é igual ao produto dos senos dos elementos

separados”, sendo o elemento médio o lado 90º – δ.


72

Figura 39 – Triângulo de posição retângulo no zênite.

( ) ( ) ( ) =−−−=− z cossen δsen z90sen9090senδ90cos

sen

δsen z cos = (62)

Verifica-se que a distância zenital z da equação (62) somente é possível se:

δ (63)

Quando φ e δ tem o mesmo sinal (observador e astro pertencem ao mesmo

hemisfério) a passagem pelo primeiro vertical se processa acima do horizonte (é visível).

Para o cálculo da hora sideral da passagem do astro pelo primeiro vertical,

primeiramente deve-se determinar o ângulo horário. Aplicando a Regra de Mauduit (“o

cosseno do elemento médio é igual ao produto das cotangentes dos elementos conjuntos”) no

triângulo de posição retângulo no zênite, porém dessa vez considerando como elemento

médio o ângulo horário H, tem-se:

( ) ( )

tg

δ tgH cosδ90cotg9090cotg H cos =−−−=

(64)

A equação (64) admite duas raízes (±H), sendo o sinal positivo atribuído

para a passagem a oeste e o sinal negativo para a passagem a leste, sendo que nesse caso

deve-se somar 360º ou 24h ao valor de –H.


73

Assim, a hora sideral S da passagem do astro pelo primeiro vertical é

determinada utilizando a Fórmula Fundamental da Astronomia de Posição (S = H + α), sendo

os ângulos horários da passagem a oeste e leste definidos anteriormente.

8.7 Astro na Passagem pelo Círculo das Seis Horas



Condição: H = 6h ou H = 18h.

Figura 40 – Astro na passagem pelo círculo das seis horas (H = 6h ou H = 18h).

O círculo das seis horas é o círculo máximo perpendicular ao Equador

celeste ao longo da linha leste-oeste, ou em outras palavras, é o meridiano celeste que contém

os pontos leste (E) e oeste (W).


74

Analisando a Figura 40 tem-se que no momento da passagem pelo círculo

das seis horas o ângulo horário H do astro torna-se igual a 6h = 90º (na passagem por oeste)

ou 18h = 270º (na passagem por leste). Assim o triângulo de posição fica retângulo no Pólo

(Figura 41):

Figura 41 – Triângulo de posição retângulo no Pólo.

Aplicando a Regra de Mauduit (“o cosseno do elemento médio é igual ao

produto dos senos dos elementos separados”), sendo o elemento médio o lado z, tem-se:

( ) ( ) δsen sen z cosδ9090sen9090sen z cos =−−−−= (65)

A equação acima é satisfeita para qualquer valor de latitude e declinação.

Assim, todos os astros passam pelo círculo das seis horas.


produto das cotangentes dos elementos conjuntos”), sendo o elemento médio o lado (90º – φ),

tem-se:

( ) ( ) ( ) −=−−−=−− δ cotgA cotg cosδ9090cotgA180cotg9090cos

δ tg cos

1A tg

δ cotg

cosA cotg

−=−=

(66)

A equação (66) admite duas raízes (±A), sendo o sinal positivo atribuído

para a passagem a oeste e o sinal negativo para a passagem a leste, sendo que nesse caso

deve-se somar 180º ao valor de +A.


75

A hora sideral da passagem do astro pelo círculo das seis horas a oeste é

dado por: SW = 6h + α. Já a passagem a leste é: SE = 18h + α.

8.8 Astro em Elongação



Condição: Q = 90º (ângulo paralático).

Figura 42 – Astro elongando (Q = 90º).

Os astros, em seu movimento diurno, estão constantemente variando de

azimute. Por definição, um astro está elongando quando seu azimute passa por um máximo ou

por um mínimo; em outras palavras, quando a velocidade azimutal (derivada do azimute em

relação ao tempo – dA/dH) é nula.


76

O astro com δ gira em torno da vertical do lugar, no sentido SENW,

continuamente, completando uma circunferência. Como o azimute do astro é contado do

ponto Sul (Hs), por oeste, até a vertical do astro, pode-se dizer que seu azimute decresce sem

cessar de 360º a 0º.

Observando a Figura 42, onde o observador e o astro estão no mesmo

hemisfério, com δ , verifica-se que a vertical do astro não descreve mais uma

circunferência em torno da vertical do observador, mas sim desloca-se ora num sentido, ora

em outro. Assim, o azimute do astro ora cresce, ora decresce, admitindo um valor máximo e

um valor mínimo.

A expressão que fornece a velocidade azimutal é (demonstração a cargo do

aluno):

zsen

Q cosδ cos

dH

dA = (67)

Na elongação tem-se que dA/dH =0, então: 0zsen

Q cosδ cos=

, sendo z e δ

diferentes de zero, resta 0 Q cos = , o que implica em Q = 90º. Logo, no momento da

elongação, o ângulo paralático é 90º, isto é, o triângulo de posição é retângulo no astro

(Figura 43).

Figura 43 – Triângulo de posição retângulo no astro.


77


produto dos senos dos elementos separados”), sendo o elemento médio o lado (90º – φ):

( ) ( ) ( ) δsen

sen z cosδsen z cossen δ9090senz90sen 90cos

==−−−=−

(68)

Regra de Mauduit (“o cosseno do elemento médio é igual ao produto dos

senos dos elementos separados”), sendo o elemento médio o lado (90º – δ):

( ) ( ) ( )

cos

δ cosAsen Asen cosδ cosA180sen90sen δ9090cos ==−−=−−

(69)

Regra de Mauduit (“o cosseno do elemento médio é igual ao produto das

cotangentes dos elementos conjuntos”), sendo o elemento médio o ângulo horário H:

( ) ( ) δ tg

tgH cosδ9090cotg90cotg H cos

=−−−=

(70)

As equações (69) e (70) possibilitam dupla solução – ±A e ±H – sendo o

sinal positivo correspondente à elongação a oeste, e o sinal negativo à elongação a leste.

Por fim, as horas siderais da elongação a oeste e a leste são dadas por:

αHSW ++= e αHSE +−= (71)

Somente ocorrerá elongação se δ , e para que o fenômeno seja visível

é necessário que o observador e o astro estejam no mesmo hemisfério. Observando o astro na

elongação com o teodolito, vê-se o mesmo “percorrer” o fio vertical do retículo do

instrumento.


78


1. Calcular o azimute (A), a distância zenital (z) e a hora sideral (S) da estrela 652, em

Presidente Prudente, no(a):

a) Nascer;

b) Ocultar;

c) Passagem meridiana superior;

d) Passagem meridiana inferior;

e) Círculo das seis horas, a leste e a oeste;

f) Primeiro vertical, a leste e a oeste;

g) Elongação, a leste e a oeste;

h) Almicantarado z = 30º; e

i) Às 14 horas siderais.

2. Idem o exercício 1 para a estrela 622.

3. Idem o exercício 1 para a estrela 706.

4. Pretende-se observar Saturno às 13 horas siderais em Presidente Prudente. Pede-se para

calcular os elementos de calagem, sabendo-se que:

φ = 22º 07’ S

δ = 6º 09’ 35” N

α = 1h 21min 33s


79

9 TEMPO EM ASTRONOMIA

A medida de tempo está diretamente relacionada aos movimentos de rotação

e translação da Terra. O tempo é medido pelo ângulo horário que um determinado ponto

tomado como referencial faz com o meridiano celeste do observador. Para o tempo sideral,

por exemplo, a origem do tempo é o instante da passagem deste referencial pelo

semimeridiano superior do observador. Assim, o conceito de tempo deve estar sempre ligado

ao meridiano do observador.

Há três tipos de tempo astronômico rotacionais, isto é, baseados no

movimento de rotação terrestre, sendo a diferenciação de cada um dependente do “astro” que

serve de referência para o movimento rotatório:

▪ Tempo Sideral: referencial → estrela/ponto vernal (γ);

▪ Tempo Solar Verdadeiro: referencial → Sol; e

▪ Tempo Solar Médio: referencial → Sol Médio (Sol fictício).

O ângulo horário de um astro é função do tempo e varia sempre no mesmo

sentido (de 0h a 24h, por oeste), assim, surge a definição genérica: “Hora (instante) é o

ângulo horário de um astro”.

9.1 Tempo Sideral

O tempo sideral é regulado pelo ponto vernal ou pelas estrelas que, apesar

de serem elementos móveis (o ponto vernal tem movimento retrógrado da ordem de 50,23”

por ano) na esfera celeste, têm os movimentos tão pequenos que são tidos como referenciais

fixos.

O Dia Sideral é definido como o intervalo de tempo decorrido entre duas

passagens consecutivas do semimeridiano superior do lugar/observador pelo ponto vernal. O

dia sideral tem a duração de 24 horas siderais e começa às 00h 00min 00s, no instante da

passagem do semimeridiano superior do lugar pelo ponto vernal.

Tempo Sideral Local (S): com a passagem do semimeridiano superior do

lugar pelo ponto vernal, tem início o tempo sideral local (00h 00min 00s); assim, num dado

instante o tempo sideral local é igual ao ângulo horário do ponto vernal nesse instante (ver

Figura 22).

Para um dado instante e lugar tem-se que:


80

αHS += (72)

que é a Fórmula Fundamental da Astronomia de Posição. Assim, o tempo sideral local (S)

pode ser calculado desde que sejam conhecidos, para um dado instante, a ascensão reta (α) e o

ângulo horário (H) de um astro.

Pode-se concluir que: “Hora sideral local (instante) é o ângulo horário do

ponto vernal”.

Figura 44 – Hora sideral local.

Tempo Sideral de Greenwich às 0h TU (S0): as efemérides fornecem para

todos os dias do ano às 0h do Tempo Universal (TU) o tempo sideral de Greenwich (ângulo

horário do ponto vernal às zero horas do Tempo Universal).

9.2 Tempo Solar Verdadeiro

O tempo solar verdadeiro é regulado pelo movimento diurno do Sol.

O Dia Solar Verdadeiro é definido como o intervalo de tempo decorrido

entre duas passagens consecutivas do Sol pelo mesmo semimeridiano. O dia solar verdadeiro

tem início a partir da passagem do Sol pelo semimeridiano inferior do lugar/observador.


81

Em virtude do movimento anual aparente do Sol ser no sentido direto

(contrário ao do movimento diurno), o dia solar verdadeiro é mais longo que o dia sideral.

Pelo fato da velocidade linear do Sol não ser constate ao longo do ano, o dia

solar verdadeiro não se presta ao papel de “unidade” de intervalo de tempo. À saber: por

percorrer o Sol a eclíptica e não o Equador celeste e por fazê-lo com velocidade tangencial

variável (Leis das Áreas de Kepler), a variação de seu ângulo horário não é uniforme.

Assim, pode-se concluir que: “Hora solar verdadeira (instante),

representada por V, é o ângulo horário do Sol (verdadeiro) acrescido de 12 horas”.

12hHV Verdadeiro Sol += (73)

9.3 Tempo Solar Médio

Com a finalidade de sanar os inconvenientes decorrentes da variabilidade do

dia solar verdadeiro, os astrônomos conceberam o Sol Médio: “também denominado de Sol

Fictício, é o Sol que ‘percorre’ o Equador celeste, tendo como origem o ponto vernal, no

mesmo intervalo de tempo que o Sol Verdadeiro percorre a eclíptica”.

Dessa forma, o tempo solar médio é regulado pelo movimento diurno do Sol

Médio.

O Dia Solar Médio é definido como o intervalo de tempo decorrido entre

duas passagens consecutivas do Sol Médio pelo mesmo semimeridiano, tendo início a partir

da passagem do Sol Médio pelo semimeridiano inferior do lugar/observador.

Assim, pode-se concluir que: “Hora solar média (instante), representada

por M, é o ângulo horário do Sol Médio acrescido de 12 horas”.

12hHM Médio Sol += (74)

O ângulo horário do Sol Médio em Greenwich é conhecido como GMAT

(Greenwich Mean Astronomical Time). Quando o Sol Médio está passando pelo

semimeridiano inferior de Greenwich seu ângulo horário é 12 horas, ou seja, meia noite

naquele local, o que significa que um novo dia civil está nascendo. O tempo solar médio

contado a partir do semimeridiano inferior de Greenwich é chamado de GMT (Greenwich


82

Mean Time), atualmente designado por TU (Tempo Universal). O Tempo Universal e o

Tempo das Efemérides podem, em uma primeira aproximação, serem considerados iguais.

9.4 Equação do Tempo

A Equação do Tempo (E) fornece a diferença entre a hora solar verdadeira

(V) e a hora solar média (M):

M V E −= (75)

A equação do tempo vem consignada no anuário para às 0h TU

(representada por E0). Muitas vezes necessita-se saber esta equação para transformação de

tempo solar médio em verdadeiro e vice-versa. Assim, faz-se necessário a atualização da

equação do tempo para o instante desejado:

( ) ΔEλ M E E 00 −+= (76)

onde:

E – equação do tempo para o instante M;

E0 – equação do tempo para às 0h TU;

M – hora solar média;

λ – longitude do local (positiva a leste de Greenwich e negativa a oeste de Greenwich); e

ΔE0 – variação horária da equação do tempo (em segundos por hora).

As efemérides astronômicas do Observatório Nacional trazem, para cada dia

do ano, a hora solar média (M) da passagem do Sol pelo semimeridiano superior de

Greenwich (lembrando que esta passagem, em qualquer lugar, ocorre às 12h verdadeiras).

Assim, pode-se determinar a equação do tempo, na data desejada, subtraindo de 12 horas

verdadeiras a hora média da passagem. Estes dados permitem que sejam calculadas as

equações do tempo, bem como sua variação horária, para qualquer dia do ano. Segue um

exemplo:

No dia 5 de maio de 1999 a passagem meridiana do Sol em Greenwich dá-

se às M = 11h 56min 42,45s. Com auxílio da equação (75) tem-se que:


83

17,55s3min 42,45s56min 11h 12h E5 =−= (77)

Já para o dia 6 de maio de 1999 a passagem meridiana em Greenwich dá-se

às 11h 56min 37,51s, o que traduz numa equação do tempo de E6 = 3min 22,49s. Assim,

verifica-se que a equação do tempo do dia 5 para o dia 6 cresceu 4,94s. Então sua variação

horária será:

s/h 0,20624h

17,55s3min 22,49s3min

24h

EEΔEΔE 56

0 =−

=−

== (78)

Agora pode-se reduzir a equação do tempo para às 0h TU. No dia 5 de maio

de 1999, a equação do tempo às 0h TU será:

( ) ( ) −=−=−= 2,472s17,55s3min Es/h 0,20612h17,55s3min EΔE12hE E 5

0

5

005

5

0

15,08s3min E5

0 = (79)

9.5 Hora Legal

Se na vida prática fosse adotada a hora média, verdadeira ou sideral,

somente os relógios situados em um mesmo meridiano acusariam a mesma hora. Imaginando

um viajante que se deslocasse em longitude, estaria o seu relógio a todo instante atrasado ou

adiantado, conforme o deslocamento fosse para leste ou para oeste. Tal situação traria sérios

inconvenientes e causaria várias confusões.

Face essa problemática foi idealizado um sistema de fusos horários: a

superfície terrestre foi “dividida” em 24 fusos de 15º de amplitude cada um (ou uma hora

cada); os fusos horários foram numerados de 0 a +12h para fusos localizados a oeste de

Greenwich e de 0 a -12h para os fusos a leste de Greenwich (Figura 45). Apenas para

esclarecer: o fuso zero (origem) é limitado pelas longitudes 7º 30’ W e 7º 30’ E. O fuso zero

contem o meridiano astronômico médio do Observatório de Greenwich.


84

Figura 45 – Sistema de fusos horários utilizado na Astronomia.

Assim surgiu o conceito de Hora Legal, uma hora não astronômica imposta

por lei: “Hora legal em um ponto é a hora média do meridiano central do fuso a que pertence

o ponto”.

Por essa convenção adotada, todos os relógios do mundo marcam os

mesmos minutos e os mesmos segundos, sendo diferentes apenas as horas “cheias”.

A hora legal (Hl), em um determinado local e instante, é igual ao tempo

médio de Greenwich (MG) nesse instante menos o fuso do lugar (F), respeitando a convenção

de sinal adotada:

F M Hl G −= (80)

Assim, quando em Greenwich são 13h, os relógios dos moradores de

Presidente Prudente marcam: Hl = 13h – (+3h) = 10h.

No sistema adotado todos os lugares compreendidos dentro de um fuso

horário têm a mesma hora (hora média do meridiano central do fuso), denominada de hora

legal. Assim, se pretender saber a hora legal do lugar, representado por A na Figura 45, basta

saber a hora média do fuso de +2h. Porém, se pretender saber a hora média de A tem-se que

transformar a sua hora legal em média usando a correção do fuso (f), que é a diferença entre a

hora média e a hora legal do lugar:

Hl M f −= (81)


85

Para o cálculo do valor de f deve-se conhecer a longitude (λ) do lugar e o

fuso a que pertence o lugar. A soma algébrica da longitude com o fuso fornece o valor de f:

F λ f += (82)

Calculado o valor da correção do fuso (f), para calcular a hora média de um

lugar utiliza-se da equação (83):

fHlM += (83)

Das equações (81) e (82) pode-se deduzir:

FHlλMFλHl M +=−+=− (84)

A equação (84) possibilita transformar hora legal em média e vice-versa,

com a ressalva que deve-se considerar a longitude negativa a oeste de Greenwich e os fusos

positivos a oeste de Greenwich.

9.6 Diferença de Horas entre Dois Meridianos

Considerando a Figura 46, sendo dois lugares L1 e L2 de longitude λ1 e λ2,

um astro S cujos ângulos horários em relação aos lugares L1 e L2 são, num mesmo instante

físico, H1 e H2:

Figura 46 – Diferença de horas entre dois meridianos.


86

A partir da Figura 46 tem-se:

( )21212211 λλHHλHλH −−=−+=+ (85)

Sabendo-se que S = H + α, então: S1 = H1 + α e S2 = H2 + α. Assim:

21212121 HHSSαHαHSS −=−−−+=− (86)

Substituindo a equação (85) na equação (86) obtém-se:

( )2121 λλSS −−=− (87)

Quando um dos lugares for Greenwich (G), tem-se que:

GSSλ −= (88)

Generalizando esse conceito para o tempo verdadeiro e médio tem-se:

GVVλ −= e GMMλ −= (89)

Pelo exposto pode-se afirmar que a longitude de um lugar é igual a hora

astronômica local menos a hora astronômica de Greenwich.

O movimento de rotação da Terra não é rigorosamente uniforme; a

velocidade de rotação da Terra está sujeita a:

▪ Um leve retardamento de natureza secular;

▪ Variações sazonais, provavelmente devido a causas meteorológicas; e

▪ Variações irregulares de origem ainda não satisfatoriamente

explicadas.


87

Devido às variações na velocidade de rotação da Terra e ao movimento do

Pólo, há três tipos de Tempo Universal:

▪ TU0: é o tempo universal obtido diretamente das observações

astronômicas;

▪ TU1: é o TU0 corrigido da influência do movimento do Pólo sobre a

longitude; e

▪ TU2: é o TU1 corrigido da influência das variações sazonais da

velocidade de rotação.

9.7 Tempo das Efemérides

As irregularidades do tempo rotacional aliadas à crescente demanda de

precisão levaram os astrônomos ao Tempo das Efemérides (TE), também denominado de

Tempo Terrestre ou Tempo Dinâmico Terrestre, desvinculado do movimento de rotação da

Terra.

A partir de 1960 a referência das efemérides dos astros do sistema solar

passou a ser o TE. O tempo das efemérides pode ser determinado comparando a posição

observada do Sol, da Lua ou de outro planeta com a calculada em função das efemérides nas

quais o argumento é o tempo definido pelas fórmulas de Newcomb. Atualmente:

32,184s TAI TE += (90)

onde: TAI – Tempo Atômico Internacional.

O segundo atômico é definido como “a duração de 9.192.631.770 períodos

da radiação correspondente a transição entre dois níveis hiperfinos do estado fundamental

do átomo de Césio 133”.

A partir de 01 de janeiro de 2017 a diferença entre o TAI e o Tempo

Universal Coordenado (TUC) é de:

s37 TUC TAI +=− (91)


88

9.8 Tempo Universal Coordenado (TUC)

Os padrões de frequência do Césio hoje existentes em todos os

observatórios astronômicos, e que controlam a transmissão de sinais horários, tendem a se

afastar do TU1 (que é o mais representativo da rotação da Terra). Assim, surgiu a necessidade

de uma escala de tempo que fosse mantida constantemente próxima de TU1 através de

correções periódicas. Essa escala de tempo recebeu o nome de Tempo Universal Coordenado

(TUC):

segundos de inteiro número TAI TUC −= (92)

Quando TU1 – TUC = DTU1 for maior, em módulo, que 0,75s o número

inteiro de segundos é incrementado em 1s. Desde novembro de 2017 o valor de DTU1 é de

+0,2s. O próximo Boletim D deve ser divulgado em fevereiro de 2018.

9.9 Ano

Genericamente, ano corresponde ao intervalo de tempo decorrido entre duas

passagens consecutivas do centro do Sol pelo mesmo ponto da eclíptica. Se o ponto o

eclíptica for:

▪ Um ponto fixo – tem-se o ano sideral;

▪ O ponto vernal – tem-se o ano trópico; ou

▪ O perigeu – tem-se o ano anomalístico.

No ano trópico o Sol, em seu movimento aparente (sentido direto), não

percorre inteiramente a eclíptica pois o ponto vernal, em virtude da precessão, retrograda

50,2”, assim, o arco realmente descrito pelo Sol é de 359º 59’ 09,8” (Figura 47 a)). Já no ano

anomalístico ocorre o contrário pois as perturbações planetárias determinam um deslocamento

do perigeu, no sentido direto, da ordem de 11,6” por ano; com isso em um ano anomalístico o

Sol percorre 360º 00’11,6” (Figura 47 b)).


89

Figura 47 – a) Ano trópico e b) ano anomalístico.

Ano Trópico < Ano Sideral < Ano Anomalístico

Tabela 2 – Unidades médias dos anos trópico, sideral e anomalístico.

Ano Duração

Trópico 365,24219879d = 365d 05h 48min 45,975s

Sideral 365,25636042d = 365d 06h 09min 09,540s

Anomalístico 365,259598d = 365d 06h 13min 53,50s

O Sol Médio completa uma revolução ao longo do Equador no mesmo

intervalo de tempo que o Sol Verdadeiro completa uma revolução ao longo da eclíptica.

Assim, tem-se o Ano Juliano: intervalo de tempo igual a 365,25 dias médios, o que conduz a

uma múltiplo inteiro, o Século Juliano, com 36.525 dias médios.


90

9.10 Relação entre os Dias Sideral e Médio

Na Figura 48 tem-se a Terra e a esfera celeste projetadas sobre o plano do

Equador celeste, sendo o momento em que o ponto vernal (γ) e o Sol Médio (S) são

alcançados simultaneamente pelo meridiano celeste do observador.

Figura 48 – Relação entre os dias sideral e médio.

Decorridas 24 horas siderais a Terra terá completado uma rotação em torno

do seu eixo, no sentido indicado na Figura (cumpriu-se um dia sideral). Porém o Sol Médio,

devido ao seu movimento anual aparente que o obriga a deslocar-se no sentido direto, ainda

não foi alcançado pelo meridiano celeste do observador, o que se dará numa posição S’,

quando então se terá completado um dia médio. O atraso do Sol nas sucessivas culminações

pelo semimeridiano do observador irá se acentuando dia-a-dia; após exatamente um ano

trópico o Sol Médio e o ponto vernal cruzarão junto novamente no meridiano do

observador. Assim, se a Terra executa, tomando como referência o ponto vernal, n rotações,

no mesmo período cumprirá, em relação ao Sol, apenas n-1 rotações.

1 ano trópico = 365,24219879 dias médios

1 ano trópico = 366,24219879 dias siderais


91

9261,0027379079365,242198

79366,242198

médios dias em Ano

siderais dias em Anoγ === (93)

9.11 Conversões de Horas

O tempo sideral médio em Greenwich a 0h TU (S0) é o tempo marcado por

um cronômetro sideral em Greenwich no instante da passagem meridiana inferior do Sol

Médio (zero hora média em Greenwich). Então:

Médio Sol0 α12hS += (94)

Na passagem seguinte o ponto vernal estará adiantado em 3min 56,56s.

Hora sideral a zero hora média, num local de longitude λ

λ9261,00273790SS 00λ−= (95)

Conversão de hora (instante) média em sideral

( ) 9260,00273790λMMSS 0 −++= (96)

Conversão de hora (instante) sideral em média

9261,00273790

9260,00273790λSSM 0 +−

= (97)

Conversão de hora (instante) média em verdadeira

( ) 00 ΔEλMEMV −++= (98)

Conversão de hora (instante) verdadeira em média

0

00

ΔE1

ΔEλEVM

+

+−= (99)


92

Conversão de hora legal em média

λFHlM ++= (100)

Conversão de hora (instante) média em legal

λFMHl −−= (101)

Conversão de hora legal em sideral

( ) 9261,00273790FHlλSS 0 +++= (102)

Conversão de hora (instante) sideral em legal

F9261,00273790

λSSHl 0 −

−−= (103)

9.12 Interpolação de Coordenadas Uranográficas

As efemérides registram de 10 em 10 dias as posições aparentes das estrelas

(α, δ) na sua passagem pelo semimeridiano superior de Greenwich, sendo a fração do dia

registrada com apenas um decimal, por exemplo: 10,5 data TU significa dia 10 em Greenwich

às 12 horas médias (ver Figura 19).

A declinação do Sol, devido a sua grande variação (aproximadamente 47º

por semestre), é registrada nas efemérides para todos os dias do ano para às 0h TU (δ0). Assim

interessa o valor da declinação do Sol (δ) para o instante da observação. Se a longitude do

local é λ e a observação deu-se às M hora média, no mesmo instante em Greenwich serão (M

– λ) horas, tendo δ0 variado (M – λ).Δδ0. Portanto, para interpolação:

( ) ( ) 0000 ΔδFHlδδΔδλMδδ ++=−+= (104)

( ) 00 ΔαFHlαα ++=


93

9.13 Cronometria e Radiofusão dos Sinais Horários

Instrumentos registradores da hora

Os cronômetros utilizados em Astronomia de Posição são instrumentos de

precisão, mas que adiantam ou atrasam em relação a um marcador de tempo de referência.

Assim, quando se utiliza um cronômetro na Astronomia de Posição necessita-se da correção

cronométrica, que permite a obtenção do tempo preciso.

O estado do cronômetro (E) é a quantidade de tempo que o cronômetro está

adiantado ou atrasado em relação a um sistema de tempo de referência:

T H E −= (105)

onde:

H – Hora referenciada a um sistema de tempo; e

T – Instante cronométrico.

O estado do cronômetro pode ser determinado em relação à hora de

Greenwich ou em relação à hora legal local.

Marcha do cronômetro

Entende-se por marcha de um cronômetro como sendo a quantidade de

tempo que o cronômetro adianta ou atrasa por unidade de tempo. Comparando o estado do

cronômetro em duas épocas diferentes (E1 e E2), é possível verificar o avanço ou retardo do

cronômetro, ou seja, a marcha do cronômetro (m):

12

12

TT

EEm

−

−= (106)

Assim, a hora cronométrica corrigida será:

( )12 TTmETH −++= (107)


94

Emissoras de sinais horários

As emissoras de sinais horários utilizam-se de esquemas para sua emissão:

▪ Esquema Americano Moderno: o último sinal dá-se no segundo 60 de

cada minuto e o sinal tem uma duração maior;

▪ Esquema Internacional: a estação emite uma série de pulsos durante 5

minutos, sendo cada pulso marcando um segundo e tendo a duração de

12/10s, com exceção do ponto inicial de cada minuto que tem uma

duração de 1/4s. A emissão começa no início dos minutos múltiplos

de 5; e

▪ Esquema da Estação WWV: os sinais são contínuos, com períodos de

transmissão de 5 minutos, sendo os dois últimos apenas de sinais

horários. No minuto final de cada período o locutor informa a hora

legal.

Frequências das principais emissoras

As principais emissoras retransmitem os sinais horários nas frequências

20KHz, 2,5MHz, 5MHz, 10MHz, 15MHz, 20MHz e 25MHz. Todas as emissoras de sinais

horários informam a diferença entre o TU1 e TUC, denominado de DTU1.

Algumas emissoras brasileiras de sinais horários:

Figura 49 – Emissora: Observatório Nacional.


95

Figura 50 – Emissora: Rio Rádio.

Figura 51 – Emissora: Rádio Relógio Federal.

Figura 52 – Emissora: Serviço da Hora do Observatório Nacional.


96


1. Calcular a hora média correspondente às 16h 33min 17s legais, em um lugar de longitude

3h 25min 38s W.

2. Calcular a hora média correspondente às 14h 20min legais, em um lugar de longitude 2h

04min W.

3. Calcular a hora média, em um lugar de longitude 3h 25min 38s W, correspondente às 21h

45min 00s do tempo legal.

4. Em um lugar de longitude 51º 24’ 24” W são 14h 13min 20s do tempo legal. Calcular a

hora legal de Greenwich.

5. Em Presidente Prudente, longitude 3h 25min 38s W, determinar o valor da correção do

fuso.

6. Qual a hora legal correspondente às 9h 13min 12s médios no dia 21 de maio de 2016, num

lugar de longitude 3h 25min 38s W?

7. Calcular a hora legal correspondente às 15 horas siderais do dia 5 de maio de 2016, em um

lugar de longitude 3h 25min 38s W.

8. Calcular a hora legal correspondente às 21 horas siderais do dia 12 de junho de 2016, em

um lugar de longitude 3h 25min 38s W.

9. Calcular a hora sideral correspondente às 19 horas legais do dia 5 de maio de 2016, em um

lugar de longitude 3h 25min 38s W.

10. Calcular os elementos de calagem e a hora legal da estrela 141 em sua passagem

meridiana superior, no dia 22 de junho de 2016, em Presidente Prudente (longitude 3h 25min

38s W e latitude 22º 07’ 18”S).


97

11. Calcular os elementos de calagem e a hora legal do nascer e ocultar da estrela 169, no dia

28 de junho de 2016, em Presidente Prudente.

12. Calcular os elementos de calagem e a hora legal da estrela 1160 em sua passagem pelo

primeiro vertical (a leste e a oeste do meridiano), no dia 4 de abril de 2016, em Presidente

Prudente.

13. Calcular os elementos de calagem e a hora legal da estrela 437 em sua passagem pelo

círculo das seis horas (a leste e a oeste do meridiano), no dia 25 de agosto de 2016, em

Presidente Prudente.

14. Calcular os elementos de calagem e a hora legal da estrela 631 em sua elongação (a leste e

a oeste do meridiano), no dia 21 de setembro de 2016, em Presidente Prudente.


98

10 CIRCUNSTÂNCIAS FAVORÁVEIS ÀS DETERMINAÇÕES ASTRONÔMICAS

As determinações astronômicas para o cálculo das coordenadas geográficas

de um lugar e do ângulo que uma direção forma com o meridiano local (azimute) geralmente

são realizadas por aproximações sucessivas, ou seja, inicialmente faz-se determinações

expeditas, determinações de precisão e finalmente determinações de alta precisão.

O conjunto de métodos e processos para a realização das determinações

incluem observações aos astros (Sol e estrelas) nas mais diversas situações (posições dos

astros em seus movimentos diurnos), sendo, portanto, necessário que seja analisado quais as

situações e circunstâncias que mais favorecem essas determinações. Analisam-se neste

capítulo quais as condições e circunstâncias mais favoráveis (posição do astro em relação ao

observador) às determinações da latitude, longitude e azimute.

10.1 Circunstância Favorável à Determinação da Latitude

Seja o triângulo de posição:


Utilizando a fórmula dos quatros elementos relativa a lado, tem-se:


Considerando δ fixo (isento de erros) e φ, z e H como variáveis, por

diferenciação tem-se:


99

−−=− dHδ cos cosHsen dH cosδ cossen dδsen cosdzzsen

( ) −−=− dHδ cos cosHsen dH cosδ cossen δsen cosdzzsen

( ) dHδ cos cosHsen dH cosδ cossen δsen cosdzzsen ++−= (109)

Da fórmula dos cinco elementos (2 ângulos e 3 lados), tem-se:

H cosδ cossen δsen cosA coszsen +−= (110)

E pela analogia dos senos:

Hsen δ cosAsen zsen Asen

δ cos

Hsen

zsen == (111)

Substituindo as equações (110) e (111) em (109), tem-se:

+= dHAsen zsen cosdA coszsen dzzsen

dHAsen cosdA cos dz += (112)

A equação (112) é a equação diferencial que relaciona as incertezas de z às

incertezas de φ e H. Assim:

dHA tg cosA cos

dz d

A cos

dHAsen cosdz d −=

−=

(113)

A equação (113) mostra que para que o erro em latitude (dφ) seja mínimo é

necessário que A cos

dz seja mínimo e que dHA tg cos também seja mínimo.

A cos

dz será

mínimo quando cos A for máximo, isto é, quando cos A = ±1, ou seja, quando o azimute (A)

for 0º ou 180º, e dHA tg cos será mínimo quando tg A for mínimo, isto é, quando tg A =

0, isto ocorre quando A = 0º ou A = 180º.

Diante destas afirmações, dφ será mínimo e por conseguinte a latitude será

melhor determinada quando o astro possuir azimute 0º ou 180º, isto é, quando o astro estiver

na passagem meridiana ou em suas proximidades. Ou seja, as influências dos erros acidentais


100

terão menor impacto na determinação da latitude quando o astro estiver nas proximidades do

meridiano do observador.

10.2 Circunstância Favorável à Determinação da Longitude

Da equação (112) diferencial, pode-se obter:

cosA tg

d

Asen cos

dzdH dHAsen cosdA cos dz

−

=+= (114)

Nesta última equação tem-se que dH é o erro em ângulo horário (o qual está

relacionado a longitude); para que dH seja mínimo é necessário que Asen cos

dz

e

cosA tg

d

sejam mínimos, ou seja, que sen A e tg A sejam máximos; isto ocorre quando o

azimute do astro for 90º ou 270º. Verifica-se que os erros dz e dφ terão influência mínima na

determinação do ângulo horário quando o astro estiver nas proximidades do primeiro vertical.

10.3 Circunstância Favorável à Determinação do Azimute

Utilizando-se da fórmula dos quatro elementos relativa a lado no triângulo

de posição tem-se:


Considerando δ fixo (isento de erros) e φ, z e A como variáveis, por

diferenciação tem-se:

+−−+= dAAsen zsen cosdzA cosz cos cosdzzsen sen dA coszsen sen dz cos cos0

( ) ( ) dAAsen zsen cosdzA cosz cos coszsen sen dA coszsen sen z cos cos0 +−−++=

(116)

Pela fórmula dos cinco elementos (3 lados e 2 ângulos) têm-se:

A cosz cos coszsen sen Q cosδ cos −−=− (117)


101

A coszsen sen z cos cosH cosδ cos += (118)

Substituindo as equações (117) e (118) em (116) tem-se:

+−= dAAsen zsen cosdzQ cosδ cosdH cosδ cos 0

+−= dzQ cosδ cosdH cosδ cos dA Asen zsen cos

dzAsen zsen cos

Q cosδ cosd

Asen zsen cos

H cosδ cos dA

+

−=

(119)

Utilizando-se da analogia dos senos duas vezes:

δ cosQsen

cosAsen Qsen δ cos cosAsen

cos

Qsen

δ cos

Asen =

==

(120)

δ cosHsen

Asen zsen Hsen δ cosAsen zsen

Asen

δ cos

Hsen

zsen =

== (121)

Multiplicando a equação (120) por cos Q e a equação (121) por cos H, tem-

se respectivamente:

Q cosδ cosQsen

Q cos cosAsen = (122)

H cosδ cosHsen

H cosAsen zsen = (123)

Introduzindo as equações (122) e (123) na equação (119) obtém-se:

+

−= dzAsen zsen cos

Qsen

Q cos cosAsen

dAsen zsen cos

Hsen

H cosAsen zsen

dA

+

−= dz

Qsen Asen zsen cos

Q cos cosAsen d

Hsen Asen zsen cos

H cosAsen zsen dA

dzQ tgzsen

1d

H cos

Hsen cos

1 dA dz

Qsen zsen

Q cosd

Hsen cos

H cos dA

+

−=

+

−=

(124)


102

Pela lei dos senos:

Hsen

Qsen zsen cosHsen cosQsen zsen

Hsen

zsen

Qsen

cos ===

(125)

Portanto:

+

−= dzQ tgzsen

1d

H cos

Hsen

Hsen

Qsen zsen

1 dA

dzQ tgzsen

1d

H secQsen zsen

1 dA

+

−= (126)

A partir da equação (126) pode-se deduzir que os erros em φ e em z terão

influência mínima na determinação do azimute quando Q = 90º, ou seja, quando o astro

estiver elongando ou nas proximidades da elongação. Quando o azimute for determinado por

observações às estrelas que não elongam, estas devem ser observadas nas proximidades do

primeiro vertical, quando o ângulo paralático Q terá seu maior valor.


103

11 CORREÇÕES ÀS OBSERVAÇÕES

Usualmente, as coordenadas geográficas de um ponto podem ser retiradas

de uma carta geográfica por interpolação linear. Todavia, quando não existe uma carta do

lugar, pode-se por observações ao Sol determinar por processos expeditos a latitude, longitude

e azimute de uma direção.

Existem diferentes maneiras de se visar o Sol, seja para a medida da

distância zenital, seja para leituras azimutais ou para fazer ambas as medidas

simultaneamente. A seguir são apresentados os dois principais métodos de observação ao Sol:

Método de uma tangência e uma bisseção

Figura 54 – Observação ao Sol pelo método de uma tangência e uma bisseção.

Se o Sol for bissetado no fio vertical as leituras azimutais são isentas da

influência do semidiâmetro solar.

Observando o Sol na posição direta (limbo a esquerda) do instrumento,

como na Figura 54 a), e depois na posição inversa (limbo a direita), Figura 54 b), a média das

distâncias zenitais estará isenta da correção do semidiâmetro.


104

Método da dupla tangência

Figura 55 – Observação ao Sol pelo método da dupla tangência.

Quando observa-se o Sol na posição direta, conforme a Figura 55 a), e na

posição inversa, Figura 55 b), a média das leituras azimutais estará isenta da influência do

semidiâmetro, entretanto as leituras zenitais terão que ser corrigidas do efeito do

semidiâmetro solar. Se a observação for na posição direta conforme a Figura 55 c) e na

posição inversa como na Figura 55 d), então as médias das leituras azimutais e zenitais

corresponderão às leituras feitas para o centro geométrico do Sol e portanto estarão isentas da

influência do semidiâmetro.

Correções às observações

As coordenadas das estrelas estão catalogadas no sistema uranográfico, cuja

origem coincide com o centro de massa da Terra (geocentro). As observações astronômicas,

por sua vez, são realizadas na superfície da Terra (topocentro), então faz-se necessária a

transformação das observações topocêntricas em geocêntricas. Essas correções referem-se à

paralaxe, semidiâmetro do Sol e refração astronômica. Além destas correções, deve-se

realizar também a correção do Pz (erro do ponto zenital).

11.1 Ponto Zenital (PZ)

A graduação do teodolito com origem no zênite proporciona a distância

zenital de uma visada, que é uma quantidade sempre positiva, eliminando assim o

inconveniente dos sinais existentes quando a contagem se inicia no horizonte, os quais podem

ser positivos (visadas acima do horizonte instrumental) ou negativos (visadas abaixo do

horizonte instrumental).


105

Quando o zênite instrumental não coincide com o zênite do lugar ocorre o

chamado Ponto Zenital (Pz) do instrumento (Figura 56).

Figura 56 – Erro do ponto zenital do instrumento.

O valor do Pz é dado por:

2

PIPD180Pz

+−= (127)

onde PD e PI corresponde as leituras das distâncias zenitais nas posições direta (limbo a

esquerda) e inversa (limbo a direita), respectivamente.

Para a determinação do Pz recomenda-se a realização de, no mínimo, três

séries de leituras a um determinado alvo fixo.

11.2 Paralaxe (p)

As observações são realizadas na superfície da Terra, porém devem ser

reduzidas ao centro da mesma, pois as coordenadas uranográficas são geocêntricas. Na Figura

57, a mudança de posição do observador da superfície para o centro da Terra ocasiona no

deslocamento das projeções do astro E na esfera celeste, pois, do centro da Terra o astro é

visto na posição E”. Assim, a Paralaxe (p) astronômica pode ser definida como o ângulo sob

o qual é visto do astro o raio da Terra.


106

Figura 57 – Paralaxe do astro.

A paralaxe (p) pode ser calculada por:

sen Z'p p 0 = (128)

onde:

p0 – paralaxe horizontal do astro (Sol), isto é, paralaxe que o astro teria se estivesse situado no

horizonte (vem tabelado para o início de cada mês nas efemérides); e

Z’ – distância zenital observada no instrumento.

11.3 Semidiâmetro do Sol (SD)

Dada a dificuldade de se visar diretamente o centro do Sol devido ao seu

grande diâmetro aparente, limita-se a observar um de seus bordos e depois, com a correção do

semidiâmetro, as observações são reduzidas ao centro do Sol.


107

Figura 58 – Redução da distância zenital ao centro do Sol.

O semidiâmetro do Sol (SD) vem tabelado nas efemérides astronômicas

para todos os dias no ano. Analisando a Figura 58 observa-se que dependendo do bordo em

que se realiza a tangência, o sinal de SD pode ser positivo ou negativo na etapa de correção da

distância zenital observada. Utiliza-se o sinal positivo quando a observação ao Sol for

realizada em seu bordo superior, e o sinal negativo quando a tangência do retículo for

realizada no bordo inferior do Sol.

Em relação à correção do ângulo azimutal observado (H’), com o intuito de

obter o ângulo azimutal corrigido (H), deve-se determinar a correção devido ao semidiâmetro

do Sol (dH):

sen Z'

SD dH = (129)

Assim:

sen Z'

SD H' H dH H' H == (130)

Quanto a raiz dupla da equação (129), utiliza-se o sinal positivo para as

observações realizadas no bordo esquerdo do Sol, e o sinal negativo para observações

realizadas no bordo direito do Sol (Figura 59).


108

Figura 59 – Redução do ângulo azimutal ao centro do Sol.

11.4 Refração Astronômica (R)

As camadas de ar que envolve a Terra, sendo de índices de refração

diferentes, atuam como um meio refringente, produzindo desvios dos raios luminosos que

emanam dos astros. A Refração Astronômica (R) é o deslocamento que um raio luminoso

sofre ao passar de um meio a outro de densidades diferentes.

Quando o raio incidente passa de um meio de densidade menor para um

meio de densidade maior (menos refringente para um meio mais refringente), o raio se

aproxima da normal (Figura 60).

Figura 60 – Efeito da refração.


109

Na atmosfera, à medida que se afasta da superfície terrestre, o ar vai se

tornando menos denso. Assim, a luz do astro ao adentrar a atmosfera vai sucessivamente

atravessando meios de densidade maiores, ou seja, o raio luminoso vai se aproximando

sucessivamente da normal (Figura 61).

Figura 61 – Refração astronômica.

O efeito da refração astronômica é a elevação aparente do astro, assim, a

correção desse efeito nas determinações das distâncias zenitais é sempre positiva.

A refração no instante da observação pode ser calculada a partir da refração

média (Rm), cujo valor encontra-se tabelado nas efemérides astronômicas em função de Z’. A

refração média é válida para a atmosfera padrão, no entanto, em campo as condições de

temperatura e pressão são diferentes. Assim, deve-se introduzir a correção em virtude da

temperatura e pressão (CTP), valor esse tabelado nas efemérides astronômicas em função da

temperatura e pressão em mmHg:

TPCRm R = (131)

O valor da refração astronômica (R) também pode ser calculado com uma

boa aproximação, válida para qualquer observação astronômica, a partir da equação (132):


110

C][ T273,15

[mbar] P Z'tg16,27"R"

+= (132)

onde:

T – temperatura ambiente em graus centígrados;

P – pressão atmosférica ambiente em mbar; e

R” – refração astronômica em segundos de arco.

11.5 Correção Total nas Distâncias Zenitais

A distância zenital corrigida (Z) é obtida por:

RSDpPz Z'Z +−+= (133)

onde:

Z’ – distância zenital observado no instrumento;

Pz – erro do ponto zenital (equação (127));

p – paralaxe astronômica (equação (128));

SD – semidiâmetro solar (tabelado); e

R – refração astronômica (equação (132)).

Observação: uma vez determinada a distância zenital corrigida (Z), para se obter o ângulo

azimutal corrigido (H) deve-se substituir Z’ por Z na equação (130), obtendo:

sen Z

SD H' H = (134)


111

11.6 Exercício Proposto

1. No dia 19 de maio de 2011 foi observado o bordo inferior do Sol com distância zenital de

42º 09’ 37,5”, temperatura de 19ºC e pressão atmosférica de 977,5 mbar. Calcular a distância

zenital corrigida, sabendo-se que p0 = 8,67” e para fins de determinação de Pz foram feitas as

seguintes leituras no limbo vertical do instrumento:

Série/Posição PD PI

1ª Série 87º 23’ 14,3” 272º 36’ 24,2”

2ª Série 87º 23’ 15,6” 272º 36’ 35,8”

3ª Série 87º 23’ 13,9” 272º 36’ 30,1”


112

12 DETERMINAÇÕES ASTRONÔMICAS EXPEDITAS

Caracterizam-se por determinações astronômicas expeditas as

determinações que admitem um erro médio superior a 1,0” (um segundo de arco) para a

latitude e longitude e 1,5” (um segundo e meio de arco) para o azimute.

Instrumental

Os equipamentos mais utilizados na Astronomia de Posição são:

▪ Teodolito;

▪ Ocular de cotovelo;

▪ Prismas;

▪ Filtros;

▪ Termômetro;

▪ Barômetro;

▪ Cronômetro; e

▪ Rádio receptor.

12.1 Determinação da Latitude pelo Método da Culminação do Sol

O método da determinação da latitude por observação ao Sol consiste

basicamente em medir a distância zenital do Sol em sua culminação. Os astros fixos (estrelas)

culminam na passagem meridiana, no entanto o Sol, sendo um astro errante e

consequentemente a sua declinação variando ao longo do movimento diurno, não culmina

necessariamente na passagem meridiana; a culminação solar dá-se sempre com um ângulo

horário inferior a 20s (vinte segundos de tempo). Assim, para fins de determinações

expeditas, pode-se considerar que a culminação do Sol dá-se na passagem meridiana, ou seja,

às 12 horas verdadeiras.

Conforme já apresentado no Estudo Analítico do Movimento Diurno, para

os astros na passagem meridiana superior (seção 8.2) tem-se:

( )δz −= (135)


113

Assim:

z δ = (136)

onde:

φ – latitude do lugar;

δ – declinação do Sol no exato instante da observação; e

z – distância zenital do Sol corrigida.

A distância zenital z é determinada em campo, já a declinação δ pode ser

calculada por (ver seção 9.12 – Interpolação de Coordenadas Uranográficas):

( ) 00 ΔδFHlδδ ++= (137)

onde:

δ0 – declinação do Sol às 0h TU;

Hl – hora legal da observação;

F – fuso horário da estação de observação; e

Δδ0 – variação horária da declinação.

Conforme já mencionado, o procedimento para a determinação da latitude

consiste em simplesmente medir a distância zenital do Sol na passagem meridiana. Há três

situações para realizar essa medição:

1. Observar o Sol na passagem meridiana quando se conhece o

meridiano do observador (para orientar o instrumento);

2. Quando se conhece apenas a longitude da estação; ou

3. Quando não se conhece o meridiano e nem a longitude da estação.

Na situação 1 a determinação da latitude será um processo bastante

simplificado, simplesmente orienta-se o teodolito e no momento da passagem meridiana do

Sol faz-se a tangência do retículo médio no bordo inferior do Sol. Assim tem-se a distância

zenital do Sol em sua passagem meridiana. Note que na equação (136) deve-se utilizar a

distância zenital do Sol corrigida do erro do ponto zenital, da paralaxe astronômica, do


114

semidiâmetro solar e da refração astronômica, além da necessidade da interpolação da

declinação do Sol no instante da passagem meridiana. Dada estas considerações, então além

da observação da distância zenital do Sol (z’), tem-se que observar a pressão (P) e

temperatura (T) ambiente e também anotar a hora legal (Hl) em que ocorreu a passagem

meridiana, pois esta será utilizada na atualização da declinação do Sol para instante da

passagem.

Na situação 2 faz-se um programa de observação ao Sol, ou seja,

conhecendo-se a longitude da estação calcula-se a hora legal (Hl) da culminação. Assunto já

estudado no capítulo 9 (Tempo em Astronomia), por tratar-se de determinações expeditas,

pode-se considerar que a culminação ocorre às 12 horas verdadeiras. Calculada a hora legal da

culminação, o procedimento para a observação consiste em fazer a tangência ao bordo inferior

do Sol na hora legal calculada. Para realizar a tangência ao bordo inferior aconselha-se iniciar

as observações ao Sol pelo menos 20 minutos antes do horário previsto para a culminação.

Este procedimento é apenas para familiarizar e treinar o observador a fazer a tangência ao Sol.

Nesta situação 2 deve-se adotar o mesmo procedimento para a realização das correções à

distância zenital observada.

Na situação 3 sabe-se que o Sol culmina aproximadamente às 12 horas

verdadeiras, ou seja, por volta das 12 horas legais mais a correção do fuso. Assim, para que

possa ser garantido que o início das observações seja realizada antes da culminação do Sol,

inicia-se as observações às 11h 30min legais, pois neste horário o Sol ainda deve estar em

ascensão (subindo). Após instalado e nivelado o teodolito, com auxílio de prismas, filtros ou

papel de anteparo, faz-se a pontaria ao Sol (fazendo com que o retículo médio tangencie o

bordo inferior do Sol); acompanha-se o Sol (atuando no parafuso de chamada vertical) até que

o mesmo para de subir (quando o astro culmina sua “velocidade vertical” é nula), neste

instante o movimento do Sol será tangente ao retículo horizontal. Verificado que o Sol parou

de subir faz-se a leitura da hora legal, pressão, temperatura e distância zenital do Sol. Deve-se

fazer as correções à distância zenital observada, conforme as situações 1 e 2.

Operações de campo

▪ Instalação do instrumento (teodolito);

▪ Determinação do Pz;

▪ Montagem da ocular de cotovelo ou do prisma;

▪ Focalizar a luneta do teodolito em um ponto bem afastado;


115

▪ Fazer pontaria ao Sol conforme as situações 1, 2 ou 3;

▪ Registrar o bordo observado do Sol; e

▪ Anotar a temperatura e pressão ambiente e a hora legal da culminação.

Sequência de cálculos para a determinação da latitude

▪ Cálculo do Pz → 2

PIPD180Pz

+−= ;

▪ Cálculo da paralaxe → sen Z'p p 0 = ;

▪ Determinação do semidiâmetro do Sol → ±SD (+ para observação ao

bordo superior do Sol e – para observação ao bordo inferior do Sol);

▪ Cálculo da refração astronômica → C][ T273,15


+= ;

▪ Cálculo da distância zenital corrigida → RSDpPz Z'Z +−+= ;

▪ Interpolação da declinação do Sol → ( ) 00 ΔδFHlδδ ++= ; e

▪ Cálculo da latitude → z δ = .

Exercício resolvido

Com base na situação 2 (λ = 3h 25min 38s W), determinar a latitude pelo

método da culminação do Sol para o dia 10 de agosto de 2011 para Pres. Prudente.

Dados do Sol extraídos da efeméride astronômica do Observatório Nacional:

Data α δ SD M

Pass. Merid. Greenwich

9 de agosto 9h 14min 12,70s 16º 00’ 39,6” 15’ 46,45” 12h 05min 33,57s



Dados para a determinação do Pz:

Série PD PI

1ª 87º 04’ 24” 272º 55’ 21”

2ª 83º 09’ 15” 276º 50’ 35,3”

3ª 86º 59’ 07,9” 273º 00’ 47,3”

Dados de campo:

Temperatura 25ºC

Pressão Atmosférica 972 mbar

Borda de Tangência ao Sol Inferior

Distância Zenital Observada 37º 54’ 30”


116

1º Passo: Cálculo da hora legal da culminação (passagem meridiana)

o 33,57s5min 33,57s05min 12h 12h MV E 99 −=−=−=

o 24,83s5min 24,83s05min 12h 12h MV E 1010 −=−=−=

o ( )

s/h 0,36424h

8,74s

24h

33,57s5min 24,83s5min

24h

EEΔEΔE 910

0 ==−−−

=−

==

o ( ) ( ) 29,2s5min s/h 0,36412h24,83s5min ΔE12hE E 010010−=−−=−=

o ( ) ( ) 0000 ΔEλMEVMΔEλMEMV1010

−−−=−++= , considerando V=M=12h

tem-se:

• 1ª iteração: ( ) ( )( ) s/h 0,36438s25min 3h 12h29,2s5min 12hM' −−−−−=

23,58s05min 12h M'=

• 2ª iteração:

( ) ( )( ) s/h 0,36438s25min 3h 23,58s05min 12h 29,2s5min 12hM" −−−−−=

23,55s05min 12h M"=

o =−−= λFM"Hl

2º Passo: Cálculo do Pz

o ==

=→

=→

=→

=+

−= m

a

a

a

Pz

?Pzsérie 3

?Pzsérie 2

?Pzsérie 1

2

PIPD180Pz o

3º Passo: Cálculo da paralaxe

o sen Z'p p 0 = , onde p0 = 8,67”, assim: p =

4º Passo: Determinação do semidiâmetro do Sol

o Bordo inferior: SD = –15’ 46,60”

5º Passo: Cálculo da refração astronômica

o =+

=C][ T273,15


oo

6º Passo: Cálculo da distância zenital corrigida

o =+−+= RSDpPz Z'Z


117

7º Passo: Interpolação da declinação do Sol

o ( ) 00 ΔδFHlδδ ++= , onde:

• 23,5" 43' 15δδ 100

==

• F = 3

• =−

=24h

δδΔδ 1011

0

= δ

8º Passo: Cálculo da latitude

o == z δ

12.2 Determinação da Longitude pelo Método das Distâncias Zenitais do Sol

A determinação da longitude é, em última análise, a determinação da hora

local, pois a diferença de horas entre o meridiano local e o meridiano de Greenwich fornece a

longitude do lugar. Assim:

GGG MMVVSSλ −=−=−= (138)

onde:

S – hora sideral local;

SG – hora sideral de Greenwich (no mesmo instante físico);

V – hora verdadeira local;

VG – hora verdadeira de Greenwich (no mesmo instante físico);

M – hora média local; e

MG – hora média de Greenwich (no mesmo instante físico).

Na determinação da longitude pelo método das distâncias zenitais do Sol

utiliza-se:

GMMλ −= (139)


118

A obtenção de MG é um processo relativamente fácil: utilizando-se de um

rádio receptor determina-se o estado do cronômetro (E), assim, a hora média de Greenwich

(no mesmo instante físico da observação ao Sol) é calculada por (ver dedução na seção 9.5):

FETMG ++= (140)

onde:

T – instante cronométrico da observação ao Sol;

E – estado do cronômetro; e

F – fuso do lugar.

Utilizando-se da Trigonometria Esférica e do triângulo de posição pode-se

determinar o ângulo horário (H) quando o Sol atinge uma dada distância zenital (z) (dedução

da equação na seção 6.2):

δ cos cos

δsen sen z cosH cosH cosδ cos cosδsen sen z cos

−=+=

(141)

Observação: deve-se conhecer a latitude do observador e o valor interpolado da declinação do

Sol, e a distância zenital observada deve ser corrigida dos efeitos da refração astronômica, da

paralaxe, do semidiâmetro do Sol e do Pz.

A equação (141) admite duas raízes: +H e –H. O valor negativo

corresponde às observações ao Sol quando o mesmo está a leste do meridiano local

(observações realizadas no período da manhã), e o valor positivo é utilizado quando as

observações ao Sol dão-se a oeste do meridiano local (observações realizadas no período da

tarde).

A partir do ângulo horário (H) calcula-se a hora verdadeira local (V = H +

12h) e, de posse da hora verdadeira local (V) determina-se a hora média local (M):

( ) 00 ΔEFHlEVM +−−= (142)

onde:

E0 – equação do tempo para às 0h TU; e

ΔE0 – variação horária da equação do tempo (em segundos por hora).


119

De acordo com a circunstância favorável para a determinação da longitude

(seção 10.2), o momento mais propício para determinação da mesma é quando o astro

encontra-se nas proximidades do primeiro vertical, sendo que a condição para que o astro

passe pelo primeiro vertical é δ . O Sol sendo um astro errante, sua declinação varia

durante o ano, de aproximadamente –23º 27’ à +23º 27’, o que implica em dizer que não é

durante todo o ano que o Sol passa pelo primeiro vertical de um dado local. Quando o astro

está próximo ao primeiro vertical sua velocidade azimutal é máxima, o que significa que a

influência de um erro na distância zenital será mínima na determinação do ângulo horário do

Sol. Observa-se também que a refração astronômica (que é máxima quando o astro está no

horizonte) é mínima quando o astro está culminando, e que a pior situação para a

determinação do ângulo horário do Sol em função da distância zenital é quando este está em

sua passagem meridiana. Diante do exposto, e por tratar-se de determinações expeditas,

aconselha-se observar o Sol quando este encontrar-se afastado de duas horas do meridiano

local e de duas horas do horizonte (aproximadamente entre 8h 30min – 10h 30min e entre 14h

30min – 16h 30min).


▪ Determinação do estado do cronômetro (E);





▪ Fazer pontaria ao Sol respeitando as janelas de horários aconselhados;

▪ Anotar o instante cronométrico (T) no momento em que o Sol “cruza”

o retículo médio na distância zenital z’;

▪ Registrar o bordo observado do Sol; e

▪ Anotar a temperatura e pressão ambiente.

Sequência de cálculos para a determinação da longitude


PIPD180Pz

+−= ;



120





+= ;


▪ Cálculo da hora legal local→ E T Hl += ;

▪ Interpolação da declinação do Sol → ( ) 00 ΔδFHlδδ ++= ;

▪ Cálculo do ângulo horário do Sol → δ cos cos

δsen sen z cosH cos

−=

;

▪ Cálculo da hora verdadeira local → 12h H V += ;

▪ Cálculo da equação do tempo (E0) e de sua variação horária (ΔE0);

▪ Cálculo da hora média local → ( ) 00 ΔEFHlEVM +−−= ;

▪ Cálculo da hora média de Greenwich → FHlMG += ; e

▪ Cálculo da longitude → GMMλ −= .


Determinar a longitude pelo método das distâncias zenitais do Sol para o dia

19 de agosto de 2011 em Pres. Prudente (φ = –22º 07’ 20,44”).


Data α δ SD M





Dados de campo:

Dados 1ª Série 2ª Série 3ª Série

Instante Cronométrico 14h 54min 18,8s 15h 32min 40,6s 15h 35min 10s

Estado do Cronômetro 0s 0s 0s

Distância Zenital Observada 49º 30’ 12,9” 56º 35’ 58,2” 57º 04’ 26,4”

Borda de Tangência ao Sol Superior Superior Superior

Temperatura 35,3ºC 33,7ºC 33,8ºC

Pressão Atmosférica 951 mbar 950 mbar 950 mbar

Pz 1,38” 1,38” 1,38”


121


o 1,38"Pz = , para todas as séries


o sen Z'p p 0 = , onde p0 = 8,67”, assim:

=→

=→

=→

3

a

2

a

1

a

psérie3

psérie2

psérie1


o Bordo superior: SD = +15’ 48,09”, para todas as séries


o

=→

=→

=→

+=

"

3

a

"

2

a

"

1

a

R série3

R série2

R série1

C][ T273,15


oo


o

=→

=→

=→

+−+=

3

a

2

a

1

a

Zsérie3

Zsérie2

Zsérie1

RSDpPz Z'Z

6º Passo: Cálculo da hora legal local

o

=→

=→

=→

+=

3

a

2

a

1

a

Hlsérie3

Hlsérie2

Hlsérie1

E T Hl



• 16,8" 57' 12δδ 190

==

• F = 3


122

• =−

=24h

δδΔδ 1920

0

=→

=→

=→

3

a

2

a

1

a

δsérie3

δsérie2

δsérie1

8º Passo: Cálculo do ângulo horário do Sol

o δ cos cos


−=

, onde φ = –22º 07’ 20,44”, assim:

( )( )

( )( )

( )( )

−

−−=→

−

−−=→

−

−−=→

08,13" 42' 12 cos20,44" 07' 22cos

08,13" 42' 12sen 20,44" 07' 22sen26,35" 21' 57 cosH cossérie3

10,15" 42' 12 cos20,44" 07' 22cos


41,41" 42' 12 cos20,44" 07' 22cos


3

a

2

a

1

a

=→

=→

=→

3

a

2

a

1

a

H cossérie3

H cossérie2

H cossérie1

9º Passo: Cálculo da hora verdadeira local

o

=→

=→

=→

+=

3

a

2

a

1

a

Vsérie3

Vsérie2

Vsérie1

12h H V

10º Passo: Cálculo da equação do tempo (E0) e sua variação horária (ΔE0)

o =−= 1919 MV E

o =−= 2020 MV E

o =−

==24h

EEΔEΔE 1920

0

o ( )=−= 0190 ΔE12hE E19


123

11º Passo: Cálculo da hora média local

o ( ) 00 ΔEFHlEVM +−−=

=→

=→

=→

3

a

2

a

1

a

Msérie3

Msérie2

Msérie1

=→

=→

=→

3

a

2

a

1

a

Msérie3

Msérie2

Msérie1

12º Passo: Cálculo da hora média de Greenwich

o

=→

=→

=→

+=

3G

a

2G

a

1G

a

G

Msérie3

Msérie2

Msérie1

F Hl M

13º Passo: Cálculo da longitude

o

=→

=→

=→

−=

3

a

2

a

1

a

G

λsérie3

λsérie2

λsérie1

M M λ

o λm =

12.3 Determinação do Azimute por Distâncias Zenitais do Sol

Determinar o azimute significa materializar no terreno a linha norte-sul

verdadeira (meridiano). Na realidade não há a necessidade de se materializar no terreno a

direção norte-sul, é mais comum e prático determinar o ângulo que o meridiano forma com

uma direção definida no campo (azimute da mira).

Na determinação do azimute de uma mira, o astro (Sol) porta-se como um

alvo no qual se conhece o seu azimute. Assim, a questão praticamente se resume em

transportar o azimute do astro para a mira (transporte de azimute), onde o azimute do astro é

determinado em função da distância zenital observada, da declinação e da latitude do local.

Então deduz-se que ao observar o astro tem-se que simultaneamente determinar o ângulo

horizontal e a distância zenital do astro.


124

A Figura 62 proporciona a visualização esquemática do azimute do astro

AA, do azimute da mira AM, da leitura do ângulo horizontal do astro LA e da leitura do ângulo

horizontal da mira LM.

Figura 62 – Azimute da mira.

Da Figura 62 tem-se que:

AMAMMAMA LLAALLAA −+=−=− (143)


determinar o azimute do astro AA quando o Sol atinge uma dada distância zenital (z) (dedução

da equação na seção 6.2):

zsen cos

δsen z cossen A cosA coszsen cosz cossen δsen AA

−=−=

(144)

Observação: deve-se conhecer a latitude do observador e o valor interpolado da declinação do

Sol, e a distância zenital observada deve ser corrigida dos efeitos da refração astronômica, da

paralaxe, do semidiâmetro do Sol e do Pz.

A equação (144) admite duas raízes: +AA e –AA. O valor negativo

corresponde às observações ao Sol quando o mesmo está a leste do meridiano local

(observações realizadas no período da manhã), e o valor positivo é utilizado quando as


125

observações ao Sol dá-se a oeste do meridiano local (observações realizadas no período da

tarde).

Em relação ao ângulo horizontal do astro LA, deve-se realizar a correção do

semidiâmetro do Sol no ângulo observado L’A:

sen Z

SD L L '

AA = (145)

Quanto à raiz dupla da equação (145), utiliza-se o sinal positivo para as

observações realizadas no bordo esquerdo do Sol, e o sinal negativo para observações

realizadas no bordo direito do Sol.

No estudo das circunstâncias favoráveis à determinação do azimute viu-se

que a posição mais favorável é observar o astro próximo a sua elongação. Porém, devido às

mesmas explicações da determinação da longitude, as determinações do azimute também

devem ser realizadas no horário entre 8h30min e 10h 30min para o período da manhã e entre

14h 30min e 16h 30min para o período da tarde.






▪ Fazer pontaria ao Sol respeitando as janelas de horários aconselhados,

realizando a dupla tangência dos retículos horizontal e vertical;

▪ No instante em que o Sol tangenciar simultaneamente os retículos

horizontal e vertical, fazer as leituras da hora legal, da pressão

atmosférica, da temperatura, do ângulo horizontal e da distância

zenital;

▪ Registrar os bordos observados do Sol;

▪ Desmontagem da ocular de cotovelo ou do prisma; e

▪ Visar a mira e fazer a leitura do ângulo horizontal.


126

Sequência de cálculos para a determinação do azimute


PIPD180Pz

+−= ;






+= ;


▪ Cálculo do ângulo horizontal do Sol corrigido → sen Z

SD L L '

AA = ;

▪ Interpolação da declinação do Sol → ( ) 00 ΔδFHlδδ ++= ;

▪ Cálculo do azimute do Sol → zsen cos

δsen z cossen A cos A

−=

; e

▪ Cálculo do azimute da mira → AMAM LLAA −+= .


Determinar o azimute de uma mira pelo método das distâncias zenitais do

Sol para o dia 19 de agosto de 2011 em Pres. Prudente (φ = –22º 07’ 20,44”).


Data α δ SD M





Dados de campo:

Hora Legal 15h 18min 39s

Distância Zenital Observada 53º 54’ 57,3”

Bordas de Tangência ao Sol Superior Direito

Temperatura 33ºC

Pressão Atmosférica 950 mbar

Pz 1,38”

Leitura do Ângulo Horizontal ao Sol 91º 41’ 44,7”

Leitura do Ângulo Horizontal à Mira 262º 56’ 37,2”


127


o 1,38"Pz =


o sen Z'p p 0 = , onde p0 = 8,67”, assim: p =


o Bordo superior: SD = +15’ 48,09”


o =+

=C][ T273,15


oo


o =+−+= RSDpPz Z'Z

6º Passo: Cálculo do ângulo horizontal do Sol corrigido

o Bordo direito: =−=sen Z

SD L L '

AA



• 16,8" 57' 12δδ 190

==

• F = 3

• =−

=24h

δδΔδ 1920

0

=δ

8º Passo: Cálculo do azimute do Sol

o zsen cos


−=

, onde φ = –22º 07’ 20,44”, assim:

( )( )

−

−−=

49,03" 11' 54sen 20,44" 07' 22cos

21,58" 42' 12sen 49,03" 11' 54 cos20,44" 07' 22senA cos A


128

= AA cos

9º Passo: Cálculo do azimute da mira

o =−+= AMAM LLAA


129

13 DETERMINAÇÃO DE PRECISÃO

13.1 Determinação da Latitude

Conforme já visto, a circunstância favorável para a determinação da latitude

é observar o astro na passagem meridiana. Assim sendo, serão apresentados métodos de

determinação da latitude por observação às estrelas na passagem meridiana.

13.1.1 Determinação da latitude pelo método da passagem meridiana de uma estrela

Este método de determinação da latitude, basicamente, consiste em observar

a estrela na passagem meridiana (culminação), e nessa passagem medir a sua distância zenital.

Na passagem meridiana tem-se:

( )δz −= (146)

onde, na dupla raiz, utiliza-se o sinal que torna positivo a distância zenital. Se o valor (φ – δ)

for negativo significa que a passagem meridiana da estrela dá-se ao Norte do zênite (A =

180º), caso contrário a passagem dá-se o Sul do zênite (A = 0º). Assim, tem-se que:

▪ Para estrelas que culminam ao Norte do zênite:

( ) NNNN zδδz −=−−= (147)

▪ Para estrelas que culminam ao Sul do zênite:

( ) SSSS zδδz +=−+= (148)

Lista de estrelas

Para efetuar as observações às estrelas deve-se ter em mãos uma listagem de

estrelas que “atendam” ao método. Esta listagem também é denominada de Programa de

Observações. O Programa de Observações deve conter os elementos de calagem das estrelas

(Hl, A, z). Para a elaboração da lista de estrelas é necessário o conhecimento aproximado das

coordenadas do ponto (latitude e longitude).


130

Procedimento para a elaboração da lista de estrelas:

▪ Determinada a hora legal do início das observações (Hli), calcula-se a

hora sideral correspondente ao início das observações (Si):

( ) 9261,00273790FHlλSS i0i +++= (149)

onde S0 é o tempo sideral médio em Greenwich a 0h TU (fornecido

nas Efemérides Astronômicas);

▪ Na passagem meridiana as estrelas (astros fixos) possuem H = 0h, o

que implica em S = α. Assim, calculada a hora sideral do início das

observações e com auxílio de um catálogo de estrelas, escolhe-se as

estrelas que possuem ascensão reta (α) maior que a hora sideral do

início das observações (α > Si) e calcula-se a distância zenital

aproximada das estrelas (z0) (Equação (146)), utilizando a latitude

aproximada do local e a declinação contida no catálogo;

▪ Das estrelas selecionadas no programa de observações calcula-se a

hora legal correspondente a hora sideral (igual a ascensão reta da

estrela) através da equação (150):

F9261,00273790

λSSHl 0 −

−−= (150)

Entretanto é mais prático e usual não calcular a hora legal

correspondente à sideral, mas sim calcular o quanto a hora sideral está

adiantada ou atrasada em relação a hora legal. Determinado a

diferença de horário entre o tempo sideral e o tempo legal (ΔT), em

um relógio auxiliar (relógio piloto) adianta-se ou atrasa-se desta

quantidade ΔT. Realizado essa operação, o relógio piloto estará

marcando, aproximadamente, o tempo sideral;

▪ Por fim, elabora-se uma tabela contendo todas as informações

necessárias para realizar as observações, bem como os espaços para

anotar os dados de campo (z’, P e T). Um exemplo de tabela que pode

ser elaborada é apresentada a seguir:


131

Tabela 3 – Programa de observações para a determinação da latitude pelo método da

passagem meridiana de um estrela.

nº Est. Mag. Hl ou α Z0 Az. (N/S) Z’ P [mbar] T [ºC]


▪ Instala-se e nivela-se o teodolito sobre o ponto (deve-se realizar o

nivelamento com todo o cuidado possível, pois o erro devido ao mal

nivelamento do equipamento refletirá em um erro na determinação da

latitude de um valor igual ao do mal nivelamento);


▪ Faz-se a orientação do teodolito, ou seja, faz com que o eixo de

colimação da luneta fique paralelo ao meridiano local. Este processo

de orientação é executado conforme segue: realiza-se a pontaria a um

alvo (mira) que se conheça o azimute e em seguida registra-se no

limbo horizontal do instrumento o valor desse azimute através do

parafuso reiterador, assim o teodolito está orientado;

▪ Montagem da ocular de cotovelo;


▪ Aproximadamente 3 minutos antes da passagem meridiana da estrela

(prevista no programa de observações), registra-se no instrumento os

elementos de calagem da estrela (azimute e distância zenital

aproximada). Ficar atento, pois a estrela deve estar no campo ótico da

luneta; e

▪ Verificado que a estrela “adentrou” no campo ótico da luneta,

acompanha-se a mesma apenas utilizando-se do parafuso de chamada

vertical (retículo médio). No instante que a estrela “cruzar” o retículo

vertical cessa o acompanhamento da estrela e lê-se a distância zenital,

pressão atmosférica e temperatura.


132



PIPD180Pz

+−= ;

Para cada estrela observada realiza-se:



+= ;

▪ Cálculo da distância zenital corrigida → RPz Z'Z ++= ;

▪ Interpolação da declinação da estrela para o instante da observação →

( ) 00 ΔδFHlδδ ++= ; e

▪ Cálculo da latitude → z δ = (utiliza-se o sinal positivo para as

estrelas observadas ao Sul do zênite e o sinal negativo para as estrelas

observadas ao Norte do zênite).

Determinada a latitude a partir de cada estrela faz-se a média e o desvio-

padrão da latitude.

13.1.2 Determinação da latitude pelo método de Sterneck

O método de Sterneck para a determinação da latitude consiste basicamente

em observar duas estrelas em suas passagens pelo meridiano, sendo uma estrela ao Norte e

outra ao Sul do zênite. Nessas passagens medem-se as distâncias zenitais das estrelas. A

Figura 63 apresenta o conceito do método de Sterneck, onde ENorte representa a estrela ao

Norte do zênite, ESul a estrela ao Sul do zênite, ZN a distância zenital da estrela ao Norte do

zênite, ZS a distância zenital da estrela ao Sul do zênite, δN a declinação da estrela ao Norte do

zênite, δS a declinação da estrela ao Sul do zênite e φ a latitude do ponto.


133

Figura 63 – Determinação da latitude pelo método de Sterneck.

Observando a Figura 63 tem-se:

NN

SS

zδ

zδ

−=

+=

(151)

Somando as expressões acima, obtêm-se:

2

zz

2

δδ

2

zzδδzzδδ2 NSNSNSNS

NSNS

−+

+=

−++=−++= (152)

Considerando as condições reais de observações deve-se considerar na

distância zenital a influência da refração astronômica e a influência do ponto zenital do

instrumento. Assim, tem-se:


134

N

'

NN

S

'

SS

RPzzz

RPzzz

++=

++= (153)

onde:

z’S – leitura da distância zenital observada da estrela ao Sul do zênite;

z’N – leitura da distância zenital observada da estrela ao Norte do zênite;

Pz – ponto zenital do instrumento;

RS – refração astronômica da estrela ao Sul do zênite; e

RN – refração astronômica da estrela ao Norte do zênite.

Substituindo as expressões da Equação (153) na Equação (152) obtém-se:

( )

−−−+++

+=

++−+++

+=

2

RPzzRPzz

2

δδ

2

RPzzRPzz

2

δδ N

'

NS

'

SNSN

'

NS

'

SNS

2

RR

2

zz

2

δδ

2

RRzz

2

δδ NS

'

N

'

SNSNS

'

N

'

SNS −+

−+

+=

−+−+

+= (154)

A Equação (154) fornece a latitude pelo método de Sterneck.

A maior influência dos erros sistemáticos na determinação da latitude se

deve ao fato da refração astronômica não ser perfeitamente conhecida. Na Equação (154)

utiliza-se a diferença da influência causada pela refração astronômica, assim, caso um par de

estrelas seja observado com a mesma distância zenital (z’), o último termo da Equação (154)

pode ser anulado, pois a influência da refração da estrela ao Sul do zênite será a mesma da

estrela ao Norte.

Todavia, em determinações de precisão da latitude, o caso acima

dificilmente ocorre. Então, para minimizar essa influência e visando resultados de precisão,

algumas restrições são impostas ao método:

1. As distâncias zenitais observadas (z’N e z’S), preferencialmente, devem

ser menores que 45º (z’N < 45º e z’S < 45º);

2. A diferença entre as distâncias zenitais das estrelas de cada par não

deve exceder 15º ( 15zz '

S

'

N − );


135

3. O intervalo de tempo decorrido entre a observação da estrela ao Sul e

da estrela ao Norte do zênite não deve exceder a 20 minutos

( min 20αα SN − ); e

4. Deve-se observar 3 grupos de estrelas, onde cada grupo contém 8

estrelas (4 pares).

Lista de estrelas

Para a elaboração da lista de estrelas devem ser consideradas as restrições

impostas ao método. Além disso, faz-se necessário o conhecimento aproximado das

coordenadas da estação onde serão efetuadas as observações, ou seja, latitude, longitude e o

meridiano local.




( ) 9261,00273790FHlλSS i0i +++= (155)



▪ Na passagem meridiana as estrelas (astros fixos) possuem H = 0h, o

que implica em S = α. Assim, calculada a hora sideral do início das

observações e com auxílio de um catálogo de estrelas, escolhe-se as

estrelas que possuem ascensão reta (α) maior que a hora sideral do

início das observações (α > Si);

▪ Calcula-se a distância zenital aproximada das estrelas (z0) (Equação

(146)), utilizando a latitude aproximada do local e a declinação

contida no catálogo, sendo que, para respeitar a restrição 1 (z’N < 45º e

z’S < 45º), deve-se determinar os limites da declinação das estrelas:

o Estrelas ao Sul do zênite: ( ) 0S0 δ45 − (156)

o Estrelas ao Norte do zênite: ( )45δ 0N0 + (157)

▪ Calculado os limites de declinação das estrelas, escolhe-se no catálogo

as estrelas que estejam neste intervalo de declinação, bem como


136

respeitando as restrições 2 e 3. Assim, calcula-se a hora legal

correspondente a hora sideral (igual a ascensão reta da estrela) através

da equação (158):

F9261,00273790

λSSHl 0 −

−−= (158)



adiantada ou atrasada em relação a hora legal. Determinado a







anotar os dados de campo (z’, P e T). Um exemplo de tabela que pode

ser elaborada é apresentada a seguir:

Tabela 4 – Programa de observações para a determinação da latitude pelo método de

Sterneck.

nº Est. Mag. Hl ou α Z0 Az. (N/S) Par Z’ P [mbar] T [ºC]





latitude de um valor igual ao do mal nivelamento);






137





▪ Aproximadamente 3 minutos antes da passagem meridiana da estrela

(prevista no programa de observações), registra-se no instrumento os

elementos de calagem da estrela (azimute e distância zenital

aproximada). Ficar atento, pois a estrela deve estar no campo ótico da

luneta;


acompanha-se a mesma apenas utilizando-se do parafuso de chamada

vertical (retículo médio). No instante que a estrela “cruzar” o retículo

vertical cessa o acompanhamento da estrela e lê-se a distância zenital,

pressão atmosférica e temperatura; e

▪ Repetir as duas últimas etapas para as demais estrelas até o término

dos grupos de estrelas.





+= ;


( ) 00 ΔδFHlδδ ++= .

Para cada par de estrelas realiza-se:

▪ Cálculo da latitude → 2

RR

2

zz

2

δδ NS

'

N

'

SNS −+

−+

+= .

Determinada a latitude a partir de cada par de estrelas de um grupo faz-se a

média e o desvio-padrão da latitude e, em seguida, faz-se a média e o

desvio-padrão da latitude dos grupos de estrelas.


138

Exercício resolvido 1

Elaborar um programa de observações para a determinação da latitude pelo

método de Sterneck em 15 de junho de 2011 em PP (φ0 = –22º 07’ e λ0 = –3h 25min), sendo

que se pretende iniciar as observações às 18h 30min legal.

Dados:

Tempo sideral médio em Greenwich a 0h TU no dia 15/06/2011 → S0 = 17h 31min 43,289s;

Figura 64 – Posições médias das estrelas, 2011.


139

1º Passo: Cálculo da hora sideral do início das observações

o ( ) 9261,00273790FHlλSS i00i +++= , onde:

• S0 = 17h 31min 43,289s;

• λ0 = -3h 25min;

• Hli = 18h 30min; e

• F = +3.

15,2s40min 11h S24h subtrai15,2s40min 35h S ii ==

2º Passo: Seleção inicial das estrelas

o Selecionam-se as estrelas cuja α > Si. Assim, as estrelas que podem ser selecionadas para

a elaboração do programa de observações é a partir da seguinte estrela:

nº Est. Nome Mag. α δ

439 OMICRON HYA 4.8 11h 40min 47,1s -34⁰ 48’ 30”

3º Passo: Determinação dos limites da declinação das estrelas

o Estrelas ao Sul do zênite: ( ) 07' 22δ07' 67δ45 S0S0

−−− ;

o Estrelas ao Norte do zênite: ( ) 53' 22δ07' 2245δ N0N0

−+ .

4º Passo: Escolha das estrelas do catálogo cujas declinações atendam os intervalos

determinados

nº Est. Nome Mag. α δ Az. (N/S)

439 OMICRON HYA 4.8 11h 40min 47,1s -34⁰ 48’ 30” S

1301 ZETA CRT 4.8 11h 45min 20,8s -18⁰ 24’ 53” N

442 LAMBDA MUS 3.7 11h 46min 09,4s -66⁰ 47’ 33” S

1302 NI VIR 4.1 11h 46min 26,9s +06⁰ 27’ 53” N

443 65 G. CEN 4.1 11h 47min 04,4s -61⁰ 14’ 32” S

1304 93 LEO 4.4 11h 48min 34,6s +20⁰ 09’ 18” N

444 BETA LEO 2.1 11h 49min 38,7s +14⁰ 30’ 28” N

445 BETA VIR 3.7 11h 51min 17,6s +01⁰ 41’ 59” N

446 B CEN 4.6 11h 51min 43,2s -45⁰ 14’ 15” S

1311 PI VIR 4.5 12h 01min 27,7s +06⁰ 33’ 01” N

450 OMICRON VIR 4.1 12h 05min 47,6s +08⁰ 40’ 09” N

452 DELTA CEN 2.8 12h 08min 57,5s -50⁰ 47’ 11” S

453 EPSILON CRV 3.1 12h 10min 43,0s -22⁰ 41’ 01” S

455 DELTA CRU 3.0 12h 15min 45,6s -58⁰ 48’ 46” S

457 GAMA CRV 2.7 12h 16min 23,9s -17⁰ 36’ 21” N

460 ETA VIR 4.0 12h 20min 29,6s -00⁰ 43’ 50” N


140

nº Est. Nome Mag. α δ Az. (N/S)

462 ALFA CRU A 1.5 12h 27min 14,8s -63⁰ 09’ 45” S

464 SIGMA CEN 4.1 12h 28min 39,9s -50⁰ 17’ 40” S

465 DELTA CRV 3.0 12h 30min 27,6s -16⁰ 34’ 46” N

468 GAMA CRU 1.5 12h 31min 48,6s -57⁰ 10’ 39” S

471 BETA CRV 2.7 12h 34min 59,5s -23⁰ 27’ 37” S

1323 23 COM 4.7 12h 35min 25,3s +22⁰ 33’ 57” N

475 CHI VIR 4.7 12h 39min 50,4s -08⁰ 03’ 32” N

481 BETA CRU 1.4 12h 48min 24,0s -59⁰ 45’ 05” S

482 150 G. CEN 4.2 12h 54min 04,6s -40⁰ 14’ 28” S

1335 PSI VIR 4.8 12h 54min 57,0s -09⁰ 36’ 04” N

484 DELTA VIR 3.6 12h 56min 10,9s +03⁰ 20’ 06” N

488 EPSILON VIR 3.0 13h 02min 44,9s +10⁰ 53’ 51” N

489 KSI2 CEN 4.3 13h 07min 35,1s -49⁰ 58’ 03” S

5º Passo: Cálculo das distâncias zenitais aproximadas

nº Est. Mag. α δ Z0 Az. (N/S)

439 4.8 11h 40min 47,1s -34⁰ 48’ 30” 12⁰ 41’ 30” S

1301 4.8 11h 45min 20,8s -18⁰ 24’ 53” 3⁰ 42’ 07” N

442 3.7 11h 46min 09,4s -66⁰ 47’ 33” 44⁰ 40’ 33” S

1302 4.1 11h 46min 26,9s +06⁰ 27’ 53” 28⁰ 34’ 53” N

443 4.1 11h 47min 04,4s -61⁰ 14’ 32” 39⁰ 07’ 32” S

1304 4.4 11h 48min 34,6s +20⁰ 09’ 18” 42⁰ 16’ 18” N

444 2.1 11h 49min 38,7s +14⁰ 30’ 28” 36⁰ 37’ 28” N

445 3.7 11h 51min 17,6s +01⁰ 41’ 59” 23⁰ 48’ 59” N

446 4.6 11h 51min 43,2s -45⁰ 14’ 15” 23⁰ 07’ 15” S

1311 4.5 12h 01min 27,7s +06⁰ 33’ 01” 28⁰ 40’ 01” N

450 4.1 12h 05min 47,6s +08⁰ 40’ 09” 30⁰ 47’ 09” N

452 2.8 12h 08min 57,5s -50⁰ 47’ 11” 28⁰ 40’ 11” S

453 3.1 12h 10min 43,0s -22⁰ 41’ 01” 0⁰ 34’ 01” S

455 3.0 12h 15min 45,6s -58⁰ 48’ 46” 36⁰ 41’ 46” S

457 2.7 12h 16min 23,9s -17⁰ 36’ 21” 4⁰ 30’ 39” N

460 4.0 12h 20min 29,6s -00⁰ 43’ 50” 21⁰ 23’ 10” N

462 1.5 12h 27min 14,8s -63⁰ 09’ 45” 41⁰ 02’ 45” S

464 4.1 12h 28min 39,9s -50⁰ 17’ 40” 28⁰ 10’ 40” S

465 3.0 12h 30min 27,6s -16⁰ 34’ 46” 5⁰ 32’ 14” N

468 1.5 12h 31min 48,6s -57⁰ 10’ 39” 35⁰ 03’ 39” S

471 2.7 12h 34min 59,5s -23⁰ 27’ 37” 1⁰ 20’ 37” S

1323 4.7 12h 35min 25,3s +22⁰ 33’ 57” 44⁰ 40’ 57” N

475 4.7 12h 39min 50,4s -08⁰ 03’ 32” 14⁰ 03’ 28” N

481 1.4 12h 48min 24,0s -59⁰ 45’ 05” 37⁰ 38’ 05” S

482 4.2 12h 54min 04,6s -40⁰ 14’ 28” 18⁰ 07’ 28” S

1335 4.8 12h 54min 57,0s -09⁰ 36’ 04” 12⁰ 30’ 56” N

484 3.6 12h 56min 10,9s +03⁰ 20’ 06” 25⁰ 27’ 06” N


141

nº Est. Mag. α δ Z0 Az. (N/S)

488 3.0 13h 02min 44,9s +10⁰ 53’ 51” 33⁰ 00’ 51” N

489 4.3 13h 07min 35,1s -49⁰ 58’ 03” 27⁰ 51’ 03” S

6º Passo: Formação dos pares de estrelas respeitando as restrições 2 e 3

nº Est. Mag. α δ Z0 Az. (N/S) Par

439 4.8 11h 40min 47,1s -34⁰ 48’ 30” 12⁰ 41’ 30” S 01

1301 4.8 11h 45min 20,8s -18⁰ 24’ 53” 3⁰ 42’ 07” N 01

442 3.7 11h 46min 09,4s -66⁰ 47’ 33” 44⁰ 40’ 33” S 02

1302 4.1 11h 46min 26,9s +06⁰ 27’ 53” 28⁰ 34’ 53” N 03

443 4.1 11h 47min 04,4s -61⁰ 14’ 32” 39⁰ 07’ 32” S 03

1304 4.4 11h 48min 34,6s +20⁰ 09’ 18” 42⁰ 16’ 18” N 02

444 2.1 11h 49min 38,7s +14⁰ 30’ 28” 36⁰ 37’ 28” N 04

445 3.7 11h 51min 17,6s +01⁰ 41’ 59” 23⁰ 48’ 59” N

446 4.6 11h 51min 43,2s -45⁰ 14’ 15” 23⁰ 07’ 15” S 04

1311 4.5 12h 01min 27,7s +06⁰ 33’ 01” 28⁰ 40’ 01” N 05

450 4.1 12h 05min 47,6s +08⁰ 40’ 09” 30⁰ 47’ 09” N 06

452 2.8 12h 08min 57,5s -50⁰ 47’ 11” 28⁰ 40’ 11” S 05

453 3.1 12h 10min 43,0s -22⁰ 41’ 01” 0⁰ 34’ 01” S 07

455 3.0 12h 15min 45,6s -58⁰ 48’ 46” 36⁰ 41’ 46” S 06

457 2.7 12h 16min 23,9s -17⁰ 36’ 21” 4⁰ 30’ 39” N 07

460 4.0 12h 20min 29,6s -00⁰ 43’ 50” 21⁰ 23’ 10” N 08

462 1.5 12h 27min 14,8s -63⁰ 09’ 45” 41⁰ 02’ 45” S

464 4.1 12h 28min 39,9s -50⁰ 17’ 40” 28⁰ 10’ 40” S 08

465 3.0 12h 30min 27,6s -16⁰ 34’ 46” 5⁰ 32’ 14” N 09

468 1.5 12h 31min 48,6s -57⁰ 10’ 39” 35⁰ 03’ 39” S 10

471 2.7 12h 34min 59,5s -23⁰ 27’ 37” 1⁰ 20’ 37” S 09

1323 4.7 12h 35min 25,3s +22⁰ 33’ 57” 44⁰ 40’ 57” N 10

475 4.7 12h 39min 50,4s -08⁰ 03’ 32” 14⁰ 03’ 28” N 11

481 1.4 12h 48min 24,0s -59⁰ 45’ 05” 37⁰ 38’ 05” S

482 4.2 12h 54min 04,6s -40⁰ 14’ 28” 18⁰ 07’ 28” S 11

1335 4.8 12h 54min 57,0s -09⁰ 36’ 04” 12⁰ 30’ 56” N

484 3.6 12h 56min 10,9s +03⁰ 20’ 06” 25⁰ 27’ 06” N 12

488 3.0 13h 02min 44,9s +10⁰ 53’ 51” 33⁰ 00’ 51” N

489 4.3 13h 07min 35,1s -49⁰ 58’ 03” 27⁰ 51’ 03” S 12

7º Passo: Determinação da diferença de horário entre o tempo sideral e o tempo legal

o 44,8s49min 6h 15,2s40min 11h 30min18h HlT i =−=−= iS , portanto em um

relógio piloto subtrai-se 6h 49min 45s da hora legal. Assim o relógio piloto estará

marcando a hora sideral aproximada.


142

8º Passo: Elaboração do programa de observações para o método de Sterneck

1º Grupo de Estrelas

nº Est. Mag. α Z0 Az. Par Z’ P T

439 4.8 11h 40min 47,1s 12⁰ 41’ 30” S 01

1301 4.8 11h 45min 20,8s 3⁰ 42’ 07” N 01

442 3.7 11h 46min 09,4s 44⁰ 40’ 33” S 02

1302 4.1 11h 46min 26,9s 28⁰ 34’ 53” N 03

443 4.1 11h 47min 04,4s 39⁰ 07’ 32” S 03

1304 4.4 11h 48min 34,6s 42⁰ 16’ 18” N 02

444 2.1 11h 49min 38,7s 36⁰ 37’ 28” N 04

446 4.6 11h 51min 43,2s 23⁰ 07’ 15” S 04



1311 4.5 12h 01min 27,7s 28⁰ 40’ 01” N 01

450 4.1 12h 05min 47,6s 30⁰ 47’ 09” N 02

452 2.8 12h 08min 57,5s 28⁰ 40’ 11” S 01

453 3.1 12h 10min 43,0s 0⁰ 34’ 01” S 03

455 3.0 12h 15min 45,6s 36⁰ 41’ 46” S 02

457 2.7 12h 16min 23,9s 4⁰ 30’ 39” N 03

460 4.0 12h 20min 29,6s 21⁰ 23’ 10” N 04

464 4.1 12h 28min 39,9s 28⁰ 10’ 40” S 04



465 3.0 12h 30min 27,6s 5⁰ 32’ 14” N 01

468 1.5 12h 31min 48,6s 35⁰ 03’ 39” S 02

471 2.7 12h 34min 59,5s 1⁰ 20’ 37” S 01

1323 4.7 12h 35min 25,3s 44⁰ 40’ 57” N 02

475 4.7 12h 39min 50,4s 14⁰ 03’ 28” N 03

482 4.2 12h 54min 04,6s 18⁰ 07’ 28” S 03

484 3.6 12h 56min 10,9s 25⁰ 27’ 06” N 04

489 4.3 13h 07min 35,1s 27⁰ 51’ 03” S 04


Determinar a latitude pelo método de Sterneck com base nos seguintes

dados coletados em campo em PP (λ0 = –3h 25min 38s) para 15 de junho de 2011:

Grupo de Estrelas


1311 4.5 12h 01min 27,7s 28⁰ 40’ 01” N 01 28⁰ 39’ 41,4” 979 15

452 2.8 12h 08min 57,5s 28⁰ 40’ 11” S 01 28⁰ 39’ 37,2” 979 15


143


Figura 65 – Posições aparentes das estrelas 1311 e 452 no trânsito pelo meridiano de

Greenwich, 2009.

1º Passo: Cálculo da refração astronômica das estrelas

o Estrela 1311: =1311R"

o Estrela 452: =452R"

2º Passo: Interpolação da declinação das estrelas

o Estrela 1311:

• Conversão da hora sideral em legal:

F9261,00273790

λSSHl 0 −

−−=


144

=Hl

• Conversão da hora legal e em tempo universal:

=+= FHlTU

• Conversão do tempo universal em decimais do mês:

=+= dia24

TUTUd

• Interpolação da declinação:

VI 15,8d → 37,54" 33' 615,8

+=

VI 25,7d → 38,15" 33' 625,7

+= 0,61"9,9 =→ d

0,1109597d15,8dd15,910959715,8dTUΔTU d =−=−=

se

→

=→

x 0,1109597d

0,61"9,9 d x =

=+= xδδ 15,8

1311

15,9109597

o Estrela 452:

• Conversão da hora sideral em legal:

F9261,00273790

λSSHl 0 −

−−=

=Hl


=+= FHlTU


=+= dia24

TUTUd


VI 15,8d → 51,99" 46' 5015,8

−=

VI 25,7d → 51,99" 46' 5025,7

−= 0,00"9,9 =→ d

0,1161515d15,8dd15,916151515,8dTUΔTU d =−=−=

se

→

=→

x 0,116155d

0,00"9,9 d =x

=+= xδδ 15,8

452

15,9161515


145

3º Passo: Cálculo da latitude

o Par de estrelas 1311-452: −

+−

++

=2

RR

2

zz

2

δδ NS

'

N

'

SNS

=

Observação 1: no exemplo foi observado apenas um par de estrelas. O correto é observar 3

grupos de estrelas, sendo cada grupo contendo 4 pares de estrelas, onde a latitude do ponto é

obtido a partir da média de todas as latitudes calculadas de cada par.

Observação 2: no exemplo foi utilizado as posições aparentes das estrelas referente ao ano de

2009, no entanto as observações foram realizadas em 2011.

13.2 Determinação da Longitude

Longitude astronômica de um lugar é o ângulo formado entre o plano do

meridiano astronômico deste lugar e o plano do meridiano astronômico médio de Greenwich,

medido sobre o plano do Equador.

Conforme já apresentado, a longitude de uma estação é dada por:

−=

−=

−=

−=

G

G

G

G

MMλ

VVλ

SSλ

HHλ

(159)

onde:

H – hora astronômica local;

HG – hora astronômica de Greenwich (no mesmo instante físico);

S – hora sideral local;

SG – hora sideral de Greenwich (no mesmo instante físico);

V – hora verdadeira local;

VG – hora verdadeira de Greenwich (no mesmo instante físico);

M – hora média local; e

MG – hora média de Greenwich (no mesmo instante físico).


146

13.2.1 Determinação da longitude pelo método da passagem meridiana

O astro na passagem meridiana superior possui ângulo horário nulo (H = 0h)

e na passagem meridiana inferior possui ângulo horário 12 horas (H = 12h). Com uso da

Fórmula Fundamental da Astronomia de Posição (S = H + α), tem-se que a hora sideral local

da passagem meridiana superior e inferior do astro será S = α e S = 12h + α, respectivamente.

Recordando, tem-se que o estado do cronômetro é dado por:

T H E −= (160)

onde:

H – Hora astronômica local referenciada a um sistema de tempo; e


E o estado de relativo do cronômetro dado por:

T H E GG −= (161)

onde:

HG – Hora astronômica de Greenwich referenciada a um sistema de tempo; e


Assim, no exato momento da passagem meridiana do astro, pode-se

substituir a hora astronômica local referenciada a um sistema de tempo (H) pela hora sideral

local (S), obtendo o seguinte estado do cronômetro (E) para a passagem meridiana superior

(Equação (162)) e inferior (Equação (163)):

T α TS E −=−= (162)

T α 12hTS E −+=−= (163)

Isolando H e HG das Equações (160) e (161), respectivamente, obtém-se:

T E H += e T E H GG += (164)


147

Substituindo as expressões da Equação (164) na fórmula da longitude

(Equação (159)), tem-se:

GGG EEλTETEλHHλ −=−−+=−= (165)

Ou seja, a longitude também pode ser determinada a partir da diferença

entre o estado absoluto (E) e o estado relativo (EG) do cronômetro.

Este método consiste em se obter o instante cronométrico (T) no exato

momento em que o astro passa pelo meridiano. Assim, o estado absoluto pode ser obtido pela

Equação (162) ou (163), e o estado relativo através de sinais horários.

O método requer o conhecimento do meridiano com precisão, o que

normalmente não acontece na Astronomia de Posição. O método da passagem meridiana

usualmente é utilizado na Astronomia Geodésica (Alta Precisão), mas, desejando-se

determinar a longitude por este método, deve-se minimizar a influência da má orientação do

aparelho observando grupos de estrelas, que são formados por um número igual de estrelas

que tenham passagem meridiana ao Sul e ao Norte do zênite.

13.2.2 Determinação da longitude pelo método das distâncias zenitais absolutas

Conforme visto no capítulo 10 (Circunstâncias Favoráveis às Determinações

Astronômicas), a circunstância favorável à determinação da longitude em função da distância

zenital do astro é que o mesmo esteja nas proximidades do primeiro vertical (A = 90º ou A =

270º).

Foi visto que pode-se obter a hora sideral calculando o ângulo horário do

astro e somando-o com a sua ascensão reta (S = H + α). O método de determinação da

longitude por distâncias zenitais absolutas consiste em medir a distância zenital do astro e

calcular o ângulo horário.

No mesmo instante em que se visa o astro para ler a distância zenital, faz-se

a cronometragem para se obter o instante cronométrico (T).

Aplicando a Fórmula dos Quatro Elementos no triângulo de posição tem-se

(ver dedução na página 114):

δ cos cos


−=

(166)


148

onde z é a distância zenital corrigida, φ a latitude da estação e δ a declinação interpolada da

estrela. Ressalta-se que as estrelas a leste do meridiano local possui ângulo horário negativo.

O cálculo da hora sideral local (S) é dada por: S = H + α, onde α é a

ascensão reta interpolada da estrela. Já a hora sideral de Greenwich é dada por:

( ) 91,00273790FHlSS 0G ++= (167)

Portanto, a longitude é calculada por:

GSSλ −= (168)

Lista de estrelas

Para a elaboração da lista de estrelas deve ser considerada a condição

δ , sendo que, para que a passagem pelo primeiro vertical se processa acima do

horizonte (seja visível), é necessário que φ e δ tenha o mesmo sinal. Além disso, faz-se

necessário o conhecimento aproximado das coordenadas da estação onde serão efetuadas as

observações, ou seja, latitude, longitude e o meridiano local.




( ) 9261,00273790FHlλSS i00i +++= (169)



▪ Com auxílio de um catálogo de estrelas, selecionam as estrelas que

atendam δ , sendo φ e δ com o mesmo sinal. Assim, calcula-se o

ângulo horário (H) das estrelas utilizando a seguinte Equação:

tg

δ tgH cos = (170)


149

A Equação (170) admite duas raízes (±H), sendo o sinal positivo

atribuído para a passagem a oeste (AW = 90º) e o sinal negativo para a

passagem a leste (AE = 270º), sendo que nesse caso deve-se somar

360º ou 24h ao valor de –H. Calculado os ângulos horários das

estrelas tanto para passagem a oeste quanto a leste do primeiro

vertical, determina-se a hora sideral local dessas passagens utilizando

a expressão S = H + α, sendo a ascensão reta da estrela contida no

catálogo;

▪ Calculadas a hora sideral do início das observações (Si) e as horas

siderais locais das passagens das estrelas pelo primeiro vertical (a

oeste e leste), verifica-se se as horas das passagens são superiores a

hora sideral de início. Caso algumas estrelas não atendam esse

critério, descarta-as;

▪ Calcula-se a distância zenital aproximada das estrelas (z0) a partir da

Equação (171), a qual utiliza a latitude aproximada do local e a

declinação da estrela contida no catálogo:

sen

δsen z cos 0 = (171)

▪ Ordenam-se as estrelas selecionadas pela hora sideral local;

▪ Calcula-se a hora legal correspondente a hora sideral através da

equação (172):

F9261,00273790

λSSHl 0 −

−−= (172)



adiantada ou atrasada em relação à hora legal. Determinado a




150





anotar os dados de campo (z’, P, T e os instantes cronométricos T1, T2,

T3, T4 e T5). Um exemplo de tabela que pode ser elaborada é

apresentada a seguir:

Tabela 5 – Programa de observações para a determinação da longitude pelo método das

distâncias zenitais absolutas.

Pressão Inicial:____ mbar Temp. Inicial:_____ºC

nº Est. Mag. Hl ou S Z0 Az. (E/W) T1 T2 T3 T4 T5 Z’

Pressão Final:____ mbar Temp. Final:_____ºC





longitude de um valor igual ao do mal nivelamento);










▪ Sintoniza-se uma emissora que retransmita sinais horários e

determina-se o estado do cronômetro;


151

▪ Anota-se a pressão atmosférica e temperatura do início das

observações;

▪ Aproximadamente 3 minutos antes da passagem da estrela pelo

primeiro vertical (prevista no programa de observações), registram-se

no instrumento os elementos de calagem da estrela (azimute e

distância zenital aproximada). Ficar atento, pois a estrela deve estar no

campo ótico da luneta;


determina-se os instantes cronométricos em que a estrela cruza os

cinco fios (retículos) horizontais e anota-se a distância zenital;

▪ Repetir as duas últimas etapas para as demais estrelas até o término do

programa de observações; e

▪ Anota-se a pressão atmosférica e temperatura do final das

observações.


Cálculo do Pz → 2

PIPD180Pz

+−= ;

Cálculo da pressão e temperatura média → 2

PPP fi += e

2

TTT fi +=




+= ;


▪ Cálculo da hora legal → 5

TTTTTHl 54321 ++++

= ;


( ) 00 ΔδFHlδδ ++= ;

▪ Interpolação da ascensão reta da estrela para o instante da observação

→ ( ) 00 ΔαFHlαα ++= ;

▪ Cálculo do ângulo horário da estrela → δ cos cos


−=

;

▪ Cálculo da hora sideral local → αHS += ;


152

▪ Cálculo da hora sideral de Green → ( ) 91,00273790FHlSS 0G ++= ;

▪ Cálculo da longitude → GS Sλ −= ;

Determinada a longitude a partir de cada estrela, faz-se a média e o desvio-

padrão da longitude.


Elaborar um programa de observações para a determinação da longitude

pelo método das distâncias zenitais absolutas em 28 de setembro de 2011 em PP (φ0 = –22º

07’ e λ0 = –3h 25min), sendo que se pretende iniciar as observações às 18h 30min legal.

Dados:




153


o ( ) 9261,00273790FHlλSS i00i +++= , onde:

• S0 = 0h 25min 41,602s;

• λ0 = -3h 25min;

• Hli = 18h 30min; e

• F = +3.

13,52s34min 18h Si =


o Selecionam-se as estrelas cuja δ , φ e δ com o mesmo sinal, onde φ = -22º 07’.


1630 30 PSC 4.6 0h 02min 32,9s -05º 57’ 01”

1002 33 PSC 4.6 0h 05min 55,4s -05º 38’ 36”

9 IOTA CET 3.7 0h 20min 00,7s -08º 45’ 37”

1022 20 CET 4.8 0h 53min 35,7s -01º 04’ 55”

501 ZETA VIR 3.3 13h 35min 16,7s -00º 39’ 16”

525 IOTA VIR 4.1 14h 16min 37,1s -06º 03’ 17”

545 MI VIR 4.0 14h 43min 40,0s -05º 42’ 28”

1394 DELTA LIB 4.8 15h 01min 35,2s -08º 33’ 50”

577 GAMA LIB 4.0 15h 36min 10,2s -14º 49’ 38”

1417 48 LIB 4.6 15h 58min 50,0s -14º 18’ 43”

1463 58 OPH 4.8 17h 44min 07,1s -21º 41’ 17”

682 MI SGR 4.0 18h 14min 27,0s -21º 03’ 18”

710 KSI2 SGR 3.5 18h 58min 24,8s -21º 05’ 26”

1561 IOTA CAP 4.2 21h 22min 53,0s -16º 47’ 06”

812 GAMA CAP 3.7 21h 40min 43,5s -16º 36’ 36”

819 DELTA CAP 3.0 21h 47min 40,3s -16º 04’ 29”

828 IOTA AQR 4.3 22h 07min 03,3s -13º 48’ 49”

861 TAU AQR 4.1 22h 50min 11,9s -13º 31’ 54”

866 DELTA AQR 3.4 22h 55min 15,5s -15º 45’ 34”

1608 PSI1 AQR 4.4 23h 16min 29,5s -09º 01’ 30”

o Cálculo do ângulo horário das estrelas: tg

δ tgH cos = → +H (AW = 90º) e –H (AE = 270º)

nº Est. Mag. α δ +H (AW=90º) -H (AE=270º)

1630 4.6 0h 02min 32,9s -05º 57’ 01” 5h 00min 33,49s 18h 59min 26,51s







154

nº Est. Mag. α δ +H (AW=90º) -H (AE=270º)















o Calculo da hora sideral das estrelas: αHS += → SW (AW = 90º) e SE (AE = 270º)

nº Est. Mag. α δ SW (AW=90º) SE (AE=270º)






















155

3º Passo: Comparação da hora sideral de início e as horas siderais das passagens

o Descarta as passagens cuja hora sideral é inferior a 13,52s34min 18h Si = (destacada em

vermelho).

nº Est. Mag. α δ SW (AW=90º) SE (AE=270º)





















4º Passo: Cálculo da distância zenital aproximada das estrelas

o sen

δsen z cos 0 = , onde φ = -22º 07’.

nº Est. Mag. α δ SW (AW=90º) SE (AE=270º) Z0

1630 4.6 0h 02min 32,9s -05º 57’ 01” 19h 01min 59,41s 74º 01’ 02,91”

1002 4.6 0h 05min 55,4s -05º 38’ 36” 19h 02min 12,78s 74º 51’ 34,01”

9 3.7 0h 20min 00,7s -08º 45’ 37” 19h 49min 08,63s 66º 08’ 19,36”

1022 4.8 0h 53min 35,7s -01º 04’ 55” 19h 04min 14,95s 87º 07’ 30,82”

501 3.3 13h 35min 16,7s -00º 39’ 16” 19h 28min 50,15s 88º 15’ 41,44”

525 4.1 14h 16min 37,1s -06º 03’ 17” 19h 16min 06,03s 73º 43’ 49,01”

545 4.0 14h 43min 40,0s -05º 42’ 28” 19h 46min 42,99s 74º 40’ 58,50”

1394 4.8 15h 01min 35,2s -08º 33’ 50” 19h 34min 35,28s 66º 42’ 04,93”

577 4.0 15h 36min 10,2s -14º 49’ 38” 18h 53min 35,18s 47º 10’ 45,57”

1417 4.6 15h 58min 50,0s -14º 18’ 43” 19h 23min 17,62s 48º 57’ 35,58”

1463 4.8 17h 44min 07,1s -21º 41’ 17” 18h 31min 35,88s 11º 01’ 07,30”

682 4.0 18h 14min 27,0s -21º 03’ 18” 19h 29min 12,61s 17º 24’ 02,89”

710 3.5 18h 58min 24,8s -21º 05’ 26” 20h 11min 54,54s 17º 06’ 13,21”

1561 4.2 21h 22min 53,0s -16º 47’ 06” 18h 34min 33,82s 39º 54’ 44,18”

812 3.7 21h 40min 43,5s -16º 36’ 36” 18h 49min 37,36s 40º 36’ 04,45”

819 3.0 21h 47min 40,3s -16º 04’ 29” 18h 48min 18,22s 42º 39’ 18,37”


156


828 4.3 22h 07min 03,3s -13º 48’ 49” 18h 35min 58,45s 50º 38’ 27,37”

861 4.1 22h 50min 11,9s -13º 31’ 54” 19h 15min 26,09s 51º 34’ 32,97”

866 3.4 22h 55min 15,5s -15º 45’ 34” 19h 51min 10,81s 43º 49’ 50,10”

1608 4.4 23h 16min 29,5s -09º 01’ 30” 18h 48min 30,97s 65º 22’ 36,67”

5º Passo: Ordenação das estrelas selecionadas pela hora sideral local


1463 4.8 17h 44min 07,1s -21º 41’ 17” 18h 31min 35,88s 11º 01’ 07,30”

1561 4.2 21h 22min 53,0s -16º 47’ 06” 18h 34min 33,82s 39º 54’ 44,18”

828 4.3 22h 07min 03,3s -13º 48’ 49” 18h 35min 58,45s 50º 38’ 27,37”

819 3.0 21h 47min 40,3s -16º 04’ 29” 18h 48min 18,22s 42º 39’ 18,37”

1608 4.4 23h 16min 29,5s -09º 01’ 30” 18h 48min 30,97s 65º 22’ 36,67”

812 3.7 21h 40min 43,5s -16º 36’ 36” 18h 49min 37,36s 40º 36’ 04,45”

577 4.0 15h 36min 10,2s -14º 49’ 38” 18h 53min 35,18s 47º 10’ 45,57”

1630 4.6 0h 02min 32,9s -05º 57’ 01” 19h 01min 59,41s 74º 01’ 02,91”

1002 4.6 0h 05min 55,4s -05º 38’ 36” 19h 02min 12,78s 74º 51’ 34,01”

1022 4.8 0h 53min 35,7s -01º 04’ 55” 19h 04min 14,95s 87º 07’ 30,82”

861 4.1 22h 50min 11,9s -13º 31’ 54” 19h 15min 26,09s 51º 34’ 32,97”

525 4.1 14h 16min 37,1s -06º 03’ 17” 19h 16min 06,03s 73º 43’ 49,01”

1417 4.6 15h 58min 50,0s -14º 18’ 43” 19h 23min 17,62s 48º 57’ 35,58”

501 3.3 13h 35min 16,7s -00º 39’ 16” 19h 28min 50,15s 88º 15’ 41,44”

682 4.0 18h 14min 27,0s -21º 03’ 18” 19h 29min 12,61s 17º 24’ 02,89”

1394 4.8 15h 01min 35,2s -08º 33’ 50” 19h 34min 35,28s 66º 42’ 04,93”

545 4.0 14h 43min 40,0s -05º 42’ 28” 19h 46min 42,99s 74º 40’ 58,50”

9 3.7 0h 20min 00,7s -08º 45’ 37” 19h 49min 08,63s 66º 08’ 19,36”

866 3.4 22h 55min 15,5s -15º 45’ 34” 19h 51min 10,81s 43º 49’ 50,10”

710 3.5 18h 58min 24,8s -21º 05’ 26” 20h 11min 54,54s 17º 06’ 13,21”


o 13,52s4min 13,52s34min 18h 30min18h HlT i −=−=−= iS , portanto em um relógio

piloto soma-se 4min 13,52s da hora legal. Assim o relógio piloto estará marcando a hora

sideral aproximada.

7º Passo: Elaboração do programa de observações

Pressão Inicial:____ mbar Temp. Inicial:_____ºC

nº Est. Mag. S Z0 Az. T1 T2 T3 T4 T5 Z’ 1463 4.8 18h 31min 35,88s 11º 01’ 07,30” 90º 1561 4.2 18h 34min 33,82s 39º 54’ 44,18” 270º 828 4.3 18h 35min 58,45s 50º 38’ 27,37” 270º 819 3.0 18h 48min 18,22s 42º 39’ 18,37” 270º

1608 4.4 18h 48min 30,97s 65º 22’ 36,67” 270º 812 3.7 18h 49min 37,36s 40º 36’ 04,45” 270º


157

nº Est. Mag. S Z0 Az. T1 T2 T3 T4 T5 Z’ 577 4.0 18h 53min 35,18s 47º 10’ 45,57” 90º 1630 4.6 19h 01min 59,41s 74º 01’ 02,91” 270º 1002 4.6 19h 02min 12,78s 74º 51’ 34,01” 270º 1022 4.8 19h 04min 14,95s 87º 07’ 30,82” 270º 861 4.1 19h 15min 26,09s 51º 34’ 32,97” 270º 525 4.1 19h 16min 06,03s 73º 43’ 49,01” 90º

1417 4.6 19h 23min 17,62s 48º 57’ 35,58” 90º 501 3.3 19h 28min 50,15s 88º 15’ 41,44” 90º 682 4.0 19h 29min 12,61s 17º 24’ 02,89” 90º 1394 4.8 19h 34min 35,28s 66º 42’ 04,93” 90º 545 4.0 19h 46min 42,99s 74º 40’ 58,50” 90º

9 3.7 19h 49min 08,63s 66º 08’ 19,36” 270º 866 3.4 19h 51min 10,81s 43º 49’ 50,10” 270º 710 3.5 20h 11min 54,54s 17º 06’ 13,21” 90º

Pressão Final:____ mbar Temp. Final:_____ºC


Determinar a longitude pelo método das distâncias zenitais absolutas com

base nos seguintes dados coletados em campo em PP (φ0 = –22º 07’ 18”) para 28 de setembro

de 2009, sendo o Pz = 1,38”:

Pressão Inicial: 968,5 mbar Temp. Inicial: 22ºC

nº Est. Mag. S Z0 Az. T1 hh:mm:ss T2 T3 T4 T5 Z’ º:‘:“

1463 4.8 18h 31min 35,88s 11º 01’ 07,30” 90º

1561 4.2 18h 34min 33,82s 39º 54’ 44,18” 270º

828 4.3 18h 35min 58,45s 50º 38’ 27,37” 270º

819 3.0 18h 48min 18,22s 42º 39’ 18,37” 270º

1608 4.4 18h 48min 30,97s 65º 22’ 36,67” 270º

812 3.7 18h 49min 37,36s 40º 36’ 04,45” 270º

577 4.0 18h 53min 35,18s 47º 10’ 45,57” 90º 18:54:05 18:54:22 18:54:40 18:54:56 18:55:14 48:14:34,1

1630 4.6 19h 01min 59,41s 74º 01’ 02,91” 270º

1002 4.6 19h 02min 12,78s 74º 51’ 34,01” 270º

1022 4.8 19h 04min 14,95s 87º 07’ 30,82” 270º

861 4.1 19h 15min 26,09s 51º 34’ 32,97” 270º 19:17:32 19:17:48 19:18:05 19:18:22 19:18:40 50:05:45

525 4.1 19h 16min 06,03s 73º 43’ 49,01” 90º

1417 4.6 19h 23min 17,62s 48º 57’ 35,58” 90º

501 3.3 19h 28min 50,15s 88º 15’ 41,44” 90º

682 4.0 19h 29min 12,61s 17º 24’ 02,89” 90º 19:28:41 19:28:59 19:29:16 19:29:33 19:29:50 18:16:10,9

1394 4.8 19h 34min 35,28s 66º 42’ 04,93” 90º

545 4.0 19h 46min 42,99s 74º 40’ 58,50” 90º

9 3.7 19h 49min 08,63s 66º 08’ 19,36” 270º

866 3.4 19h 51min 10,81s 43º 49’ 50,10” 270º 19:51:47 19:52:05 19:52:21 19:52:39 19:52:56 42:40:14,9

710 3.5 20h 11min 54,54s 17º 06’ 13,21” 90º

Pressão Final: 965 mbar Temp. Final: 26ºC



158

Figura 67 – Posições aparentes das estrelas 577, 682, 861 e 866 no trânsito pelo meridiano de

Greenwich, 2009.


o 1,38"Pz =

2º Passo: Cálculo da pressão e temperatura média

o =+

=2

PPP fi

o =+

=2

TTT fi

3º Passo: Cálculo da refração astronômica das estrelas



159




4º Passo: Cálculo da distância zenital corrigida das estrelas

o Estrela 577: =++= 577577577 R"Pz Z'Z

o Estrela 861: =++= 861861861 R"Pz Z'Z

o Estrela 682: =++= 682682682 R"Pz Z'Z

o Estrela 866: =++= 866866866 R"Pz Z'Z

4º Passo: Cálculo da hora legal das estrelas

o Estrela 577: =++++

=5

TTTTTHl 54321

577


=5

TTTTTHl 54321

861


=5

TTTTTHl 54321

682


=5

TTTTTHl 54321

866

5º Passo: Interpolação da declinação das estrelas

o Estrela 577:


=+= FHlTU


=+= dia24

TUTUd


IX 23,6d → 20,60" 49' 14δ23,6

−=

X 3,6d → 20,30" 49' 14δ3,6

−= 0,30"Δδ10d =→


160

5,312956d23,6dd28,912956023,6dTUΔTU d =−=−=

se

→

=→

x 5,312956d

0,30"Δδ10d =x

=+= xδδ 23,6

577

28,9129560

o Estrela 861:


=+= FHlTU


=+= dia24

TUTUd


IX 23,6d → 17,08" 32' 13δ23,6

−=

X 3,6d → 17,55" 32' 13δ3,6

−= 0,47"Δδ10d −=→

5,3292291d23,6dd28,929229123,6dTUΔTU d =−=−=

se

→

−=→

x 5,3292291d

0,47"Δδ10d x =

=+= xδδ 23,6

861

28,9292291

o Estrela 682:


=+= FHlTU


=+= dia24

TUTUd


IX 23,6d → 23,38" 03' 21δ23,6

−=

X 3,6d → 23,34" 03' 21δ3,6

−= 0,04"Δδ10d =→

5,3369884d23,6dd28,936988423,6dTUΔTU d =−=−=

se

→

=→

x 5,3369884d

0,04"Δδ10d x =

=+= xδδ 23,6

682

28,9369884


161

o Estrela 866:


=+= FHlTU


=+= dia24

TUTUd


IX 23,6d → 57,41" 45' 15δ23,6

−=

X 3,6d → 58,01" 45' 15δ3,6

−= 0,60"Δδ10d −=→

5,3530277d23,6dd28,953027723,6dTUΔTU d =−=−=

se

→

−=→

x 5,3530277d

0,60"Δδ10d x =

=+= xδδ 23,6

866

28,9530277

6º Passo: Interpolação da ascensão reta das estrelas

o Estrela 577:

• Interpolação da ascensão reta:

IX 23,6d → 04,387s36min 15h α23,6 =

X 3,6d → 04,276s36min 15h α3,6 = 0,111sΔα10d −=→

5,312956dΔTU=

se

→

−=→

x 5,312956d

0,111sΔα10d x =

=+= xαα 23,6

577

28,9129560

o Estrela 861:


IX 23,6d → 08,509s50min 22h α23,6 =

X 3,6d → 08,477s50min 22h α3,6 = 0,032"Δα10d −=→

5,3292291dΔTU=

se

→

−=→

x 5,3292291d

0,032sΔα10d x =


162

=+= xαα 23,6

861

28,9292291

o Estrela 682:


IX 23,6d → 21,768s14min 18h α23,6 =

X 3,6d → 21,592s14min 18h α3,6 = 0,176sΔα10d −=→

5,3369884dΔTU=

se

→

−=→

x 5,3369884d

0,176sΔα10d =x

=+= xαα 23,6

682

28,9369884

o Estrela 866:


IX 23,6d → 12,118s55min 22h α23,6 =

X 3,6d → 12,090s55min 22h α3,6 = 0,028sΔα10d −=→

5,3530277dΔTU=

se

→

−=→

x 5,3530277d

0,028sΔα10d x =

=+= xαα 23,6

866

28,9530277

7º Passo: Cálculo do ângulo horário das estrelas (considerando φ = –22º 07’ 18”)

o Estrela 577 (oeste → +H):

( ) ( )( ) ( )20,44" 49' 14cos18" 07' 22cos

20,44" 49' 14sen18" 07' 22sen34,77" 15' 48 cos

δ cos cos

δsen sen ZcosH cos

577

577577577

−−

−−−=

−=

=577H cos

o Estrela 861 (leste → -H):

( ) ( )( ) ( )17,33" 32' 13cos18" 07' 22cos

17,33" 32' 13sen18" 07' 22sen49,68" 06' 50 cos

δ cos cos

δsen sen ZcosH cos

861

861861861

−−

−−−=

−=

=861H cos


163

o Estrela 682 (oeste → +H):

( ) ( )( ) ( )23,36" 03' 21cos18" 07' 22cos

23,36" 03' 21sen18" 07' 22sen29,75" 16' 18 cos

δ cos cos

δsen sen ZcosH cos

682

682682682

−−

−−−=

−=

=682H cos

o Estrela 866 (leste → -H):

( ) ( )( ) ( )57,73" 45' 15cos18" 07' 22cos

57,73" 45' 15sen18" 07' 22sen05,07" 41' 42 cos

δ cos cos

δsen sen ZcosH cos

866

866866866

−−

−−−=

−=

=866H cos

8º Passo: Cálculo da hora sideral local das estrelas

o Estrela 577:

=+= 577577577 αHS

o Estrela 861:

=+= 861861861 αHS

o Estrela 682:

=+= 682682682 αHS

o Estrela 866:

=+= 866866866 αHS

9º Passo: Cálculo da hora sideral de Greenwich

o Estrela 577:

( ) 91,00273790FHlSS 5770

577

G ++=

=577

GS

o Estrela 861:

( ) 91,00273790FHlSS 8610

861

G ++=

=861

GS

o Estrela 682:

( ) 91,00273790FHlSS 6820

682

G ++=

=682

GS

o Estrela 866:

( ) 91,00273790FHlSS 8660

866

G ++=

=866

GS


164

10º Passo: Cálculo da longitude

o Estrela 577:

=−= 577

G577577 S Sλ

o Estrela 861:

=−= 861

G861861 S Sλ

o Estrela 682:

=−= 682

G682682 S Sλ

o Estrela 866:

=−= 866

G866866 S Sλ

λm =

13.2.3 Determinação da longitude pelo método das alturas iguais de uma estrela

Este método consiste em cronometrar os instantes das passagens de uma

mesma estrela pelo mesmo almicantarado (círculo de igual altura). São anotados os instantes

cronométricos TE e T’W em que a estrela passa pelo almicantarado a leste e a oeste do

meridiano do lugar. A Figura 68 ilustra o conceito do método.


165

Figura 68 – Determinada da longitude pelo método das alturas iguais de uma mesma estrela.

O instante cronométrico TW (instante cronométrico da estrela a oeste do

meridiano do lugar corrigido da marcha do cronômetro m) é obtido por:

( )E

'

W

'

WW TTmTT −+= (173)

A partir da equação (162), sabe-se que:

+=

+=+=−=

ETS

ETS ETSTS E

WW

EE (174)

E pela Fórmula Fundamental da Astronomia de Posição tem-se:

+=

−=+=

WW

EE

HαS

HαS Hα S (175)


166

Assim, igualando as expressões obtêm-se:

WW

EE

HαET

HαET

+=+

−=+ (176)

Somando-se as expressões da equação (176) e considerando que os ângulos

horários da estrela a leste e a oeste do meridiano, em módulo, possuem o mesmo valor

( WE HH = ), tem-se:

( ) ( )WEWEWEWE TT2

1αETT2α2EHH2α2ETT +−=+−=+−=++ (177)

Obtido o estado absoluto (E), determina-se o estado relativo (EG) do

cronômetro através de sinais horários. Assim a longitude do lugar é dada por:

GEEλ −= (178)

Este método é, teoricamente, o mais preciso na determinação da longitude,

pois para determinar o estado absoluto (E) não é necessário o conhecimento da latitude da

estação e nem o valor da declinação e ascensão reta da estrela. O método apenas obriga que o

astro seja observado a leste e a oeste do meridiano na mesma altura (ou mesma distância

zenital).

Na prática o processo apresenta o inconveniente decorrente do longo espaço

de tempo entre as duas observações. Durante esse tempo as condições atmosféricas podem

sofrer alterações, bem como o instrumento pode sofrer intempéries de várias causas.

13.2.4 Determinação da longitude pelo método de Zinger

Para eliminar o inconveniente do método das alturas iguais de uma estrela,

Zinger em 1874 apresentou a solução: “observar duas estrelas em suas passagens pelo mesmo

almicantarado quase ao mesmo tempo, com diferença de alguns minutos, sendo uma a leste e

outra a oeste do meridiano, e também que estas estrelas devem estar o mais próximo possível


167

do primeiro vertical”. Nas passagens das estrelas pelo almicantarado fazem-se as

cronometragens.

Para que se possa observar as duas estrelas é necessário a elaboração de um

programa de observações, sendo que este programa somente é possível se possuir um catálogo

de pares de estrelas (Catálogo de Zinger).

O cálculo do estado absoluto (E) é apresentado a seguir:

( ) ( )2

TTm

2

TTcaE EWWE −

−+

−+= (179)

onde:

2

ααa WE += (180)

−=

γtg

b tg

sen γ

tg

15

βc

(181)

2

δδβ WE −= (182)

2

δδb WE += (183)

2

TTmα

2

TTγ EWWE −

−−−

= (184)

2

ααα WE −= (185)

Assim:

GEEλ −= (186)

Lista de estrelas

Para a elaboração do programa utiliza-se do catálogo de Zinger (este

catálogo contém os pares de estrelas que passam pelo mesmo almicantarado próximo ao

primeiro vertical, conforme a exigência do método). Para as latitudes do Brasil, o Prof. Allyro

Hugueney de Mattos elaborou um catálogo de estrelas que passam pelo primeiro vertical

quase ao mesmo tempo. De posse deste catálogo, a elaboração do programa consiste apenas


168

em atualizar os elementos de calagem das estrelas para a latitude na qual vai ser determinada

a longitude.

Para elaborar o programa fixa-se a hora legal aproximada em que pretende

iniciar as observações. Transforma-se esta hora legal em sideral. Como os pares estão

catalogados em ordem crescente de hora sideral, escolhe-se um cuja hora sideral é igual ou

superior a hora sideral calculada. Como não pode-se observar duas estrelas no mesmo instante

físico, observa-se a de leste três minutos antes e a de oeste três minutos após a hora

catalogada.

13.3 Determinação do Azimute

Determinar o azimute significa materializar no terreno a linha norte-sul

verdadeira (meridiano). Na realidade não há a necessidade de se materializar no terreno a

direção norte-sul, é mais comum e prático determinar o ângulo que o meridiano forma com

uma direção definida no campo (azimute da mira).

Na determinação do azimute de uma mira, o astro porta-se como um alvo no

qual se conhece o seu azimute. Assim, a questão praticamente se resume em transportar o

azimute do astro para a mira (transporte de azimute). A Figura 69 proporciona a visualização

esquemática do azimute do astro AA, do azimute da mira AM, da leitura do ângulo horizontal

do astro LA e da leitura do ângulo horizontal da mira LM.

Figura 69 – Azimute da mira.


169

Da Figura 69 tem-se que:

AMAMMAMA LLAALLAA −+=−=− (187)


determinar o azimute do astro AA quando a estrela atinge uma dada distância zenital (z)

(dedução da equação na seção 6.2):

zsen cos


−=

(188)

Observação: deve-se conhecer a latitude do observador e o valor interpolado da declinação da

estrela, e a distância zenital observada deve ser corrigida dos efeitos da refração astronômica e

do Pz.

A equação (188) admite duas raízes: +AA e –AA. O valor negativo

corresponde às observações a estrela quando a mesma está a leste do meridiano local, e o

valor positivo é utilizado quando as observações a estrela dá-se a oeste do meridiano local.

Pode-se determinar também o azimute do astro AA com base na seguinte

equação (dedução na seção 6.2):

cosδ tgH cossen

Hsen A tg

−= (189)

Observação: deve-se conhecer a latitude do observador, o valor interpolado da declinação da

estrela e o ângulo horário da mesma.

13.3.1 Determinação do azimute por distâncias zenitais absolutas de estrelas

Este método consiste em observar a distância zenital (z) e o ângulo azimutal

de uma estrela conhecida (LA) e em seguida o ângulo azimutal da mira (LM). Esta estrela deve

estar “afastada” de pelo menos 2 horas do meridiano astronômico local. Assim:

zsen cos


−=

(190)


170

AMAM LLAA −+= (191)

Lista de estrelas

Para este método não é necessário a elaboração de um programa de

observações. Apenas deve se atentar para que as estrelas a ser observadas estejam afastadas de

pelo menos duas horas do meridiano central, ou seja: 2h < H < 10h ou 14h < H < 22h.









▪ Fazer a pontaria à estrela, sendo que a pontaria dever ser no

cruzamento dos retículos. Em seguida ler a distância zenital observada

(Z’), o ângulo horizontal (LA) e a hora legal da observação;

▪ Anotar pressão atmosférica e temperatura ambiente; e

▪ Fazer a pontaria à mira e realizar a leitura do ângulo horizontal (LM).



PIPD180Pz

+−= ;



+= ;



( ) 00 ΔδFHlδδ ++= ;

▪ Cálculo do azimute da estrela → zsen cos


−=

; e

▪ Cálculo do azimute da mira → AMAM LLAA −+= .


171

13.3.2 Determinação do azimute por estrelas em elongação

Um astro está elongando quando seu azimute passa por um máximo ou por

um mínimo, ou seja, quando sua velocidade azimutal é nula (Q = 90º). Conforme já relatado,

a condição para que um astro elongue é que o mesmo possua o módulo da declinação maior

que o módulo da latitude da estação δ , e para que o fenômeno seja visível (acima do

horizonte) é necessário que δ e φ tenham o mesmo sinal.

Aplicando a Regra de Mauduit três vezes no triângulo retângulo da Figura

70 obtêm-se:

Figura 70 – Triângulo de posição retângulo no astro.

δsen

sen z cos

= (192)

cos

δ cosAsen = (193)

δ tg

tgH cos

= (194)

As equações (193) e (194) possibilitam dupla solução – ±A e ±H – sendo o

sinal positivo correspondente à elongação a oeste, e o sinal negativo à elongação a leste do

meridiano do observador.

Assim, a partir da equação (193) obtém-se o azimute do astro (AA) e, por

sua vez, possibilita a determinação do cálculo do azimute da mira (AM) (equação (191)).


172

Lista de estrelas


δ , sendo que, para que a elongação da estrela se processe acima do horizonte (seja

visível), é necessário que φ e δ tenha o mesmo sinal. Além disso, faz-se necessário o

conhecimento aproximado das coordenadas da estação onde serão efetuadas as observações,

ou seja, latitude, longitude e o meridiano local.




( ) 9261,00273790FHlλSS i00i +++= (195)





ângulo horário (H) das estrelas utilizando a seguinte equação:

δ tg

tgH cos

= (196)

A equação (196) admite duas raízes (±H), sendo o sinal positivo

atribuído para a elongação a oeste e o sinal negativo para a elongação

a leste do meridiano do lugar, sendo que nesse caso deve-se somar


estrelas tanto para a elongação a oeste quanto a leste, determina-se a

hora sideral local desses momentos utilizando a expressão S = H + α,

sendo a ascensão reta da estrela contida no catálogo;


siderais locais das elongações das estrelas (a oeste e leste), verifica-se

se as horas das elongações são superiores a hora sideral de início.

Caso algumas estrelas não atendam esse critério, descarta-as;


173


Equação (197), a qual utiliza a latitude aproximada do local e a


δsen

sen z cos 0

= (197)

▪ Calcula-se o azimute aproximado das estrelas (A0) a partir da Equação

(198), a qual utiliza a latitude aproximada do local e a declinação da

estrela contida no catálogo:

cos

δ cosAsen 0 = (198)

A equação (198) admite duas raízes (±A), sendo o sinal positivo



360º ao valor de –A;



equação (199):

F9261,00273790

λSSHl 0 −

−−= (199)











174

anotar os dados de campo (LM, LA e o instante cronométrico T). Um

exemplo de tabela que pode ser elaborada é apresentada a seguir:

Tabela 6 – Programa de observações para a determinação do azimute por estrelas em

elongação.

nº Est. Mag. S Z0 A0 LM LA T


Na elongação a estrela possui velocidade azimutal nula, assim a mesma

percorre o retículo vertical.













▪ Aproximadamente 3 minutos antes do horário previsto, registram-se




▪ No horário previsto (quando a estrela cruzar o retículo horizontal)

fazer com o que retículo vertical esteja sobre a estrela e, em seguida,

faz-se a leitura do ângulo azimutal LA e do instante cronométrico;

▪ Visar a mira e fazer a leitura do ângulo azimutal LM; e

▪ Repetir as três últimas etapas para as demais estrelas até o término do

programa de observações.


175




( ) 00 ΔδFHlδδ ++= ;

▪ Cálculo do azimute da estrela → cos

δ cosAsen A = ;

▪ Cálculo do azimute da mira → AMAM LLAA −+= ;

Determinado o azimute da mira a partir de cada estrela, faz-se a média e o

desvio-padrão do azimute.

13.3.3 Determinação do Azimute por Observações às Estrelas em Circum-elongação

Este método é semelhante ao da elongação, porém, não observa-se a estrela

no instante da elongação, mas sim momentos antes e momentos após a elongação, devido a

este fato é que o método é denominado de circum-elongação. Pelo fato das estrelas serem

observadas antes e depois da elongação, deve-se fazer pelo menos três observações antes da

elongação e três após a elongação.

Análogo ao método anterior, aplicando a Regra de Mauduit três vezes no

triângulo retângulo da Figura 70 obtêm-se:

δsen

sen z cos

= (200)

cos

δ cosAsen = (201)

δ tg

tgH cos

= (202)

Novamente, as equações (201) e (202) possibilitam dupla solução – ±A e

±H – sendo o sinal positivo correspondente à elongação a oeste, e o sinal negativo à

elongação a leste do meridiano do observador.


176

As equações (200), (201) e (202) possibilitam determinar a distância zenital,

azimute e a hora sideral (a partir do ângulo horário) aproximada das estrelas. Observada as

estrelas, registra-se o instante cronométrico e o ângulo azimutal das estrelas LA.

A partir do instante cronométrico estima-se a hora sideral utilizando a

equação (203):

( ) 91,00273790FHlλSS 0 +++= (203)

Com valor interpolado da ascensão reta, obtém-se o ângulo horário:

αS H −= (204)

Assim, o azimute do astro pode ser obtido por (deve-se interpolar a

declinação do astro):

cosδ tgH cossen

Hsen A tg A

−= (205)

Portanto:


Lista de estrelas


δ , sendo que, para que a elongação da estrela se processe acima do horizonte (seja

visível), é necessário que φ e δ tenha o mesmo sinal. Além disso, faz-se necessário o

conhecimento aproximado das coordenadas da estação onde serão efetuadas as observações,

ou seja, latitude, longitude e o meridiano local.





177

( ) 9261,00273790FHlλSS i00i +++= (207)





ângulo horário (H) das estrelas utilizando a seguinte equação:

δ tg

tgH cos

= (208)

A equação (208) admite duas raízes (±H), sendo o sinal positivo




estrelas tanto para a elongação a oeste quanto a leste, determina-se a

hora sideral local desses momentos utilizando a expressão S = H + α,

sendo a ascensão reta da estrela contida no catálogo;


siderais locais das elongações das estrelas (a oeste e leste), verifica-se

se as horas das elongações são superiores a hora sideral de início.

Caso algumas estrelas não atendam esse critério, descarta-as;


equação (209), a qual utiliza a latitude aproximada do local e a


δsen

sen z cos 0

= (209)

▪ Calcula-se o azimute aproximado das estrelas (A0) a partir da Equação

(210), a qual utiliza a latitude aproximada do local e a declinação da

estrela contida no catálogo:


178

cos

δ cosAsen 0 = (210)

A equação (210) admite duas raízes (±A), sendo o sinal positivo



360º ao valor de –A;



equação (211):

F9261,00273790

λSSHl 0 −

−−= (211)










anotar os dados de campo (LM, LA e o instante cronométrico T). Um

exemplo de tabela que pode ser elaborada é apresentada a seguir:

Tabela 7 – Programa de observações para a determinação do azimute por estrelas em circum-

elongação.

nº Est. Mag. S Z0 A0 LM LA T


179














▪ Aproximadamente 4 minutos antes do horário previsto, registram-se




▪ Faz-se a pontaria à estrela antes da elongação, observa-se o instante

cronométrico e o ângulo azimutal no momento que a estrela “cruza” o

retículo vertical. Após a elongação, faz-se novamente a pontaria à

estrela e observa-se o instante cronométrico e o ângulo azimutal. O

número de observação à estrela antes de sua elongação deve ser igual

ao número de observação após a sua elongação;

▪ Visar a mira e fazer a leitura do ângulo azimutal LM; e

▪ Repetir as três últimas etapas para as demais estrelas até o término do

programa de observações.




( ) 00 ΔδFHlδδ ++= ;

▪ Interpolação da ascensão reta da estrela para o instante da observação

→ ( ) 00 ΔαFHlαα ++= ;


180

▪ Cálculo da hora sideral local → ( ) 91,00273790FHlλSS 0 +++= ;

▪ Cálculo do ângulo horário → αS H −= ;

▪ Cálculo do azimute da estrela → cosδ tgH cossen

Hsen A tg A

−= ;

▪ Cálculo do azimute da mira → AMAM LLAA −+= ;

Determinado o azimute da mira a partir de cada estrela, faz-se a média e o

desvio-padrão do azimute.


Elaborar um programa de observações para a determinação do azimute pelo

método das observações às estrelas em circum-elongação em 3 de novembro de 2011 em PP

(φ0 = –22º 07’, λ0 = –3h 25min, F = +2), sendo que se pretende iniciar as observações às 20h.

Dados:




181


o ( ) 9261,00273790FHlλSS i00i +++= , onde:

• S0 = 2h 47min 37,595s;

• λ0 = -3h 25min;

• Hli = 20h; e

• F = +2.

14,44s26min 21h Si =


o Selecionam-se as estrelas cuja δ , φ e δ com o mesmo sinal, onde φ = -22º 07’.


35 ALFA SCL 4.3 00h 59min 09,5s -29º 17’ 44”

82 FI ERI 3.7 02h 16min 55,2s -51º 27’ 34”

86 KAPA ERI 4.3 02h 27min 24,4s -47º 39’ 10”

602 DELTA TRA 4.0 16h 16min 29,5s -63º 42’ 49”

1424 DELTA1 APS 4.7 16h 22min 06,0s -78º 43’ 21”

610 ZETA TRA 4.8 16h 29min 43,1s -70º 06’ 32”

625 ALFA TRA 1.8 16h 49min 53,5s -69º 02’ 50”

1435 ETA ARA 3.6 16h 50min 46,9s -59º 03’ 39”

631 ZETA ARA 3.0 16h 59min 34,4s -56º 00’ 25”

632 EPSILON1 ARA 4.1 17h 00min 30,1s -53º 10’ 37”

638 ETA SCO 3.3 17h 12min 58,6s -43º 15’ 11”

654 TETA SCO 2.0 17h 38min 08,7s -43º 00’ 14”

660 KAPA SCO 2.4 17h 43min 16,9s -39º 02’ 06”

666 IOTA1 SCO 3.0 17h 48min 23,3s -40º 07’ 49”

669 G SCO 3.2 17h 50min 38,4s -37º 02’ 45”

683 ETA SGR 3.1 18h 18min 24,2s -36º 45’ 26”

689 EPSILON SGR 2.0 18h 24min 56,0s -34º 22’ 42”

1496 TAU SGR 3.3 19h 07min 39,3s -27º 39’ 10”

736 52 SGR 4.6 19h 37min 24,3s -24º 51’ 26”

806 ZETA CAP 3.8 21h 27min 19,2s -22º 21’ 40”

o Calculo do ângulo horário das estrelas: δ tg

tgH cos

= → +H (oeste) e –H (leste)

nº Est. Mag. α δ +H (oeste) -H (leste)








182

nº Est. Mag. α δ +H (oeste) -H (leste)















o Calculo da hora sideral das estrelas: αHS += → SW (oeste) e SE (leste)

nº Est. Mag. α δ SW (oeste) SE (leste)






















183

3º Passo: Comparação da hora sideral de início e as horas siderais das elongações

o Descarta as elongações cuja hora sideral é inferior a 14,44s26min 21h Si = (destacada

em vermelho).

nº Est. Mag. α δ SW (oeste) SE (leste)





















4º Passo: Cálculo da distância zenital aproximada das estrelas

o δsen

sen z cos 0

= , onde φ = -22º 07’.

nº Est. Mag. α δ S (oeste/leste) Z0

35 4.3 00h 59min 09,5s -29º 17’ 44” 22h 04min 48,50s 39º 41’ 49,99”

82 3.7 02h 16min 55,2s -51º 27’ 34” 21h 32min 28,51s 61º 13’ 35,75”

86 4.3 02h 27min 24,4s -47º 39’ 10” 21h 54min 22,15s 59º 22’ 31,35”

602 4.0 16h 16min 29,5s -63º 42’ 49” 21h 30min 10,33s 65º 10’ 14,43”

1424 4.7 16h 22min 06,0s -78º 43’ 21” 22h 03min 30,39s 67º 25’ 26,88”

610 4.8 16h 29min 43,1s -70º 06’ 32” 21h 55min 53,77s 66º 23’ 53,01”

625 1.8 16h 49min 53,5s -69º 02’ 50” 22h 14min 04,88s 66º 13’ 28,65”

1435 3.6 16h 50min 46,9s -59º 03’ 39” 21h 54min 23,10s 63º 57’ 47,04”

631 3.0 16h 59min 34,4s -56º 00’ 25” 21h 55min 57,15s 62º 59’ 35,48”

632 4.1 17h 00min 30,1s -53º 10’ 37” 21h 49min 38,55s 61º 56’ 39,65”

638 3.3 17h 12min 58,6s -43º 15’ 11” 21h 30min 36,42s 56º 40’ 15,05”

654 2.0 17h 38min 08,7s -43º 00’ 14” 21h 54min 48,81s 56º 29’ 43,23”

660 2.4 17h 43min 16,9s -39º 02’ 06” 21h 42min 57,33s 53º 17’ 14,07”

666 3.0 17h 48min 23,3s -40º 07’ 49” 21h 53min 05,95s 54º 15’ 28,14”

669 3.2 17h 50min 38,4s -37º 02’ 45” 21h 40min 20,29s 51º 19’ 21,58”

683 3.1 18h 18min 24,2s -36º 45’ 26” 22h 06min 33,23s 51º 00’ 47,75”


184

nº Est. Mag. α δ S (oeste/leste) Z0

689 2.0 18h 24min 56,0s -34º 22’ 42” 21h 59min 09,91s 48º 10’ 54,86”

1496 3.3 19h 07min 39,3s -27º 39’ 10” 21h 44min 12,50s 35º 47’ 07,43”

736 4.6 19h 37min 24,3s -24º 51’ 26” 21h 32min 10,15s 26º 24’ 28,99”

806 3.8 21h 27min 19,2s -22º 21’ 40” 22h 03min 00,94s 8º 15’ 45,10”

5º Passo: Cálculo do azimute aproximado das estrelas

o cos

δ cosAsen 0 = , onde φ = -22º 07’.

nº Est. Mag. α δ S (oeste/leste) Z0 Az

35 4.3 00h 59min 09,5s -29º 17’ 44” 22h 04min 48,50s 39º 41’ 49,99” 289º 42’ 58,80”

82 3.7 02h 16min 55,2s -51º 27’ 34” 21h 32min 28,51s 61º 13’ 35,75” 317º 44’ 07,37”

86 4.3 02h 27min 24,4s -47º 39’ 10” 21h 54min 22,15s 59º 22’ 31,35” 313º 21’ 14,90”

602 4.0 16h 16min 29,5s -63º 42’ 49” 21h 30min 10,33s 65º 10’ 14,43” 28º 33’ 25,06”

1424 4.7 16h 22min 06,0s -78º 43’ 21” 22h 03min 30,39s 67º 25’ 26,88” 12º 11’ 11,19”

610 4.8 16h 29min 43,1s -70º 06’ 32” 21h 55min 53,77s 66º 23’ 53,01” 21º 32’ 47,51”

625 1.8 16h 49min 53,5s -69º 02’ 50” 22h 14min 04,88s 66º 13’ 28,65” 22º 42’ 21,15”

1435 3.6 16h 50min 46,9s -59º 03’ 39” 21h 54min 23,10s 63º 57’ 47,04” 33º 42’ 29,22”

631 3.0 16h 59min 34,4s -56º 00’ 25” 21h 55min 57,15s 62º 59’ 35,48” 37º 07’ 15,10”

632 4.1 17h 00min 30,1s -53º 10’ 37” 21h 49min 38,55s 61º 56’ 39,65” 40º 18’ 43,01”

638 3.3 17h 12min 58,6s -43º 15’ 11” 21h 30min 36,42s 56º 40’ 15,05” 51º 49’ 48,60”

654 2.0 17h 38min 08,7s -43º 00’ 14” 21h 54min 48,81s 56º 29’ 43,23” 52º 07’ 43,26”

660 2.4 17h 43min 16,9s -39º 02’ 06” 21h 42min 57,33s 53º 17’ 14,07” 56º 58’ 38,64”

666 3.0 17h 48min 23,3s -40º 07’ 49” 21h 53min 05,95s 54º 15’ 28,14” 55º 37’ 10,94”

669 3.2 17h 50min 38,4s -37º 02’ 45” 21h 40min 20,29s 51º 19’ 21,58” 59º 29’ 26,70”

683 3.1 18h 18min 24,2s -36º 45’ 26” 22h 06min 33,23s 51º 00’ 47,75” 59º 51’ 40,48”

689 2.0 18h 24min 56,0s -34º 22’ 42” 21h 59min 09,91s 48º 10’ 54,86” 62º 59’ 01,94”

1496 3.3 19h 07min 39,3s -27º 39’ 10” 21h 44min 12,50s 35º 47’ 07,43” 72º 57’ 56,30”

736 4.6 19h 37min 24,3s -24º 51’ 26” 21h 32min 10,15s 26º 24’ 28,99” 78º 21’ 26,19”

806 3.8 21h 27min 19,2s -22º 21’ 40” 22h 03min 00,94s 8º 15’ 45,10” 86º 37’ 00,11”

6º Passo: Ordenação das estrelas selecionadas pela hora sideral local


602 4.0 16h 16min 29,5s -63º 42’ 49” 21h 30min 10,33s 65º 10’ 14,43” 28º 33’ 25,06”

638 3.3 17h 12min 58,6s -43º 15’ 11” 21h 30min 36,42s 56º 40’ 15,05” 51º 49’ 48,60”

736 4.6 19h 37min 24,3s -24º 51’ 26” 21h 32min 10,15s 26º 24’ 28,99” 78º 21’ 26,19”

82 3.7 02h 16min 55,2s -51º 27’ 34” 21h 32min 28,51s 61º 13’ 35,75” 317º 44’ 07,37”

669 3.2 17h 50min 38,4s -37º 02’ 45” 21h 40min 20,29s 51º 19’ 21,58” 59º 29’ 26,70”

660 2.4 17h 43min 16,9s -39º 02’ 06” 21h 42min 57,33s 53º 17’ 14,07” 56º 58’ 38,64”

1496 3.3 19h 07min 39,3s -27º 39’ 10” 21h 44min 12,50s 35º 47’ 07,43” 72º 57’ 56,30”

632 4.1 17h 00min 30,1s -53º 10’ 37” 21h 49min 38,55s 61º 56’ 39,65” 40º 18’ 43,01”

666 3.0 17h 48min 23,3s -40º 07’ 49” 21h 53min 05,95s 54º 15’ 28,14” 55º 37’ 10,94”

86 4.3 02h 27min 24,4s -47º 39’ 10” 21h 54min 22,15s 59º 22’ 31,35” 313º 21’ 14,90”

1435 3.6 16h 50min 46,9s -59º 03’ 39” 21h 54min 23,10s 63º 57’ 47,04” 33º 42’ 29,22”


185


654 2.0 17h 38min 08,7s -43º 00’ 14” 21h 54min 48,81s 56º 29’ 43,23” 52º 07’ 43,26”

610 4.8 16h 29min 43,1s -70º 06’ 32” 21h 55min 53,77s 66º 23’ 53,01” 21º 32’ 47,51”

631 3.0 16h 59min 34,4s -56º 00’ 25” 21h 55min 57,15s 62º 59’ 35,48” 37º 07’ 15,10”

689 2.0 18h 24min 56,0s -34º 22’ 42” 21h 59min 09,91s 48º 10’ 54,86” 62º 59’ 01,94”

806 3.8 21h 27min 19,2s -22º 21’ 40” 22h 03min 00,94s 8º 15’ 45,10” 86º 37’ 00,11”

1424 4.7 16h 22min 06,0s -78º 43’ 21” 22h 03min 30,39s 67º 25’ 26,88” 12º 11’ 11,19”

35 4.3 00h 59min 09,5s -29º 17’ 44” 22h 04min 48,50s 39º 41’ 49,99” 289º 42’ 58,80”

683 3.1 18h 18min 24,2s -36º 45’ 26” 22h 06min 33,23s 51º 00’ 47,75” 59º 51’ 40,48”

625 1.8 16h 49min 53,5s -69º 02’ 50” 22h 14min 04,88s 66º 13’ 28,65” 22º 42’ 21,15”


o 14,44s26min 1h 14,44s26min 21h 20hSHlΔT ii −=−=−= , portanto em um relógio

piloto soma-se 1h 26min 14,44s da hora legal. Assim o relógio piloto estará marcando a

hora sideral aproximada.

8º Passo: Elaboração do programa de observações

nº Est. Mag. S Z0 Az LM LA T

602 4.0 21h 30min 10,33s 65º 10’ 14,43” 28º 33’ 25,06”

638 3.3 21h 30min 36,42s 56º 40’ 15,05” 51º 49’ 48,60”

736 4.6 21h 32min 10,15s 26º 24’ 28,99” 78º 21’ 26,19”

82 3.7 21h 32min 28,51s 61º 13’ 35,75” 317º 44’ 07,37”

669 3.2 21h 40min 20,29s 51º 19’ 21,58” 59º 29’ 26,70”

660 2.4 21h 42min 57,33s 53º 17’ 14,07” 56º 58’ 38,64”

1496 3.3 21h 44min 12,50s 35º 47’ 07,43” 72º 57’ 56,30”

632 4.1 21h 49min 38,55s 61º 56’ 39,65” 40º 18’ 43,01”

666 3.0 21h 53min 05,95s 54º 15’ 28,14” 55º 37’ 10,94”

86 4.3 21h 54min 22,15s 59º 22’ 31,35” 313º 21’ 14,90”

1435 3.6 21h 54min 23,10s 63º 57’ 47,04” 33º 42’ 29,22”

654 2.0 21h 54min 48,81s 56º 29’ 43,23” 52º 07’ 43,26”

610 4.8 21h 55min 53,77s 66º 23’ 53,01” 21º 32’ 47,51”

631 3.0 21h 55min 57,15s 62º 59’ 35,48” 37º 07’ 15,10”

689 2.0 21h 59min 09,91s 48º 10’ 54,86” 62º 59’ 01,94”

806 3.8 22h 03min 00,94s 8º 15’ 45,10” 86º 37’ 00,11”

1424 4.7 22h 03min 30,39s 67º 25’ 26,88” 12º 11’ 11,19”

35 4.3 22h 04min 48,50s 39º 41’ 49,99” 289º 42’ 58,80”

683 3.1 22h 06min 33,23s 51º 00’ 47,75” 59º 51’ 40,48”

625 1.8 22h 14min 04,88s 66º 13’ 28,65” 22º 42’ 21,15”


186


Determinar o azimute de uma mira pelo método das observações às estrelas

em circum-elongação com base nos seguintes dados coletados em campo em PP (φ0 = –22º

07’ 18”, λ0 = –3h 25min 38s, F = +2) para 3 de novembro de 2011. Observação: foram

observados as estrelas apenas antes da elongação.

nº Est. Mag S Z0 Az LM LA T 602 4.0 21h 30min 10,33s 65º 10’ 14,43” 28º 33’ 25,06”

638 3.3 21h 30min 36,42s 56º 40’ 15,05” 51º 49’ 48,60”

736 4.6 21h 32min 10,15s 26º 24’ 28,99” 78º 21’ 26,19”

82 3.7 21h 32min 28,51s 61º 13’ 35,75” 317º 44’ 07,37”

669 3.2 21h 40min 20,29s 51º 19’ 21,58” 59º 29’ 26,70”

660 2.4 21h 42min 57,33s 53º 17’ 14,07” 56º 58’ 38,64”

1496 3.3 21h 44min 12,50s 35º 47’ 07,43” 72º 57’ 56,30”

632 4.1 21h 49min 38,55s 61º 56’ 39,65” 40º 18’ 43,01”

666 3.0 21h 53min 05,95s 54º 15’ 28,14” 55º 37’ 10,94”

86 4.3 21h 54min 22,15s 59º 22’ 31,35” 313º 21’ 14,90”

1435 3.6 21h 54min 23,10s 63º 57’ 47,04” 33º 42’ 29,22”

654 2.0 21h 54min 48,81s 56º 29’ 43,23” 52º 07’ 43,26”

610 4.8 21h 55min 53,77s 66º 23’ 53,01” 21º 32’ 47,51”

631 3.0 21h 55min 57,15s 62º 59’ 35,48” 37º 07’ 15,10”

689 2.0 21h 59min 09,91s 48º 10’ 54,86” 62º 59’ 01,94” 297º 40’ 63º 04’ 40” 20h 33min 03s

806 3.8 22h 03min 00,94s 8º 15’ 45,10” 86º 37’ 00,11”

1424 4.7 22h 03min 30,39s 67º 25’ 26,88” 12º 11’ 11,19”

35 4.3 22h 04min 48,50s 39º 41’ 49,99” 289º 42’ 58,80”

683 3.1 22h 06min 33,23s 51º 00’ 47,75” 59º 51’ 40,48” 297º 40’ 59º 57’ 21” 20h 40min 42s

625 1.8 22h 14min 04,88s 66º 13’ 28,65” 22º 42’ 21,15” 297º 40’ 22º 46’ 55” 20h 45min 46s

Figura 72 – Posições aparentes das estrelas 625, 683 e 689 no trânsito pelo meridiano de

Greenwich, 2009.


187


1º Passo: Interpolação da declinação das estrelas (como o estado o relógio é nulo, o instante

cronométrico T é igual a hora legal Hl)

o Estrela 689:


=+= FHlTU


=+= dia24

TUTUd


XI 2,6d → 52,24" 22' 34δ2,6

−=

XI 12,6d → 51,60" 22' 34δ12,6

−= 0,64"Δδ10d =→

6d1,339618052,6d6d3,939618052,6dTUΔTU d =−=−=

se

→

=→

x 6d1,33961895

0,64"Δδ10d x =

=+= xδδ 2,6

689

63,93961895

o Estrela 683:


=+= FHlTU


=+= dia24

TUTUd


XI 2,6d → 36,17" 45' 36δ2,6

−=

XI 12,6d → 35,40" 45' 36δ12,6

−= 0,77"Δδ10d =→

6d1,344930552,6d6d3,944930552,6dTUΔTU d =−=−=

se

→

=→

x 6d1,34493955

0,77"Δδ10d x =

=+= xδδ 2,6

683

63,94493055


188

o Estrela 625:


=+= FHlTU


=+= dia24

TUTUd


XI 2,6d → 52,05" 02' 69δ2,6

−=

XI 12,6d → 49,56" 02' 69δ12,6

−= 2,49"Δδ10d =→

4d1,348449072,6d4d3,948449072,6dTUΔTU d =−=−=

se

→

=→

x 4d1,34844907

2,49"Δδ10d x =

=+= xδδ 2,6

625

43,94844907

2º Passo: Interpolação da ascensão reta das estrelas

o Estrela 689:


XI 2,6d → 49,626s24min 18h α2,6 =

XI 12,6d → 49,518s24min 18h α12,6 = 0,108sΔα10d −=→

6d1,33961805ΔTU=

se

→

−=→

x 61,33961805

0,108sΔα10d x =

=+= xαα 2,6

689

63,93961805

o Estrela 683:


XI 2,6d → 17,613s18min 18h α2,6 =

XI 12,6d → 17,505s18min 18h α12,6 = 0,108sΔα10d −=→

6d1,34493055ΔTU=

se

→

−=→

x 61,34493055

0,108sΔα10d x =


189

=+= xαα 2,6

683

63,94493055

o Estrela 625:


XI 2,6d → 41,303s49min 16h α2,6 =

XI 12,6d → 41,186s49min 16h α12,6 = 0,117sΔα10d −=→

4d1,34844907ΔTU=

se

→

−=→

x 41,34844907

0,117sΔα10d x =

=+= xαα 2,6

625

43,94844907

3º Passo: Cálculo da hora sideral local das estrelas

o Estrela 689:

( ) 91,00273790FHlλSS 6890689 +++=

( ) 91,00273790203s33min 20h 38s25min 3h 37,595s47min 2h S689 ++−=

=689S

o Estrela 683:

( ) 91,00273790FHlλSS 6830683 +++=


=683S

o Estrela 625:

( ) 91,00273790FHlλSS 6250625 +++=


=625S

4º Passo: Cálculo do ângulo horário das estrelas

o Estrela 689:

=−= 689689689 αSH

o Estrela 683:

=−= 683683683 αSH


190

o Estrela 625:

=−= 625625625 αSH

5º Passo: Cálculo do azimute da estrela

o Estrela 689:

cosδ tgH cossen

Hsen A tg

689689

689689

−=

( ) ( ) ( )18" 07' 22cos52,15" 22' 34tg 48,87" 28' 53 cos18" 07' 22sen

48,87" 28' 53sen A tg 689

−−−−=

=689A

o Estrela 683:

cosδ tgH cossen

Hsen A tg

683683

683683

−=

( ) ( ) ( )18" 07' 22cos36,07" 45' 36tg 52,83" 01' 57 cos18" 07' 22sen

52,83" 01' 57sen A tg 683

−−−−=

=683A

o Estrela 625:

cosδ tgH cossen

Hsen A tg

625625

625625

−=

( ) ( ) ( )18" 07' 22cos51,71" 02' 69tg 10,10" 27' 80 cos18" 07' 22sen

10,10" 27' 80sen A tg 625

−−−−=

=625A

6º Passo: Cálculo do azimute da mira

o Estrela 689:

=−+= 689

689

M689

689

M LLAA

o Estrela 683:

=−+= 683

683

M683

683

M LLAA

o Estrela 625:

=−+= 625

625

M625

625

M LLAA

=médio

MA


191

14 DETERMINAÇÃO DE ALTA PRECISÃO

14.1 Determinação da Latitude pelo Método de Horrebow-Talcott

O método de Horrebow-Talcott é o mais preciso que existe para a

determinação da latitude em Astronomia de Posição. Horrebow (1732) foi o primeiro

geodesista que a teve a ideia de combinar as observações de duas estrelas que culminam em

lados opostos do zênite para a determinação da latitude.

Considerando ZS a distância zenital e δS a declinação da estrela ao Sul do

zênite, e ZN a distância zenital e δN a declinação da estrela ao Norte do zênite, tem-se, na

passagem meridiana:

NN

SS

zδ

zδ

−=

+=

(212)

Somando as duas expressões da equação (212) têm-se a Formula de

Horrebow (equação (213)):

2

zz

2

δδzzδδ2 NSNS

NSNS

−+

+=−++= (213)

O capitão Norte-Americano Talcott apresentou em 1834 a luneta zenital

(luneta astronômica de forte aumento, com micrômetro ocular para a medida direta da

diferença das distâncias zenitais das estrelas do par de Horrebow e dotada de nível de grande

sensibilidade para correção do erro de verticalismo).

A medida de pequenas diferenças de distâncias zenitais meridianas com o

micrômetro é feita com grande precisão, da mesma maneira o nível de Talcott permite

determinar com suficiente precisão a correção diferencial do verticalismo. Como as duas

estrelas tem praticamente a mesma altura, a correção diferencial da refração pode ser,

também, calculada com grande precisão.


192

Restrições impostas ao método para a elaboração do programa de

observações, com o intuito de obter resultados de alta precisão:

1. As distâncias zenitais observadas (z’N e z’S) devem ser menores que

30º (z’N < 30º e z’S < 30º);

2. A diferença entre as distâncias zenitais das estrelas de cada par não

deve exceder 20’ ( 20'zz '

S

'

N − );

3. O intervalo de tempo decorrido entre a observação da estrela ao Sul e

da estrela ao Norte do zênite não deve ser inferior a 4 minutos e não

deve exceder 15 minutos ( min 15ααmin4 SN − );

4. O intervalo mínimo entre dois pares de estrelas deve ser de 5 minutos;

5. O brilho das estrelas deve ser entre 3.0 e 7.0 (7.0 < mag. < 3.0), pois

estrelas de brilho superior a 3.0 dificultam as observações;

6. Quando a 1ª estrela for observada com a ocular W/E, a segunda deverá

ser com a ocular E/W. Geralmente a 2ª estrela de um par e a 1ª do par

seguinte são observadas na mesma posição da ocular;

7. Para calcular a correção do cronômetro sobre a hora sideral local,

devem-se receber sinais horários durante as observações;

8. A pressão atmosférica e a temperatura do ar devem ser observadas no

começo e no final das observações de um grupo de estrelas;

9. Deve-se observar 3 grupos de estrelas, onde cada grupo contém 20

estrelas (10 pares);

10. É sempre útil que os pares sejam selecionados de tal maneira que a

soma algébrica das diferenças micrométricas das distâncias zenitais

seja menor que o número total de pares; e

11. Sempre que possível, em cada noite, devem ser observados pares

formados por estrelas diferentes dos observados nas noites anteriores.

Lista de estrelas

Calculada a hora sideral do início das observações, escolhe-se uma estrela

de ascensão reta próxima da hora sideral calculada e de magnitude entre 3.0 e 7.0, tal que:

30δz 10 −= (214)


193

isto é, a estrela deve possuir declinação compreendida entre φ0 ± 30º e φ0. A distância zenital

calculada da equação (214) pode apresentar valor negativo ou positivo, sendo que +

corresponde a estrelas ao Sul do zênite (A = 0º) e – a estrelas ao Norte do zênite (A = 180º).

Encontrada a primeira estrela do par tem-se, para a 2ª estrela:

20'δ2δ 102 − (215)

Assim, procurar-se uma estrela de declinação δ2, de magnitude entre 3.0 e

7.0 e que atenda a restrição número 3 ( min 15ααmin4 SN − ). Dessa forma, a distância

zenital de calagem para ambas as estrelas é a distância zenital média:

2

δδz

δz

δzSN

0N

S0 −=

−=

−=

(216)

As posições que as lunetas, com a ocular de cotovelo, podem ocupar durante

as observações são:

▪ Estrela ao Sul → OW Estrela ao Norte → OE; e

▪ Estrela ao Sul → OE Estrela ao Norte → OW.

No primeiro caso a distância zenital de calagem é a calculada, já no

segundo, é tomado o seu replemento (o que falta para 360º).

Para a elaboração dos demais pares de estrelas, devem-se atender as

restrições 4, 9, 10 e 11.


▪ O instrumento deve estar no meridiano, com um erro máximo de 3”;

▪ Uma lista de observações é preparada incluindo todas as estrelas

disponíveis;

▪ As comparações radio-cronômetro são feitas no início e no término de

cada período (noite). Se for necessário, faz-se no início e no término

de cada grupo de estrelas. Três observações consecutivas de tempo

devem ser feitas, isto é, ler o cronômetro no começo de um período de

5 minutos e duas vezes mais nos pulsos de minutos identificáveis. Não


194

é necessário tomar comparações rádio-cronômetro entre grupos de

estrelas a menos que o intervalo entre eles sejam maior que duas

horas;

▪ A pressão atmosférica e a temperatura são registradas no início e no

término de cada grupo;

▪ As estrelas observadas são usualmente selecionadas de maneira que

uma estrela Sul é observada depois de uma estrela Norte, ou vice-

versa. Não é aconselhável observar mais do que duas estrelas Norte ou

duas estrelas Sul sucessivamente;

▪ Na observação dos grupos, todas as estrelas são observadas em uma

posição do círculo vertical, isto é, posição direta ou inversa. Números

iguais de grupos são observados com a posição do círculo à esquerda e

a direita (alternadamente);

▪ Cerca de um minuto e meio deve ser permitido entre passagens

sucessivas de estrelas, quando ambas estão no mesmo lado do zênite.

Dois minutos são permitidos quando o instrumento for invertido, isto

é, uma estrela Norte seguida de estrela Sul; e

▪ Na observação de cada estrela deve-se registrar na caderneta o instante

cronométrico, a distância zenital, leituras do nível vertical (esquerda e

direita), número da estrela e sua posição com relação ao zênite.


Após o cálculo da latitude (análogo ao método de Sterneck, pág. 133),

devem ser feitas as correções redução ao nível do mar, redução ao polo médio e redução à

estação geodésica, conforme segue:

▪ Redução ao nível do mar (RNMM): essa correção parte da

suposição de que a Terra é um elipsoide e que não existem

irregularidades nas superfícies equipotenciais. Já que a força da

gravidade é menor no Equador do que nos Polos, deduz-se que uma

superfície equipotencial é mais afastada do nível do mar no Equador

do que nos Polos. As superfícies equipotenciais são paralelas entre si

nos Polos e no Equador. Portanto, as normais a cada superfície, no

mesmo meridiano, não são paralelas. A redução ao nível médio do


195

mar decorre da convergência das superfícies de nível, e seu valor

teórico para o elipsoide internacional é dado por:

2sen H0,000172"RNMM −= (217)

onde H é a altitude ortométrica em metros e φ a latitude da estação;

▪ Redução ao polo médio (RPM): destina-se a corrigir o efeito

denominado “variação das latitudes”, decorrente da variação da

posição do eixo de rotação na superfície da Terra. A correção é dada

por:

( )λsen yλ cosx"RPM −−= (218)

onde x e y são as coordenadas do polo instantâneo e λ a longitude da

estação;

▪ Redução à estação geodésica (REG): quando a determinação da

latitude astronômica não for na estação geodésica, deve-se reduzi-la a

esta estação. A redução é feita através da seguinte equação:

M

Az cosDREG

−= (219)

onde D é a distância em metros entre os pontos, Az o azimute da

estação geodésica a estação astronômica, e M o raio médio de

curvatura da seção meridiana, dado por:

( )( )3/222

2

sene1

e1aM

−

−= (220)

onde a é semieixo maior do elipsoide, e a 1ª excentricidade.

Assim, a latitude astronômica da estação geodésica (φa) é finalmente obtida

aplicando todas as correções na latitude calculada:

REGRPMRNMMa +++= (221)


196

14.2 Determinação da Longitude pelo Método de Mayer

Dentre os vários métodos de determinação da longitude astronômica, o

método de Mayer é o mais utilizado nas determinações de alta precisão. Este método

proporciona resultados com um erro médio inferior a 0,1”, sendo de fácil operacionalidade.

Longitude astronômica e hora local são valores iguais, expressos em

grandezas deferentes, pois a grandeza hora representa intervalo de tempo e a grandeza

longitude representa um ângulo, onde uma hora corresponde a um ângulo de quinze graus

(15o). Então a diferença de horas locais de dois pontos é o mesmo que a diferença de

longitude entre esses pontos. Se um desses pontos estiver contido no meridiano médio de

Greenwich (origem da longitude astronômica), conclui-se que esta diferença de longitude será

a própria longitude astronômica do ponto.

Na passagem meridiana, o ângulo horário do astro é nulo. Com auxílio da

Fórmula Fundamental da Astronomia de Posição, conclui-se que a ascensão reta do astro é,

numericamente, igual à hora sideral da passagem meridiana do astro:

αS :que se tem0H com α,HS =−=+= (222)

Determinada a hora sideral local (S), a longitude () é dada pela relação:

GSSλ −= (223)

onde SG represente a hora sideral de Greenwich.

A determinação da hora sideral local consiste em determinar o instante do

astro em sua passagem meridiana. Devido a erros acidentais e sistemáticos, o instante

cronométrico não corresponde à exata passagem meridiana do astro. Estes erros () podem ser

minimizados através da equação de Mayer modificada:

kCcBbAaτ +++= (224)

onde:

τ – redução do instante cronométrico ao meridiano;

A – fator de azimute;


197

a – desvio azimutal do instrumento (incógnita da equação de Mayer, mas pode ser

determinada pelo MMQ);

B – fator de nível;

b – inclinação do eixo secundário do instrumento;

C – fator de colimação; e

K – aberração diária.

Sendo:

( ) δ secδsenA −= (225)

( ) δ secδ cosB −= (226)

( ) d/60ΔEΔW b −= (227)

δ secC = (228)

( ) R/200sm c −= (229)

H cosδ sec coss0,02132k = (230)

onde:

ΔW – diferença aritmética da maior e menor leitura do nível (ocular a oeste);

ΔE – diferença aritmética da maior e menor leitura do nível (ocular a leste);

d – sensibilidade do nível;

m – movimento perdido do micrômetro impessoal;

s – espessura média dos contatos do micrômetro;

R – valor equatorial da volta do micrômetro; e

H – ângulo horário da estrela.

Aplicando estas correções, a expressão da Mayer assumirá:

( )kCcBbAaSαλ G ++++−= (231)

Considerando:

0λλΔλ −= (232)


198

onde:

Δλ – correção à longitude;

λ – longitude do ponto obtida pelo método de Mayer; e

λ0 – longitude aproximada do ponto.

Pode-se obter a equação de verificação:

0kCcBbAaSαλ G0 =+++++−+ (233)

Para alcançar resultados de alta precisão, na determinação da longitude

astronômica, são impostas algumas restrições às estrelas, conforme segue:

1. Devem estar catalogadas no FK5 (5o catálogo fundamental) ou

A.P.F.S.;

2. Ter magnitude entre 3,0 e 7,0;

3. O fator de azimute (A) de qualquer estrela não deve exceder 0,60, e a

soma algébrica do fator (A) em um grupo não deve exceder 1,0;

4. Devem ser observados pelo menos seis grupos de estrelas, e também

devem ser observadas em pelo menos duas noites de trabalhos;

5. O número mínimo de estrelas em um grupo é cinco. Quando um

determinado número de estrelas forma um grupo, elas devem ser

exatamente divididas entre estrelas Norte e Sul;

6. Os contatos de registros do cronógrafo para determinar o tempo de

passagem da estrela devem ser 20 e no mínimo 10 pares, para obter

uma observação de boa precisão;

7. As comparações rádio-cronômetros são feitas no início e no fim de

cada período de observação (noite). As comparações contêm não

menos do que 20 sinais de rádio; e

8. No cálculo de séries individuais, o resíduo de qualquer estrela não

deve exceder um valor absoluto 0,08s sec .


199


▪ O instrumento é cuidadosamente ajustado e posicionado no meridiano

com um erro de azimute menor que 1”, antes das observações

começarem. Durante as observações as diferenças no nível (W – E)

não devem nunca exceder 10 divisões e o somatório das diferenças do

nível para todas as séries de longitudes devem ser próximas de zero. O

instrumento não pode ser renivelado durante uma série de passagens;

▪ Antes de começar as observações uma lista de estrelas é preparada.

Esta lista contém todas estrelas disponíveis com considerações dadas

ao fator “A”;

▪ Nas comparações rádio-cronômetro, o cronômetro deve ser ajustado o

mais próximo possível da hora local (ele não deve ser alterado durante

o período de observação);

▪ O cronógrafo registra dez pares de instante cronométrico para cada

estrela, e posteriormente é calculado o valor médio;

▪ São registradas a temperatura e pressão no início e o fim de cada

grupo, o tipo de cronógrafo, a emissora de rádio que foi usada na

observação, a data (dia, mês e ano). Além disso, para cada estrela são

registradas as quatros leituras no nível, sendo duas com o instrumento

na posição leste e duas com o instrumento na posição oeste;

▪ Antes de selecionar as passagens das estrelas as comparações rádio-

cronômetro são selecionadas e calculadas para saber se são

aproveitáveis. As comparações incorretas ou insuficientes podem

causar rejeição de uma ou mais séries. São registradas a hora

transmitida do sinal (hora da rádio), e a hora cronométrica local do

sinal (correspondendo a hora cronométrica). Com a fita de saídas as

comparações rádio-cronômetro, são identificadas e então,

selecionados os minutos exatos para cada segundo cronométrico e

cada sinal de rádio identificável. Pelo menos 20 sinais são

selecionados. A época média dotada é a hora de segundo cheio mais

próxima da época média. A leitura média selecionada é a média das

horas cronométricas selecionada mais próximas de 0,0001s;


200

▪ Depois de calcular todas as épocas de sinal médio de rádio e suas

correspondentes horas cronométricas, devemos determinar a marcha e

estado do cronômetro;

▪ O tempo despendido para um sinal de rádio ser transportado da

estação transmissora à estação no campo não é instantâneo e varia

com a distância entre as duas estações. Quando usamos apenas um

sinal fonte, a correção é uma constante em qualquer estação no campo

e é aplicada na longitude observada; e

▪ Pequenas correções devem ser aplicadas aos sinais de tempo emitidos

pelas estações de rádio. Essa correção é divulgada pelo boletim B do

Boureau International de l’Heure (BIH).


Calculados todos os valores da longitude para cada grupo e determinado o

valor da longitude final através da média aritmética, e de posse dos resíduos, são aplicados os

testes de rejeição da série.

A longitude final determinada pelas séries aproveitáveis precisa ser

submetida às seguintes correções:

▪ Redução ao polo médio (RPM):



estação;

▪ Redução à estação geodésica (REG):

M

Az cosDREG

−= (235)

onde D é a distância em metros entre os pontos, Az o azimute da

estação geodésica a estação astronômica, e M o raio médio de

curvatura da seção meridiana, dado por:


201

( )( )3/222

2

sene1

e1aM

−

−= (236)

onde a é semieixo maior do elipsoide, e a 1ª excentricidade.

Assim, a latitude astronômica da estação geodésica (λa) é finalmente obtida

aplicando todas as correções na longitude calculada:

TTREGRPMλλa +++= (237)

14.3 Determinação do Azimute Através de Observações à Estrela Polar Sul Sigma

Octantis (σOct)

Este método utiliza o ângulo horário da estrela (H), a colatitude (90o – ) e a

distância polar (90o – ) para calcular o azimute (A) de uma estrela. É empregado nos lugares

de latitudes médias, nas determinações de alta precisão, servindo para orientação das redes

fundamentais. O método consiste na observação da estrela de brilho 5,5 Sigma Octantis (Oct)

em um instante qualquer (mas a estrela deve estar afastada de meridiano local de pelo menos

uma hora).

Pelo fato da estrela Oct estar “próxima” ao Polo Sul (possui declinação

aproximada de 88o 58’), possui uma velocidade azimutal “muito baixa” (descreve um arco de

aproximadamente 2o em 24 horas siderais). Diante do exposto, a estrela está praticamente

elongando 20 horas em seu movimento diurno.

Para a determinação de Alta Precisão o erro provável do azimute médio

astronômico não deve ser maior que 0,3”. Assim, para alcançar resultados de alta precisão, na

determinação do azimute astronômico, são impostas algumas restrições às estrelas, conforme

segue:

1. Devem ser observados dois grupos, cada um contendo 16 posições.

Pelo menos 12 posições devem ser aceitáveis em cada grupo;

2. Os grupos devem ser separados por um período mínimo de quatro

horas e preferencialmente serem observados em noites diferentes;

3. Qualquer observação com um resíduo maior que 5,0” (em valor

absoluto) deverá ser rejeitada;


202

4. Os azimutes médios de cada grupo são calculados separadamente. Se o

azimute médio dos dois grupos diferirem mais que 1”, um terceiro

grupo de 16 posições deve ser observado;

5. Quando mais do que dois grupos forem observados, o azimute de

qualquer grupo deve ter um resíduo menor que 1” do azimute final.


▪ Basicamente, o método consiste em observar a estrela Oct em um

instante qualquer afastado do meridiano, de preferência na elongação;

▪ O instrumento deve ser precisamente nivelado sobre a estação. As

linhas de visada para a mira e para a estrela devem ser desobstruídas;

▪ As comparações rádio-cronômetro devem ser obtidas antes de começar

a observação do grupo e imediatamente após o término deste. O

cronômetro será ajustado o mais próximo da hora sideral local. A

precisão da comparação deve estar dentro de 0,2s;

▪ O astro e a mira devem ser medidos 32 vezes (cada um); 16 em cada

posição do círculo horizontal. O intervalo de reiteração é 11o 15’;

▪ É recomendável que as observações se realizem pelo em duas noites

diferentes, ou na mesma noite com quatro horas de intervalo entre os

grupos;

▪ A mira deve estar afastada do ponto estação a fim de que eles sejam

observados com a mesma focalização;

▪ No caso de um grupo com 16 observações, são cronometrados 2

instantes em cada observação (astro e mira), um no início (mira) e

outro no fim (astro) fornecendo um total de 32 instantes cronométricos

no grupo; e

▪ O cronômetro deve ser acertado o mais próximo possível da hora

sideral local. O estado, marcha do cronômetro devem ser corrigidos

para o instante da observação.


203


Para calcular o azimute do astro no instante de observação utiliza-se:

cosδ tgH cossen

Hsen A tg A

−= (238)

Assim, o azimute da mira é obtido pela equação:


No entanto, algumas correções devem ser aplicadas as observações:

▪ Correção da curvatura (CC): o intervalo de tempo entre as duas

pontarias direta e inversa sobre a estrela devem ser tão pequenas

quanto possível. O resultado do azimute é calculado usando a média

dos instantes cronométricos e a média das pontarias do instrumento. O

azimute assim calculado é o azimute do ângulo horário médio e não é

igual ao azimute médio da hora cronométrica das pontarias individuais

na observação. A razão do azimute variar constantemente é devido a

curvatura da órbita aparente de uma estrela. A expressão geral para o

cálculo da correção é:

( )1"sen

A tg2Tsen2CC A

2 −= (240)

com: ( ) 2ttT 12 −= , sendo t1 o instante cronométrico da 1ª pontaria e

t2 o instante cronométrico da última pontaria.

▪ Correção da inclinação (CI): o ângulo medido entre dois objetos que

não estão no mesmo plano não é um ângulo horizontal verdadeiro.

Isso ocorre quando o eixo vertical do instrumento não está na vertical.

Por essa razão as leituras no círculo são corrigidas usando a seguinte

expressão:

( )4

h tgΔWΔEdCI

−= (241)


204

onde: d – sensibilidade do nível, ΔE – diferença aritmética da maior e

menor leitura do nível (ocular a leste), ΔW – diferença aritmética da

maior e menor leitura do nível (ocular a oeste) e h – altura do astro,

dado por:

( ) cosH cosδ cossen δsen cos arch += (242)

▪ Correção da aberração diurna em declinação (CA):

h secA cos cos0,3198CA A −= (243)

▪ Correção da elevação da mira (RM): como as normais, nos dois

pontos sobre o elipsoide, não estão no mesmo plano, tem-se um erro

da direção horizontal observada de uma estação, em função da sua

altitude acima do elipsoide. A correção é dada pela fórmula:

A

2 2Asen cosH0,000109RM = (244)

onde H é a altitude da mira.

▪ Redução ao polo médio (RPM):



estação;

Assim, o azimute astronômico da estação geodésica (AM) é finalmente

obtido aplicando todas as correções:

RPMRMCACICCLLAA AMAM +++++−+= (246)


205

15 VARIAÇÃO DAS COORDENADAS URANOGRÁFICAS

15.1 Histórico

As coordenadas uranográficas das estrelas sofrem lentas variações no

tempo, geralmente inferiores a um minuto de arco por ano.

Hiparco no século II antes de Cristo, medindo a longitude celeste da estrela

Spica, notou que esta coordenada celeste havia aumentado de cerca de 2o desde um século e

meio atrás, quando Timocaris havia feito estas mesmas medidas. Foi o primeiro a constatar

variações nas coordenadas celestes. Exemplificando:

Tabela 8 – Comparação da variação da longitude da estrela Spica entre 283 a.C. e 129 a. C..

Astrônomo Ano Estrela Longitude

Timocaris 283 a.C. Spica (α Vir) 172º

Hiparco 129 a.C. Spica (α Vir) 174º

Diferença 154 anos - 2º

15.2 Fatores Determinantes das Variações

Os fatores determinantes das variações das coordenadas celestes são:

▪ Movimento do eixo de rotação da Terra, que causa a precessão

lunissolar e a nutação;

▪ Movimento da eclíptica e que ocasiona a precessão planetária;

▪ Movimento anual da Terra (translação) que produz a paralaxe anual e

aberração anual;

▪ Movimento próprio das estrelas;

▪ Movimento diário da Terra (rotação) que causa a aberração diária e a

paralaxe diária;

▪ Refração astronômica dos raios luminosos provenientes dos astros; e

▪ Movimento da Terra em relação ao seu eixo originando o movimento

do Polo, fazendo com que variem as coordenadas uranográficas.

É comum dividir (didaticamente) as variações das coordenadas

astronômicas em seculares e periódicas. As variações seculares são variações lentas, que

prosseguem através dos tempos, de maneira que para um certo número de anos, ou mesmo


206

séculos, podem ser consideradas proporcionais ao tempo. As variações periódicas são as

variações relativamente rápidas, que oscilam entre seus valores extremos num certo período,

as quais não podem ser consideradas proporcionais ao tempo, com exceção de intervalos

muito pequenos.

A maioria das variações seculares, a rigor, são periódicas, porém seu

período é muito grande, como é o caso da precessão, cujo período é de 260 séculos.

As variações periódicas podem ser ainda de longo período, quando o

período for de meses ou anos, e de curto período, quando for de apenas alguns dias ou menos.

As variações que a ascensão reta e a declinação sofrem podem ser

imputadas:

▪ Um complexo movimento do eixo de rotação da Terra → precessão

lunissolar e nutação;

▪ A um lento deslocamento da eclíptica → precessão planetária;

▪ Ao movimento anual da Terra → paralaxe anual e aberração anual; e

▪ A própria estrela → movimento próprio.

15.3 Precessão Lunissolar

Sabe-se que o eixo de rotação da Terra está inclinado em relação ao eixo da

eclíptica, de um valor igual à obliquidade da eclíptica. Devido ao fato da Terra não ser

esférica, e sim achatada nos Polos, é que se dá o fenômeno da precessão lunissolar. Pode-se

chamar de precessão lunissolar a um lento balanço de nosso planeta que obriga o seu eixo de

rotação (eixo médio) a girar em torno do eixo da eclíptica no sentido retrógrado, gerando em

cerca de 26000 anos uma superfície cônica de duas folhas com vértice no centro da Terra

(único ponto terrestre que não participa do movimento). Em consequência, cada Polo celeste

(polo médio) descreve no mesmo período, sobre a esfera celeste, uma circunferência que

delimita uma calota cujo vértice é o Polo da eclíptica.


207

Figura 73 – Precessão lunissolar (1).

A eclíptica mantém-se imóvel no espaço (no que tange à precessão

lunissolar) enquanto o Equador sofre um balanço para conservar-se, obediente à própria

definição, constantemente normal ao eixo terrestre. Em consequência desse deslocamento (do

Equador), a linha equinocial retrograda, obrigando o ponto vernal a movimentar-se sobre a

eclíptica, em sentido contrário ao do movimento anual aparente do Sol, de aproximadamente

50,3” por ano, é o que se conhece por retrogradação dos nodos.

A precessão lunissolar é devida à ação atrativas do Sol e da Lua sobre a

protuberância equatorial, proporcionando um deslocamento de 50” dos pontos equinociais por

ano, aproximadamente 34” é devido à influência da Lua.

O Sol situado no plano da eclíptica exerce sobre as protuberâncias

equatoriais atrações F1 e F2 (Figura 74). Como F2 está mais distante do Sol, tem-se que F1 >

F2, o que ocasiona uma resultante F que cria um momento em relação ao centro da Terra. Se a

Terra estivesse parada este momento tenderia tombar o plano do Equador sobre o plano da

eclíptica. Como a Terra possui o movimento de rotação, os Polos PN e PS descrevem

circunferências cujos centros se acham sobre o eixo da eclíptica, isto é, a Terra está animada

de um movimento giroscópio. O eixo de rotação da Terra descreve uma superfície cônica de

duas folhas de centro em 0. O efeito da atração da Lua se superpõe ao efeito da atração do

Sol, dando origem a chamada precessão lunissolar.


208

Figura 74 – Precessão lunissolar (2).

Os polos celestes giram em torno do eixo da eclíptica com um período de

cerca de 25.800 anos. Como o Equador é perpendicular ao eixo de rotação da Terra, o ponto

vernal sofre um deslocamento no sentido retrógrado de cerca de 50,2” por ano.

Efeitos da precessão lunissolar:

▪ Variação de coordenadas. As abcissas esféricas que tem origem no

ponto vernal, longitude celeste e ascensão reta, são alteradas para

mais, uma vez que o sentido de contagem das mesmas é contrário ao

da precessão dos equinócios. Variando a posição do Equador, que se

mantém sempre perpendicularmente ao eixo da Terra, também varia a

declinação;

▪ Variação na duração das estações;

▪ Deslocamento dos polos;

▪ Deslocamento do ponto vernal em relação às constelações zodiacais; e

▪ Redução na duração do ano trópico.

15.4 Nutação

Como a órbita (translação) da Terra não é circular, a distância Terra-Sol

sofre variações periódicas. O mesmo ocorre com a Lua. A consequência deste fato é que a

intensidade das forças de atração terá também variações periódicas. Além disto, o plano da

órbita da Lua não coincide com a eclíptica, isto provoca alterações periódicas na direção das

forças atrativas. O fenômeno resultante destas causas é conhecido como nutação astronômica

ou apenas nutação, que é o movimento periódico dos Polos celestes com amplitude de

aproximadamente 18” e período aproximado de 18,6 anos.


209

Figura 75 – Nutação (1).

A atração lunissolar sobre a protuberância equatorial obriga o eixo da Terra

a girar em torno do eixo da eclíptica com um movimento complexo cuja parte secular

(precessão lunissolar) foi estudada isoladamente quando supunha-se que o eixo médio

gerando uma superfície cônica de bases circulares que admite como eixo o eixo da eclíptica.

A parte não uniforme, periódica, constitui a nutação astronômica, de expressão matemática

complexa e formada por termos periódicos que podem ser separados em dois grupos (os de

longos períodos (até 18,6 anos) e dos de curto períodos (menos de 35 dias). Nas coordenadas

aparentes das estrelas que vêm registradas nas efemérides não está incluído o efeito dos

termos de curto período em nutação.

A nutação superposta à precessão lunissolar ocasiona um movimento

ondulatório aos Polos celestes (Figura 76).



210

A nutação pode ser decomposta em uma série de movimentos ondulatórios

de longo período (18,6 anos até 35 dias) e de curto período (menos de 35 dias) (Figura 77).


15.5 Precessão Planetária

Viu-se que a precessão lunissolar e a nutação astronômica decorrem da ação

atrativa do Sol e da Lua e não exercem influência alguma no que tange à posição da eclíptica

no espaço; esta sofre pequenos deslocamentos em consequência da ação atrativa dos planetas

(principalmente Vênus, Marte e Júpiter) que designa-se de precessão planetária.

A precessão planetária traduz-se por um balanço da eclíptica que determina

um deslocamento do ponto vernal no sentido direto sobre o Equador. Em consequência da

precessão planetária, a obliquidade varia de aproximadamente 48” por século, oscilando entre

um máximo de 24o 36’ e um mínimo de 21o 59’ num período de 20 milênios.

15.6 Precessão Geral

Em geral, a precessão lunissolar e a precessão planetária são consideradas

simultaneamente, sendo que a combinação das duas é conhecida como precessão geral.

Conforme já estudado, conclui-se que devido à precessão geral o ponto

vernal sofre um movimento secular e, devido a nutação, um movimento periódico. Como este

ponto é a origem de contagem da abcissa esférica no sistema de coordenadas uranográficas,

conclui-se que a ascensão reta sofre variações com o tempo. Como a precessão geral tem

caráter secular e uniforme corrigem-se as coordenadas uranográficas de seu efeito para o

intervalo de tempo decorrido entre duas épocas.


211

A nutação tem caráter periódico, assim as coordenadas em uma determinada

época devem ser corrigidas da nutação nesta mesma época.

15.7 Paralaxe Anual

Em decorrência do movimento translativo do nosso planeta, cada estrela

parece descrever uma pequena elipse em torno de sua projeção sobre a esfera celeste a partir

do Sol; essa elipse – elipse paralática – será tanto mais excêntrica quanto menor for a latitude

do astro, degenerando num segmento no caso de uma estrela situada no plano da eclíptica. O

ângulo p sob o qual do astro se subentende o semieixo maior da órbita terrestre denomina-se

paralaxe anual e varia de uma estrela para outra em função de sua distância.

15.8 Aberração Estelar

Entende-se por aberração estelar o fenômeno do deslocamento aparente de

um objeto celeste causado pela velocidade da luz e pelo movimento relativo do objeto e do

observador.

15.9 Aberração Anual

O fenômeno em estudo (aberração estelar) depende da relação entre a

velocidade de propagação da luz e a velocidade do observador, até aqui, considerou-se o

observador arrastado pelo movimento de translação a Terra ao redor do Sol, o que justifica a

expressão aberração anual. E é precisamente esta aberração estelar anual que interessa no

problema da variação das coordenadas uranográficas de uma estrela.

15.10 Aberração Diária

Considerando-se o movimento de rotação da Terra tem-se a aberração

estelar diurna, cujos efeitos são menos acentuados que os da anual, pois a velocidade

tangencial do observador é muito menor.


212

15.11 Movimento Próprio

No movimento diurno as estrelas foram consideradas como astros fixos na

esfera celeste, mas sabe-se que tais astros acham-se animados de grandes velocidades, mas

praticamente imperceptíveis devido seu extraordinário afastamento.

Halley e Cassini tentaram estudar o movimento próprio das estrelas com

base em indicações que remontavam a Ptolomeu. Mayer, valendo-se de posições

determinadas por Roëmer compôs um catálogo, em 1760, onde registrou o movimento

próprio de 80 estrelas.

A estrela “Flecha de Bernard”, estrela de magnitude 9,6 situada na

constelação de Ofiuco e uma das mais próximas da Terra, é a que apresenta maior movimento

próprio conhecido (10”/ano).

No posicionamento astronômico, interessa a influência de tal deslocamento

sobre as coordenadas uranográficas, ou, como é usual dizer, o movimento próprio anual em

ascensão reta e o movimento anual em declinação. Tais valores podem ser obtidos, nos casos

conhecidos, nos catálogos estelares.

15.12 Coordenadas Médias, Verdadeiras e Aparentes

Figura 78 – Coordenadas médias, verdadeiras e aparentes.


213

BIBLIOGRAFIA

ARANA, J. M. Comparação de métodos na astronomia de alta precisão: Mayer,

Sterneck e determinação simultânea. 1991. 77 f. Dissertação (Mestrado em Ciências

Geodésicas) – Setor de Ciências da Terra, Universidade Federal do Paraná, Curitiba.

BARDINI, Z. J. Comparação de métodos de segunda ordem para determinação da

posição geográfica. 1985. 59 f. Dissertação (Mestrado em Ciências Geodésicas) – Setor de

Ciências da Terra, Universidade Federal do Paraná, Curitiba.

BARRETO, L. M. Astronomia geral. Rio de Janeiro: Observatório Nacional, 1986. 160 p.

BOLLINA, J. A. T. Astronomia de campo. Curitiba: Divisão de Geografia, Terras e

Colonização, 1964. 154 p.

CHAGAS, C. B. Astronomia geodésica. 2. ed. Rio de Janeiro: Diretoria do Serviço

Geográfico, 1965. 370 p.

COSTA, S. M. A. Projeto Pró-Astro. 1989. 125 f. Dissertação (Mestrado em Ciências

Geodésicas) – Setor de Ciências da Terra, Universidade Federal do Paraná, Curitiba.

DOMINGUES, F. A. A. Topografia e astronomia de posição para engenheiros e

arquitetos. São Paulo: McGraw-Hill, 1979.

FERRAZ, A. S.; SILVA, A. S. Astronomia no campo. 1. ed. Viçosa: Editora UFV, 1986.

101 p.

FRANCO, L. C. S. Determinação da latitude, longitude e azimute de uma direção terrestre por

observações do Sol com emprego de sinais horários contínuos. In: Anais do XII Congresso

Brasileiro de Cartografia, Companhia do Desenvolvimento do Planalto Central, Brasília, v.

1, p.77-103, 1985.

GEMAEL, C. Introdução à astronomia esférica. Curso de Pós-Graduação em Ciências

Geodésicas, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 1990. 100 p.

GUTERRES, I. G. Astronomia de posição. Rio de Janeiro: Instituto Militar de Engenharia,

1981.

HATSCHBACH, F. Redução de coordenadas celestes e identificação de estrelas em

catálogos gravados em fitas magnéticas. Programas em linguagem Fortran IV. 1975. 187

f. Dissertação (Mestrado em Ciências Geodésicas) – Setor de Ciências da Terra, Universidade

Federal do Paraná, Curitiba.

______. Tempo em astronomia. Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas,

Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 1979.

______. Determinações astronômicas. 1. ed. Curitiba: Diretório Acadêmico do Setor de

Tecnologia, Universidade Federal do Paraná, 1981. 68 p.


214

MACKIE, J. B. The elements of astronomy for surveyors. London: Charles Griffin &

Company Ltd, 1985.

MUELLER, I. I. Spherical and practical astronomy as applied to geodesy. 2. ed. New

York: Frederick Ungar Publishing Co., 1977. 615 p.

ROBBINS, A. R. Field and geodetic astronomy. London: School of Military Survey, 1976.

SANTOS, W. J. Comparação de métodos para determinação do azimute de segunda

ordem. 1979. 107 f. Dissertação (Mestrado em Ciências Geodésicas) – Setor de Ciências da

Terra, Universidade Federal do Paraná, Curitiba.

TALIBERTI, L. Azimutes por circum-elongações em função de diferenças de distâncias

zenitais. São Paulo: Instituto Geográfico e Geológico, 1962.

WOOLARD, E. W.; CLEMENCE, G. M. Spherical Astronomy. New York: Academic

Press, 1966.

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