Área de uma superfície de revolução
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ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO
Quando uma curva plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos
uma superfície de revolução.
Seja a área da superfície de revolução S , obtida quando uma curva C ,
de equação [ ],b,a x ), x ( f y ∈= gira em torno do eixo de x.
Dividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos, onde:
.b x ... x x ... x x x x a ni 1i 32 10 =<<<<<<<<=−
Desta forma obtemos Q0, Q1, Q2 , . . ., Qn pertencentes a curva C .
Fazendo cada segmento de reta desta linha poligonal girar em torno do eixo de
x, a superfície de revolução obtida é um tronco de cone.
Portanto, a área lateral do tronco de cone é dada por:
[ ] dx ) x ( ' f 1 ) x ( f 2 Ab
a
2
∫ += π
Definição:
Seja C uma curva de equação ),( x f y = onde f e f’ são funções
contínuas em [a, b] e ].[ b,a x ,0 ) x ( f ∈∀≥ A superfície de revolução S,
gerada pela rotação da curva C ao redor do eixo dos x, é definida por:
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[ ] dx ) x ( ' f 1 ) x ( f 2 Ab
a
2
∫ += π
Se ao invés de considerarmos uma curva)( x f y =
girando em torno doeixo dos x, considerarmos uma curva ],[),( d c y y g x ∈= girando em torno do
eixo dos y, a área será dada por:
[ ] .dy )y ( ' g 1 )y ( g 2 Ad
c
2
∫ += π
Exemplos:
Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do
eixo dos x, da curva dada por 4 x 4
1, x 4y ≤≤= .
Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do
eixo dos y, dada pela curva 1y 0 ,y x 3≤≤= .
1) Calcular a área da superfície gerada pela rotação do de curva dado, em
torno do eixo indicado.
a)
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b)
c)
d)
e)
f) .
2) Calcular a área da superfície do cone gerado pela revolução do
segmento de reta :
a) Ao redor do eixo dos x;
b) Ao redor do eixo dos y.
3) Calcular a área da superfície obtida pela revolução do arco da parábola
ao redor do eixo de x.