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Notas de Aulas Perodo 2013.1: Vibraes Mecnicas Professor Antonio Almeida Silva (UFCG/CCT/UAEM)

1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE

CENTRO DE CINCIAS E TECNOLOGIA

UNIDADE ACADMICA DE ENGENHARIA MECNICA

APOSTILA DE CURSO

DISCIPLINA: VIBRAES MECNICAS (CDIGO: 1105021)

Prof. Dr. Antonio Almeida Silva

Campina Grande PB

2013


2

CAPTULO 1 FUNDAMENTOS DE VIBRAES MECNICAS

Sumrio:

Importncia do estudo da vibrao: breve histrico e movimentos relativos em sistemas mecnicos vibratrios;

Causas, efeitos e controle da vibrao: fontes de excitaes, tenses atuantes, conforto e estabilidade de sistemas;

Conceitos de vibraes: graus de liberdade, modelos de sistemas discretos e contnuos;

Classificao e procedimento de anlise de vibraes: elementos de mola, de massa ou inrcia e de amortecimento;

Movimento harmnico simples: representao matemtica no tempo e em freqncia, parmetros de medidas e anlise;

Vibraes complexas: anlise harmnica pelo teorema de Fourier, representaes no domnio do tempo e da frequncia.

1.1 Importncia do Estudo da Vibrao

Breve histrico

(grandes nomes)

Pitgoras (582-507 a.C.) considerado um pioneiro a investigar sons musicais com base cientfica. Realizou experincias com uma corda

vibratria conhecida como monocrdio;

Zhang Heng (132 d.C.) desenvolveu um instrumento para medir terremotos, utilizando um mecanismo de alavancas articuladas em 8

direes (precursor do sismgrafo);

Galileu Galilei (1564-1642) considerado o fundador da cincia experimental e estudou o comportamento do pndulo simples, medindo

o perodo dos movimentos e relacionando o seu comprimento com a

frequncia de oscilao;

Isaac Newton (1642-1727) publicou sua obra Principia Mathematica em 1686, na qual descreve a lei da gravitao universal, bem como as leis

do movimento utilizadas para derivar as equaes do movimento de um

corpo em vibrao;

Leohnard Euler (1707-1783) foi um grande matemtico e tambm se dedicou mecnica, astronomia e tica. Seu tratado de 1736, Trait

Complet de Mechanique, foi a primeira obra de anlise aplicada

cincia do movimento, apresentando contribuies a fsica newtoniana;

Jean DAlembert (1717-1783) desenvolveu o mtodo para estabelecer a equao diferencial do movimento de uma corda (equao de onda), em

suas memrias publicadas pela Academia de Berlim em 1750;

Joseph Lagrange (1736-1813) apresentou a soluo analtica da corda vibratria em suas memrias (Academia de Turim, 1759), que admitia a

corda composta por um nmero finito de partculas de massas idnticas

espaadas igualmente e estabeleceu a existncia de um nmero de

frequncias independentes igual ao nmero de partculas;

Joseph Fourier (1768-1830) lanou em 1822 sua obra mais notvel, Thorie Analytique de la Chaleur, onde demonstrou que a conduo do

calor em corpos slidos poderia ser expressa por sries infinitas.

Tambm dedica toda uma seo soluo do "desenvolvimento de uma

funo arbitrria qualquer, em uma srie de senos e co-senos";

Charles Coulomb fez estudos tericos e experimentais em 1784 sobre as oscilaes torcionais de um cilindro de metal suspenso por um arame,

cujo torque resistente do arame proporcional ao ngulo de toro.


3

Motivao:

1.2 Causas, Efeitos e Controle da Vibrao

Principais

fontes de

vibrao:

Possveis

efeitos:

Controle de

vibraes:

Desbalanceamentos de massas girantes;

Desalinhamentos de eixos, correias, correntes;

Folgas generalizadas e bases de mquinas soltas;

Defeitos em dentes de engrenagens, rodas dentadas;

Rolamentos e mancais de suportes defeituosos;

Escoamentos de fluido turbulentos, cavitao de bombas;

Transportes areo, frreo, naval, automotivo;

Explosivos, terremotos, abalos ssmicos, etc.

Desconforto humano, desgaste fsico ou dor;

Alto risco de acidentes nas instalaes;

Desgaste prematuro dos componentes;

Falha da estrutura, colapso, distores residuais;

Quebras inesperadas, paradas repentinas;

Perdas de energia e desempenho das mquinas;

Instabilidade geomtrica, desconexo;

Baixa qualidade dos produtos, falta de acabamento;

Ambiente de trabalho insalubre, condies inseguras.

Eliminao das fontes (balanceamentos, alinhamentos, reapertos,

lubrificao, ajuste de rigidez, etc);

Isolamento das partes (amortecedores estticos e dinmicos);

Atenuao da resposta (reforos estruturais, massas auxiliares,

mudana da freqncia de ressonncia);

A vibrao mecnica surge em mquinas e estruturas devido ao movimento relativo das partes entre si;

At onde a vibrao indesejvel depende da intensidade das tenses atuantes sobre as peas, ou da perturbao causada pela oscilao

(conforto);

Devido ao seu efeito, se faz necessrio uma anlise do comportamento dinmico das estruturas na fase de projeto, visando reduzir ao mximo

as vibraes.


4

1.3 Conceitos Bsicos de Vibraes

1.3.1 Graus de liberdade de um sistema (GDL)

Nmero mnimo de coordenadas independentes requeridas para determinar completamente as posies de todas as partes de um sistema a qualquer instante (Rao, 2009).

Exemplos de modelos de 1 GDL

O pndulo simples mostrado na Fig. (1.11) representa um modelo de sistema com

apenas um grau de liberdade. O movimento do pndulo pode ser definido em termos do

ngulo ou em termos das coordenadas cartesianas x e y. Neste caso, constatamos que a escolha de como a coordenada independente ser mais conveniente. Outros modelos adotados so ilustrados na Fig. (1.12).

Exemplos de modelos de 2 e 3 GDL

Alguns modelos de sistemas de dois e trs graus de liberdade so mostrados nas Figs.

(1.13) e (1.14), respectivamente. A Fig. (1.13a) mostra um sistema de duas massas e duas

molas que descrito pelas duas coordenadas lineares x1 e x2. A Fig. (1.13b) denota um

sistema de dois rotores cujo movimento pode ser especificado em termos de 1 e 2.


5

Nos sistemas mostrados nas Figs. (1.14a) e (1.14c), as coordenadas xi (i=1, 2, 3) e

i (i=1, 2, 3) podem ser usadas, para descrever o movimento.

1.3.2 Sistemas discretos e contnuos

Uma grande quantidade de sistemas prticos pode ser descrita usando um nmero

finito de graus de liberdade, como os sistemas mostrados nas Figs. (1.11 a 1.14). Alguns

sistemas, em especial os que envolvem elementos elsticos contnuos, tm um nmero infinito

de graus de liberdade como o exemplo simples de uma viga em balano (Fig. 1.15).

Sistemas com um nmero finito de graus de liberdade so denominados sistemas discretos ou de parmetros concentrados, e os que tm um nmero infinito de graus de liberdade so denominados sistemas contnuos ou distribudos (Rao, 2009).

Na maioria das vezes, os sistemas contnuos so aproximados como sistemas

discretos, cujas solues so obtidas de maneira mais simples. Embora tratar um sistema

contnuo d resultados exatos, os mtodos analticos disponveis para lidar com sistemas

contnuos esto limitados a uma pequena quantidade de problemas como vigas uniformes,

hastes delgadas e placas finas. Por consequncia, grande parte dos sistemas prticos so

estudados tratando-os como massas, molas e amortecedores concentrados. Em geral obtm-se

resultados mais precisos aumentando-se o nmero de graus de liberdade.


6

1.4 Classificao e Anlise de Vibraes

1.4.1 Classificao de vibraes

a) Vibrao livre

Se um sistema, aps uma perturbao inicial, continuar a vibrar por conta prpria, a

vibrao resultante conhecida como vibrao livre. A oscilao de um pndulo simples

um exemplo de vibrao livre.

b) Vibrao forada

Se um sistema estiver sujeito a uma fora externa (geralmente peridica), a vibrao

resultante conhecida como vibrao forada. A vibrao que surge em mquinas, como

motores a diesel, um exemplo de vibrao forada.

Se a freqncia da fora externa coincidir com uma das freqncias naturais do

sistema, ocorre uma condio conhecida como ressonncia, e o sistema sofre oscilaes

elevadas. Muitas falhas de estruturas como edifcios, pontes, turbinas e asas de avio esto

associadas ocorrncia de ressonncia.

c) Vibrao no amortecida e amortecida

Se nenhuma energia for perdida ou dissipada por atrito ou outra resistncia durante a

oscilao (sistema conservativo), a vibrao conhecida como vibrao no amortecida.

Todavia, se qualquer energia for perdida dessa maneira, ela denominada vibrao

amortecida.

Em muitos sistemas fsicos, a quantidade de amortecimento to pequena que pode

ser desprezada para a maioria das finalidades de engenharia. Contudo, considerar o

amortecimento torna-se extremamente importante na anlise de sistemas vibratrios prximos

a regio de ressonncia.

d) Vibrao linear e no linear

Se todos os componentes bsicos de um sistema vibratrio (massa, mola e

amortecedor) se comportam linearmente, a vibrao resultante conhecida como vibrao

linear. Contudo, se qualquer dos elementos apresenta comportamento no linear, a vibrao

denominada vibrao no linear.

Se a vibrao for linear, o princpio da superposio vlido e as tcnicas de anlise

so bem mais conhecidas. Uma vez que a maioria dos sistemas vibratrios tendem a

comportar-se no linearmente com o aumento da amplitude de oscilao, importante

conhecer bem os modelos de vibraes no lineares.

e) Vibrao determinstica e no determinstica

Se o valor ou magnitude da excitao (fora ou movimento) que est agindo sobre um

sistema vibratrio for conhecido a qualquer dado instante, a excitao denominada

determinstica.


7

Em alguns casos, a excitao no determinstica ou aleatria; o valor da excitao

em dado instante no pode ser previsto por equaes analticas (ex. velocidade dos ventos,

aspereza de uma estrada, movimento do solo durante terremotos), e nesses casos s possvel

estimar atravs de parmetros estatsticos (mdia, mdia quadrtica e RMS).

1.4.2 Procedimento de anlise de vibraes

Um sistema vibratrio um sistema dinmico no qual as variveis como as excitaes

(entradas) e respostas (sadas) so dependentes do tempo. Em geral, a resposta de um sistema

depende das condies iniciais, bem como das excitaes externas. Assim, a anlise de um

sistema vibratrio normalmente envolve as seguintes etapas:

Etapa 1: Modelagem matemtica

A finalidade representar os aspectos importantes do sistema com o propsito de

obter as equaes analticas que governam o seu comportamento.

Etapa 2: Derivao das equaes governantes

Uma vez disponvel o modelo matemtico, usamos os princpios da dinmica e

derivamos as equaes que descrevem a vibrao do sistema. As equaes de movimento

esto normalmente na forma de um conjunto de equaes diferenciais ordinrias para um

sistema discreto e equaes diferenciais parciais para um sistema contnuo.

Etapa 3: Soluo das equaes governantes

As equaes de movimento devem ser resolvidas para determinar a resposta do

sistema vibratrio. Dependendo da natureza do problema, podemos usar mtodos

padronizados para resolver as equaes diferenciais, mtodos que utilizam transformadas de

Laplace, mtodos matriciais e mtodos numricos.

Etapa 4: Interpretao dos resultados

A soluo das equaes governantes fornece deslocamentos, velocidades e aceleraes

das vrias massas do sistema. Esses resultados podem ser interpretados com uma clara viso

da finalidade da anlise e das possveis implicaes dos resultados no projeto.

1.4.3 Elementos de massa ou inrcia

Admite-se que o elemento de massa ou inrcia um corpo rgido e pode ganhar ou

perder energia cintica sempre que a velocidade do corpo mudar. Pela segunda lei do

movimento de Newton, o produto da massa por sua acelerao igual fora aplicada

massa. Como exemplo, consideremos a viga em balano com uma massa na extremidade

ilustrada na Fig. (1.21a).

Para uma anlise rpida e de razovel preciso, a massa da viga desprezvel em

comparao com a massa principal e o sistema pode ser modelado como um sistema de 1

GDL (Fig. 1.21b). Porm, como ser mostrado mais adiante, essa simplificao pode resultar

numa variao significativa no clculo da frequncia natural do sistema.


8

Associao de elementos de massa

Em muitas aplicaes prticas, vrias massas aparecem associadas (Fig. 1.29a). Para

uma anlise simples, podemos substituir essas massas por uma nica massa equivalente, como

ilustrado na Fig. (1.29b). Podemos supor que a massa equivalente est localizada na posio

da massa m1. Igualando a energia cintica do sistema de massa equivalente, obtemos

3

2

1

32

2

1

21eq m

l

lm

l

lmm

(1.1)

1.4.4 Elementos de molas

Uma mola linear um tipo de elo mecnico cuja massa e amortecimento so, de modo

geral, considerados desprezveis. Pela lei de Hooke, a fora da mola proporcional

quantidade de deformao e dada por F=k x, onde F a fora aplicada, x a deformao

linear e k a rigidez da mola ou constante elstica.


9

Elementos elsticos como vigas tambm se comportam como molas. Algumas

frmulas podem ser usadas para determinar as constantes elsticas de vigas e placas com

geometrias simples (ver Apndices).

a) Associao de molas em paralelo

Para obter uma expresso para a constante equivalente de molas ligadas em paralelo,

considere as duas molas mostradas na Fig. (1.22a). Quando aplicada uma carga W, o sistema

sofre uma deflexo esttica st, como na Fig. (1.22b). Ento o diagrama de corpo livre, representado na Fig. (1.22c), fornece a equao de equilbrio,

st2st1 kkW (1.2)

Se keq a constante elstica equivalente, ento para a mesma deflexo esttica, temos

21eqsteq kkkondekW , (1.3)

Em geral, se tivermos n molas com constantes elsticas nkkk ...,,, 21 em paralelo,

ento, pode-se obter a constante equivalente keq:

neq kkkk ...21 (1.4)

b) Associao de molas em srie

Uma expresso para a constante elstica equivalente de molas ligadas em srie pode

ser obtida considerando as duas molas mostradas na Fig. (1.23a). Sob a ao de uma carga W,

as molas sofrem alongamentos 1 e 2, como na Fig. (1.23b). O alongamento total (ou deflexo esttica) do sistema st dado por,

21 st (1.4)

Visto que ambas as molas esto sujeitas mesma fora W, temos o equilbrio

mostrado na Fig. (1.23c).


10

Se keq denotar a constante elstica equivalente, ento para a mesma deflexo esttica,

teremos,

2211 kkkW steq (1.5)

Substituindo os valores de 1 e 2 da Eq. (1.5) na Eq. (1.4), obtm-se

21

111

kkkeq (1.6)

A equao pode ser generalizada para o caso de n molas em srie:

neq kkkk

1...

111

21

(1.7)

1.4.5 Elementos de amortecimento

Em muitos sistemas prticos, parte da energia de vibrao geralmente convertida ou

dissipada na forma de calor ou som. Em virtude da reduo da energia, a resposta do sistema,

tambm diminui com o amortecimento. Admite-se que um amortecedor no tem massa nem

elasticidade, e que a fora de amortecimento s existe se houver uma velocidade relativa entre

suas extremidades.

a) Amortecimento viscoso

o mecanismo de amortecimento mais usado em anlise de vibrao. Nesse caso, a

fora de amortecimento proporcional velocidade do corpo em vibrao. Exemplos tpicos

de amortecimento viscoso so: (1) pelcula de leo entre superfcies deslizantes; (2) fluxo de

fluido ao redor de um pisto dentro de um cilindro; (3) pelcula de leo ao redor de um

mancal de rolamento.


11

b) Amortecimento de Coulomb ou por atrito seco

Aqui, a magnitude da fora de amortecimento constante, mas no sentido oposto ao

movimento do corpo vibratrio, causado pelo atrito entre as superfcies em contato que

estejam secas ou com lubrificao deficiente.

c) Amortecimento material ou por histerese

Quando um material deformado, ele absorve e dissipa energia. O efeito deve-se ao

atrito entre os planos cristalinos internos, que deslizam ou escorregam enquanto as

deformaes ocorrem. Quando um corpo com amortecimento material sujeito vibrao, o

diagrama tenso-deformao mostra um ciclo de histerese (Fig. 1.33a), cuja rea desse ciclo

denota a energia perdida por unidade de volume do corpo por ciclo devido ao amortecimento

(Fig. 1.33b).

Figura 1.33 - Ciclo de histerese para materiais elsticos.

1.5 Movimento Harmnico e Conceitos Bsicos

1.5.1 Caracterizao do fenmeno vibratrio

Uma forma de modelar a vibrao pelo deslocamento da massa ao longo do tempo,

resultando num movimento oscilatrio, conforme ilustra a Fig. (1.34).

Figura 1.34 - Vibrao pelo movimento harmnico subamortecido.

Se o movimento for repetido a intervalos de tempos iguais, denominado movimento

peridico. O tipo mais simples o movimento harmnico simples com perodo de vibrao T.

O deslocamento x em relao ao tempo t pode ser representado conforme a Fig. (1.35a).


12

Esse movimento pode ser expresso, matematicamente, pela equao:

t

TsenAtx

2)( (1.8)

onde: A a amplitude de oscilao, medida a partir da posio de equilbrio;

T o perodo de vibrao, usualmente medido em segundos;

f=1/T a frequncia de vibrao, expressa em Hz.

A frequncia angular (rad/s) pode ser descrita de acordo com a equao:

fT

22

(1.9)

Como j se sabe, partindo-se do movimento harmnico de deslocamento, podem-se

determinar os parmetros da velocidade e da acelerao por diferenciaes sucessivas em

relao ao tempo, ou seja:

Deslocamento: )()( tsenAtx (1.10)

Velocidade: )2

()(cos)(

tsenAtAtx (1.11)

Acelerao: )()()(22 tsenAtsenAtx (1.12)

As Figs. (1.35a, b e c) ilustram as trs representaes das equaes acima, com a mesma

frequncia de oscilao do deslocamento, porm defasados de /2 e , respectivamente.

Figura 1.35 - Movimento harmnico: (a) Deslocamento; (b) Velocidade; (c) Acelerao.


13

1.6 Vibraes Complexas e Anlise Harmnica

1.6.1 Funes peridicas e o teorema de Fourier

Qualquer funo peridica )(tx , no importa o grau de complexidade, pode ser

representada por uma combinao de um nmero de curvas senoidais e cossenoidais puras

com freqncias harmonicamente relacionadas entre si, dada pela equao de Fourier:

1

2121

))()(cos(2

...)2()()2(cos)(cos2

)(

nnn

o

o

tnsenbtnaa

tsenbtsenbtataa

tx

(1.13)

onde oa a amplitude mdia, nn bbbeaaa ,...,,,...,, 2121 so as amplitudes das

componentes cosenoidais e senoidais, e n...,,2, so as suas respectivas harmnicas.

1.6.2 Anlise de sinais peridicos e sries de Fourier

Utilizando os conceitos da srie de Fourier discreta, pode-se encontrar a descrio

temporal de sinais peridicos, utilizando o seguinte procedimento:

1

2sin

2cos

2)(

nnn

o tT

nbt

T

na

atx

(1.14)

onde, as constantes podem ser calculadas por (ver Exerccio_03):

T

o dttxT

a0

)(2

;

Tn dtt

T

ntx

Ta

0

2cos)(

2 ;

Tn dtt

T

ntx

Tb

0

2sin)(

2

Pode-se ainda calcular os parmetros de mdia, mdia quadrtica e RMS:

T

dttxT

x0

)(1

; T

dttxT

x0

22 )(1

; T

rms dttxT

x0

2 )(1

(1.15)

1.6.3 Representaes nos domnios do tempo e da frequncia

A expanso por srie de Fourier permite a descrio de qualquer funo peridica

usando uma representao no domnio do tempo ou da frequncia. Por exemplo, uma funo

harmnica dada por )(cos)(cos)( t2AtAtx 21 , que ilustra a vibrao tpica de acelerao

de um pisto automotivo no domnio do tempo (ver Exerccio_04), pode ser representada pela

amplitude e pelas suas componentes de frequncias atravs do seu espectro em frequncia,

que consiste de linhas discretas mostrando as principais componentes de frequncias do sinal.


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EXERCCIOS RESOLVIDOS

Captulo 1 - Fundamentos de Vibraes

Exerccio_01 (P 2.3, Thomson)

Na figura (a) um peso de 44,50 N ligado extremidade inferior de uma mola cuja

extremidade superior fixa, vibra com um perodo natural de 0,45 s. Determinar o perodo

natural quando um peso de 22,25 N ligado ao meio da mesma mola, com ambas as

extremidades fixas, conforme a figura (b).

Soluo:

Considerando a montagem da esquerda (a): HzTfn 22,245,011 11 (E.1)

e calculando a respectiva frequncia natural: sradfnn /96,132 11 (E.2)

Donde pode-se obter a rigidez da mola, a partir da relao:

mNmkm

knn /885)96,13()54,4()(

2211 (E.3)

Considerando a segunda montagem direita (b), onde a mola suporta agora uma

massa de 22,25 N (m2=0,5m1), passa-se a ter duas molas em paralelo, e devido reduo do

seu comprimento metade, as novas constantes de rigidez passam a ser: kkk 221 .

Calculando a rigidez equivalente, mNkkkkeq /40,3540421 . (E.4)

Logo, a nova frequncia natural ser: sradm

keqn /5,39

27,2

4,3540

22

(E.5)

Consequentemente, sf

TeHzfn

nn

n 159,01

28,62 2

22

2

.

(E.6)


15

Exerccio_02 (P 1.52 - Rao)

Dadas duas funes harmnicas abaixo, encontrar a sua soma e representar o

movimento graficamente: )2(cos15)();(cos10)( 21 ttxttx

Soluo: Mtodo 1 Usando relaes trigonomtricas

Considerando que a frequncia circular a mesma em ambas as funes x1(t) e x2(t),

podemos expressar a soma na forma geral, como sendo a superposio linear:

)()()(cos)( 21 txtxtAtx

(E.1)

ou seja, usando relaes trigonomtricas

)2sin.sin2cos.(cos15cos10

)2(cos15cos10)sin.sincos.(cos

ttt

ttttA

(E.2)

ou ainda,

)2sin15(sin)2cos1510(cos)sin(sin)cos(cos ttAtAt

(E.3)

Igualando os termos de cos(t) e sen(t), em ambos os membros da Eq. (E.3), obtemos as relaes:

14771421521510A

215A

21510A

22 ,)sin()cos(

sinsin

coscos

(E.4)

Usando a relao da fase do movimento,

)598,74(302,12cos1510

2sin151

tg

(E.5)

Mtodo 2 Usando a notao vetorial

Para um valor arbitrrio de t, os movimentos harmnicos x1(t) e x2(t) podem ser denotados graficamente, conforme a Fig. (1.43) abaixo. Adicionando vetorialmente, o vetor

resultante x(t) pode ser encontrado como sendo,

)5963,74(cos1477,14)( ttx

(E.6)


16

Uma rotina no Matlab ilustra cada uma das funes e o resultado da soma, obtida

atravs do mtodo da superposio (curva de linha pontilhada).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

SINAL TEMPORAL

tempo (s)

x(t

)

x1=10.cos(wt)

x2=15.cos(wt+2)

xt=x1+x2


17

Exerccio_03 (Expanso de Fourier em sinais peridicos)

Dada a funo peridica abaixo (onda retangular), descrever a expanso dos sinais no

tempo na forma de sries de Fourier. Encontrar a equao geral e executar uma rotina de

simulao no Matlab para nmero de termos crescentes: ex: n=5; n=10; n=50.

Soluo:

Calculando os coeficientes de Fourier atravs das integrais:

011)1()1(2

2)(

2 20

0

2

0

ttdtdtdttxT

a

(E.1)

0001)(1)(11

)cos()1()cos()1(2

2)

2cos()(

2

2

0

2

00

nntsen

nntsen

na

dtntdtntdttT

ntx

Ta

n

T

n

(E.2)

mparnnn

ntn

ntn

b

dtntsendtntsendttT

nsentx

Tb

n

T

n

.....4

221

)cos(1

)cos(11

)()1()()1(2

2)

2()(

2

2

0

2

00

(E.3)

Com a substituio dos coeficientes na srie da Eq. (1.13), abaixo, obtemos:

1

))()(cos(2

)(n

nno tnsenbtna

atx

(E.4)

...55

13

3

11.1

4)(

4

2

24

2

2cos.0

2

0)(

11

tsentsentsentx

n

ntsent

nsen

nt

ntx

nn

(E.5)

t

x(t)

1

0 - 2

3

-1

...


18

Atribuindo valores de n crescentes numa rotina computacional Matlab, a srie dada

pela Eq. (E.5) assume as formas,

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

0

1

SINAL GERADO: n= 1, 3, 6

tempo (s)

s(t

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

0

1

SINAL GERADO: n=10 termos

tempo (s)

s(t

)

Observaes:

1) Como a funo dada mpar, nota-se que os coeficientes 0an , o que resulta numa

srie de Fourier de senos. Caso a funo dada fosse par os coeficientes 0bn ;

2) Nota-se que medida que se aumenta o nmero de termos da srie, com n=1, 3, 5 termos, a representao da onda vai assumindo uma forma mais definida;

3) No caso para n=10 termos, a forma de onda j est bem definida, porm nota-se uma flutuao nas extremidades da onda, que conhecido como efeito de Gibbs, devido a

variaes do sinal de um valor positivo para negativo e/ou vice-versa.


19

Exerccio_04 (P 1.89, Rao)

Um mecanismo tpico de manivela cursor vertical (pisto automotivo) mostrado na

Fig. 1.96, representando um sistema de 1 GDL na coordenada xp.

Soluo:

Considerando o ponto de referncia O para o pisto na posio superior, e lembrando que

o segmento BC comum aos dois tringulos, pode-se obter as relaes:

senrsenl , o que resulta, 21

2

2

2

1cos

sen

l

r

Assim, a equao da posio, pode ser obtida na forma,

21

2

2

2

1coscoscos)(

sen

l

rlrlrlrlrtxp (E.1)

Usando uma aproximao da srie, para 2 termos: 2111 , e aps algumas

manipulaes algbricas, a Eq. (E1) acima fica,

t2cos

l4

rtcosr

l2

r1r)t(xp (E.2)

Assumindo (r/l)


20

Analogamente, derivando mais uma vez a Eq. (E.4), obtm-se a acelerao do pisto,

tl

rtrtap

2coscos)(

222 (E.5)

Realizando a simulao no Matlab, para a relao 330lr , tem-se as curvas abaixo:

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

-20

-10

0

10

20

30SINAL DESLOCAMENTO

tempo (s)

x1

x2

xd

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

5

10

15

20FFT do Sinal

freguncia (Hz)

Xf(

w)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-2000

-1000

0

1000

2000

SINAL DE VELOCIDADE

tempo (s)

x1

x2

xv

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

5 SINAL DE ACELERAO

tempo (s)

x1

x2

xa

Obs:Analisando as curvas, percebe-se que para relaes 3,0lr , a presena da segunda

harmnica j se faz notar, especialmente distorcendo as curvas de velocidade e

acelerao do pisto. (ver artigo anexo).


21

Exerccio_05 (Anlise numrica de Fourier P 1.74, Rao)

A variao do torque de um motor de combusto interna em relao ao tempo dada

pela Tabela (1.3). Execute uma anlise harmnica do torque pela Srie de Fourier discreta.

Determine as amplitudes das trs primeiras harmnicas.

Soluo:

Analisando o perodo dado na tabela, temos que T=0,012 s, o que implica que a

frequncia da primeira harmnica dada por, sradT

/6,523012,0

22

Para se obter os coeficientes da srie de Fourier, devemos obter as somatrias

numericamente, para as 3 primeiras harmnicas (n =1, 2 e 3), conforme as equaes discretas:

;,

sinsin

;,

coscos

;

0120

tn2M

12

1tn2M

N

2b

0120

tn2M

12

1tn2M

N

2a

M12

1M

N

2a

i24

1i

ii

N

1i

in

i24

1i

ii

N

1i

in

24

1i

i

N

1i

i0

A planilha abaixo ilustra os resultados dos coeficientes e somatrias individuais, e

suas respectivas somas totais, representadas na ltima linha da tabela.

Tabela de Resultados (P 1.74)

i ti Mti 012,0

2cos ii

tMt

012,0

2sin ii

tMt

x1000 (n=1) x1000

012,0

4cos ii

tMt

012,0

4sin ii

tMt

x1000 (n=2) x1000

012,0

6cos ii

tMt

012,0

6sin ii

tMt

x1000 (n=3) x1000

1 0.0005 770 0.7438 0.1993 0.6668 0.3850 0.5445 0.5445

2 0.0010 810 0.7015 0.4050 0.4050 0.7015 -0.0000 0.8100

3 0.0015 850 0.6010 0.6010 0.0000 0.8500 -0.6010 0.6010


22

4 0.0020 910 0.4550 0.7881 -0.4550 0.7881 -0.9100 -0.0000

5 0.0025 1010 0.2614 0.9756 -0.8747 0.5050 -0.7142 -0.7142

6 0.0030 170 0.0000 1.1700 -1.1700 0.0000 0.0000 -1.1700

7 0.0035 370 -0.3546 1.3233 -1.1865 -0.6850 0.9687 -0.9687

8 0.0040 610 -0.8050 1.3943 -0.8050 -1.3943 1.6100 0.0000

9 0.0045 890 -1.3364 1.3364 0.0000 -1.8900 1.3364 1.3364

10 0.0050 750 -1.5155 0.8750 0.8750 -1.5155 -0.0000 1.7500

11 0.0055 630 -1.5745 0.4219 1.4116 -0.8150 -1.1526 1.1526

12 0.0060 510 -1.5100 0.0000 1.5100 -0.0000 -1.5100 -0.0000

13 0.0065 390 -1.3426 -0.3598 1.2038 0.6950 -0.9829 -0.9829

14 0.0070 290 -1.1172 -0.6450 0.6450 1.1172 0.0000 -1.2900

15 0.0075 190 -0.8415 -0.8415 0.0000 1.1900 0.8415 -0.8415

16 0.0080 110 -0.5550 -0.9613 -0.5550 0.9613 1.1100 0.0000

17 0.0085 1050 -0.2718 -1.0142 -0.9093 0.5250 0.7425 0.7425

18 0.0090 990 0.0000 -0.9900 -0.9900 -0.0000 -0.0000 0.9900

19 0.0095 930 0.2407 -0.8983 -0.8054 -0.4650 -0.6576 0.6576

20 0.0100 890 0.4450 -0.7708 -0.4450 -0.7708 -0.8900 -0.0000

21 0.0105 850 0.6010 -0.6010 -0.0000 -0.8500 -0.6010 -0.6010

22 0.0110 810 0.7015 -0.4050 0.4050 -0.7015 0.0000 -0.8100

23 0.0115 770 0.7438 -0.1993 0.6668 -0.3850 0.5445 -0.5445

24 0.0120 750 0.7500 -0.0000 0.7500 -0.0000 0.7500 0.0000

24

1

27300

-4.9794e+003 1.8038e+003

a1 b1

343.2051 -1.7541e+003

a2 b2

428.7006 661.8377

a3 b3

24

112

1

2275 -414.9472 150.3162 28.6004 -146.1720 35.7250 55.1531

A equao final obtida fica na forma,

)3cos3cos2cos2coscoscos(12

1

2)( 332211

0iiiiii tbtatbtatbta

atx

Uma visualizao das curvas obtida pela srie acima, plotada abaixo.


23

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000SINAL de Torque Mt

tempo (s)

M(t

) N

.m

Tabela 1.3

Srie Fourier, xt


24

CAPTULO 2 VIBRAO LIVRE DE SISTEMAS (1 GDL)

Sumrio:

Introduo;

Vibrao livre de sistemas no amortecidos;

Condies de estabilidade e mtodos da energia;

Vibrao livre com amortecimento viscoso;

Soluo analtica das equaes do movimento (Matlab);

Soluo de resposta no tempo pelo mtodo numrico de Runge-kutta.

2.1 Introduo

O estudo da vibrao livre de sistemas de um grau de liberdade, no amortecidos e

amortecidos, fundamental para o entendimento de questes mais avanadas de vibraes.

Um sistema se encontra em vibrao livre quando oscila livremente sob uma dada

perturbao inicial (ex. pndulo simples), sem a ao de nenhuma fora aps a perturbao,

que pode ser um carregamento sbito, um impacto ou choque. A partir desse modelo sero

definidos os parmetros de frequncia natural e frequncia amortecida, bem como o fator de

amortecimento viscoso e fator de perda por histerese do material.

2.2 Vibrao Livre de Sistemas No Amortecidos

A Fig. (2.1a) mostra um sistema massa-mola que representa um modelo vibratrio

simplificado. Uma vez que no existe nenhum elemento que cause dissipao de energia

(sistema conservativo), a amplitude do movimento permanece constante ao longo do tempo, e

o sistema considerado no amortecido. Na prtica, exceto no vcuo, a amplitude de vibrao

livre sempre diminui gradativamente com o tempo devido resistncia do meio (ar, atrito,

fluido). Tais vibraes so denominadas amortecidas.

2.2.1 Equao do movimento pela 2a lei de Newton

Considerando o sistema massa-mola no amortecido (Fig. 2.1a), e assumindo que a

massa m se encontra fixada a uma mola de rigidez k e est apoiada sobre roletes sem atrito de

modo a ter movimento de translao apenas no sentido longitudinal.

Figura. 2.1 Sistema massa-mola em posio horizontal.

Supondo que a massa deslocada a uma distancia x em relao sua posio de

equilbrio esttico, a fora atuante na mola ser k.x, e o diagrama de corpo livre da massa

pode ser representado na Fig. (2.1c).


25

Aplicando a segunda lei de Newton massa m resulta na equao de movimento:

0)( xkxmouxmxktF (2.1)

2.2.2 Soluo da equao do movimento

A soluo da Eq. (2.1) pode ser encontrada admitindo-se que

tsts esCtxeeCtx 2)()( (2.2)

onde C e s so constantes no nulas a serem determinadas pelas condies iniciais.

Substituindo a Eq. (2.2) em (2.1) resulta em,

0)( 2 kmsC (2.3)

Como a constante C no nula, podemos assumir que 0kms2 e, por consequncia, as razes dessa equao so

m

ks 21 , (2.4)

Considerando que 1i , definimos a frequncia natural por

mkn (2.5)

Os dois valores de s dados pela Eq. (2.4) so tambm conhecidos como autovalores do

problema. Assim, uma soluo geral da Eq. (2.1) pode ser expressa como

titi nn eCeCtx

21)( (2.6)

onde C1 e C2 so constantes a serem determinadas a partir das condies iniciais.

Usando a identidade de Euler: tseniteti cos , a Eq. (2.6) pode ser reescrita,

tensAtAtx nn 21 cos)( (2.7)

onde A1 e A2 so novas constantes. Duas condies so necessrias para avaliar essas

constantes. Se os valores do deslocamento )(tx e da velocidade )(tx , forem definidas como

oo xex no tempo t = 0, temos a partir da Eq. (2.7),

on

o

xAtx

xAtx

2

1

)0(

)0(

(2.8)


26

Assim, a soluo da Eq. (2.1) sujeita s condies iniciais dadas pelas constantes A1 e

A2 da Eq. (2.8) pode assumir a forma,

tensx

txtx nn

o

no

cos)( (2.9)

Outras formas de representao da Eq. (2.7) utilizando-se as formas

vetoriais: AsenAeAA 21 cos , que pode ser expressa como

)(cos)( tAtx n ou )()( ono tensAtx (2.10)

onde as amplitudes e ngulos de fase so obtidas por

2

2

n

ooo

xxAA

(2.11)

e

no

o

o

noo

x

xtge

x

xtg

11

(2.12)

A Fig. (2.8) ilustra uma representao tpica da Eq. (2.10), onde se observa o efeito

das condies iniciais em termos do ngulo de fase .

Figura. 2.8 Representao grfica do movimento de um oscilador harmnico.

2.2.3 Vibrao livre de um sistema torcional

Se um corpo rgido oscilar em relao a um eixo de referncia, o movimento resultante

ser uma vibrao por toro. No caso, o deslocamento do corpo medido em termos de uma

coordenada angular . A Fig. (2.14a) mostra um disco com momento de inrcia de massa polar Jo montado em uma extremidade de um eixo circular slido cuja outra extremidade

fixa. Pela teoria da toro de eixos, temos as seguintes relaes:


27

l

IGk ot onde

32

4dIo

(2.13)

G o mdulo de elasticidade transversal,

l o comprimento do eixo,

d o dimetro do eixo,

Io o momento de inrcia polar

Figura. 2.14 Vibrao por toro de um disco.

Se o disco for deslocado de um ngulo em relao a sua posio de equilbrio, o eixo age como uma mola torcional com uma constante de elasticidade dada por

l

dG

l

IGk ot

32

4 (2.14)

Equao de movimento de sistema torcional no amortecido

A equao de movimento angular do disco em relao ao seu eixo pode ser derivada

tambm pela segunda lei de Newton. Considerando o diagrama de corpo livre do disco (Fig.

2.14b), pode-se obter a equao

0 to kJ (2.15)

que podemos verificar ser idntica Eq. (2.1) se o momento de inrcia Jo, o deslocamento

angular e a constante elstica torcional kt forem substitudos pela massa m, deslocamento x e constante linear k, respectivamente.

Assim, a frequncia natural do sistema torcional dada por

otn Jk (2.16)


28

A soluo geral da Eq. (2.15) pode ser obtida, como no caso da Eq. (2.1), na forma:

tensAtAt nn 21 cos)( (2.17)

onde as constantes A1 e A2 podem ser determinadas pelas condies iniciais e a Eq. (2.17)

tambm representa um movimento harmnico simples.

2.3 Condies de Estabilidade e Mtodos de Energia

2.3.1 Condies de estabilidade

Considere uma barra rgida de massa uniformemente distribuda m articulada em uma

das extremidades e conectada simetricamente a duas molas na outra extremidade, como

mostra na Fig. (2.17a). Quando a barra for deslocada por um ngulo , a fora resultante em

cada mola senlk ; e a fora total da mola ser senlk2 . A fora resultante da gravidade mgW age no sentido vertical de cima para baixo,

passando pelo centro de gravidade G.

O momento em relao ao eixo de rotao O devido acelerao angular

32mlJo . Assim, a equao de movimento pode ser escrita como

02

cos23

2

senl

Wlsenlkml (2.18)

Para pequenas oscilaes, sen e 1cos , a Eq. (2.18) reduz-se a

02

3120

22

3 2

22

2

ml

Wllkou

lWlk

ml (2.19)

A soluo da Eq. (2.19) depende do sinal de 22 2312 mllWlk .


29

Caso 1. Quando 02312 22 mllWlk , a soluo da Eq. (2.19) representa oscilaes estveis e pode ser expressa como

tensAtAt nn 21 cos)( (2.20)

onde A1 e A2 so constantes e

21

2

2

2

312

ml

lWlkn .

Caso 2. Quando 02312 22 mllWlk , a Eq. (2.19) reduz-se para 0 , e a soluo pode ser obtida diretamente integrando-se duas vezes

21)( CtCt (2.21)

Para as condies iniciais oo tet )0()0( , a soluo torna-se

00)( tt (2.22)

A Eq. (2.22) mostra que o deslocamento angular aumenta linearmente com velocidade

constante 0 . Entretanto, se 00 , o pndulo permanece na posio de equilbrio 0 .

Caso 3. Quando 02312 22 mllWlk , definimos 21

2

2

2

123

ml

lklW e expressamos a

soluo da Eq. (2.19) como

tt eBeBt 21)( (2.23)

onde B1 e B2 so constantes. Para as condies iniciais 0)0( t e 0)0( t , a Eq.

(2.23) torna-se

tt eet

00002

1)( (2.24)

A Eq. (2.24) mostra que )(t aumenta exponencialmente com o tempo e, por

consequncia, o movimento instvel. A razo fsica que o momento restaurador devido

mola )2( 2lk , que tenta trazer o sistema para a posio de equilbrio, menor do que o

momento no restaurador devido gravidade ))2(( lW , que tenta afastar a massa da

posio de equilbrio.


30

2.3.2 Equao do movimento por mtodos de energia

a) Princpio de DAlembert*

Nesse princpio, os problemas de dinmica podem ser considerados como de equilbrio

de foras (ou momentos). Assim, as equaes de movimento podem ser reescritas como:

0)(0)( JtMouxmtF (2.25)

Os termos Jexm so chamados de fora de inrcia e momento de inrcia, respectivamente. A interpretao da Eq. (2.25) a de que a soma das foras externas e da

fora de inrcia que atuam no sistema zero. A aplicao do princpio de DAlembert, ao sistema da Fig. (2.1c) resulta na equao:

00 xkxmouxmxk (2.26)

b) Princpio dos deslocamentos virtuais

Esse princpio afirma que se um sistema em equilbrio sob a ao de um conjunto de foras for submetido a um deslocamento virtual, ento o trabalho virtual total realizado pelas

foras ser zero. Considere um sistema massa-mola em uma posio deslocada como mostrado na Fig.

(2.6a). No diagrama de corpo livre da massa com as foras reativa e de inrcia da Fig. (2.6b),

quando a massa sofre o deslocamento virtual x, o trabalho virtual realizado pode ser calculado da seguinte maneira:

- Trabalho virtual realizado pela fora da mola = xxkWs )( ;

- Trabalho virtual realizado pela fora de inrcia = xxmWi )( ;

Portanto, quando o trabalho virtual total realizado por todas as foras iguala-se a zero,

e considerando que o deslocamento virtual pode ter um valor arbitrrio, 0x , obtemos

00 xkxmouxxkxxm (2.27)

(*) Matemtico e fsico francs, JEAN BAPTISTE LE RONDE DALEMBERT (1717-1783), publicou em 1743 o Trait de Dinamique, o qual continha o mtodo que ficou conhecido como princpio de DAlembert. De acordo com a forma generalizada desse princpio, quando um conjunto dos chamados deslocamentos virtuais

imposto ao sistema de interesse, o trabalho resultante realizado pelas foras externas e foras inerciais zero.


31

c) Princpio da conservao da energia

Um sistema conservativo se nenhuma energia for perdida devido a atrito ou

elementos que dissipam energia. Se nenhum trabalho for realizado sobre um sistema

conservativo por foras externas (com exceo da fora da gravidade ou outras foras

potenciais), ento a energia total do sistema permanece constante. Visto que a energia do

sistema vibratrio parcialmente potencial U e parcialmente cintica T, a soma dessas duas

energias permanece constante.

Assim, o princpio da conservao da energia pode ser expresso como:

0 UTdt

doucteUT (2.28)

Como a energia cintica T e energia potencial U so dadas por

2

21 xmT e 2

21 xkU (2.29)

A substituio da Eq. (2.29) em (2.28) tambm nos d:

0 xkxm (2.30)

conforme j obtida anteriormente, pela segunda lei de Newton.

2.4 Vibrao Livre Com Amortecimento Viscoso

2.4.1 Equao do movimento pela segunda lei de Newton

Um sistema com 1 grau de liberdade com um amortecedor viscoso mostrado na Fig.

(2.21a). Se x for medida em relao posio de equilbrio da massa m, e considerando que o

elemento de amortecimento viscoso, dado pela constante c proporcional velocidade x , a aplicao da segunda lei de Newton, conforme o diagrama da Fig. (2.21b), nos d

0 xkxcxmouxkxcxm (2.31)


32

2.4.2 Soluo da equao

Para resolver a Eq. (2.31), admitimos uma soluo na forma steCtx )( , onde C e s

so constantes. A insero dessa funo e suas derivadas resultam na equao caracterstica,

02 kscsm (2.32)

cujas razes so obtidas na forma j conhecida,

m

k

m

c

m

c

m

mkccs

22

2,1222

4 (2.33)

Estas razes do duas solues, tsts

eCtxeeCtx 21 2211 )()( . Assim, a soluo geral

dada pela combinao das solues )()( 21 txetx :

tstseCeCtx 21 21)( (2.34)

onde C1 e C2 so constantes arbitrrias a serem determinadas pelas condies iniciais.

Definies de amortecimento crtico e fator de amortecimento

O amortecimento crtico cc definido como o valor da constante de amortecimento c

para o qual o radical na Eq. (2.33) torna-se nula:

ncc mmk

m

kmcou

m

k

m

c2220

2

2

(2.35)

Para qualquer sistema amortecido, o fator de amortecimento pode ser definido como

sendo a razo entre a constante de amortecimento e o amortecimento crtico: ccc .

Substituindo nmc )2( , na Eq. (2.33), obtm-se outra forma de expressar as razes

ns )1(2

2,1 (2.36)

e, portanto, a soluo geral dada pela Eq. (2.34) assume a forma

tt nneCeCtx

1

2

1

1

22

)( (2.37)

A natureza das razes 21 ses e o comportamento da soluo, dada pela Eq. (2.37),

depende do fator de amortecimento. Pode-se perceber que para o caso de 0 resulta em

vibraes no amortecidas discutidas na seo 2.2. Por consequncia, admitindo que 0

podemos considerar os trs casos seguintes.


33

Caso 1. Sistema subamortecido: mkm2coucc;10 c

Para essa condio, )1( 2 negativo e as razes so complexas. Fazendo 1i ,

as razes da Eq. (2.36) podem ser expressas como

nis )1(2

2,1 (2.38)

Analogamente, a soluo dada pela Eq. (2.37), pode ser descrita de formas diferentes,

como:

titi nn eCeCtx )1(

2

)1(

1

22

)(

(2.39)

ou, aps algumas manipulaes algbricas, nas formas

)1(cos)(

)1()(

2

2

on

t

o

n

t

teXtx

ou

tseneXtx

n

n

(2.40)

onde ),( '2'

1 CC , ),( X , ),( ooX so constantes arbitrrias a serem determinadas pelas

condies iniciais. Para as condies iniciais 0)0( xtx e 0)0( xtx , podemos

determinar '2'

1 CeC :

n

onoo

xxCexC

2

'

2

'

1

1

(2.41)

e, por consequncia, a soluo geral torna-se

t

xxtxetx n

n

onono

tn

2

2

2 1sin1

1cos)(

(2.42)

As constantes ),( X e ),( ooX podem ser expressas como

'1'21'2'112'

2

2'

1 )()(

CCtgeCCtg

CCXX

o

o

(2.43)

Obs: O movimento descrito por essas equaes um movimento harmnico amortecido de

frequncia angular 21 nd ; porm por causa do fator tne

, a amplitude

diminui exponencialmente no tempo (Fig. 2.22).


34

Caso 2. Sistema criticamente amortecido: mkmcoucc c 2;1

Nesse caso, as duas razes da Eq. (2.36) so reais e iguais, e podem ser expressas como

nc

m

css

221 (2.44)

Por causa das razes repetidas, a soluo geral da Eq. (2.31) dada por,

tnetCCtx 21)( (2.45)

A aplicao das condies iniciais: 00 )0()0( xtxextx , para esse caso nos d

onoo xxCexC 21 (2.46)

e a soluo torna-se

tonoo netxxxtx )( (2.47)

Obs: Pode-se ver que o movimento representado pela Eq. (2.47) aperidico (no peridico).

Visto que 0 tne quando t , o movimento eventualmente diminuir at zero,

como indica a Fig. (2.24).


35

Caso 3. Sistema superamortecido: mkmcoucc c 2;1

A Eq. (2.36) mostra que as razes 21 ses so reais e distintas, e so dadas por:

0)1( 22,1 ns (2.48)

com 12 ss . Nesse caso, a soluo dada pela Eq. (2.39), pode ser:

tt nn eCeCtx )1(

2

)1(

1

22

)(

(2.49)

A Eq. (2.49) mostra que o movimento aperidico, independente das condies

iniciais impostas ao sistema. Visto que as razes 21 ses so ambas negativas, o movimento

diminui exponencialmente com o tempo, como tambm pode ser visto na Fig. (2.24).

Nota: A natureza das razes 21 ses com a variao dos fatores de amortecimento pode ser

mostrada no plano complexo. Na Fig. (2.25), o semicrculo representa o lugar das razes para

diferentes valores de na faixa de 10 . Constatamos que para 0 , obtemos as razes

imaginrias nis 2,1 , o que resulta na soluo dada na Eq. (2.7).

Mtodo do decremento logartmico

O decremento logartmico representa a taxa de reduo da amplitude de uma vibrao

livre livremente amortecida. A partir da Eq. (2.40), podemos expressar a razo entre duas

amplitudes sucessivas 21 xex como

dn

dn

n

ee

e

x

xt

t

)(

2

1

1

1

(2.50)

O decremento logartmico pode ser obtido pela Eq. (2.50):


36

n

ndnx

x

22

1

1

2ln

ou

m

c

d 2

2

1

2

2

(2.51)

ou ainda, para pequeno fator de amortecimento, a Eq. (2.51) pode ser aproximada:

12 se (2.52)

A Fig. (2.27) mostra a variao do decremento logartmico como dado pelas Eqs.

(2.51) e (2.52), onde se observa que, para valores at 3,0 , difcil distinguir uma curva

da outra.

O decremento logartmico adimensional e, na realidade, outra forma do fator de

amortecimento . Uma vez conhecido , pode ser determinada resolvendo-se a Eq. (2.51):

22)2(

(2.53)

Se usarmos a Eq. (2.52) em vez da Eq. (2.51), obtemos

2 (2.54)

Se o amortecimento no sistema dado no for conhecido, podemos determin-lo por

meios experimentais medindo quaisquer dois deslocamentos consecutivos 21 xex . Na

verdade, o fator de amortecimento tambm pode ser determinado medindo-se dois ciclos separados por qualquer nmero de ciclos m, cuja equao geral do decremento, dada por

1

1ln1

mx

x

m (2.55)

que pode ser substitudo nas Eqs. (2.53) ou (2.54) para obter o fator de amortecimento .


37

2.5 Soluo Analtica das Equaes do Movimento (Matlab)

Embora os problemas examinados at aqui sejam tratados como equaes diferenciais

lineares e que podem ser resolvidas analiticamente, existem muito problemas que no podem

ser resolvidos dessa forma. A equao do pndulo simples um exemplo. Para resolver a

equao analiticamente, fez-se uso da aproximao angular sen , resultando numa

soluo analtica aproximada, onde as condies iniciais so vlidas apenas para pequenos

ngulos )( 10 . Para os casos de condies iniciais com ngulos maiores, uma rotina de

integrao numrica deve ser utilizada para calcular e plotar uma soluo correta da equao

de movimento (ver Exerccio_07).

O Matlab possui diversas sub-rotinas baseadas na utilizao de mtodos numricos,

que podem ser usados para a soluo de sistemas de equaes diferenciais ordinrias de

primeira ordem. Em sistemas de equaes diferenciais de ordens mais elevadas ou no

homogneas, especialmente aqueles onde as foras atuantes so do tipo transientes ou no

peridicas, uma equao diferencial de ordem n pode ser convertida em um sistema de n

equaes diferenciais ordinrias de primeira ordem antes de usar funes Matlab.

2.6 Resposta no Tempo pelo Mtodo Numrico de Runge-Kutta

Em geral, a aplicao das leis fsicas pertinentes aos vrios tipos de problemas

dinmicos (mecnica dos slidos, mecnica dos fluidos, etc.) recai na formulao de modelos

atravs de equaes diferenciais parciais. Nesses casos, os modelos so chamados de

modelos contnuos, e considera um nmero infinito de pequenas massas distribudas ao longo da estrutura, o que permite obter um comportamento que reproduz 'quase-exatamente' o

sistema fsico em questo. Infelizmente estes modelos s podem ser resolvidos para um

pequeno nmero de casos e situaes especiais, o que limita bastante as necessidades dos

engenheiros, levando-os a trabalhar com modelos 'menos exatos'.

Quando se considera o meio material discreto, os modelos so denominados modelos de parmetros concentrados, cujas variveis dependentes do sistema so consideradas uniformes sobre regies finitas do espao. Neste caso, geralmente se trabalha com sistemas de

equaes diferenciais ordinrias, cujas solues so mais simples e de fcil compreenso do

fenmeno em estudo.

2.6.1 Mtodo de Runge-kutta aplicado na resposta de vibrao livre

O Matlab tem diversas funes ou solvers baseados na utilizao de mtodos

numricos, que podem ser usados para a soluo de um sistema de equaes diferenciais

ordinrias de primeira ordem. Um procedimento numrico produz uma lista de valores

discretos )( ii txx que aproxima uma soluo tal qual a funo contnua )(tx , que a

soluo exata. Para as condies iniciais do problema de vibrao livre amortecida na forma

oo v0xex0x0xkxcxm )()(; (2.56)

os valores iniciais oo vex , formam os dois primeiros pontos da soluo numrica. Seja o

intervalo de durao ),( fT0 cuja soluo de interesse, e o intervalo de discretizao no

tempo tal que nTt f . Assim a Eq. (2.56) calculada nos valores de

).,...,.,, fn21o Ttntt2ttt0t para produzir uma representao aproximada, ou

simulao da soluo.


38

Uma formulao til para resolver problemas de primeira ordem, baseada nas

derivadas de Runge-kutta, estabelece que

),();,(

);,();,(

:,

ttktxfk2

ttk

2

txfk

2

ttk

2

txfktxfk

ondekk2k2k6

txx

n3nn4nn2nn3n

n1nn2nnn1n

4n3n2n1nn1n

(2.57)

A soma entre parnteses na primeira das Eqs. (2.57) representa a mdia de 6 nmeros,

cada um resultante das inclinaes mdias obtidas para os diferentes tempos no intervalo t . Retornando ao problema da Eq. (2.56), dividimos ambos os termos da equao pela

massa m e definimos duas novas variveis )(txx1 e )(txx2 , e substitumos x e sua derivada em termos de x1 e x2 na forma

)()()(

)()(

txm

ktx

m

ctx

txtx

122

21

(2.58)

sujeitas s condies iniciais o1 x0x )( e o2 x0x )( . As duas equaes acopladas dadas pelas

Eqs. (2.58), podem ser expressas na forma matricial

)(

)()(;

)(

)()(;

0x

0x0x

tx

txtx

m

c

m

k10

A2

1

2

1 (2.59)

onde a matriz A definida nessa forma chamada de matriz de estado, e o vetor x chamado

de vetor de estado. A posio x1 e velocidade x2 so chamadas de variveis de estado. Usando

essas definies, a Eq. (2.61) pode ser escrita na forma compacta

)()( txAtx (2.60)

sujeita a condio inicial x(0). Utilizando uma rotina Runge-Kutta a escolha dos intervalos de

tempo pode ser feita de forma automtica usando a funo ode23, cujo seguinte comando

deve ser usado

>> [t, x]=ode23('dfunc',tspan,x0)

onde 'dfunc' o nome da funo m-file cuja entrada deve ser t e x e cuja sada deve ser um

vetor coluna que representa dtdx / , isto , f(t,x). O nmero de linhas no vetor coluna deve ser igual ao nmero de equaes de primeira ordem. O vetor 'tspan' deve conter os valores inicial

e final da varivel independente tempo t e, opcionalmente, quaisquer valores intermedirios

de t nos quais se queira a soluo. O vetor x0 deve conter os valores iniciais de x(t). Um

procedimento semelhante usando a funo ode45 (ver Exerccio_09).


39

EXERCCIOS RESOLVIDOS

Captulo 2 - Vibraes Livres

Exerccio_06 (Vibrao livre no amortecida Ex. 2.18, Rao)

Um sistema massa-mola no amortecido com m=20 kg e rigidez k=500 N/m sujeito a

um deslocamento inicial de mxo 075,0 e uma velocidade inicial de smxo /10,0 .

Determinar as equaes e plotar curvas de deslocamento, velocidade e acelerao no Matlab.

Soluo:

Considerando o sistema no amortecido, e a equao na forma compacta dada por,

ono tensAtx )( (E.1)

A frequncia natural obtida por: sradm

kn /0,5

20

500 ; (E.2)

A amplitude mxima Ao e o ngulo de fase o so:

mx

xAn

ooo 077,0

5

1,0)075,0(

2

2

2

2

(E.3)

radtgx

xtg

o

noo 31,175

1,0

)5)(075,0(11

(E.4)

Assim, as respectivas equaes de movimento, sob as condies adotadas acima, so:

31,1594,1)(

31,15cos388,0)(

31,15077,0)(

tenstx

ttx

tenstx

(E.5)

Uma visualizao das curvas de deslocamento, velocidade e acelerao so plotadas

no Matlab, onde nota-se as diferenas de amplitude e ngulo de fase de cada uma delas.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.1

0

0.1Resposta de Deslocamento, x(t)

Am

plitu

de (

m)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5

0

0.5Resposta de Velocidade, v(t)

Am

plitu

de (

m/s

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-2

0

2

Resposta de Acelerao, a(t)

Tempo, (s)

Am

plitu

de (

m/s

2)


40

Exerccio_07 (Frequncia natural de pndulos simples P.2.62, Rao)

Uma massa m ligada extremidade de uma barra de massa desprezvel e entra em

vibrao em trs configuraes (Fig. 2.79). (i) Derive as expresses para a frequncia natural

dos pndulos e determine qual a configurao que correspondente mais alta frequncia

natural. (ii) Analise as respostas no tempo em termos de deslocamentos relativos em

condies de posio angular qualquer do pndulo onde a soluo linearizada no vlida.

Soluo:

(a) Vibrao livre: considerando apenas a massa m no D.C.L. acima e aplicando a 2 lei de

Newton, teremos a Eq. (E.1) no linear,

0gmml sin (E.1)

Considerando que para pequenos deslocamentos, sin , a Eq. (E.1) linearizada fica,

0gmml ou na forma geral

02n (E.2)

onde, encontra-se a frequncia natural dada por,

lgn (E.3)

Assim, a soluo geral em termos de posio angular do pndulo simples ser,

ttt nn

ono

sincos)( (E.4)

(b) Para a segunda configurao contendo uma mola de rigidez k numa dada posio a,

aplicando a 2 lei de Newton, obtm-se

0sinsin22 lgmakml (E.5)

Considerando que para pequenos deslocamentos, sin , a Eq. (E.5) fica


41

0)( 22 glmakml (E.6)

Ou ainda, da Eq. (E.6) encontra-se a frequncia natural,

2

2

lm

lmgakn

(E.7)

(c) Para a configurao do pndulo invertido, aplicando a 2 lei de Newton, obtm-se

0sinsin22 lgmakml (E.8)

Considerando que para pequenos deslocamentos, sin , a Eq. (E.8) fica

0)( 22 glmakml (E.9)

Ou ainda, da Eq. (E.9) encontra-se a frequncia natural,

2

2

lm

lmgakn

(E.10)

Obs: Aps anlise dos resultados observa-se que a configurao (b) ser a que apresenta a

maior frequncia natural, devido ao numerador possuir os termos se somando.

Por outro lado, analisando as Eqs. (1) e (2), em termos das suas solues analtica e numrica

(Runge-kutta), para condies de deslocamentos angulares maiores, onde sin , nota-se um aumento significativo do perodo de vibrao resultante em relao soluo obtida pela

equao linearizada.

0 2 4 6 8 10 12 14-1

-0.5

0

0.5

1Vibrao livre - linearizada

Tempo [s]

Deslo

c.

angula

r [r

ad]

0 2 4 6 8 10 12 14-1

-0.5

0

0.5

1Vibrao livre no linear

Tempo [s]

Deslo

c.

angula

r [r

ad]


42

Exerccio_08 (Efeito da massa da viga sobre a frequncia natural)

Determine a frequncia natural de vibrao transversal de uma viga engastada-livre

sob o efeito de uma carga concentrada P na extremidade (Fig. 2.20), sem considerar e

incluindo a massa da viga.

Soluo:

(a) Numa primeira anlise, sem considerarmos o efeito da massa da viga, a frequncia natural

seria dada por: Mkn onde k a rigidez e M representa a massa principal.

(b) Considerando a massa da viga m, determinamos a massa equivalente na extremidade livre

usando a equivalncia de energia cintica num modelo com 1 GDL. A deflexo esttica da

viga em balano sob uma carga concentrada P na extremidade, dada por:

323

2

32

36

)( xlxl

yxl

EI

xPxy mx (E.1)

A mxima energia cintica da viga em si (Tmx) dada por

dxxyTl

lm

mx2

021 )( (E.2)

Usando a Eq. (E.2) para expressar a variao de velocidade )(xy , como

323

32

)( xlxl

yxy mx

(E.3)

e, por consequncia, a Eq. (E.2) torna-se

mxmx

l

mxmx

ymll

y

l

m

dxxlxl

y

l

mT

27

6

2

0

232

2

3

140

33

2

1

35

33

42

1

)3(22

(E.4)

Se meq denotar a massa equivalente da viga em balano na extremidade livre, sua

energia cintica mxima pode ser expressa como

mxeqmx ymT2

21 (E.5)


43

Igualando as Eqs. (E.4) e (E.5), obtemos mmmeq 236,014033 . Assim, a massa

efetiva total que age na extremidade livre da viga em balano dada por

eqeff mMM (E.6)

onde M a massa principal devido carga na extremidade da viga.

Portanto, a frequncia natural de vibrao transversal da viga dada por

mM

k

mM

k

M

k

effn

236,014033

(E.7)

Obs: Nota-se uma reduo na frequncia natural devido ao acrscimo no denominador da

massa efetiva. Para comprovar esse estudo, foi desenvolvido um trabalho experimental

no LVI-UFCG (Silvano e Rocha, 2009).


44

Exerccio_09 (Resposta de vibrao livre amortecida, P 2.109)

Um sistema massa-mola subamortecido com m=10 kg e rigidez k=1000 N/m sujeito

a um deslocamento inicial de mxo 10,0 e uma velocidade inicial de sm10xo / . Determinar

a equao de deslocamento e plotar o grfico de resposta para c=50 N.s/m usando o Matlab.

Compare as respostas analtica e numrica por uma rotina Runge-Kutta.

Soluo:

Considerando a resposta em deslocamento de um sistema subamortecido 10 , obtm-se uma forma analtica da soluo dada pela Eq. (2.17):

)()( tseneXtx d

tn , donde se obtm os parmetros:

msN200m2csrad1010

1000

m

kncn /...;/ ;

srad2501101250c

c 22nd

c

/9,68),(;,

m061689

10102501010

xxxX

2

2

2

d

ono2

o ,,

),)((,),(

rad101025010

10tg

xx

xtg 1

ono

do1 0,094),)((,

)9,68)(,(

Logo, obtemos a soluo analtica: )0,0949,68(,)(, tsene061tx t52

Obs: Observa-se pelo grfico, uma boa concordncia entre os mtodos analtico e numrico

(Runge-kutta), inclusive na regio onde ocorre o maior pico de amplitude relativa.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Problema 2.109

Tempo, s

Deslo

cam

en

to,

m

Numerica

Analitica - zeta=0,25


45

Exerccio_10 (Projeto de amortecedor de motocicleta Ex. 2.11, Rao)

O projeto de um absorvedor de choque para uma motocicleta de m=200 kg, conforme

a Fig. (2.31a) deve seguir as especificaes da resposta conforme a Fig. (2.31b).

(a) Determine as constantes de rigidez e amortecimento para um perodo de vibrao

amortecida de 2 s e quando a amplitude x1 tiver de ser reduzida a um quarto em meio ciclo;

(b) Determinar a velocidade inicial mnima que resulta num deslocamento mximo 250 mm.

Soluo:

Visto que 164;4 15,1215,1 xxxxx .

Por consequncia, o decremento

22

1

1

2773,2)16ln(ln

x

x

onde, obtm-se =0,4037. Usando a relao do perodo d=2 s, obtm-se

sradnnd

d /43,3)4037,0(12

2

1

222

22

(a) A constante de amortecimento crtico cc pode ser obtida por

msNmc nc /.54,373.1)43,3)(200(22

Assim a constante de amortecimento c dada por

msNcc c /.49,554)54,373.1)(4037,0(

E a rigidez: mNmk n /26,358.2)434,3)(200(22


46

(b) O deslocamento da massa atingir seu valor mximo no tempo t1, dado por: (ver P.2.86)

sttsentsen d 368,0915,0)4037,0(11 122

11

O envelope que passa pelos pontos mximos, dado por

mXeXeXxtn 455,0)4037,0(125,01 )368,0)(434,3)(4037,0(22

A velocidade da massa pode ser obtida, diferenciando o deslocamento

ttseneXtxtseneXtx dddnt

d

t nn cos)()(

Quando t=0, a equao acima fica

smXXxtx ndo /43,1)4037,0(1)434,3)(455,0(1)0(22


47

CAPTULO 3 VIBRAO EXCITADA HARMONICAMENTE Sumrio:

Introduo;

Equao geral do movimento;

Resposta de sistema no amortecido fora harmnica;

Resposta de sistema amortecido fora harmnica;

Excitao pela base e movimento de suporte;

Problemas de desbalanceamento rotativo;

Soluo de equaes do movimento (simulao no Matlab).

3.1 Introduo

Diz-se que um sistema mecnico ou estrutural sofre vibrao forada sempre que

energia externa fornecida ao sistema durante a vibrao. Essa energia fornecida por meio

de uma fora aplicada ou por uma excitao de deslocamento imposta. A natureza da fora

aplicada ou da excitao pode ser de natureza harmnica, no harmnica, no peridica ou

aleatria. A resposta de um sistema sujeito excitao harmnica tambm denominada de

resposta harmnica. A excitao no peridica pode ser de curta ou longa durao. A

resposta de um sistema dinmico a excitaes no peridicas aplicadas repentinamente

denominada de resposta transiente.

Nesse captulo, consideraremos apenas a resposta dinmica de um sistema de 1 grau

de liberdade sob excitao harmnica da forma )cos()( 0 tFtF , onde F0 a amplitude,

a freqncia e o ngulo de fase da excitao harmnica. Ser observado que se a frequncia de excitao coincidir com a frequncia natural, a resposta do sistema ser muito

grande. Em geral, essa condio, conhecida como ressonncia deve ser evitada, para impedir

a falha do sistema. A vibrao produzida por uma mquina rotativa desbalanceada e o

movimento vertical de um automvel sobre uma superfcie senoidal de uma estrada so

exemplos de vibrao excitada harmonicamente.

3.2 Equao Geral de Movimento

Seja uma fora )(tF que age sobre um sistema massa-mola viscosamente amortecido,

como mostra a Fig. (3.1a).


48

A partir do D.C.L. da Fig. (3.1b) a equao de movimento pode ser obtida pela

aplicao da segunda lei de Newton:

)(tFxkxcxm (3.1)

Visto que essa equao considerada no homognea, sua soluo geral )(tx dada

pela soma da soluo homognea )(txh com a soluo particular )(txp . A soluo da

equao homognea

0 xkxcxm (3.2)

representa a vibrao livre do sistema e j foi discutida no Captulo 2. Como visto na seo

2.4, essa vibrao ou oscilao livre desaparece com o tempo sob cada uma das trs condies

de amortecimento (subamortecida, amortecida criticamente e superamortecida) e sob todas as

possveis condies iniciais.

Assim, a certa altura, a soluo geral da Eq. (3.1) reduz-se soluo particular )(txp ,

que representa a vibrao forada em regime permanente. As variaes das solues

homognea, particular e geral com o tempo para um caso tpico so mostradas na Fig. (3.2).

Podemos perceber que )(txh desaparece e )(tx torna-se )(txp aps algum tempo . A parte

do movimento que desaparece devido ao amortecimento denominada transitria.

3.3 Resposta de Sistema No Amortecido Fora Harmnica

Considerando um sistema no amortecido sujeito a uma fora harmnica,

tFtF o cos)( , a equao de movimento, Eq. (3.1), reduz-se a

tFxkxm o cos (3.3)


49

A soluo homognea dessa equao dada por

tCtCtx nnh sincos)( 21 (3.4)

onde mkn a frequncia natural do sistema. Como a fora de excitao F(t)

harmnica, a soluo particular )(txp tambm harmnica e tem a mesma frequncia .

Assim, admitimos uma soluo na forma

tXtxp cos)( (3.5)

onde X uma constante que denota a mxima amplitude de )(txp . Substituindo a Eq. (3.5) na

Eq. (3.3) e resolvendo para X, obtemos

22 1 nsto

mk

FX

(3.6)

Onde, kFost denota a deflexo esttica. Assim, a soluo total da Eq. (3.3) torna-se

tmk

FtCtCtx onn

cossincos)(

221 (3.7)

Usando as condies iniciais oxtx )0( e oxtx )0( , obtm-se

n

ooo

xC

mk

FxC

221 , (3.8)

e, por consequncia,

tmk

Ft

xt

mk

Fxtx on

n

on

oo

cossincos)(

22

(3.9)

A mxima amplitude X na Eq. (3.6) pode ser expressa como

211

nst

XM

(3.10)

A quantidade stXM representa a razo entre a amplitude dinmica e amplitude

esttica do movimento e denominada fator de amplificao. A variao desse coeficiente,

com a razo de frequncias nr , mostrada na Fig. (3.3), onde podemos constatar que

h trs tipos de resposta do sistema.

Caso 1: Quando 10 n , o denominador da Eq. (3.10) positivo, e a resposta dada

pela Eq. (3.5) sem alterao. Diz-se que a resposta est em fase com a fora externa.


50

Caso 2: Quando 1n , o denominador da Eq. (3.10) negativo, e a soluo em regime

permanente pode ser expressa como tXtxp cos)( , onde a amplitude de movimento X

redefinida como uma quantidade positiva,

12

n

stX

(3.11)

Visto que )(txp e )(tF tem sinais opostos, diz-se que a resposta est defasada de 180

em relao fora externa. Alm disso, quando n , 0X . Assim, a resposta do

sistema a uma fora harmnica de frequncia muito alta prxima de zero.

Caso 3: Quando 1n , a amplitude X da Eq. (3.10) ou Eq. (3.11) torna-se infinita. Essa

condio, para a qual a frequncia de excitao igual frequncia natural do sistema n, denominada de ressonncia. Para determinar a resposta para essa condio, reescrevemos a

Eq. (3.9) como

21

coscossincos)(

n

nstn

n

ono

ttt

xtxtx

(3.12)

Visto que o ltimo termo da Eq. (3.12) possui uma indeterminao quando n ,

aplicamos a regra de LHospital para avaliar o limite desse termo, derivando separadamente o numerador e o denominador em relao a . A resposta do sistema em ressonncia torna-se

tsin2

t.tsin

xtcosx)t(x n

nstn

n

ono

(3.13)


51

Podemos ver pela Eq. (3.13) que, em ressonncia, )(tx aumenta indefinidamente. O

ltimo termo dessa equao mostrado na Fig. (3.6), onde se observa que a amplitude da

resposta aumenta linearmente com o tempo.

3.3.1 Resposta total de vibrao no amortecida

A resposta total do sistema, dado pelas Eq. (3.7) ou Eq. (3.9), tambm pode ser

expressa como

1para;tcos

1)t(cosA)t(x n2

n

stn

(3.14)

1para;tcos

1)t(cosA)t(x n2

n

stn

(3.15)

onde A e podem ser determinados pelas condies iniciais, como j discutido anteriormente. Assim, o movimento completo pode ser expresso como a soma de duas curvas

cossenoidais de frequncias diferentes, como mostra a Fig. (3.7).


52

3.3.2 Fenmeno do batimento

Se a frequncia forante for prxima frequncia natural do sistema, pode ocorrer um

fenmeno conhecido como batimento. A partir da Eq. (3.9), se as condies iniciais forem

nulas, 0 oo xx , esta reduz-se a,

tt

mFtt

mFtx nn

n

on

n

o

2sin.

2sin2coscos)(

2222

(3.16)

Seja a freqncia de excitao for ligeiramente menor que a freqncia natural,

2n , onde uma quantidade pequena. Ento, n e 2n . Rearranjando

o segundo termo, a Eq. (3.16) fica

)(sin)(sin2

)( ttmF

tx o

(3.17)

J que pequena, a funo tsin varia lentamente, e seu perodo, igual a 2

grande (ver Exerccio_11). A Fig. (3.8) mostra que a amplitude aumenta e diminui

continuamente com perodo de batimento dado por

)(

2

2

2

nb

(3.18)

e a frequncia de batimento definida como

nb 2 (3.19)

3.4 Resposta de Sistema Amortecido Excitao Harmnica

3.4.1 Equao de movimento sob excitao harmnica

Se a funo forante harmnica for dada por tFtF o cos)( , a equao de

movimento torna-se


53

tFxkxcxm o cos (3.20)

Como espera-se que a soluo particular da Eq. (3.20) tambm seja harmnica,

admitimos que esteja na forma

tXtxp cos)( (3.21)

onde X e so constantes a serem determinadas. Substituindo a Eq. (3.21) e suas respectivas derivadas na Eq. (3.20), chegamos a

tFtsenctmkX o cos)()(cos)( 2 (3.22)

Desenvolvendo as relaes trigonomtricas da Eq. (3.22) e igualando os coeficientes

de tcos e tsen em ambos os lados da equao resultante, obtm-se o sistema de equaes:

0cos)(

cos)(

2

2

csenmkX

FsencmkX o (3.23)

cuja soluo pode ser obtida na forma,

222 )()( cmk

FX o

(3.24)

e

2

1

mk

ctg (3.25)

Inserindo as expresses de X e na Eq. (3.21), obtemos a soluo particular. Dividindo tanto o numerador quanto o denominador da Eq. (3.24) por k e fazendo algumas

substituies algbricas, obtemos

222222 )2()1(1

)(2)(1

1

rr

X

nnst

(3.26)

e

2

1

2

1

1

2

)(1

)(2

r

rtgtg

n

n

(3.27)

As variaes de stXM e com a razo de frequncias nr e o fator de

amortecimento so ilustrados na Fig. (3.11).


54

Obs_1: Algumas caractersticas do fator de amplificao pela Fig. (3.11a) so:

1. Para o sistema no amortecido )0( , a Eq. (3.26) reduz-se Eq. (3.10) e

stX quando 1 nr ;

2. Qualquer quantidade de amortecimento )0( reduz o fator de amplificao M para

todos os valores da frequncia forante. Porm a reduo mais significativa na

regio prxima da ressonncia;

3. A amplitude de vibrao forada torna-se menor com valores crescentes da frequncia

forante, isto , 0M quando nr ;

Obs_2: Algumas caractersticas do ngulo de fase pela Fig. (3.11b) so:

4. Para um sistema no amortecido )0( , a Eq. (3.27) mostra que o ngulo de fase

0 para 10 r (excitao e resposta esto em fase) e 180 para 1r (excitao e resposta esto defasadas);

5. Para 0 e 10 r , o ngulo de fase dado por 900 , o que implica que a resposta se atrasa em relao excitao;

6. Para 0 e 1r , o ngulo de fase dado por 18090 , o que implica que

a resposta se adianta em relao excitao;

7. Para 0 e 1r , o ngulo de fase 90 , o que implica que a diferena de fase

entre a excitao e a resposta 90. Para 0 e valores grandes de r, o ngulo de

fase 180 , e a resposta e a excitao esto fora de fase.

3.4.2 Resposta total de vibrao amortecida

A soluo completa da resposta dada por )()()( txtxtx ph , onde )(txh j foi

obtida na Seo 2.4. Assim, para um sistema sub amortecido, teremos


55

)cos()cos()( tXteXtx odt

on (3.28)

onde X e so dados pelas Eq. (3.26) e (3.27), respectivamente, e Xo e o podem ser determinados pelas condies iniciais do problema (ver Exerccio_12).

3.4.3 Equao de movimento na forma complexa

Outra forma interessante de anlise da resposta considerar a excitao harmnica

descrita na forma complexa, tioeFtF

)( , de modo que a equao de movimento torna-se

tioeFxkxcxm

(3.29)

Como uma excitao real dada somente pela parte real de )(tF , a resposta tambm

ser dada pela parte real de )(tx , e satisfaz a Eq. (3.29). Admitindo a soluo particular )(txp

na forma

ti

pti

pti

p eXtxeXitxeXtx 2)(;)(;)( (3.30)

obtemos, pela substituio dos termos da Eq. (3.30) na Eq. (3.29),

cimk

FX o

)( 2 (3.31)

Multiplicando o numerador e o denominador do lado direito da Eq. (3.31) por

cimk )( 2 e separando as partes, real e imaginria, obtemos

222222

2

)()()()(

cmk

ci

cmk

mkFX o (3.32)

Usando as propriedades e notao de nmero complexo: ieAiyx , onde

22 yxA e xytg , a Eq. (3.32) pode ser expressa como

io ecmk

FX

222 )()(

(3.33)

onde

2

1

mk

ctg (3.34)

3.4.4 Resposta de regime permanente no tempo

Assim, a soluo em regime permanente, dada pela Eq. (3.30), torna-se


56

)(

222 )()()(

tiop ecmk

Ftx (3.35)

3.4.5 Resposta em frequncia

A Eq. (3.31) tambm pode ser reescrita na forma complexa por,

)(2)1(

12

iHrirF

Xk

o

(3.36)

onde, )( iH conhecida como a resposta em frequncia complexa do sistema. O valor

absoluto de )( iH dado por

222 )2()1(

1)(

rrF

XkiH

o

(3.37)

e denota o fator de amplificao definido na Eq. (3.26). Utilizando a relao de

Euler*: seniei cos , pode-se mostrar que as Eqs. (3.36) e (3.37) esto relacionadas:

ieiHiH )()( (3.38)

onde dado pela Eq. (3.34), que tambm pode ser expressa como

2

1

1

2

r

rtg

(3.39)

Assim, a Eq. (3.35) pode ser expressa como

)()()( tiop eiHk

Ftx (3.40)

Assim, podemos ver que a funo de resposta em frequncia complexa contm a

magnitude e a fase da resposta em regime permanente. Se tFtF o cos)( , a soluo dada

pela parte real da Eq. (3.35), que tambm igual a Eq. (3.21).

)(

222)(Re)(cos

)()()(

tioop eiH

k

Ft

cmk

Ftx (3.41)

(*) LEONHARD EULER (1707-1783) tornou-se matemtico e professor de matemtica na corte imperial de

So Petersburgo, Rssia. Produziu muitas obras sobre lgebra e geometria e interessava-se tambm pela forma

geomtrica das curvas de deflexo na resistncia dos materiais. Ele tambm deduziu a equao de movimento

para as vibraes de flexo de uma haste (teoria de Euler-Bernoulli). Usando algumas constantes e smbolos

matemticos (e, , 1i ), Euler encontrou a expresso: ii esenie cos101 .


57

De maneira semelhante, se tsenFtF o )( , a soluo em regime permanente

correspondente dada pela parte imaginria da Eq. (3.35):

)(

222)(Im)(

)()()(

tioop eiH

k

Ftsen

cmk

Ftx (3.42)

3.4.6 Representao complexa do movimento harmnico

A excitao harmnica e a resposta do sistema amortecido podem ser representadas

graficamente no plano complexo, e pode-se dar uma interessante interpretao ao diagrama

resultante. Inicialmente, diferenciamos a Eq. (3.41) em relao ao tempo duas v

apostila_vibrações_ufcg.pdf

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