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Raciocnio Lgico

Prof. Edgar Abreu

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NORDESTE

CENTRO-OESTE

Marlison Mattos Pereira Santarm PA Roberta Degliomeni Cruzeiro do Sul AC Jessica Moreno Ji-Paran ROPerliane Maria Silva de Araujo Castanhal PA

NORTE

Manuela Schleder Reinheimer Caxias do Sul RSRodrigo Kirinus de Moura Uruguaiana RSPaulo Emanuel Prestes de Lima Santo Angelo RS Marcus Vincius L. Giacobbo Porto Alegre RSDiogo Larrosa Furlan Maring PR

SUL

SUDESTE

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Raciocnio Lgico

Professor: Edgar Abreu


Sumrio

EDITAL DA PROVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

O que lgica Matemtica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

PROPOSIO E SENTENA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

NEGAO SIMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Conectivos lgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

CONJUNO E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

disJUNO ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

condicional se . . . . . .ento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

bicondicional . . . . .se somente se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

NEGAO DE UMA PROPOSIO COMPOSTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

Negao de uma disjuno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

Negao de uma conjuno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Negao de uma condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

Negao de uma bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

EQUIVALENCIA DE PROPOSIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

Equivalncia de uma condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

contrapositiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

TAUTOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

CONTRADIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

DIAGRAMA LGICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

Algum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

nenhum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

Todo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

NEGAO DE TODO, ALGUM E NENHUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

QUESTES DE CONCURSOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45


EDITAL DA PROVA

Princpios do raciocnio lgico: conectivos lgicos; diagramas lgicos; lgica de argumentao; interpretao de informaes de natureza matemtica;

Banca Organizadora: CESPE

Previso de questes: 5 a 8 questes

Peso na prova em percentual: 2% a 4% da nota final do candidato .

O assunto probabilidade ser ministrado pelo professor Dudan Daniel, por esse motivo, no constam nesse material .

6

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Raciocnio Lgico

O que lgica Matemtica?

No existe uma definio exata para lgica, mas alguns matemticos a definem como o estudo dos processos vlidos que atingem a verdade, ou simplesmente a cincia das leis do pensamento .

A Lgica tem, por objeto de estudo, as leis gerais do pensamento, e as formas de aplicar essas leis corretamente na investigao da verdade.

A partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia Lgica a formulao de leis gerais de encadeamentos lgicos que levariam descoberta de novas verdades . Essa forma de encadeamento chamada, em Lgica, de argumento.

PROPOSIO E SENTENA

Um argumento uma sequncia de proposies na qual uma delas a concluso e as demais so premissas . As premissas justificam a concluso .

Proposio

Toda frase que voc consiga atribuir um valor lgico proposio, ou seja, frases que podem ser verdadeiras ou falsas .

Exemplos:

1. Ed feliz .

2. Joo estuda .

3. Seu Marcos desdentado .

Ser ?????

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Proposies so frases onde voc no consegue julgar, se verdadeira ou falsa, por exemplo:

1) Vai estudar?

2) Mas que legal!

Ento, o que no seria uma proposio?

Sentena

Nem sempre permite julgar se verdadeiro ou falso . Pode no ter valor lgico .

Frases interrogativas e exclamativas no so proposies .

Sentenas Abertas: So sentenas nas quais no podemos determinar o sujeito . Uma forma simples de identific-las o fato de que no podem ser nem Verdadeiras ou Falsas .

Aquele cantor famoso .

A + B + C = 60 .

Ela viajou .

Sentenas Fechadas: Neste tipo de sentena, conseguimos determinar o sujeito e valor-la com Verdadeiro ou Falso .

CEF Raciocnio Lgico Prof. Edgar Abreu


QUESTO COMENTADA

(CESPE: Banco do Brasil 2007) Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies .

I A frase dentro destas aspas uma mentira .

II A expresso X + Y positiva .

III O valor de 4 + 3 = 7 .

IV Pel marcou dez gols para a seleo brasileira .

V O que isto?

Soluo:

Item I: No possvel atribuir um nico valor lgico para esta sentena, j que se considerar que verdadeiro, teremos uma resposta falsa (mentira) e vice-versa . Logo no proposio .

Item II: Como se trata de uma sentena aberta, onde no esto definidos os valores de X e Y, logo tambm no proposio .

Item III: Como a expresso matemtica no contm varivel, logo uma proposio, conseguimos atribuir um valor lgico, que neste caso seria falso .

Item IV: Uma simples proposio, j que conseguimos atribuir um nico valor lgico .

Item V: Como trata-se de uma interrogativa, logo no possvel atribuir valor lgico, assim no proposio .

Concluso

Errado, pois existem apenas 2 proposies, Item III e IV .


NEGAO SIMPLES

1. Zambeli Feio .

Como negamos essa frase?

H . . . Zambeli bonito .

Para quem, tambm disse: Zambeli bonito, errou . Negar uma proposio no significa dizer o oposto, mas sim escrever todos os casos possveis diferentes do que est sugerido .

Zambeli NO feio .

A negao de uma proposio uma nova proposio que verdadeira se a primeira for falsa e falsa se a primeira for verdadeira .

#FICADICA

Para negar uma sentena acrescentamos o no, sem mudar a estrutura da frase .

2. Amanda Lima no louca .

Negao: Amanda Lima louca .

Para negar uma negao exclumos o no



Simbologia: Assim como na matemtica representamos valores desconhecidos por x, y, z . . . Na lgica tambm simbolizamos frases por letras . Exemplo:

Zambeli Feio .

Z

Proposio: Z

Para simbolizar a negao usaremos ~ ou .Negao: Zambeli no feio .

Simbologia: ~ Z .

Amanda Lima no louca .

Z

Proposio: ~ A

Negao: Aline louca .

Simbologia: ~ (~ A) = A

Isso mesmo, negao de uma negao uma afirmao!

p= Thiago Machado gosta de matemtica .~p = Thiago Machado no gosta de matemtica .Caso eu queira negar que Thiago Machado no gosta de matemtica a frase voltaria para a proposio p, Thiago Machado gosta de matemtica .

~p = Thiago Machado no gosta de matemtica .~(~p) = No verdade que Thiago Machado no gosta de matemtica .ou ~(~p) = Thiago Machado gosta de matemtica .


Proposies Compostas

Proposio composta a unio de proposies simples por meio de um conector lgico . Este conector ir ser decisivo para o valor lgico da expresso .

Proposies podem ser ligadas entre si por meio de conectivos lgicos . Conectores que criam novas sentenas mudando ou no seu valor lgico (Verdadeiro ou Falso) .

Uma proposio simples possui apenas dois valores lgicos, verdadeiro ou falso .

J proposies compostas tero mais do que 2 possibilidades distintas de combinaes dos seus valores lgicos, conforme demonstrado no exemplo abaixo:

Consideramos as duas proposies abaixo, chove e faz frio

Chove e faz frio .

V V

F F

Cada proposio existe duas possibilidades distintas, falsa ou verdadeira, numa sentena composta teremos mais de duas possibilidades .

Chove V faz frio F

Chove V faz frio V

Chove F faz frio F

Chove F faz frio V

Um total de 4 possibilidades distintas em uma sentena composta com duas proposies .

E se caso essa sentena ganhasse outra proposio, totalizando agora 3 proposies em uma nica sentena:

Chove e faz frio e estudo .

V V

F F

V

F



A sentena composta ter outras possibilidades,

VVV

VFV

VFF

FVV

FVF

FFF

FVF

FFV

Um total de 8 possibilidades distintas em uma sentena com trs proposies .

#FICADICA

possvel identificar quantas possibilidades distintas teremos de acordo com o nmero de proposio em que a sentena apresentar . Para isso devemos apenas elevar o numero 2 a quantidade de proposio, conforme o raciocnio abaixo:

Proposies Possibilidades

1 2

2 4

3 8

n 2n

QUESTO COMENTADA

(CESPE: Banco do Brasil 2007) A proposio simblica P Q R possui, no mximo, 4 avaliaes

Soluo:

Como a sentena possui 3 proposies distintas (P, Q e R), logo a quantidade de avaliaes ser dada por:

2proposies = 23 = 8

Resposta: Errado, pois teremos um total de 8 avaliaes .


Conectivos lgicos

Um conectivo lgico (tambm chamado de operador lgico) um smbolo ou palavra usado para conectar duas ou mais sentenas (tanto na linguagem formal quanto na linguagem natural) de uma maneira gramaticalmente vlida, de modo que o sentido da sentena composta produzida dependa apenas das sentenas originais .

Muitas das proposies que encontramos na prtica podem ser consideradas como construdas a partir de uma, ou mais, proposies mais simples por utilizao de uns instrumentos lgicos, a que se costuma dar o nome de conectivos, de tal modo que o valor de verdade da proposio inicial fica determinado pelos valores de verdade da, ou das, proposies mais simples que contriburam para a sua formao .

Os principais conectivos lgicos so:

I e (conjuno)

II ou (disjuno)

III se . . .ento (implicao)

IV se e somente se (equivalncia)

CONJUNO E

Proposies compostas ligadas entre si pelo conectivo e.

Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por .

Exemplo:

Chove e faz frio

Tabela verdade: Tabela verdade uma forma de analisarmos a frase de acordo com suas possibilidades, o que aconteceria se cada caso acontecesse .

Exemplo:

Fui aprovado no concurso do BB e Serei aprovado no concurso da CEF .

Proposio 1: Fui aprovado no concurso da BB .

Proposio 2: Serei aprovado no concurso da CEF .

Conetivo: e

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de .

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: pq .



Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

H1:

p: No fui aprovado no concurso do BB .

q: Serei aprovado no concurso da CEF .

H2:

p: Fui aprovado no concurso do BB .

q: No serei aprovado no concurso da CEF .

H3:

p: No fui aprovado no concurso da BB .

q: No serei aprovado no concurso da CEF .

H4:

p: Fui aprovado no concurso do BB .

q: Serei aprovado no concurso da CEF .

Tabela Verdade: Aqui vamos analisar o resultado da sentena como um todo, considerando cada uma das hipteses acima .

p q P Q

H1 F V F

H2 V F F

H3 F F F

H4 V V V

Concluso:

Uma conjuno s verdadeira quando ambas as proposies forem verdadeira .


DISJUNO ou

Recebe o nome de disjuno toda a proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ou . Simbolicamente, representaremos esse conectivo por .

Exemplo:

Estudo para o concurso ou assisto o Big Brother .

Proposio 1: Estudo para o concurso .

Proposio 2: assisto o Big Brother .

Conetivo: ou

Vamos chamar a primeira proposio de p, a segunda de q e o conetivo de .

Assim podemos representar a sentena acima da seguinte forma: p q .Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

H1:

p: Estudo para o concurso .

q: assisto o Big Brother Brasil .

H2:

p: No Estudo para o concurso .

q: assisto o Big Brother Brasil .

H3:

p: Estudo para o concurso .

q: No assisto o Big Brother Brasil .

H4:

p: No Estudo para o concurso .

q: No assisto o Big Brother Brasil .



Tabela Verdade:

p q P Q

H1 V V V

H2 F V V

H3 V F V

H4 F F F

Muita ateno, a disjuno somente ser falsa quando as duas proposies forem falsas .

CONDICIONAL se......ento......

Recebe o nome de condicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo Se... ento, simbolicamente representaremos esse conectivo por .

Em alguns casos o condicional apresentado com uma vrgula substituindo a palavra ento, ficando a sentena com a seguinte caracterstica: Se proposio 1 , proposio 2

Exemplo: Se estudo, ento sou aprovado .

Proposio 1: estudo (Condio Suficiente) .

Proposio 2: sou aprovado (Condio Necessria) .

Conetivo: se . . ento


Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q.


Agora vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

H1:

p: estudo .

q: sou aprovado .

H2:

p: No estudo .

q: sou aprovado .

H3:

p: No estudo .

q: No sou aprovado .

H4:

p: estudo .

q: No sou aprovado .

p q P Q

H1 V V V

H2 F V V

H3 F F V

H4 V F F

A tabela verdade do condicional a mais cobrada em provas de concurso pblico .

A primeira proposio, que compe uma condicional, chamamos de condio suficiente da sentena e a segunda a condio necessria .

No exemplo anterior temos:

Condio necessria: Estudo

Condio suficiente: sou aprovado



Para detonar uma prova de Raciocnio Lgico em um concurso pblico, voc precisa saber que, uma condicional s ser falsa se a primeira proposio for verdadeira e a segunda falsa .

BICONDICIONAL .....se somente se......

Recebe o nome de bicondicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo . . . se somente se... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por . Portanto, se temos a sentena:

Exemplo: Maria compra o sapato se e somente se o sapato combina com a bolsa .

Proposio 1: Maria compra o sapato

Proposio 2: O sapato combina com a bolsa

Conetivo: se e somente se


Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q .

Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

H1:

p: Maria compra o sapato .

q: O sapato no combina com a bolsa .

H2:

p: Maria no compra o sapato .

q: O sapato combina com a bolsa .

H3:

p: Maria compra o sapato .

q: O sapato combina com a bolsa .

H4:

p: Maria no compra o sapato .

q: O sapato no combina com a bolsa .


p q P Q

H1 V F F

H2 F V F

H3 V V V

H4 F F V

O bicondicional s ser verdadeiro quando ambas as proposies possurem o mesmo valor lgico, ou quando as duas forem verdadeiras ou as duas proposies forem falsas .

Uma proposio bicondicional pode ser escrita como duas condicionais, como se tivssemos duas implicaes, uma seta da esquerda para direita e outra seta da direita para esquerda, conforme exemplo abaixo:

p q (p q) (q p)

Neste caso, transformamos um bicondicional em duas condicionais conectadas por uma conjuno . Estas sentenas so equivalentes, ou seja, possuem o mesmo valor lgico .

#FICADICA

SENTENA LGICA VERDADEIRO SE... FALSO SE...

p q p e q so, ambos, verdade um dos dois for falso

p q um dos dois for verdade ambos, so falsos

p q nos demais casos que no for falso p = V e q = Fp q p e q tiverem valores lgicos iguais p e q tiverem valores

lgicos diferentes



QUESTO COMENTADA

(FCC: BACEN - 2006) Um argumento composto pelas seguintes premissas:

I Se as metas de inflao no so reais, ento a crise econmica no demorar a ser superada .

II Se as metas de inflao so reais, ento os supervits primrios no sero fantasioso .

III Os supervits sero fantasiosos .

Para que o argumento seja vlido, a concluso deve ser:

a) A crise econmica no demorar a ser superada .b) As metas de inflao so irreais ou os supervits sero fantasiosos .c) As metas de inflao so irreais e os supervits so fantasiosos .d) Os supervits econmicos sero fantasiosos .e) As metas de inflao no so irreais e a crise econmica no demorar a ser superada .

Soluo:

Devemos considerar as premissas como verdadeiras e tentar descobrir o valor lgico de cada uma das proposies .

Passo 1: Do portugus para os smbolos lgicos

I.

Se as metas de inflao no so reais, eento a crise econmica no demorar a ser superada .

P Q

II.

Se as metas de inflao so reais, eento os supervits primrios no sero fantasioso .

P RIII. Os supervits sero fantasiosos .

Passo 2: Considere as premissas como verdade

PREMISSA 1 PREMISSA 2 PREMISSA 3

VERDADE VERDADE VERDADE

P Q

P R

R

No possvel determinar o valor lgico de P e Q, j que existem 3 possibilidades distintas que torna o condicional verdadeiro

No possvel determinar o valor lgico de P e Q, j que existem 3 possibilidades distintas que torna o condicional verdadeiro

CONCLUSO: R=V


Passo 3: Substitui a premissa 3 em 2 e analise .

Como na premissa 3 vimos que R V logo R = F . Como P uma proposio, o mesmo pode ser F ou V . Vamos testar

P RF F

V F

P RF V F

V F F

Como a premissa 2 verdade e caso a proposio P tenha valor V teremos uma premissa falsa, logo chegamos a concluso que P = F .

Passo 3: Substitui a premissa 2 em 1 e analise .

Como na premissa 2 vimos que P F logo ~P = V . Como Q uma proposio, o mesmo pode ser F ou V . Analisando o condicional temos:

P QV V V

V F F

Logo Q = V, assim Q = F

Passo 4: Traduzir as concluses para o portugus .

Premissa 1: P = F

as metas de inflao no so reais

Premissa 2: Q = F

crise econmica no demorar a ser superada

Concluso: Alternativa A



NEGAO DE UMA PROPOSIO COMPOSTA

Agora vamos aprender a negar proposies compostas, para isto devemos considerar que:

Para negarmos uma proposio conjunta devemos utilizar propriedade distributiva, similar aquela utilizada em lgebra na matemtica .

NEGAO DE UMA DISJUNO

Negar uma sentena composta apenas escrever quando esta sentena assume o valor lgico de falso, lembrando as nossas tabelas verdade construdas anteriormente .

Para uma disjuno ser falsa (negao) a primeira e a segunda proposio tem que ser falsas, conforme a tabela verdade abaixo, hiptese 4:

p q P v Q

H1 V V V

H2 F V V

H3 V F V

H4 F F F

Assim conclumos que para negar uma sentena do tipo P v Q, basta negar a primeira (falso) E negar a segunda (falso), logo a negao da disjuno (ou) uma conjuno (e) .

Exemplo 1:

1. Estudo ou trabalho .

p = estudo .

q = trabalho .

p q

Conectivo =

Vamos agora negar essa proposio composta por uma disjuno .

(p q) = p q

No estudo e no trabalho .

Para negar uma proposio composta por uma disjuno, ns negamos a primeira proposio, negamos a segunda e trocamos ou por e .


Exemplo 2:

No estudo ou sou aprovado .

p = estudo

q = sou aprovado p v q~p = no estudo

Conectivo:

Vamos agora negar essa proposio composta por uma disjuno .

( p v q) = p q

Lembrando que negar uma negao uma afirmao e que trocamos ou por e e negamos a afirmativa .

Estudo e no sou aprovado .

NEGAO DE UMA CONJUNO.

Vimos no capitulo de negao simples que a negao de uma negao uma afirmao, ou seja, quando eu nego duas vezes uma mesma sentena, encontro uma equivalncia .

Vimos que a negao da disjuno uma conjuno, logo a negao da conjuno ser uma disjuno .

Para negar uma proposio composta por uma conjuno, ns devemos negamos a primeira proposio e depois negarmos a segunda e trocamos e por ou .

Exemplo 1:

Vou a praia e no sou apanhado .

p = vou a praia .

q = no sou apanhado p q

Conectivo =

Vamos agora negar essa proposio composta por uma conjuno .

(p q) = p v q

No vou praia ou sou apanhado .



#FICADICA

Vejamos abaixo mais exemplo de negaes de conjuno e disjuno:~(p q) = ~(p) ~() ~(q) = (~p ~q)~(~p q) = ~(~p) ~() ~(q) = (p ~q)~(p ~q) = ~(p) ~() ~(~q) = (~p q)~(~p ~q) = ~(~p) ~() ~(~q) = (p q)

NEGAO DE UMA CONDICIONAL

Conforme citamos anteriormente, negar uma proposio composta escrever a(s) linha(s) em que a tabela verdade tem como resultado falso .

Sabemos que uma condicional s ser falso, quando a primeira proposio for verdadeira e a segunda for falsa .

Assim para negarmos uma sentena composta com condicional, basta repetir a primeira proposio (primeira verdadeira), substituir o conetivo se . . .ento por e e negar a segunda proposio (segunda falsa) .

Vejamos um exemplo:

1. Se bebo ento sou feliz .

p = bebo .

q = sou feliz . } p qConectivo =

Negao de uma condicional .~(p q) = p ~qResposta: Bebo e no sou feliz .


Exemplo 2: Se no estudo ento no sou aprovado .

p = estudo .

p = no estudo .

q = sou aprovado .

q = no sou aprovado

p qConectivo =

Negando: (p q) = p q

Resposta: No estudo e sou aprovado .

Exemplo 3: Se estudo ento sou aprovado ou o curso no ruim .

p = estudo .

q = sou aprovado .

r = curso ruim . p q v r

r = curso no ruim .

Negando, (p q v r)

Negamos a condicional, mantm a primeira e negamos a segunda proposio, como a segunda proposio uma disjuno, negamos a disjuno, usando suas regras (negar as duas proposies trocando ou por e) .

(p q v r) = p (q v r) = p q r

Estudo e no sou aprovado e o curso ruim .

Negao de uma bicondicional

Negar uma bicondicional negar duas condicionais, ida e volta, temos ento que negar uma conjuno composta por duas condicionais . Negamos a primeira condicional ou negamos a segunda, usando a regra da condicional em cada uma delas .



Exemplo 1:

Estudo se e somente se no vou praia .

p = estudo .

q = vou praia .

q = no vou praia .

p q = [p q] [q p]

Conectivo =

Uma bicondicional so duas condicionais, ida e volta .

Negando,

(p q) = p q ] q p] = (p q) = p q ] q p] = p q ] v q p] =p q q p .Estudo e vou praia ou no vou praia e no estudo .

#FICADICA

[ ] =

[ ] = [p q ] = p q[p q ] = [p q ] [q p]


QUESTO COMENTADA

(ESAF: Fiscal Trabalho/98) A negao da afirmao condicional se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva :

a) se no estiver chovendo, eu levo o guarda-chuvab) no est chovendo e eu levo o guarda-chuvac) no est chovendo e eu no levo o guarda-chuvad) se estiver chovendo, eu no levo o guarda-chuvae) est chovendo e eu no levo o guarda-chuva

Passo 1: Traduzir do texto para smbolos lgicos .

P = Estar chovendo Q = Levar Guarda Chuva Conetivo: Se... Ento ()

p q

Passo 2: Aplicar as propriedades de negao . Neste caso repetir a primeira proposio E Negar a segunda .

(p q) = p q

Passo 3: Traduzir o resultado encontrado para texto novamente .

Est Chovendo e no levo o guarda chuva .

Soluo: Alternativa E



EQUIVALNCIA DE PROPOSIES

Dizemos que duas proposies so logicamente equivalentes (ou simplesmente que so equivalentes) quando so compostas pelas mesmas proposies simples e os resultados de suas tabelas-verdade so idnticos.

Equivalncia de uma conjuno e uma disjuno.

Exemplo .

1. No vou praia e vou estudar .

p = Vou praia

p = No vou praia

q = vou estudar

p q

Vamos negar essa proposio .

[p q] = p v qNegaremos agora a negao da proposio .

[p v q] = p qVoltamos para a proposio inicial, ou seja, numa conjuno, negar uma negao resulta numa equivalncia .

Essa equivalncia tambm vale para a disjuno,

[p v q] = p q [p q] = p v q

Essa equivalncia tambm funciona da condicional?


Equivalncia de uma condicional.

Vamos descobrir qual a sentena equivalente a uma condicional utilizando o mesmo mtodo anterior, negando duas vezes a mesma sentena .

Exemplo 1: Se estudo sozinho ento sou autodidata .

Simbolizando temos:

p = estudo sozinho

q = sou autodidata

p q

conectivo =

Simbolicamente: p q

Vamos negar, [p q] = p qAgora vamos negar a negao para encontrarmos uma equivalncia

Negamos a negao da condicional [p q] = p v qSoluo: No estudo sozinho ou sou autodidata .

Mas ser mesmo que estas proposies, p q e p v q so mesmo equivalentes? Veremos atravs da tabela verdade .

p Q p p q p v q

V V F V V

V F F F F

F V V V V

F F V V V

Perceba na tabela verdade que p q e p v q tem o mesmo valor lgico, assim essas duas proposies so equivalentes .

Exemplo 2: Vamos encontrar uma proposio equivalente a sentena Se sou gremista ento no sou feliz .

p = Sou gremista .

q = Sou feliz .

~q = No sou feliz .

p q



Negao: [p q] = p qSou gremista e sou feliz .

Equivalncia: negao da negao .

[p q] = p q [p q] = p v qLogo, No sou gremista ou no sou feliz uma sentena equivalente .

Exemplo 3: Agora procuramos uma sentena equivalente a Canto ou no estudo .

c = Canto .

e = Estudo .

~e = No estudo .

c v e

Negao: [c v e] = c e

Equivalncia: Negar a negao: ~ [~c e] = c ~eVoltamos para a mesma proposio, tem algo errado, teremos que buscar alternativa . Vamos l:

Vamos para a regra de equivalncia de uma condicional .

p q = p v q , podemos mudar a ordem da igualdade . p v q = p qVeja que o valor lgico de p mudou e q continuou com o mesmo valor lgico .

Usando a regra acima vamos transformar a proposio inicial composta de uma disjuno em numa condicional .

c v e = p q

Para chegar condicional, mudo o valor lgico de p,

c v e = c e

Troco ou por se . . .ento e mantenho o valor lgico de q, ficando

Se no canto ento no estudo .


Exemplo 4: Estudo ou no sou aprovado . Qual a sentena equivalente?

e = Estudo .

a = Sou aprovado .

~a = No sou aprovado .

e v ~ aDica: quando for ou a equivalncia sempre ser se . . .ento .

Assim, temos que transformar ou em se . . .ento . Mas como?

p q = ~ p v q (equivalentes), vamos inverter .~ p v q = p qInverte o primeiro e mantm o segundo, trocando ou por se . . .ento, transferimos isso para nossa proposio .

e v ~a = ~e ~ aTrocamos e por ~e, mantemos ~a e trocamos "v" por " ".Logo, Se no estudo ento no sou aprovado .

No podemos esquecer que ou comutativo, assim a opo de resposta pode estar trocada, ento atente nisto, ao invs de e v ~ a pode ser ~ a v e, assim a resposta ficaria:Se sou aprovado ento estudo .

Quaisquer das respostas estaro certas, ento muita ateno!

Contrapositiva:

Utilizamos como exemplo a sentena abaixo:

Se estudo lgica ento sou aprovado

p = estudo lgica .

q = sou aprovado .

p q

Vamos primeiro negar esta sentena:~(p q) = p ~qLembrando da tabela verdade da conjuno e, notamos que a mesma comutativa, ou seja, se alterarmos a ordem das premissas o valor lgico da sentena no ser alterado . Assim vamos reescrever a sentena encontrada na negao, alterando o valor lgico das proposies .

p ~ q = ~ q p



Agora vamos negar mais uma vez para encontrar uma equivalncia da primeira proposio .~(~q p) q v ~ pAgora vamos utilizar a regra de equivalncia que aprendemos anteriormente .

Regra:

p q ~ p v qEm nosso exemplo temos:

q ~p ~ q ~pLogo encontramos uma outra equivalncia para a nossa sentena inicial .

Esta outra equivalncia chamamos de contrapositiva e muito fcil de encontrar, basta comutar as proposies (trocar a ordem) e negar ambas .

p q = ~q ~pExemplo 2: Encontrar a contrapositiva (equivalente) da proposio Se estudo muito ento minha cabea di

p = estudo muito .

q = minha cabea di .

p q

Encontramos a contrapositiva, invertendo e negando ambas proposies .

p q = ~q ~pLogo temos que: Se minha cabea no di ento no estudo muito .

#FICADICA

EQUIVALNCIA 1: p q = ~ p v q EQUIVALNCIA 2: p q = ~ q ~p (contrapositiva)

Como saber qual das duas regras devemos utilizar na hora da prova? Note que a equivalncia 1 transforma uma condicional se ento em uma disjuno ou enquanto a equivalncia dois transforma uma condicional e outra condicional . Assim apenas olhando as resposta, na maioria das questes, ser possvel identificar qual das duas regras devemos utilizar .


QUESTO COMENTADA

(ESAF: Fiscal Trabalho - 98) Dizer que Pedro no pedreiro ou Paulo paulista , do ponto de vista lgico, o mesmo que dizer que:

a) se Pedro pedreiro, ento Paulo paulistab) se Paulo paulista, ento Pedro pedreiroc) se Pedro no pedreiro, ento Paulo paulistad) se Pedro pedreiro, ento Paulo no paulistae) se Pedro no pedreiro, ento Paulo no paulista

Soluo:

Observe que temos uma disjuno, logo a regra que devemos utilizar aquela que transforma uma disjuno em uma condicional .

p q = ~ p v qSimbolizando a sentena dada na questo, temos:

~p = Pedro no pedreiro .

q = Paulo paulista .

~ p v q

Conetivo: v

Utilizando a nossa regra de equivalncia temos:~ p v q p qLogo conclumos que:

Se Pedro pedreiro ento Paulo paulista . Alternativa A .



TAUTOLOGIA

Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, . . . ser dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos das proposies p, q, r, . . . que a compem .

Exemplo:

Grmio cai para segunda diviso ou o Grmio no cai para segunda diviso .

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de ~p e o conetivo de

Assim podemos representar a sentena acima da seguinte forma: p ~p

Agora vamos construir as hipteses:

H1:

p: Grmio cai para segunda diviso

~p: Grmio no cai para segunda diviso

H2:

p: Grmio no cai para segunda diviso

~p: Grmio cai para segunda diviso

p ~p p v ~p

H1 V F V

H2 F V V

Como os valores lgicos encontrados foram todos verdadeiros, logo temos uma TAUTOLOGIA!

Exemplo 2, verificamos se a sentena abaixo uma tautologia:

Se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme gordo .

p = Joo alto .

q = Guilherme gordo .

p p v q


Agora vamos construir a tabela verdade da sentena anterior:

p q p v q p p v q

H1 V F V V

H2 F V V V

H3 F V V V

H4 F F F V

Como para todas as combinaes possveis, sempre o valor lgico da sentena ser verdadeiro, logo temos uma tautologia .

CONTRADIO

Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, . . . ser dita uma contradio se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lgicos das proposies p, q, r, . . . que a compem .

Exemplo: Lula o presidente do Brasil e Lula no o presidente do Brasil

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de ~p e o conetivo de ^

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p ^ ~p

p ~p p ^ ~p

H1 V F F

H2 F V F

Logo temos uma CONTRADIO!

#FICADICA

Sempre verdadeiro = Tautologia .

Sempre Falso = Contradio .



DIAGRAMA LGICO

Chama-se argumento a afirmao de que um grupo de proposies iniciais redunda em uma outra proposio final, que ser consequncia das primeiras . Estudaremos aqui apenas os argumentos que podemos resolver por diagrama, contendo as expresses: Todo, algum, nenhum ou outras similares.

Um argumento vlido tem obrigatoriamente a concluso como consequncia das premissas . Assim, quando um argumento vlido, a conjuno das premissas verdadeiras implica logicamente a concluso .

Exemplo: Considere o silogismo abaixo:

1. Todo aluno da Casa do Concurseiro aprovado .

2. Algum aprovado funcionrio da defensoria .

Concluso:

Existem alunos da casa que so funcionrios da defensoria .

Para concluir se um silogismo verdadeiro ou no, devemos construir conjuntos com as premissas dadas . Para isso devemos considerar todos os casos possveis, limitando a escrever apenas o que a proposio afirma .

Funcionrio da Defensoria

Alunos aprovados

Aluno da casa

Pelo exemplo acima vimos que nem sempre a concluso acima verdadeira, veja que quando ele afirma que existem alunos da casa que so funcionrios da defensoria, ele est dizendo que sempre isso vai acontecer, mas vimos por esse diagrama que nem sempre acontece .

Funcionrio da Defensoria

Alunos aprovados

Aluno da casa


Nesse diagrama isso acontece, mas pelo dito na concluso, sempre vai existir, e vimos que no, logo a concluso falsa .

No mesmo exemplo, se a concluso fosse:

Existem funcionrios da defensoria que no so alunos da casa

Qualquer diagrama que fizermos (de acordo com as premissas) essa concluso ser verdadeira, tanto no diagrama 1 quanto no diagrama 2, sempre vai ter algum de fora do desenho .

Logo, teramos um silogismo!

Silogismo uma palavra cujo significado o de clculo . Etimologicamente, silogismo significa reunir com o pensamento e foi empregado pela primeira vez por Plato (429-348 a .C .) . Aqui o sentido adotado o de um raciocnio no qual, a partir de proposies iniciais, conclui-se uma proposio final . Aristteles (384-346 a .C .) utilizou tal palavra para designar um argumento composto por duas premissas e uma concluso .

Algum

Vamos representar graficamente as premissas que contenham a expresso algum .

So considerados sinnimos de algum as expresses: existe(m), h pelo menos um ou qualquer outra similar .

Analise o desenho abaixo, que representa o conjunto dos A e B . O que podemos inferir a partir do desenho?

A B

Concluses:

Existem elementos em A que so B .

Existem elementos em B que so A .

Existem elementos A que no so B .

Existem elementos B que no esto em A .



Nenhum

Vejamos agora as premissas que contm a expresso nenhum ou outro termo equivalente .


A B

Concluses:

Nenhum A B .

Nenhum B A .

Todo

Vamos representar graficamente as premissas que contenham a expresso todo .

Pode ser utilizado como sinnimo de todo a expresso qualquer um ou outra similar .


A

B

Concluso:

Todo A B .

Alguns elementos de B A ou existem B que so A .

#FICADICA

Como vou reconhecer um problema onde tenho que usar conjuntos?

Quando na questo existir expresses como: todo, algum, nenhum ou outras similares usaremos o mtodo dos conjuntos para solucionar a questo .


QUESTO COMENTADA

(FCC: TCE-SP 2010) Considere as seguintes afirmaes:

I Todo escriturrio deve ter noes de Matemtica .

II Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo so escriturrios .

Se as duas afirmaes so verdadeiras, ento correto afirmar que:

a) Todo funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo deve ter noes de Matemtica .

b) Se Joaquim tem noes de Matemtica, ento ele escriturrio .c) Se Joaquim funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo, ento ele

escriturrio .d) Se Joaquim escriturrio, ento ele funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de

So Paulo .e) Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo podem no ter

noes de Matemtica .

Resoluo:

Primeiramente vamos representar a primeira premissa .

I Todo escriturrio deve ter noes de Matemtica .

Noes

Matemtica

Escriturrio

II Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo so escriturrios .

Vejamos uma hiptese para a segunda premissa .

Escriturrio Noes

Matemtica

Func. TCE



Vamos considerar agora a possibilidade de todos os funcionrios terem noes de Matemtica, ficamos agora com duas possibilidades distintas .

Noes Matemtica

Escriturrio Func. TCE 2

Func. TCE 1

Analisamos agora as alternativas

Alternativa A: Todo funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo deve ter noes de Matemtica

Soluo:

Escriturrio

Noes Matemtica

Func. TCE 2

Func. TCE 1

Observe que o nosso smbolo representa um funcionrio do TCE que no possui noo de matemtica . Logo a concluso precipitada .

Alternativa B: Se Joaquim tem noes de Matemtica, ento ele escriturrio

Soluo:

Escriturrio

Noes Matemtica

Func. TCE 2

Func. TCE 1

1

2

2


O ponto em destaque representa algum que possui noo de matemtica, porm no escriturrio, logo a concluso precipitada e est errada .

Alternativa C: Se Joaquim funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo, ento ele escriturrio .

Soluo:

Escriturrio

Noes Matemtica

Func. TCE 2

Func. TCE 1

O ponto em destaque representa algum que possui funcionrio do TCE, porm no escriturrio, logo a concluso precipitada e est errada .

Alternativa D: Se Joaquim escriturrio, ento ele funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo .

Soluo:

Escriturrio

Noes Matemtica

Func. TCE 2

Func. TCE 1

O ponto em destaque representa algum que escriturrio, porm no funcionrio do TCE, logo a concluso precipitada e est alternativa est errada .

Alternativa E: Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo podem no ter noes de Matemtica

Soluo:

Escriturrio

Noes Matemtica

Func. TCE 2

Func. TCE 1

1

2

1

2

1

2



O ponto em destaque representa um funcionrio do TCE que no tem noo de matemtica, como a questo afirma que podem, logo est correta .

NEGAO DE TODO, ALGUM E NENHUM.

As Proposies da forma Algum A B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B .

As Proposies da forma Todo A B estabelecem que o conjunto A um subconjunto de B . Note que no podemos concluir que A = B, pois no sabemos se todo B A .

Como negamos estas Proposies:

Exemplos:

1. Toda mulher friorenta .

Negao: Alguma mulher no friorenta .

2. Algum aluno da casa ser aprovado .

Negao: Nenhum aluno da casa vai ser aprovado .

3. Nenhum gremista campeo .

Negao: Pelo menos um gremista campeo .

4. Todos os estudantes no trabalham

Negao: Algum estudante trabalha .

#FICADICA

NENHUM ALGUM

negao

negao

TODOS Algum no

negao

negao

Cuide os sinnimos como por exemplo, existem, algum e etc .

no

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Questes

1. (3323) RACIOCNIO LGICO | FCC | TRT - 1 REGIO (RJ) | 2013 . ASSUNTOS: LGICA PROPOSICIONAL

Um vereador afirmou que, no ltimo ano, compareceu a todas as sesses da Cmara Municipal e no empregou parentes em seu gabinete . Para que essa afirmao seja falsa, necessrio que, no ltimo ano, esse vereador

a) tenha faltado em todas as sesses da Cmara Municipal ou tenha empregado todos os seus parentes em seu gabinete .

b) tenha faltado em pelo menos uma sesso da Cmara Municipal e tenha empregado todos os seus parentes em seu gabinete .

c) tenha faltado em pelo menos uma sesso da Cmara Municipal ou tenha empregado um parente em seu gabinete .

d) tenha faltado em todas as sesses da Cmara Municipal e tenha empregado um parente em seu gabinete .

e) tenha faltado em mais da metade das sesses da Cmara Municipal ou tenha empregado pelo menos um parente em seu gabinete .

2. (3447) RACIOCNIO LGICO | FCC | TCE - SP | 2012 . ASSUNTOS: RACIOCNIO LGICO

Em uma empresa, todo diretor tem direito a plano de sade executivo e metade dos funcionrios do setor de vendas tambm tem esse direito . Alm disso, todos os funcionrios do setor de vendas usam carro da frota da empresa para trabalhar . Sabendo que nenhum funcionrio dessa empresa pode se tornar diretor se no falar ingls, conclui-se que, necessariamente,

a) algum funcionrio da empresa que usa carro da frota tem direito a plano de sade executivo .

b) todo funcionrio dessa empresa que fala ingls tem direito a plano de sade executivo .

c) no setor de vendas dessa empresa existe pelo menos um funcionrio que diretor .

d) existem diretores nessa empresa que usam carro da frota para trabalhar .

e) pelo menos 50% dos funcionrios do setor de vendas dessa empresa no falam ingls .

3. (3365) RACIOCNIO LGICO | FCC | TST | 2012 . ASSUNTOS: LGICA DE ARGUMENTAO | LGICA PROPOSICIONAL

A declarao abaixo foi feita pelo gerente de recursos humanos da empresa X durante uma feira de recrutamento em uma faculdade:

Todo funcionrio de nossa empresa possui plano de sade e ganha mais de R$ 3 .000,00 por ms .

Mais tarde, consultando seus arquivos, o diretor percebeu que havia se enganado em sua declarao . Dessa forma, conclui-se que, necessariamente,

a) dentre todos os funcionrios da empresa X, h um grupo que no possui plano de sade .

b) o funcionrio com o maior salrio da empresa X ganha, no mximo, R$ 3 .000,00 por ms .

c) um funcionrio da empresa X no tem plano de sade ou ganha at R$ 3 .000,00 por ms .

d) nenhum funcionrio da empresa X tem plano de sade ou todos ganham at R$ 3 .000,00 por ms .

e) alguns funcionrios da empresa X no tm plano de sade e ganham, no mximo, R$ 3 .000,00 por ms .

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4. (3488) RACIOCNIO LGICO | FCC | TRT - 11 REGIO (AM) | 2012

ASSUNTOS: LGICA DE ARGUMENTAO

Um analista esportivo afirmou:

Sempre que o time X joga em seu estdio marca pelo menos dois gols .

De acordo com essa afirmao, conclui-se que, necessariamente,

a) o time X marca mais gols em seu estdio do que fora dele .

b) o time X marca menos de dois gols quando joga fora de seu estdio .

c) se o time X marcar um nico gol em um jogo, este ter ocorrido fora de seu estdio .

d) se o time X marcar trs gols em um jogo, este ter ocorrido em seu estdio .

e) o time X nunca derrotado quando joga em seu estdio .

Para ver a explicao do professor sobre as questes, acesse o link a seguir ou baixe um leitor QR Code em seu celular e fotografe o cdigo .

http://acasadasquestoes .com .br/prova-imprimir .php?prova=72887

5. (3459) RACIOCNIO LGICO | CESPE | TCE - AP | 2012

ASSUNTOS: LGICA DE ARGUMENTAO

O responsvel por um ambulatrio mdico afirmou:

Todo paciente atendido com certeza, a menos que tenha chegado atrasado .

De acordo com essa afirmao, conclui-se que, necessariamente,

a) nenhum paciente ter chegado atrasado se todos tiverem sido atendidos .

b) nenhum paciente ser atendido se todos tiverem chegado atrasados .

c) se um paciente no for atendido, ento ele ter chegado atrasado .

d) se um paciente chegar atrasado, ento ele no ser atendido .

e) se um paciente for atendido, ento ele no ter chegado atrasado .

Gabarito:1. (3323) C2. (3447) A3. (3365) C4. (3488) 5. (3459) D


Questes Complementares

1. Considere as proposies A, B e C a seguir .

A Se Jane policial federal ou procuradora de justia, ento Jane foi aprovada em concurso pblico .

B. Jane foi aprovada em concurso pblico .C. Jane policial federal ou procuradora

de justia .

Nesse caso, se A e B forem V, ento C tambm ser V .

2. As proposies Se o delegado no prender o chefe da quadrilha, ento a operao agarra no ser bem-sucedida e Se o delegado prender o chefe da quadrilha, ento a operao agarra ser bem-sucedida so equivalentes .

3. Considere que um delegado, quando foi interrogar Carlos e Jos, j sabia que, na quadrilha qual estes pertenciam, os comparsas ou falavam sempre a verdade ou sempre mentiam . Considere, ainda, que, no interrogatrio, Carlos disse: Jos s fala a verdade, e Jos disse: Carlos e eu somos de tipos opostos . Nesse caso, com base nessas declaraes e na regra da contradio, seria correto o delegado concluir que Carlos e Jos mentiram .

4. Se A for a proposio Todos os policiais so honestos, ento a proposio A estar enunciada corretamente por Nenhum policial honesto .

5. A sequncia de proposies a seguir constitui uma deduo correta .

Se Carlos no estudou, ento ele fracassou na prova de Fsica .

Se Carlos jogou futebol, ento ele no estudou .

Carlos no fracassou na prova de Fsica .

Carlos no jogou futebol .

BANCO DO BRASIL 2007 CESPE

6. correto o raciocnio lgico dado pela sequncia de proposies seguintes:

Se Antnio for bonito ou Maria for alta, ento Jos ser aprovado no concurso .

Maria alta .

Portanto Jos ser aprovado no concurso .

7. correto o raciocnio lgico dado pela sequncia de proposies seguintes:

Se Clia tiver um bom currculo, ento ela conseguir um emprego .

Ela conseguiu um emprego .

Portanto, Clia tem um bom currculo .


8. Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies .

A frase dentro destas aspas uma mentira.

A expresso X + Y positiva. O valor de 4 + 3 = 7 Pel marcou dez gols para a seleo

brasileira . O que isto?

9. A proposio funcional Para qualquer x, tem-se que x2 > x verdadeira para todos os valores de x que esto no conjunto

5, 52

, 3, 32

,2 , 12

.

10. A proposio funcional Existem nmeros que so divisveis por 2 e por 3 verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16} .

11. Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta . Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras . Por outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somente verdades .

Com base no texto acima, julgue o item a seguir .

Se a primeira pessoa diz Nossas fichas no so da mesma cor e a segunda pessoa diz Nossas fichas so da mesma cor, ento, pode-se concluir que a segunda pessoa est dizendo a verdade .

12. Considere as seguintes proposies:

P: Mara trabalha e Q: Mara ganha dinheiro

Nessa situao, vlido o argumento em que as premissas so Mara no trabalha ou Mara ganha dinheiro e Mara no trabalha, e a concluso Mara no ganha dinheiro

13. H duas proposies no seguinte conjunto de sentenas:

(I) O BB foi criado em 1980 .

(II) Faa seu trabalho corretamente .

(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade

14. A proposio simblica (P^Q) R possui, no mximo, 4 avaliaes

15. Uma expresso da forma (A B) uma proposio que tem exatamente as mesmas valoraes V ou F da proposio A B .

16. Considere que as afirmativas Se Mara acertou na loteria ento ela ficou rica e Mara no acertou na loteria sejam a m b a s proposies verdadeiras . Simbolizando adequadamente essas proposies pode-se garantir que a proposio Ela no ficou rica tambm verdadeira .

17. A proposio simbolizada por (AB)(BA) possui uma nica valorao F .

www .acasadoconcurseiro .com .br

Secretaria da Sade Raciocnio Lgico Prof . Edgar Abreu

49

18. Considere que a proposio Slvia ama Joaquim ou Slvia ama Tadeu seja verdadeira . Ento pode-se garantir que a proposio Slvia ama Tadeu verdadeira .

BANCO DO BRASIL 2008 CESPE

19. A negao da proposio A B possui os mesmos valores lgicos que a proposio A (B) .

20. Considere que A seja a proposio As palavras tm vida e B seja a proposio Vestem-se de significados, e que sejam consideradas verdadeiras . Nesse caso, a proposio A (B) F .

21. A negao da proposio As palavras mascaram-se pode ser corretamente expressa pela proposio Nenhuma palavra se mascara .

22. A proposio Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, ento o pas fica protegido de ataques especulativos pode tambm ser corretamente expressa por O pas ficar protegido de ataques especulativos condio necessria para que as reservas internacionais aumentem .

23. A proposio Se o Brasil no tem reservas de 190 milhes de dlares, ento o Brasil tem reservas menores que as da ndia tem valor lgico F .

24. Toda proposio simbolizada na forma AB tem os mesmos valores lgicos que a proposio BA .

25. A proposio Existem pases cujas reservas ultrapassam meio bilho de dlares F quando se considera que o conjunto dos pases em questo {Brasil, ndia, Coria do Sul, Rssia} .

26. Considerando como V as proposies Os pases de economias emergentes tm grandes reservas internacionais e O Brasil tem grandes reservas internacionais, correto concluir que a proposio O Brasil um pas de economia emergente V .

27. A frase Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos ltimos 10 anos? no pode ser considerada uma proposio .

28. Suponha um argumento no qual as premissas sejam as proposies I e II abaixo .

I Se uma mulher est desempregada, ento, ela infeliz .

II Se uma mulher infeliz, ento, ela vive pouco .

Nesse caso, se a concluso for a proposio Mulheres desempregadas vivem pouco, tem-se um argumento correto .


29. Considere que A seja a proposio O nmero de mulheres no mercado de trabalho mundial atingiu 1,2 bilho, em 2007 e B seja a proposio O percentual de mulheres que trabalhavam no campo era maior que o percentual de mulheres que trabalhavam em servios, em 2007 . Atribuindo valores lgicos, V ou F, proposio A e proposio B, de acordo com o referido texto, pode-se garantir que a proposio (A) B V .

30. Atribuindo-se todos os possveis valores lgicos V ou F s proposies A e B, a proposio (A) B A ter trs valores lgicos F .

31. Considerando-se como V a proposio Sem linguagem, no h acesso realidade, conclui-se que a proposio Se no h linguagem, ento no h acesso realidade tambm V .

32. Se o valor lgico da proposio Se as operaes de crdito no pas aumentam, ento os bancos ganham muito dinheiro V, ento correto concluir que o valor lgico da proposio Se os bancos no ganham muito dinheiro, ento as operaes de crdito no pas no aumentam tambm V .

33. A negao da proposio Existe banco brasileiro que fica com mais de 32 dlares de cada 100 dlares investidos pode ser assim redigida: Nenhum banco brasileiro fica com mais de 32 dlares de cada 100 dlares investidos .

34. Se a proposio Algum banco lucra mais no Brasil que nos EUA tiver valor lgico V, a proposio Se todos os bancos lucram mais nos EUA que no Brasil, ento os correntistas tm melhores servios l do que aqui ser F .

Gabarito:1. E2. E3. C4. E5. C6. C7. E8. E9. E10. E11. C12. E13. C14. E15. C16. E 17. C18. E19. C20. C21. E22. C23. E24. E25. E26. E27. C28. C29. E30. E31. C32. C 33. C34. E


Questes Extras

1. (35088) Prova: CESPE 2013 - SEGER-ES Superior

Um provrbio chins diz que:

P1: Se o seu problema no tem soluo, ento no preciso se preocupar com ele, pois nada que voc fizer o resolver .

P2: Se o seu problema tem soluo, ento no preciso se preocupar com ele, pois ele logo se resolver .

O nmero de linhas da tabela verdade correspondente proposio P2 do texto apresentado igual a

a) 4 .b) 8 .c) 12 .d) 16 .e) 24 .





Indicadas por P, Q e R, respectivamente, as proposies Seu problema tem soluo, Nada que voc fizer resolver seu problema e No preciso se preocupar com seu problema, e indicados por ~ e 6, respectivamente, os conectivos no e se . . ., ento, a proposio P1 pode ser corretamente representada, na linguagem lgico-simblica, por

a) (~P) (R Q).b) ((Q (~P)) R.

c) ((~P) Q) R.d) (~P) (Q R).e) ((~P) R) Q.





Assinale a opo que apresenta uma tautologia .

a) (P R) (Q R)b) P Q P ~Qc) P Q ~P Qd) (P Q) (~P Q)e) (P R) (Q R)

4. (35091) Prova: CESPE 2013 - MPU Mdio

Ao comentar a respeito da instabilidade cambial de determinado pas, um jornalista fez a seguinte colocao: Ou cai o ministro da Fazenda, ou cai o dlar . Acerca desse comentrio, que constitui uma disjuno exclusiva, julgue o item seguinte .

A negao da colocao do jornalista equivalente a Cai o ministro da Fazenda se, e somente se, cai o dlar .

( ) Certo ( ) Errado


Ao comentar a respeito da instabilidade cambial de determinado pas, um jornalista fez a seguinte colocao: Ou cai o ministro da Fazenda, ou cai o dlar . Acerca desse


comentrio, que constitui uma disjuno exclusiva, julgue o item seguinte .

A proposio do jornalista equivalente a Se no cai o ministro da Fazenda, ento cai o dlar .


6 (35093) Prova: CESPE 2013 - MPU Mdio

Ao comentar a respeito da instabilidade cambial de determinado pas, um jornalista fez a seguinte colocao: Ou cai o ministro da Fazenda, ou cai o dlar . Acerca desse comentrio, que constitui uma disjuno exclusiva, julgue o item seguinte .

Caso o ministro da Fazenda permanea no cargo e a cotao do dlar mantenha sua trajetria de alta, a proposio do jornalista ser verdadeira .



Uma pesquisa realizada com um grupo de 35 tcnicos do MPU a respeito da atividade I planejamento estratgico institucional e da atividade II realizar estudos, pesquisas e levantamento de dados revelou que 29 gostam da atividade I e 28 gostam da atividade II . Com base nessas informaes, julgue o item seguinte .

A quantidade mxima de tcnicos desse grupo que no gosta de nenhuma das duas atividades inferior a 7 .




Se 4 tcnicos desse grupo no gostam de nenhuma das atividades citadas, ento mais de 25 tcnicos gostam das duas atividades .




Infere-se dos dados que a quantidade mnima de tcnicos desse grupo que gostam das duas atividades superior a 20 .


10. (35097) Prova: CESPE 2013 - CPRM Superior

Mrcia, ao interrogar os filhos, Ana, Bernardo, Carla, Deise e Eugnio, sobre qual deles havia quebrado um espelho, obteve as seguintes declaraes:

O culpado Eugnio ou Deise, disse Bernardo;

O culpado uma menina, disse Eugnio;

Se Bernardo culpado, ento Carla inocente, disse Deise .

Com base nessa situao e admitindo que somente um seja culpado, julgue o item seguinte .

A afirmao de Deise equivalente a Se Carla culpada, ento Bernardo inocente .



Mrcia, ao interrogar os filhos, Ana, Bernardo, Carla, Deise e Eugnio, sobre qual



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deles havia quebrado um espelho, obteve as seguintes declaraes:





A afirmao de Deise equivalente a Bernardo ou Carla inocente .








Se Deise disse a verdade, ento Bernardo o culpado .








Admitindo-se que, nessa situao, caso tenha dito algo, o culpado tenha mentido e os inocentes tenham dito a verdade, correto inferir que foi Bernardo quem quebrou o espelho .








A negao da afirmao de Bernardo corretamente expressa por Nem Eugnio nem Deise so culpados .









A afirmao de Eugnio equivalente a Existe um menino que inocente .


16. (35103) Prova: CESPE 2013 - MI Superior

Ao comentar a respeito da qualidade dos servios prestados por uma empresa, um cliente fez as seguintes afirmaes:

P1: Se for bom e rpido, no ser barato .

P2: Se for bom e barato, no ser rpido .

P3: Se for rpido e barato, no ser bom .

Com base nessas informaes, julgue o item seguinte .

Um argumento que tenha P1 e P2 como premissas e P3 como concluso ser um argumento vlido .








A proposio P1 logicamente equivalente a Se o servio for barato, no ser bom nem ser rpido .








A proposio P2 logicamente equivalente a Ou o servio bom e barato, ou rpido .








Se P3 for falsa, ento o servio prestado bom, rpido e barato .



O casal Cssio e Cssia tem as seguintes peculiaridades: tudo o que Cssio diz s quartas, quintas e sextas-feiras mentira, sendo verdade o que dito por ele nos outros dias da semana; tudo o que Cssia diz aos domingos, segundas e teras-feiras mentira, sendo verdade o que dito por ela nos outros dias da semana .

A respeito das peculiaridades desse casal, julgue o item seguinte .

Se, em certo dia, ambos disserem Amanh meu dia de mentir, ento essa afirmao ter sido feita em uma tera-feira .



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Na tera-feira, Cssia disse que iria ao supermercado no sbado e na quarta-feira, que compraria arroz no sbado . Nesse caso, a proposio Se Cssia for ao supermercado no sbado, ento comprar arroz verdadeira .





Se, em uma sexta-feira, Cssio disser a Cssia: Se eu te amasse, eu no iria embora, ser correto concluir que Cssio no ama Cssia .


23. (35110) Prova: CESPE 2013 - MME Superior

A proposio As fontes de energia fsseis esto, pouco a pouco, sendo substitudas por fontes de energia menos poluentes,

como a energia eltrica, a elica e a solar as fontes de energia limpa pode ser representada simbolicamente por

a) PQ.b) (PQ) R.c) (PQ) R.d) P .e) PQ


A representao simblica correta da proposio O homem semelhante mulher assim como o rato semelhante ao elefante

a) P Q.b) P .c) PQ.d) PQ. e) P Q.


Com base na tabela, assinale a opo que apresenta a sequncia correta dos elementos constituintes da coluna da tabela-verdade correspondente proposio lgica S: R (PQ).

a) V / F / V / F / F / V / V / Vb) V / F / V / F / F / V / F / Vc) V / F / V / F / F / F / V / Vd) V / F / F / F / F / V / V / Ve) V / V / F / F / F / V / V / V


Ainda com base na tabela, assinale a opo que apresenta a sequncia correta dos elementos constituintes da coluna da tabela verdade correspondente proposio lgica S: (P Q) (P R).

a) V / V / V / V / V / V / F / Vb) V / F / F / F / V / V / V / Vc) V / V / V / V / V / V / V / Fd) F / V / V / F / V / V / F / V


e) V / V / V / F / F / V / V / V

27. (35114) Prova: CESPE 2013 - MME Mdio

Assinale a opo que apresenta uma proposio logicamente equivalente negao da proposio Todo ser humano responsvel pelo bem que no faz .

a) Todo ser humano no responsvel pelo bem que no faz .

b) Algum ser humano no responsvel pelo bem que no faz .

c) Todo ser humano responsvel pelo bem que faz .

d) Todo ser humano responsvel pelo mal que no faz .

e) Algum ser humano no responsvel pelo bem que faz .


Quando o governo e as leis vigentes so incapazes de administrar os conflitos existentes entre as classes dominantes e as chamadas foras populares, ou de impedir o aumento do espao poltico dessas foras, as classes dominantes apelam para golpes de Estado .

Considere as seguintes proposies:

P: O governo incapaz de administrar os conflitos existentes entre as classes dominantes e as foras populares .

Q: As leis vigentes so incapazes de administrar os conflitos existentes entre as classes dominantes e as chamadas foras populares .

R: O governo incapaz de impedir o aumento do espao poltico das foras populares .

S: As leis vigentes so incapazes de impedir o aumento do espao poltico das foras populares .

T: As classes dominantes apelam para golpes de Estado .

Considerando-se que, a partir das proposies dadas P, Q, R, S e T, seja possvel construir novas proposies mediante o uso dos smbolos lgicos , e , que significam e, ou e se..., ento, correto concluir que a proposio apresentada no texto acima pode ser representada simbolicamente por

a) (PQ)(RS)T.b) PQRST.c) PQRST.d) (PQ) (RS) T.e) (PQ) (RS) T.



Assinale a opo correta acerca da negao da proposio O governo e as leis vigentes so incapazes de administrar os conflitos existentes entre as classes dominantes e as chamadas foras populares, ou de impedir o aumento do espao poltico dessas foras .

a) O governo e as leis vigentes no so capazes de administrar os conflitos existentes entre as classes dominantes e as chamadas foras populares nem de impedir o aumento do espao poltico dessas foras .

b) O governo e as leis vigentes no so capazes de administrar os conflitos existentes entre as classes dominantes e as chamadas foras populares, ou de impedir o aumento do espao poltico dessas foras .

c) O governo ou as leis vigentes no so incapazes de administrar os conflitos existentes entre as classes dominantes e as chamadas foras populares, nem



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de impedir o aumento do espao poltico dessas foras .

d) O governo e as leis vigentes no so incapazes de administrar os conflitos existentes entre as classes dominantes e as chamadas foras populares, ou de impedir o aumento do espao poltico dessas foras .

e) O governo e as leis vigentes so capazes de administrar os conflitos existentes entre as classes dominantes e as chamadas foras populares, e de impedir o aumento do espao poltico dessas foras .



O nmero de linhas da tabela-verdade correspondente proposio do texto inicial igual a

a) 16 .b) 32 .c) 64 .d) 128 .e) 8 .

31. (35118) Prova: CESPE 2013 TCE-RO Superior

Considere que um argumento seja formado pelas seguintes proposies:

P1 A sociedade um coletivo de pessoas cujo discernimento entre o bem e o mal depende de suas crenas, convices e tradies .

P2 As pessoas tm o direito ao livre pensar e liberdade de expresso .

P3 A sociedade tem paz quando a tolerncia a regra precpua do

convvio entre os diversos grupos que a compem .

P4 Novas leis, com penas mais rgidas, devem ser includas no Cdigo Penal, e deve ser estimulada uma atuao repressora e preventiva dos sistemas judicial e policial contra todo ato de intolerncia .

Com base nessas proposies, julgue o item seguinte .

O argumento em que as proposies de P1 a P3 so as premissas e P4 a concluso um argumento lgico vlido .



Considere que um argumento seja formado pelas seguintes proposies:

P1 A sociedade um coletivo de pessoas cujo discernimento entre o bem e o mal depende de suas crenas, convices e tradies .

P2 As pessoas tm o direito ao livre pensar e liberdade de expresso .

P3 A sociedade tem paz quando a tolerncia a regra precpua do convvio entre os diversos grupos que a compem .

P4 Novas leis, com penas mais rgidas, devem ser includas no Cdigo Penal, e deve ser estimulada uma atuao repressora e preventiva dos sistemas judicial e policial contra todo ato de intolerncia .

Com base nessas proposies, julgue o item seguinte .

A proposio Deve ser estimulada uma atuao repressora e preventiva dos sistemas judicial e policial contra todo ato de intolerncia uma proposio composta .




Com base na tabela apresentada acima, referente ao incio da construo da tabela-verdade da proposio S, composta de P, Q e R, que so proposies lgicas simples, julgue o item a seguir .

Se S = Q(PR), a coluna correspondente proposio S, depois de preenchida a tabela-verdade, mostrar, de cima para baixo e nesta mesma ordem, os seguintes elementos: V, F, F, F, V, V, F, V .



Com base na tabela apresentada acima, referente ao incio da construo da tabela-verdade da proposio S, composta de P, Q

e R, que so proposies lgicas simples, julgue o item a seguir .

Se S = (PQ)(PR), a coluna correspondente proposio S, na tabela acima, conter, de cima para baixo e na ordem em que aparecem, os seguintes elementos: V, F, F, F, V, V, V, V .


35. (35122) Prova: CESPE 2013 SEFAZ-ES Superior

A negao da proposio Cada uma das contas apresentadas por Fernando contm, no mnimo, dois erros contbeis . corresponde a

a) Todas as contas apresentadas por Fernando contm, pelo menos, um erro contbil .

b) Nenhuma das contas apresentadas por Fernando contm, no mnimo, dois erros contbeis .

c) Cada uma das contas apresentadas por Fernando contm, no mximo, um erro contbil .

d) Pelo menos uma das contas apresentadas por Fernando contm, no mximo, um erro contbil .

e) Pelo menos uma das contas apresentadas por Fernando contm, no mnimo, dois erros contbeis .


Em uma reunio, os amigos Arnaldo, Beatriz, Carlos, Danilo e Elaine fizeram as seguintes afirmaes:

Arnaldo: Meu nome Danilo ou Arnaldo .

Beatriz: Arnaldo acaba de mentir .

Carlos: Beatriz acaba de mentir .

Danilo: Carlos acaba de mentir .

Elaine: Danilo acaba de mentir .

A quantidade de pessoas que mentiu nessa situao foi igual a



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a) 5 .b) 1 .c) 2 .d) 3 .e) 4 .


Considerando todas as possveis valoraes V ou F das proposies simples P e Q, a quantidade de valoraes V na tabela-verdade da proposio (PQ)(~Q)[P (~Q)] igual a

a) 1 .b) 2 .c) 3 .d) 4 .e) 0 .

38. (35125) Prova: CESPE 2013 UNIPAMPA Superior

Julgue o item a seguir, a respeito de estruturas lgicas .

A expresso Uma reviso dos pisos salariais dos professores assegurar a revoluo na educao bsica a que a sociedade aspira, pois qualquer reforma para melhorar a qualidade do ensino dever passar pela valorizao do educador pode ser representada pela sentena lgica PQ, em que P e Q sejam proposies convenientemente escolhidas .




A frase O gacho, o mato-grossense e o mineiro tm em comum o amor pelo seu estado natal pode ser representada logicamente na forma PQR, em que P, Q e R sejam proposies simples convenientemente escolhidas .




A proposio A estabilidade econmica dever do Estado e consequncia do controle rgido da inflao pode ser representada pela sentena lgica PQ, em que P e Q sejam proposies simples convenientemente escolhidas .


41. (35128) Prova: CESPE 2010 SAD-PE Superior

Um argumento vlido uma sequncia finita de proposies em que algumas so chamadas premissas e assumidas como verdadeiras, e as demais so concluses que se garantem verdadeiras em consequncia da veracidade das premissas e de concluses previamente estabelecidas .

Suponha que a proposio Se Josu foi aprovado no concurso e mudou de cidade, ento Josu mudou de emprego seja uma premissa de um argumento . Se a proposio Josu no mudou de emprego for outra premissa desse argumento, uma concluso que garante sua validade expressa pela proposio

a) Josu foi aprovado no concurso e no mudou de cidade .

b) Josu no foi aprovado no concurso e mudou de cidade .

c) Josu no foi aprovado no concurso ou no mudou de cidade .

d) Se Josu no mudou de emprego, ento Josu no mudou de cidade .

e) Se Josu no mudou de emprego, ento Josu no foi aprovado no concurso .


42. (35129) Prova: CESPE 2008 IPEA Superior

Considere as seguintes informaes a respeito de lgica:

proposio: sentena afirmativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), sendo representada por letra maiscula do alfabeto A, B, C etc .;

proposio simples: proposio que no contm nenhuma outra proposio como parte;

conectivos: e, representado por ; ou, representado por ; se ..., ento ..., representado por ;

negao: no, representado por ; tabelas-verdade para algumas

proposies compostas so apresentadas a seguir:

leis de De Morgan: (AB) significa AB; e (AB) significa AB;

sentenas abertas, ou proposies abertas: os exemplos x + 4 = 9 e Ele foi um grande jogador de futebol no so considerados proposies, pois no podem ser julgados como V nem F, j que x e Ele so variveis . O conjunto dos possveis valores da varivel o conjunto-universo da proposio aberta . Uma forma de se passar de uma sentena aberta a uma proposio pela quantificao da varivel;

quantificadores: qualquer que seja, ou para todo, representado por ; existe, representado por . Por exemplo, a proposio ( x)(x R)(x + 4 = 9) valorada como F, enquanto a proposio ( x)(x R)(x + 4 = 9) valorada como V, pois x = 5 torna a proposio V . Se Ele = Pel, ento a proposio Ele foi um grande

jogador de futebol valorada como V, enquanto se Ele = Tiradentes, a mesma proposio valorada como F . O subconjunto do conjunto universo que torna a proposio verdadeira o conjunto-verdade da proposio;

- argumento: relao que associa um conjunto de proposies A1, A2, . . ., An denominadas premissas a uma proposio B denominada concluso;

- argumento vlido: um argumento no qual a concluso uma conseqncia necessria de suas premissas, isto , a verdade de suas premissas garante a verdade da concluso .

Considere a afirmao X seguinte, que pode ser V ou F: Se Maria for casada, ento ela vir de vestido branco . Tendo como base o texto, essa afirmao e as possveis valoraes V ou F das proposies simples que a compem, julgue o item seguinte .

Independentemente de X ser V ou F, a proposio Se Maria no vier de vestido branco, ento ela no casada ser sempre V .


43. (35130) Se as proposies Maria casada e Maria no vir de vestido branco forem ambas V, ento X ser F .



Se a proposio Maria casada for F, ento, independentemente de X ser V ou F, a proposio Se Maria no for casada, ento ela no vir de vestido branco ser sempre F .




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As tabelas-verdade das proposies Se Maria no vier de vestido branco, ento ela no casada e Se Maria casada, ento ela vir de vestido branco so iguais .



Considere que as proposies Alguns flamenguistas so vascanos e Nenhum botafoguense vascano sejam valoradas como V . Nesse caso, tambm ser valorada como V a seguinte proposio: Algum flamenguista no botafoguense .



Considere o argumento formado pelas proposies A: Todo nmero inteiro par; B: Nenhum nmero par primo; C: Nenhum nmero inteiro primo, em que A e B so as premissas e C a concluso . Nesse caso, correto afirmar que o argumento um argumento vlido .


Gabarito:1. (35088) B2. (35089) C3. (35090) C4. (35091) C5. (35092) E6. (35093) E7. (35094) C8. (35095) C 9. (35096) C10. (35097) C11. (35098) C12. (35099) E13. (35100) E14. (35101) C15. (35102) E16. (35103) C 17. (35104) E18. (35105) E19. (35106) C20. (35107) C21. (35108) C22. (35109) E23. (35110) D24. (35111) A 25. (35112) D26. (35113) A27. (35114) B28. (35115) A29. (35116) C30. (35117) B31. (35118) E32. (35119) E 33. (35120) E34. (35121) C35. (35122) D36. (35123) C37. (35124) D38. (35125) C39. (35126) E40. (35127) E 41. (35128) C42. (35129) E43. (35130) C44. (35131) E45. (35132) C46. (35133) C47. (35134) C

apostila_cef_raciocíniológico_edgar.unlocked

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