Física para Engenharia II4320196 (FEP2196)

Turma 2011211 – Sala C2-13 3as – 15h00 / 5as – 9h20.

Prof. Antonio Domingues dos SantosDepto. Física Materiais e Mecânica – IF – USPEd. Mário Schemberg, sala 205adsantos@if.usp.br

Página do curso (Stoa -> Cursos -> IF -> Poli -> 4320196)http://moodle.stoa.usp.br/course/view.php?id=722

Módulo 3 – Ondas e Referenciais não inerciais

� Módulo 3 (9 aulas):� Ondas.

� Forças de Inércia, referenciais não inerciais, sistemas de coordenadas curvilíneas.

Bibliografia:� H. Moisés Nussenzveig, Curso de Física Básica, vol. 2 – Capítulo 5

(Ondas) e Capítulo 6 (Som).

� P. Boulos e D.L. Zagottis, Mecânica e Cálculo, vol 1 (Ed. Edgard

Blücher, 2000) – Capitulo 17 (Sistemas de coordenadas curvilíneas).

� H. Moisés Nussenzveig, Curso de Física Básica, vol. 1 - Capítulo 13

(Forças de Inércia).

SomO Som se caracteriza por efeitos ondulatórios que se propagam através de meios materiais, como fluídos (líquidos e gases) e sólidos.

Ondas sonoras são ondas longitudinais, associadas a variações de pressão

Relação pressão-densidadePara processos isotérmicos:

Para processos adiabáticos:

0

0T

PV nRT

nRTP

V

PP

ρ

ρ ρ

=

= ∝

∂= ∂

0

0s

nRTP

V

PP

γρ

γρ ρ

= ∝

∂= ∂

2 2

2 2 2

1 d u d u

v dt dx=

0( / )v P ρ= ∂ ∂

com

Velocidade do som em gasesPara processos isotérmicos:

(Newton)

Para processos adiabáticos:

(Laplace)

0

0T

PP

ρ ρ ∂

= ∂

0

0s

PPγ

ρ ρ ∂

= ∂

2 2

2 2 2

1 d u d u

v dt dx=

0( / )v P ρ= ∂ ∂

com

0( / ) 280 /v P m sρ= ∂ ∂ =

0( / ) 334 /

( 1,4)

v P m sρ

γ

= ∂ ∂ =

=

0 0/ /v P RT mγ ρ γ= =

Velocidade do som na águaPara a água

B é o modo de elasticidade volumétrico

9 22,2 10 /P

B x N mρρ

∆= = ∆

2 2

2 2 2

1 d u d u

v dt dx=

0( / )v P ρ= ∂ ∂

com

0/v B ρ=

1483 /v m s=

Em sólidos, em geral, B é maior

3000 /v m s∼

Ondas sonoras harmônicas

f ~ 20 a 2000 Hz

V ~ 340 m/s

/v fλ =

Para a onda de pressão pode-se escrever:

( , ) cos( )u x t U kx tω δ= − +

1,7 ~17cm mλ =

2

0( , )u

p x t vx

ρ∂

= −∂

Onde temos a onda de densidade

0( , )u

x tx

δ ρ∂

= −∂

2

0( , ) sin( )p x t v kU kx tρ ω δ= − +

Intensidade de uma onda sonora

Limite de audibilidade= 10-12 W/m2

Limite de sensação dolorosa= 1 W/m2

Intensidade é a média em um período, dividido pela A

2 2 2

0

( , ) ( , )

sin ( )

F x t p x t A

uF A v kU kx t

tω ρ ω δ

=

∂= − +

∂

2 2

0

1

2I v kUωρ=

Força e a potencia instantanea:

Unidade de intensidade sonora é o bel

10

0

10log ( )I

dbI

α =

Sons musicais

Sons musicais se caracterizam por Intensidade, Altura e Timbre

Som musical ≠ ruído ⇒ Periodicidade

Unidade de intensidade sonora é o bel

10

0

10log ( )I

dbI

α =

Timbre

Amplitudes da série de Fourier

Colunas de ar

Ressonâncias ocorrem quando hácoincidência entre o comprimento do tubo e o da coluna de ar

Se classificam pelos extremos fechados ou abertos

Membranas bi-dimensionais

Efeito Doppler

Se o observador se aproxima da fonte, a frequência das franjas aumenta

Corresponde a percepção diferente da “altura”de um som devido ao movimento da sua fonte ou do observador

0 0 01/ /f T v λ= =

(Velocidades sub-sônicas)

Fonte em repouso

(observador com velocidade u)

0 0/f f u λ= +

0 (1 / )f f u v= +

Se o observador se afasta da fonte, a frequência das franjas diminui

0 (1 / )f f u v= −

Fonte

parada0 (1 )

uf f

v= ±

0 0vTλ =Fonte em movimento (V)

(observador parado)

Se a fonte se aproxima do observador

0 0

0 (1 / )

VT

V v

λ λ

λ λ

= −

= −

Fonte em

movimento 0 (1 )V

vλ λ= ∓

0

1

ff

V

v

=∓

Efeito Doppler Cone de Mach

Após um intervalo de tempo t, a fonte se deslocou Vt e a frente de onda apenas vt.

Assim, as frentes de onda formam um cone com vértice na fonte e abertura α.

(Velocidades supersônicas)

Vamos considerar um intervalo de tempo Dt muito

pequeno e que a fonte chega em Fn em n Dt.

Para Fo

Ângulo em que as frentes de ondas são simultâneas

vsen

Vα =

0cos sinv

Vθ α= =

0 0 /t r v=

Para Fn

/n nt n t r v= ∆ +

0 0 cosn nr r F F θ≈ −

0 / cosn

Vt n t r v n t

vθ∴ = ∆ + − ∆

0 1 cosn

Vt t n t

vθ ∴ − = ∆ −

02

πθ α= −

Fonte se deslocando com velocidade V > v

O efeito Doppler relativístico

Uma fonte de luz em repouso na origem O’ de S’, emite pulsos periodicamente. Dois pulsos consecutivos são emitidos em t’1= 0 e t’2= T0.

Mas f= 1/T, portanto:

Considerando o receptor na origem O de S, ele veria o primeiro pulso ser emitido em t1= 0. O segundo pulso seria emitido nas coordenadas

22

02

22

0

22

/1)''(

/1)''(

cv

vTvtxx

cv

Tx

c

vtt

−=+=

−=+=

γ

γ

O segundo pulso chegaria em O de S no instante T= t2 + ∆t. Onde,

2/1

0

22

02

)/1

/1(

/1

/

cv

cvTT

cv

cvT

c

xt

−+

=

−==∆

2/1

0

0

0

)/1

/1(

1

cv

cvff

Tf

+−

=

=

Na aproximação, a frequencia aumenta.

Forças de Inércia

vetorialmente:

MRU com velocidade V

A transformação de Galileu

x x Vt

y y z z

t t

′ = −

′ ′= =

′ =

⋯

x x

y y z z

dx dxv V v V

dt dt

v v v v

′′ = = − = −

′′ ′= =⋯

~2 2

2 2x x

y y z z

d x d xa a

dt dt

a a a a

′′ = = =

′′ ′= =⋯

r r Vt

t t

′ = −

′ =

�� �

v v V

a a

′ = −

′ =

�� �

� �

Forças de Inércia

Mas, como m´=m (não relativístico) e

as forças em geral dependem de distâncias mútuas (gravitacionais, elétricas e de contato).

Neste caso,

MRU com velocidade V

A transformação de Galileu

F F

F m a

′ =

′ ′ ′=

� �

� �

Para referenciais não inerciais

0r r r

t t

′′ = −

′ =

� � �

0v v V At

a a A

′ = − −

′ = −

��� �

�� �

2

0 0

1

2r V t At′ = +

���

2

0

1

2r r V t At′ = − −

��� �

Forças de Inércia

Mas, como m´=m (não relativístico) e

as forças em geral dependem de distâncias mútuas (gravitacionais, elétricas e de contato).

Neste caso,

Referencial acelerado

F F ma

a a

F m a mA

′ = =

′≠

′ ′ ′⇒ = +

� � �

� �

�� �

0r r r

t t

′′ = −

′ =

� � �

0v v V At

a a A

′ = − −

′ = −

��� �

�� �

2

0 0

1

2r V t At′ = +

���

2

0

1

2r r V t At′ = − −

��� � *

*

in

in

F m a F mA

F F F

F mA

′ ′= = −

= +

= −

�� ��

� � �

��

Forças de Inércia

No referencial inercial

Foguete sendo acelerado

T mg=� �

No referencial não inercial

0 in

a o

T F T mg

′ =

⇒ = + = −

�

� � � �

Acelerômetro

T mg=� �

T mg mA+ =�� �

Ref.

inercial

Ref. não

inercial

0inT mg F+ + =� ��

0T mg mA+ − =�� �

/tg mA mg

A g tg

θθ

=

= ⋅

Forças de Inércia

No referencial inercial

Força Centrífuga

2

2

ˆ

ˆ

cp

cp

T ma

a rr

T m rr

ω

ω

=

= −

⇒ = −

� �

�

�

No referencial não inercial

2

0

ˆ

in

in

a o

T F T ma

F ma m rrω

′ =

⇒ = + = −

= − =

�

� � � �

� �N P mg= − = −� � �

v rω=com

Forças de InérciaCoordenadas Polares

ˆ

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ cos

r

r rer

r e cos i sen j

e sen i jθ

θ θ

θ θ θ

=

= = +

= = − +

�

com

ˆˆ

ˆˆ

r

r

dee

d

dee

d

θ

θ

θ

θ

=

= −

?

?

v

a

=

=

�

�

ˆ

ˆ

r

r r

v v v

v re

v r e

θ

θ θθ

= +

=

=

� � �

�ɺ

� ɺ

2 ˆ( )

ˆ( 2 )

r

r r

a a a

a r r e

a r r e

θ

θ θ

θ

θ θ

= +

= −

= +

� � �

� ɺɺɺ

� ɺɺ ɺɺ

Forças de InérciaForça de Coriolis

v v rθ θ ω′= +

Vamos supor que em S’ a velocidade da pessoa seja vθ’.

Em S, a velocidade seria

No referencial inercial2

2 ˆ ˆcp

vF m rr m r

r

θω= − = −�

Que se origina no atrito com o solo2 2

22

( )ˆ ˆ

ˆ( 2 )

cp

cp

v v rF m r m r

r r

vF m r v r

r

θ θ

θθ

ω

ω ω

′ += − = −

′′= − + +

�

�

No referencial não inercial

2

2

ˆ

ˆ ˆ2

cp in

in

a o

vma m r F F

r

F m rr m v r

θ

θω ω

′ ≠

′′⇒ = − = +

′= +

�

� ��

�

Força centrífuga Força de Coriolis

Forças de InérciaForça de Coriolis

tg r

v r

a v

θ ω

ω

∆ = ∆

=

Vamos supor que em S’ a velocidade da pessoa seja vr’.

Em S´,teríamos

No referencial inercial

r r

tg r

t

v v

a v

θ ωθ

ω

∆ = ∆

∆ = ∆

=

2 2r ra v vθ ω ω ′= =

No referencial não inercial

2 ˆˆ 2in rF ma m rr m vω ω θ′= − = −� �

Força centrífuga Força de Coriolis

2 ˆˆ 2 ra rr vω ω θ′= − +�

Movimentos circulares

Identifica-se a força de Coriolis como fictícia ou inercial devido ao fato desta existir somente em

referenciais em movimento circular em relação a um inercial. Neste caso a força de Coriolis aparece junto

com a força centrífuga, e como a força centrífuga, não é uma força na definição precisa do termo, ou seja,

real. A força de Coriolis depende da velocidade do corpo em relação ao referencial girante, e é nula, por

definição, no caso de um corpo imóvel em relação a este referencial. A força centrífuga, por sua vez,

depende da posição do corpo em relação ao centro de rotação, e na maioria das vezes não é nula, mesmo

para partículas paradas em relação ao referencial em rotação. Pode-se assim dizer que a força centrífuga

é o componente estático da força inercial que se manifesta no referencial em rotação enquanto que a

força de Coriolis é o componente dinâmico.

Força de Coriolis

ω����

×== vmamFc 2

Forças de Inércia

Movimentos circulares

Na presença de zonas atmosféricas

de baixas pressões:

Força de Coriolis e Ciclones

ω����

×== vmamFc 2

Outros

exemplos:

Pêndulo de

Foucault e o

ralo da pia.

Pressão

Força de Coriolis

Forças de Inércia