apresentação do powerpoint - files.comunidades.net · matemÁtica ensino mÉdio - 1º ano...
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MATEMAacuteTICA ENSINO MEacuteDIO - 1ordm ANO
Funccedilatildeo Quadraacutetica
PROFESSOR ALEXSANDRO DE SOUSA
EE Dona Antocircnia Valadares
httpdonaantoniavaladarescomunidadesnet
Prof Alexsandro de Sousa
Prof Alexsandro de Sousa
FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
Seja a b e c nuacutemeros reais e a ne 0 A funccedilatildeo f R rarr R
tal que para todo x Є R eacute chamada funccedilatildeo
polinomial do 2ordm grau ou funccedilatildeo quadraacutetica
c bx axsup2 f(x)
bull a) y = xsup2 + 3x + 2 ( a=1 b=3 c=2 )
bull b) y = xsup2 ( a=1 b=0 c=0 )
bull c) y = xsup2 - 4 ( a=1 b=0 c=-4 )
Prof Alexsandro de Sousa
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
Prof Alexsandro de Sousa
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
Podemos visualizar
uma paraacutebola em um
parque de diversotildees
simplesmente olhando
para a montanha russa
O graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute uma paraacutebola
Prof Alexsandro de Sousa
Funccedilatildeo Quadraacutetica bull Haacute vaacuterias situaccedilotildees do dia-a-dia em que a
funccedilatildeo quadraacutetica estaacute presente Engenharia
Arquitetura
Fiacutesica
Biologia
Esporte
Induacutestria comeacutercio
Comunicaccedilotildees
Prof Alexsandro de Sousa
Natureza
Prof Alexsandro de Sousa
Esporte
Prof Alexsandro de Sousa
Nas Comunicaccedilotildees
Antena de Sateacutelite
Prof Alexsandro de Sousa
Na Arquitetura
Murphy Center at Asphalt Green - EUA
Forno Solar Franccedila
Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal
Prof Alexsandro de Sousa
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
bull y = x2
x
y
0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
1
2
3
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
4
5
4 2
1 1
0 0
1 ndash1
4 ndash2
y = x2 x y = x2
Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0
Prof Alexsandro de Sousa
bull y = ndash x2
x
y
0
1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
ndash 4 2
ndash 1 1
0 0
ndash 1 ndash1
ndash 4 ndash2
y = ndash x2 x
y = ndash x2
ndash3
ndash4
Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo f(x) = 2 2 3x x
X Y
-2 5
-1 0
0 -3
1 -4
2 -3
Prof Alexsandro de Sousa
A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c
bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas
paraacutebolas
bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado
de veacutertice
bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo
da paraacutebola
bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)
bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo
bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
Prof Alexsandro de Sousa
y
x
x =0
f(0) = c
c
y =0
RAIacuteZES
TERMO
INDEPENDENTE
f(x)= ax2 + bx + c
yv
xv
VEacuteRTICE (xv yv)
Eixo de simetria
x1 x2
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
Prof Alexsandro de Sousa
Concavidade da paraacutebola
Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
Prof Alexsandro de Sousa
Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau
a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
cbxaxxf sup2)(
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo
do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de
Bhaskara
sendo
2a
Δbx
4acbΔ 2
S = x1+x2 = -b a
P = x1x2 = c a
Prof Alexsandro de Sousa
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica
depende do valor obtido para o radicando chamado
discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
Prof Alexsandro de Sousa
Δ=0 Δgt0 Δlt0
Δ=0 Δgt0 Δlt0
agt0
alt0
Prof Alexsandro de Sousa
O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele
obtemos informaccedilotildees significativas
A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo
Se a lt 0 concavidade voltada
para baixo entatildeo a funccedilatildeo
admite valor MAacuteXIMO
yv
0
y
x
Valor miacutenimo
yv 0
y
x
Valor maacuteximo
yv
Veacutertice da paraacutebola
Se a gt 0 concavidade voltada
para cima entatildeo a funccedilatildeo admite
valor MIacuteNIMO
a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
Prof Alexsandro de Sousa
Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
Prof Alexsandro de Sousa
f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
Prof Alexsandro de Sousa
Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
Prof Alexsandro de Sousa
Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
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Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
Seja a b e c nuacutemeros reais e a ne 0 A funccedilatildeo f R rarr R
tal que para todo x Є R eacute chamada funccedilatildeo
polinomial do 2ordm grau ou funccedilatildeo quadraacutetica
c bx axsup2 f(x)
bull a) y = xsup2 + 3x + 2 ( a=1 b=3 c=2 )
bull b) y = xsup2 ( a=1 b=0 c=0 )
bull c) y = xsup2 - 4 ( a=1 b=0 c=-4 )
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GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
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GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
Podemos visualizar
uma paraacutebola em um
parque de diversotildees
simplesmente olhando
para a montanha russa
O graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute uma paraacutebola
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Funccedilatildeo Quadraacutetica bull Haacute vaacuterias situaccedilotildees do dia-a-dia em que a
funccedilatildeo quadraacutetica estaacute presente Engenharia
Arquitetura
Fiacutesica
Biologia
Esporte
Induacutestria comeacutercio
Comunicaccedilotildees
Prof Alexsandro de Sousa
Natureza
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Esporte
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Nas Comunicaccedilotildees
Antena de Sateacutelite
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Na Arquitetura
Murphy Center at Asphalt Green - EUA
Forno Solar Franccedila
Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal
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GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
bull y = x2
x
y
0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
1
2
3
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
4
5
4 2
1 1
0 0
1 ndash1
4 ndash2
y = x2 x y = x2
Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0
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bull y = ndash x2
x
y
0
1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
ndash 4 2
ndash 1 1
0 0
ndash 1 ndash1
ndash 4 ndash2
y = ndash x2 x
y = ndash x2
ndash3
ndash4
Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
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Exemplo f(x) = 2 2 3x x
X Y
-2 5
-1 0
0 -3
1 -4
2 -3
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A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c
bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas
paraacutebolas
bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado
de veacutertice
bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo
da paraacutebola
bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)
bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo
bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
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y
x
x =0
f(0) = c
c
y =0
RAIacuteZES
TERMO
INDEPENDENTE
f(x)= ax2 + bx + c
yv
xv
VEacuteRTICE (xv yv)
Eixo de simetria
x1 x2
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
Prof Alexsandro de Sousa
Concavidade da paraacutebola
Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
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Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau
a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
cbxaxxf sup2)(
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo
do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de
Bhaskara
sendo
2a
Δbx
4acbΔ 2
S = x1+x2 = -b a
P = x1x2 = c a
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Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica
depende do valor obtido para o radicando chamado
discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
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Δ=0 Δgt0 Δlt0
Δ=0 Δgt0 Δlt0
agt0
alt0
Prof Alexsandro de Sousa
O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele
obtemos informaccedilotildees significativas
A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo
Se a lt 0 concavidade voltada
para baixo entatildeo a funccedilatildeo
admite valor MAacuteXIMO
yv
0
y
x
Valor miacutenimo
yv 0
y
x
Valor maacuteximo
yv
Veacutertice da paraacutebola
Se a gt 0 concavidade voltada
para cima entatildeo a funccedilatildeo admite
valor MIacuteNIMO
a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
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Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
Prof Alexsandro de Sousa
Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
Prof Alexsandro de Sousa
f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
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Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
Prof Alexsandro de Sousa
Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
Seja a b e c nuacutemeros reais e a ne 0 A funccedilatildeo f R rarr R
tal que para todo x Є R eacute chamada funccedilatildeo
polinomial do 2ordm grau ou funccedilatildeo quadraacutetica
c bx axsup2 f(x)
bull a) y = xsup2 + 3x + 2 ( a=1 b=3 c=2 )
bull b) y = xsup2 ( a=1 b=0 c=0 )
bull c) y = xsup2 - 4 ( a=1 b=0 c=-4 )
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GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
Prof Alexsandro de Sousa
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
Podemos visualizar
uma paraacutebola em um
parque de diversotildees
simplesmente olhando
para a montanha russa
O graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute uma paraacutebola
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Funccedilatildeo Quadraacutetica bull Haacute vaacuterias situaccedilotildees do dia-a-dia em que a
funccedilatildeo quadraacutetica estaacute presente Engenharia
Arquitetura
Fiacutesica
Biologia
Esporte
Induacutestria comeacutercio
Comunicaccedilotildees
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Natureza
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Esporte
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Nas Comunicaccedilotildees
Antena de Sateacutelite
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Na Arquitetura
Murphy Center at Asphalt Green - EUA
Forno Solar Franccedila
Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal
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GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
bull y = x2
x
y
0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
1
2
3
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
4
5
4 2
1 1
0 0
1 ndash1
4 ndash2
y = x2 x y = x2
Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0
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bull y = ndash x2
x
y
0
1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
ndash 4 2
ndash 1 1
0 0
ndash 1 ndash1
ndash 4 ndash2
y = ndash x2 x
y = ndash x2
ndash3
ndash4
Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
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Exemplo f(x) = 2 2 3x x
X Y
-2 5
-1 0
0 -3
1 -4
2 -3
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A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c
bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas
paraacutebolas
bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado
de veacutertice
bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo
da paraacutebola
bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)
bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo
bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
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y
x
x =0
f(0) = c
c
y =0
RAIacuteZES
TERMO
INDEPENDENTE
f(x)= ax2 + bx + c
yv
xv
VEacuteRTICE (xv yv)
Eixo de simetria
x1 x2
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
Prof Alexsandro de Sousa
Concavidade da paraacutebola
Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
Prof Alexsandro de Sousa
Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau
a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
cbxaxxf sup2)(
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo
do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de
Bhaskara
sendo
2a
Δbx
4acbΔ 2
S = x1+x2 = -b a
P = x1x2 = c a
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Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica
depende do valor obtido para o radicando chamado
discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
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Δ=0 Δgt0 Δlt0
Δ=0 Δgt0 Δlt0
agt0
alt0
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O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele
obtemos informaccedilotildees significativas
A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo
Se a lt 0 concavidade voltada
para baixo entatildeo a funccedilatildeo
admite valor MAacuteXIMO
yv
0
y
x
Valor miacutenimo
yv 0
y
x
Valor maacuteximo
yv
Veacutertice da paraacutebola
Se a gt 0 concavidade voltada
para cima entatildeo a funccedilatildeo admite
valor MIacuteNIMO
a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
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Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
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f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
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Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
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Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
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Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
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Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
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GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
Podemos visualizar
uma paraacutebola em um
parque de diversotildees
simplesmente olhando
para a montanha russa
O graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute uma paraacutebola
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Funccedilatildeo Quadraacutetica bull Haacute vaacuterias situaccedilotildees do dia-a-dia em que a
funccedilatildeo quadraacutetica estaacute presente Engenharia
Arquitetura
Fiacutesica
Biologia
Esporte
Induacutestria comeacutercio
Comunicaccedilotildees
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Natureza
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Esporte
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Nas Comunicaccedilotildees
Antena de Sateacutelite
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Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal
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- CONSTRUCcedilAtildeO
bull y = x2
x
y
0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
1
2
3
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
4
5
4 2
1 1
0 0
1 ndash1
4 ndash2
y = x2 x y = x2
Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0
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bull y = ndash x2
x
y
0
1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
ndash 4 2
ndash 1 1
0 0
ndash 1 ndash1
ndash 4 ndash2
y = ndash x2 x
y = ndash x2
ndash3
ndash4
Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
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Exemplo f(x) = 2 2 3x x
X Y
-2 5
-1 0
0 -3
1 -4
2 -3
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A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c
bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas
paraacutebolas
bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado
de veacutertice
bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo
da paraacutebola
bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)
bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo
bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
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y
x
x =0
f(0) = c
c
y =0
RAIacuteZES
TERMO
INDEPENDENTE
f(x)= ax2 + bx + c
yv
xv
VEacuteRTICE (xv yv)
Eixo de simetria
x1 x2
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
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Concavidade da paraacutebola
Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
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Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau
a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
cbxaxxf sup2)(
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo
do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de
Bhaskara
sendo
2a
Δbx
4acbΔ 2
S = x1+x2 = -b a
P = x1x2 = c a
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Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica
depende do valor obtido para o radicando chamado
discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
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Δ=0 Δgt0 Δlt0
Δ=0 Δgt0 Δlt0
agt0
alt0
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O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele
obtemos informaccedilotildees significativas
A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo
Se a lt 0 concavidade voltada
para baixo entatildeo a funccedilatildeo
admite valor MAacuteXIMO
yv
0
y
x
Valor miacutenimo
yv 0
y
x
Valor maacuteximo
yv
Veacutertice da paraacutebola
Se a gt 0 concavidade voltada
para cima entatildeo a funccedilatildeo admite
valor MIacuteNIMO
a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
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Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
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f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
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f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
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Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
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Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
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Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
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Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
Prof Alexsandro de Sousa
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa
bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
Podemos visualizar
uma paraacutebola em um
parque de diversotildees
simplesmente olhando
para a montanha russa
O graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute uma paraacutebola
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Funccedilatildeo Quadraacutetica bull Haacute vaacuterias situaccedilotildees do dia-a-dia em que a
funccedilatildeo quadraacutetica estaacute presente Engenharia
Arquitetura
Fiacutesica
Biologia
Esporte
Induacutestria comeacutercio
Comunicaccedilotildees
Prof Alexsandro de Sousa
Natureza
Prof Alexsandro de Sousa
Esporte
Prof Alexsandro de Sousa
Nas Comunicaccedilotildees
Antena de Sateacutelite
Prof Alexsandro de Sousa
Na Arquitetura
Murphy Center at Asphalt Green - EUA
Forno Solar Franccedila
Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal
Prof Alexsandro de Sousa
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
bull y = x2
x
y
0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
1
2
3
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
4
5
4 2
1 1
0 0
1 ndash1
4 ndash2
y = x2 x y = x2
Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0
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bull y = ndash x2
x
y
0
1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
ndash 4 2
ndash 1 1
0 0
ndash 1 ndash1
ndash 4 ndash2
y = ndash x2 x
y = ndash x2
ndash3
ndash4
Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo f(x) = 2 2 3x x
X Y
-2 5
-1 0
0 -3
1 -4
2 -3
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A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c
bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas
paraacutebolas
bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado
de veacutertice
bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo
da paraacutebola
bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)
bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo
bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
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y
x
x =0
f(0) = c
c
y =0
RAIacuteZES
TERMO
INDEPENDENTE
f(x)= ax2 + bx + c
yv
xv
VEacuteRTICE (xv yv)
Eixo de simetria
x1 x2
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
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Concavidade da paraacutebola
Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
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Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau
a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
cbxaxxf sup2)(
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo
do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de
Bhaskara
sendo
2a
Δbx
4acbΔ 2
S = x1+x2 = -b a
P = x1x2 = c a
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Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica
depende do valor obtido para o radicando chamado
discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
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Δ=0 Δgt0 Δlt0
Δ=0 Δgt0 Δlt0
agt0
alt0
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O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele
obtemos informaccedilotildees significativas
A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo
Se a lt 0 concavidade voltada
para baixo entatildeo a funccedilatildeo
admite valor MAacuteXIMO
yv
0
y
x
Valor miacutenimo
yv 0
y
x
Valor maacuteximo
yv
Veacutertice da paraacutebola
Se a gt 0 concavidade voltada
para cima entatildeo a funccedilatildeo admite
valor MIacuteNIMO
a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
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Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
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f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
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Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
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Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
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Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
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Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa
bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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Funccedilatildeo Quadraacutetica bull Haacute vaacuterias situaccedilotildees do dia-a-dia em que a
funccedilatildeo quadraacutetica estaacute presente Engenharia
Arquitetura
Fiacutesica
Biologia
Esporte
Induacutestria comeacutercio
Comunicaccedilotildees
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Natureza
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Esporte
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Nas Comunicaccedilotildees
Antena de Sateacutelite
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Na Arquitetura
Murphy Center at Asphalt Green - EUA
Forno Solar Franccedila
Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal
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GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
bull y = x2
x
y
0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
1
2
3
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
4
5
4 2
1 1
0 0
1 ndash1
4 ndash2
y = x2 x y = x2
Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0
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bull y = ndash x2
x
y
0
1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
ndash 4 2
ndash 1 1
0 0
ndash 1 ndash1
ndash 4 ndash2
y = ndash x2 x
y = ndash x2
ndash3
ndash4
Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
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Exemplo f(x) = 2 2 3x x
X Y
-2 5
-1 0
0 -3
1 -4
2 -3
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A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c
bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas
paraacutebolas
bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado
de veacutertice
bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo
da paraacutebola
bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)
bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo
bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
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y
x
x =0
f(0) = c
c
y =0
RAIacuteZES
TERMO
INDEPENDENTE
f(x)= ax2 + bx + c
yv
xv
VEacuteRTICE (xv yv)
Eixo de simetria
x1 x2
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
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Concavidade da paraacutebola
Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
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Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau
a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
cbxaxxf sup2)(
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo
do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de
Bhaskara
sendo
2a
Δbx
4acbΔ 2
S = x1+x2 = -b a
P = x1x2 = c a
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Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica
depende do valor obtido para o radicando chamado
discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
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Δ=0 Δgt0 Δlt0
Δ=0 Δgt0 Δlt0
agt0
alt0
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O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele
obtemos informaccedilotildees significativas
A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo
Se a lt 0 concavidade voltada
para baixo entatildeo a funccedilatildeo
admite valor MAacuteXIMO
yv
0
y
x
Valor miacutenimo
yv 0
y
x
Valor maacuteximo
yv
Veacutertice da paraacutebola
Se a gt 0 concavidade voltada
para cima entatildeo a funccedilatildeo admite
valor MIacuteNIMO
a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
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Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
Prof Alexsandro de Sousa
Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
Prof Alexsandro de Sousa
f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
Prof Alexsandro de Sousa
Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
Prof Alexsandro de Sousa
Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
Prof Alexsandro de Sousa
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
Prof Alexsandro de Sousa
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
Prof Alexsandro de Sousa
A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
Prof Alexsandro de Sousa
bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
Prof Alexsandro de Sousa
Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa
bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
Prof Alexsandro de Sousa
Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
Prof Alexsandro de Sousa
1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
Prof Alexsandro de Sousa
Prof Alexsandro de Sousa
Natureza
Prof Alexsandro de Sousa
Esporte
Prof Alexsandro de Sousa
Nas Comunicaccedilotildees
Antena de Sateacutelite
Prof Alexsandro de Sousa
Na Arquitetura
Murphy Center at Asphalt Green - EUA
Forno Solar Franccedila
Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal
Prof Alexsandro de Sousa
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
bull y = x2
x
y
0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
1
2
3
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
4
5
4 2
1 1
0 0
1 ndash1
4 ndash2
y = x2 x y = x2
Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0
Prof Alexsandro de Sousa
bull y = ndash x2
x
y
0
1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
ndash 4 2
ndash 1 1
0 0
ndash 1 ndash1
ndash 4 ndash2
y = ndash x2 x
y = ndash x2
ndash3
ndash4
Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo f(x) = 2 2 3x x
X Y
-2 5
-1 0
0 -3
1 -4
2 -3
Prof Alexsandro de Sousa
A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c
bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas
paraacutebolas
bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado
de veacutertice
bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo
da paraacutebola
bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)
bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo
bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
Prof Alexsandro de Sousa
y
x
x =0
f(0) = c
c
y =0
RAIacuteZES
TERMO
INDEPENDENTE
f(x)= ax2 + bx + c
yv
xv
VEacuteRTICE (xv yv)
Eixo de simetria
x1 x2
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
Prof Alexsandro de Sousa
Concavidade da paraacutebola
Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
Prof Alexsandro de Sousa
Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau
a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
cbxaxxf sup2)(
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo
do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de
Bhaskara
sendo
2a
Δbx
4acbΔ 2
S = x1+x2 = -b a
P = x1x2 = c a
Prof Alexsandro de Sousa
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica
depende do valor obtido para o radicando chamado
discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
Prof Alexsandro de Sousa
Δ=0 Δgt0 Δlt0
Δ=0 Δgt0 Δlt0
agt0
alt0
Prof Alexsandro de Sousa
O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele
obtemos informaccedilotildees significativas
A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo
Se a lt 0 concavidade voltada
para baixo entatildeo a funccedilatildeo
admite valor MAacuteXIMO
yv
0
y
x
Valor miacutenimo
yv 0
y
x
Valor maacuteximo
yv
Veacutertice da paraacutebola
Se a gt 0 concavidade voltada
para cima entatildeo a funccedilatildeo admite
valor MIacuteNIMO
a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
Prof Alexsandro de Sousa
Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
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Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
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f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
Prof Alexsandro de Sousa
Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
Prof Alexsandro de Sousa
Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
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Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa
bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
Prof Alexsandro de Sousa
1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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Esporte
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Nas Comunicaccedilotildees
Antena de Sateacutelite
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Na Arquitetura
Murphy Center at Asphalt Green - EUA
Forno Solar Franccedila
Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal
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GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
bull y = x2
x
y
0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
1
2
3
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
4
5
4 2
1 1
0 0
1 ndash1
4 ndash2
y = x2 x y = x2
Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0
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bull y = ndash x2
x
y
0
1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
ndash 4 2
ndash 1 1
0 0
ndash 1 ndash1
ndash 4 ndash2
y = ndash x2 x
y = ndash x2
ndash3
ndash4
Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
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Exemplo f(x) = 2 2 3x x
X Y
-2 5
-1 0
0 -3
1 -4
2 -3
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A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c
bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas
paraacutebolas
bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado
de veacutertice
bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo
da paraacutebola
bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)
bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo
bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
Prof Alexsandro de Sousa
y
x
x =0
f(0) = c
c
y =0
RAIacuteZES
TERMO
INDEPENDENTE
f(x)= ax2 + bx + c
yv
xv
VEacuteRTICE (xv yv)
Eixo de simetria
x1 x2
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
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Concavidade da paraacutebola
Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
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Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau
a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
cbxaxxf sup2)(
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo
do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de
Bhaskara
sendo
2a
Δbx
4acbΔ 2
S = x1+x2 = -b a
P = x1x2 = c a
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Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica
depende do valor obtido para o radicando chamado
discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
Prof Alexsandro de Sousa
Δ=0 Δgt0 Δlt0
Δ=0 Δgt0 Δlt0
agt0
alt0
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O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele
obtemos informaccedilotildees significativas
A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo
Se a lt 0 concavidade voltada
para baixo entatildeo a funccedilatildeo
admite valor MAacuteXIMO
yv
0
y
x
Valor miacutenimo
yv 0
y
x
Valor maacuteximo
yv
Veacutertice da paraacutebola
Se a gt 0 concavidade voltada
para cima entatildeo a funccedilatildeo admite
valor MIacuteNIMO
a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
Prof Alexsandro de Sousa
Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
Prof Alexsandro de Sousa
Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
Prof Alexsandro de Sousa
f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
Prof Alexsandro de Sousa
Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
Prof Alexsandro de Sousa
Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
Prof Alexsandro de Sousa
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
Prof Alexsandro de Sousa
A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
Prof Alexsandro de Sousa
bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
Prof Alexsandro de Sousa
Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa
bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
Prof Alexsandro de Sousa
1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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Prof Alexsandro de Sousa
Nas Comunicaccedilotildees
Antena de Sateacutelite
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Na Arquitetura
Murphy Center at Asphalt Green - EUA
Forno Solar Franccedila
Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal
Prof Alexsandro de Sousa
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
bull y = x2
x
y
0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
1
2
3
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
4
5
4 2
1 1
0 0
1 ndash1
4 ndash2
y = x2 x y = x2
Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0
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bull y = ndash x2
x
y
0
1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
ndash 4 2
ndash 1 1
0 0
ndash 1 ndash1
ndash 4 ndash2
y = ndash x2 x
y = ndash x2
ndash3
ndash4
Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo f(x) = 2 2 3x x
X Y
-2 5
-1 0
0 -3
1 -4
2 -3
Prof Alexsandro de Sousa
A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c
bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas
paraacutebolas
bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado
de veacutertice
bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo
da paraacutebola
bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)
bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo
bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
Prof Alexsandro de Sousa
y
x
x =0
f(0) = c
c
y =0
RAIacuteZES
TERMO
INDEPENDENTE
f(x)= ax2 + bx + c
yv
xv
VEacuteRTICE (xv yv)
Eixo de simetria
x1 x2
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
Prof Alexsandro de Sousa
Concavidade da paraacutebola
Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
Prof Alexsandro de Sousa
Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau
a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
cbxaxxf sup2)(
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo
do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de
Bhaskara
sendo
2a
Δbx
4acbΔ 2
S = x1+x2 = -b a
P = x1x2 = c a
Prof Alexsandro de Sousa
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica
depende do valor obtido para o radicando chamado
discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
Prof Alexsandro de Sousa
Δ=0 Δgt0 Δlt0
Δ=0 Δgt0 Δlt0
agt0
alt0
Prof Alexsandro de Sousa
O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele
obtemos informaccedilotildees significativas
A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo
Se a lt 0 concavidade voltada
para baixo entatildeo a funccedilatildeo
admite valor MAacuteXIMO
yv
0
y
x
Valor miacutenimo
yv 0
y
x
Valor maacuteximo
yv
Veacutertice da paraacutebola
Se a gt 0 concavidade voltada
para cima entatildeo a funccedilatildeo admite
valor MIacuteNIMO
a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
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f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
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Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
Prof Alexsandro de Sousa
Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa
bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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Na Arquitetura
Murphy Center at Asphalt Green - EUA
Forno Solar Franccedila
Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal
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GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
bull y = x2
x
y
0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
1
2
3
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
4
5
4 2
1 1
0 0
1 ndash1
4 ndash2
y = x2 x y = x2
Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0
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bull y = ndash x2
x
y
0
1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
ndash 4 2
ndash 1 1
0 0
ndash 1 ndash1
ndash 4 ndash2
y = ndash x2 x
y = ndash x2
ndash3
ndash4
Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
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Exemplo f(x) = 2 2 3x x
X Y
-2 5
-1 0
0 -3
1 -4
2 -3
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A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c
bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas
paraacutebolas
bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado
de veacutertice
bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo
da paraacutebola
bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)
bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo
bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
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y
x
x =0
f(0) = c
c
y =0
RAIacuteZES
TERMO
INDEPENDENTE
f(x)= ax2 + bx + c
yv
xv
VEacuteRTICE (xv yv)
Eixo de simetria
x1 x2
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
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Concavidade da paraacutebola
Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
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Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau
a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
cbxaxxf sup2)(
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo
do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de
Bhaskara
sendo
2a
Δbx
4acbΔ 2
S = x1+x2 = -b a
P = x1x2 = c a
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Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica
depende do valor obtido para o radicando chamado
discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
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Δ=0 Δgt0 Δlt0
Δ=0 Δgt0 Δlt0
agt0
alt0
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O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele
obtemos informaccedilotildees significativas
A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo
Se a lt 0 concavidade voltada
para baixo entatildeo a funccedilatildeo
admite valor MAacuteXIMO
yv
0
y
x
Valor miacutenimo
yv 0
y
x
Valor maacuteximo
yv
Veacutertice da paraacutebola
Se a gt 0 concavidade voltada
para cima entatildeo a funccedilatildeo admite
valor MIacuteNIMO
a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
Prof Alexsandro de Sousa
Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
Prof Alexsandro de Sousa
Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
Prof Alexsandro de Sousa
Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
Prof Alexsandro de Sousa
f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
Prof Alexsandro de Sousa
Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
Prof Alexsandro de Sousa
Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
Prof Alexsandro de Sousa
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
Prof Alexsandro de Sousa
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
Prof Alexsandro de Sousa
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
Prof Alexsandro de Sousa
A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
Prof Alexsandro de Sousa
bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
Prof Alexsandro de Sousa
Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa
bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
Prof Alexsandro de Sousa
Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
Prof Alexsandro de Sousa
1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
Prof Alexsandro de Sousa
Prof Alexsandro de Sousa
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
bull y = x2
x
y
0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
1
2
3
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
4
5
4 2
1 1
0 0
1 ndash1
4 ndash2
y = x2 x y = x2
Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0
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bull y = ndash x2
x
y
0
1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
ndash 4 2
ndash 1 1
0 0
ndash 1 ndash1
ndash 4 ndash2
y = ndash x2 x
y = ndash x2
ndash3
ndash4
Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo f(x) = 2 2 3x x
X Y
-2 5
-1 0
0 -3
1 -4
2 -3
Prof Alexsandro de Sousa
A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c
bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas
paraacutebolas
bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado
de veacutertice
bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo
da paraacutebola
bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)
bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo
bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
Prof Alexsandro de Sousa
y
x
x =0
f(0) = c
c
y =0
RAIacuteZES
TERMO
INDEPENDENTE
f(x)= ax2 + bx + c
yv
xv
VEacuteRTICE (xv yv)
Eixo de simetria
x1 x2
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
Prof Alexsandro de Sousa
Concavidade da paraacutebola
Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
Prof Alexsandro de Sousa
Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau
a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
cbxaxxf sup2)(
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo
do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de
Bhaskara
sendo
2a
Δbx
4acbΔ 2
S = x1+x2 = -b a
P = x1x2 = c a
Prof Alexsandro de Sousa
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica
depende do valor obtido para o radicando chamado
discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
Prof Alexsandro de Sousa
Δ=0 Δgt0 Δlt0
Δ=0 Δgt0 Δlt0
agt0
alt0
Prof Alexsandro de Sousa
O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele
obtemos informaccedilotildees significativas
A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo
Se a lt 0 concavidade voltada
para baixo entatildeo a funccedilatildeo
admite valor MAacuteXIMO
yv
0
y
x
Valor miacutenimo
yv 0
y
x
Valor maacuteximo
yv
Veacutertice da paraacutebola
Se a gt 0 concavidade voltada
para cima entatildeo a funccedilatildeo admite
valor MIacuteNIMO
a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
Prof Alexsandro de Sousa
Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
Prof Alexsandro de Sousa
Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
Prof Alexsandro de Sousa
f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
Prof Alexsandro de Sousa
Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
Prof Alexsandro de Sousa
Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa
bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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bull y = ndash x2
x
y
0
1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1
ndash2
ndash1
4 5 ndash4 ndash5
ndash 4 2
ndash 1 1
0 0
ndash 1 ndash1
ndash 4 ndash2
y = ndash x2 x
y = ndash x2
ndash3
ndash4
Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
- CONSTRUCcedilAtildeO
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Exemplo f(x) = 2 2 3x x
X Y
-2 5
-1 0
0 -3
1 -4
2 -3
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A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c
bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas
paraacutebolas
bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado
de veacutertice
bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo
da paraacutebola
bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)
bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo
bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
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y
x
x =0
f(0) = c
c
y =0
RAIacuteZES
TERMO
INDEPENDENTE
f(x)= ax2 + bx + c
yv
xv
VEacuteRTICE (xv yv)
Eixo de simetria
x1 x2
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
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Concavidade da paraacutebola
Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
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Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau
a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
cbxaxxf sup2)(
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo
do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de
Bhaskara
sendo
2a
Δbx
4acbΔ 2
S = x1+x2 = -b a
P = x1x2 = c a
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Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica
depende do valor obtido para o radicando chamado
discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
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Δ=0 Δgt0 Δlt0
Δ=0 Δgt0 Δlt0
agt0
alt0
Prof Alexsandro de Sousa
O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele
obtemos informaccedilotildees significativas
A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo
Se a lt 0 concavidade voltada
para baixo entatildeo a funccedilatildeo
admite valor MAacuteXIMO
yv
0
y
x
Valor miacutenimo
yv 0
y
x
Valor maacuteximo
yv
Veacutertice da paraacutebola
Se a gt 0 concavidade voltada
para cima entatildeo a funccedilatildeo admite
valor MIacuteNIMO
a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
Prof Alexsandro de Sousa
Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
Prof Alexsandro de Sousa
Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
Prof Alexsandro de Sousa
Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
Prof Alexsandro de Sousa
f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
Prof Alexsandro de Sousa
Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
Prof Alexsandro de Sousa
Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
Prof Alexsandro de Sousa
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
Prof Alexsandro de Sousa
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
Prof Alexsandro de Sousa
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
Prof Alexsandro de Sousa
A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
Prof Alexsandro de Sousa
bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
Prof Alexsandro de Sousa
Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa
bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
Prof Alexsandro de Sousa
1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
Prof Alexsandro de Sousa
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Exemplo f(x) = 2 2 3x x
X Y
-2 5
-1 0
0 -3
1 -4
2 -3
Prof Alexsandro de Sousa
A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c
bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas
paraacutebolas
bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado
de veacutertice
bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo
da paraacutebola
bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)
bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo
bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
Prof Alexsandro de Sousa
y
x
x =0
f(0) = c
c
y =0
RAIacuteZES
TERMO
INDEPENDENTE
f(x)= ax2 + bx + c
yv
xv
VEacuteRTICE (xv yv)
Eixo de simetria
x1 x2
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
Prof Alexsandro de Sousa
Concavidade da paraacutebola
Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
Prof Alexsandro de Sousa
Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau
a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
cbxaxxf sup2)(
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo
do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de
Bhaskara
sendo
2a
Δbx
4acbΔ 2
S = x1+x2 = -b a
P = x1x2 = c a
Prof Alexsandro de Sousa
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica
depende do valor obtido para o radicando chamado
discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
Prof Alexsandro de Sousa
Δ=0 Δgt0 Δlt0
Δ=0 Δgt0 Δlt0
agt0
alt0
Prof Alexsandro de Sousa
O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele
obtemos informaccedilotildees significativas
A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo
Se a lt 0 concavidade voltada
para baixo entatildeo a funccedilatildeo
admite valor MAacuteXIMO
yv
0
y
x
Valor miacutenimo
yv 0
y
x
Valor maacuteximo
yv
Veacutertice da paraacutebola
Se a gt 0 concavidade voltada
para cima entatildeo a funccedilatildeo admite
valor MIacuteNIMO
a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
Prof Alexsandro de Sousa
Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
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Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
Prof Alexsandro de Sousa
Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
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f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
Prof Alexsandro de Sousa
Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
Prof Alexsandro de Sousa
Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
Prof Alexsandro de Sousa
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
Prof Alexsandro de Sousa
A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa
bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c
bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas
paraacutebolas
bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado
de veacutertice
bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo
da paraacutebola
bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)
bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo
bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
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y
x
x =0
f(0) = c
c
y =0
RAIacuteZES
TERMO
INDEPENDENTE
f(x)= ax2 + bx + c
yv
xv
VEacuteRTICE (xv yv)
Eixo de simetria
x1 x2
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
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Concavidade da paraacutebola
Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
Prof Alexsandro de Sousa
Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau
a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
cbxaxxf sup2)(
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo
do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de
Bhaskara
sendo
2a
Δbx
4acbΔ 2
S = x1+x2 = -b a
P = x1x2 = c a
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Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica
depende do valor obtido para o radicando chamado
discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
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Δ=0 Δgt0 Δlt0
Δ=0 Δgt0 Δlt0
agt0
alt0
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O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele
obtemos informaccedilotildees significativas
A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo
Se a lt 0 concavidade voltada
para baixo entatildeo a funccedilatildeo
admite valor MAacuteXIMO
yv
0
y
x
Valor miacutenimo
yv 0
y
x
Valor maacuteximo
yv
Veacutertice da paraacutebola
Se a gt 0 concavidade voltada
para cima entatildeo a funccedilatildeo admite
valor MIacuteNIMO
a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
Prof Alexsandro de Sousa
Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
Prof Alexsandro de Sousa
Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
Prof Alexsandro de Sousa
f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
Prof Alexsandro de Sousa
Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
Prof Alexsandro de Sousa
Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
Prof Alexsandro de Sousa
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
Prof Alexsandro de Sousa
Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa
bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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y
x
x =0
f(0) = c
c
y =0
RAIacuteZES
TERMO
INDEPENDENTE
f(x)= ax2 + bx + c
yv
xv
VEacuteRTICE (xv yv)
Eixo de simetria
x1 x2
GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA
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Concavidade da paraacutebola
Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
Prof Alexsandro de Sousa
Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau
a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
cbxaxxf sup2)(
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo
do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de
Bhaskara
sendo
2a
Δbx
4acbΔ 2
S = x1+x2 = -b a
P = x1x2 = c a
Prof Alexsandro de Sousa
Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica
depende do valor obtido para o radicando chamado
discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
Prof Alexsandro de Sousa
Δ=0 Δgt0 Δlt0
Δ=0 Δgt0 Δlt0
agt0
alt0
Prof Alexsandro de Sousa
O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele
obtemos informaccedilotildees significativas
A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo
Se a lt 0 concavidade voltada
para baixo entatildeo a funccedilatildeo
admite valor MAacuteXIMO
yv
0
y
x
Valor miacutenimo
yv 0
y
x
Valor maacuteximo
yv
Veacutertice da paraacutebola
Se a gt 0 concavidade voltada
para cima entatildeo a funccedilatildeo admite
valor MIacuteNIMO
a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
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Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
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f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
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Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
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Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
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Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa
bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
Prof Alexsandro de Sousa
1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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Concavidade da paraacutebola
Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima
Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo
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Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau
a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
cbxaxxf sup2)(
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo
do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de
Bhaskara
sendo
2a
Δbx
4acbΔ 2
S = x1+x2 = -b a
P = x1x2 = c a
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Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica
depende do valor obtido para o radicando chamado
discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
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Δ=0 Δgt0 Δlt0
Δ=0 Δgt0 Δlt0
agt0
alt0
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O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele
obtemos informaccedilotildees significativas
A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo
Se a lt 0 concavidade voltada
para baixo entatildeo a funccedilatildeo
admite valor MAacuteXIMO
yv
0
y
x
Valor miacutenimo
yv 0
y
x
Valor maacuteximo
yv
Veacutertice da paraacutebola
Se a gt 0 concavidade voltada
para cima entatildeo a funccedilatildeo admite
valor MIacuteNIMO
a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
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Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
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f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
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Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
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Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
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Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
Prof Alexsandro de Sousa
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau
a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0
cbxaxxf sup2)(
Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo
do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de
Bhaskara
sendo
2a
Δbx
4acbΔ 2
S = x1+x2 = -b a
P = x1x2 = c a
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Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica
depende do valor obtido para o radicando chamado
discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
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Δ=0 Δgt0 Δlt0
Δ=0 Δgt0 Δlt0
agt0
alt0
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O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele
obtemos informaccedilotildees significativas
A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo
Se a lt 0 concavidade voltada
para baixo entatildeo a funccedilatildeo
admite valor MAacuteXIMO
yv
0
y
x
Valor miacutenimo
yv 0
y
x
Valor maacuteximo
yv
Veacutertice da paraacutebola
Se a gt 0 concavidade voltada
para cima entatildeo a funccedilatildeo admite
valor MIacuteNIMO
a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
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Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
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f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
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Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
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Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
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Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
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Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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Observaccedilatildeo
A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica
depende do valor obtido para o radicando chamado
discriminante a saber
quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas
quando eacute zero haacute soacute uma raiz real
quando eacute negativo natildeo haacute raiz real
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Δ=0 Δgt0 Δlt0
Δ=0 Δgt0 Δlt0
agt0
alt0
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O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele
obtemos informaccedilotildees significativas
A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo
Se a lt 0 concavidade voltada
para baixo entatildeo a funccedilatildeo
admite valor MAacuteXIMO
yv
0
y
x
Valor miacutenimo
yv 0
y
x
Valor maacuteximo
yv
Veacutertice da paraacutebola
Se a gt 0 concavidade voltada
para cima entatildeo a funccedilatildeo admite
valor MIacuteNIMO
a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
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Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
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f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
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Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
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Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
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Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
Prof Alexsandro de Sousa
A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa
bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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Δ=0 Δgt0 Δlt0
Δ=0 Δgt0 Δlt0
agt0
alt0
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O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele
obtemos informaccedilotildees significativas
A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo
Se a lt 0 concavidade voltada
para baixo entatildeo a funccedilatildeo
admite valor MAacuteXIMO
yv
0
y
x
Valor miacutenimo
yv 0
y
x
Valor maacuteximo
yv
Veacutertice da paraacutebola
Se a gt 0 concavidade voltada
para cima entatildeo a funccedilatildeo admite
valor MIacuteNIMO
a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
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Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
Prof Alexsandro de Sousa
f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
Prof Alexsandro de Sousa
Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
Prof Alexsandro de Sousa
Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
Prof Alexsandro de Sousa
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
Prof Alexsandro de Sousa
A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
Prof Alexsandro de Sousa
Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa
bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
Prof Alexsandro de Sousa
Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
Prof Alexsandro de Sousa
1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele
obtemos informaccedilotildees significativas
A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo
Se a lt 0 concavidade voltada
para baixo entatildeo a funccedilatildeo
admite valor MAacuteXIMO
yv
0
y
x
Valor miacutenimo
yv 0
y
x
Valor maacuteximo
yv
Veacutertice da paraacutebola
Se a gt 0 concavidade voltada
para cima entatildeo a funccedilatildeo admite
valor MIacuteNIMO
a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
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Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
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f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
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Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
Prof Alexsandro de Sousa
Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
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Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa
bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
Prof Alexsandro de Sousa
1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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a
b
2
a4
y
x
alt0
a
b
2
a4
x
y
agt0
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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola
Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima
e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V
Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4
2
(aa
b
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
Prof Alexsandro de Sousa
Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
Prof Alexsandro de Sousa
Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
Prof Alexsandro de Sousa
f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
Prof Alexsandro de Sousa
Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
Prof Alexsandro de Sousa
Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
Prof Alexsandro de Sousa
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
Prof Alexsandro de Sousa
A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
Prof Alexsandro de Sousa
bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
Prof Alexsandro de Sousa
Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
Prof Alexsandro de Sousa
1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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Exemplo
O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V
em que 562 xxy VV YX
3
12
6
vx
4
14
51462
vye
Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o
ponto v(3 -4)
5 1 3
-4
5
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
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f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
Prof Alexsandro de Sousa
Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
Prof Alexsandro de Sousa
Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
Prof Alexsandro de Sousa
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
Prof Alexsandro de Sousa
A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
Prof Alexsandro de Sousa
bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa
bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
Prof Alexsandro de Sousa
1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= x2 ndash 8 x + 12
y
x
12
- 4
4
2 6
a gt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 12
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Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
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f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
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Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
Prof Alexsandro de Sousa
Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
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Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa
bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
Prof Alexsandro de Sousa
1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
Prof Alexsandro de Sousa
Prof Alexsandro de Sousa
Funccedilatildeo Quadraacutetica
f(x)= -2x2 - 8x + 24
y
x
24
2
32
-2 -6
a lt 0
RAIacuteZES
VEacuteRTICE
x =0
f(0) = 24
Prof Alexsandro de Sousa
f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
Prof Alexsandro de Sousa
Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
Prof Alexsandro de Sousa
Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
Prof Alexsandro de Sousa
A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
Prof Alexsandro de Sousa
1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
Prof Alexsandro de Sousa
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f(x) = x2 ndash 6x + 8
Termo
independente
Raiacutezes da funccedilatildeo
Veacutertice
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Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
Prof Alexsandro de Sousa
Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
Prof Alexsandro de Sousa
A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
Prof Alexsandro de Sousa
Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa
bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
Prof Alexsandro de Sousa
1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica
Prof Alexsandro de Sousa
Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
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Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
Prof Alexsandro de Sousa
A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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Questotildees como essas em que se procura determinar o valor
maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica
pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de
funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos
tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas
Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e
miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode
perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato
Prof Alexsandro de Sousa
Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
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Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
Prof Alexsandro de Sousa
A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
Prof Alexsandro de Sousa
1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz
referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de
uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir
ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo
O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor
maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se
agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o
valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo
Prof Alexsandro de Sousa
Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
Prof Alexsandro de Sousa
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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Exemplo
bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80
Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice
= 2(ndash5)
= 3 s t = ndashb
2a
ndash(30)
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
Prof Alexsandro de Sousa
1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s
h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa
bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de
80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto
em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute
h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter
A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima
B) a altura maacutexima que ele atinge
C) o instante em que ele atinge o solo
C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0
h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0
rArr t = ndash2 ou t = 8
rArr t = 8 s
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
Prof Alexsandro de Sousa
A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
Prof Alexsandro de Sousa
bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
Prof Alexsandro de Sousa
Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa
bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
Prof Alexsandro de Sousa
Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
Prof Alexsandro de Sousa
1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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Veja o graacutefico da funccedilatildeo
h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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Vejamos em dois exemplos
1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola
Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima
R 180m
2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado
por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo
Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades
deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades
100405)( 2 ttth
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que
a) alt0 blt0 e cgt0
b) agt0 bgt0 e clt0
c) agt0 bgt0 e cgt0
d) alt0 bgt0 e clt0
e) alt0 bgt0 e cgt0
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma
Funccedilatildeo Quadraacutetica
Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica
precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola
tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo
Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf
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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
22| xRxS
- - x
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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima
do eixo das abscissas
bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0
bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo
do eixo das abscissas
0)( 3 1 xfxouxRx
0)(31 xfxRx
0)( 3 1 xfxouxRx
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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau
Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
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- - x
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Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas
axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0
axsup2 + bx + c le 0
Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo
1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero
2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x
3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente
A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
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- - x
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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0
bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2
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- - x
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