DAFIS/DAQBI - PPGFCET

Sistemas Complexos

Prof. Mário Sérgio Freitas, Dr. - UTFPR/DAFIS

msergio58@gmail.com

[ M.S

. Freitas / U

TF

PR

]

Ementa0 – INTRODUÇÃO 1 – REDES BOOLEANAS E AUTÔMATOS CELULARES2 – AUTOSSIMILARIDADE E GEOMETRIA FRACTAL3 – EQUAÇÕES A DIFERENÇAS FINITAS ( “MAPAS” )4 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS UNIDIMENSIONAIS5 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS BIDIMENSIONAIS

texto-base: D.Kaplan, L.Glass Understanding Nonlinear Dynamics

(Springer, N.Y, 1995).

CAP 5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS BIDIMENSIONAIS

[ M

.S.F

reit

as /

UT

FP

R ]

5.1. Modelo Universal: O Oscilador Harmônico

* dinâmica oscilante:

impossível em eqs. difs. de primeira ordem com uma variável

(só ponto fixo ou escape, com transiente sempre monotônico)

possível em eqs. difs. de primeira ordem com duas variáveis

possível em eqs. difs. de segunda ordem com uma variável

modelo de referência para estudo: “oscilador harmônico”

representa um sistema mecânico, elétrico, químico, etc.

visualização: bloco conectado a uma mola [fig. 5.1]

variável dinâmica considerada (x):

* no modelo, é a posição horizontal do bloco (x>0 à direita)

* posição de equilíbrio: x=0

enquanto passa pelo equilíbrio, tende a continuar (inércia)

afastado do equilíbrio, tende a voltar (elasticidade)

* força restauradora da mola p/ qualquer posição: Fmola = - k x

(k: constante elástica da mola ; m: massa do bloco)

equação diferencial do sistema sem atrito:

* segunda lei de Newton F = m a

F = Fmola = - k x

a = d2x / dt2

m d2x/dt2 = - k x

equação diferencial linear, ordinária, de segunda ordem

condição inicial: posição x0 e velocidade v0 = (dx/dt)|x=x0

(pode-se ter v>0 ou v<0 para o mesmo x)

solução da equação: série temporal x(t)

5.2. Soluções, Trajetórias, e Fluxos

supondo a condição inicial (repouso afastado do equilíbrio):

p/ t=0 x(0) = x0 0 ; v(0)=0

forma da solução:

t

m

kxtx cos)0()(

* para t , não é atingido um estado estacionário [fig. 5.2]

* a dinâmica oscila indefinidamente de forma periódica

* freqüência angular = (k/m) ½

* Período T = 2/

estado do sistema num tempo t:

* definido pelo par [ x(t), v(t) ]

seqüência contínua de estados: trajetória de fase

(termo geral: vale para variáveis elétricas, biológicas, etc)

plano de fase: representação geométrica [ x(t), v(t) ]

* conjunto contínuo de estados (pontos) trajetórias (linhas)

para soluções oscilantes: linhas contínuas fechadas [fig. 5.3]

(no oscilador harmônico: elipses)

* sistema sem perdas (no caso, seria o atrito): “conservativo”

não há transiente (a condição inicial é sempre revisitada)

os ciclos não têm estabilidade

(não se reestabelecem quando ligeiramente perturbados)

* fluxo (ou campo vetorial)

padrão da tendência em todas as regiões no plano de fase

representa geometricamente a equação diferencial [fig. 5.4]

http://www.pessoal.utfpr.edu.br/msergio/cap5/1Mola/index.html

5.3. Equação Diferencial Ordinária Bidimensional Linear

* forma geral

a (d2x/dt2) + b (dx/dt) + c x = 0

a, b, c: constantes (números reais)

* análise algébrica equação característica (incógnita:)

a 2 + b + c = 0

raízes da equação característica:

* em casos particulares, podem ser reais ou imaginários puros

* de forma geral, formam o par de números complexos {1; 2}

* 1 e 2 são chamados autovalores da equação diferencial

solução geral da equação diferencial bidimensional linear:

x(t) = C1 e 1 t + C2 e 2 t

* C1, C2 : constantes complexas associadas à condição inicial

exponenciais complexas associadas a funções trigonométricas

e + i = e ( cos + i sen )

implicação notável: 2,718 (3,142 . i) = -1

exemplo: oscilador harmônico amortecido

d2x/dt2 + dx/dt + 2 x = 0

equação característica:

2 + + 2 = 0

dois casos de interesse:

a) 1 , 2 : reais negativos ( 2 > 42 )

* solução: exponencial real negativa

* decaimento monotônico para x=0 [fig. 5.5]

b) 1 , 2 : complexos conjugados ( 2 < 42 )

1 = + i ; 2 = - i

* solução: exponencial complexa

* decaimento oscilatório para x=0 [fig. 5.6]

http://www.pessoal.utfpr.edu.br/msergio/cap5/1Mola/index.html

http://www.pessoal.utfpr.edu.br/msergio/cap5/2CurvaOscilatoria/index.html

5.4. Equações Lineares de Primeira Ordem Acopladas

http://www.biologycorner.com/bio4/ecology/communities.html

oscilador: eq. dif. de segunda ordem com uma variável

sistemas equivalentes: 2 eqs. difs. de primeira ordem

taxa temporal de uma variável: depende do estado da outra

* forma geral: dx/dt = A x + B y

dy/dt = C x + D y

* podem ser feitas duas transformações alternativas:

a) escrever como uma eq. dif. de 2a ordem com uma variável

d2x/dt2 – (A+D) dx/dt + (AD-BC) x = 0

b) escrever como um sistema de duas eqs. difs. desacopladas

envolve o cálculo dos autovalores (estudado a seguir)

DETERMINANTES E AUTOVALORES

sistema de duas eqs. difs. lineares acopladas

dx/dt = A x + B y

dy/dt = C x + D y

os autovalores 1 e 2 são as raízes da equação obtida por:

0det

DC

BA

sistema escrito em forma desacoplada com novas variáveis:

d/dt = 1

d/dt = 2

solução do sistema:

(t) = (0) e 1 t

(t) = (0) e 2 t

determinação de (0) e (0) a partir de x(0) e y(0):

* pela expressão da transformação de variáveis {x,y} {,}

x = +

y = +

sendo , , , constantes a determinar

com (t) e (t), volta na transformação e obtém x(t) e y(t)

5.5. Plano de Fase

sistema de duas eqs. difs. ordinárias não-lineares de 1a ordem:

dx/dt = f(x,y)

dy/dt = g(x,y)

* a solução analítica pode não ser possível

* informações qualitativas sobre o sistema:

estudo geométrico no plano de fase

dispensa integração numérica para encontrar pontos fixos !

exemplo de sistema não-linear:

* contagem de duas espécies interagentes de um ecossistema

variáveis dinâmicas:

população da espécie-presa (x)

população da espécie-predador (y)

argumentos para montagem do par de equações diferenciais:

* se y=0 x aumenta exponencialmente

* se x=0 y diminui exponencialmente

* para x maior: aumento mais rápido de x

* para y maior: diminuição mais rápida de y

* encontros: fazem diminuir x e tendem a aumentar y

* taxa de encontros: proporcional ao produto xy

modelo (equações de Lotka-Volterra):

dx/dt = x - xy

dy/dt = xy - y

, , , : constantes positivas

investigação no espaço de fase

primeiro passo: traçado das linhas x=cte e y=cte (isóclinas)

x=cte dx/dt=0 f(x,y)=0 x - xy = 0

soluções: x=0 para qualquer y (reta vertical)

y=/ para qualquer x (reta horizontal)

y=cte dy/dt=0 g(x,y)=0 xy - y = 0

soluções: y=0 para qualquer x (reta horizontal)

x=/ para qualquer y (reta vertical)

ex: parâmetros ==1; ==2

isóclinas de x x=0 ; y=0.5 (linhas grossas)

[fig. adicional a]

isóclinas de y y=0 ; x=0.5 (linhas finas)

[fig. adicional b]

* pontos que pertencem tanto à isóclina x como à isóclina y:

respeitam x=cte e y=cte

são pontos fixos do sistema de eqs. difs. não-lineares

(estados estacionários) [fig. adicional c]

estados do sistema fora das isóclinas: x e y variam com o tempo

ex: condições para x aumentar dx/dt > 0 x - xy > 0

solução: y< / ; x>0

y> / ; x<0 [fig. adicional d]

* combinando aumentos e diminuições de x e de y:

fluxo, ou campo vetorial [fig. 5.8];[fig. 5.9];[fig.5.10]

pode ser obtido computacionalmente [fig. 5.7]

*dada uma condição inicial, qual a dinâmica?

p/ x>0 e y>0: oscilações em torno de (x=/ ; y= /)

*as trajetórias espiralam para dentro, para fora, ou se fecham?

analogia com a energia no oscilador harmônico: ciclos fechados

http://www.pessoal.utfpr.edu.br/msergio/cap5/3PeixesTubaroes/index.html

http://membres.lycos.fr/predation/menace.htm

http://membres.lycos.fr/predation/menace.htm

http://membres.lycos.fr/predation/menace.htm

http://membres.lycos.fr/predation/menace.htm

http://membres.lycos.fr/predation/menace.htm

5.6. Análise da Estabilidade Local de

Equações Diferenciais Não-Lineares Bidimensionais

* estabilidade local: vizinhança de cada ponto fixo

aproxima o sistema não-linear por um sistema linear

aplica os mesmos critérios usados num sistema linear

dx/dt = f(x,y)

dy/dt = g(x,y)

pontos fixos:

(dx/dt)|x*,y* = (dy/dt)|x*,y* = 0 f(x*,y*) = g(x*,y*) = 0

expansão em série de Taylor na vizinhança de (x*,y*):

f(x,y) = f(x*,y*) + (f/x)|x*,y* (x-x*) + (f/y)|x*,y* (y-y*) + ...

g(x,y) = g(x*,y*) + (g/x)|x*,y* (x-x*) + (g/y)|x*,y* (y-y*) + ...

lembrando que

f(x,y) = dx/dt ; g(x,y) = dy/dt

f(x*,y*) = g(x*,y*) = 0

e fazendo a mudança de variável

X = x - x* ; Y = y – y*

e ainda

(f/x)|x*,y*=A ; (f/y)|x*,y*=B ; (g/x)|x*,y*=C ; (g/y)|x*,y*=D

o sistema pode ser aproximado na forma

dX/dt = AX + BY

dY/dt = CX + DY

(linearização do sistema de equações diferenciais não-lineares)

se for um outro ponto fixo: outros valores de A,B,C,D

* na vizinhança de cada ponto fixo:

dinâmica regida pelos autovalores do sistema linearizado

CBDADA 4)(2

1)(

2

1 2

1

CBDADA 4)(2

1)(

2

1 2

2

* casos possíveis:

A+D0 e (A-D)2 + 4BC = 0 1 e 2 nulos

A+D0 e (A-D)2 + 4BC < 0 1 e 2 imaginários puros

A+D0 e (A-D)2 + 4BC < 0 1 e 2 complexos conjugados

(A-D)2 + 4BC > 0 1 e 2 reais puros

* vários tipos de dinâmica

alguns exemplos:

a) 1 e 2 são complexos conjugados, com parte real negativa

A = -1 ; B = -1.9 ; C = 1.9 ; D = -1

1 = -1 + 1.9 i ; 2 = -1 – 1.9 i [fig. 5.11]

tipo de ponto fixo: “foco estável”

b) 1 e 2 são reais puros, ambos negativos

A = -1.5 ; B = 1 ; C = 1 ; D = -1.5

1 = -1 ; 2 = -4 [fig. 5.12]

tipo de ponto fixo: “nodo estável”

c) 1 e 2 reais puros, com sinais contrários

A = 1 ; B = 1 ; C = 1 ; D = -1

1 = 1.41 ; 2 = -1.41 [fig. 5.13]

tipo de ponto fixo: “ponto de sela”

[ http://www.csee.wvu.edu/~trapp/biharmonic.htm ]

[http://www.csee.wvu.edu/~trapp/biharmonic.htm ]

[ http://www.csee.wvu.edu/~trapp/biharmonic.htm ]

* análise qualitativa pelo cruzamento das isóclinas x e y:

vizinhança do ponto fixo dividida em 4 quadrantes

dx/dt > 0 , dy/dt > 0 (+,+)

dx/dt > 0 , dy/dt < 0 (+,-)

dx/dt < 0 , dy/dt > 0 (-,+)

dx/dt < 0 , dy/dt < 0 (-,-)

* a posição dos sinais fornece o tipo de ponto fixo

[fig. 5.16];[fig. 5.17];[fig. 5.18]

PERCEPÇÃO VISUAL DE FLUXOS

* figuras anteriores: fluxo representado por pequenas setas

mas nosso cérebro identifica padrões com pares de pontos!

procedimento:

* escolhe-se aleatoriamente um conjunto numeroso de pontos (A)

representado por círculos cheios, com diferentes diâmetros

* para cada ponto de A:

evolui as coordenadas x e y durante um pequeno t

( B ou C : aplicados autovalores reais puros )

* superpõe as duas imagens do conjunto, e o fluxo fica visível !

(rotacionando um pouco uma das imagens: autovalores complexos)

geometria de nodo superpõe B com Ageometria de foco superpõe B (um pouco rotacionado) com Ageometria de centro superpõe A (um pouco rotacionado) com Ageometria de sela superpõe C com A

5.7. Ciclos-Limite e o Oscilador de Van Der Pol

sistemas bidimensionais estudados até aqui:

*oscilador harmônico ciclo periódico na condição inicial*oscilador amortecido ponto fixo com aproximação alternada*Lotka-Volterra ponto fixo + ciclo periódico na condição inicial

comportamento importante em outros sistemas:

*ciclo periódico com transiente monotônico ou alternado

o estado assintótico é chamado “ciclo-limite”

pode ser estável ou instável

ex: oscilação cardíaca submetida a um choque elétrico

[fig. 5.22]

* modelo matemático equações de Van Der Pol

dx/dt = f(x,y) = (1/) [y – (x3/3) + x]dy/dt = g(x) = -x

sendo positivo e pequeno: 0<<<1 sistema não-integrável: não admite solução analítica exata

* análise geométrica no plano de fase

isóclina de x

dx/dt=0 y= (x3/3) – x

isóclina de y:

dy/dt=0 x=0

única intersecção: x=0 ; y=0 (ponto fixo)

fluxo no plano de fase [fig. 5.23]

http://www.pessoal.utfpr.edu.br/msergio/cap5/5VandDerPol/index.html

* pela equação: dy/dt é pequeno para qualquer condição inicial

* condição inicial afastada da isóclina x: x varia rápido(a pequena variação em y é insignificante)

* condição inicial próxima à isóclina x: x varia muito devagar(a pequena variação em y rege a dinâmica)

resultado: comportamento assintótico cíclico

série temporal com “saltos” [fig. 5.24]

* ponto fixo (x=0;y=0): pode-se mostrar que é instável(método de linearização)

5.8. Método de Euler para Integração Numérica

* analogamente ao método descrito no Cap. 4, item 4.6:

dx/dt = f(x,y)dy/dt = g(x,y)

* faz-se t = 0, , 2, 3, ...

x t +1 = xt + f ( x t , y t )

y t +1 = yt + g ( x t , y t )

x t +2 = x t +1 + f ( x t +1 , y t +1 )

y t +2 = y t +1 + g ( x t +1 , y t + 1 )

. . . série temporal de x

. . . série temporal de y

5.9. Dinâmica em Três ou Mais Dimensões

* análise matemática em termos genéricos: bem mais difícil

* aspectos conhecidos:

dinâmica na vizinhança de pontos fixos (linearização do fluxo)

alteração qualitativa pela variação de parâmetro (bifurcações)

* procedimento:

estuda-se sistemas específicos com comportamento caótico usa-se conceitos de estabilidade de sistemas bidimensionais

O ATRATOR DE LORENZ

* descoberta histórica: caos por simulação numérica* associado à meteorologia (modelo muito simplificado)* fluido livre entre duas placas a temperaturas diferentes* exemplo de fractalidade associada à caoticidade

* variáveis: velocidade do fluxo (x) diferença de temperatura entre o

fluido ascendente e o descendente (y) desvio do perfil vertical da temperatura (z)

* parâmetros: referentes à caracterização do sistema (=10 ; b=8/3) referente à diferença de temperatura entre as placas (r=28)

[ http://www.ucar.edu/communications/quarterly/spring08/ed_lorenz.jsp ]

[ http://eapsweb.mit.edu/research/Lorenz/Deterministic_63.pdf ]

Edward Lorenz (1917 - 2008)

* descoberta da aperiodicidade em sistemas determinísticos (1963)

* equações (com parâmetros para um caso caótico):

dx/dt = 10(y – x)dy/dt = x(28-z) – ydz/dt = xy – (8/3)z

* não existe solução analítica integração numérica [fig. 5.25]

* para t : não é atingido estado estacionárionão é atingido ciclo-limite

o estado assintótico é caótico

* série temporal: aperiódica, limitada, determinística

e com sensibilidade à condição inicial ! [fig. 5.26]

http://www.pessoal.utfpr.edu.br/msergio/cap5/6AtratorLorenz/index.html

http://www.pessoal.utfpr.edu.br/msergio/cap5/8ButterflyEffect/index.html

“efeito-borboleta”: cuidado com as interpretações enganosas!

* sistema: atmosfera da Terra* espaço de fase: multi-dimensional* ponto no espaço de fase: valor de todas as variáveis num mesmo instante* algumas regiões no espaço de fase: ocorrência de tornados* trajetória de fase típica: evolução temporal caótica* a região de tornado é fatalmente visitada mas não se pode prever quando !* supondo dois estados iniciais com uma única diferença: na Amazônia, uma borboleta permanece em repouso na Amazônia, a mesma borboleta levanta vôo (o ar se agita)* evoluindo em tempos iguais, atinge dois estados afastados: no Texas, ocorre o tornado no Texas, não ocorre o tornado* a borboleta não evitou nem provocou o tornado!* prejuízo na previsão da data do tornado por não se poder saber se aquela borboleta voou ou não

[ http://minitorn.tpu.ee/~jaagup/uk/dynsys/ds2/chaos/Poincare/Poincare.html ]

[ http://metric.ma.ic.ac.uk/articles/samos98/ ]

espaço de fase

* cada eixo representa uma variável

* estado instantâneo: ponto

* evolução temporal: linha contínua

seção de Poincaré

* seleção de uma amostragem

(ou “corte estroboscópico”)

* revela informação sobre a dinâmica

* geometria auto-similar: indica caos

(Slide Extra: Seção de Poincaré)

Henri Poincaré (1854 - 1912)

* primeira menção sobre a sensibilidade às condições iniciais (1903)

[ http://www-chaos.umd.edu/misc/poincare.html ]

[ http://poincare.univ-nancy2.fr/digitalAssets/23057_cs3.jpg ]

ANÁLISE DE ESTABILIDADE LOCAL

* generaliza-se os conceitos dos sistemas bidimensionais

pontos fixos, linearização, autovalores, etc.

* sistema linear de N equações de primeira ordem:

dx1/dt = a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1N xN

dx2/dt = a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2N xN

. . .dxN/dt = aN1 x1 + aN2 x2 + . . . + aNN xN

pode escrever como uma única equação de N-ésima ordem

N dNx/dtN + N-1 dN-1x/dtN-1 + . . . + 1 dx/dt + 0 x = 0

ou como uma equação diferencial matricial:

dX/dt = AX

X: vetor das variáveis (N1)

A: matriz dos coeficientes (NN)

* solução da equação diferencial: N funções xi(t)

xi(t) = Ci1 e1t + Ci2 e2t + . . . + CiN eNt

Cij : constantes complexas associadas à condição inicial

j : autovalores da matriz A

cálculo dos autovalores: equação característica (N-ésimo grau)

N N + N-1 N-1 + . . . + 1 + 0 = 0

* em notação matricial:

| A - I | = 0

(não é válido quando se tem autovalores idênticos)

* coeficientes da matriz: dependem dos parâmetros do sistema

mudanças de sinal na parte real dos autovalores: bifurcações

* análise de sistema não-linear na vizinhança de ponto fixo:

dxi/dt = fi(x1, x2, . . ., xN); i = 1, 2, . . ., N

* pontos fixos: iguala todas as derivadas a zero e resolve

* análise de estabilidade:

autovalores | A - I | = 0

A: matriz jacobiana do sistema

aij = (fi / xj)|ponto fixo

* visualização do espaço de fase:

feita por diversas projeções planas (seleciona duas variáveis)

FIM