apresentacao da aula 1

CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral IAula 1: Derivadas (parte 1)

Unidade I: DerivadasCálculo Diferencial e Integral I

AULA 1: Derivadas (parte 1)

PLANO DE ENSINO

1

DERIVADAS: CONCEITUAÇÃO

2

DERIVADAS:REGRAS BÁSICAS

3

DERIVADAS:ORDEM SUPERIOR

4

DERIVADAS:REGRA DA CADEIA

5

PRÓXIMOS PASSOS



Plano de Ensino (Conteúdo Programático)

Unidade I - DERIVADAS

1.1 Conceituação de Derivadas

1.2 Regras Básicas de Derivação

1.3 Derivadas de ordem superior

1.4 A Regra da Cadeia

1.5. Derivadas de Funções Trigonométricas

1.6 Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas

1.7 Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas

1.8 Derivação Implícita

1.9 Equação de reta tangente e normal




Unidade II - APLICAÇÕES DE DERIVADAS

2.1 Taxas Relacionadas

2.2 Máximos e Mínimos, traçado de curvas

2.3 Modelagem e Otimização

Unidade III - INTEGRAÇÃO

3.1 Integral Indefinida

3.2 Integrais Imediatas e Integração por substituição

3.3 Integrais Definidas

3.3 Teorema Fundamental do Cálculo

3.4 Cálculo de áreas como limites e áreas pelo cálculo infinitesimal




Unidade IV - APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DEFINIDAS

4.1 Cálculo de Volumes por fatiamento

4.2 Cálculo de Volumes pela rotação em torno de um eixo

4.3 Cálculo do Comprimento curvas planas

Unidade V - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

5.1 Procedimentos Algébricos

5.2 Integração por Partes

5.3 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais

5.4 Regra de L’Hôpital e Integrais Impróprias



Bibliografia Básica

BROCHI, André. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de

Janeiro: SESES, 2015.

FINNEY, Ross L.; WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frank

R. THOMAS, George B. Cálculo. 11 ed. V.1- São Paulo:

Ed. Addison-Wesley, 2009. 2 v.

LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3.

ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2 v.



Bibliografia Complementar AVILA, Geraldo. Introdução ao Cálculo. Rio de Janeiro: LTC. 1ª Edição, 1998.

HOFFMANN, Laurence D; BRADLEY, Gerald L. 10 ed. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2011.

IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos de matemática elementar, 8: limites, derivadas, noções de integral. 5. ed. rev e ampl. São Paulo: Atual, c1995.

MUNEM, Mustafa A; FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1986. v.

SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Makron, 2008. 2 v.



Conceituação

Taxa de variação

Seja uma partícula em movimento segundo a função:

Determinar, a partir de s(t), uma função que fornece a variação instantânea do movimento da partícula em qualquer instante

A velocidade no instante s, foi obtida através do cálculo do limite



Taxa de variação

Essa expressão é denominada derivada da função .

Conceituação




Agora, podemos determinar a velocidade da partícula no instante que quisermos.

m/s; m/s m/s 0; m/s

Taxa de variação

Conceituação




A derivada da função é definida por:

sempre que esse limite existe.

Conceituação



• determinar taxas de variações instantâneas;

• obter máximos e mínimos de funções;

• detalhar o comportamento de funções.

Engenharia: funções modelam matematicamente fenômenos de interesse.

Recursos matemáticos que permitem detalhar o comportamento das funções.PERMITEM AO ENGENHEIRO CONHECER OS FENÔMENOS ESTUDADOS.

Aplicações da derivada



• Obter a derivada através do cálculo de limites nem sempre é tarefa fácil;

• O cálculo pode se transformar em uma tarefa árdua e penosa;

• Algumas regras básicas facilitarão o processo.

Regra 1: Derivada da função

Seja uma função do tipo , em que é uma constante, então a sua derivada é:

Regras básicas da derivação




Seja uma função do tipo , em que é uma constante, então a sua derivada é:

f;;





Seja uma função do tipo , então a sua derivada é: ff





Seja uma função do tipo , então a sua derivada é:





Seja uma função do tipo , em que é constante, então a sua derivada é:





Seja uma função do tipo . Então a sua derivada é:





Seja uma função do tipo , em que ,então a sua derivada é:




• Estudamos uma função s(t) que representava a posição de uma partícula no tempo;

• Vimos que a sua derivada, v(t), representava a variação da sua velocidade no tempo;

• Afinal, a velocidade é a taxa de variação posição, em relação ao tempo t;

• A derivada de uma função indica sua taxa de variação;

• A aceleração de um móvel indica a variação de sua velocidade.

• Logo, a função a(t) que fornece a aceleração de um móvel, no instante t, é a derivada

v’(t) de sua velocidade.

Derivadas de Ordem Superior



Sendo s(t) a função posição, v(t) a velocidade e a(t) a aceleração:

A função aceleração é a derivada de segunda ordem da função posição s(t).

)(')( tstv )(')( tvta

)('')( tsta




''y )('' xf2

2

dxyd• derivada de segunda ordem: ,

ou

'''y )(''' xf• derivada de terceira ordem: ,

ou 3

3

dxyd

• derivada de quarta ordem: y(4), f (4) ou 4

4

dxyd

• derivada de quarta ordem: y(4), f (4) ou n

n

dxyd




Uma partícula desloca-se segundo a função horária

s em metros e t em segundos, com 0 t 3.

223)(

32 tttts




)´()( tstv




)´´()´()( tstvta




)´´()´()( tstvta

Posição, Velocidade, aceleração




Considere y uma função de t em que t, por sua vez, é uma função de x.

y é a função composta

)(tfy )(xgt ))(( xgfy

))(( xgf

Lê-se: “função f da g de x”

Regra da Cadeia



DEFINIÇÃO: Se

)(tfy )(xgt e

são funções deriváveis em t e x, respectivamente, então a derivada de y em relação a x, , é dada por: dx

dy

dxdt

dtdy

dxdy

Regra da Cadeia



23

2

xtty

Regra da Cadeia

Assuntos da próxima aula:

1. Derivadas: Funções Trigonométricas

2. Derivadas: Funções Trigonométricas Inversas

3. Derivadas: Funções Exponenciais e Logarítmicas

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