2

3

1. Os alunos do 9º ano do CMRJ foram a uma visita ao Palácio Duque de Caxias para, além de conhecer o palácio, executar um trabalho sobre “grandes medições”, solicitado pelo seu professor de Matemática. Os alunos tinham que estimar a altura do prédio da Central do Brasil localizado ao lado do Palácio Duque de Caxias. Para realizar a tarefa, os alunos teriam que fazer a medição de ângulos a partir de três pontos distintos, determinados pelo professor, com o auxílio de um

teodolito e utilizar 3 1,73 em seus cálculos.

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Observe os resultados obtidos com as três medições descritas a seguir:

- a primeira medição foi feita a uma distância de 410 m do prédio, e o topo do prédio foi

observado segundo um ângulo de 15 ;

- a segunda medição foi feita depois de se aproximar do prédio, e o ângulo observado foi o dobro do ângulo da primeira medição;

- a terceira medição foi feita depois de se aproximar 84 m do prédio, a partir do ponto da

segunda medição, e o ângulo observado foi o triplo do ângulo da primeira medição.

5

6

A partir desses dados, calcule o valor aproximado da altura do prédio da Central do Brasil. a) 34 m

b) 48 m

c) 79 m

d) 115 m

e) 121m

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Resposta:[D]

Considere a figura.

Sabendo que AEB 15 ,= ADB 30 ,= ACB 45= e CD 84 m,= podemos concluir que o

triângulo ABC é isósceles. Logo, temos AB BC= e, portanto, vem

AB 3 ABtgADB

3BD AB 84

1,73(AB 84) 3AB

AB 114,43 m.

= =+

+ =

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2. Os alunos pré-egressos do campus Jaboatão dos Guararapes resolveram ir até a Lagoa Azul para celebrar a conclusão dos cursos. Raissa, uma das participantes do evento, ficou curiosa pra descobrir a altura do paredão rochoso que envolve a lagoa. Então pegou em sua

mochila um transferidor e estimou o ângulo no ponto A, na margem onde estava, e, após

nadar, aproximadamente, 70 metros em linha reta em direção ao paredão, estimou o ângulo

no ponto B, conforme mostra a figura a seguir:

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De acordo com os dados coletados por Raissa, qual a altura do paredão rochoso da Lagoa Azul?

Dados: sen (17 ) 0,29, = tan (17 ) 0,30, = cos (27 ) 0,89 = e tan (27 ) 0,51. =

a) 50 metros. b) 51 metros. c) 89 metros. d) 70 metros. e) 29 metros

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Resposta: [B]

Considerando x a altura do paredão e y a distância do ponto B ao paredão, temos:

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( )

xtg27 x y tg27 x 0,51y (I)

y

xtg17 x y 70 tg17 x 0,30y 21 (II)

y 70

= = =

= = + = ++

Fazendo (I) (II),= temos:

0,51y 0,30y 21 0,21y 21 y 100= + = =

Logo, a altura do paredão será:

x 0,51 100 51m.= =

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3. Um atleta de 1,70 metro de altura, percebe que, ao fazer flexões no momento em que

estica os braços, seu corpo, em linha reta, forma um ângulo de 30 com o piso. Nessas

condições, a que altura do piso se encontra a extremidade da sua cabeça? (Considere que os braços formam com o piso um ângulo reto). a) 85 cm.

b) 85 3 cm.

c) 170 3

cm.3

d) 85 2 cm.

e) 340 cm.

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Resposta:

[A]

Considere a situação

Utilizando da relação de seno temos:

cateto oposto 1 xsen(30 ) x 85 cm.

hipotenusa 2 1,7 = = =

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4. Ao soltar pipa, um garoto libera 90 m de linha, supondo que a linha fique esticada e forme

um ângulo de 30 com a horizontal. A que altura a pipa se encontra do solo?

a) 45 m.

b) 45 3 m.

c) 30 3 m.

d) 45 2 m.

e) 30 m.

15

Resposta:

[A]

Considere a situação

Aplicando o seno de 30 temos:

h 1 hsen(30 )

90 2 90

h 45 m.

= =

=

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5. Um estudante do curso técnico de Edificações do IFPE Campus Recife, precisou medir a

altura de um edifício de 6 andares. Para isso, afastou-se 45 metros do edifício e, com um

teodolito, mediu o ângulo de 28 , conforme a imagem abaixo.

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Usando as aproximações sen 28 0,41, = cos 28 0,88 = e tg 28 0,53, = esse estudante

concluiu corretamente que a altura desse edifício é a) 21,15 m.

b) 23,85 m.

c) 39,6 m.

d) 143,1m.

e) 126,9 m.

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Resposta: [B]

Utilizando a relação de tangente do ângulo 28 , temos:

cateto oposto alturatg(28 ) 0,53 altura 23,85 m.

cateto adjacente 45 = = =

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6. As rampas são uma boa forma de assegurar a acessibilidade para cadeirantes e indivíduos com mobilidade reduzida. A acessibilidade a edificações, mobiliário, espaços e equipamentos urbanos é assegurada em lei. A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), de acordo com a Lei Brasileira de Inclusão da Pessoa com Deficiência (13.146/2015), regula a construção e define a inclinação das rampas, bem como os cálculos para a sua construção. As diretrizes de cálculo da ABNT,

indicam um limite máximo de inclinação de 8,33% (proporção de 1:12). Isso significa que uma

rampa, para vencer um desnível de 1m, deve ter, no mínimo, 12 m de comprimento e isso

define que o ângulo de inclinação da rampa, em relação ao plano horizontal, não pode ser

maior que 7 .

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De acordo com as informações anteriores, para que uma rampa, com comprimento igual a

14 m e inclinação de 7 em relação ao plano, esteja dentro das normas da ABNT, ela deve

servir para vencer um desnível com altura máxima de

Use: sen7 0,12; cos7 0,99 = = e tg7 0,12. =

a) 1,2 m.

b) 1,32 m.

c) 1,4 m.

d) 1,56 m.

e) 1,68 m.

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Resposta: [E]

De acordo com as informações do problema temos a rampa de 14 m de comprimento

vencendo um desnível de medida x.

Calculando o desnível x, temos:

xsen7 x 14 sen7 x 14 0,12 x 1,68 m

14 = = = =

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7. Considere um triângulo retângulo, cujos ângulos agudos α e β satisfazem à condição

cos 0,8α = e cos 0,6.β = Determine a área desse triângulo, em 2cm , sabendo que o

comprimento da hipotenusa é 5 cm.

a) 4,5 b) 6 c) 7,5 d) 8 e) 10

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Resposta:[B]

Considere o triângulo:

Daí,

catetoadjacente acos 0,8

hipotenusa 5

a 4 cm

catetoadjacente bcos 0,6

hipotenusa 5

a 3 cm

α

β

= =

=

= =

=

Calculando a área do triângulo T(A ), temos: 2T

a b 4 3A 6 cm .

2 2

= = =

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8. Burj Khalifa, localizado em Dubai, é considerado o edifício mais alto do mundo, com cerca

de 830 m. A figura ao lado da fotografia representa a extensão vertical desse edifício altíssimo,

dividida em 8 níveis igualmente espaçados.

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Dado: adote 3 1,73= em suas contas finais.

Utilizando os dados fornecidos, um feixe de laser emitido a partir do ponto indicado na figura

por P atingiria a coluna central do Burj Khalifa, aproximadamente, na marca a) 5N .

b) 6N .

c) 7N .

d) 4N .

e) 3N .

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Resposta: [A] A medida de cada nível será:

830 8 103,75 m =

27

Na figura, temos:

htg 60 h 300 3 h 519 m

300 =

Dividindo 519 por 103,75, obtemos:

519 103,75 5

Portanto, o feixe de laser atingirá a coluna central do Burj Khalifa, aproximadamente, na marca

5N .

28

9. A torre de controle de tráfego marítimo de Algés, em Portugal, tem o formato de um prisma

oblíquo, com base retangular de área 2247 m . A inclinação da torre é de aproximadamente

76,7 , com deslocamento horizontal de 9 m da base superior em relação à base inferior do

prisma.

29

30

Resposta: [A]

Seja h a altura do prisma. Logo, sabendo que 1

tg76,7 ,tg13,3

=

temos

h 9tg76,7 h

9 0,24

h 37,5 m.

=

Por conseguinte, a resposta é 2247 37,5 9.300 m .

31

10. Um estudante do Curso de Edificações do IFAL utiliza um teodolito para determinar a altura de um prédio construído em um terreno plano. A uma determinada distância desse

prédio, ele vê o topo do prédio sob um ângulo de 30 . Aproximando-se do prédio mais 60 m,

passa a ver o topo do prédio sob um ângulo de 60 .

Considerando que a base do prédio está no mesmo nível da luneta do teodolito, qual a altura deste prédio?

a) 10 3 m.

b) 28 m.

c) 30 m.

d) 20 3 m.

e) 30 3 m.

32

Resposta:

[E]

Considere a seguinte situação:

33

Dessa maneira temos a seguinte proporção:

cateto oposto 3 h 3tg(30 ) h x

cateto adjacente 3 x 3 = = =

Aplicando no outro ângulo:

cateto oposto htg(60 ) 3 h 3 x 60 3

cateto adjacente x 60 = = = −

−

Substituindo o valor de h

3h 3 x 60 3 x 3 x 60 3 3 x 3 3 x 180 3 ( 3) x 90

3= − = − = − =

Logo, temos:

3 3h x h 90 30 3 m.

3 3= = =