aprovar ano04 modulo03 apostila15 completa

Trem-bala japonês ultiliz

a sistema de

ímãs que faz o veículo fl

utuar sem tocar

os trilhos

Jacaré-tinga, espécie ameaçada de extinção, alimenta-se depequenos mamíferos, aves e artrópodes

•• Matemática – Função ouAplicação pg. 02

•• Matemática – Funções Polinomiaispg. 04

•• Física – Cinemática escalarpg. 06•• Física – Movimento Uniformemente

Variado (MUV) pg. 08•• Português – Crase II – Casos

especiais pg. 10

Função ou Aplicação

1. Definição

Dizemos que uma relação binária R: A → B éfunção ou aplicação, quando satisfeitas asseguintes condições:• Todo x ∈ A se relaciona com algum y ∈ B.• Cada x ∈ A que se relaciona, relaciona-se

com um e único y ∈ B.Os principais elementos da função são odomínio (A), o contradomínio (B) e o conjuntoimagem (subconjunto de B).Se f: A → B for uma função, então temos que:ƒ : A → B

x → y= f(x)Não esqueça que toda função ou aplicação éuma relação binária, mas nem toda relaçãobinária é função ou aplicação.

2. Exemplos

a) Dados os conjuntos A = {0, 1 ,2, 3} eB = {-2, -1, 1, 2}, verificar se a relação binária R={(x, y) ∈ A x B/ y = x + 1} é uma função.

Solução:A = {0, 1, 2, 3}B = {-1, 1, 2}R ={(x, y) ∈ A x B/ y = x + 1}

x = 0 → y = 0 + 1 = 1x = 1 → y = 1 + 1 = 2x = 2 → y = 2 + 1 = 3 ∉ Bx = 3 → y = 3 + 1 = 4 ∉ B

No diagrama de flechas, temos que:

Observe que existem elementos de A que nãopossuem correspondentes em B, logo f não éfunção ou aplicação.

b) Dados os conjuntos M = {0, 1 ,2} eB={0, 1, 4, 5}, verificar se a relação binária R={(x,y) ∈ Ax B/ y = x2} é uma função.

Solução:M = {0, 1 ,2}N={0, 1, 4, 5}R ={(x,y) ∈ Mx N/ y = x2}

x = 0 → y = 02 = 0x = 1 → y = 12 = 1x = 2 → y = 22 = 4

No diagrama de flechas, temos que:

Observe que f(0) = 0, f(1) = 1 e f(2) = 4, entãopodemos afirmar que f é uma função ouaplicação, já que de cada elemento de M temosuma única correspondência com elementos de N.Veja também que D(f) = {0,1,2}, CD(f)= {0,1,4,5}e Im(f) = {0,1,4}.

3. Gráficos de Funções

Dizemos que uma relação binária R: A → B éfunção ou aplicação no gráfico, quando todareta vertical tocar em um único ponto no gráfico,para todo x ∈ A.

4. Exemplos

a) Verificar se o gráfico a seguir representa umafunção.

Solução:Dado o gráfico, temos que:

Observe que existem retas verticais que tocamem mais de um ponto no gráfico, daí podemosconcluir que f não é função ou aplicação.

b) Verificar se o gráfico abaixo é uma função ouaplicação.

Solução:Dado o gráfico abaixo, temos:

Observe que todas as retas verticais quetraçarmos tocarão em um e único ponto nográfico. Logo g é uma função ou aplicação.

5. Domínio de Funções

O domínio de uma função representa o conjuntode valores para os quais a mesma existe. Dentreos principais casos, temos:a) O domínio de uma função polinomial é sempre

real.b)Para o domínio de uma função que possui

variável no denominador, basta o mesmo serdiferente de zero.

c) Radical com índice par no numerador possuiradicando maior ou igual a zero.

d)Radical com índice par no denominadorpossui radicando maior que zero.

6. Exemplos

a) Qual é o domínio mais amplo para a função2f(x) = ––––––?

1 – xSolução:

2f(x) = ––––––, então 1–x≠0 → x≠1. Logo o domínio1 – x

é dado por D(f) = IR – {1}.b) Qual é o domínio da função ?

Solução:

→ 2x – 6 ≥ 0 → x ≥ 3. Logo o seudomínio será D(f) = {x ∈ IR/ x ≥ 3}.

2

Caro estudante,Com esta apostila de número 15, contendoas disciplinas de Matemática, Física ePortuguês, chegamos ao terceiro módulodo Aprovar, o pré-vestibular gratuito desen-volvido pela Universidade do Estado doAmazonas desde 2004, com um únicoobjetivo: dar oportunidade aos estudantesque não têm condições de pagar umcursinho de disputar, em igualdade decondições, uma vaga em uma universidadepública.Serão mais 55 aulas inseridas em 11apostilas, até o número 26. Esperamosque até aqui o material tenha sido útil paravocê que vem preparando-se para ovestibular ou que tenha reiniciado seusestudos com o mesmo objetivo.Para alguns, Matemática e Física sãosinônimo de dor de cabeça. Mas se vocêacompanhar as aulas e seguir ocronograma de estudos que propusemosno início do curso, verá que o materialdidático será de fácil assimilação e oresultado compensador. Lembre-se de queas apostilas, inclusive números anteriores,também estão disponíveis para visualizaçãoe impressão no site: www.uea.edu.br. Em breve, você poderá testar osconhecimentos adquiridos com o nossomaterial didático em mais uma edição doSimuladão do Aprovar. Fique atento aoshorários e locais de prova, que serãodivulgados aqui mesmo, nas apostilas, etambém em outros meios de comunicação.Não deixe de participar. A prova é gratuita eacontece sempre numa escola próximo desua casa.É uma oportunidade de você avaliar o queaprendeu até agora e tirar suas dúvidascom os próprios professores queministraram as disciplinas. Ao término daprova, todas as questões são analisadaspor eles, e as respostas exibidas nos telões.Participe, estude bastante e mantenha-seinformado sobre o mercado de trabalho,pois isso tudo pode representar a receitado seu sucesso profissional.Vale a pena investir em você. Muita genteque fez isso hoje está na Universidade.Nos últimos três anos, 1.896 candidatosaprovados no vestibular da UEA afirmaramter estudado pelo Aprovar, o maior cursopré-vestibular gratuito do Brasil.

Aprovar inicia III módulo commais onze apostilas

Matemática Professor CLÍCIO

c) Qual é o domínio mais amplo da função

?

Solução:(1) 1 – x ≥ 0 → x ≤ 1(2) 2x + 1 0 ≠ x ≠ -1/2Fazendo-se (1) ∩ (2), temos que:

D(f) = {x ∈ IR/ x ≤ 1 e x ≠ -1/2}

7. Propriedades da Função

Injetora: Dizemos que uma função é injetoraquando as imagens forem diferentes entre si.Sobrejetora: Dizemos que uma função ésobrejetora se o conjunto imagem for igual aocontradomínio.Bijetora: Dizemos que uma função é bijetora sefor injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

8. Exemplos

a) Verificar se a função f: A → B, com A={-1, 0, 1},B = {0,1} e f = {(x,y) ∈ A x B /y = x2} é injetora,sobrejetora ou bijetora.Solução:A = {-1,0,1}B = {0,1} f = {(x,y) ∈ A x B /y = x2}

x = -1 → y = (-1)2 = 1x = 0 → y = 02 = 0x = 1 → y = 12 = 1No diagrama de flechas, temos que:

Observe que f(-1) = f(1), logo f não é injetora.Por outro lado, temos que Im(f) = CD(f), logo f ésobrejetora. E por último passo, temos que f nãoé bijetora, pois não é injetora e sobrejetora aomesmo tempo.b) Verificar a propriedade que a função f: IR → IR,dada no gráfico abaixo possui.

Dado o gráfico, temos que:

Observe que, traçadas as retas horizontais, elastocam no gráfico em mais de um ponto; dessaforma f não é injetora. Também podemosperceber que Im(f) = CD(f) = IR, logo f ésobrejetora, já que o gráfico utiliza todos osvalores reais de y. Porém f não é bijetora.

9. Função Composta

Dadas as funções f: A → B e g: B → C, dizemosque existe uma função h: A → C, tal que:h(x) = (gof)(x) = g(f(x)), ∀ x ∈ A.

Representando essa situação por diagrama deflechas, temos:

10. Exemplos

a) Dadas as funções f(x)= 2x – 1 e g(x)= 3 – 4x,calcular o valor de (fog)(x) – (gof)(x).

Solução:

f(x) = 2x – 1g(x) = 3 – 4x

(fog)(x) = 2.( 3 – 4x) – 1= 6 – 8x – 1= 5 – 8x

(gof)(x) = 3 – 4(2x – 1)= 3 – 8x + 4= 7 – 8x

(fog)(x) – (gof)(x) = 5 – 8x – (7 – 8x)= 5 – 8x – 7 + 8x= -2

b) Se (fog)(x) = 2x + 1 e f(x) = -2x + 3, entãodetermine o valor de g(0).

Solução:

(fog)(x) = 2x + 1f(x) = -2x + 3g(0) = ?

(fog)(x) = 2x + 1-2(g(x)) + 3 = 2x + 1g(x) = -x + 1. Logo g(0) = 1

11. Função Inversa

Dizemos que existe a inversa da função f: A → Bse, e somente se, f for bijetora. Portanto: f : A → B , então f-1: B → A

x → y = f(x) y → x = f(y)Para o cálculo algébrico da função inversa,temos que:• f(x) = y;• Troca- se o valor de x por y e vice- versa;• Isola- se o valor de y.Representando-se pelo diagrama de flechas,temos que:

12. Exemplos

a) Sabendo-se que f(x) = 2x – 1 é bijetora,então determine o valor de (fof-1)(x).Existe uma propriedade muito importante que oaluno não pode esquecer, quando o assunto forfunção inversa. Veja:(fof-1)(x) = (f-1of)(x) = id(x) = x → funçãoidentidade.Portanto a solução do exemplo citado acima é(fof-1)(x) = x.

b) Determine o valor de a para que a função f: IR – {2} → IR – {a}, definida por

2xf(x) = –––––––– , admita inversa.x – 2

Solução:2xf(x) = –––––––– → f (x)= y .

x – 22xy = –––––––– → troca-se o valor de x por y.

x – 22yx = –––––––– → isola-se o valor de y .

y – 2xy – 2x = 2yxy – 2y = 2xy(x – 2) = 2x

2xy = –––––––– , com x ≠ 2. Portanto a = 2.x – 2

3

01. Se f(x) = 2x3 – 1, entãof(0) + f(-1) + f(1/2) é igual a:

a) –3/4 b) –15/4 c) –19/4d) –17/4 e) –13/4

02. As funções f e g são dadas porf(x) = 3x/5 – 1 e 4x/3 + a. Sabe- seque f(0) – g(0) = 1/3. O valor def(3) – 3g(1/5) é:

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

03. Considere a função f: IR → IR, tal que.

Determine o valor de f(9) – f(1).

04. Uma função f é definida em A e temimagem em B. Sabe-se que o conjuntoA tem 2k – 2 elementos, e o conjuntoB tem k + 3 elementos. Se f é injetora,então:

a) 1 < k ≤ 5 b) 5 < k ≤ 7c) 7 < k ≤ 8 d) 8 < k < 10e) k ≥ 10

05. O ponto A(1,3) pertence ao gráfico dafunção f(x) = 2x + b. Sabendo-se queg(x) = x2 – 1, o valor de f(g(0)) é:

a) –2 b) –1 c) 0d) 1 e) 2

206. Se f(x) = ––––––, ∀ x ≠ 1, então

x – 1 vale:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

07. Determine a inversa da função f: IR→IRdefinida por f(x) = 5x + 3.

08. Uma função real f do 1.° grau é tal quef(0) = 1 + f(1) e f(-1) = 2 – f(0). Então,f(3) é igual a:

a) –3 b) –5/2 c) –1d) 0 e) 7/2

09. Os pontos (1, 6) e (1/3, -2) pertencemao gráfico da função f(x) = ax2 + c,a ≠ 0. Então, a razão a/c, c ≠ 0, vale:

a) –4 b) –3 c) –2d) 1 e)2

10. É dada a função f(x) = a.3bx, em que ae b são constantes. Sabendo quef(0)=5 e f(1)= 45, obtemos para f(1/2)o valor:

a) 0 b) 9 c) 15d) 15 e) 40

11. Calcular o valor de f(-1), sabendo-seque f(2x –1) = 3 – x.a) 0 b) 3 c) 2d) 1 e) 7

DesafioMatemático

Funções Polinomiais

Função polinomial do 1.° grau

1. Definição.

Chama-se função polinomial do 1º grau, oufunção afim, a qualquer função f de IR em IRdada por uma lei da forma f(x) = ax + b, emque a e b são números reais dados e a ≠ 0.Na função f(x) = ax + b, o número a é chamadode coeficiente de x, e o número b é chamadotermo constante.Exemplos de função do 1.° grau:a) f(x) = -2x + 3 ⇒ a = -2 e b = 3b) f(x) = -5x ⇒ a = -5 e b = 0c) f(x) = 7 – 3x ⇒ a = -3 e b = 7d) f(x) = x ⇒ a = 1 e b = 0

Exemplo:(UFAM) Dada a função do 1.° grau, tal quef(2) = 2 + f(1) e f(0) = 2, então o valor de f(-1) éigual a:a) –1/3; b) 2/5; c) 3;d) 4; e) 0.

Solução:f(x) = ax + bf(0) = 2 ⇒ a.0 + b = 2 ⇒ b = 2f(2) = 2 + f(1) ⇒ 2a + b = 2 + a + b ⇒ a = 2f(–1) = 2. (–1) + 2 = 0 (Letra E)

2. Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 1.° grau,y = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta oblíqua aoseixos Ox e Oy.• Se a > 0, então f será crescente;

Para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí,ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2). • Se a < 0, então f será decrescente;

Para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí,ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).

Exemplo:(UEA) Para que valores de m a funçãof(x) = (2m – 3)x + 7 será crescente?a) m > 3; b) m < -1/2;c) m > 3/2; d) m < -2; e) m > 2.

Solução:f(x) = (2m – 3)x + 72m – 3 > 02m > 3m > 3/2Observação:Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + bé uma reta. O coeficiente de x, a, é chamadocoeficiente angular da reta e, como veremosadiante, a está ligado à inclinação da reta emrelação ao eixo Ox.O termo constante, b, é chamado coeficiente linearda reta. Para x = 0, temos y = a . 0 + b = b.

Assim, o coeficiente linear é a ordenada do pontoem que a reta corta o eixo Oy.

3. Zero e Equação do 1.° Grau

Chama-se zero ou raiz da função polinomial do1.° grau f(x) = ax + b, a ≠ 0, o número real x talque f(x) = 0. Temos: f(x) = 0 ⇒ ax + b = 0

Exemplo:(PUC) Para que valores de a, o número –1 seráraiz da função f(x)= (1 – a)x + 2?

a) a = –1 b) a = 1 ou a = 0c) a = –2 ou a = –1/3 d) a = 1/3e) a = 2

Solução:x = -1f(x) = (1 – a)x + 2 ⇒ (1 – a)x + 2 = 0(1 – a)(-1) + 2 = 0-1 + a + 2 = 0 ⇒ a = -1

Função polinomial do 2.° grau

1. DefiniçãoChama-se função quadrática, ou função polino-mial do 2.° grau, qualquer função f de IR em IRdada por uma lei da forma f(x)=ax2+bx+c,onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.Exemplos de função do 2.° grau:a) f(x) = -1 + 2x – 3x2 ⇒ a = -3, b = 2 e c = -1b) f(x) = -1 + 5x2 ⇒ a = 5, b = 0 e c = -1c) f(x) = 3x2 ⇒ a = 3, b = 0 e c = 0d) f(x) = 10x – 3x2 ⇒ a = -3, b = 10 e c = 0Observação: Quando os coeficientes foremnão-nulos, então a função do 2.° grau seráchamada de completa.

2. Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2.° grau,y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma curvachamada parábola.• a > 0, então f terá concavidade voltada para

cima;• a < 0, então f terá concavidade voltada para

baixo;

3. Zero e Equação do 2.° Grau

Chama-se zeros ou raízes da função polinomialdo 2.° grau f(x) = ax2 + bx + c , a ≠ 0, osnúmeros reais x tais que f(x) = 0.Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + csão as soluções da equação do 2.° grauax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pelachamada fórmula de Bhaskara:

Observação:A quantidade de raízes reais de uma funçãoquadrática depende do valor obtido para oradicando Δ, chamado discriminante, a saber: • quando Δ é positivo, há duas raízes reais e

distintas; • quando Δ é zero, há só uma raiz real;• quando Δ é negativo, não há raiz real.Exemplo:

(UFAM) Para que o gráfico da funçãof(x) = x2 –2x + p intercepte o eixo dos x emapenas um ponto, p deve ser igual a:a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

Solução:f(x) = x2 –2x + pΔ = 0(-2)2 – 4.1.p = 04 – 4p = 04 = 4p ⇒ p = 1(Letra B)

4. Coordenadas do vértice da parábola

Quando a > 0, a parábola tem concavidadevoltada para cima e um ponto de mínimo V;quando a < 0, a parábola tem concavidadevoltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V são

. Veja os gráficos:

4

DesafioMatemático01. (FUVEST) Qual é o domínio mais amplo

da função:

f(x) = ?

a) x ≠ 1/2b) x > 1/2c) x < 1/2d) x = 1e) n.d.a.

02. (UFAM) Resolva em IR o sistema deinequações:

2x – 10 < 0–3x +16 ≤ 0

a) 2 < x < 5b) 2 ≤ x < 5 c) x < 2d) x > 5e) x = 3

03. (UEA) A função f do 1.° grau é definidapor f(x) = 3x + k. O valor de k para queo gráfico de f corte o eixo dasordenadas no ponto de ordenada 5 é:

a) 1;b) 2;c) 3;d) 4;e) 5.

04. (UTAM) O número de soluções inteirasdo sistema:

2x – 20 < ––––––– ≤ 2 é:

3a) 0;b) 1;c) 2;d) 3;e) 4.

05. (MACK) Em IN, o produto das soluçõesda inequação 2x – 3 ≤ 3 é:

a) maior que 8; b) 6; c) 2;d) 1; e) 0.

06. (UFRS) O menor inteiro positivo n talque 3n ≥ 1/2 (n + 31) é:

a) 5; b) 6; c) 7;d) 8; e) 9.

07. (UNIP) A solução do sistema3x + 2 < 7 – 2x48x < 3x + 1011– 2 (x– 3) > 1 – 3 (x – 5)

é o conjunto de todos os números reaisx, tais que:

a) –1 < x < 0b) –1 < x < 1c) –1 < x < 2/9(Solução)d) –1 < x < 1/3e) –1 < x < 4/9

Matemática Professor CLÍCIO

Exemplo:(PUC) Determine as coordenadas do vértice daparábola y = -x2 + 2x – 5.a) (1,-4) b) (0,-4) c) (-1,-4)d) (2,-2) e) (1,-3)

Solução:(1) y = -x2 + 2x – 5, então a = -1, b = 2 e c = -5(2) Δ = b2 – 4ac = 22 – 4.(-1).(-5) = -16

–b –2(3) xv = –––––– = ––––––=12a 2.(–1)–Δ –(–16)(4) yv = –––––– = ––––––=14a 4.(–1)

(5) Logo o vértice é dado pelo ponto (1,-4).

Exemplo:(UFAM) Determine a equação do eixo desimetria da parábola dada por y = -x2 + 2x.a) x = -1 b) x = 3 c) x + 2 = 0d) x = -3 e) x – 1 = 0

Solução:(1) y = -x2 + 2x a = -1, b = 2 e c = 0(2) O eixo de simetria é dado pela equação x

= xv, então:–b –2xv = –––––– = ––––––=12a 2.(–1)

(3) Logo a equação do eixo de simetria é x = 1

5. Imagem

O conjunto-imagem Im da função y=ax2+bx+c,a ≠ 0, é o conjunto dos valores que y podeassumir. Há duas possibilidades: a > 0,

–ΔIm = {y ∈ IR | y ≥ Yv = –––– }4aa < 0

–ΔIm = {y ∈ IR | y ≤ Yv = –––– }4aExemplo

(UEA) Determine o conjunto-imagem dafunção f(x) = 3 – x + x2.a) Im(f) = [11/4;+∞[ b) Im(f) = [4;+∞[c) Im(f) = [11;+∞[ d) Im(f) = ]11/4;+∞[e) Im(f) = [11/4;+∞]

Solução:f(x) = 3 – x + x2

a = 1, b = -1 e c = 3Δ = b2 – 4acΔ = (-1)2 – 4.1.3 = -11

–Δ –(–11)yv = –––––– = ––––––= 11/44a 4.1Im(f) = [11/4;+∞[

6. Construção da Parábola

É possível construir o gráfico de uma função do2.° grau sem montar a tabela de pares (x, y),mas seguindo apenas o roteiro de observaçãoseguinte:

• O valor do coeficiente a define a concavidadeda parábola.

• Os zeros definem os pontos em que a parábolaintercepta o eixo dos x.

• Vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0),ou máximo (se a< 0).

• A reta que passa por V = e é

paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria daparábola.

• Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c;então (0, c) é o ponto em que a parábolacorta o eixo dos y.

Exemplo:(USP) Construir o gráfico da funçãof(x) = –x2 + 2x –1, no plano cartesiano.

Solução:(1) f(x) = -x2 + 2x –1, então a = -1, b = 2 e c = -1(2) Δ = b2 – 4ac, então Δ = 22 – 4.(-1).(-1) = 0,

logo as raízes de f são:

–b –2(3) xv = –––––– = ––––––=12a 2.(–1)

–Δ –0(4) yv = –––––– = ––––––=04a 4.(–1)

(5) O vértice da parábola é dado pelo ponto (1,0)(6) f toca o eixo das ordenadas no ponto (0,-1)(7) Então o gráfico pode ser dado por:

7. Sinal

Consideramos uma função quadráticay = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos osvalores de x para os quais y é negativo, e osvalores de x para os quais y é positivo.Para Δ > 0, teremos que:quando a < 0

quando a > 0

Exemplo:(UFAM) Para que valores de x teremos

2 – x–––––––– > 0?

1 + x2

a) x < 2; b) x > 2; c) x = 2;d) x > 1; e) x < 1.

Solução:

(1) 1 + x2 > 0, para todo x real2 – x(2) Para ––––––– > 0, devemos ter 2 – x > 0

1 + x2

(3) Então x < 2

5

DesafioMatemático

01. (PUC) Para que valores de x teremos1 – x2 < 0 ?

a) x > -1 ou x < 1b) x < -1c) x > 1d) x < -1 ou x > 1e) x < 0

02. (UFPA) Resolva em IR o sistema deinequações

x2 – 4x + 3 > 0– x2 + x +2 ≤ 0

a) x < -1 ou x > 3b) x > -1c) x < 3d) x ≤ –1 ou x > 3e) n.d.a.

03. (MACK) Em IR, o domínio mais amplopossível da função f, dada por

1f(x) = ––––––––, é o intervalo:

a) [0,9]b) ]0,3[c) [-3,3[d) ]-9,9[e) ]-9,0[

04. (UEA) Determine o conjunto-soluçãoda inequação

x – 1––––––––––– ≤ 0x2 – 5x + 6

a) x ≤ 1 ou 2 < x < 3b) x ≤ 1c) x<3d) x < 1 ou 2 < x < 3d) x ≤ 1 ou 2 < x ≤ 3

05. (UFAM) Determine o conjuntoimagem da função f(x) = x2 – 2x – 3.

a) x < -4 b) x > -4 c) x = -4d) x ≥ -4 e) x ≠ -4

06. (USP) Determine os valores de k reais,tal que f(x)=kx2+2(k+1)x–(k+1) sejaestritamente negativo para todo valorreal de x.

a) –1 < k < -1/2 b) k < -1/2c) k > -1 d) –1 < k ≤ -1/2e) k = -1

07. (UEL) O lucro de uma loja, pelavenda diária de x peças, é dado porl(x) = 100(10 – x).(x – 4). O lucromáximo por dia, é obtido com avenda de:

a) 7 peças;b) 10 peças;c) 14 peças;d) 50 peças;e) 100 peças.

Cinemática escalar

CINEMÁTICA ESCALARCinemática é a parte da Mecânica que estudaos movimentos sem analisar as causas e semconsiderar as massas dos corpos que semovimentam (a palavra cinemática deriva dogrego para movimento).

1. CONCEITOS BÁSICOS

GRANDEZA – Aquilo que pode ser objetivamentemedido, ou seja, comparado a um padrão.UNIDADE – Quantidade arbitrária usada paracomparar grandezas de mesma espécie. Asunidades de medida adotadas no Brasil são asdo Sistema Internacional de Unidades (SI).Veja a coluna ANOTA AÍ.PONTO MATERIAL – Todo corpo possuidimensões, mas, às vezes, elas não sãoconsideradas por serem muito pequenas emrelação às distâncias envolvidas em certosproblemas. Um corpo, em tais circunstâncias, édefinido como um ponto material (a Terra emrelação ao Sol; uma canoa navegando no rioNegro; o “Vivaldão” em relação à cidade).Qualquer corpo pode ser considerado um pontomaterial, dependendo da comparação que sefaça, ou seja, dependendo do referencial.Quando as dimensões do corpo não puderemser desprezadas, ele será considerado corpoextenso.

TRAJETÓRIA – Conjunto das posiçõesocupadas pelo móvel. As marcas deixadas poruma tartaruga, por exemplo, na areia da praia,representam a trajetória do movimento.

REFERENCIAL – Qualquer sistema físico (outrocorpo) que sirva de referência para balizar osestados cinemáticos de movimento e repouso.MOVIMENTO – Um corpo está em movimentoquando muda de posição em relação a umreferencial ao longo do tempo.REPOUSO – Se, durante um certo intervalo detempo, o corpo mantém sua posição constanteem relação a um referencial, dizemos que ele seencontra em repouso.Importante: movimento e repouso sãoconceitos relativos, ou seja, dependem de umreferencial (um carro em viagem numa estradaestá em movimento em relação à pista, mas emrepouso em relação ao seu motorista). Do pontode vista físico, são impossíveis repousoabsoluto e movimento absoluto (não épossível aceitar que um carro, estando emmovimento em relação à pista, esteja emmovimento em relação a quaisquer referenciais).

Arapuca 1

(Cuidado com as questões teóricas. Elasexigem cuidadoso trabalho de interpretação).

01. (UEA –Simuladão Aprovar 1) O InstitutoNacional de Pesquisas Espaciais (INPE) e aNational Geographic Society reconheceram anova nascente do rio Amazonas nos Andesperuanos, o que fez desse rio o mais extensoda Terra. Viajando de Tefé para Manaus, umaluno do Aprovar diz a um colega que o rio

Amazonas, apesar de sua extensão, podeser considerado uma partícula. O colegadiscorda dizendo que isso é impossível, jáque o rio é absurdamente maior que o barcoem que viajam. Quanto a isso, podemosafirmar:

I. O barco é uma partícula em relação ao rio.II. O rio Amazonas é uma partícula em

relação à Terra.III. Nem o barco nem o rio podem ser

considerados partículas porque têmcomprimentos significativos.

IV. Qualquer corpo pode ser consideradouma partícula.

a) Todas estão corretas.b) I, II e IV estão corretas.c) Apenas III está correta.d) I e III estão corretas.e) Apenas IV está incorreta.

VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA

Fornece uma informação global do movimento,relacionando o espaço percorrido pelo móvel aotempo que ele gastou no percurso:

ΔsVm = ––––––

ΔtAtenção: O cálculo da velocidade escalarmédia, refere-se ao tempo global do movimento,incluindo os eventuais tempos em que o móvelesteve parado.

Aplicação 1

Com destino ao Núcleo da UEA no município deEirunepé, iniciamos viagem a partir do aeroportode Manaus. No percurso, o avião fez três escalas:a primeira, em Coari, 1h e 10min depois dapartida; a segunda, em Tabatinga, 1h depois deCoari; a terceira, em Carauari, 50min depois deTabatinga. Mais 1h de vôo e chegamos aEirunepé. Sabendo-se que o avião desenvolveuuma velocidade média de 450km/h, qual seria aeconomia de tempo se essa velocidade fosse150km/h maior?

Solução:Somando os tempos, descobriremos que entreManaus e Eirunepé o avião voou 4h. Quedistância ele percorreu a 450km/h?

ΔSvm = ––––––

ΔtΔS

450 = –––––– ∴ ΔS = 1800km4

Em quanto tempo o avião voaria essa distância auma velocidade 150km/h maior, ou seja, a600km/h?

1800600 = –––––– ∴ ΔΔt = 3h

ΔtEntão, economia de tempo seria de 1 hora.

Arapuca 2

Um automóvel deslocou-se de A até B, percor-rendo 240km, com velocidade escalar médiaigual a 60km/h, e prosseguiu de B até C, percor-rendo mais 240km, com velocidade escalarmédia igual a 120km/h. Calcule a velocidadeescalar média de A até C.

Solução:

ΔS ΔSvm = –––––– ∴ Δt = ––––––

Δt vm

6

FísicaProfessor CARLOS Jennings

01. (UEA) Em uma das excursões à Lua, osastronautas americanos instalaram, emsolo lunar, um espelho plano voltadopara a Terra. Os cientistas enviaram umraio laser, cuja velocidade de propaga-ção é 3,0.108m/s, que se refletiu nesseespelho e voltou à Terra. Considerandoque a distância Terra-Lua é 400.000km,o tempo total de ida e volta do laser foi,aproximadamente:a) 1,3s b) 1,8s c) 2,6sd) 3,2s e) 4,7s

02. (UEA – Aprovar 2) Um mosquito estápousado em um biribá, saborosa frutaamazônica, que se desprendeu daárvore e cai livremente. É corretoafirmar que:a) O mosquito está em movimento em

relação ao biribá.b) O mosquito está em repouso em relação

ao biribá, mas em movimento em relaçãoao solo.

c) O mosquito não muda de posição emrelação ao biribá, mas muda de posiçãoem relação ao biribazeiro.

d) O biribazeiro está em movimento emrelação ao mosquito e ao biribá.

e) “b”, “c” e “d” são corretas.

03. (UEA – Aprovar 1 – Simuladão) Umaunidade denominada nó, que corres-ponde a 1,8km/h, é muito utilizada emnavegação. Um barco regional,desenvolvendo velocidade constantede 10 nós, em um trecho retilíneo dorio Negro, percorre em 2,5 horas:a) 18km b) 25km c) 35kmd) 45km e) 90km

04. Um ônibus parte da rodoviária deManaus às 06h e chega a Itacoatiara,distante cerca de 260km, às 10h domesmo dia, tendo realizado parada de0,5h, no km 80. A velocidade escalarmédia de toda a viagem é, em km/h:a) 50 b) 65 c) 70d) 80 e) 90

05. (FATEC-SP) Um veículo percorre 100mde uma trajetória retilínea comvelocidade constante de 25m/s e os300m seguintes com velocidadeconstante de 50m/s. A velocidademédia durante o trajeto todo é:a) 37,5m/s b) 40m/s c) 53,3m/sd) 75m/s e) 80m/s

06. (UEA – Aprovar 1 – Simuladão) Durantea transmissão do clássico entre GrêmioCoariense e São Raimundo, pelo cam-peonato amazonense de futebol, ocomentarista da TV estimou que oárbitro da partida correu 12km duranteos 90min do jogo. A velocidade escalarmédia do árbitro foi de:a) 8m/s b) 8km/h c) 2,2km/hd) 80km/h e) 22m/s

DesafioFísico

240 ΔtAB = –––––– ∴ ΔtAB = 4h 60 240 ΔtBC = –––––– ∴ ΔtBC = 2h 120

ΔS 480 VmAC

= –––––– ∴ VmAC= –––––– = 80km/h

Δt 6 Cuidado com a armadilha: a velocidade médiaentre A e C não é dada pela média aritméticadas velocidades entre AB e BC.

MOVIMENTO UNIFORME (MU)

PRINCIPAL CARACTERÍSTICAVelocidade escalar constante – Um móvelrealiza um movimento uniforme quando percorreespaços iguais em tempos iguais, ou seja, oespaço varia uniformemente ao longo do tempo.Isso só ocorre quando a velocidade do móvelpermanece constante durante todo o trajeto.

CLASSIFICAÇÃO DO MUa) Movimento Uniforme Progressivo – O sentido

do movimento coincide com o sentido fixadocomo positivo para a trajetória; a velocidade domóvel é positiva; os espaços aumentam alge-bricamente em relação à origem.

b)Movimento Uniforme Retrógrado (ouregressivo) – O móvel anda contra a orien-tação da trajetória; a velocidade é negativa;os espaços diminuem algebricamente emrelação à origem.

EXPRESSÃO MATEMÁTICA DO MUFunção horária do espaçoComo a velocidade v é constante, vm = v. A

ΔS expressão Vm = ––––– pode ser

Δt escrita como:

s – so s – sov = ––––––––– ⇒ v = –––––––––t – to t

s – so = vt ⇒ s = so + vt

GRÁFICOS DO MU

a)A função horária do espaço, com So e vconstantes e v ≠ 0, é do primeiro grau em t.Assim, o gráfico S X t é um segmento de retainclinado em relação aos eixos.

b)Como a velocidade escalar é constante, ográfico v X t é um segmento de reta paraleloao eixo dos tempos.

MU progressivo: v > 0

MU retrógrado: v < 0

Aplicação 2

A figura a seguir mostra duas “voadeiras”, A e B,consideradas pontos materiais, em movimentouniforme, com velocidades escalares de módulosrespectivamente iguais a 5m/s e 3m/s. A situaçãorepresentada na figura corresponde ao instantet = 0. Determine o instante e a posição em que Ae B se encontram.

Solução:Funções horárias dos móveis:

S = So + vtSA = 20 + 5tSB = 90 + 3tNo instante do encontro:SA = SB (mesma posição)20 + 5t = 90 + 3t5t - 3t = 90 - 202t = 70 ⇒ t = 35sPosição do encontro (utilize qualquer uma dasfunções):SA = 20 + 5tSA = 20 + 5.35 ⇒ SA = 195m

Aplicação 3

Em Maués, por ocasião do aniversário da cidade,ocorre uma competição de remo em que ascanoas cumprem um percurso retilíneo demar-cado por bóias no rio. Calcule o tempo que umacanoa de 6m de comprimento, conduzida pordois remadores, viajando a 4m/s, gasta paraatravessar completamente um trecho de 10mdemarcado por duas bóias consecutivas.

Solução:

S = So + vtΔS = vtComo a canoa é um corpo extenso,ΔS = 6m + 10m:6m + 10m = 4.t16 = 4t ⇒ t = 4s

Aplicação 4

01. O movimento uniforme de umapartícula tem sua função horáriarepresentada no diagrama. Determinea função horária dos espaços paraesse movimento.

Solução:Retire do gráfico os valores do espaço em doisinstantes quaisquer:Em t1 = 2s ⇒ S1 = 0;Em t2 = 4s ⇒ S2 = 10m.

A função horária do espaço num MU é:S = So +vtS = –10 + 5t

7

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADEÉ o conjunto oficial de unidades adotado emquase todo o mundo. Nesse conjunto, existemalgumas unidades fundamentais que geramunidades derivadas. A tabela a seguir mostra asunidades fundamentais que nos interessam napreparação ao vestibular:

As unidades derivadas são combinações deunidades fundamentais. Veja alguns exemplos:Unidade de área = m . m = m2

Unidade de volume = m . m . m = m3

Unidade de velocidade = m/s

Prefixos usados no SI

Exemplos:0,000003s = 3 . 10-6 s = 3?s9 000 000 000m = 9 . 109 m = 9Gm105 000 000Hz = 105 . 106 Hz = 105MHz

Desafio Físico01. (Unicamp) Um carro, a uma

velocidade constante de 18km/h, estápercorrendo um trecho de ruaretilíneo. Devido a um problemamecânico, pinga óleo do motor àrazão de 6 gotas por minuto. Qual adistância entre os pingos de óleo queo carro deixa na rua?

02. (CESGRANRIO-RJ) Uma linha deônibus urbano tem um trajeto de25km. Se um ônibus percorre essetrajeto em 85min, sua velocidademédia é de aproximadamente:a) 3,4km/h b) 50km/h c) 18km/hd) 110km/h e) 60km/h

AnotaAí!

Movimento uniformementevariado (MUV)

PRINCIPAL CARACTERÍSTICAAceleração escalar constante – Isto quer dizerque a velocidade escalar do móvel variauniformemente no tempo, ou seja, de“quantidades” iguais em tempos iguais. Se, porexemplo, um móvel apresenta uma aceleraçãoescalar constante de 4m/s2, isso significa que avelocidade dele varia 4m/s a cada segundo.

CLASSIFICAÇÃO DO MUV

a)Movimento acelerado uniformemente – Omódulo da velocidade escalar aumenta aolongo do tempo. Velocidade e aceleraçãoescalares têm sentidos e sinais iguais.

b)Movimento retardado uniformemente – Omódulo da velocidade escalar diminui nodecurso do tempo. Velocidade e aceleraçãoescalares têm sentidos e sinais contrários.

EXPRESSÕES DO MUV

a)Função horária da velocidade: v = vo +atat2

b)Função horária do espaço: S=So+vot+–––2

c) Equação de Torricelli: v2=v2o+ 2aΔS

(expressão do MUV que independe do tempo).

Aplicação 1

Uma partícula move-se ao longo de uma retaorientada, e sua posição varia com o tempoconforme a equação S = 6 – 8t + 2t2 (SI).Determine:a) o(s) instante(s) em que a partícula passa pelaorigem dos espaços;Solução:Na origem, S = 0:2t2 – 8t +6 = 0 ⇒ ⇒ t = 1s e t =3sb) o instante e a posição em que ocorre ainversão do movimento;Solução:

at2S = So + vot + –––––2

S = 6 – 8t + 2t2

So = 6mvo = –8m/s

a––– = 2 ⇒ a = 4m/s2

2v = vo + at ⇒ v = –8 + 4tNa inversão do sentido, v = 0:0 = – 8 + 4t ⇒ t = 2sA posição em t = 2s:S = 6 – 8.2 + 2.22 ⇒ S =–2m

c) a velocidade e a posição da partícula em t = 4s.Solução:v = –8 + 4.4 ⇒ v = 8m/sS = 6 – 8.4 + 2.42 ⇒ S =6m

Aplicação 2

Um ônibus, deslocando-se a 20m/s, é desacele-rado até o repouso com aceleração constante.O ônibus percorre 100m antes de parar. Calculea aceleração do ônibus, em módulo.

Solução:Quando, num MUV (aceleração constante), otempo é omitido, use Torricelli:

v = 0 (o ônibus pára no fim do movimento);vo = 20m/s; ΔS = 100m:v2 = v2

o + 2aΔS02 = 202 + 2a.1000 = 400 + 200.a 200a = –400a = –2m/s2

A aceleração é negativa e a velocidade é positiva:o movimento é uniformemente retardado.

GRÁFICOS DO MUV

a)A função horária do espaço, com So, vo e aconstantes e a ≠ 0, é do segundo grau em t.Assim, o gráfico S X t é um arco de parábola.

b)A função horária da velocidade é do primeirograu em t. Por isso, o gráfico v X t é umsegmento de reta inclinado em relação aoseixos.

c) Como a aceleração escalar é constante, ográfico a X t é um segmento de reta paraleloao eixo dos tempos.

Aplicação 3

Dado o gráfico do espaço em função dotempo para o movimento de uma partícula,determine:

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01. Num movimento retrógrado:

a) os espaços crescem algebricamente com otempo;

b) os espaços decrescem algebricamente como tempo;

c) a velocidade escalar aumenta;d) a velocidade escalar diminui;e) a velocidade é constante.

02. Num teste de desempenho, um carroconsegue atingir a velocidade de 88m/s,em 8s. Sabendo-se que o movimento docarro é uniformemente acelerado, e queele parte do repouso, qual a distânciapercorrida durante os 8s?

03. (FATEC) Partindo do repouso na datazero, um foguete é acelerado uniforme-mente, percorrendo 250m em trajetóriareta, em 5s. Calcule a aceleração, avelocidade final e a velocidade escalarmédia do foguete entre as datas 0 e 5s.

04. (Vunesp) O tempo de reação (intervalo detempo entre o instante em que umapessoa recebe a informação e o instanteem que reage) de um motorista é de 0,7se os freios podem reduzir a velocidade deseu veículo à razão mínima de 5m/s emcada segundo. Supondo que ele estejadirigindo à velocidade constante de 10m/s,determine o tempo mínimo entre o instanteem que avista algo inesperado, que o levaa acionar os freios, até o instante em que oveículo pára.

a) 2s b) 0,7s c) 3sd) 2,7s e) 10s

05. No problema anterior, qual foi a distânciapercorrida desde o instante em que osfreios foram acionados?

a) 17m b) 10m c) 7md) 20m e) 40m

06. (FEI–SP) Na figura, estão representadosos diagramas de velocidade de doismóveis em função do tempo. Essesmóveis partem de um mesmo ponto, apartir do repouso, e percorrem a mesmatrajetória retilínea. Em que instante(s) elesse encontram?

07. Enquanto uma partícula percorre 10m,sua velocidade varia de 10m/s para20m/s. determine a sua aceleraçãoescalar, suposta constante.

FísicaProfessor CARLOS JenningsDesafio

Físico

a) a equação horária da velocidade;b) a equação horária do espaço.

Solução:O gráfico é de MUV:So = 10mEm t = 1s, v = 0 (inversão do sentido domovimento):v = vo + at ⇒ 0 = vo + a . 1 ⇒ a = -vo (I)Em t = 1s, S = 11m:

at2S = So + vot + ––––– 2

a.12 a11 = 10 + vo .1 + ––––– ⇒ vo + ––– = 1 (II)2 2

Substituindo (I) em (II):vovo– ––––– = 1 ⇒ vo = 2m/s2

Portanto:a) v = 2 – 2t (SI)b) S = 10 + 2t – t2 (SI)

Arapuca 1

O gráfico mostra como varia oquadrado da velocidade escalar deuma partícula em função de suaabscissa s:

Determine a aceleração escalar dapartícula.

Solução:Retirando os valores do gráfico e aplicando-os à equação de Torricelli (cuidado com aarmadilha: o gráfico relaciona o quadradoda velocidade ao espaço):v2 = v2

o + 2aΔS vo = 0100 = 2.a.10a = 5m/s2

Aplicação 4

Os espaços de um móvel variam como tempo conforme o gráfico, que éum arco de parábola cujo vértice estálocalizado no eixo s:

Determine:a) o espaço em to = 0;b) a aceleração escalar;c) a velocidade escalar em t = 3s.

Solução:Vértice do arco de parábola no eixo s ⇒ vo = 0.

at2S = So +vo t + ––––

2Para t = 1s ⇒ S = 48m:

Para t = 2s ⇒ S = 57m:

Do sistema entre (I) e (II), temos:So = 45m e a = 6m/s2

Como v = vo + at:v3 = 0 + 6 . 3 ⇒ v3 = 18m/s

Arapuca 2

(FCC–SP) Um pouco de tinta foicolocada na banda de rodagem dopneu de um carro. Quando o carro semovimenta, a mancha de tinta deixamarcas no chão igualmenteespaçadas e com tonalidades cadavez mais fracas. O que se podeconcluir sobre a velocidade e aaceleração escalares do carro?

a) A velocidade é constante e nula.b) A velocidade é crescente e a aceleração

é constante.c) A velocidade é decrescente e a

aceleração é constante.d) A velocidade e a aceleração são variáveis.e) Nada se pode concluir porque os dados

são insuficientes.

Comentário:Cuidado com a armadilha: se não houver escor-regamento do pneu em relação ao solo, asmarcas deixadas no chão sempre estarão igual-mente espaçadas, independentemente do tipo demovimento que o carro esteja desenvolvendo.Portanto, a partir dos dados do problema nada sepode afirmar sobre a qualidade da aceleração eda velocidade do carro nesse movimento.Resposta: alternativa e.

Aplicação 5

(MACK) Um móvel, partindo do repouso,executa um movimento retilíneo cujaaceleração varia com o tempo conforme ográfico. Qual o espaço percorrido pelomóvel no fim de 4s?

Solução:De 0 a 3s, o móvel apresenta uma aceleraçãoconstante de 4m/s2 (MUV acelerado). O espaçopercorrido nesse intervalo é:

De 3s a 4s, a aceleração é constante e nula(MU). A velocidade nesse trecho (constante) é avelocidade final do trecho anterior:v = vo + at ⇒ v = 0 + 4 . 3 ⇒ v = 12m/sA distância percorrida nesse 1s de MU:ΔS2 = v . t ⇒ ΔS2 = 12mA distância total, de 0 a 4s, será:ΔS = ΔS1 + ΔS2ΔS = 18 + 12 ⇒ ΔS = 30m

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01. (UFRS) O gráfico representa a variaçãoda velocidade de um corpo em funçãodo tempo.

A seqüência de letras que aparece nográfico corresponde a uma sucessãode intervalos de tempo iguais. A maiordesaceleração ocorre no intervalodelimitado pelas letras:

a) Q e R. b) R e T. c) T e V.d) V e X. e) X e Z.

02. (ITA-SP) No instante t = 0, um móvelparte da origem do eixo x comvelocidade constante igual 3m/s. noinstante t = 6s, o móvel sofre umaaceleração de –4m/s2. A equaçãohorária a partir do instante t = 6s será:

a) X = 3t – 2t2 b) X = 18 + 3t – 2t2

c) X = 18 – 2t2 d) X = -72 + 27t – 2t2

e) X = 27t – 2t2

03. Um atirador ouve o ruído da balaatingindo um alvo, 3s após dispará-lacom velocidade de 680m/s. Sabendoque a velocidade do som no ar é340m/s, determine a distância entre oatirador e o alvo.

a) 680m b) 860m c) 780md) 800m e) 580m

04. (FEI-SP) Em 1946, a distância entre aTerra e a Lua foi determinada peloradar. Se o intervalo de tempo entre aemissão do sinal de radar e a recepçãodo eco foi de 2,56s e a velocidade dosinal de radar, 3.105 km/s, qual é adistância entre a Terra e a Lua?

a) 2,54 . 105 km b) 1,54 . 105 kmc) 3,84 . 108 km d) 3,84 . 105 kme) 5,80 . 105 km

05. Um automóvel está a 72km/h quandoseus freios são acionados, imprimindoao veículo uma aceleração escalarconstante de módulo igual a 5m/s2.Calcule a distância que ele aindapercorre até parar.

06. Um foguete parte do repouso a partirde uma plataforma de lançamento,com aceleração escalar constante de440m/s2, que é mantida nos primeiros19,8m da subida. Calcule a velocidadeescalar do foguete no fim dessedeslocamento.

DesafioFísico

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Crase 2 – Casos Especiais

1. NOME PRÓPRIO GEOGRÁFICOCom nomes de lugar (cidade, estado, país,continente, planeta), o fenômeno da craseacontece quando a palavra admite artigo a.

Teste prático – Para tirar dúvidas, faz-se oseguinte teste prático, usando os verbos virou ser:

a) Venho de ou venha da?b) Sou de ou sou da?

Se o resultado for de, conclui-se que onome não admite artigo (portanto semcrase); se o resultado for da, conclui-se queo nome admite artigo (o fenômeno da crasepode ocorrer).

Observação – Se o nome da localidade vierespecificado, a lógica é que admita artigo.

Exemplos comentados:

1. Nas férias, retornei a Itacoatiara.Sem crase porque Itacoatiara não admiteartigo (sou de Itacoatiara).

2. Nas férias, conheci a Bahia de JorgeAmado.Sem crase porque, apesar de Bahiaadmitir artigo (sou da Bahia), o verboconhecer não admite preposição.

3. Nas férias, fui à Bahia.Com crase porque Bahia admite natu-ralmente o artigo a (sou da Bahia).

4. Ao anoitecer, chegamos a Manaus.Sem crase porque Manaus não admiteartigo (sou de Manaus).

5. Ao anoitecer, chegamos à Manaus daZona Franca.Com crase porque a expressão “Manausda Zona Franca” admite artigo.

6. Meu maior desejo é visitar a Argentina.Sem crase porque, apesar de Argentinaadmitir artigo (sou da Argentina), o verbovisitar não admite preposição.

2. NOME DE MULHERPara usar (ou não) crase com nome demulher, temos de considerar três condições:

a) Pessoa determinada (íntima, familiar) –Admite artigo e, por isso, o fenômeno dacrase pode acontecer. Sabemos se apessoa é ou não de nosso convívio pelasinformações contidas na frase.

b) Pessoa não-especificada – Admiteartigo facultativamente; por isso, o uso dacrase também é facultativo.

c) Nome histórico – Por não admitir artigo,não admite crase.


1. Na reunião, fiz referência à Amélia, minhaprima.Com crase porque Amélia (nome deter-minado) admite artigo.

2. Enderecei vários e-mails à Catiane, minhanoiva.Com crase porque Catiane (nome deter-minado) admite artigo.

3. Na aula de História, o professor fez alu-são a Helena de Tróia.Sem crase porque nome histórico nãoadmite artigo.

4. Na aula de ontem, o professor fez alusãoa Helena.Crase facultativa porque Helena é nomenão-especificado.

5. Aproveitei o feriado e fui ver a Gabriela,irmã do Tenório.Sem crase porque o verbo ver é transiti-vo direto; função de “a Gabriela”: objetodireto.

3. À MODA, À MANEIRAAs expressões à moda, à maneira, desdeque sejam locuções adverbiais, provocam ofenômeno da crase, mesmo estando suben-tendidas e antes de palavra masculina.


1. O jovem escritor tem estilo à Machado deAssis.Crase correta porque o a com acento gra-ve representa a expressão “à maneira”.

2. Ela escreve à Márcio Souza.Crase correta porque o a com acento gra-ve representa a expressão “à maneira”.

3. Ela escreve a Márcio Souza.Sem crase porque se pode entender queele manda correspondência para MárcioSouza.

4. Quando sai à noite, ela veste-se à 1920,imitando alguma personagem da litera-tura.Crase correta porque o a com acento gra-ve representa a expressão “à maneira”.

5. Sempre admirei a maneira como ela seveste.Sem crase porque o verbo admirar étransitivo direto; função da expressão “amaneira”: objeto direto.

4. BIFE A CAVALO, À MILANESABife a cavalo – Sem crase porque não sepode entender que o bife seja “à moda ca-valo”.

Bife à milanesa – Com crase porque sepode entender “bife à moda de Milão”.

Bife à portuguesa – Com crase porque sepode entender “bife à moda de Portugal”.

Bife à Camões – Com crase porque sepode entender “bife à maneira de Camões”.

5. LOCUÇÕES FEMININAS (adverbiais,conjuntivas, prepositivas)As locuções adverbiais, prepositivas e con-juntivas, desde que femininas, provocam ofenômeno da crase.


1. Entrem e fiquem à vontade.Função da expressão “à vontade”:adjunto adverbial de modo.

2. Sempre estivemos à espera de milagres.Função da expressão “à espera demilagres”: adjunto adverbial de modo.

3. Com a crise, saímos à procura deemprego.Função da expressão “à procura de em-prego”: adjunto adverbial de modo.

4. Acirrou-se a procura por emprego.Função da expressão “a procura poremprego”: sujeito.

6. PALAVRA OCULTAEntenda-se por palavra oculta aquela queestá subentendida para evitar repetição des-necessária.


PortuguêsProfessor João BATISTA Gomes

LOCUÇÕES ADVERBIAIS FEMININAS

As locuções adverbiais femininas admitemcrase naturalmente.

à altura à prova d'águaà pura força às apalpadelasà baila à beçaà queima-roupa à beira (de)àquela época à beira-rioà boca cheia à rédea curtaà boca pequena à brasileira (moda)à busca (de) à revelia (de)à cabeceira (de) à riscaà caça (de) à cata (de)às cegas à saúde deàs avessas à custa (de)às carradas às carreiras à direita (de) à disparadaàs centenas à disposição (de)às cinco horas às clarasà doida às costasà moda (de) à escovinha (cabelo)à escuta à espera (de)à espreita (de) à esquerda (de)à semelhança de à exceção deà falta de às escondidasàs escuras às favasàs expensas de às gargalhadasà feição (de) à fina forçaà flor d'água às mancheiasà força (de) à frente (de)às margens de às mil maravilhasàs moscas à noiteà guisa (de) às ocultasà imitação de à paisanaà instância de às segundas-feirasà solta à sombra (de)às ordens (de) às pencasàs porções às pressasà Luís XV à luz deàs rajadas à Machado de Assisà maneira de à mãoàs suas ordens à mão armadaàs tantas às tontasàs turras à marcha réà margem (de) à superfície (de)à surdina à medida queà tarde à meia-noiteà mercê (de) à toa (sem rumo)à-toa (adjetivo) à mínguaà tona à traiçãoà moda (de) à última horaà mostra à uma (= juntamente)à uma hora à unhaà vela à venda (estar, pôr)à paisana às vésperas (de)às vezes à Virgem Santíssimaà porta (de) à vista (de)à prestação à primeira vistaà procura (de) à proporção queà prova d'água à vossa espera

Momento da crase

1. Vou à igreja de Santo Amaro, depois àde Santo Antônio.Observe que a palavra igreja está suben-tendida antes da expressão “de SantoAntônio”. Por isso, a crase é normal.

2. Refiro-me à moça da esquerda, não à dadireita.Observe que a palavra moça está suben-tendida antes da expressão “da direita”.Por isso, a crase acontece.

3. O assunto vai da página 5 à 10.Note que a palavra página está suben-tendida antes do número dez. Por isso, acrase acontece.

7. CRASE COM PRONOMES RELATIVOS

Para usar crase com pronomes relativos,temos de dividi-los em dois grupos:

a) Que, quem, cujo, cuja, cujos, cujas –Jamais admitem crase porque nãoadmitem artigo.

b) A qual, as quais – Admitem crase (porqueaceitam artigo) quando regidos por umverbo (ou substantivo) que exija a prepo-sição a.


1. Esta foi a única conclusão a que cheguei.Sem crase porque o pronome relativoque não aceita artigo.

2. Esta foi a única conclusão à qual cheguei.Com crase porque o pronome relativoqual aceita artigo.

3. Esta foi a única solução a qual encontra-mos.Sem crase porque o verbo encontrar(transitivo direto) não exige preposição.

4. Estão aqui as provas a que nos referimosno processo.Sem crase porque o pronome relativo quenão aceita artigo.

5. Estão aqui as provas às quais nos referi-mos no processo.Com crase porque o pronome relativo qualaceita artigo.

6. Ainda está em cartaz o filme a cuja partefinal assisti.Sem crase porque o pronome relativocuja não aceita artigo.

8. CRASE E MUDANÇA DE SENTIDO

Nos casos seguintes, a presença (ou ausên-cia) da crase implica mudança de sentido.Não se trata, pois, ao pé da letra, de crasefacultativa.

1. Ele escreve à Luís Fernando Veríssimo.Sentido: Ele escreve à maneira de LuísFernando Veríssimo.

2. Ele escreve a Luís Fernando Veríssimo.Sentido: Ele escreve para Luís FernandoVeríssimo (corresponde-se com ele).

3. Ele sempre namorou às cegas.Sentido: Ele sempre namorou sem medirconseqüências, adoidadamente.

4. Ele sempre namorou as cegas.Sentido: Ele sempre namorou mulherescegas.

9. CRASE COM DEMONSTRATIVOS

Admitem crase os demonstrativos que têmletra a inicial: aquele(s), aquela(s) e aquilo.Nesse caso, o fenômeno da crase é a fusãode a (preposição) + a (primeira letra dos pro-nomes demonstrativos).


1. Estou fazendo alusão àqueles que, em

eleições passadas, enganaram o povo.

A crase representa a fusão de a (prepo-

sição exigida por alusão) + a (de aquele).

2. Remeto esta mensagem àqueles que

tudo perderam nas enchentes.

A crase representa a fusão de a (preposi-

ção exigida por remeter) + a (de aqueles).

10. DEMONSTRATIVO “A”

Os pronomes demonstrativos aquele(s),

aquela(s) podem vir representados pelo

monossílabo a(s). Quando isso se dá em

sintonia com exigência da preposição a, a

crase acontece com naturalidade.


1. Não me refiro a você, mas à que chegou

atrasado.


ção exigida pelo verbo referir-se) + a

(demonstrativo que simboliza aquele).

2. Na reunião, fez alusão às mulheres de

hoje e às que lutaram pela igualdade no

passado.


ção exigida pelo substantivo alusão) + as

(que simboliza o demonstrativo aquelas).

3. Esta blusa é semelhante à que você me

deu no Natal passado.

A crase representa a fusão de a (prepo-

sição exigida pelo adjetivo semelhante)

+ a (que simboliza o demonstrativo

aquela).

Dificuldades da Língua

TOA, À TOA e À-TOA

1. TOA

Toa é substantivo. Significa corda com que

uma embarcação reboca outra que está à

deriva.

2. À TOA

À toa (com crase e sem hífen) é locução ad-

verbial de modo. Significa:

a) Ao acaso; a esmo; à doida.

Depois da separação, pus-me a viajar à

toa, sem me fixar em nenhum lugar.

b) Sem razão, ou por motivo frívolo;

irrefletidamente; inutilmente.

Quase sempre, ela briga com os filhos à

toa, à toa.

3. À-TOA

À-toa (com crase e com hífen) é adjetivo.

Significa:

a) Impensado, irrefletido.

Fez um gesto à-toa, sem intenção de ferir

ninguém.

b) Sem préstimo; inútil; desprezível; fácil.

Depois da morte do pai, virou um indiví-

duo à-toa.

Não quero importuná-lo com um proble-

ma à-toa.

11

Caiu no vestibular

01. (FGV) Observe a palavra sublinhadana frase: “A campanha de meusadversários interpõe-se à dos meusparceiros”.

Assinale a alternativa que JUSTIFICAo uso do sinal de crase:

a) Interpor-se rege preposição a esubentende-se um objeto indiretofeminino.

b) Interpor-se rege preposição a e “dosmeus parceiros” é masculino.

c) Interpor-se rege preposição a esubentende-se um objeto diretofeminino.

d) Interpor-se rege preposição a e oobjeto direto explícito é masculino.

e) Interpor-se é verbo intransitivo e “dosmeus parceiros” é adjunto masculino.

02. (FGV) Assinale a alternativa quepreenche, de acordo com a normaculta, os espaços da frase:

........ 23 anos ................. o golpe fatalno socialismo de Mitterrand.

a) A – aconteceub) Ha – aconteceuc) À – aconteciad) Há – aconteciae) A – acontecia

03. (FGV) Assinale a alternativa em quehá ERRO no uso do acento indicativode crase.

a) O leitor dedicava-se à leitura decrônicas.

b) O cronista dava preferência às crônicasde estilo mais elaborado.

c) O cronista produzia seus textos àtardinha.

d) O cronista deve estar atento àssituações do cotidiano.

e) O texto da crônica lembrava-lhe à suainfância.

04. (FGV) Dentre as frases abaixo, a queapresenta sinal indicador da craseindevido é:

a) Estas teses sobre a ilusão, à primeiravista, nada acrescentam ao que já se lênos estudos antigos.

b) À terapia convencional preferem osmédicos novas condutas quecombatam as ilusões patológicas.

c) Minha experiência revela que à ilusãonão se pode combater senão com otratamento psicológico.

d) A referência a doenças mentais ligadasàs ilusões marcou o congresso demedicina do mês passado.

Desafiogramatical

ALVARENGA, Beatriz et al. Curso deFísica. São Paulo: Harbra, 1979, 3v.

ÁLVARES, Beatriz A. et al. Curso deFísica. São Paulo: Scipicione, 1999, vol. 3.

BIANCHINI, Edwaldo e PACCOLA,Herval. Matemática. 2.a ed. São Paulo:Moderna, 1996.

BONJORNO, José et al. Física 3: de olhono vestibular. São Paulo: FTD, 1993.

CARRON, Wilson et al. As Faces daFísica. São Paulo: Moderna, 2002.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática:contexto e aplicações. São Paulo: Ática,2000.

GIOVANNI, José Ruy et al. Matemática.São Paulo: FTD, 1995.

Grupo de Reelaboração do Ensino deFísica (GREF). Física 3: eletromagne-tismo. 2.a ed. São Paulo: Edusp, 1998.

PARANÁ, Djalma Nunes. Física. SérieNovo Ensino Médio. 4.a ed. São Paulo:Ática, 2002.

RAMALHO Jr., Francisco et alii. OsFundamentos da Física. 8.a ed. SãoPaulo: Moderna, 2003.

TIPLER, Paul A. A Física. Rio de Janeiro:Livros Técnicos e Científicos, 2000, 3v.

DESAFIO HISTÓRICO (p. 3)01. B; 02. C; 03. D;

DESAFIO HISTÓRICO (p. 4)01. B; 02. A; 03. A;04. A;

DESAFIO HISTÓRICO (p. 5)01. B; 02. E; 03. A;

DESAFIO GEOGRÁFICO (p. 6)01. C; 02. D; 03. D;04. C;05. B;

DESAFIO GEOGRÁFICO (p. 7)01. B; 02. B; 03. B;04. D;

DESAFIO GEOGRÁFICO (p. 8)01. B; 02. B; 03. D;

DESAFIO GEOGRÁFICO (p. 9)01. C; 02. B; 03. C;

DESAFIO LITERÁRIO (p. 10)01. E; 02. B; 03. E;04. B;05. A;

Governador

Eduardo Braga

Vice-Governador

Omar Aziz

Reitor

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Vice-Reitor

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Assuntos Comunitários

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Mateus Borja

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Editoração Eletrônica

Horácio Martins

Encarte referente ao curso pré-vestibularAprovar da Universidade do Estado doAmazonas. Não pode ser vendido.

Este material didático, que será distribuído nos Postos de Atendimento (PAC) na capital e Escolas da Rede Estadual de Ensino, ébase para as aulas transmitidas diariamente (horário de Manaus), de segunda a sábado, nos seguintes meios de comunicação:

• TV Cultura (7h às 7h30); sábados: reprise às 23h Postos de distribuição:• Amazon Sat (15h às 15h30)• RBN (13h às 13h30) reprise: 5h30 e 7h (satélite) • PAC São José – Alameda Cosme Ferreira – Shopping São José • Rádio Rio Mar (19h às 19h30) • PAC Cidade Nova – Rua Noel Nutles, 1350 – Cidade Nova I• Rádio Seis Irmãos do São Raimundo • PAC Compensa – Av. Brasil, 1325 – Compensa

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www.uea.edu.br e www.linguativa.com.brEndereço para correspondência: Projeto Aprovar - Reitoria da UEA - Av. Djalma Batista,

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