apostilamapakarnaugh

8/6/2019 apostilaMapaKarnaugh

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Simplificao usando Mapa de Karnaugh

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Eng.: Roberto Bairros dos Santos.Um empreendimento Bair ros Projetos Did ti cos

www.bairrospd.kit.net

Esta apostila mostra uma forma simples e prtica de simplificar uma equaobooleana chamado de Mapa de Karnaugh, com este mtodo voc consegue prever

de antemo se a equao pode ser simplificada ou no e ainda voc chegarsempre a melhor simplificao possvel!


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Contedo

1 Introduo:.............................................................................................................32 Base matemtica: ...................................................................................................43 Desenhando o Mapa de Karnaugh:.........................................................................54 Passando os valores da Tabela Verdade para o Mapa de Karnaugh: ....................105 Simplificao usando o Mapa de Karnaugh:.........................................................126 Formando Grupos bsicos de clulas adjacentes: ................................................167 Exemplo de simplificao bsica: .........................................................................198 Simplificao usando grupos laterais: ..................................................................259 Exemplo de simplificao usando grupos laterais: ...............................................2710 O grupo dos quatro cantos:...............................................................................3011 Simplificao usando Mapa de Karnaugh partindo da Tabela Verdade:............3112 Simplificao partindo da equao:...................................................................3513 Exemplo de simplificao partindo da equao:................................................3714 Passando da equao direto para o Mapa de Karnaugh: ...................................3815 Clulas Irrelevantes:..........................................................................................3916 Exemplos de simplificao com clulas irrelevantes:.........................................4017 Mapa de Karnaugh para 3 e duas variveis: .....................................................4218 Exemplos de simplificao de funes com 3 e 2 variveis:...............................4419 Simplificando funes com alguma simplificao:.............................................47


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1 Introduo:A simplificao de uma funo lgica tem por objetivo chegar a um circuito maissimples, usando menos componentes gerando, desta forma, um circuito maiseconmico.

Uma forma de simplificar uma funo lgica usar diretamente os teoremas,postulados e identidades da lgebra de Boole, neste caso a operao de simplificaopode se tornar bastante trabalhosa, podendo levar muito tempo e muitas vezes aoiniciar ou ao longo da simplificao voc no tem certeza de que chegar ou chegou amenor equao possvel!.

O mtodo do Mapa de Karnaugh um mtodo mais simples, pois se baseia em um

desenho na forma de tabela chamado Mapa de Karnaugh, a construo da tabela e oprocesso da simplificao um tarefa rpida e simples.

Neste mtodo voc ir desenhar o mapa de karnaugh partir de uma equaomontada na forma de uma soma de produtos ou de uma tabela verdade.

O mtodo possui uma base matemtica simples, mas que durante a aplicao ficatotalmente transparente, tornando-se praticamente um trabalho metdico deobservao e desenho.

O Mapa de Karnaugh um mtodo prtico para funes de at quatro variveis oueventualmente cinco varivel, acima disto, o grfico gerado passa a ter uma dimensode difcil processamento. Neste trabalho sero tratados os casos at quatro variveis,uma vez que aplicar o mtodo para cinco varivel j requer um grfico em trsdimenses.


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2 Base matemtica:

O mapa de Karnaugh ir facilitar a identificao dos pares de parcelas que possuamtermos em comum e que podem ser colocados em evidncia salientando asimplificao das variveis que ficaram dentro do parnteses, como no exemploabaixo:

Nesta equao duas parcelas possuem uma varivel comum (varivel A) e outra queaparece sem inverso em uma parcela e com inverso em outra parcela (varivel B) oque permite a sua simplificao.


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3 Desenhando o Mapa de Karnaugh:

O Mapa de Karnaugh uma tabela que representa uma forma diferente de desenhar atabela verdade que voc j est acostumado a ver.

Voc ver passo a passo a forma de desenhar o Mapa de Karnaugh partindo de umatabela verdade de quatro variveis, o que gera uma tabela de 16 linhas. Este mapapoder ser usado como um padro para funes de at 4 variveis.

Um detalhe importante que no existe uma nica forma de desenhar o mapa deKarnaugh, voc ver aqui uma alternativa bastante prtica. Outras formas de usar edesenhar o mapa podero ser encontrados em outros livros, no entanto, este mtodo um dos mais simples e prticos de ser aplicado. No importa a forma final do Mapa deKarnaugh a sua base matemtica ser sempre mesma!

Voc ver agora como montar o Mapa de Karnaugh partindo de uma Tabela Verdadede quatro variveis. Monte a Tabela Verdade com uma coluna extra esquerda paraindicar o nmero da linha iniciando pela linha zero. Voc pode notar que o nmerodesta coluna extra est relacionado com o nmero binrio formado pelos estados dasvariveis das entradas DCBA. A tabela verdade mostrada na figura abaixo:

Figura mostrando uma Tabela Verdade para uma funo de quatro variveis!

Os valores da coluna Z dependero da funo dada.

Para voc desenhar o Mapa de Karnaugh voc deve partir da Tabela Verdade originale chegar a um novo na forma de tabela onde cada clula contenha todos os dados daTabela Verdade original que so:

* Nmero da linha.

* Estado das variveis de entrada.

* Estado da sada.


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O Mapa de Karnaugh uma tabela composta de clulas e apresenta uma estruturasemelhante a tabela do Excel. Cada clula do Mapa de Karnaugh dever conter todasas informaes de cada linha da Tabela Verdade que originou o Mapa!

O segredo do Mapa de Karnaugh a ordem com que as clulas so montadas, estaordem dever seguir a regra bsica descrita abaixo!

Duas clulas adjacentes, seja na vertical ou horizontal devem descrever duas linhasda Tabela Verdade em que os estados das variveis alterem somente um dgito!

Note que esta regra no vale para clulas em diagonal, mas vlida somente paraaquelas clulas colocadas lado a lado ou na horizontal ou na vertical!

Por exemplo, entre a linha 0 e a linha 1 de uma Tabela Verdade de quatrovariveis somente o estado da varivel A trocou de valor o estado das outrasvariveis se mantiveram os mesmos, como mostra na figura abaixo.

Figura mostrando duas l inhas da Tabela Verdade onde somente uma varivel troca devalor!

J nas linhas 1 e 2 as variveis A e B tm valores diferentes, logo, as clulasque representam estas linhas no podem ser desenhadas lado a lado.

Observando o critrio acima como princpio bsico para desenhar o mapa deKarnough, voc poder chegar a vrios resultados, todos vlidos para serem usadosno mtodo de simplificao do Mapa de Karnaugh. No entanto, este trabalho serbaseado em uma soluo especfica que parece ser a mais interessante uma vez queem um nico desenho teremos Mapas para funes de duas, trs ou quatro variveis.Esta soluo ser descrita como Mapa de Karnaugh Padro!

Nos passos adiante voc ver como chegar ao Mapa de Karnaugh Padro destetrabalho!


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O primeiro passo para a construo do Mapa de karnaugh Padro passar a colunados estados das variveis de entrada para as clulas, tendo o cuidado de que duasclulas adjacentes tenham somente o estado de uma varivel diferente das outrasclulas que a cercam. Como existem vrios resultados voc dever seguir o padromostrado abaixo, logo em seguida ser mostrado um forma de memorizar esta

construo.

Figura mostrando como descrever os estados das variveis no Mapa de Karnaughpadro!

O segundo passo voc dever colocar o nmero da linha transferida para cada clula,como mostra a figura abaixo.

Figura mostrando o Mpa de Karnaugh padro com o nmero das linhas!


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Note que os nmeros das linhas seguem uma seqncia binria e a cada duas clulasos nmeros so invertidos! Note, tambm, que ao longo das colunas verticais asvariveis D e C mantm o mesmo valor, e, ao longo das linhas horizontais asvariveis B e A mantm o mesmo valor, como salientado na figura abaixo!

Figura mostrando as colunas e linhas onde as variveis mantm o mesmo valor!

Para manter a relao com o estado das variveis de entrada, voc dever colocar naslaterais do mapa uma indicao dos estados destas variveis ao longo das linhas ecolunas A indicao informa o estado da varivel ao longo de toda a linha, ou coluna.Como mostra a figura abaixo.

Figura mostrando o Mapa de Karnaugh completo!


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Voc pode simplificar ainda mais o mapa de forma a torn-lo com um visual maislimpo sem perder a informao. Note que em cada canto da tabela s tem a descriode uma varivel, logo voc pode escrever somente a indicao da varivel sem a barra.As linhas e colunas sem indicao indicam que a varivel est invertida! Uma chavepode ser usada para indicar as duas colunas ou linhas em que a varivel aparece com

o valor 1 (sem inverso).

Figura mostrando o Mapa de Karnaugh sem a indicao das variveis barradas!

Voc pode simplificar ainda mais o mapa retirando os valores das variveis de dentrodas clulas, uma vez que o nmero decimal d a informao exata dos valores dasvariveis, basta voc convert-lo para binrio. Por exemplo, na clula marcada com onmero 5 o valor das variveis DCBA 0101, cinco em binrio escrito com quatrovariveis!

A figura abaixo mostra a forma final do Mapa de Karnaugh Padro a ser usado nestetrabalho!

Figura mostrando o Mapa de Karnaugh Padro (MKP)!


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4 Passando os valores da Tabela Verdade para oMapa de Karnaugh:

O Mapa de Karnaugh uma forma diferente de desenhar a Tabela Verdade veja noexemplo abaixo como passar os valores da Tabela Verdade para o Mapa o Mapa deKarnaugh!

Se for dada uma tabela verdade completa como mostra da figura abaixo TV01!

Figura mostrando a TV01.

Observe que a sada Z assume o valor UM nas linhas 4, 12 e 13, parapreencher o Mapa de Karnaugh correspondente voc dever escrever em cada clula ovalor da linha correspondente! Para simplificar o desenho voc dever preenchersomente as clulas com valor igual a 1 nas outras clulas voc j sabe que o valor zero (se no for 1 s pode ser 0)! Para que o valor da varivel fique salientado noMapa de Karnaugh voc pode tirar os nmeros indicadores das linhas, uma vez queestes valores seguem o Mapa de karnaugh Padro! O Mapa de Karnaugh quecorresponde a Tabela Verdade TV01 mostrado abaixo salientando as clulas onde asada Z tem o valor 1!

Figura mostrando o Mapa de Karnaugh MK01 correspondente a TV01!


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Observe que voc consegue escrever a equao gerada pela Tabela Verdade originalTV01 olhando somente para o Mapa de Karnaugh acima. E usando a soma Padro deProdutos. A equao ter 3 parcelas, existem 3 clulas marcadas com valor de Z iguala 1, cada clula com quatro variveis DCBA. Para saber se a varivel barrada ouno s seguir as linhas e as colunas como na batalha naval, veja no exemplo abaixo!

Figura mostrando como levantar as parcelas da soma de produtos!

Note que o valor dos Maxtermos corresponde ao nmero das clulas. Agora voc podemontar a equao sem simplificao. Voc j poderia simplificar esta equao usandoa lgebra de Boole. No prximo captulo voc aprender como simplificar esta equaousando o Mapa de Karnaugh.

Equao final EQ01:


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5 Simplificao usando o Mapa de Karnaugh:

O Mapa de Karnaugh ajuda voc a identificar as variveis que podem ser colocadas emevidncia e aquelas que podem ser simplificadas devido ao teorema da soma que dizque:

Para mostrar este mtodo use o MK01 do captulo anterior e a equao EQ01!

Figura mostrando a TV01 e MK01 do captulo anterior!

Se voc fosse simplificar a EQ01 uma possibilidade comear combinando as parcelascorrespondentes a M4 e M12 o que acarretaria a simplificao da varivel D, como mostrado abaixo!

Voc pode fazer a mesma coisa usando o Mapa de Karnaugh, se voc marcar asclulas correspondentes as linhas M4 e M12 no Mapa de Karnaugh formando umnico grupo de clulas conforme descrito abaixo isto indica a possibilidade desimplificao, isto indica que existe somente uma varivel que muda de estado, estavarivel pode ser simplificada pelo teorema da soma mostrado acima!


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Para identificar qual a varivel pode ser simplificada voc deve usar o mtodo dabatalha naval para verificar o valor das variveis no grupo, agora o grupo de comportacomo uma nica clula. A varivel que trocar de valor ser simplificada, observe oprocedimento na figura abaixo!

Figura mostrando o grupo correspondente a M4 e M12.

Note que a nica varivel que muda de valor D, esta varivel a ser simplificada eo grupo M4/M12 gera uma parcela sem a varivel D e com os valores das outrasvariveis iguais aos valores indicados na figura acima! Voc descreve a parcela jsimplificada como mostra a figura da direita abaixo chamanado este gruo de G1.

Figura mostrando a formao do grupo G1 (M4/M12)!


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Proceda da mesma maneira para as clulas M12 e M13 como mostrado abaixo,chamando agora o grupo gerado de G2!

Figura mostrando o grupo G1 e G2.

Ao final do processo restam duas parcelas que so o resultado da simplificao, aequao final mostrada abaixo!


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Este mesmo resultado voc poderia encontrar seguindo na simplificao usando algebra de Boole!

A partir deste exemplo voc pode estabelecer as regra para a simplificao usando oMapa de Karnaugh:

Forme grupos de clulas adjacentes e simplifique as variveis que trocam devalor!

Veja no pargrafo seguinte como formar grupos adjacentes com mais de duas clulas!

A equao final simplificada pelo mtodo do Mapa de Karnaugh chega a uma soluousando a soma de produtos padro!


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6 Formando Grupos bsicos de clulasadjacentes:

A simplificao usando o Mapa de karnaugh est baseada na formao de grupos declulas adjacentes que contenham o valor da varivel Z=1!

As regras para a formao de um grupo so descritas abaixo!

* Voc pode formar grupos de : 1 clula, 2 clulas, 4 clulas e 8 clulas para funesde 4 variveis (16 clulas)!

* Um grupo de 1 clula indica que no existe simplificao possvel e voc deverescrever a parcela com todas as variveis!

* O nmero de clulas que podem ser combinadas segue o padro dos pesos dosnmeros binrios: 1,2,4 e 8!

* Voc s pode cria grupos com clulas adjacentes que formem uma figura com 4lados, clulas em diagonal no podem ser combinadas, observe os exemplosmostrados na figura abaixo!

Figura mostrando exemplos de grupos vlidos!

* Grupos com clulas adjacentes, mas que no formam uma figura com 4 lados no

so grupos vlidos. Grupos com clulas em diagonais que no formam uma figura com4 lados no so vlidos! Veja os exemplos abaixo e grupos que no so vlidos!

Figura mostrando clulas com Z=1 adjacentes, mas que no formam grupos vlidospor estarem em diagonal!

Observe que grupos de3, 6, 9 e 12 clulas que formam uma figura de 4 lados no so

vlidos.


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* Os grupos vlidos devem conter1, 2, 4 ou 8 clulas! Veja os exemplos abaixo!

Figura mostrando a formao de grupos no vlidos devido ao nmero de clulas!

* Dois ou mais grupos podem ter clulas comuns desde que, cada grupo tenha pelomenos uma clula que no pertena a nenhum outro grupo! Veja os exemplos abaixo!

Figura mostrando exemplos de grupos com clulas comuns!

* A melhor simplificao conseguida sempre com o grupo com maior nmero declulas possveis que atendam as exigncias descritas acima! Veja na figura abaixoexemplos de simplificaes feitas de forma errada por no pegar o maior nmero declulas possveis! Quando dois ou mais grupos paralelos so formados com menosclulas do que possvel, isto indica que ainda possvel simplificar uma varivel,voc poderia notar analisando a equao final usando a lgebra de Boole!

Figura mostrando a formao de grupos errados que ainda podem ter simplificaopossvel e a forma correto de gerar o grupo!


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Quanto maior o grupo, mais variveis voc conseguir simplificar, desta forma, ogrupo vlido aquele que envolve o maior nmero de clulas possveis e que seguemas regras descritas acima.

* Grupos de 2 clulas conseguem simplificar uma varivel.

* Grupos de 4 clulas conseguem simplificar duas variveis.

* Grupos de 8 clulas conseguem simplificar tr~es variveis.

Alm dos grupos bsicos mostrados neste captulo existem ainda mais duas formas deformar grupos que so: Grupos das clulas dos 4 cantos e Grupo das clulas daslaterais. As regras para a formao destes grupos ser mostrado mais adiante.


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7 Exemplo de simplif icao bsica:Os exemplos abaixo mostram simplificaes usando a formao bsica de grupos declulas adjacentes!

Observe bem a formao dos grupos de clulas adjacentes e como as variveis sosimplificadas!

Nos exemplos abaixo a Tabela Verdade j foi passada para o Mapa de Karnaugh!

Nos exemplos ser mostrado a esquerda o MKP (Mapa de Karnaugh Padro) paraorientar voc na formao da equao e na simplificao!

Exemplo 01:

Dado o mapa de karnaugh e a equao correspondente abaixo, simplifique usandomapa de karnaugh?

Soluo:

Afigura abaixo mostra a formao dos grupos! A anlise do mapa leva a criao dedois grupos: G1 e G2.

No grupo G1 possvel simplificar a varivel "C" e no grupo G2 possvel simplificaras variveis "D" e "C"!


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O mapa e a equao final so mostrados abaixo!

Observao:

Voc poderia pensar em montar um grupo com as clulas 4 e 5, no entanto este grupono seria vlido pois no teria pelo menos uma clula que no pertencesse a outrosgrupos, uma vez que, a clula 4 j pertence ao grupo G1 e a clula 5 ao grupo G2.Veja na figura abaixo!

Figura mostrando o grupo em azul no vlido porque no tem pelo menos uma clulaque no pertena a outro grupo!


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Exemplo 02:


Soluo:

Neste caso possvel criar dois grupos de 4 clulas.

Note que no permitido pegar todas as clulas, pois forma um grupo de 6 clulas, oque no permitido!


O mtodo de simplificao usando o Mapa de karnaugh sempre chega a uma soluousando a soma de produtos, sem parnteses. Na equao acima voc ainda poderiacolocar a varivel "D" em evidncia, mas teria uma soluo fora do padro da soma deprodutos!


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Exemplo 03:


Soluo:

Neste caso possvel formar 3 grupos sendo que um grupo de uma nica clulaindicando que aquela parcela no tem simplificao possvel!


Observe que a parcela referente ao Maxtermo M7 no pode ser simplificado!


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Exemplo 04:


Soluo:

Este exemplo admite duas solues em funo da clula 13, esta clula pode secombinar com o grupo G1 ou G2. As duas solues so vlidas! Veja na figura abaixoas duas solues possveis!

A simplificao usando mapa de Karnaugh ou lgebra de Boole pode chegar a doisresultados, na lgebra de Boole no fica claro este fato, no Mapa de Karnaugh estefato fica evidente.

As duas simplificaes so matematicamente corretas, no entanto se voc estprojetando um circuito para ser montado em srie a soluo com menos portainversora representa o menor custo!


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Exemplo 05:


Soluo:

Neste caso no existe simplificao possvel, os 3 grupos gerados so grupos de 1clula. Com o Mapa de Karnaugh voc chega facilmente a concluso de que no hsimplificao possvel, se voc estivesse usando a lgebra de Boole no teria esta visoao iniciar a simplificao e poderia gastar um bom tempo at chegar a concluso deque no existe simplificao possvel!

Esta uma das grandes vantagens da simplificao usando o Mapa de karnaugh, possvel prever antes de iniciar os trabalhos se existe simplificao possvel e vocsempre chegar a mxima simplificao possvel!

O Mapa e a equao final mostrado abaixo!


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8 Simplificao usando grupos laterais:

As clulas colocadas nas laterais tambm podem formar grupos!

O Mapa de Karnaugh pode ser considerado uma figura em trs dimenses onde aslaterais so adjacentes, formando uma espcie de canudo. Seguindo esta observao possvel criar dois canudos com o Mapa de Karnaugh o que permite criar grupos comas laterais verticais e horizontais. A figura abaixo mostra esta relao!

Figura mostrando os grupos laterais.

Agora quando voc for montar os grupos preste ateno na possibilidade da formaode grupos laterais, estes grupos devem seguir as regras apresentadas no captuloanterior.

Voc pode montar grupos de 2, 4 e 8 clulas usando as laterais do mapa de karnaugh!

A figura abaixo mostra exemplos de grupos formados usando as laterais do Mapa dekarnaugh!

Veja a forma de indicar um grupo lateral onde o lao no fechado.

Figura mostrando exemplos de formao de grupos laterais!


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Os grupos so indicados com uma figura com lao aberto e o nome de grupo colocado na abertura dos laos!


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9 Exemplo de simplificao usando gruposlaterais:

A forma de simplificar variveis no grupo das laterais segue o mesmo princpio dosgrupos adjacentes, a varivel simplificada aquela que troca de valor dentro do grupo!

Os exemplos abaixo mostram caso de simplificao onde so usados grupos laterais!

Exemplo 01:


Soluo:

Observe que aqui possvel criar um grupo de lateral com as clulas M4, M12, M6 eM14, e um grupo adjacente com as clulas M7 e M6! Veja na figura abaixo o desenhodos grupos e a equao final!


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Note que para determinar a varivel a ser simplificada no grupo 2 foi usado o mesmoraciocnio usado com um grupo adjacente. Como o grupo 2 um grupo de 4 clulas possvel simplificar duas variveis. A varivel "B" e a varivel "D". A varivel "A"aparece barrada porque todo o grupo 2 est fora das linhas onde a varivel "A" no barrada!


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Exemplo 02:


Soluo:

Neste caso possvel formar dois grupos laterais e que coincidem com os cantos domapa!


De agora em diante no se esquea de analisar a possibilidade da simplificao incluirs grupos das laterais!


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10 O grupo dos quatro cantos:

Existe um grupo especial formado pelos quatro cantos do mapa (quatro vrtices), estegrupo s pode ser considerado se os quatro vrtices possurem o valor 1.

Observe o exemplo abaixo.

Note que as clulas M0, M2, M8 e M10 formam o grupo do canto, este grupo s podeser formado se as clulas dos cantos do mapa estiverem com o valor igual a um, que este caso!

O grupo dos cantos simplifica duas variveis resultando no mapa e equaomostrados abaixo!

De agora em diante no se esquea de analisar a possibilidade da simplificao incluiro grupo dos 4 cantos!


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11 Simplificao usando Mapa de Karnaughpartindo da Tabela Verdade:

Isto o que acontece normalmente na prtica, o cliente que especifica um projeto a serrealizado usando circuitos digitais, informa as condies com que as sadas seroligadas em funo dos acionamentos das entradas, esta descrio deve ser colocadaem uma tabela verdade, e, antes de ser implementada deve ser simplificada.

Passar da tabela verdade para o Mapa de karnaugh simples, isto porque o mapa dekarnaugh na verdade uma forma diferente de escrever a Tabela Verdade. O Mapa deKarnaugh ir possuir tantas clulas quanto so as linhas da Tabela Verdade e o valorde Z em cada clula do mapa de karnaugh o mesmo do valor de Z em cada linha daTabela verdade. O nmero de cada linha da Tabela verdade est associado ao nmerode cada clula do Mapa de Karnaugh Padro, conforma descrito na figura abaixo!

Voc dever passar para o mapa de Karnaugh somente os valores das linhas iguais a"UM", estas linhas so chamadas de Maxtermos, e o nmero do Maxtermo estassociado ao nmero da linha da Tabela Verdade, no esquecendo que este nmerocomea do zero!

Uma vez passado os valores das linhas iguais a "UM" para o Mapa de Karnaugh vocdever proceder na simplificao como descrito nos captulos anteriores:

Montar grupos de clulas adjacentes vlidos!

Simplificar as variveis que trocam de valor, observando os grupos adjacentes, osgrupos das laterais e o grupo dos 4 cantos!

Escrever a equao final usando a Soma de Produtos Padro com os grupos jsimplificados!

Montar o circuito baseado na equao simplificada!


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Veja o exemplo a seguir:

Exemplo 01:

Monte um circuito simplificado a partir da tabela verdade abaixo:

Soluo:

Primeiro passo: identifique as linhas onde Z=1 e escreva e escreva o Maxtermoscorrespondente onde o nmero do Maxtermo corresponde ao nmero da linha! Veja afigura abaixo!

Segundo PASSO: A partir do Maxtermo possvel escrever a equao inicial noformato da soma de produtos padro sem a simplificao!


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Observe que a parcela da equao contm as 4 variveis e as variveis barradas soaquelas em que na linha correspondente ao Maxtermo gerador da parcela a variveltem o valor zero. Por exemplo, a parcela correspondente ao Maxtermo M4 a varivel"D" barrada porque o valor da varivel "D" na linha 4 zero!

Terceiro passo: coloque o valor "1" nas clulas com o nmero igual ao nmero dosMaxtermos! Veja na figura abaixo!

Quarto passo: Monte os grupos vlidos no Mapa de Karnaugh.

Quinto passo: Simplifique as variveis nos grupos, se possvel!

Sexto passo: Monte a equao simplificada copiando os grupos para a equao noformato da soma de produtos padro! Veja estes passos na figura abaixo!


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Stimo passo: Finalmente monte o circuito correspondente. Cada parcela gera umaporta AND (produto lgico). As entradas das portas AND vo ligadas as variveis queexistirem na parcela, se a varivel est barrada voc deve colocar uma inversora entrea varivel e a entrada na porta AND. Todas as portas AND so ligadas a uma porta ORcom tantas entradas quanto forem as portas AND. Pronto o circuito est prontinho e

com o menor nmero de portas possveis, agora s testar e confirma resultado!

Figura mostrando o circuito final simplificado!


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12 Simplificao partindo da equao:A simplificao de uma equao Booleana pode ser feito com maior rapidez usando oMapa de Karnaugh ao invs da lgebra de Boole!

Para usar o mapa de Karnaugh preciso identificar em quais as clulas sero escritoos valores de Z igual a um, para isto a equao tem estar escrita na forma de umasoma de produtos, e os Maxtermos identificados.

No captulo anterior voc partiu da Tabela Verdade, passando pela equao para entomontar o Mapa de Karnaugh, o ponto chave determinar os Maxtermos que compe aequao, no caso da Tabela Verdade voc olha para as linhas onde a sada "Z" iguala "1" e a partir desta observao o Maxtermo determinado. O Maxtermo tem o ndiceigual ao nmero da linha em que a varivel "Z" possui o valor "1".

Com a equao o seu trabalho vai ser encontrar o nmero do ndice dos Maxtermosque compe a equao uma vez que a tabela verdade no est a disposio.

Existem dois casos:

* Equao sem nenhuma simplificao.

* Equao com alguma simplificao.

Vamos tratar neste primeiro momento das equaes sem nenhuma simplificaotratando mais adiante as equaes com alguma simplificao que requer oconhecimento de mais alguns conceitos que ainda no foram tratados!

Se voc tiver uma equao completa, sem simplificao alguma, esta equao ter emcada parcela todas as variveis que compe a funo Booleana, assim importanteque voc saiba o nmero de variveis compe a funo Booleana.

A descrio feita at aqui no falava nada sobre o nmero de variveis, esta umaforma simplificada de descrever uma funo. A forma completa deve descrever asvariveis que compes a funo como mostra a figura abaixo:

Figura mostrando a forma completa de descrever uma funo lgica!

O seu trabalho ser determinar o ndice dos Maxtermos que compes esta soma deproduto, para executar este trabalho siga os passos descritos abaixo.

Para determinar o ndice voc dever escrever as variveis em cada parcela na ordem"DCBA", pois esta a ordem que o Mapa de Karnaugh Padro foi criado!

Depois de colocas em ordem voc dever substituir cada varivel pelos nmeros "1" ou"0" seguindo a seguinte lgica: Se a varivel est barrada substitua pelo nmero "0"caso contrrio substitua pelo nmero "1", ao final deste passo voc ter em cadaparcela um nmero binrio de no mximo 4 dgitos.


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O passo final consiste em converter este nmero binrio para decimal. Este ser ondice dos Maxtermos que representam cada parcela.

De posse dos Maxtermos voc ter que preencher o Mapa de Karnaugh colocando ovalor "1" nas clulas com o nmero correspondente aos Maxtermos.

Com o Mapa de Karnaugh pronto s simplificar usando a tcnica descrita nos

captulos anteriores.


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13 Exemplo de simplif icao partindo daequao:

Dada a equao abaixo, simplifique usando o Mapa de Karnaugh!

Primeiro passo colocar as variveis na ordem "DCBA". Isto j est feito!

Segundo substituir as variveis por "1" ou "0", colocar "0"s variveis barradas casocontrrio coloque "1"!

Converta cada parcela em nmero decimal e coloque este nmero como ndice dosMaxtermos!

Preencha o Mapa de Karnaugh baseado nos Maxtermos levantados no passo anterior,neste caso as clulas 15, 13 e 10 devero ser preenchidas com o valor "1"!

Simplifique usando a tcnica j conhecida! A soluo mostrada na figura abaixo!


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14 Passando da equao direto para o Mapa deKarnaugh:

Uma forma alternativa para montar o Mapa de Karnaugh a partir da equao determinando a clula do Mapa de Karnaugh onde a parcela gera o valor "1" olhandopara o estado das variveis na parcela e achando a clula onde reproduza os mesmosestados, para isto voc deve proceder como no jogo da batalha naval ao contrrio.

Exemplo:

Suponha a ltima parcela da equao do exemplo do captulo anterior ( ):

Voc poder determinar a clula do cruzamento das variveis D no barrado, Cbarrado, B no barrado e A no barrado, este cruzamento ser na clula 11! Vejafigura abaixo!

Esta forma de transferir da equao para a tabela verdade serve para qualquer tipo deMapa de Karnaugh, no entanto requer bem mais ateno!


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15 Clulas Irrelevantes:Eventualmente em um projeto, existem condies que no iro acontecer nunca, poristo, no so irrelevantes. Uma condio irrelevante marcada na coluna "Z" do Mapade karnaugh com a letra "X" e voc poder usar como um curinga no momento dasimplificao.

Se for conveniente considerar a clula como "1" para aumentar o tamanho de umgrupo e desta forma aumentar o nmero de variveis a serem simplificadas, entoconsidere a clula com um, caso contrrio, sem no ajudar em nada, considere o "X"como zero!

A chave considerar a sada irrelevante marcada com um "X" como um coringa,

podendo assumir o valor "1" ou "0" conforme a sua convenincia!


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16 Exemplos de simplificao com clulasirrelevantes:

O exemplo abaixo mostra uma simplificao usando clulas irrelevantes!

Exemplo 1:

Dado a Tabela Verdade abaixo monte um circuito simplificado que reproduza estatabela verdade. Simplifique usando o Mapa de karnaugh?

A simplificao mostrada abaixo:

A equao mostrando os Maxtermos mostrada abaixo onde as parcelas irrelevantesso assinaladas com um asterisco!

O Mapa de Karnaugh mostra as clulas irrelevantes assinaladas com um "X" mostrado abaixo!


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Uma simplificao possvel mostrada abaixo:

Note que o grupo em azul tambm poderia ser considerado se o "X" da clula 13 fosseconsiderado como "1" , neste caso o nmero de parcelas da soluo aumentaria,desta forma este grupo foi desconsiderado!

J a incluso das clulas 2, 3 10, 11 no grupo 1 aumentou a simplificao!

Soluo:

O circuito mostrado na figura abaixo e consiste apenas de uma conexo entre achave B e a sada, no precisa usar porta lgica alguma!

Figura mostrando o circuito final!


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17 Mapa de Karnaugh para 3 e duas variveis:O Mapa de Karnaugh para 3 variveis e duas variveis pode ser gerado a partir doMapa de Karnaugh padro visto at aqui, esta mais umas vantagens do uso deste

tipo de mapa!

Para o Mapa de karnaugh com trs variveis "CBA" voc dever recortar do Mapa dekarnaugh Padro de 4 variveis as colunas onde a varivel "D" igual a "1"! Veja nafigura abaixo a construo do Mapa de Karnaugh para trs variveis partindo do mapapadro!

Figura mostrando como gerar um mapa de karnaugh para 3 variveis!

Para o Mapa de karnaugh com duas variveis "BA" voc dever recortar do Mapa dekarnaugh Padro as colunas onde a varivel "D" e "C" igual a "1"! Veja na figuraabaixo a construo do Mapa de Karnaugh para duas variveis partindo do mapapadro!

Figura mostrando como gerar um mapa de karnaugh para 2 variveis!


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Afigura abaixo mostra o Mapa de karnaugh Padro para 4, 3 e 2 variveis!

Figura mostrando o Mapa de Karnaugh para 4, 3 e 2 variveis partindo do mapa deKarnaugh Padro!


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18 Exemplos de simplificao de funes com 3 e2 variveis:

Exemplo 01:

Monte um circuito simplificado a partir da Tabela Verdade abaixo?

Soluo:

Os Maxtermos e a equao so mostrados abaixo:

A figura abaixo mostra a passagem para o Mapa de Karnaugh e a simplificao!


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O circuito mostrado abaixo!

Figura mostrando o circuito simplificado que implementa A Tabela Verdade dada noexemplo!


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Exemplo 02:

Monte um circuito simplificado a partir da Tabela Verdade abaixo?

Os Maxtermos e a equao so mostrados abaixo:

A soluo usando mapa de Karnaugh mostrada abaixo:

Observe que a regra das clulas laterais, e todas as outras continuam valendo!

O circuito mostrado na figura abaixo:

Observao:A soluo usando lgebra de Boole mais simples do que o mapa de karnaugh para

funes de duas variveis, exceto quando tem termo irrelevante!


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19 Simplificando funes com algumasimplificao:

Para simplificar uma funo usando o Mapa de Karnaugh esta funo deve estarescrita na forma da soma de produtos padro onde os produtos contm todas asvariveis e estas variveis esto montadas na ordem padro "DCBA"!

Quando uma funo j possui alguma simplificao as parcelas com os produtos notem algumas das variveis, neste caso voc dever completar as variveis faltantes,para isto voc dever usar o teorema da expanso de Shannon mostrado abaixo!

O Teorema de shannon diz que toda a funo pode ser escrita na forma de uma somade produtos contendo todas as variveis!

Teorema da expanso de Shannon diz que uma funo base original equivalente asoma de duas parcelas da funo base por uma varivel mais a funo basemultiplicada pela mesma varivel barrada, como mostrado na equao abaixo sendoa varivel qualquer igual a "A" e o nmero de variveis igual a quatro. Poderamosusar o teorema para funes com qualquer nmero de variveis, mas como o nossoestudo se restringe a quatro variveis o teorema foi editado neste exemplo para quatrovariveis:

Este teorema pode ser aplicado em uma funo com alguma simplificao de forma arecuperar as variveis faltantes, como mostrado no exemplo abaixo:


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Exemplo 01:

A funo abaixo uma funo de 3 variveis, simplifique usando o mapa deKarnaugh!

Soluo:

Note que na primeira parcela est faltando a varivel "C" e na segunda parcela estfaltando a varivel "A", ento voc dever recuperar estas variveis aplicando oTeorema de Shannon!

Primeiro recupere a varivel A!

Olhando a equao resultante voc pode aplicar as simplificaes abaixo para reduzira equao!

A equao fica:

Novamente existe mais uma simplificao possvel!

Esta a equao com a varivel recuperada em todas as parcelas, agora faltarecuperar a varivel "C" usando o mesmo processo!

Esta a varivel final com todas as variveis, agora voc ter que passar esta equaopara o mapa de Karnaugh para isto primeiro determine os Maxtermos.


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Para determinar os Maxtermos voc dever determinar os ndices destes Maxtermosgerados pelo equivalente binrio de cada parcela, como mostrado abaixo!

A equao pode ser escrita agora em funo dos Maxtermos e somente por umaquesto de ordem estes Maxtermos so colocados em ordem crescente, como mostrado abaixo!

Z(CBA)= M2+M3+M4+M5+M7

Agora simplificar usando o mapa de karnaugh!

A equao final mostrada abaixo:

Note que as duas primeiras parcelas existiam na equao original!

Outra observao que este Mapa de karnaugh admite uma segunda resposta caso aclula 7 fosse combinada com a clula 5 ao invs da clula 3, a soluo mostradaabaixo!


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Simplificao usando Mapa de KarnaughA equao final ficaria!

Voc dever usar o bom sensor para escolher entre continuar a simplificao usando algebra de Boole ou o Mapa de karnaugh.

O Mapa de Karnaugh parece mais trabalhoso, mas leva com certeza a melhor soluo,j lgebra pode ser mais simples na maioria dos casos, mas, eventualmente poderlevar voc a caminhos complexos!

apostilamapakarnaugh

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