ANLISE DE INVESTIMENTOS

Newton C. A. da Costa Jr.

UFSC

Florianpolis 2011

Sumrio

1 Juros Simples......................................................................................................................1 2 Operaes de Desconto.....................................................................................................11 3 Juros Compostos...............................................................................................................20 4 Srie de Pagamentos.........................................................................................................32 5 Sistemas de Amortizao..................................................................................................48 6 Mtodos Tradicionais de Anlise de Investimentos..........................................................65 7 Depreciao e Imposto de Renda......................................................................................99 8 Substituio de Equipamentos........................................................................................116 9 Anlise sob Condies de Risco e Incerteza...................................................................128 Referncias.........................................................................................................................139

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Captulo 1

JUROS SIMPLES

Este captulo tem os seguintes objetivos:

apresentar o conceito de juros em uma economia de mercado; mostrar o relacionamento entre a cobrana de juros e a

compensao pelo adiamento do consumo e pelo risco assumido; definir o que uma taxa de juros; introduzir o conceito de regime de capitalizao a juros simples; introduzir os conceitos de valor futuro ou montante e valor atual; apresentar alguns exemplos de aplicao de juros simples a

situaes reais de mercado.

Aproveite bem!

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1.1 Introduo O principal foco do presente texto relaciona-se aos conceitos e mtodos que as empresas devem utilizar para melhor alocar seus recursos financeiros entre as diversas oportunidades de investimento em ativos reais disponveis. Do ponto de vista macroeconmico, investimento um dos componentes da renda total de um pas e est relacionado deciso das empresas, em termos agregados, em adquirir bens de capital.

Em geral, h numerosas oportunidades de investimento no somente s empresas, mas tambm aos investidores, s famlias e s agncias governamentais. No caso da empresa privada, o investimento contnuo e realizado de forma competente uma necessidade para que a mesma possa sobreviver no competitivo mundo atual, como j salientava Fleischer (1973). Matrias primas devem ser adquiridas, novos equipamentos devem substituir os equipamentos antigos e obsoletos, novos produtos devem ser desenvolvidos, campanhas de marketing devem ser lanadas, funcionrios devem estar sempre atualizados etc. Enfim, existe uma gama enorme de investimentos que podem ser considerados como alternativas da demanda de capital. Se vivssemos num mundo com recursos ilimitados de capital, no haveria a necessidade de uma teoria sobre investimentos, pois todas as propostas de aplicao de fundos seriam aceitveis desde que se obedecesse a um simples critrio: a renda total deve exceder o total dos gastos. No mundo real, no entanto, os recursos so limitados e a oferta de capital no suficiente para a satisfao de toda a demanda de investimentos pelas unidades econmicas. Desta maneira, o presente texto pretende ajudar a responder o seguinte problema: dentre as diversas alternativas de investimento disponveis a uma empresa, quais devem ser selecionadas e quais devem ser rejeitadas, a fim de que ela possa sobreviver a longo prazo?

Nos captulos que seguem, apresentaremos como se d a formao e acumulao de capital atravs de juros simples e compostos, bem como operaes de desconto, relaes de equivalncia entre fluxos de caixa e sistemas de amortizao de dvidas. Na seqncia, veremos alguns conceitos importantes como custo de capital e estrutura de capital das empresas. Finalmente, estudaremos os principais mtodos de seleo de alternativas de investimento e suas diversas aplicaes, tanto sob condies de certeza como sob condies de risco.

1.2 Conceito de juro O estudo da equivalncia entre valores em datas diferentes constitui o objeto da Matemtica Financeira. E o elemento fundamental para transposio destes valores no tempo o juro.

O conceito de juro se relaciona ao preo pago pelo uso do dinheiro durante um determinado perodo de tempo. Ao longo da Idade Media, a Igreja condenava a prtica da cobrana de juros, que denominava de usura, mas esta regra nunca foi estritamente seguida, pois sempre

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existiram maneiras implcitas de se cobrar juros por parte dos fornecedores de moeda, como taxas de abertura de crdito, seguros e outras compensaes aparentemente no relacionadas com o juro. Atualmente, considera-se que a cobrana de juro se origina de dois fatores principais: o adiamento do consumo e o risco.

Compensao pelo adiamento do consumo

Veja-se, por exemplo, o caso de um indivduo dotado de uma determinada riqueza. Esta riqueza representa uma possibilidade de consumo imediato para a satisfao das necessidades atuais do indivduo ou ento a possibilidade dele investir num processo produtivo que gerar novas riquezas futuras. Assim, uma pessoa que dispe de certa riqueza, geralmente concorda em ced-la a outros, desde que receba uma remunerao que compense o adiantamento do consumo ou a oportunidade perdida de gerao de novas riquezas com aquele capital. Esta remunerao pelo direito de uso de uma riqueza durante certo tempo o que se denomina de juro.

O nvel do juro, que do ponto de vista econmico seria o custo do capital,

determinado pelo mercado em funo do equilbrio das foras de oferta e demanda, tal qual acontece com os preos dos demais bens econmicos.

Compensao pelo risco assumido

At o momento vislumbramos a possibilidade do capital emprestado vir a ser devolvido, alm do juro, integralmente a seu proprietrio original. Supusemos, como no exemplo acima, o caso de um emprstimo absolutamente seguro, isento de riscos. Na prtica, nunca deve ser desconsiderada a hiptese de perda do capital emprestado. Desta maneira, natural que a taxa de juros cresa de acordo com o risco do negcio, conforme mostra a figura abaixo.

Juro

Risco

Remunerao pelo risco

Juro puro

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1.3 Taxa de Juros Taxa de juros definida como a razo entre o juro recebido ao final de um certo perodo de tempo e o capital inicialmente aplicado. Ela pode ser calculada conforme a equao (1) a seguir:

(1)

onde i a taxa de juros auferida; J o valor do juro e P o valor do capital inicial.

Exemplo 1. Determine a taxa de juros cobrada num emprstimo de $1.000,00 a ser quitado por

$1.200,00. Soluo:

Vimos que a taxa de juros dada por:

Como o juro auferido no perodo a diferena entre o montante final (F) e o valor inicialmente aplicado (P), temos que: J = F P = 1.200 1.000 = $200 Este valor de J inserido na equao (1), onde se determina a taxa de juros:

no perodo considerado.

1.4 Capitalizao a juros simples Regime de capitalizao o nome dado ao processo de formao de capital ao longo do tempo, a partir de uma dada riqueza ou capital inicial. O processo de formao de capital pode se dar atravs de uma capitalizao discreta ou contnua. A primeira ainda pode ser subdividida em capitalizao simples e capitalizao composta.

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Neste livro nosso foco a capitalizao discreta (simples e composta). A seguir veremos como o capital se forma atravs da capitalizao simples.

Capitalizao simples Nas operaes financeiras de curto prazo em geral adotado o regime de capitalizao simples. Neste regime os juros so gerados exclusivamente pelo capital inicial. A taxa de juros no incide, pois, sobre os juros acumulados. Neste regime de capitalizao a taxa varia linearmente em funo do tempo, ou seja, se quisermos converter a taxa diria em mensal, basta multiplicarmos a taxa diria por 30, e assim por diante. Num intervalo unitrio de tempo temos que o juro calculado isolando-se a varivel J da frmula (1) acima e dado por J = P.i. Assim, temos que o juro gerado ao final do primeiro intervalo de tempo ser calculado por: J1 = P.i. Ao final do segundo intervalo de tempo o juro ser: J2 = P.i. Ao final do terceiro intervalo de tempo o juro ser: J3 = P.i, e assim sucessivamente, at o juro gerado ao final do n-simo intervalo de tempo, que ser dado por: Jn = P.i. Desta maneira, os juros totais ao final de n intervalos unitrios de tempo sero: J = J1 + J2 + J3 + ... + Jn, que substitudos por P.i, vem: J = Pi + Pi + Pi + ... +Pi (n parcelas P.i), o que origina a frmula para o clculo dos juros no regime de capitalizao simples:

J = P.i.n (2)

Exemplos 2. Qual o valor dos juros correspondentes a um emprstimo de $10.000, pelo prazo de 5

meses, sabendo-se que a taxa cobrada de 3% ao ms?

Soluo Aplicando-se a frmula dada pela equao (2), temos que: J = P.i.n = 10.000x0,03x5 = $1.500

3. Um capital de $25.000, aplicado durante 7 meses, proporciona um montante de $32.875. Determine a taxa correspondente.

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Soluo Primeiro determina-se os juros auferidos na operao: F = P + J ==> J = F P = 32.875 25.000 = $7.875 Aplicando-se a equao (2), vem: J = P.i.n ==> i = J/(P.n) = 7.875/(25.000x7) = 0,045 ou 4,5% ao ms 4. Sabendo-se que os juros de $7.875 foram obtidos com aplicao de $25.000, taxa de

4,5% ao ms, calcule o prazo da operao. Soluo Isolando-se n na equao (2), temos que: n = J/(P.i) ==> n = 7.875/(25.000x0,045) = 7 meses

1.5 Montante e Valor Atual O montante (ou valor futuro), que vamos indicar por F, igual soma do capital inicial mais os juros referentes ao perodo de aplicao: F = P + J (3) Substituindo a equao (2) na (3), obtemos o que se denomina de frmula fundamental para juros simples: F = P(1 + i.n) (4) Se construirmos um grfico do montante ou valor futuro, F, em funo do nmero de perodos de capitalizao, n, observaremos a relao linear existente entre os valores monetrios num regime sob capitalizao simples.

tempo

F

P

F = P(1+i.n)

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Exemplos (juros simples) 5. Calcule o montante (ou valor futuro) da aplicao de um capital de $1.000,00, pelo

prazo de 12 meses taxa de 4% ao ms. Soluo Aplicando-se a frmula fundamental do juro simples dada pela equao (4), temos que: F = P(1+ i.n) = 1.000(1 + 0,04x12) F = $1.480,00 6. Determine o valor atual de um ttulo cujo valor de resgate de $100.000,00, sabendo-se

que a taxa de juros de 5% ao ms e que faltam cinco meses para seu vencimento.

Soluo Aplicando-se novamente a frmula fundamental do juro simples, mas agora isolando-se P na equao (4), temos que: P = F/(1+i.n) = 100.000/(1+0,05x5) P = $80.000,00 1.6 Juro Exato e Juro Comercial Juro exato considera o ano civil com 365 dias e os meses com os nmeros efetivos de dias. J o juro comercial considera o ano comercial, com 360 dias e o ms com 30 dias. Exemplo 7. Um capital de $30.000 aplicado durante o perodo de 01/07/2008 a 01/09/2008 taxa

de juros simples de 20% ao ano. Obtenha os valores correspondentes ao juro exato e ao juro comercial, respectivamente.

Soluo Em primeiro lugar devemos calcular o nmero de dias do perodo considerado. Observe que o ltimo dia no levado em conta. Assim, para o caso do clculo do juro exato o perodo ser de 62 dias. E para o caso do clculo do juro comercial, consideram-se dois meses de 30 dias, ou seja, 60 dias.

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Usando-se a equao (2), temos que: juro exato: J = P.i.n = 30.000 x 0,20/365 x 62 = $1.019,18 juro comercial: J = P.i.n = 30.000 x 0,20/360 x 60 = $1.000,00 Lembre-se de que sob o regime de juros simples, as taxas so sempre proporcionais: 12% ao ano equivalente a 12%/12 = 1% ao ms; 36% ao ano equivalente a 36%/12 = 3% ao ms; etc.

Em geral, os bancos no utilizam os conceitos tradicionais de juro exato ou comercial e sim uma combinao deles. Para a contagem do numero de dias utilizam-se do conceito de juros exatos, ou seja, o calendrio civil. E, para a contagem do total de dias de um ano ou de um ms, eles utilizam o conceito de juro comercial, ou seja, ms de 30 dias e ano de 360 dias.

1.7 Operaes com Hot Money Operaes com Hot Money so operaes de curtssimo prazo (geralmente de um nico dia) feitas pelas empresas junto s instituies financeiras para cobrir eventual falta de caixa para suas atividades. As taxas so formadas em funo do mercado interfinanceiro a taxa CDI over mais um spread cobrado pelo banco que faz a intermediao. usual que a taxa do hot money seja dada em termos mensais, sendo o critrio de clculo o de juro simples e a conveno de juro comercial.

Exemplo 8. Uma empresa recebe um emprstimo de $5milhes atravs de uma operao de hot

money. Supondo que essa operao seja renovada por dois dias teis, calcule o montante, supondo que no 1o dia a taxa da operao foi de 2,46% ao ms e no 2o dia a taxa de operao foi de 2,49% ao ms. Para simplificar, no leve em conta o imposto sobre operaes financeiras (IOF).

1o dia: J = $5.000.000 x 2,46/3.000 x 1 = $4.100,001 F = $5.000.000 + $4.100,00 = $5.004.100,00 (montante ao final do 1o dia) 2o dia: J = $5.004.100,00 x 2,49/3.000 x 1 = $4.153,40

F = $5.004.100,00 + $4.153,40 = $5.008.253,40 (montante final) 1 Para o caso de juros simples vimos que as taxas so lineares. Assim, para transformar uma taxa percentual ao ms em taxa decimal diria, divide-se por 3.000, que o valor de 30 dias vezes 100, ou seja, 2,46% ao ms equivalente a 2,46/(30x100) ao dia.

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1.8 Problemas sobre capitalizao simples2 1. Determinar os juros simples obtidos nas seguintes condies:

Capital Taxa Prazo a) $2.000,00 12% a.m. 5 meses b) $3.000,00 21% a.a. 2 anos c) $2.000,00 1,3% a.m. 3 anos d) $6.000,00 15% a.t. 2 anos e meio

2. Qual o montante de uma aplicao de $600.000 a juros simples, durante 5 meses taxa

de 80% a.a.? 3. Um capital de $1.000 aplicado por um dia, a juros simples e taxa de 1,5% a.m.

Obtenha os juros dessa aplicao, considerando um ms de 30 dias. 4. Bruno aplicou $300.000 pelo prazo de 6 meses e recebeu $90.000 de juros. Calcule a

taxa de juros simples semestral da aplicao. 5. Numa aplicao de $3.000, taxa de juros simples de 10% a.a., o montante recebido foi

de $4.800. Determine o prazo da aplicao. 6. Paula aplicou uma certa quantia taxa de juros simples de 10% a.m., durante 4 meses,

resgatando um montante de $740. Obtenha o juro auferido nesta aplicao. 7. Mara aplicou $800 a juros simples e taxa de 12% a.a. Se ela recebeu $384 de juros,

obtenha o prazo da aplicao. 8. Uma geladeira vendida por $5.000 ou ento por $1.500 de entrada, mais uma parcela

de $4.250 aps 4 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do utilizada? 9. Um vestido de noiva vendido a vista por $4.000 ou ento por $1.000 de entrada mais

uma parcela de $3.500 aps 5 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?

10. Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e taxa de 8% a.a.para que duplique?

11. (Concurso Controlador da Arrecadao Federal) Um capital aplicado taxa de juros simples e 8% a.m. triplica em que prazo?

2 Respostas aos exerccios do item 1.8: (1a) J=$1200; (1b) J=$1.260; (1c) J=$936; (1d) J=$9.000; (2) $800.000; (3) $0,50; (4) 30% a.s.; (5) 6 anos; (6) $211,43; (7 ) 4 anos; (8) 5,35% a.m.; (9) 3.33% a.m.; (10) 12,5 anos; (11) 25 meses.

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Idade Mdia e Usura:

http://www.historiaehistoria.com.br/materia.cfm?tb=artigos&id=42 Hot Money: http://www.bertolo.pro.br/Adminfin/HTML/HOT_MONEY.htm Captulo 1 do livro de Irwing Fisher, The Theory of Interest: http://www.unc.edu/~salemi/Econ006/Irving_Fisher_Chaper_1.pdf

RESUMO

Neste captulo introduzimos o conceito de juro. Vimos que na Idade Mdia a

cobrana de juros era proibida pela Igreja Catlica. Mas, que no contexto de

uma economia de mercado a cobrana de juros era necessria, basicamente,

por duas razes: compensao pelo adiamento do consumo e compensao pelo

risco assumido ao se emprestar determinado valor monetrio a algum. Vimos

que mesmo o conceito bsico da capitalizao a juros simples bastante usado

em algumas transaes financeiras de curto prazo. Finalmente, apresentamos

alguns exerccios resolvidos e esperamos, que voc leitor, tenha conseguido

solucionar os problemas propostos ao final deste captulo.

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Captulo 3

JUROS COMPOSTOS

Este captulo tem os seguintes objetivos: introduzir o conceito de capitalizao composta; apresentar a frmula fundamental para juros

compostos e suas aplicaes; mostrar o que so taxas de juros equivalentes; diferenciar uma taxa nominal de uma taxa efetiva; estabelecer a relao entre taxas reais, taxas

efetivas e taxa de inflao atravs da frmula de Fisher.

Aproveite bem!

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3.1 Capitalizao composta

No regime sob capitalizao composta os juros incidem sobre o capital corrigido, ou seja, sobre o capital inicial mais o ganho do capital (os juros). So os juros sobre juros. So tambm chamados de juros capitalizados. a forma mais utilizada no Brasil e outros pases. A simbologia a mesma j conhecida:

F o montante ou valor futuro n perodo de tempo ou prazo P o principal ou capital inicial i a taxa de juros

De maneira anloga aos juros simples, o valor futuro (F), aps n perodos de capitalizao, de um capital inicial (P) que aplicado a uma taxa de juros (i), ser:

-ao final do 1o intervalo unitrio de tempo:

F1 = P + J1 = P + iP = P(1+i) -ao final do 2o intervalo unitrio de tempo:

F2 = F1 + J2 = F1+ iF1 = P(1+i) + iP(1+i) = P(1+i)(1+i) = P(1+i)2 -ao final do 3o intervalo unitrio de tempo:

F3 = F2 + J3 = F2 + iF2 = P(1+i)2 + iP(1+i)2 = P(1+i)2(1 + i) = P(1+i)3 -ao final do n-simo intervalo unitrio de tempo:

Fn = Fn-1 + Jn = Fn-1 + iFn-1 = P(1+i)n-1 + iP(1+i)n-1 = P(1+i)n-1( 1 + i) = P(1+i)n A ltima frmula denominada de frmula fundamental para juros compostos.

F = P(1+i)n (1) Nesta equao temos quatro variveis: F, P, i e n. Conhecendo-se trs delas, a outra poder ser determinada. A seguir, apresentamos, graficamente, uma comparao entre a capitalizao a juros simples e a juros compostos aplicada a um capital inicial de $100. Observa-se que a linha

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que representa a capitalizao a juros simples linear, enquanto que a linha que representa a capitalizao a juros compostos exponencial. Para intervalos de tempo menores que o intervalo unitrio, a capitalizao a juros simples proporciona um montante maior, enquanto que para intervalos maiores que a unidade, o montante determinado a juros composto sempre ser maior.

Exemplos 1. Determine o valor futuro de $1.000,00 aplicados a uma taxa de 10% a. m. por trs

meses, a juros compostos. Dados do problema: P = 1.000,00 n = 3 meses i = 10% a. m. F = ? Soluo: Usando-se a frmula fundamental para juros compostos, equao (1), o montante aps trs perodos de tempo ser de:

F3 =1.000 1+ 0,1( )3 =1.331,00

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Exemplo usando a calculadora financeira HP 12C:

Nesta calculadora, temos a seguinte correspondncia entre as variveis at agora estudadas e a sua notao nas teclas da calculadora: F FV (future value) P PV (present value) n n (nmero de perodos) i i (taxa, sempre na forma percentual) 2. Miguel aplicou $200 a uma taxa de 4% a.m., por 3 meses. Quanto obteve de juros e

quanto resgatou? Dados do problema: P ou PV= 200,00 n = 3 meses i = 4% a. m. FV = ? Soluo pela HP12c:

Teclas Visor Significado 1) f clear FIN limpa a memria financeira 2) 200 CHS PV - 200,00 fluxo de caixa negativo (aplicao) 3) 4 i 4,00 taxa de juros 4) 3 n 3,00 prazo de aplicao 5) FV 224,97 montante final fluxo de caixa positivo (resgate) 6) RCL PV - 200,00 capital inicial 7) + 24,97 juros auferidos

Observa-se que em calculadoras financeiras, como a HP 12c, e tambm em planilhas eletrnicas, como o Excel, necessrio obedecer conveno para sinais de um fluxo de caixa. No exemplo acima, Miguel retirou de seu bolso e aplicou (em algum banco) $200, o que equivale a uma sada de caixa para ele. Aps trs meses ele resgatou do banco o montante final de $224,97, o que equivale a uma entrada de caixa.

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3.2 Equivalncia entre taxas Dizemos que uma taxa mensal (im) equivalente a uma taxa anual (ia) quando aplicadas a um mesmo capital inicial produzem o mesmo montante final. Graficamente, temos a seguinte situao: Algebricamente, temos o seguinte:1

para determinar a taxa anual equivalente a uma taxa mensal qualquer, temos:

P(1 + im)12 = P(1 + ia)1, isolando-se ia, vem:

ia = (1 + im)12 1 (taxa anual equivalente a uma taxa mensal dada)

para determinar a taxa mensal equivalente a uma taxa anual qualquer, temos:

P(1 + im)12 = P(1 + ia)1, isolando-se im, vem:

ou im =(1 + ia)1/12 1 (taxa mensal equivalente)

As equaes acima tambm podem ser adaptadas para estabelecer a equivalncia entre taxas para outras periodicidades. Assim, para se determinar a taxa trimestral equivalente a uma taxa anual, a frmula seria: 1 No caso de juros simples, pelo fato deste ser linear, vimos na Unidade 1, que basta multiplicar o valor numrico da taxa de juros fornecida pela relao entre os dois perodos dados. Assim, por exemplo, a taxa equivalente mensal a 6% ao ano ser 6%(1/12) = 0,5% ao ms. Outro exemplo seria: a taxa anual equivalente a 3% ao ms ser 3% (12/1) = 36% ao ano.

31/dez 1/jan im, capitalizada 12 vezes

31/dez 1/jan

P F

ia, capitalizada 1 vez

P F

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ou it =(1 + ia)1/4 1 (taxa trimestral equivalente) Atravs da calculadora HP 12c tambm possvel calcular taxas equivalentes, existem programas para isso. No entanto, a relao custo/benefcio faz com que seja melhor entender as frmulas acima e usar as teclas normais da HP 12c do que decorar programas especficos para isso. O leitor interessado ou curioso neste assunto pode consultar os sites ao fim deste captulo.

Exemplos 3. Determinar a taxa anual equivalente a 0,5% a.m. (caderneta de poupana). Dados: im = 0,5% ia = ? Soluo: ia = (1 + 0,005)12 1 ia = 0,0617 ou 6,17% a.a. 4. Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% a.a. Dados: ia = 60,103% im = ? Soluo: im = (1 + 0,60103)1/12 1 im = 0,04 ou 4% a.m. 5. Dada a taxa over de 13% ao ano, determine a taxa equivalente diria. Como a taxa over

calculada para dias teis e no dias corridos, use neste exemplo 252 dias teis no ano.

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Dados: ia = 13% ao ano (com 252 dias teis) id = ? (taxa diria) Soluo: id = (1 + 0,13)1/252 1 = id = 0,00048511 ou 0,048511% ao dia

Estas duas taxas so equivalentes. No acredita? Ento vamos aplicar cada uma delas a uma determinada quantia, como por exemplo $100 e verificar se o montante final ser o mesmo! Seja P = $100,00 Aplicando essa quantia durante um ano e usando-se a frmula fundamental para juros compostos, temos que: Taxa anual de 13%: F = 100(1+0,13)1 = 113,00 Taxa diria de 0,048511%: F = 100(1 + 0,00048511)252 = 113,00 Portanto, como os montantes so iguais, podemos concluir que as duas taxas so equivalentes!

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3.3 Taxa nominal e taxa efetiva

Taxa nominal

Chama-se taxa nominal de juros taxa onde o perodo ao qual ela est referenciada no coincide com o perodo de tempo em que os juros so capitalizados. Por exemplo, a caderneta de poupana paga uma taxa de 6% ao ano com capitalizao mensal. Este tipo de taxa muito mencionada no mercado financeiro nacional e internacional. Entretanto, esta taxa no usada nos clculos financeiros, pois necessrio calcular a taxa em que os juros so efetivamente capitalizados.

Taxa efetiva

Define-se taxa efetiva de juros como a taxa onde o perodo ao qual ela est referenciada coincide com o perodo de tempo em que os juros so capitalizados. Por exemplo, a taxa de 0,5% ao ms com capitalizao mensal uma taxa efetiva. prtica do mercado, para o caso de taxas efetivas, no especificar o perodo no qual os juros so capitalizados. Assim, no exemplo acima, diz-se apenas que a taxa efetiva de 0,5% ao ms. Saber determinar o valor da taxa efetiva de um contrato importante, pois ela que representa o verdadeiro custo de uma operao financeira.

Relao entre taxa nominal e efetiva O que interessa para uma operao financeira responder seguinte pergunta: dada uma taxa nominal, qual a taxa efetiva correspondente a ser aplicada? Por conveno, conforme Securato (2000), dada uma taxa nominal iN, a taxa efetiva correspondente, relativa ao perodo de capitalizao em apreo, ser a taxa ie que lhe seja proporcional. A equao que relaciona esta relao pode ser expressa por: ie = iN/k (2) Onde k seria o nmero de perodos de capitalizao contidos na unidade de tempo em que a taxa nominal expressa.

Exemplos 6. Calcule a taxa efetiva, sabendo-se que a taxa nominal de 60% ao ano com

capitalizao mensal.

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Soluo

Observe que o valor de k 12, correspondente ao nmero de perodos de capitalizao contidos na unidade de tempo em que a taxa nominal de 60% referenciada. Assim, a taxa efetiva seria dada por:

7. Dada uma taxa nominal de 12% ao ano com capitalizao trimestral, determine a taxa

efetiva. Soluo Aqui, o valor de k 4, pois so quatro trimestres no ano, a taxa efetiva seria:

3.4 Taxa de juros real e inflao

Mesmo trabalhando-se com taxas efetivas, considerar a inflao nas decises de investimentos de fundamental importncia. Durante um perodo inflacionrio, uma certa quantidade de dinheiro compra menor quantidade de bens do que comprava anteriormente. A inflao no esperada tende a favorecer os devedores e os que pagam juros, s expensas dos credores e daqueles que recebem renda fixa. Num ambiente sem inflao, a taxa real de juros seria equivalente taxa efetiva de qualquer operao financeira. No entanto, quando existe inflao, preciso retirar o efeito desta sobre a taxa de juros. Esta ltima taxa denominada de taxa real de juros. uma taxa efetiva sem inflao. A frmula de Fisher, em homenagem ao economista Irving Fisher (1867-1947), apresentada a seguir, estabelece o relacionamento entre as taxas reais, efetivas e a inflao. (1+ie) = (1+iinf)(1+ireal) (3)

Onde ie a taxa efetiva de juros; iinf a taxa de inflao e ireal a taxa real a ser considerada nos clculos financeiros, todas calculadas durante o mesmo intervalo de tempo.

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Para taxas de juros muito baixas, a frmula de Fisher pode ser aproximada a uma soma. Nestas condies a taxa efetiva seria, aproximadamente, igual soma entre a taxa de juros real e a taxa de inflao. Muitas vezes a frmula abaixo que aparece em alguns livros de Macroeconomia, mas ela apenas uma aproximao. ie = iinf + ireal (4) Exemplo 8. Se a taxa de inflao mensal foi de 3% e um valor aplicado no incio do ms produziu

um rendimento de 6% sobre o valor aplicado, qual o rendimento efetivo obtido nesta aplicao?

Soluo Os dados do problema so: iinf = 3%; ie = 6%. Queremos a taxa real, ireal. Com a aplicao da frmula de Fisher, temos que:

(1+0,06) = (1+0,03)(1+ireal) ==> ireal = (1,06)/(1,03) 1 = 0,0291 ou 2,91%

30

3.5 Problemas sobre capitalizao composta2 1. Uma pessoa toma $100.000 emprestados, a juros de 2% a.m., pelo prazo de 10 meses

com capitalizao composta. Qual o montante a ser devolvido? 2. Quanto deve ser aplicado hoje para que se configurem $10.000,00 de juros ao fim de 5

anos, se a taxa de juros for de 4% a.trimestre? 3. Qual a taxa efetiva anual cobrada em relao a 18% a.a. capitalizados mensalmente? 4. Qual a taxa efetiva mensal de 24% ao ano com capitalizao semestral? 5. O Sr. Silva tem $1.500 para investir. Seus conselheiros de investimentos sugerem um

investimento que no pague juros determinados, mas que gere um retorno de $2.000 ao final de trs anos.

a. Qual a taxa de retorno que o senhor Rishi ter ganho com esse investimento? b. O Sr. Silva est considerando outros investimentos, de igual risco, os quais

geram um retorno de 8% a. a. Qual o investimento deve ser realizado e por qu? 6. Joo esteve procurando um emprstimo para financiar a compra de seu carro novo.

Encontrou trs possibilidades que parecem atraentes e deseja selecionar aquela que apresenta taxa de juros mais baixa. As informaes disponveis com relao a cada uma das trs alternativas de emprstimos de $5.000 seguem baixo:

Emprstimo Principal

($) Pagamento anual ($)

Prazo (anos)

A B C

5.000 5.000 5.000

1.352,81 1.543,21 2.010,45

5 4 3

a. Determine a taxa de juros relativa a cada um dos emprstimos. b. Qual emprstimo o senhor Joo deveria realizar?

7. Renato deseja determinar o valor futuro ao final de dois anos, de um depsito de

$15.000 feito em uma conta que paga taxa de juros nominal anual de 12%. Encontre o valor futuro do depsito de Renato, supondo que os juros sejam capitalizados: (1) anualmente; (2) trimestralmente; (3) mensalmente; (4) continuamente.

8. Uma pessoa aplicou $3.000 num banco que lhe devolveu o montante de $4.500 ao final

de um ano. Sabendo-se que a inflao do perodo foi de 20%, determine rendimento real deste investimento.

2 Respostas aos exerccios do item 3.4: (1) $121.899,40; (2) $8.395,44; (3) 19,56%; (4) 1,9%; (5a) 10,06% a.a.; (6a) 11%; 9% e 10%; (7) $18816,00; $19001,55; $19046,02 e $19068,74, respectivamente; (8) 25%.

31

Sites teis: Dicas para o uso da HP 12c: http://www.ief.com.br/ Emulador da HP 12c na Web: http://www.epx.com.br/ctb/hp12c.php Matemtica financeira da Wikipdia: http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_financeira

RESUMO

Neste captulo introduzimos o conceito de capitalizao composta. Mostramos a

diferena entre capitalizao simples e composta, deduzindo, passo a passo, a

frmula fundamental dos juros compostos. Vimos que na capitalizao simples

os juros simples recaem apenas sobre o valor inicial da aplicao, enquanto que

na capitalizao composta, os juros so calculados sobre os juros do perodo

anterior, de maneira sucessiva e cumulativa. Em seguida analisamos, atravs

de exemplos, os conceitos de taxa efetiva e taxa nominal de juros. Vimos que

nos clculos financeiros devemos sempre trabalhar com taxas efetivas.

Finalmente, mostramos que se deve retirar a inflao embutida nas taxas de

juros para se obter a taxa real de modo que as decises de investimentos no

prejudiquem nem credores nem devedores.

32

Captulo 4

Sries de Pagamento

Este captulo tem os seguintes objetivos:

apresentar o conceito de diagrama de fluxo de caixa; mostrar as relaes de equivalncia entre os componentes de um

fluxo de caixa (por ex.: entre valor atual e valor futuro, entre valor atual e srie uniforme, etc.);

introduzir o conceito de perpetuidade e seu clculo; mostrar como so feitos os clculos quando as sries so

antecipadas; desenvolver exemplos com aplicaes de cada um dos conceitos

acima.

Aproveite bem!

33

4.1 Introduo

Este tema de fundamental importncia nas aplicaes prticas. O conceito de equivalncia permite transformar formas de pagamentos (ou recebimentos) em outras formas equivalentes, e conseqentemente, efetuar comparaes alternativas. Lembre-se de nossa definio de Matemtica Financeira, no item 1.2 da Unidade 1, quando dissemos que seu objeto de estudo a equivalncia entre valores em datas diferentes. Assim, $100 hoje equivalente a $120 daqui h um ano, dado que a taxa de juros neste perodo seja de 20%. A representao deste e de outros problemas mais complexos melhor compreendida atravs de um diagrama de fluxo de caixa, como ser descrito a seguir.

Noes de Fluxo de Caixa A visualizao de um problema que envolve sries de pagamentos e recebimentos bastante facilitada usando-se uma representao grfica simples, chamada diagrama de fluxo de caixa.

Exemplos 1. Joo recebe seu salrio no primeiro dia do ms, recebe tambm o aluguel de uma sala

comercial no dia 20 do ms, a qual ainda est pagando o financiamento ao final de cada ms (dia 30) e faz seus outros pagamentos nos dias 5, 10 e 20. Apresente o fluxo de caixa correspondente.

Soluo:

Representao Grfica:

Observa-se que as entradas de caixa (no dias 1 e 20) so simbolizadas por setas apontadas para cima e as sadas de caixa (nos dias 5, 10, 20 2 30) por setas apontadas para baixo.

0 1 5 30 dias 105

20

34

ou entre outros

Tambm, dentro do possvel, procura-se estabelecer uma relao entre o comprimento das setas e o valor do fluxo de caixa. Assim, um fluxo de caixa de $200 deve ser representado por uma seta com o dobro do comprimento de um fluxo de $100.

2. Um banco concede um emprstimo de $40.000 a um cliente, para pagamento em 6 prestaes iguais de $9.000. Represente o FC do ponto de vista do banco e do ponto de vista do cliente.

Soluo:

Banco: Cliente:

4.2 Sries de Pagamentos ou (Recebimentos)

Sries de pagamentos so definidas como uma sucesso de pagamentos/ recebimentos com vencimentos sucessivos ao longo do tempo.

Ao longo deste texto, sempre estaremos supondo que as sries de pagamentos tero as seguintes caractersticas:

a) diferena de prazo entre cada termo (ou fluxo de caixa) e o seguinte constante:

b) os valores dos termos (ou fluxos de caixa) que compe a srie podem ser:

- constante (srie uniforme):

9.000

40.000

40.000

9.000

10 30 40 50 dias 20 1 2 3 4 anos

35

- variveis: c) os vencimentos dos termos da srie podem ser no final de cada sub-perodo ou

no incio.

PMT1 PMT2 ms 1 ms 2 0 final do perodo (o mais comum) 1 2 meses P PMT1 PMT2 ms 1 ms 2

0 incio do perodo ( ex.: leasing, credirio, etc.) 1 2 meses P

Principais relaes de equivalncia a) Equivalncia entre P e F:

F = P(1+ i)n ou

P = F(1+ i)n

A representao desta relao de equivalncia em termos de do fluxo de caixa seria:

Com esta relao pode-se responder s seguintes perguntas:

n

P

F

0

36

Qual o valor a ser investido hoje, a determinada taxa de juros, para se obter uma quantia F aps certo tempo?

Investindo-se uma quantia P, hoje, qual a quantia F a ser obtida aps n

perodos a uma taxa i? Exemplo 3. Quanto terei de aplicar hoje para que daqui h seis meses eu possa quitar o seguro de

minha casa no valor de $300? Estima-se que a taxa de juros para os prximos seis meses ser, em mdia, de 1,5% ao ms.

Representao do fluxo de caixa do problema: Usando a frmula anterior, temos que:

P = 300(1+ 0,015)6 = $274,36 Usando a HP 12c: Observe que o resultado foi negativo! A razo disto que as calculadoras financeiras e planilhas eletrnicas entendem isto como uma sada de caixa. E, realmente, de acordo com nosso diagrama de fluxo de caixa acima, houve uma aplicao (sada de caixa) de $274,36 na data 0 e um resgate de caixa seis meses depois, na data 6.

Teclas Visor 1) f clear Fin 2) 300 FV 300,00 3) 1,5 i 1,50 4) 6 n 6,00 5) PV -274,36

6

P=?

F= 300

0

37

b) Equivalncia entre PMT e F:

F = PMT (1+ i)n 1

i ou

A representao desta relao de equivalncia em termos de do fluxo de caixa seria:

Com esta relao pode-se responder s seguintes perguntas:

Qual ser o valor futuro produzido por uma srie de pagamentos peridicos,

dada uma determinada taxa de juros?

Quanto se deve depositar periodicamente com o objetivo de se formar uma poupana futura, dada uma determinada taxa de juros?

Exemplos 4. Quanto ter, no final de quatro anos, uma pessoa que aplicar $500 por ms, durante este

prazo, em um fundo de aes, taxa mdia de 3% ao ms?

Representao do FC:

Usando a frmula anterior:

F = 500 x (1+ 0,03)48 1

0,03 = 500 x 104,4084 = $52.204,20

PMT

F

0 1 2 3 4

500

F

38

Usando a HP 12c:

5. Quanto uma pessoa ter que aplicar mensalmente num fundo de renda fixa, durante 5

anos, para que possa resgatar $200.000 no final de 60 meses, sendo que o fundo proporciona, em mdia, um rendimento de 2% ao ms?

F = 200.000

Representao do FC: 0 1 2 3 (...) 60 meses PMT =?

Soluo usando a frmula:

Usando a HP 12C:

c) Equivalncia entre PMT e P

PMT = P (1+ i)n x i

(1 + i)n 1 (Tabela Price) 1 ou

1 Esta frmula muito usada no crdito direto ao consumidor e nos financiamentos bancrios para se determinar o valor de uma prestao com base no valor do bem, da taxa de juros e do perodo de pagamento.

Teclas Visor 1) f clear Fin 2) 500 CHS PMT - 500,00 3) 3 i 3,00 4) 48 n 48,00 5) FV 52.204,20

Teclas Visor 1) f clear Fin 2) 200.000 FV 200.000,00 3) 2 i 2,00 4) 60 n 60,00 5) PMT -1.753,59

39

A representao desta relao de equivalncia em termos de do fluxo de caixa seria:

Com esta relao pode-se responder s seguintes perguntas:

Qual ser o valor da prestao, caso se queira comprar um bem na forma

parcelada? Qual o valor da retirada peridica que se pode fazer a partir de um

determinado capital investido?

Exemplos 6. Um emprstimo de $30.000 concedido por uma instituio financeira para ser

liquidado em 12 prestaes iguais, mensais e consecutivas. Sabendo-se que a taxa de juros 3,5% ao ms, calcular o valor da prestao.

30.000 i = 3,5% a.m. Representao do FC: 0 12 meses

PMT

Soluo usando a frmula:

Usando a HP 12c:

Teclas Visor 1) f clear Fin 2) 30.000 PV 30.000,00 3) 3,5 i 3,50 4) 12 n 12,00 5) PMT -3.104,52

PMT

P

40

7. Calcular o valor atual de uma srie de 24 prestaes iguais, mensais e consecutivas de $3.500 cada uma, considerando uma taxa de 5% ao ms.

P = ? i = 5% a.m.

Representao do FC: 0 24meses PMT = 3.500 Soluo usando a frmula:

Usando a HP 12c:

Exemplo: problemas em que a taxa de juros a incgnita. 8. Determinar a que taxa anual foi firmada uma operao de emprstimos de $100.000,

para ser liquidada em 18 prestaes mensais, iguais e consecutivas de $7.270,87 cada uma.

PMT = 7.270,87 Fluxo de Caixa:

0 18 meses P = 100.000 i = ?

P = PMT x ( 1 + i)n - 1

(1+ i)n x i

100.000 = 7.270,87 (1+ i)18 1

(1+ i)18 x i

Teclas Visor 1) f clear Fin 2) 3.500 PMT 3.500,00 3) 5 i 5,00 4) 24 n 24,00 5) PV -48.295,25

41

Como no existe uma soluo algbrica para i na equao acima, ou seja, no possvel isolar a taxa de juros das outras variveis da equao, esta taxa s pode ser encontrada por tentativas. Em geral, as calculadoras financeiras e as planilhas eletrnicas possuem programas embutidos que resolvem facilmente este problema. A soluo por tentativas seria encontrar o valor de i que tornaria o lado direito da equao acima igual ao seu lado esquerdo ($100.000).

Soluo usando a HP 12c:

Teste voc mesmo e veja que substituindo o valor de i = 3% na equao acima torna o lado direito igual ao lado esquerdo ($100.000)!! d) Perpetuidades Uma perpetuidade uma srie uniforme com uma vida infinita. Este conceito muito usado para o clculo de aposentadorias e mensalidades de clubes.

Alguns governos j emitiram ttulos que pagam juros peridicos para sempre. o caso das consols emitidas pelo governo britnico, onde o titular desses bnus nunca recebero o principal, somente recebem os juros peridicos.

Pode-se determinar a equao que relaciona uma srie uniforme perptua e seu valor presente atravs da frmula inversa da Tabela Price, fazendo-se o nmero de perodos, n, tender ao infinito, como mostrado abaixo.

Assim, o valor presente de uma perpetuidade seria calculado por:

A representao em termos de fluxo de caixa desta situao seria dada pelo FC abaixo.

Teclas Visor 1) f clear Fin 2) 100.000 CHS PV -100.000,00 3) 7.270,87 PMT 7.270,87 4) 18 n 18,00 5) i 3,00

P = Lim n

PMT (1+ i)n 1

(1+ i)n i

=

PMTi ou P =

PMTi

42

Exemplo 9. Joo pretende se aposentar e receber anualmente, ao final de cada ano, um valor fixo de

$10.000,00. Quanto ele dever acumular ao final de sua vida de trabalho para que possa usufruir de tal benefcio durante sua aposentadoria? Suponha uma taxa real de juros de 6% ao ano.

Dados: PMT = 10.000,00 i = 6 % a.a. Soluo: Usando-se a frmula da perpetuidade, facilmente se obtm o valor pedido:

4.3 Relaes de equivalncia para pagamentos antecipados

Nas sries com pagamentos ou recebimentos antecipados, eles ocorrem no incio de cada perodo de tempo. Assim, a primeira prestao paga ou recebida no incio do primeiro perodo, ou seja, na data zero, e assim sucessivamente. Todos os problemas com sries de pagamentos ou recebimentos antecipados podero ser resolvidos utilizando os mesmos fatores anteriores s que divididos ou multiplicados por (1 + i).

Nas calculadoras financeiras no h qualquer alterao em relao aos procedimentos at ento utilizados, apenas que quando utilizamos sries antecipadas devemos manter a calculadora no modo Begin, para o caso de se usar a HP 12c. As frmulas passam a ser as seguintes:

De para

PMT

0 1 2 3 . . .

P

P = PMTi = 10.000

0,06 = $166.666,67

43

De para

Exemplos 10. Quanto ter de aplicar mensalmente, a partir de hoje, para acumular no final de 36

meses um montante de $300.000, sabendo-se que o rendimento firmado de 34,489% ao ano (taxa efetiva!) e que as prestaes so iguais e consecutivas e em nmero de 36?

Como os pagamentos comearo a partir de hoje, isto significa que so pagamentos antecipados, no incio do perodo, comeando na data zero!

Fluxo de Caixa: i = 34,489% a.a. F = 300.000

0 35 36 meses

PMT = ?

Em primeiro lugar, temos que encontrar a taxa imensal, equivalente taxa anual de 34,489% ao ano. Este procedimento j foi visto na unidade anterior.

(1 + im)12 = (1 + ia)1 (1 + im)12 = 1,34489 im = (1,34489)1/12 1 = 2,5%

A taxa mensal de 2,5% a.m., encontrada acima usada na frmula para pagamentos antecipados, juntamente com os valores de F e n:

44

Soluo usando a HP 12c:

11. Determinar qual o preo de um terreno financiado em 24 prestaes iguais de

$5.054,03 sabendo-se que a taxa de juros cobrada de 3,5% ao ms e que a primeira prestao paga no ato da assinatura do contrato.

Fluxo de Caixa : PMT = 5.054,03

0 23 24 meses P = ? i = 3,5%

Soluo usando a HP 12C:

Teclas Visor 1) f clear Fin 2) g Beg Incio de perodo 3) 300.000 FV 300.000,00 4) 36 n 36,00 5) 2,5 i 2,50 6) PMT -5.107,77

Teclas Visor 1) f clear Fin 2) g Beg 3) 5.054,03 PMT 5.054,03 4) 3,5 i 2,50 5) 24 n 24,00 5) PV -84.000,05

45

4.4 Problemas sobre relaes de equivalncia2 1. Uma loja anuncia a venda de um microondas a vista por $380,00 ou em 6 pagamentos

mensais sem entrada de $80,00. Qual a taxa de juros embutida na operao?

2. Uma pessoa adquiriu uma impressora laser em 10 prestaes mensais de $75,00 em uma loja que cobra juros de 8% ao ms. At que preo compensa pagar a vista?

3. Um bem tem valor a vista de $800,00. Ele poder ser financiado em 8 prestaes iguais

sem entrada. Determine o valor das prestaes sabendo-se que a loja cobra juros de 6% ao ms.

4. Quanto uma pessoa ter que aplicar mensalmente num banco para que possa resgatar

$200.000,00 ao final de 60 meses, sabendo-se que o banco oferece uma taxa de 2% ao ms?

5. Um determinado empresrio pretende fazer um investimento que lhe render $100 mil,

por no, nos prximos 10 anos. Qual o valor do investimento, sabendo-se que o empresrio trabalha com taxas de 6% ao ano?

6. Voc se aposentou com um capital acumulado no seu fundo de penso, um PGBL, de

R$250.000,00. Isto foi lquido de imposto de renda, de taxas de administrao do banco, da taxa de disso e da taxa daquilo. Se voc acha que ainda vai viver mais uns 30 anos, qual a quantia mxima que deve sacar mensalmente do fundo, se este rende 1% ao ms, lquido de tudo que imposto, contribuies e taxas?. E se voc, com os novos avanos da medicina, se tornou imortal, qual seria a quantia a ser sacada?

2 Respostas aos exerccios do item 4.4: (1) 7,1127%; (2) inferior a $503,26; (3) $128,83; (4) $1.753,59; (5) $736.000,00; (6) $ 2571,53 e $2500,00

46

CASO: Calculando a aposentadoria de Ivanildo3 A MegaTec S.A. deseja acumular fundos para prover uma aposentadoria para seu diretor, e um dos fundadores da empresa, Ivanildo Silva. Foi elaborado um contrato, onde ele dever se aposentar exatamente ao final de doze anos. Durante a aposentadoria ele ter direito a receber um pagamento anual, ao final de cada ano, de $42.000, durante exatamente vinte anos. Se ele morrer antes do final do perodo de vinte anos, o pagamento anual passar a seus herdeiros. Durante doze anos, o perodo de acumulao, a MegaTec deseja aplicar a anuidade a ser realizada em depsitos iguais, anuais, no final do ano, em uma conta que pague 9% de juros ao ano. Uma vez que seja iniciado o perodo de distribuio de vinte anos, a MegaTec planeja movimentar os fundos acumulados para uma outra conta que garanta juros de 12% ao ano. No final do perodo de distribuio, o saldo da conta ser igual a zero. Perceba que o primeiro depsito ser realizado no final do ano 1 e a primeira distribuio ocorrer no final do ano 13. Pede-se: a. Apresente o diagrama de fluxo de caixa relativos s anuidades de aposentadoria, sob o

ponto de vista da MegaTec; b. Qual seria o montante que a MegaTec S. A. deve acumular no final do ano 12 para

fornecer, durante vinte anos, anuidades de $42.000? c. Qual o montante relativo aos depsitos iguais anuais, no fim do ano, que a MegaTec

deve realizar na conta durante um perodo de acumulao de doze anos, para ser capaz de realizar todos os pagamentos anuais da aposentadoria de Ivanildo?

d. Qual deve ser o montante de depsito anual que a MegaTec tem de realizar, durante o perodo de acumulao, caso se obtenham juros de 10% em vez de 9%, nesse mesmo perodo?

e. Qual o montante de depsito anual, durante o perodo de acumulao, que a MegaTec deveria realizar, se a anuidade de aposentadoria de Ivanildo fosse uma perpetuidade, sendo que todos os outros termos permaneceriam iguais aos inicialmente descritos?

3 Adaptado de Gitman (2004).

47

Clculos Financeiros: http://drcalc.net/

Sries de Pagamentos: http://www.paulomarques.com.br/arq9-15.htm

Perpetuidades: http://teachmefinance.com/Portuguese/perpetuities.html

RESUMO

Neste captulo vimos como a montar um diagrama de fluxo de caixa a partir de

determinada situao financeira. Usando a frmula apropriada ou uma

calculadora financeira vimos como resolver problemas de relaes de

equivalncia, desde encontrar o valor atual dado um valor futuro at encontrar

o valor atual de uma srie perptua. Finalmente, apresentamos alguns

exerccios resolvidos e esperamos, que voc leitor, tenha conseguido solucionar

os problemas e o caso propostos ao final deste captulo.

48

Captulo 5

SISTEMAS DE AMORTIZAO

Este captulo tem os seguintes objetivos:

compreender o conceito de amortizao de dvidas; mostrar os diversos sistemas de amortizao existentes e as

caractersticas de cada um; aprender a montar uma planilha para calcular os componentes de

um sistema de amortizao, tais como: saldo devedor, juros, amortizao e prestao;

discutir a preferncia por um ou por outro sistema de amortizao.

Aproveite bem!

49

5.1 Introduo A disponibilidade de recursos financeiros um fator imperativo para a concretizao de um investimento. Ao se comprar um imvel, ao se adquirir um equipamento industrial, necessrio que se tenha disponibilidade de recursos.

Se a pessoa fsica, no caso de um imvel, ou a empresa, no caso de um equipamento industrial, dispuserem de capital prprio, podero lanar mo destes fundos para efetivarem seus investimentos. Porm, na falta destes recursos, ou se estes forem insuficientes, tero que recorrer a emprstimos.

O valor destes emprstimos, ou seja, o principal, evidentemente ter que ser restitudo instituio financiadora, acrescido da sua remunerao, que so os juros. s formas de devoluo do principal mais juros, chamam-se sistemas de amortizao. Os mais usuais, normalmente praticados pelas instituies bancrias, sero apresentados a seguir.

5.2 Sistema Francs de Amortizao ou Tabela Price O Sistema Francs de Amortizao mais conhecido no Brasil como Sistema Price ou Tabela Price. A denominao Tabela Price se deve ao matemtico, filsofo e telogo ingls Richard Price, que viveu no sculo XVIII. No ano de 1769, a pedido de uma seguradora inglesa, o Reverendo Price desenvolveu tabuas de mortalidade para que a seguradora pudesse calcular os valores de prmios de seguro de vida e de aposentadoria para seus clientes. No entanto, foi somente a partir da 2a. Revoluo Industrial que a metodologia desenvolvida pelo Reverendo Price foi aplicada para o clculo do valor de amortizaes de emprstimos. A denominao Sistema Francs deve-se ao fato deste sistema ter-se efetivamente desenvolvido na Frana, no sculo XIX. muito usado nas compras a prazo de bens de consumo crdito direto ao consumidor. Neste sistema as prestaes so iguais e correspondem a uma srie uniforme (PMT). O valor das prestaes determinado com base na mesma frmula utilizada para relacionar uma srie uniforme de pagamentos e o valor atual:

PMT = P (1+ i)n i

(1+ i)n 1 (Frmula da Tabela Price)

Uma das razes para se estudar amortizaes de dvidas a de se obter respostas s perguntas: Qual o estado da dvida? Quanto j foi amortizado?

50

Quando uma dvida saldada em prestaes, o devedor dever, normalmente, restituir o principal em juros e amortizaes. As prestaes pagas so desmembradas em juros e amortizaes. A amortizao corresponde parcela da prestao que descontada do principal da dvida. Exemplo: 1. Calcular os valores das parcelas de juros e amortizao referentes primeira prestao,

de um emprstimo de $8.530,20, taxa de 3% ao ms, para ser liquidado em 10 prestaes iguais. Use o Sistema Francs de Amortizao ou a Tabela Price.

Soluo: Em primeiro lugar necessrio calcular o valor da prestao (PMT): Aplicando-se a frmula da Tabela Price, com P = $8.530,20, n = 10 meses e i = 3% ao ms, vem:

PMT = 8.530,20 (1,03)10 0,03

(1,03)10 1 = $1.000 Certamente possvel usar uma calculadora financeira para tal clculo, seno vejamos: usando a HP 12c: Valor da parcela de juros: Os juros da primeira prestao (J1), a ser paga ao final do ms 1, so calculados em funo do saldo devedor do perodo anterior (P0), que seria o ms 0, o que equivale ao valor do emprstimo. J1 = i P0 = 0,03 8.530,20 = $255,91 Valor da parcela de amortizao:

Teclas Visor 1) f clear Fin 2) 8530,20 PV 8.530,20 3) 3 i 3,00 4) 10 n 10,00 5) PMT -1.000,00

51

Uma prestao, em qualquer que seja o sistema de amortizao, a soma de duas parcelas. A primeira parcel corresponde amortizao (A) da dvida e a segunda parcela corresponde aos juros (J). Assim, para o clculo da amortizao contida na primeira prestao, temos a seguinte frmula: PMT1 = A1 + J1 Como j sabemos o valor da prestao (PMT1) e o valor dos juros correspondentes primeira prestao (J1), podemos isolar A1 na equao acima. A1 = PMT1 J1 = 1.000 255,91 = $744,09 Veja que PMT1 = A1 + J1 = 744,09 + 255,91 = 1.000,00 A partir da primeira prestao, podemos construir uma planilha que denominaremos de Plano de Pagamento do Emprstimo pela Sistema Francs/ Tabela Price.

As frmulas usadas para a construo da planilha acima so muito simples e dadas por: Juros num perodo qualquer t Jt = i Pt-1 Saldo devedor em t Dado pela frmula inversa da Tabela Price, onde isolamos o valor de P:

Pt = PMT(1+ i)n t 1(1+ i)n t i

52

Amortizao num perodo qualquer t A1 = PMT i P0, onde A1 a primeira amortizao e P0 o saldo devedor inicial. At = A1(1+i)t-1

Generalizando, temos que:

1o Perodo

J1 = i P0 (juros no primeiro priodo)P0 = saldo devedor no perodo 0A1 = PMT J1 = valor da primeira amortizao

2o Perodo

J2 = i P1 P1 = P0 A1A2 = PMT J2

n-simo perodo

Jt = i Pt -1

At = A1(1+ i)t -1

Pt = PMT(1+ i)n -t 1(1+ i)n t i

Exemplos (com base nos dados do exerccio anterior) 2. Calcular o valor do saldo devedor existente no final do 6o ms (logo aps o pagamento

desta prestao): Soluo: Usando-se a ltima frmula apresentada (n-simo perodo), temos que:

53

P6 = PMT(1+ i)106 1

(1+ i)106 0,03 =1.0001,034 1

1,034 0,03 = $3.717,10

3. Calcular o valor da parcela de juros correspondente 4a prestao.

Soluo: Para calcular os juros contidos na 4a prestao necessrio, em primeiro lugar, calcular o saldo devedor da 3a prestao. J4 = i P3 , onde P3 o saldo devedor no terceiro perodo/prestao

P3 = PMT(1+ i)103 1

(1+ i)103 0,03 =1.0001,037 1

1,037 0,03 = $6.230,28

Portanto, J4 = 0,03 6.230,28 = $186,91

4. Calcular o valor da parcela de amortizao correspondente 5a prestao. Soluo: Para calcular a parcela de amortizao contida na 5a prestao devemos primeiro determinar o valor da amortizao contida na 1a prestao (A1), conforme vimos anteriormente.

A5 = A1(1+i)5-1 A1 = PMT i P0 = 1000 0,03 8530,20 = 744,09 A5 = 744,09 1,034 = $837,48

54

Representao grfica do Sistema Francs

Neste sistema, enquanto a prestao uma constante, a parcela de juros decresce com o tempo e a parcela de amortizao aumenta com o tempo. Graficamente, pode-se apresentar este comportamento da seguinte maneira:

Representao da Prestao:

No grfico acima, verifica-se que o valor da prestao (PMT), no Sistema Francs, constante ao longo do eixo horizontal onde representado o nmero de prestaes (t). J o valor das amortizaes cresce exponencialmente, de acordo com a frmula At = A1(1+i)t-1, vista anteriormente. E os juros decrescem exponencialmente de forma a compensar o crescimento da amortizao e mantendo o valor da prestao constante.

Representao do Saldo devedor:

Observa-se no grfico acima a evoluo do saldo devedor. Ele inicia com o valor da dvida, decrescendo exponencialmente at zerar com o pagamento da ltima prestao (n).

Saldo Devedor

t

$

n

Amortizao

$

Juros Prestao

t n

55

Atividades de auto-avaliao 1 1. Uma pessoa conseguiu emprstimo de $100.000, a ser pago em 20 prestaes iguais e

semestrais a uma taxa efetiva de 50% ao ano. Determine: a) qual a taxa semestral (R: is = 22,47%) b) qual o valor das prestaes (R: PMT = 22.866,84)

c) qual a parcela da primeira prestao que juros e qual relativa amortizao (R: A = 396,84; J = 22.470,00)

2. Montar uma planilha financeira para um financiamento de $1.000, a 3% ao ms,

amortizvel em 4 prestaes mensais. Calcular tambm o saldo devedor imediatamente aps a 2a prestao, mas sem o uso da planilha.

Resposta: Clculo de prestao:

PMT =1.000 (1+ 0,03)4 0,03

(1+ 0,03)4 -1 $296,00

Planilha

Clculo do Saldo devedor aos a 2a prestao:

P2 = 269(1+ 0,03)42 -1

(1+ 0,03)42 0,03 $514,72

3. Mesmo exerccio, mas com 1 ms de carncia, tanto dos juros como da amortizao. Resposta: Neste caso com carncia, no 1o ms no pago nem juros, nem amortizao, mas ao saldo devedor acrescenta-se os juros do perodo. Assim, aps o perodo de carncia tudo se passa como se a nova dvida fosse de $1.030,00, com todas as outras variveis iguais. O valor das quatro prestaes para amortizar a nova dvida de $1.030,00 ser de $277,10, de acordo com a frmula da Tabela Price. A nova planilha ser:

56

t Saldo devedor (Pt) Amortizao (At) Juros (Jt) Prestao 0 1.000,00 0,00 0,00 0,00 1 1.030,00 0,00 0,00 0,00 2 783,80 246,20 30,90 277,10 3 530,21 253,59 23,51 277,10 4 269,02 261,19 15,91 277,10 5 ~0,00 269,03 8,07 277,10

5.3 Sistema de Amortizao Constante (SAC) Este sistema, extremamente simples, se popularizou com o Sistema Financeiro de Habitao (SFH), que o adotou nos financiamentos de compra da casa prpria. Seu nome deriva de sua principal caracterstica que a constncia do valor da amortizao, diferente do Sistema Francs, onde a amortizao cresce exponencialmente com o tempo. De maneira diferente do Sistema Francs onde se calcula primeiro o valor da prestao que igual para todos os perodos, no Sistema de Amortizao Constante se calcula primeiro o valor da amortizao, que constante. Este valor (da amortizao) obtido dividindo-se o valor total do emprstimo pelo nmero de prestaes do plano contratado. Enquanto que o valor da parcela de juros determinado multiplicando-se a taxa de juros pelo saldo devedor existente no perodo imediatamente anterior.

Representao da Prestao:

No grfico acima, verifica-se que o valor da amortizao constante e que os valores da parcela de juros decrescem linearmente, na mesma proporo que os valores das prestaes. Representao do saldo devedor:

n

Saldo Devedor

t

$

Juros

$

Prestao

Amortizao

t n

57

Observa-se no grfico acima a evoluo do saldo devedor. Ele inicia com o valor da dvida, decrescendo linearmente at zerar com o pagamento da ltima prestao (n). Exemplo: 4. Um emprstimo de $800.000 deve ser devolvido em 5 prestaes semestrais pelo SAC

taxa de 4% ao semestre. Obtenha a planilha. Soluo: A amortizao calculada como: A = 800.000,00/5 = $160.000,00 Planilha ( 1.000)

As frmulas usadas para calcular os valores encontrados na planilha do exerccio anterior so muito simples (lineares) e dadas por:

1) Valor da amortizao:

A = P0/n onde P0 o valor da dvida na data 0 e n o nmero de prestaes acertadas no contrato. 2) Valor do saldo devedor no perodo t: Pt = A(n t)

3) Valor da prestao no perodo t:

58

PMTt = A + Jt Mas, como Jt = iPt-1 e Pt-1 = A(n-(t-1))

Ento, substituindo estes valores na frmula da PMT, acima, vem:

PMTt = A + i Pt-1 = A + i A(n (t1))

ou seja, PMTt = A + i A(n t + 1)

Atividades de auto-avaliao 2

1. Elaborar um plano de pagamentos, com base no SAC, correspondente a um emprstimo de $100.000, taxa de 3% ao ms, a ser liquidado em 10 prestaes mensais.

Resposta: A planilha Excel com o Plano de Pagamentos dada abaixo.

2. Um apartamento vendido por $1.500.000, sendo $300.000 de entrada e o restante em

60 prestaes mensais, taxa de 2,5% ao ms, pelo SAC. Calcular:

a) o valor da 1a e da ltima prestao. (R: 50.000 e 20.500) b) o valor do decrscimo mensal das prestaes. (R: 500) c) o total de juros a serem pagos at a liquidao do dbito. (R: 915.000)

59

5.4 O Sistema de Amortizao Misto (SAM) O Sistema de Amortizao Misto (SAM) foi criado pelo antigo Banco Nacional de Habitao (BNH), em 1979, e se constitui num misto entre a Tabela Price e o SAC. O SAM um plano de pagamentos composto por prestaes cujos valores so resultantes da mdia aritmtica simples dos valores das prestaes calculadas pela Tabela Price e o SAC, correspondentes aos respectivos prazos. Os valores das parcelas de amortizao e juros resultam da mesma regra. Assim temos que: A prestao por este sistema ser dada por:

A amortizao pelo SAM ser:

Os juros pelo SAM sero:

Graficamente, o saldo devedor em funo do tempo ficaria:

$

SAM

Price

SAC Saldo

Devedor

t n

60

Atividades de auto-avaliao 3 1. Elabore um plano de pagamento com base no SAM, correspondente a um emprstimo de

$12.000, a uma taxa de 2% ao ms, a ser liquidado em 12 prestaes mensais.

5.5 Sistema Americano

Neste sistema paga-se apenas os juros ao longo do perodo de financiamento, sendo que o principal devolvido ao final do emprstimo.

Este sistema de pagamento muito usado em papis da dvida pblica, no Brasil e no exterior, e na captao de recursos de empresas S.A. via emisso de debntures.

O devedor, como por exemplo a empresa que emitiu debnture, pode constituir um Fundo de Liquidez ou Amortizao com a finalidade de liquidar o valor da amortizao nica ao final do perodo de financiamento. A planilha correspondente ao Sistema Americano ficaria como mostrado abaixo:

ms Saldo devedor Amortizao Juros Prestao 0 P 0 0 0 1 P 0 iP iP 2 P 0 iP iP 3 P 0 iP iP 4 0 P iP P + iP

Exemplo: 5. Por emprstimo de 800 mil dlares, um cliente se prope a devolver o principal daqui a

dois anos, pagando semestralmente somente os juros taxa de 4% ao semestre. Obtenha a planilha pelo Sistema Americano:

Soluo:

ms

Saldo devedor Amortizao Juros Prestao

0 800 0 - - 1 800 0 32 32 2 800 0 32 32 3 800 0 32 32 4 0 800 32 832

Total 800 128 928

61

5.6 Comparao entre os sistemas

Para uma determinada taxa de juros todos os sistemas so equivalentes. Ou seja, para uma dada taxa de juros o valor presente dos fluxos de desembolso de cada sistema ser igual ao valor financiado, P0. Por exemplo, o SAC e a Tabela Price so equivalentes, mesmo observando-se que as prestaes calculadas pelo SAC so maiores no incio do plano e menores ao final. Apesar da vantagem do SAC, onde o valor das prestaes vai diminuindo com o tempo, o valor das prestaes iniciais bastante alto. Algumas vezes no possvel contrair um emprstimo usando este sistema justamente por causa do alto valor inicial das prestaes. Nestes casos, acaba-se optando pelo sistema Price. No entanto, quando as prestaes so indexadas a um ndice de inflao e se houver expectativa de que ela vai aumentar, os pagamentos via Tabela Price tambm iro aumentando durante o prazo do financiamento, deixando o credor mais exposto a um aumento dos indexadores provocado por um aumento da inflao. A preferncia por um ou outro plano de amortizao deve ser analisada caso a caso. Por exemplo, algum que no futuro tem a expectativa de menores rendimentos, melhor escolher o SAC.

Lembre-se de que se analisarmos objetivamente e dentro de um ambiente de expectativa de inflao baixa, os diversos planos de amortizao existente so equivalentes.

62

5.7 Exerccios1 1. (Concurso Controlador de Arrecadao Fiscal) Um Banco financia a importncia de

$400.000,00 entregue no ato do financiamento, com um prazo de carncia de 2 anos. Sabendo-se que o banco utiliza o sistema francs, que a taxa de juros de 10% a.a., que a devoluo deve ser feita em 4 prestaes anuais e que durante o prazo de carncia os juros so capitalizados e incorporados ao capital, construir a planilha ou plano de amortizao. A partir da planilha resolva a questo abaixo. Se o devedor resolver liquidar a dvida imediatamente aps o pagamento de duas prestaes, qual o valor que deveria pagar? (desprezar os centavos na resposta)

2. Joo tomou emprestado $15.000 a uma taxa anual de juros de 14% a serem pagos em

quatro anos. O emprstimo amortizado em quatro pagamentos anuais iguais ao final do ano, pela tabela Price. a) Calcule o pagamento a ser realizado ao final de cada ano. b) Prepare um plano de amortizao indicando os juros e o parcelamento do capital

relativo a cada um dos quatro pagamentos. c) Se Joo desejasse saldar a dvida logo aps o pagamento da segunda prestao,

quanto deveria pagar? 3. Com base no exerccio anterior, elabore o plano de pagamentos se o sistema de

amortizao for o sistema americano. 4. O mesmo que exerccio n.1, mas suponha um prazo de carncia de dois anos, com os

juros sendo incorporados dvida inicial. Apresente a planilha. 5. Uma pessoa conseguiu emprstimo de $100.000, a ser pago em 20 prestaes iguais e

semestrais a uma taxa efetiva de 50% ao ano. Determine: a) Qual a taxa semestral equivalente. b) Qual o valor das prestaes. c) Qual a parcela da primeira prestao que juros e qual relativa amortizao

6. Um apartamento vendido por $1.500.000, sendo $300.000 de entrada e o restante em

60 prestaes mensais, taxa de 2,5% ao ms, pelo SAC. Calcular: a) O valor da primeira e da ltima prestao. b) O valor do decrscimo mensal das prestaes. c) O total de juros a serem pagos at a liquidao do dbito.

7. A Prefeitura de Sapucaia do Sol tem uma dvida com o governo federal de $15 mil. Ela

se comprometeu a pagar a dvida em 10 prestaes anuais da seguinte forma: os juros,

1 Respostas aos problemas do item 5.7: (1) $264.995,00; (2a) $5.148,07; (2c) $8.477,13; (5a) 22,5%; (5b) PMT=$22.895,39; (5c) $22.500 e $395,39; (6a) $50.000 e $20.500; (6b) $500; (6c) $915.000; (7b) $3.600; (8) na 11a. prestao.

63

de 6% ao ano, sero pagos anualmente e a amortizao ser paga em trs vezes. Sendo que a primeira parcela da amortizao, de 30% da dvida, ser paga ao final do terceiro ano, outros 30% da dvida devero ser pagos ao final do sexto ano e os 40% restantes devero ser pagos ao final do dcimo ano. Calcular: a) Apresente a planilha de amortizao da dvida de Sapucaia do Sol. b) Caso ela queira liquidar a dvida ao final do sexto ano, logo aps o pagamento da

amortizao e juros, o governo federal daria um desconto de 40% sobre o saldo devedor, determine essa quantia.

8. Considere uma dvida de $100.000 a ser resgatada em 25 prestaes com 4% de juros.

Depois de quantas prestaes o valor da prestao do sistema Price passa a ser superior ao do SAC?

64

Tabela Price (histria): http://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_price Os vrios sistemas de amortizao: http://www.moradabella.com.br/sistemas_de_amortizacao.htm

RESUMO

Neste captulo vimos os vrios sistemas existentes para a amortizao de dvidas

e financiamentos. Iniciamos com o Sistema Francs, mais conhecido como

Tabela Price, onde as prestaes so constantes e a amortizao crescente,

sempre na forma exponencial. Passamos em seguida pelo Sistema de

Amortizao Constante (SAC) que se popularizou via Sistema Financeiro de

Habitao para o financiamento da casa prpria. No SAC as prestaes so

decrescentes e a amortizao constante. Mais adiante descrevemos o Sistema

de Amortizao Misto (SAM), uma inveno brasileira criada e aplicada pelo

antigo Banco Nacional de Habitao em 1979. Apresentamos, ainda o Sistema

Americano, muito usado em ttulos pblicos e em debntures de empresas S. A.

Conclumos o captulo salientando que todos os Sistemas de Amortizao so

matematicamente equivalentes, sendo que o que os diferencia a maneira de se

determinar o valor das prestaes.

65

Captulo 6

MTODOS TRADICIONAIS DE ANLISE DE

INVESTIMENTOS

Os objetivos deste captulo so: aprender o que , para que serve e onde se aplica as tcnicas de

anlise de investimentos; entender o conceito de taxa de mnima atratividade; diferenciar o que so projetos mutuamente excludentes de projetos

independentes; entender o conceito de restrio de capital; aprender a trabalhar com as diversas tcnicas de investimento de

capital, desde as mais simples at s mais sofisticadas; entender as principais vantagens e desvantagens dos mtodos da

taxa interna de retorno e do valor presente lquido; saber aplicar o mtodo adequado a cada situao.

Aproveite bem!

66

6.1 Introduo Empresas pblicas e privadas, agncias do governo e investidores sempre esto se defrontando com numerosas oportunidades de investimento. A correta escolha de um projeto ou investimento, dentre uma gama de oportunidades possveis, pode determinar o sucesso ou o fracasso da entidade, seja ela pblica ou privada. NOTA LATERAL: O estudo da viabilidade econmica de investimentos denominado de engenharia econmica. A engenharia econmica pode ser definida como o conjunto de princpios e tcnicas necessrios tomada de decises sobre alternativas de investimentos. Em geral, aplicam-se estas tcnicas para a tomada de decises de longo prazo. Dentro de uma empresa seriam aquelas decises sobre os ativos permanentes e que se costuma denominar de oramento de capital. Abaixo apresentamos o esquema de um balao de uma empresa industrial.

Balano da Empresa XYZ em 2002

Ativo Passivo Circulante Circulante Realizvel a Longo Prazo Exigvel a Longo Prazo Permanente

-investimentos -imobilizado -diferido

Patrimnio Lquido -capital -lucros acumulados

As decises de longo prazo, sobre os ativos permanentes, so a razo de ser de uma empresa. claro que para os outros nveis de decises de uma empresa, como as decises sobre ativos de curto prazo e sobre a formas de financiamento dos ativos tambm so de suma importncia e as tcnicas aqui apresentadas tambm podero ser aplicadas. Na sequncia, listamos alguns dos problemas em que poderemos aplicar os mtodos tradicionais de anlise de investimentos ou engenharia econmica para escolher a alternativa mais adequada. Estes mtodos sero descritos neste captulo.

Efetuar o transporte de materiais manualmente ou comprar uma correia

transportadora;

67

Construir uma rede de abastecimento de gua com tubos de maior ou

menor dimetro;

Comprar um veculo vista ou a prazo;

Alugar ou comprar um equipamento;

Usar lmpadas incandescentes ou fluorescentes

para a iluminao da fbrica; etc.

Antes de se tomar a deciso sobre qual a melhor alternativa, preciso estar ciente de alguns princpios bsicos que fundamentam a engenharia econmica, tais como:

Deve haver alternativas de investimento disponveis;

As alternativas devem ser expressas num denominador comum: em

dinheiro;

S as diferenas entre as alternativas so relevantes;

Os fluxos de caixa finais para a anlise devem ser aqueles calculados

aps dos impostos;

Sempre so considerados os juros sobre o capital empregado, ou seja, o

valor do dinheiro no tempo;

Nos estudos econmicos, o passado geralmente no considerado (sunk

costs);

Decises separveis devem ser tomadas separadamente;

Dar um certo peso para os graus relativos de incerteza associada com as

vrias previses;

Levar em conta a alternativa de no fazer nada.

claro que ao se levar em conta na anlise apenas o que pode ser transformado em valores monetrios, deixa-se de lado aspectos imponderveis, tais como a poltica econmica geral, a estratgia da empresa, a satisfao dos empregados etc., que muitas vezes podem alterar bastante a escolha entre as vrias alternativas de investimento.

68

6.2 Taxa de mnima atratividade (TMA)

A taxa de mnima atratividade (TMA) a taxa a partir da qual o investidor considera que est obtendo ganhos financeiros. Para uma empresa, a TMA seria equivalente ao seu custo de capital, que a taxa de retorno mnima sobre seus investimentos de maneira que ela pudesse continuar com o mesmo nvel de atividades indefinidamente. Para uma pessoa comum, a TMA seria provavelmente a rentabilidade proporcionada pela caderneta de poupana. Pois, caso esta pessoa guardasse suas economias embaixo do colcho ela estaria perdendo a oportunidade de auferir o retorno da poupana. Portanto, a TMA tambm pode ser considerada um custo de oportunidade.

J para o dono de uma empresa, a TMA seria o custo de oportunidade de deixar de investir em sua empresa, ou seja, se guardar o dinheiro embaixo do colcho deixar de auferir os lucros que a empresa proporcionaria. Quando se fala a nvel de empresas a TMA denominada de custo de capital e que est associado ao risco inerente ao ramo de atividade de cada empresa. Empresas que atuam em setores tradicionais e consolidados da economia, em geral, so menos arriscadas, pois seus lucros futuros so mais previsveis. Empresas que atuam em setores de ponta, como empresas ponto com e de telecomunicaes, por exemplo, tm seus lucros futuros de difcil previso e portanto tm um risco maior que as empresas tradicionais. Conseqentemente, a TMA de empresas tradicionais deve ser menor do que a de empresas de ponta, pois o investimento nestas ltimas mais arriscado, com um retorno mais incerto.

Se a empresa conseguir investimentos que proporcionem retornos acima de seu custo de capital ela estar adicionando valor a ela. Se a empresa conseguir investimentos que proporcionem retornos iguais ao seu custo de capital ela estar no mesmo nvel de valor anterior. Se a empresa conseguir investimentos com retorno abaixo de seu custo de capital ela estar subtraindo valor dela. O pargrafo acima vem de encontro com um dos principais princpios das Finanas Modernas que fala do principal objetivo que os administradores de uma empresa devem perseguir: a maximizao do valor presente da riqueza dos acionistas (os donos da empresa). Para conseguir tal objetivo a melhor maneira de faz-lo, segundo as finanas modernas, investir em projetos que proporcionem o maior valor presente lquido. Esta tcnica de escolha ser vista mais adiante neste captulo.1

1 O leitor interessado em conhecer mais profundamente os conceitos subjacentes ao Valor Presente Liquido e os principais princpios das Finanas Modernas vai achar til a consulta ao livro do Brealey, Myers e Allen (2008), principalmente os captulos 4, 5 e 6: Brealey, R.; Myers, S.; Allen, F. Princpios de Finanas Corporativas. 8a. ed., McGraw-Hill: So Paulo, 2008.

69

6.3 Outros conceitos importantes Para a correta tomada de deciso em investimentos de capital a empresa deve levar em considerao alguns aspectos importantes quanto s caractersticas dos projetos que esto sendo analisados, quanto aos os recursos disponveis para investimento e sobre os fluxos de caixa associados aos projetos. Estes aspectos sero discutidos a seguir. Projetos independentes e mutuamente excludentes Um grupo de projetos com potencial de investimento pela empresa dito mutuamente excludentes quando a empresa pode aceitar apenas um deles. Projetos podem ser mutuamente excludentes por diversas razes. Um exemplo seria a escolha entre diferentes tipos de ar condicionados (tipo split, de janela, multi-split, etc.). A escolha para a iluminao de um galpo entre lmpadas incandescentes (mais baratas e de vida curta) e lmpadas fluorescentes (mais caras e de vida mais longa). Outro exemplo ainda seria uma empresa que se defronta entre escolher uma estratgia de alto volume de venda e baixa margem de lucro para seu produto e uma estratgia de baixo volume e alta margem. A empresa somente poder escolher uma destas estratgias. Levar em conta que se est trabalhando com projetos mutuamente excludentes importante quando estes projetos tm vidas teis diferentes, como no caso das lmpadas incandescentes e fluorescentes para iluminar um galpo, descrito acima. Este caso ser visto mais adiante. Por outro lado, dois ou mais projetos so ditos independentes quando a escolha de um deles no elimina a escolha dos outros. Com a restrio, claro, de que os projetos escolhidos proporcionem rentabilidade adequada para a empresa. Assim, uma empresa poderia escolher, simultaneamente, um ar condicionado do tipo split, instalar lmpadas incandescentes e optar pela estratgia de baixo volume e alta margem para o lanamento de seu produto. Fundos ilimitados versus racionamento de capital Uma empresa enfrenta uma situao de racionamento de capital quando ela se encontra sem recursos para investir em projetos, mesmo sendo estes rentveis do ponto de vista econmico-financeiro. E, alm disto, ela no possui capacidade de levantar recursos no mercado. Para exemplificar, suponha que existam cerca de dez projetos com grande rentabilidade para uma empresa, todos independentes, mas que ela dispe apenas de recursos para investimento em seis destes projetos. Esta uma situao de racionamento de capital. Importante salientar que o fato da empresa possuir muitos projetos para investir, mas estar com recursos limitados, no implica necessariamente que ela enfrenta uma situao de racionamento de capital! Por que? Porque ela ainda pode ter condies de levantar recursos via mercado de capitais (emitindo mais aes ou tomando emprstimos) e investir em todos

70

os projetos, desde que sejam viveis. Quem no emprestaria capital a uma empresa que tenha um projeto que transforma lixo em combustvel de maneira eficiente? Na teoria de investimentos, em geral, se supe que no existe a possibilidade de racionamento de capital para uma empresa desde que seus potenciais projetos sejam considerados rentveis do ponto de vista econmico-financeiro. Implcita nesta ltima afirmao est a hiptese de mercados eficientes, onde sempre seria possvel, para uma empresa, angariar recursos emitindo aes e/ou debntures a preos justos e com baixos custos de emisso no mercado de capitais. Fluxos de caixa convencionais e no convencionais Um projeto apresenta um fluxo de caixa considerado convencional quando a sequncia temporal de suas entradas e sadas de caixa apresenta apenas uma mudana de direo ou sinal. Por exemplo, um projeto pode apresentar uma sada inicial de caixa de $100.000 e uma sequncia de entradas futuras de caixa de $30.000 todos os anos ao longo dos cinco anos seguintes. Isto resultaria em um padro do fluxo de caixa de -, +, +, +, +, +, que apresenta somente uma mudana no sinal. Por outro lado, um projeto com um fluxo de caixa no convencional seria aquele que apresenta uma sequncia de entradas e sadas de caixa com mais de uma mudana do sinal. Por exemplo, a sequncia -, +, +, -, +, + apresenta um padro no convencional do fluxo de caixa. Este aspecto em relao ao tipo de fluxo de caixa importante quando se calcula a Taxa Interna de Retorno (TIR) de um projeto, pois se este apresentar um padro no convencional, em geral, no possvel estimar esta taxa corretamente. Nos exemplos de fluxos de caixa abaixo, o da esquerda um fluxo convencional e o da direita um fluxo no convencional.

Fluxo convencional Fluxo no convencional

6.4 Principais mtodos de avaliao de investimentos

Empresas utilizam diversos mtodos para a tomada de deciso na escolha dos melhores projetos de investimento. Alguns destes mtodos usam nmeros contbeis outros usam

5 P0

P3 P1 P2 P4

P5 0

5 P0

P3

P1 P2 P4 P5

0

71

fluxos de caixa. O objetivo do empreendedor alocar da maneira mais eficiente possvel os recursos disponveis pela empresa. NOTA LATERAL: Lembre-se do princpio das Finanas Modernas que diz que o objetivo que os administradores de uma empresa devem perseguir a maximizao do valor presente da riqueza dos acionistas! O mundo empresarial composto de inmeras empresas que tm tido sucesso e tm apresentado um crescimento consistente ao longo de muitos e muitos anos sem, na verdade, aplicarem nenhuma regra ou mtodo de anlise de investimentos. Seu sucesso em encontrar produtos inovadores ou nichos de mercado de grande potencial depende quase que exclusivamente na capacidade e feeling de seus fundadores! No entanto, medida que uma empresa cresce, cresce tambm a necessidade dela adotar algum mtodo de avaliao de investimentos que seja usado de maneira uniforme em todas as reas e subdivises da mesma. Diversos mtodos de avaliao de investimentos existem, dos mais simples aos mais sofisticados. Em geral, empresas maiores procuram usar mtodos mais sofisticados, aqueles que usam mais informaes e que permitem uma tomada de deciso com menos chances de erro. comum, na maioria das empresas, que mais de um mtodo de avaliao seja empregado. Pode-se dividir os principais mtodos de anlise de investimentos em duas categorias: os mtodos no exatos e os mtodos exatos, que so descritos a seguir.

Mtodos no exatos

Mtodos exatos

Valor presente lquidoTaxa interna de retornoTaxa interna de retorno modificadaValor anual uniforme equivalente

A seguir, apresentaremos os mtodos acima atravs de sua aplicao a um exemplo nico. O quadro abaixo sumariza os fluxos de caixa de quatro projetos de investimentos mutuamente excludentes, durante cinco anos. Voc dever fazer sua escolha de acordo com os mtodos a serem discutidos. Suponha que a TMA da empresa seja de 10%.

72

Fluxos de Caixa ($ mil) ano A B C D 0 -1.500 -1.500 -1.500 -1.500 1 150 0 150 300 2 1.350 0 300 450 3 150 450 450 750 4 -80 1.050 600 750 5 -50 1.950 1.875 900

6.4.1 Perodo de payback

O perodo de payback o mtodo mais simples de se analisar a viabilidade de um projeto ou investimento. Ele definido como o nmero de perodos (anos, meses, semanas etc.) para se recuperar o investimento inicial. Para se calcular o perodo de payback de um projeto basta somar os valores dos fluxos de caixa auferidos, perodo a perodo, at que essa soma se iguale ao valor do investimento inicial. O perodo correspondente ltima parcela da soma ser o perodo de payback procurado. Vantagens:

Simplicidade e rapidez;

uma medida de risco do investimento, pois quanto menor o perodo de

payback, mais lquido o investimento e, portanto menos arriscado.

Desvantagens:

No considera o valor do dinheiro no tempo;

No considera os fluxos de caixa aps o perodo de payback;

No leva em conta o custo de capital da empresa.

Use o mtodo do perodo de payback para avaliar os projetos acima:

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Para o projeto A, teramos o seguinte:

Ano FC VP acumulado 0 -1.500 -1.500 1 150 -1.350 2 1.350 0 3 150 4 -80 5 -50

O payback para o projeto A de 2 anos, pois o investimento inicial de - $1.500 levar apenas dois anos para retornar (+$150 retornam no primeiro ano e + $1.350 retornam no segundo ano). Os valores do payback para os quatro projetos so apresentados abaixo.

Projeto Payback A 2 anos melhor B 4 anos C 4 anos D 3 anos

Dado que os projetos so mutuamente excludentes, o projeto A o melhor, pois retorna o investimento mais rapidamente (em 2 anos). Caso os projetos fossem independentes, e no mutuamente excludentes, e a empresa tivesse estabelecido uma estratgia de investir em projetos que retornassem o investimento inicial em no mximo 3 anos, seriam aceitos os projetos A e D. Os projetos B e D seriam rejeitados. Se a estratgia fosse de 4 anos, todos os projetos seriam aceitos, de acordo com o payback.

6.4.2 Perodo de payback descontado Este mtodo semelhante ao anterior com o adicional de se usar uma taxa de desconto antes de se proceder soma dos fluxos de caixa. Vantagens:

uma medida de risco do investimento, pois quanto menor o perodo de

payback, mais lquido o investimento e, portanto menos arriscado.

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Desvantagens:

necessrio o conhecimento de vrios parmetros;

No considera os fluxos de caixa aps o perodo de payback;

Use o payback descontado para analisar os projetos. Use como taxa de desconto a TMA da empresa que de 10%. Projeto A:

Ano FC VP (a 10%) VP acumulado 0 -1.500 -1.500,00 -1.500,00 1 150 136,36 -1.363,64 2 1.350 1.115,70 -247,94 3 150 112,70 -135,24 4 -80 -54,64 -189,88 5 -50 -31,05 -220,93

Projeto B:

Ano FC VP (a 10%) VP acumulado 0 -1.500 -1.500,00 -1.500,00 1 0 0,00 -1.500,00 2 0 0,00 -1,500,00 3 450 338,09 -1.161,91 4 1.050 717,16 -444,75 5 1.950 1.210,80 +766,05

O payback descontado para este projeto est entre 4 e 5 anos (ou 4,37 anos), pois observa-se uma mudana de sinal na coluna do VP acumulado quando se passa do ano 4 para o 5. Para o leitor que gostaria de ver algum nmero mais preciso, por semelhana de tringulos, podemos fazer uma interpolao linear e encontrar o perodo de payback com maior aproximao para este projeto. Seno vejamos: na figura abaixo, construda com os dados do problema, podemos ver dois tringulos retngulos semelhantes. Nas linhas verticais temos os catetos de cada um deles. O primeiro com valor $444 e o outro com valor $766, valores estes retirados da coluna VP acumulado da tabela acima. Na linha horizontal temos o primeiro tringulo com o outro cateto de valor a e o segundo tringulo com cateto de valor b, de tal forma que sua soma seja a + b = 1 ano.

Voc nunca vai receber o dinheiro de volta!

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Assim, por semelhana de tringulos, temos que:

766444 =

ba

766 + 444444 =

a + ba

Como a + b igual ao perodo de 1 ano, vem:

Portanto, o valor procurado ser igual a 4 anos mais 0,37 anos, ou 4,37 anos. Na maioria das vezes, apenas saber que o perodo de payback se encontra entre o ano 4 e o ano 5, j mais que suficiente. Os resultados para os quatro projetos so apresentados abaixo.

Projeto Payback descontado A Infinito B entre os anos 4 e 5 C entre os anos 4 e 5 D entre os anos 3 e 4 melhor

Dado que os projetos so mutuamente excludentes, o projeto escolhido com a tcnica do payback descontado o projeto D. Caso os projetos fossem independentes e a empresa tivesse estabelecido uma estratgia de investir em projetos que retornassem o investimento inicial, em termos de fluxo de caixa descontado, em no mximo 4 anos, apenas o projeto D seria aceito.

444

766