Árvores binárias marco antonio montebello júnior [email protected] estrutura de dados
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Estrutura de Dados
Fundamentos sobre árvores
Uma árvore é um conjunto finito de n >= 0 nós Se n = 0 temos uma árvore nula Se n > 0 temos uma árvore com as seguintes
características: Existe um nó especial chamado raiz; Os demais são particionados em T1, T2, . . ., Tk
estruturas disjuntas de árvores As estruturas T1, T2, . . ., Tk denominam-se árvores
Estrutura de Dados
Conceitos importantes sobre árvores
A. Grau Representa o número de subárvores de um nó.
B. Nó folha ou terminal É o nó que possui grau 0, ou seja, não possui subárvores.
C. Grau de uma árvore (n-aridade) É definido como sendo igual ao máximo dos graus de todos
os seus nós.
D. Nós filhos São as raízes das subárvores de um nó. E este nó é o pai
delas.
Estrutura de Dados
Conceitos importantes sobre árvores
E. Nós irmãos São os nós filhos que apresentam o mesmo pai (existem ainda
nó ancestral, descendente, descendente esquerdo ou direito);
F. Nível A raiz da árvore tem nível 0 (em alguns livros é considerado
igual à 1). Qualquer outro nó apresenta um nível a mais que seu nó pai
G. Altura (em alguns livros é profundidade) É o máximo dos níveis de todos os nós da árvore. Isso
equivale ao tamanho do passeio mais distante da raiz até qualquer folha
Estrutura de Dados
Conceitos importantes sobre árvores
Estrutura de Dados
Conceitos importantes sobre árvores
Conceito Valor
A
B
C
D
E
F
G
Estrutura de Dados
Conceitos importantes sobre árvores
Conceito Valor
A Nó ‘a’ grau 3. Nó ‘h’ grau 2
B ‘e’, ‘g’, ‘k’, ‘l’, ‘m’, ‘i’, e ‘j’
C Grau 4
D ‘z’, ‘e’, ‘f’ e ‘g’ filhos ‘b’. ‘b’ filho ‘a’
E ‘z’, ‘e’, ‘f’ e ‘g’ mesmo pai ‘b’
F ‘b’, ‘c’ e ‘d’ nível 1. ‘z’, ‘e’, ‘f’, ‘g’, ‘h’, ‘i’ e ‘j’ nível 2. ‘k’, ‘l’ e ‘m’ nível 3
G Altura: 4
Estrutura de Dados
Árvores Binárias
É uma árvore que pode ser nula, ou então apresentar as seguintes características: Um nó especial chamado raiz; Os demais nós são particionados em T1, T2
estruturas disjuntas de árvores binárias; A estrutura T1 é chamada subárvore esquerda e T2
subárvore direita da raiz.
Estrutura de Dados
Árvores Binárias
Árvore binária estritamente binária Ocorre quando todo nó que não é folha, tiver
subárvores esquerda e direita não vazias. Uma árvore estritamente binária com n folhas contém sempre 2n - 1 nós
Árvore binária completa É uma árvore estritamente binária de profundidade
(altura) d, cujas folhas estejam no nível n. Considerando tn como o número total de nós numa árvore binária completa de profundidade d, observamos a seguinte relação : tn = 2d - 1
Estrutura de Dados
Observações importantes
Observamos que uma árvore binária é um caso especial de árvore cujos nós não têm grau superior a 2
Nenhum nó tem mais do que dois filhos Existe um forte senso de posição pela existência
de uma subárvore direita e esquerda Cada subárvore caracteriza uma definição
recursiva
Estrutura de Dados
Observações importantes
Será que as árvores binárias apresentadas abaixo são iguais ou distintas? Por que?
Exemplo de duas árvores binárias com subárvores nulas
Estrutura de Dados
Observações importantes
Um exemplo de árvore estritamente binária
Estrutura de Dados
Observações importantes
Um exemplo de árvore binária completa de nível 3 e altura 4
Estrutura de Dados
Árvores de busca binária
É aquela que tem a propriedade de todos os elementos na subárvore esquerda de um nó n serem menores que o conteúdo de n, e todos os elementos na subárvore direita de n serem maiores ou iguais ao conteúdo do nó n
Estrutura de Dados
Árvores de busca binária
Dessa forma, podemos realizar as seguinte observações: Todo elemento armazenado na subárvore esquerda é
menor que n; Nenhum elemento armazenado na subárvore direita é
menor que n; As subárvores esquerda e direita também são árvores
de busca binária A definição de árvore de busca binária também é
recursiva
Estrutura de Dados
Árvores de busca binária
Abaixo está o exemplo de uma árvore de busca binária e uma árvore que não pode ser considerada como tal.
Árvores Binárias ordenada Árvore Binária não ordenada
(busca binária)
Estrutura de Dados
Mais um Exemplo de Árvore de Busca Binária Veja mais um exemplo de árvore de busca binária, dessa vez, com valores
numéricos e considerando a seguinte seqüência de entrada : 14, 15, 4, 9, 7, 18, 3, 5, 16, 4, 20, 17, 9, 14 e 5.
Estrutura de Dados
Outro exemplo
Uma outra aplicação é a representação de uma expressão contendo operandos e operadores
A + B * C (A + B) * C
Estrutura de Dados
Operações básicas em árvores de busca binária
Representando um nó:
struct arv
{
char obj;
struct arv *esq, *dir;
};
typedef struct arv *AVRPTR;
Estrutura de Dados
Operações básicas em árvores de busca binária
Uma árvore binária de busca binária vazia é representada por uma variável ponteiro nula
A utilização de uma lista encadeada tem a vantagem de não necessitar nenhuma movimentação de dados quando um novo elemento precisa ser inserido
Basta o ajuste adequado dos ponteiros para colocar o novo elemento na posição adequada
Observamos que a inserção de elementos novos é ainda mais eficiente porque eles entram sempre na condição de folhas, pois, um nó não pode entrar numa árvore e já “assumir” filhos
Estrutura de Dados
Operações básicas em árvores de busca binária
Abaixo está a estrutura de representação interna de uma árvore de busca binária na memória:
Representação interna de árvore binária
Estrutura de Dados
Inserção de um elemento numa árvore de busca binária
Acompanhe as operações de inserção realizadas na árvore de busca binária, para observar que basta movimentar adequadamente os ponteiros para a realização das inserções
Estrutura de Dados
Inserção de um elemento numa árvore de busca binária
Estrutura de Dados
Observações sobre a inserção de elementos numa árvore de busca binária
Observando os exemplos anteriores, podemos considerar que a inserção é uma operação trivial
Basta verificar se a árvore não está vazia, em seguida, se o novo elemento é menor do que a raiz, a inserção é na subárvore esquerda, caso contrário, a inserção é na árvore direita
Estrutura de Dados
Exemplo de uma rotina para inserir elementos numa árvore binária de busca
void tins(AVRPTR *plist, char x){
if((*plist)== NULL){
*plist=(AVRPTR) malloc(sizeof(struct arv));(*plist)->obj= x;(*plist)->esq=NULL;(*plist)->dir=NULL;
}else{
if(x<(*plist)->obj)tins(&((*plist)->esq),x);
elsetins(&((*plist)->dir),x);
}}
Estrutura de Dados
Pesquisa de um elemento
T é uma árvore nula Não fazemos nada
A raiz de T armazena o elemento X A solução é imediata
X é menor que o valor da raiz de T Prossegue-se com a busca na subárvore esquerda de
T X é maior ou igual à T
Prossegue-se com a busca na subárvore direita de T
Estrutura de Dados
Exemplo de uma rotina para pesquisar um elemento numa árvore de busca binária
AVRPTR tfnd(AVRPTR *plist, char x){ if(*plist==NULL)/*elemento nao encontrado*/ return (NULL); else if(x==(*plist)->obj)/*elem. encontrado na raiz*/ return(*plist); else if(x<(*plist)->obj)/*procura-o numa subarvore*/ return(tfnd(&((*plist)->esq),x)); else return(tfnd(&((*plist)->dir),x));}
Estrutura de Dados
Pesquisa de um elemento
Quando os elementos que a árvore armazena estão distribuídos de forma equilibrada em todas as subárvores, a busca binária aproxima-se muito, em eficiência, da busca binária realizada em tabelas seqüenciais.
Por que?
Estrutura de Dados
Remoção de um elemento
A raiz não possui filhos A solução é imediata. Podemos removê-la e anular T
A raiz possui um único filho Podemos remover o nó raiz, substituindo-o pelo seu
nó filho; A raiz possui dois filhos
Não é possível que os dois filhos assumam o lugar do pai; escolhemos então o nó que armazena o maior elemento na subárvore esquerda de T, este nó será removido e o elemento armazenado por ele entrará na raiz da árvore T
Estrutura de Dados
Exemplo de uma rotina para remover um elemento numa árvore de busca binária
AVRPTR getmax(AVRPTR *plist){ AVRPTR t; t = *plist; if(t->dir == NULL) { *plist = (*plist)->esq; return(t); } else return(getmax(&((*plist)->dir)));}
Estrutura de Dados
Exemplo
p = getmax(&(t->esq));/*desliga o nó com maior valor*/
t->obj = p->obj;/*armazena o valor na raiz da árvore*/
free(p);
Estrutura de Dados
Uma rotina de remoção mais genérica
A rotina tRem( ) é essencialmente igual àquele utilizado para pesquisa
A diferença é que, caso o elemento seja encontrado (na raiz da árvore), ele será removido
Estrutura de Dados
Uma rotina de remoção mais genéricaint tRem(AVRPTR *plist, char *x){ AVRPTR p; if(*plist == NULL) return(1); /*elemento não encontrado*/ if((*x == (*plist)->obj) == 1) /*elem. encontrado na raiz*/ { p = *plist; if((*plist)->esq == NULL) *plist = (*plist)->dir; /*raiz nao tem filho esq.*/ else if((*plist)->dir == NULL) *plist = (*plist)->esq; /*a raiz nao tem filho dir.*/ else /*a raiz tem ambos os filhos*/ { p = getmax(&((*plist)->esq)); (*plist)->obj=p->obj; } free(p); printf("\nElemento achado e removido!!!"); } else if((*x<(*plist)->obj) == 1) tRem(&((*plist)->esq), x); /*procura na subarvore esq.*/ else tRem(&((*plist)->dir), x); /*procura na subarvore dir.*/}
Estrutura de Dados
Passeio em árvores binárias (percurso ou atravessamento)
Realizar um passeio numa árvore binária deve ser entendido como visitar de forma sistemática, cada um de seus nós, desenvolvendo um certo processamento.
Podemos considerar quatro tipos de passeios: Em-ordem Pré-ordem (também conhecido como passeio em
profundidade) Pós-ordem Em-nível
Estrutura de Dados
Facilitando a compreensão com uma analogia
Para facilitar a compreensão dos três primeiros tipos, vamos utilizar um analogia com as notações que uma expressão aritmética pode ser escrita : infixa, prefixa e pósfixa.
Considerando a expressão infixa A + B, podemos utilizar a seguinte representação:
+
A B
Estrutura de Dados
Analogia
A tabela abaixo ilustra as possibilidades de exibir os nós da árvore anterior:
Tipo da notação Seqüência Equivalência de passeio
Infixa
Exibir a folha esquerda (E)
Em-ordemExibir a raiz (R)
Exibir a folha direita (D)
Prefixa
Exibir a raiz (R)
Pré-ordemExibir a folha esquerda (E)
Exibir a folha direita (D)
Pósfixa
Exibir a folha esquerda (E)
Pós-ordemExibir a folha direita (D)
Exibir a raiz (R)
Estrutura de Dados
Resolva:
B
AC
Formas de Passeio Saídas
Em-ordem (ERD)
Pré-ordem (RED)
Pós-ordem (EDR)
Estrutura de Dados
Resultado
B
AC
Formas de Passeio Saídas
Em-ordem (ERD) A, B, C
Pré-ordem (RED) B, A, C
Pós-ordem (EDR) A, C, B
Estrutura de Dados
Exemplo mais complexo de uma árvore binária com subárvores
Formas de Atravessamento
Saídas
Em-ordem (ERD)
Pré-ordem (RED)
Pós-ordem (EDR)
D
B E
A CF
Estrutura de Dados
Resultado
Formas de Atravessamento
Saídas
Em-ordem (ERD) A, B, C, D, E, F
Pré-ordem (RED) D, B, A, C, E, F
Pós-ordem (EDR) A, C, B, F, E, D
D
B E
A CF
Estrutura de Dados
Observações importantes
Pela análise na figura da representação da expressão A + B como árvore binária e a analogia realizada a partir dela, percebemos que a seqüência básica de acesso ERD pode ser generalizada
Na verdade, cada subárvore não precisa se restringir a uma única folha: Exibir a subárvore esquerda (E) Exibir a raiz (R) Exibir a subárvore direita (D)
+
A B
Estrutura de Dados
Observações importantes
Podemos observar que a seqüência ERD tornou-se recursivas
Ambas as subárvores devem ser impressas também em-ordem e a recursão pára quando chegamos a subárvores nulas
As seqüências pré-ordem e pós-ordem podem ser generalizadas segundo o mesmo raciocínio
+
A B
Estrutura de Dados
Rotina para passeio em-ordem
void emordem(AVRPTR t){if(t != NULL){
emordem(t->esq);printf(" %c,",t->obj);emordem(t->dir);
}}
Estrutura de Dados
Rotina para passeio em pré-ordem
void preordem(AVRPTR t){if(t != NULL){
printf(" %c,",t->obj);preordem(t->esq);preordem(t->dir);
}}
Estrutura de Dados
Rotina para passeio em pós-ordem
void posordem(AVRPTR t){if(t != NULL){
posordem(t->esq);posordem(t->dir);printf(" %c,",t->obj);
}}
Estrutura de Dados
O passeio tipo em-nível
Parece ser o de mais fácil compreensão Entretanto, sua implementação é a mais complexa. Supondo que ele fosse aplicado à árvore da figura
abaixo, obteríamos s seqüência : D, B, E, A, C, F Observe que agora os nós são acessados, por nível, da
esquerda para a direitaD
B E
AC F
Estrutura de Dados
Desenvolvendo um algoritmo para o passeio em-nível
Podemos usar uma fila contendo inicialmente apenas o nós raiz
A partir daí, enquanto a fila não se tornar vazia, retiramos dela um nós cujos filhos deverão ser colocados na fila, aí então, o nó retirado da fila pode ser exibido
Como podemos observar, a rotina emnivel faz uso de uma fila
Também estão listadas as rotinas para implementar uma fila circular
Estrutura de Dados
Rotinavoid emnivel(AVRPTR t){
AVRPTR n;NODEPTR q;if(t != NULL){
qinit(&q);insert(&q,t);while (empty(&q) != 1){
n = remove(&q);if(n->esq != NULL)
insert(&q,n->esq);if(n->dir!=NULL)
insert(&q,n->dir);printf(" %c,", n->obj);
}}
}
Estrutura de Dados
Fila Circularvoid qinit(NODEPTR *pq){
*pq = NULL;}
void insert(NODEPTR *pq, AVRPTR x){
NODEPTR p;p =(NODEPTR) malloc(sizeof (struct fila));p->info=x;if(empty(pq) == 1)
*pq=p;else
p->next=(*pq)->next;(*pq)->next=p;*pq=p;
}
Estrutura de Dados
Fila CircularAVRPTR remove(NODEPTR *pq){
AVRPTR x;NODEPTR p;if(empty(pq) == 1){
printf("Underflow da fila\n");getch();exit(1);
}p = (*pq)->next;x = p->info;if(p == *pq) /*somente um no' na fila*/
*pq = NULL;else
(*pq)->next = p->next;free(p);return(x);
}
int empty(NODEPTR *pq){
return((*pq == NULL)?1:0);}
Estrutura de Dados
Destruição de uma árvore
A rotina tDestruir() utiliza o atravessamento pré-ordem e, para cada nó acessado, o processamento consiste numa comparação que avalia se o elemento armazenado pelo nó é aquele procurado.
Muitos outros algoritmos importantes no tratamento de árvores são baseados nestes tipos de atravessamento
Abaixo está o exemplo do algoritmo tDestruir( ), para destruir árvores
Ele utiliza um atravessamento do tipo pós-ordem, cujo processamento é a liberação do nó acessado
Estrutura de Dados
Destruição de uma árvore
void tDestruir(AVRPTR *plist){if(*plist != NULL){
tDestruir(&((*plist)->esq));/*libera subarvore esquerda*/ tDestruir(&((*plist)->dir));/*libera subarvore direita */free(*plist);
}}