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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – ESTATÍSTICA PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS

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IV - MEDIDAS DE DISPERSÃO (VARIABILIDADE)

Muitas vezes o cálculo da média para um conjunto de valores não é suficiente para caracterizar

uma distribuição ou conjunto de valores.

Ex.: Uma empresa opera em três turnos e no final de cada semana, a produção apresentada foi a

seguinte:

Dias

Turnos

Segunda Terça Quarta Quinta Sexta

I 150 150 150 150 150

II 70 130 150 180 220

III 15 67 117 251 300

Ex.: Suponha que se deseja comparar a performance de dois empregados com base na produção

diária de uma peça:

A = 70, 71, 69, 70, 70

B = 60, 80, 70, 62, 83

As medidas de dispersão proporcionam um conhecimento mais completo do fenômeno a ser ana-

lisado, permitindo estabelecer comparações entre fenômenos de mesma natureza e mostrando

até que ponto os valores se distribuem acima ou abaixo da tendência central.

1 - Variância

É a média dos quadrados dos desvios.

Dados não tabulados:

nXX i

2

2 )( para dados populacionais

1)(

22

n

XXS i

para dados amostrais

Dados tabulados:

nfiXX i

2

2 )( para dados populacionais

1)(

22

n

fiXXS i

para dados amostrais


2

1.1 - Propriedades da Variância

1ª - Somando ou subtraindo, um valor constante e arbitrário, a cada elemento de um conjunto de

números, a variância não se altera.

2ª - Multiplicando ou dividindo, por um valor constante e arbitrário, cada elemento de um conjun-

to de números, a variância fica multiplicada ou dividida pelo quadrado da constante.

2 - Desvio Padrão

É a raiz quadrada da variância.

2 para dados populacionais

2SS para dados amostrais

2.1 - Propriedades do Desvio Padrão

1ª - Somando ou subtraindo, um valor constante e arbitrário, a cada elemento de um conjunto de

números, o desvio padrão não se altera.

2ª - Multiplicando ou dividindo, por um valor constante e arbitrário, cada elemento de um conjun-

to de números, o desvio padrão fica multiplicada ou dividida pela constante.

3 - Coeficiente de Variação

É a comparação, em percentual, entre o desvio padrão e a média.

100.X

CV para dados populacionais

100.XSCV para dados amostrais

EXERCÍCIOS

1) Dois estudantes obtiveram os seguintes resultados em 5 provas, realizadas ao longo do ano letivo: A = 40 - 50 - 60 -70 - 80 B = 20 - 40 - 60 - 80 - 100 Analisar a performance dos 2 alunos.

2) Um teste foi aplicado a dois grupos de 50 alunos e apresentou os seguintes resultados:

Grupo Média das Notas Desvio Padrão das Notas A 6 2 B 6,2 1,5

Baseado no coeficiente de variação analise os resultados.


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3) Uma empresa fabricante de pneumáticos desenvolveu um novo produto com um cordel que proporciona maior resistência às flexões repetidas e maior resistência à tração do que o ori-ginal. Tendo submetido esse componente à prova, chegou-se à conclusão de que a resis-tência às flexões repetidas, testada em um aparelho de dobrar cordéis, foi em média de 139 minutos com desvio padrão de 15 minutos contra a média de 88 minutos e desvio pa-drão de 14 minutos do cordel comum. Analise esses resultados.

4) Considere a amostra de valores abaixo e calcule a variância e o desvio padrão.

a) 10, 20, 12, 17, 16 b) 27, 25, 20, 15, 30, 34, 28, 25

5) Realizou-se uma prova para duas turmas, cujos resultados foram os seguintes:

Turma A: AX = 5 e SA = 2,5

Turma B: BX = 4 e SB = 2 Esses resultados permitem afirmar que: a) a turma B apresenta maior dispersão absoluta; b) a dispersão absoluta é igual para ambas as turmas; c) a dispersão relativa é igual à dispersão absoluta; d) a dispersão relativa e a absoluta para a turma B são iguais; e) a dispersão relativa da turma A é igual à turma B.

6) A tabela abaixo representa a vida útil de postes telefônicos de madeira: ANOS No. DE POSTES SUBSTITUÍDOS

0,5 |— 2,5 11 2,5 |— 4,5 47 4,5 |— 6,5 87 6,5 |— 8,5 134 8,5 |— 10,5 200 10,5 |— 12,5 198 12,5 |— 14,5 164 14,5 |— 16,5 102 16,5 |— 18,5 48 18,5 |— 20,5 6 20,5 |— 22,5 3

Calcular: a) O desvio padrão. b) O coeficiente de variação.

7) O Los Angeles Times regularmente publica o índice da qualidade do ar para várias áreas da Califórnia do Sul. Uma amostra de valores do índice da qualidade do ar para Pomona forne-ceu os seguintes dados: 28, 42, 58, 48, 45, 55, 60, 49 e 50. a) Calcule a variância e o desvio padrão; b) Uma amostra de leituras do índice da qualidade do ar para Anaheim forneceu uma média de amostra de 48,5 , uma variância de 136 e um desvio padrão de 11,66. Que compara-ções você pode fazer entre a qualidade do ar em Pomona e em Anaheim com base nessas estatísticas?

8) Dada a distribuição de salários, determinar: a) A variância; b) O desvio padrão; c) O coeficiente de variação.

SALÁRIOS fi 20 |— 25 10 25 |— 30 15 30 |— 35 20 35 |— 40 18 40 |— 45 5


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9) A Davis Manufacturing Company acabou de completar cinco semanas de trabalho usando um novo processo que se supõe aumenta a produtividade. O número de peças produzidas em cada semana foram 410, 420, 390, 400 e 380. Calcule a variância e o desvio padrão da amostra.

10) A tabela abaixo representa a porcentagem de bactérias encontradas por cm em 100 amos-

tras de determinado produto. Calcular: a) A variância; b) O desvio padrão; c) O coeficiente de variação.

% fi 0 |— 0,1 2 0,1 |— 0,2 5 0,2 |— 0,3 10 0,3 |— 0,4 15 0,4 |— 0,5 18 0,5 |— 0,6 18 0,6 |— 0,7 15 0,7 |— 0,8 10 0,8 |— 0,9 5 0,9 |— 1,0 2

11) As contagens de ponto de um jogador de boliche em seis jogos foram 182, 168, 184, 190,

170 e 174. Usando esses dados como uma amostra, calcule as seguintes estatísticas: a) Variância; b) Desvio padrão; c) Coeficiente de variação.

12) Determinar o coeficiente de variação dos dados da tabela seguinte:

Xi fi

2 |— 4 2 4 |— 6 8 6 |— 8 10 8 |— 10 8 10 |— 12 2

13) A distribuição de freqüências seguinte representa o número de peças defeituosas produzidas

por uma máquina em 31 dias de observação. Calcular o desvio padrão do número de peças defeituosas.

No. de Peças Defeituosas 0 1 2 3 4 No. de Dias 3 5 15 5 3

14) A distribuição de freqüências dos pesos de cem operários de uma fábrica é a seguinte:

Pesos No. de Operários

50 |— 58 10 58 |— 66 15 66 |— 74 25 74 |— 82 24 82 |— 90 16 90 |— 98 10

Calcular o desvio padrão dos pesos dos cem operários.


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15) A distribuição da renda semanal proveniente do aluguel de duzentas casas pertencentes a uma empresa imobiliária encontra-se na tabela abaixo:

Renda Mensal No. de Casas

75 |— 125 12 125 |— 175 26 175 |— 225 45 225 |— 275 60 275 |— 325 37 325 |— 375 13 375 |— 425 7

Calcular o desvio padrão da renda mensal. 16) Seja a seguinte tabela de freqüências:

Xi Fi 100 |— 200 2 200 |— 300 22 300 |— 400 52 400 |— 500 22 500 |— 600 2

Calcular o coeficiente de variação da distribuição.

17) Uma empresa tem duas filiais praticamente idênticas quanto às suas características funcio-

nais. Um levantamento sobre os salários dos empregados dessas filiais resultou nos seguin-

tes valores:

Filial A: AX = 400 e SA = 20

Filial B: BX = 500 e SB = 25

Podemos afirmar, com base nesses resultados, que:

a) em termos relativos, os salários das duas filiais não diferem quanto ao grau de dispersão;

b) as dispersões dos salários, tanto a absoluta como a relativa, são iguais;

c) a dispersão absoluta é igual à dispersão relativa em ambos os casos;

d) a filial A apresentou menor dispersão relativa e absoluta;

18) Os preços para a população dos 15 modelos básicos de máquinas de café são apresentados

a seguir (Consumer Report 1995 Buying Guide).

MODELO PREÇO ($) MODELO PREÇO ($) MODELO PREÇO

Mr. Coffe PR12A 27 Mr. Coffe PR16 25 Braun B 60

Krups 50 Mr. Coffe BL110 22 Proctor 42401 35

Proctor 42301 20 Braun 35 Krups B 40

B&D 901 22 Bunn 40 Melitta 30

B&D 900 20 West Bend 35 Betty Crocker 19

Calcule a variância e o desvio padrão para essa população.


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19) Um estudo sobre o número de horas extras (incluindo noites e finais de semana) no último

ano, em uma grande empresa, forneceu as medidas dadas na tabela. Discuta esses valores.

IDADE

SEXO < 30 anos 30 a 45 anos ≥ 45 anos

Homem: Média 400 350 280

Mediana 350 275 300

Desvio padrão 80 100 140

Mulher: Média 180 200 150

Mediana 200 220 140

Desvio padrão 80 90 70

GABARITO

1) XA = 60 ² A = 200 A = 14,14 XB = 60 ² B = 800 B = 28,28 Como as médias dos dois estudantes são iguais, a avaliação será feita pelo desvio padrão, pois as medidas são de mesmas características. A < B , logo, podemos considerar que a performance do estudante A foi mais homogênea, ou seja, mais regular que o estudante B.

2) CVA = 33% CVB = 24% As notas do Grupo B são mais homogêneas que de A. Individualmente, a média de A é representativa dos resultados do teste e a de B não.

3) Cordel Média Desvio Padrão

Novo 139 15 Original 88 14

CVnovo = 11% CVoriginal = 16%

Como as médias são muito distantes, usaremos o coeficiente de variação para a comparação. O cordel novo é mais regular que o original. 4) a) S² = 16 S = 4,00 b) S² = 34,57 S = 5,88


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5) Turma Média das Notas Desvio Padrão das Notas

A 5 2,5

B 4 2

CVA = 50% CVB = 50%

Resposta: e) a dispersão relativa da turma A é igual à turma B.

6) a) S = 3,76 b) CV = 35% 7) a) S² = 92,75 e S = 9,63 b) Como as médias dos dois índices são próximas (média de Pomona 48,33 e média de Anaheim 48,5), a avaliação será feita pelo desvio padrão, pois as medidas são de mesmas características. S Pomona < S Anaheim , logo, podemos considerar que a qualidade do ar em Pomona é mais homogênea, ou seja, mais regular que em Anaheim . 8) a) ² = 34 b) = 5,82 c) CV = 18% A média é uma boa medida de representação da distribuição. 9) S² = 250 S = 15,81

10) a) S² = 0,04 b) S = 0,20 c) CV = 40% A média não é uma boa medida de representação da distribuição. 11) a) S² = 75,2 b) S = 8,67 c) CV = 5% A média é uma boa medida de representação da distribuição. 12) CV = 30% A média é uma boa medida de representação da distribuição. 13) S = 1,06 14) = 11,51 15) S = 70,44 16) CV = 22% 17) Turma Média Desvio Padrão

A 400 20

B 500 25

CVA = 5% CVB = 5% (a) Em termos relativos, os salários das duas filiais não diferem quanto ao grau de dispersão.


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18) ² A = 0,3 A = 0,55 ² B = 2,5 B = 1,58 19) CVHomens = 20% 29% 50% CVMulheres = 44% 45% 47% O número de horas extras entre as mulheres é mais disperso que o dos homens. Tanto homens com mulheres na faixa etária abaixo de 30 anos são mais homogêneos em relação às horas ex-tras. Para os homens, a média é uma boa medida de representação nas faixas abaixo de 30 anos e entre 30 a 45 anos. Na faixa acima de 45 anos a melhor representação é a mediana. Para as mulheres, para todas as faixas de idade, a melhor medida é representada pela mediana.

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