[apostila] robótica industrial - feupe

7/31/2019 [Apostila] Robtica Industrial - FEUPE

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Mest rado em Automao, Inst rumentao e Controlo

Robtica Industrial

Textos

Modelao Cinemtica e Dinmica de

Manipuladores de Estrutura em Srie

Elaborados por:

Antnio Mendes Lopes

2001/ 2002


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MODELAO

CINEMTICA E DINMICA

DE MANIPULADORES

DE ESTRUTURA EM SRIE

Antnio Mendes Lopes, FEUP DEMEGI, 2002

1 INTRODUO

Nas ltimas dcadas tem-se assistido a um crescente interesse pelas reas da

automao industrial e da robtica, motivado, nomeadamente, por preocupaes

relacionadas com o aumento da produtividade, reduo de horrios e segurana no

trabalho. Esse interesse tem levado diversas entidades pblicas e privadas, tais como

universidades, agncias governamentais e empresas, a efectuar investigao,

desenvolvimento e aplicaes nessas reas.

O incio da era da automao industrial remonta ao sculo XVIII, numa altura

em que as mquinas dedicadas comeavam a fazer parte do processo produtivo das

indstrias. O desenvolvimento das tcnicas de produo veio criar novas

necessidades s possveis de satisfazer com mquinas programveis e flexveis,

dando origem aos primeiros robs industriais (Klafteret al., 1989).

Foi no final dos anos sessenta, com base na experincia ento existente no

campo dos telemanipuladores e das mquinas ferramentas de comando numrico, que

George Devol construiu o primeiro rob industrial. A partir dessa data a robtica tem

vindo a afirmar-se como uma cincia autnoma, de carcter multidisciplinar,

penetrando em reas tradicionalmente ligadas s engenharias mecnica,


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3

electrotcnica, de computadores e outras, revelando importncia crescente em reas

to distintas como a explorao espacial, a explorao subaqutica, a medicina ou a

indstria. alis na indstria que tem sido investido o maior esforo, sendo a

indstria automvel um bom exemplo disso; robs de pintura e de soldadura fazem

hoje parte integrante da sua fora laboral.

Genericamente, um rob manipulador, independentemente da sua potencial

aplicao, mecanicamente concebido para posicionar e orientar no espao o seu

rgo terminal: uma garra ou uma ferramenta. A sua estrutura pode variar mas,

normalmente, possvel identificar os seguintes elementos funcionais principais

(Klafteret al., 1989) (Figura 1.1):

manipulador: conjunto de corpos ligados por juntas, formando cadeias

cinemticas que definem uma estrutura mecnica. No manipulador

incluem-se os actuadores, que agem sobre a estrutura mecnica,

modificando a sua configurao, e a transmisso, que liga os actuadores

estrutura mecnica. Os termos manipuladore rob so muitas vezes

usados com a mesma finalidade, embora, formalmente, tal no esteja

correcto;

sensores: dispositivos usados para recolher e proporcionar ao

controlador informao sobre o estado do manipulador e do ambiente.

Os sensores internos fornecem informao sobre o estado do

manipulador (por exemplo, posio, velocidade ou acelerao). Os

sensores externos fornecem informao sobre o ambiente (por exemplo,

sensores de fora/momento ou cmaras de vdeo para deteco deobstculos);

controlador: dispositivo, tipicamente baseado em microcomputador, que

controla o movimento do manipulador. Usa os modelos do manipulador

e do ambiente e a informao fornecida pelo operador e pelos sensores,

efectua as operaes algbricas de clculo necessrias e envia os sinais

de controlo aos actuadores. Poder ainda efectuar tarefas como o registo

de dados em memria e a gesto das comunicaes com o operador ou


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4

com outros dispositivos que cooperem com o rob na execuo da

tarefa;

unidade de potncia: dispositivo que tem por objectivo proporcionar

energia aos actuadores. Num sistema actuado electricamente trata-se de

um conjunto de amplificadores de potncia.

Manipulador

Sensoresinte

rnos

Transmisso

Actuadores

Ambiente

Sensoresexternos

Interaco

Unidadedepotncia

Controlador

Estrutura mecnica Modelo do manipulador

Modelo do ambiente

Algoritmo de controlo

Gerador de trajectrias

Comando

Potncia

Comando

Descrio da tarefa

Linguagem deprogramao

Informao sobre o estado do manipulador

Informao sobre o ambiente

Protocolos de comunicao

Figura 1.1 Representao esquemtica da estrutura geral de um rob manipulador

integrado no seu ambiente.

Em particular, um rob industrial possui uma estrutura mais simples (Figura

1.3); a interaco com o ambiente praticamente inexistente e a programao do

rob baseia-se numa descrio imutvel quer da tarefa quer do ambiente. O

manipulador normalmente constitudo por um conjunto de corpos rgidos ligados

em srie por intermdio de juntas rotativas ou prismticas, formando uma cadeia

cinemtica aberta. Uma das extremidades do manipulador encontra-se rigidamente

ligada a uma base, enquanto que a extremidade oposta suporta o rgo terminal,


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5

podendo mover-se livremente no espao. Tipicamente, o manipulador possui 6 graus

de liberdade (gdl) e composto pelo brao e pelo punho. O brao tem, em geral, 3

gdl, efectuando o posicionamento do punho. Este, normalmente, composto por 3

juntas rotativas, que utiliza para orientar o rgo terminal (3 gdl).

Note-se que cada junta, rotativa ou prismtica, confere ao manipulador um

grau de movimento (gdm). Em teoria, o manipulador poder ter uma infinidade de

gdm. O rgo terminal pode possuir um mximo de 6 gdl: 3 gdl em posicionamento e

3 gdl em orientao no espao 3D. O nmero de gdl do rgo terminal sempre

inferior ou igual ao nmero de gdm do manipulador. Se os vrios gdm estiverem

adequadamente distribudos ao longo da estrutura mecnica, o nmero de gdl dorgo terminal ser igual ao nmero de gdm do manipulador (at ao limite de 6).

Quando o nmero de gdm superior ao nmero de gdl diz-se que o manipulador

redundante.

Muitas vezes utiliza-se a expresso grau de liberdade quando deveria utilizar-

se grau de movimento. Trata-se de um abuso de linguagem que deve ser evitado a

menos que no haja risco de confuso (Figura 1.2).

2 gdm / 2 gdl 2 gdm / 1 gdl 3 gdm 3 gdl 3 gdm 2 gdl

Figura 1.2 Graus de liberdade vs graus de movimento.


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6

Manipulador

Sensoresinternos

Transmisso

Actuadores

Unidadedepotncia

Controlador

Estrutura mecnica Modelo do manipulador

Algoritmo de controlo

Gerador de trajectrias

Comando

Potncia

Comando

Descrio da tarefa

Linguagem de

programao

Informao sobre o estado do manipulador

Protocolos de comunicao

Figura 1.3 Representao esquemtica da estrutura geral de um rob industrial.

O subsistema controlador de um rob industrial utiliza, em geral, apenas

algoritmos de controlo de posio. Trata-se, normalmente, de controladores

descentralizados, de ganhos fixos, em que cada junta possui o seu prprio servo-

sistema de controlo. Geralmente, tais controladores apresentam um desempenho

satisfatrio graas s transmisses mecnicas empregues, com factores de reduo da

ordem dos 100:1. A utilizao de tais redues leva a que as variaes inerciais

(causadas por alteraes da configurao da estrutura ou da carga manipulada),

quando referidas aos motores, surjam divididas pelo quadrado do factor de reduo.

O efeito dessa variao , assim, desprezvel. Acoplamentos dinmicos e variaes

inerciais so tratados como perturbaes (Figura 1.4) (Mendes Lopes, 2000).


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7

Gerador de

trajectrias no

espao das

juntas(cinemtica)

Controlador

junta 1

Controlador

junta 2

Controlador

junta n

Manipulador

Sensores

junta n

Sensores

junta 2

Sensores

junta 1

.

.

Posio/Velocidade

junta 1

Posio/Velocidade

junta 2

Posio/Velocidade

junta n

Trajectria

desejada no

espao

cartesiano

.

.

.

.

Figura 1.4 Diagrama representativo do subsistema de controlo de posio de um

rob industrial.

2 MODELAO CINEMTICA

No que respeita estrutura mecnica, um manipulador robtico um sistema

formado por um conjunto de corpos ligados por intermdio de juntas activas epassivas. As juntas activas so os pontos de entrada de energia controlada no sistema.

Estas permitem o comando da estrutura, fazendo-a seguir uma trajectria no espao

operacional (cartesiano), com uma dada velocidade e acelerao, e, em certos casos,

interagir com o meio ambiente, exercendo as foras de contacto desejadas.

As transformaes de coordenadas entre o espao das juntas e o espao

operacional revestem-se de importncia fundamental no controlo de manipuladores.De facto, na maioria dos casos os robs so controlados no espao das juntas,


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8

enquanto que o planeamento e a definio das trajectrias so, normalmente,

efectuados no espao operacional. Assim, mtodos eficientes de transformao entre

os dois espaos assumem um papel relevante onde, nos ltimos anos, tem sido levada

a cabo muita investigao (Paul, 1982; Vukobratovic e Kircanski, 1986; Fu et al.,

1987).

Neste contexto, essencial o conhecimento dos modelos cinemticos de

posio e diferencial. O primeiro traduzido matematicamente por um conjunto de

equaes algbricas no lineares, permitindo determinar as relaes existentes entre a

posio das juntas activas e a posio generalizada do rgo terminal. O segundo

traduzido matematicamente por um sistema de equaes lineares que permiterelacionar as respectivas velocidades. Alm disso, atravs de consideraes que

envolvem os conceitos de trabalho e de energia, permite tambm determinar o

modelo esttico do manipulador (relao entre as foras aplicadas nas juntas e as

foras aplicadas no rgo terminal). Em qualquer dos casos o problema envolve

sempre a determinao de um jacobiano.

Relacionados com a cinemtica podem distinguir-se dois problemas: acinemtica directa e a cinemtica inversa.

A cinemtica directa envolve a determinao da posio (ou velocidade)

generalizada do rgo terminal a partir da posio (ou velocidade) das juntas activas.

Para manipuladores de estrutura em srie , na maioria dos casos, um problema

simples, com soluo nica.

A cinemtica inversa envolve a determinao da posio (ou velocidade) das

juntas activas a partir da posio (ou velocidade) generalizada do rgo terminal.

Normalmente, para os manipuladores de estrutura em srie um problema difcil,

para o qual nem sempre possvel encontrar soluo analiticamente. Alm disso,

normalmente, a soluo no nica.


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9

2.1 CINEMTICA DE POSIO DIRECTA

Nesta seco (e respectivas sub-seces) apresenta-se o formalismo de

Denavit-Hartenberg e, com base nele, um algoritmo sistemtico para a obteno do

modelo cinemtico de posio de um manipulador de estrutura em srie. Como

exemplo efectua-se a modelao cinemtica do rob industrial TI ER 60001.

2.1.1 MATRIZ DE ROTAO

Figura 2.1 Representao de um referencial fixo, OXYZ, e de um referencial mvel,

OUVW.

Considere-se a Figura 2.1. Os referenciais cartesianos OXYZe OUVWtm a

mesma origem no ponto O. O referencial OXYZ encontra-se fixo, enquanto que oreferencial OUVWpode rodar relativamente a OXYZ. Fisicamente pode considerar-se

OUVWcomo estando solidrio com um corpo rgido, por exemplo, com um elo de

um rob manipulador.

1Trata-se de um robot industrial 6R, com accionamento por motores de corrente contnua, desenvolvido pelaTexas Instruments, Inc. em 1980.


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10

Sejam (ix,jy, kz) e (iu,jv, kw) os vectores unitrios segundo, respectivamente,

os eixos de OXYZe OUVW. Um ponto p no espao pode ser representado pelas suas

coordenadas, expressas quer em OXYZquer em OUVW. Por simplicidade, assuma-se

que p est fixo em relao a OUVW. Assim, p pode ser representado por

[ ]Twvuuvw ppp=p (Eq. 2.1a)

em OUVW, e

[ ]Tzyxxyz ppp=p (Eq. 2.1b)

em OXYZ.

Pretende-se determinar a transformao matricial uvwxyz

RR= que converte as

coordenadas de p expressas em relao a OUVW, puvw, nas coordenadas de p

expressas em relao a OXYZ, pxyz, depois do corpo solidrio com o referencial

OUVWter sofrido uma rotao. Isto ,

pxyz = Rpuvw (Eq. 2.2)

Recordando a definio de componentes de um vector, tem-se

puvw =puiu +pvjv +pwkw (Eq. 2.3)

ondepu,pv,pw representam, respectivamente, as componentes (ou as projeces) de p

segundo os eixos OU, OVe OW. Ento, usando a definio de produto escalar e aequao (Eq. 2.3), tem-se (propriedade distributiva do produto escalar)

px = ixp = ixiu pu + ixjv pv + ixkw pw

py =jyp =jyiu pu +jyjv pv +jykw pw (Eq. 2.4)

pz = kzp = kziu pu + kzjv pv + kzkw pw

ou, na forma matricial,


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11

=

w

v

u

wzvzuz

wyvyuy

wxvxux

z

y

x

p

p

p

p

p

p

kkjkik

kjjjij

kijiii

(Eq. 2.5)

Usando esta notao, a matriz Rna equao (Eq. 2.2) dada por

=

wzvzuz

wyvyuy

wxvxux

kkjkik

kjjjij

kijiii

R (Eq. 2.6)

Note-se que as colunas da matriz Rrepresentam as coordenadas dos eixos principais

do referencial OUVWem relao ao referencial OXYZ, isto , representam os cosenosdirectores dos eixos do referencial OUVWem relao ao referencial OXYZ. A matriz

R representa, assim, a orientao do referencial OUVW em relao ao referencial

OXYZ.

De modo semelhante podem ser obtidas as coordenadas de puvw a partir das

coordenadas de pxyz atravs da equao matricial

puvw = Q pxyz (Eq. 2.7)

ou

=

z

y

x

zwywxw

zvyvxv

zuyuxu

w

v

u

p

p

p

p

p

p

kkjkik

kjjjij

kijiii

(Eq. 2.8)

Dado que o produto escalar comutativo, pode mostrar-se a partir das

equaes (Eq. 2.6) a (Eq. 2.8) que

Q = R1 = RT (Eq. 2.9)

e

QR= RTR= R1R= I3 (Eq. 2.10)


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12

onde I3 representa a matriz identidade de dimenso 33. As matrizes R e Q so

ortogonais.

Sendo os vectores (ix, jy, kz) e (iu,jv, kw) unitrios, as transformaesrepresentadas pelas equaes (Eq. 2.2) e (Eq. 2.7) so chamadas transformaes

ortonormais.

A partir daqui podem ser determinadas as transformaes que representam as

rotaes do referencial OUVW em relao aos eixos do referencial OXYZ. Se o

referencial OUVWsofrer uma rotao de um ngulo segundo o eixo OX, ento o

ponto puvw de coordenadas [ ]Twvu ppp em relao a OUVW, ter diferentes

coordenadas [ ]Tzyx ppp em relao a OXYZ. A transformao Rx, chama-se

matriz de rotao segundo OXde um ngulo e poder ser deduzida a partir dos

conceitos desenvolvidos anteriormente. Assim, vem

pxyz = Rx,puvw (Eq. 2.11)

com ixiu e

=

=

cossen0

sencos0

001

,

wzvzuz

wyvyuy

wxvxux

x

kkjkik

kjjjij

kijiii

R (Eq. 2.12)

De modo semelhante podem ser obtidas as matrizes de rotao segundo OY

de um ngulo e de rotao segundo OZde um ngulo (Figura 2.2):


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13

Figura 2.2a Rotao do corpo rgido da Figura 2.1 de um ngulo segundo o eixo

OX.

Figura 2.2b Rotao do corpo rgido da Figura 2.1 de um ngulo segundo o eixo

OY.


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14

Figura 2.2c Rotao do corpo rgido da Figura 2.1 de um ngulo segundo o eixo

OZ.

=

cos0sen

010

sen0cos

,yR

=

100

0cossen

0sencos

,

zR (Eq. 2.13)

As matrizes Rx,, Ry, e Rz, so chamadas matrizes de rotao bsicas ou

elementares. Como se ver, rotaes mais complexas podem ser tratadas custadestas transformaes elementares.

2.1.2 COMPOSIO DE MATRIZES DE ROTAO

Viu-se na seco anterior como representar matematicamente a rotao de um

referencial OUVWsegundo cada um dos eixos de um referencial fixo OXYZ.

Se, em vez de uma rotao simples em torno de um dos eixos de OXYZ, oreferencial OUVW, inicialmente alinhado com OXYZ, sofrer uma sequncia finita de

rotaes em torno desses mesmos eixos, ento essa sequncia pode ser representada

atravs do produto de vrias matrizes de rotao bsicas.

Por exemplo, a matriz que representa a rotao de OUVWde um ngulo

segundo o eixo OX, seguida da rotao de um ngulo segundo OZe, por ltimo, da

rotao de um ngulo segundo OY


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15

+

+

=

==

SSSCCSCCSSCS

SCCCS

CSSSCCSCSSCC

CS

SCCS

SC

CS

SC

xzy

0

0

001

100

0

0

0

010

0

,,, RRRR

(Eq. 2.14)

onde C cos , S sen , C cos , S sen , C cos e S sen .

Uma vez que o produto de matrizes em geral no comutativo importante a

ordem pela qual so efectuadas as rotaes. Assim, a matriz de rotao anterior diferente da matriz correspondente rotao de um ngulo segundo OY, seguida da

rotao de um ngulo segundo OZe seguida da rotao de um ngulo segundo

OX. Para esta sequncia a matriz de rotao vem

+

+

=

==

CCSSSCSSCCSS

CSSSCCCSSCSC

SCSCCCS

SC

CS

SC

CS

SCyzx

0

010

0

100

0

0

0

0

001

,,, RRRR

(Eq. 2.15)

Poder ainda haver interesse em representar rotaes de OUVWem torno dos

seus prprios eixos, OU, OVe OW. Assim, em geral, a matriz de rotao resultante

de uma sequncia finita de rotaes elementares pode ser obtida atravs das seguintes

regras (Fu et al., 1987):

inicialmente ambos os referenciais esto coincidentes, pelo que a matriz

de rotao a matriz identidade I3;

se OUVWrodar de um determinado ngulo em torno de um dos eixos de

OXYZ, deve-se pr-multiplicara matriz de rotao, calculada at esse

momento, pela matriz de rotao bsica apropriada: (Eq. 2.12) e (Eq.

2.13);


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se OUVW rodar de um determinado ngulo em torno de um dos seus

prprios eixos, deve-se ps-multiplicara matriz de rotao, calculada

at esse momento, pela matriz de rotao bsica apropriada: (Eq. 2.12) e

(Eq. 2.13).

2.1.3 MATRIZ DE ROTAO SEGUNDO UM VECTOR ARBITRRIO

Em vez de uma sequncia de rotaes segundo os eixos principais de OXYZ

e/ou OUVW, o referencial OUVWpode tambm rodar de um ngulo em torno de

um vector arbitrrio r de componentes rx, ry e rz e passando pela origem O. Para

determinar a matriz de rotao Rr,, em primeiro lugar, faz-se uma sequncia derotaes segundo os eixos principais de OXYZ, de modo a alinhar o vectorr com o

eixo OZ. De seguida faz-se a rotao do ngulo em torno de r e por ltimo faz-se

uma sequncia de rotaes segundo os eixos de OXYZ, para colocar o vectorr na sua

situao inicial.

Observe-se a Figura 2.3. O alinhamento de OZcom r pode ser feito atravs da

rotao de um ngulo em torno de OX(r fica no planoXZ), seguida da rotao de

um ngulo em torno de OY(r fica alinhado com OZ).

Figura 2.3 Rotao em torno de um vector arbitrrior.


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17

Depois da rotao do ngulo em torno de OZ(e de r) inverte-se a ordem das

rotaes efectuadas, com ngulos simtricos dos anteriores. A matriz de rotao Rr,

resultante vem

=

=

CS

SC

CS

SC

CS

SC

CS

SC

CS

SC

xyzyxr

0

0

001

0

010

0

100

0

0

0

010

0

0

0

001

,,,,,, RRRRRR

(Eq. 2.16)

Tendo em conta a Figura 2.3 tem-se

22sen

zy

y

rr

r

+=

22cos

zy

z

rr

r

+= (Eq. 2.17a)

sen= rx22cos zy rr += (Eq. 2.17b)

Substituindo na equao (Eq. 2.16) vem

++

++

++

=

CVrSrVrrSrVrr

SrVrrCVrSrVrr

SrVrrSrVrrCVr

zxzyyzx

xzyyzyx

yzxzyxx

r

2

2

2

,R (Eq. 2.18)

onde V= vers = 1cos .

2.1.4 REPRESENTAO DA MATRIZ DE ROTAO (ORIENTAO)

USANDO NGULOS DE EULER

Como a dimenso de uma matriz de rotao 33, esta representao no

utiliza um conjunto mnimo de parmetros (3) para descrever a orientao de um

corpo rgido em relao a um referencial fixo. Por esse motivo so muitas vezes

usadas outras representaes, como o caso dos ngulos de Euler (3 ngulos).


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18

Figura 2.4 Representao da orientao em termos de ngulos de Euler.

Existem 12 conjuntos distintos de ngulos de Euler (que dependem da

sequncia de rotaes escolhida) (Sciavicco e Siciliano, 1996). Uma das

possibilidades corresponde seguinte sequncia (Figura 2.4) (Vukobratovic e

Kircanski, 1986):

rotao de um ngulo segundo o eixo OZ(Rz,);

rotao de um ngulo segundo o eixo rodado OV, isto , OV (Rv,);

rotao de um ngulo segundo o eixo rodado OU, isto , OU(Ru,).

Dado o vector de ngulos de Euler, [ ]T= , a matriz resultante


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19

+

+

=

=

==

CCSSS

SCCSSCCSSSCS

SSCSCCSSSCCC

CS

SC

CS

SC

CS

SC

asn

asn

asn

zzz

yyy

xxx

uvz

0

0

001

0

010

0

100

0

0

,,,,, RRRR

(Eq. 2.19)

Esta matriz pode tambm ser definida em termos de uma sequncia de

rotaes em torno dos eixos principais do referencial fixo OXYZ: uma rotao de umngulo em torno de OX, seguida da rotao de um ngulo em torno de OYe de

uma rotao de um ngulo em torno de OZ.

A partir da matriz de rotao podem ser determinados os ngulos de Euler

(problema inverso). Assim, da equao (Eq. 2.19) vem

nx = cos cos (Eq. 2.20)

ny = sen cos (Eq. 2.21)

nz = sen (Eq. 2.22)

sx = cos sen sen sen cos (Eq. 2.23)

sy = sen sen sen + cos cos (Eq. 2.24)

sz = cos sen (Eq. 2.25)

ax = cos sen cos + sen sen (Eq. 2.26)

ay = sen sen cos cos sen (Eq. 2.27)

az = cos cos (Eq. 2.28)


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20

O ngulo pode ser obtido multiplicando ambos os membros da equao

(Eq. 2.20) por sen , multiplicando ambos os membros da equao (Eq. 2.21) por

cos e subtraindo as duas equaes, resultando

nx sen ny cos= 0 (Eq. 2.29)

e

kn

n

x

y += arctan (Eq. 2.30)

O ngulo pode ser calculado multiplicando a equao (Eq. 2.20) por cos ,multiplicando a equao (Eq. 2.21) por sen e somando as duas, isto

nx cos + ny sen = cos (Eq. 2.31)

Combinando a equao (Eq. 2.31) com a equao (Eq. 2.22) vem

knn

n

yx

z 2sencosarctan ++

= (Eq. 2.32)

Quanto ao ngulo , este pode ser obtido multiplicando a equao (Eq. 2.26)

por sen , multiplicando a equao (Eq. 2.27) por cos e subtraindo as equaes:

ax sen ay cos = sen (Eq. 2.33)

Por outro lado, multiplicando a equao (Eq. 2.23) por sen , multiplicandoa equao (Eq. 2.24) por cos e somando as duas equaes resulta

sx sen + sy cos = cos (Eq. 2.34)

Combinando as equaes anteriores vem

kss

aa

yx

yx

2cossen

cossenarctan ++

= (Eq. 2.35)


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21

onde k um nmero inteiro.

2.1.5 PROPRIEDADES DAS MATRIZES DE ROTAO

Em resumo so apresentadas de seguida algumas propriedades das matrizes

de rotao:

as colunas da matriz de rotao representam os eixos do referencial

mvel (vectores unitrios) expressos no referencial fixo; as linhas da

matriz de rotao representam os eixos do referencial fixo (vectores

unitrios) expressos no referencial mvel;

dado que cada linha (ou cada coluna) da matriz de rotao um vector

unitrio, o seu mdulo igual a um; o determinante de uma matriz de

rotao igual a 1;

o produto interno de quaisquer duas linhas, bem como o produto interno

de quaisquer duas colunas igual a zero;

a inversa de uma matriz de rotao igual sua transposta.

2.1.6 TRANSFORMAES HOMOGNEAS

O conceito de transformao homognea til no desenvolvimento de

transformaes que incluam informao sobre rotao, translao, factor de escala e

efeito de perspectiva.

Se a um dado vector [ ]Tzyx ppp=p , no espao 3D, acrescentada uma

quarta componente, de modo a p ser transformado em [ ]Tzyx wwpwpwp=p ,

diz-se que p vem expresso em coordenadas homogneas. Nesta seco ser usado o

smbolo ^ para representar um vector atravs de coordenadas homogneas.

Posteriormente, caso no exista perigo de confuso, este smbolo ser omitido.


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22

Em geral, a representao de um vector N- dimensional por um vector

(N+1) - dimensional, diz-se de representao homognea. Inversamente, o vector

N- dimensional obtm-se da sua representao em coordenadas homogneas

dividindo as coordenadas do vector (N+1) - dimensional pela componente de ordem

(N+1). Assim, no espao 3D, um vector [ ]Tzyx ppp=p representado pelo

vector aumentado [ ]Tzyx wwpwpwp=p verificando-se as relaes

w

wpp

w

wpp

w

wpp zz

y

yx

x === (Eq. 2.36)

No existe uma representao nica para um vector em coordenadashomogneas.

Assim, [ ]Tzyx wpwpwpw 11111 =p ou [ ]T

zyx wpwpwpw 22222 =p

podem ser consideradas representaes vlidas para o vector [ ]Tzyx ppp=p .

Pode ver-se deste modo que a quarta componente, w, funciona como um factor de

escala. Se o factor de escala w = 1, ento as componentes fsicas do vector so iguais

s componentes em coordenadas homogneas. Na cinemtica de robs o factor de

escala considerado sempre unitrio.

Uma matriz homognea 44 pode ser considerada como consistindo em

quatro submatrizes

=

=

escala

factor

aperspectiv

deefeitooposivectororotamatriz

131

1333

f

pRT (Eq. 2.37)

A submatriz R33 representa a matriz de rotao (i. e., a orientao do

referencial mvel em relao ao referencial fixo), a submatriz p31 representa o

vector posio da origem do referencial mvel em relao ao referencial fixo, a

submatriz f13 representa o efeito de perspectiva e o quarto elemento da diagonalprincipal representa o factor de escala.


23/101

23

A matriz de rotao 33 pode ser aumentada para 44, transformando-se

assim numa matriz homognea, Trot, representando apenas a operao de rotao.

Deste modo, as matrizes de rotao (Eq. 2.12) e (Eq. 2.13) expressas em termos de

matrizes homogneas ficam

=

1000

0cossen0

0sencos0

0001

,

xT (Eq. 2.38a)

=

1000

0cos0sen 0010

0sen0cos

,

yT (Eq. 2.22b)

=

1000

0100

00cossen

00sencos

,

zT (Eq. 2.22c)

Estas matrizes de rotao 44, so chamadas de matrizes de rotao

homogneas bsicas ou elementares.

Por outro lado, os trs primeiros elementos da quarta coluna da matriz de

transformao homognea representam a translao do referencial OUVWem relao

ao referencial OXYZ. Assim, OUVWtem eixos paralelos ao referencial OXYZ, mas a

sua origem encontra-se deslocada de (dx, dy, dz) deste referencial

=

1000

100

010

001

dz

dy

dx

tranT (Eq. 2.39)

Esta matriz chamada de matriz homognea de translao bsica ou elementar.


24/101

24

Em resumo, uma transformao homognea, converte um vector expresso em

coordenadas homogneas em relao a um referencial OUVW, num vector expresso

em coordenadas homogneas em relao a um referencial OXYZ(Figura 2.5). Isto ,

com w = 1,

uvwxyz pTp = (Eq. 2.40)

e

=

= 10001000

pasn

T zzzz

yyyy

xxxx

pasn

pasn

pasn

(Eq. 2.41)

kw

P

ix

xyzp

jy

kz

jv

iuuvwuvw

xyz pR 1O

p

O

O1

Figura 2.5 Operaes representadas por uma transformao homognea.

2.1.7 PROPRIEDADES DAS TRANSFORMAES HOMOGNEAS

Dada uma matriz homognea T, os vectores coluna da submatriz de rotao,

representam os eixos de OUVWem relao a OXYZ. A quarta coluna da matriz de

transformao homognea representa a posio da origem do referencial OUVWem

relao ao referencial OXYZ. Por outras palavras, uma matriz homognea representa


25/101

25

a situao ou posio generalizada (posio e orientao) de um referencial mvel

em relao a um referencial fixo.

Enquanto que a inversa de uma matriz de rotao igual sua transposta, omesmo no se passa com uma matriz homognea. A posio da origem do referencial

OXYZ em relao ao referencial OUVW s pode ser determinada depois de ser

determinada a inversa da matriz homognea. Em geral, a inversa de uma matriz

homognea dada por

=

=

10001000

331

papsR

pn

paps

pn

T T

TT

T

T

zyx

T

zyx

T

zyx

aaasss

nnn

(Eq. 2.42)

Da equao (Eq. 2.42) v-se que as colunas da inversa da matriz homognea

representam os eixos principais do referencial OXYZ, em relao ao referencial

OUVW, e que a quarta coluna representa a origem do referencial OXYZem relao ao

referencial OUVW.

2.1.8 COMPOSIO DE TRANSFORMAES HOMOGNEAS

Para representar uma sequncia finita de transformaes, as transformaes

homogneas bsicas podem ser multiplicadas sucessivamente, de modo a obter a

matriz de transformao global. Como a multiplicao de matrizes em geral no

comutativa, h que ter em conta a ordem pela qual se fazem as transformaes

bsicas. As regras que se seguem so teis para encontrar a matriz de transformao

global.

inicialmente ambos os referenciais esto coincidentes, logo a matriz

homognea ser a matriz identidade (de dimenso 44) I4;

se o referencial OUVWsofrer uma rotao/translao segundo um dos

eixos principais de OXYZ, ento deve-se pr-multiplicar a matriz


26/101


27/101

27

As juntas e os elos so numerados a partir da base. Assim, a junta 1

assegurar a ligao entre a base de suporte e o elo 1. Em geral, dois elos esto

ligados atravs de uma nica junta. Considerem-se seis tipos de juntas diferentes:

rotativa, prismtica, cilndrica, esfrica, parafuso e planar, representadas na Figura

2.7. Destas, apenas as rotativas e as prismticas so comuns em robs manipuladores.

Uma representao esquemtica destes dois tipos de juntas pode ser vista na Figura

2.8.

Figura 2.7 Vrios tipos de juntas.

Figura 2.8 Representao esquemtica de juntas rotativas e de juntas prismticas.


28/101

28

2.1.10 REPRESENTAO DE DENAVIT-HARTENBERG (D-H)

Figura 2.9 Parmetros de D-H.

Para descrever as relaes de translao e de rotao entre cada dois elos

adjacentes, Denavit e Hartenberg propuseram um mtodo sistemtico para atribuio

de um referencial a cada elo da cadeia cinemtica.

O mtodo de D-H conduz a uma representao baseada em transformaes

homogneas, que exprimem cada referencial (associado a cada elo) em relao ao

referencial anterior. Assim, atravs de uma sequncia de transformaes, a posio

generalizada do rgo terminal do rob manipulador (ou melhor, o respectivo

referencial) pode ser expresso em relao ao sistema de eixos da base, o qual pode

constituir o referencial inercial do sistema.

Algoritmo 2.1 (D-H) (Figura 2.9)

D1. Estabelecimento do referencial da base. Fixar um referencial

ortonormado (x0, y0, z0) na base de suporte, com o eixo z0 coincidindo

com o eixo da junta 1. Os eixos x0 e y0 podem ser convenientemente


29/101

29

estabelecidos (de acordo com regra da mo direita) e so

perpendiculares a z0.

D2.Incio. Para cada i, i = 1,...,n1, executar os passos D3 a D6.

D3.Estabelecimento dos eixos das juntas. Fazer coincidirzi com o eixo

da junta i+1.

D4. Estabelecimento da origem do referencial i. Colocar a origem do

referencial i na interseco dos eixos zi e zi1 ou na interseco da

perpendicular comum aos eixos zi e zi1 e o eixo zi.

D5. Estabelecimento do eixo xi. Estabelecer )(

)(

1

1

ii

ii

i zz

zz

x

=

ou

segundo a perpendicular comum entre zi1 e zi, quando estes so

paralelos (de zi1 para zi).

D6. Estabelecimento do eixo yi. Fazer)(

)(

ii

iii

xz

xzy

+= de modo a

completar o referencial de acordo com a regra da mo direita.

D7. Estabelecimento do referencial do rgo terminal. Estabelecer xn

de modo a seja perpendicular a zn1. Se a ltima junta for rotativa,

alinharzn com zn1. Colocar yn de modo a completar o referencial de

acordo com a regra da mo direita.

D8.Determinao dos parmetros. Para cada i, i = 1,...,n1, executar os

passos D9 a D12.

D9.Determinar di. O parmetro di a distncia da origem do referencial

i1 at interseco de zi1 com xi segundo zi1. varivel se a junta i

prismtica.

D10.Determinar ai. O parmetro ai a distncia desde a interseco de

zi1 com xi, origem do referencial i, segundo xi.

D11. Determinari. O parmetro i o ngulo entre xi1 e xi, segundo

zi1 varivel se i rotativa.


30/101

30

D12. Determinari. O parmetro i o ngulo entre zi1 e zi, segundo

xi.

Dadas estas regras, a escolha da origem do referencial 0, a colocar na base de

suporte, livre, desde que o eixo z0 coincida com o eixo da primeira junta. O ltimo

referencial pode tambm ser colocado em qualquer ponto do rgo terminal, desde

que o eixo xn seja perpendicular ao eixo zn1 (se o rgo terminal consistir numa

pina, o ltimo referencial normalmente colocado no seu centro).

Uma vez aplicado o Algoritmo 2.1 haver que determinar uma transformao

homognea que relacione o referencial i com o referencial i1. Considerando aFigura 2.9, pode ver-se que o referencial i sofreu as seguintes transformaes

relativamente ao referencial i1:

rotao em torno de zi1 de um ngulo i, para alinhar o eixo xi1 com o

eixo xi (o eixo xi1 paralelo a xi, apontando no mesmo sentido);

translao segundo zi1, da distncia di, de modo a colocar coincidentes

os eixos xi1 e xi;

translao segundo xi, da distncia ai, para colocar coincidentes as

origens e os eixos x;

rotao segundo xi de um ngulo i, para tornar os dois referenciais

coincidentes.

Cada uma das quatro transformaes referidas acima pode ser descrita poruma matriz homognea bsica e o seu produto d origem a uma matriz homognea

i

iA1

, conhecida por matriz de D-H para os referenciais i e i1. Assim, vem


31/101

31

=

=

=

1000

cossen0

sencossencoscossen

cossensensencoscos

1000

0cossen0

0sencos0

0001

1000

0100

0010

001

1000

0100

00cossen

00sencos

1000

100

0010

0001

,,,,1

iii

iiiiiii

iiiiiii

ii

ii

i

ii

ii

i

xaxzdzi

i

d

a

a

a

d

TTTTA

(Eq. 2.43)

Usando a equao (Eq. 2.42), a inversa desta matriz

[ ]

==

1000

coscoscossensensen

sensencoscossencos

0sencos

1

11

iiiiiii

iiiiiii

iii

i

i

i

i

d

d

a

AA (Eq. 2.44)

onde, para uma junta rotativa, i, ai e di so constantes, enquanto que i varivel.

Para uma junta prismtica, a varivel di, enquanto que i, ai e i so constantes.

Usando a matriz ii

A1 pode relacionar-se um ponto pi, fixo a um elo i, e

expresso em coordenadas homogneas em relao a um referencial i, com um

referencial i1 estabelecido num elo i1. Isto

ii

i

i pAp

1

1

= (Eq. 2.45)

onde pi1 = [xi1yi1zi1]Te pi = [xiyizi]

T.


32/101

32

2.1.11 EQUAES DA CINEMTICA

A matriz homognea iT0 , que especifica a localizao do referencial i em

relao ao referencial da base, pode ser encontrada fazendo o produto das sucessivas

transformaes ii

A1 :

=

=

=== =

101000

21,

00

1

112

11

00

iiiiii

i

j

j

j

i

i

i ,...,n,para i

pRpzyx

AAAAT K

(Eq. 2.46)

onde

[xi, yi, zi] = matriz de orientao do referencial i, estabelecido no elo i,

em relao base. uma matriz com dimenso 33;

pi = vector de posio que aponta da origem do referencial da base, para

a origem do referencial i. um vector com dimenso 31.

Para o caso em que i = 6, vem 60AT= , a qual especifica a posio e a

orientao do rgo terminal do rob em relao base. Esta matriz, de grande

importncia para a cinemtica, chamada a matriz do rob manipulador e pode ser

considerada como tendo a seguinte estrutura:

=

=

=

=

1000

1000101000

60

60

6666

zzzz

yyyy

xxxx

pasn

pasn

pasn

pasnpRpzyxT

(Eq. 2.47)

onde (Figura 2.10),

n = normal. Vector perpendicular ao rgo terminal. Assumindo umrgo terminal como na Figura 2.10, n perpendicular aos dedos;


33/101

33

s = deslizamento. Aponta na direco do movimento dos dedos

quando o pina abre e fecha;

a =Aproximao. Aponta na direco perpendicular palma da mo;

p = Vectorposio da mo. Aponta da origem do referencial da base

para a origem do referencial do rgo terminal, a qual est normalmente

localizada no seu centro.

Figura 2.10 Punho esfrico: referencial do rgo terminal e os vectores [n,s,a].

Se o referencial da base do rob manipulador estiver relacionado com um

referencial exterior (referencial inercial) pela transformao B e tiver uma ferramenta

relacionada com o ltimo referencial pela transformao H, ento o ponto terminal

da ferramenta pode ainda ser relacionado com o sistema de coordenadas de referncia

atravs da transformao:

HTBT 60=ferr

ref (Eq. 2.48)

Notar que ferrAH6 e 0AB

ref .

A soluo das equaes da cinemtica directa de um rob manipulador com 6

gdl resume-se ao clculo da matriz 60AT= , que conseguido multiplicando as seis


34/101

34

matrizes ii

A1 , i = 1,...,6. De notar que a matriz T nica, para um dado sistema de

referenciais estabelecidos com base no algoritmo de D-H e para um dado vector de

coordenadas no espao das juntas, q = [q1 q2 q3 q4 q5 q6]T, onde qi = i para uma

junta rotativa e qi = di para uma junta prismtica.

Uma vez obtidas as matrizes ii

A1 , como muitas necessrio calcular a

matriz T em tempo-real, h que encontrar um mtodo computacionalmente eficiente

para o efeito (Vukobratovic e Kircanski, 1986).

2.1.12 CINEMTICA DIRECTA DE ALGUNS MANIPULADORES

2.1.12.1 MANIPULADOR DE STANFORD

Trata-se de um manipulador com 6 gdl constitudo por um brao esfrico e

por um punho tambm esfrico.

Figura 2.11 Estabelecimento de referenciais para o rob manipulador Stanford.


35/101

35

Os parmetros de D-H so apresentados na Tabela 2.1.

Tabela 2.1 Parmetros de D-H para o manipulador de Stanford.

Junta i () i () ai di

1 90 90 0 d1

2 90 90 0 d2

3 90 0 0 d3

4 0 90 0 0

5 0 90 0 0

6 0 0 0 d6

As transformaes homogneas so:

=

1000

010

0000

1

11

11

10

d

CS

SC

A

=

1000

010

0000

2

22

22

21

d

CS

SC

A (Eq. 2.49)

=

1000

100

0001

0010

33

2

dA

=

1000

0010

00

00

44

44

43 CS

SC

A (Eq. 2.50)

=

1000

0010

00

00

55

55

54 CS

SC

A

=

1000

100

00

00

6

66

66

65

d

CS

SC

A (Eq. 2.51)


36/101

36

2.1.12.2 MANIPULADOR PUMA

Trata-se de um manipulador com 6 gdl constitudo por um brao

antropomrfico e por um punho esfrico.

Figura 2.12 Estabelecimento de referenciais para o rob manipulador Puma.

Os parmetros de D-H so apresentados na Tabela 2.2.

Tabela 2.2 Parmetros de D-H para o manipulador Puma.

Junta i () i () ai di

1 90 90 0 0

2 0 0 a2 d2

3 90 90 a3 0

4 0 90 0 d4

5 0 90 0 0

6 0 0 0 d6



37/101

37

=

1000

0010

00

00

11

11

10 CS

SC

A

=

1000

100

0

0

2

2222

2222

21

d

SaCS

CaSC

A (Eq. 2.52)

=

1000

0010

0

0

3333

3333

32 SaCS

CaSC

A

=

1000

010

00

00

4

44

44

43

d

CS

SC

A (Eq. 2.53)

=

1000 0010

00

00

55

55

54 CS

SC

A

=

1000 100

00

00

6

66

66

65

d

CS

SC

A (Eq. 2.54)

2.1.12.3 MANIPULADOR TI ER 6000

Trata-se de um manipulador com 6 gdl, constitudo por um brao

antropomrfico e por um punho esfrico (semelhante ao PUMA).

Figura 2.13 Estabelecimento de referenciais para o rob manipulador TI ER 6000.

O parmetros de D-H so apresentados na Tabela 2.3.


38/101

38

Tabela 2.3 Parmetros de D-H para o manipulador TI ER 6000.

Junta i () i () ai (mm) di (mm) Intervalo de variao ()

1 90 90 0 0 [165, 165]

2 0 0 304.8 102.9208 [252.5, 72.5]

3 90 90 0 0 [35, 215]

4 0 90 0 304.8 [162.5, 162.5]

5 0 90 0 0 [105, 105]

6 0 0 0 108.712 [171, 171]


=

10000010

00

00

11

11

10 CS

SC

A

=

1000100

0

0

2

2222

2222

21

d

SaCS

CaSC

A (Eq. 2.55)

=

1000

0010

00

00

33

33

32 CS

SC

A

=

1000

010

00

00

4

44

44

43

d

CS

SC

A (Eq. 2.56)

=

1000

0010

00

00

55

55

54 CS

SC

A

=

1000

100

00

00

6

66

66

65

d

CS

SC

A (Eq. 2.57)

Ento, a matriz T do rob manipulador TI ER 6000 vem


39/101

39

==

1000

65

54

43

32

21

10

zzzz

yyyy

xxxx

pasn

pasn

pasn

AAAAAAT (Eq. 2.58)

onde

[ ] )()( 646541652364654231 SCCCSSCSSSSCCCCCnx += (Eq. 2.59)

[ ] )()( 646541652364654231 SCCCSCCSSSSCCCCSny ++= (Eq. 2.60)

65236465423 )( CSCSSCCCSnz = (Eq. 2.61)

[ ] )()( 646541652364654231 CCSCSSSSSCSSCCCCsx +++= (Eq. 2.62)

[ ] )()( 646541652364654231 CCSCSCSSSCSSCCCSsy ++++= (Eq. 2.63)

65236465423 )( SSCCSSCCSsz ++= (Eq. 2.64)

54152354231 )( SSSCSSCCCax += (Eq. 2.65)

54152354231 )( SSCCSSCCSay ++= (Eq. 2.66)

5235423 CCSCSaz += (Eq. 2.67)

[ ] )()( 2546122423523542361 dSSdSCadSCSSCCdCpx ++++= (Eq. 2.68)

[ ] )()( 2546122423523542361 dSSdCCadSCSSCCdSpy +++++= (Eq. 2.69)

2242354235236 )( SadCSCSCCdpz += (Eq. 2.70)

2.2 CINEMTICA DIFERENCIAL DIRECTA

Outro problema importante diz respeito s relaes existentes entre as

velocidades (linear e angular) do rgo terminal e as velocidades das juntas. O

conhecimento destas relaes essencial para a implementao de certos algoritmos


40/101

40

de controlo, bem como para alguns algoritmos de clculo da cinemtica de posio

inversa.

Nesta seco (e respectivas sub-seces) so estudadas as relaesdiferenciais, ou seja, as relaes entre as velocidades linear e angular do rgo

terminal e as velocidades das juntas.

2.2.1 JACOBIANO CINEMTICO

Para um manipulador com n gdl a cinemtica de posio directa pode ser

representada pela funo

=

1

00

0

pRT nn (Eq. 2.71)

Pretende-se agora determinar a relao entre as velocidades linear e angular

do rgo terminal,0

0n

v e0

0n

, em relao ao referencial da base e expressas no

referencial da base, e as velocidades das juntas, q&

qJ

J

v&

=

O

P

n

n

0

00

0

(Eq. 2.72)

em que JP e JO so matrizes de dimenso 3n, representando as contribuies das

velocidades das juntas para, respectivamente, a velocidade linear do rgo terminal e

a velocidade angular do rgo terminal.

De forma mais compacta pode escrever-se

( )qqJ

v&=

0

00

0

n

n(Eq. 2.73)

com


41/101

41

=

O

P

J

JJ (Eq. 2.74)

uma matriz de dimenso 6n.

Pelo mtodo do trabalho virtual, Asada e Slotine (1986) mostram que as

foras nas juntas, , podem ser relacionadas com a fora generalizada (fora e

momento) aplicada no rgo terminal do rob e expressa no referencial da base,0n

f ,

atravs da equao

0nT fJ = (Eq. 2.75)

2.2.1.1 DERIVADA DE UM VECTOR DEFINIDO EM RELAO A UM

REFERENCIAL QUE PODE RODAR

Considere-se um referencial fixo, A, e um referencial mvel, B, com

movimento de translao e de rotao em relao aA. SejaAP

Ap o vector posio do

ponto P em relao a A, expresso em A;BP

Bp o vector posio do ponto P em

relao a B, expresso em B; eAB

Ap o vector posio do ponto B em relao a A,

expresso emA (Figura 2.14).

P

AP

ApA

AB

A

p BPB

pB

Figura 2.14 Posio de um ponto P em relao a um referencial fixo, A, e a um

referencial mvel, B.

Da Figura 2.14 facilmente se conclui que


42/101

42

BAA P

B

B

A

B

A

P

A pRpp += (Eq. 2.76)

AAA P

B

B

A

P

A ppp += (Eq. 2.77)

A velocidade de P em relao ao referencialA, expressa emA, ser

AAA P

B

B

A

P

A ppp &&& += (Eq. 2.78)

SendoAP

B p um vector definido no referencial B, sabido, da mecnica

clssica, que a sua derivada temporal

AAAA P

B

B

A

rotP

B

P

Bppp += && (Eq. 2.79)

onderot

P

B

Ap& representa a derivada do vector

AP

Bp no referencial que est a rodar,

ao passo queAP

Bp& a sua derivada no referencial fixo (sempre que no haja risco de

confuso o smbolo ( )rot

poder ser omitido). Assim,

AAAAA P

B

B

A

rotP

B

B

A

P

Apppp ++= &&& (Eq. 2.80)

( )BABAA P

B

B

A

B

A

rotP

B

B

A

B

A

P

ApRpRpp ++= &&& (Eq. 2.81)

Em geral, a derivada temporal de um vector em relao a um referencial fixo

igual derivada do vector em relao ao referencial que est a rodar mais o produto

vectorial da velocidade angular do referencial que est a rodar pelo prprio vector:

( ) ( ) ( )+= rotdt

d

dt

d(Eq. 2.82)

Note-se que, da equao (Eq. 2.76), tambm se pode escrever

BBAA P

B

B

A

rot

P

B

B

A

B

A

P

ApRpRpp &&&& ++= (Eq. 2.83)


43/101

43

ou seja,

( )BA

BBBBB

P

B

B

A

B

A

P

B

B

A

B

A

B

A

P

B

B

A

B

A

P

B

B

A

pR

pRRpRpR

=

==&(Eq. 2.84)

2.2.1.2 VELOCIDADES LINEAR E ANGULAR DE UM ELO DA ESTRUTURA

Sejam01

0ip e 0

0i

p os vectores posio das origens dos referenciais,

respectivamente, i-1 e i, expressos no referencial 0 (Figura 2.15).

010

ip

0

0i

p

1

1

ii

i p

Figura 2.15 Relao entre os referenciais i-1 e i.

Seja ainda1

1

ii

i p o vector posio do referencial i, em relao ao referencial

i-1, expresso no referencial i-1. O vector0

0

i

p pode ser representado por

100

11

01

00

+= ii

i

iiipRpp (Eq. 2.85)

ou seja

1000

10100

1

1

0

1

01

1

0

11

01

011

01

00

++=

++=

i

ii

i

i

iii

i

i

i

i

iii

i

iii

pRvp

pRpRpp

&

&&&

(Eq. 2.86)


44/101

44

que representa a velocidade linear do elo i em funo das velocidades linear e angular

do elo i-1. Notar que0

1i

i v representa a velocidade da origem do referencial i em

relao ao referencial i-1, expressa no referencial da base.

Quanto velocidade angular tem-se

00

100

11

0

11

01

00

i

i

i

i

i

iii i

+=

+=

R(Eq. 2.87)

O que representa a velocidade angular do referencial i, em funo das velocidades

angulares dos referenciais i-1 e i em relao ao referencial i-1.

As expresses (Eq. 2.86) e (Eq. 2.87) assumem distintas formas, consoante se

trate de juntas prismticas ou rotativas.

Para uma junta prismtica, dado que a orientao do referencial i em relao

ao referencial i-1 se mantm constante, tem-se

11

1

0

00

=

=

iii

i

i

i

dzv &

(Eq. 2.88)

onde zi-1 o vector unitrio segundo o eixo da junta i.

As velocidades linear e angular so

0000

00

1011

00

100

i

i

iiiii

ii

d pzvv

++=

=

&(Eq. 2.89)

Para uma junta rotativa, devido rotao do referencial i em relao ao

referencial i-1 causada pelo movimento da junta i, tem-se


45/101

45

000

0

111

11

i

i

i

i

i

i

iii

i

pv

z

=

=

&(Eq. 2.90)

As velocidades linear e angular so

0000

00

101

00

1100

i

i

iii

iiii

pvv

z

+=

+=

&(Eq. 2.91)

2.2.1.3 DETERMINAO DO JACOBIANO

Considere-se que o jacobiano representado por

=

On

Pn

O

P

J

J

J

JJ L

1

1(Eq. 2.92)

em que JPi e JOi so vectores de dimenso 31.

A expressoPii

q J& representar a contribuio da junta i para a velocidade

linear do rgo terminal, enquanto que Oiiq J& representar a contribuio da mesma

junta para a velocidade angular.

Se se tratar de uma junta prismtica (qi = di) tem-se

0J

0J

=

=

Oi

Oiiq&(Eq. 2.93)

1

1

=

=

iPi

iiPii dq

zJ

zJ &&(Eq. 2.94)

Se se tratar de uma junta rotativa (qi = i) tem-se

1

1

=

=

iOi

iiOiiq

zJ

zJ &&

(Eq. 2.95)


46/101

46

0

0

00

11

11

11

n

i

iPi

n

i

ii

n

i

i

i

Piiq

pzJ

pz

pJ

=

=

=

&

&

(Eq. 2.96)

Para um manipulador com 6 gdl tem-se

[ ] )()()()()()( 6216

06

0

0

0 tt qqJqJqJqqJ

v&K& ==

(Eq. 2.97)

onde J(q) uma matriz de dimenso 66 cuja coluna de ordem iJi(q) dada pela

equao seguinte

=

ticaprismjuntaase0

rotativajuntaase

)(

1

1

61

1 0

i

i

i

i

i

i

i

z

z

pz

qJ (Eq. 2.98)

[ ])()()( 61 tqtqt &K&& =q um vector que representa a velocidade das juntas, 061pi

o vector posio que corresponde quarta coluna das matrizes 61T

i expresso no

referencial da base e zi1 o vector unitrio definido segundo o eixo da junta i e

expresso no referencial da base.

Para um rob do tipo 6R o jacobiano vem

=

510

65

561

160

0 000)(zzz

pzpzpzJ

L

L(Eq. 2.99)

Em alguns casos pode ser prefervel exprimir a velocidade generalizada do

rgo terminal no referencial ligado ao prprio rgo terminal. Deste modo, o

jacobiano cinemtico, Jn , dado por


47/101

47

JR0

0RJ

=

0

0

n

n

n (Eq. 2.100)

2.2.2 JACOBIANO DE NGULOS DE EULER

O significado fsico do vector velocidade angular,0

0i

, mais intuitivo que

o do vector de derivadas de ngulos de Euler, [ ]T &&&& = . O vector0

0i

representa as componentes de velocidade angular do referencial i, em relao ao

referencial da base, e expressas no referencial da base. As componentes do vector

[ ]T &&&& = no so ortogonais, sendo que representam uma velocidade angular

definida em relao a um referencial varivel.

Por outro lado, enquanto que o integral do vector [ ]T &&&& = poder

representar a orientao do rgo terminal do manipulador, o integral do vector0

0i

no admite um claro significado fsico.

Considere-se, por exemplo, um corpo rgido do qual se conhece a posio no

instante t = 0. Assuma-se que a sua velocidade angular pode ser uma das

especificadas abaixo:

[ ] [ ] 21,020;10,00200

00 tt Ti

T

i ======== (Eq. 2.101)

[ ] [ ] 21,002;10,02000

00 tt Ti

T

i ======== (Eq. 2.102)

em qualquer dos casos o integral de0

0i

resulta no mesmo valor. Porm, a

orientao final do corpo diferente nos dois casos (Figura 2.16).


48/101

48

Figura 2.16 Orientao final de um corpo, obtida por integrao do vector

velocidade angular.

Conhecendo as equaes da cinemtica e um vector de coordenadas no

espao das juntas, pode determinar-se a correspondente posio e orientao do

rgo terminal resolvendo a equao

x = f(q) (Eq. 2.103)

onde x um vector de coordenadas do espao operacional de dimenso m, q um

vector de coordenadas do espao das juntas de dimenso n (n = nmero de gdm) e f

uma aplicao no linear contnua e diferencivel para todo q pertencente ao espao

das juntas, da forma f: Rn

Rm

.

Diferenciando a equao (Eq. 2.103) em ordem ao tempo vem

tt d

d)f(

d

d q

q

qx

= (Eq. 2.104)

ou


49/101

49

qJx && E= (Eq. 2.105)

onde,q

qJ

)f(=E R

mxn um jacobiano.

Sendo m = 6 (coordenadas cartesianas e ngulos de Euler), JE o chamado jacobiano

de ngulos de Euler.

Notar que JE tambm poder ser obtido a partir de J. De facto, a relao entre

a velocidade angular,0

0n

, e a primeira derivada temporal dos ngulos de Euler,

[ ]T &&&& = , bem conhecida da cinemtica, sendo (Vukobratovic eKircanski, 1986)

=

&

&

&

AnJ

0

0 (Eq. 2.106)

em que

=

S

SCC

CCS

A

01

0

0

J (Eq. 2.107)

Rescrevendo

=

2

1

0

00

0

q

qJ

v

&

&

n

ncomo

=

2

1

2221

1211

0

00

0

q

q

JJ

JJv

&

&

n

n(Eq. 2.108)

e substituindo0

0n

por J &A vem


50/101

50

=

2

1

221

211

1211

0

00

0

q

q

JJJJ

JJv

&

&

&AAn

n(Eq. 2.109)

Refira-se que, quando = 90, devido indeterminao introduzida pelarepresentao de ngulos de Euler, a transformao JA singular ( { } 0det =AJ ). Isto

implica que JE pode ser singular, apesar dessa singularidade no corresponder a

nenhuma configurao singular do manipulador. Como ser fcil de compreender,

deve sempre adoptar-se um sistema de ngulos de Euler tal que a singularidade por

ele introduzida fique fora do espao de trabalho do manipulador.

Matematicamente, um ponto singular corresponde a um vector decoordenadas no espao das juntas que torna nulo o determinante do jacobiano (se J

singular JE tambm singular). Fisicamente, numa configurao singular, o

manipulador perde um ou mais gdl, no podendo mover-se numa ou vrias direces

no espao. Significa tambm que nessa configurao, segundo determinadas

direces, o manipulador apresenta-se como infinitamente rgido ao ambiente; uma

fora externa completamente absorvida pela estrutura. De notar que todos os pontos

na fronteira do espao de trabalho so pontos singulares.

2.3 CINEMTICA DE POSIO INVERSA

Quando se pretende determinar o vector de coordenadas operacionais (por

exemplo, coordenadas cartesianas e ngulos de Euler) que corresponde a um

determinado vector no espao das juntas (problema da cinemtica directa), verifica-

se facilmente que as componentes relativas posio podem ser lidas directamente

da matriz T do rob manipulador (quarta coluna). As componentes relativas

orientao (ngulos de Euler) no so de leitura imediata, uma vez que a orientao

vem dada em termos de uma matriz de rotao de dimenso 33. No entanto, a partir

da matriz de rotao no difcil chegar aos ngulos de Euler, pois bem conhecida

a relao entre ambos.


51/101

51

Pelo contrrio, o problema da cinemtica de posio inversa, isto , a

determinao do vector de coordenadas do espao das juntas que corresponde a um

dado vector de coordenadas operacionais, envolve clculos bem mais complexos:

as equaes a resolver so, em geral, no lineares, pelo que nem sempre

possvel uma resoluo analtica;

podem existir solues mltiplas. Em geral, o nmero de solues

aumenta com o nmero de parmetros de D-H no nulos. Para um

manipulador com 6 gdl existem no mximo 16 solues;

pode existir uma infinidade de solues (redundncia, singularidades);

pode no existir soluo (a posio generalizada especificada est fora

do espao de trabalho).

Em geral, o problema pode ser abordado de duas formas distintas:

atravs da utilizao de mtodos analticos;

atravs da utilizao de mtodos numricos iterativos.

Os mtodos analticos permitem a obteno de todas as solues, para um

dado vector de coordenadas no espao operacional. Porm, tais mtodos no so

gerais, podendo ser aplicados somente a manipuladores simples, com muitos

parmetros de D-H nulos (que o caso da maioria dos manipuladores industriais).

Dentro dos mtodos analticos podem ser seguidas duas estratgias: as que exploram

as relaes geomtricas da estrutura ou as que utilizam as matrizes homogneas que

relacionam os referenciais associados aos elos. Em qualquer caso quase sempre

necessria alguma dose de intuio para resolver o problema.

Os mtodos numricos iterativos so gerais. Para um dado vector de

coordenadas no espao operacional permitem encontrar apenas uma das possveis

solues, sendo que podem apresentar srios problemas de convergncia.


52/101

52

Est provado que para manipuladores de estrutura em srie com 6 gdl, o

problema da cinemtica de posio inversa admite soluo analtica quando:

os eixos de trs juntas rotativas consecutivas se intersectam num ponto;

os eixos de trs juntas rotativas consecutivas so paralelos.

2.3.1 CINEMTICA DE POSIO INVERSA DE MANIPULADORES

COM 6 GDL E PUNHO ESFRICO

No caso particular de manipuladores com 6 gdl e punho esfrico possvel

desacoplar o problema em dois: um subproblema de posicionamento e umsubproblema de orientao. De facto, a posio do punho apenas depende das

coordenadas das trs primeiras juntas, enquanto que as ltimas trs juntas apenas

afectam a orientao.

O subproblema de posicionamento consiste na determinao da soluo para

as trs primeiras juntas a partir da posio do punho (ponto de interseco dos eixos

das trs ltimas juntas).

O subproblema de orientao consiste na determinao da soluo para as trs

ltimas juntas a partir da orientao do punho e da soluo do subproblema de

posicionamento.

O procedimento o seguinte:

determinar a posio do punho, dada a posio e a orientao do rgo

terminal: Twwww zyx pppd == app 60

0;

resolver o problema da cinemtica inversa para o brao;

calcular a matriz de orientao ( )32130 ,, qqqR ;

calcular a matriz( ) ( ) ( )

,,,,,,6

0

3213

0

6546

3 RRR = qqqqqq T ;


53/101

53

resolver o problema da cinemtica inversa para o punho.

Para a resoluo do problema da cinemtica inversa do brao haver que usar

um qualquer mtodo analtico, sendo til a manipulao das matrizes homogneas

e/ou a explorao das relaes geomtricas ao nvel do brao (alguns exemplos sero

mostrados adiante).

Para a resoluo do problema da cinemtica inversa do punho poder ser

seguida uma metodologia em tudo igual apresentada na seco 2.1.4.

2.3.2 CINEMTICA INVERSA DE ALGUNS MANIPULADORES

2.3.2.1 BRAO ESFRICO (MANIPULADOR DE STANFORD)

Dada a posio e a orientao do rgo terminal do manipulador, matriz T,

pode determinar-se de imediato a posio do punho: app 60

0d

w= .

Neste caso, a posio do punho coincide com a origem do referencial 3, sendo

que pode ser lida directamente da matriz 30 A (quarta coluna):

+

+

=

=

1123

21213

21213

32

21

10

30

dCd

dCSSd

dSSCd

MMM

AAAA

(Eq. 2.110)

Assim, vem

+

+

=

123

21213

21213

dCd

dCSSd

dSSCd

p

p

p

z

y

x

w

w

w

(Eq. 2.111)

Multiplicando ambos os membros da equao anterior por ( ) 110

A vem


54/101

54

=

+

+

2

23

23

11

11

d

Cd

Sd

CpSp

p

SpCp

yx

z

yx

ww

w

ww

(Eq. 2.112)

Fazendo ( )2tan 1=t tem-se

212

2

1 1

2,

1

1

t

tS

t

tC

+=

+

= (Eq. 2.113)

Substituindo nos terceiros elementos da equao (Eq. 2.112) resulta a seguinte

equao de segunda ordem

02 22

2 =+++ yxy www pdtptpd (Eq. 2.114)

y

yxx

w

www

pd

dpppt

+

+=

2

22

22

(Eq. 2.115)

yyxx wwwwpddppp ++= 2

22

221 ,2atan2 (Eq. 2.116)

Existem duas solues para a primeira junta, desde que o discriminante da raiz

quadrada seja positivo. Claro que se for negativo no existe soluo.

Dos dois primeiros elementos da equao (Eq. 2.112) resulta

23

2311

Cd

Sd

p

SpCp

z

yx

w

ww

=

+(Eq. 2.117)

zyx wwwpSpCp ,2atan 112 += (Eq. 2.118)

Elevando ao quadrado e somando as duas primeiras componentes da equao

(Eq. 2.112) tem-se (s interessa a soluo d3 > 0)

( )22

113 , zzyx wwww ppSpCpd ++= (Eq. 2.119)


55/101

55

2.3.2.2 BRAO ANTROPOMRFICO (MANIPULADOR TI ER 6000 COM d2 = 0

OU PUMA COM d2 = 0 E a3 = 0)

Para facilitar a anlise considerem-se os parmetros de D-H d2

= 0 e a3

= 0,

relativamente ao manipulador PUMA e d2 = 0, relativamente ao TI ER 6000. Assim,

ambos os manipuladores sero idnticos.

Dada a posio e a orientao do rgo terminal do manipulador (matriz T),

pode determinar-se de imediato a posio do punho: app 60

0d

w= .

Neste caso, a posio do punho coincide com a origem do referencial 4, pelo

que pode ser lida directamente da matriz 40 A (quarta coluna):

+

+

=

=

1

22234

2122314

2122314

43

32

21

10

40

SaCd

CSaSSd

CCaSCd

MMM

AAAAA

(Eq. 2.120)

Assim, vem

+

+

=

22234

2122314

2122314

SaCd

CSaSSd

CCaSCd

p

p

p

z

y

x

w

w

w

(Eq. 2.121)

Por uma questo de geometria fcil verificar que

xy wwpp ,2atan1 = (Eq. 2.122)

ouxy ww

pp ,2atan1 += , desde que 2 passe a valer - 2 (Figura 2.17).

Elevando ao quadrado e somando os elementos da equao (Eq. 2.121) e

usando as relaes trigonomtricas 323223 SCCSS += e 323223 CCCCC = vem


56/101

56

( )

( )3232224

323222422

24

222

2

2

SSCCSad

SCCSCadadpppzyx www

+++=++(Eq. 2.123)

32422

24

222 2 Sadadpppzyx www

++=++ (Eq. 2.124)

24

22

24

222

3 2 ad

adpppS

zyx www++

= (Eq. 2.125)

233 1 SC = (Eq. 2.126)

( )333 ,2atan CS= (Eq. 2.127)

Elevando ao quadrado e somando os dois os primeiros elementos na equao

(Eq. 2.121) resulta a equao

2222234 yx ww

ppCaSd +=+ (Eq. 2.128)

Resolvendo o sistema de equaes composto pela equao (Eq. 2.128) e pela equao

que resulta da igualdade entre os terceiros elementos da equao (Eq. 2.121) obtm-

se a soluo para a junta 2:

=

+=+

z

yx

w

ww

pSaCd

ppCaSd

22234

2222234

(Eq. 2.129)

( )222

23422

34

2

zyx

zyx

www

www

ppp

paSdppCdS

++

++= (Eq. 2.130)

( )222

2234234

2

zyx

yxz

www

www

ppp

ppSdaCdpC

++

+++= (Eq. 2.131)

( )222 ,2atan CS= (Eq. 2.132)

Como se pode ver existem quatro solues para o brao, as quais

correspondem s seguintes configuraes (Figura 2.17):


57/101

57

brao direita e para cima;

brao esquerda e para cima;

brao direita e para baixo;

brao esquerda e para baixo;

Figura 2.17 Diferentes configuraes para o brao antropomrfico.

2.3.3 DIFICULDADES DOS MTODOS ANALTICOS

Os mtodos analticos apresentam alguns problemas cuja resoluo requer um

estudo cuidadoso:

como os mtodos analticos fornecem variadas solues, torna-se

necessrio escolher a que deve ser usada;

como a soluo para cada junta resulta, em ltima anlise, do clculo deuma funo atan2(x, y), surge o problema dos ngulos obtidos virem

sempre restringidos ao intervalo [180, +180]. Este facto pode

levantar problemas, caso o intervalo de variao dos ngulos das juntas

no esteja contido nesse intervalo.


58/101

58

2.3.3.1 PROBLEMA DA ESCOLHA DA SOLUO

Depois de calculadas todas as possveis solues, como o intervalo de

variao da juntas conhecido, o primeiro passo dever ser eliminar quaisquersolues que no estejam dentro desses intervalos. Podem ento ocorrer trs

situaes:

todas as solues esto dentro dos limites de variao impostos s

juntas. A dimenso do problema no reduzida;

apenas algumas das solues no violam os limites de variao

impostos s juntas. A dimenso do problema foi reduzida;

todas as solues violam os limites de variao impostos s juntas. No

existe soluo. Isto significa que se pretende mover o manipulador para

um ponto fora do seu espao de trabalho.

Se se verificar um dos dois primeiros casos h que encontrar um critrio que

uma vez aplicado permita escolher a soluo.

2.3.3.1.1 Funo custo

Um procedimento possvel para seleccionar a soluo escolher aquela que

minimiza uma determinada funo custo. Por exemplo, escolher a soluo que

minimiza o erro quadrtico mdio entre o vector de coordenadas no espao das juntas

actual e o vector de coordenadas no espao das juntas candidato a prxima soluo.

importante notar que neste caso se tenta fazer com que as trajectrias, no espao dasjuntas, sejam contnuas no tempo.

Uma outra possibilidade consiste em escolher a soluo que minimiza o erro

quadrtico mdio entre o vector de coordenadas no espao das juntas candidato a

prxima soluo e o vector de coordenadas no espao das juntas cujas componentes

so os pontos mdios dos intervalos de variao impostos s juntas. Neste caso,

tenta-se manter as juntas o mais afastado possvel dos seus limites.


59/101

59

Minimizao do erro quadrtico mdio entre o ltimo vector calculado e o

vector candidato a soluo

Considere-se o vector qact de coordenadas no espao das juntascorrespondente situao actual, xact, do rgo terminal. Dado o vector qseg, de

coordenadas no espao das juntas, candidato a soluo para o vector xseg, de

coordenadas operacionais seguinte,a funo a minimizar

=

6

1

2,, )(min

i

segiactii qqc (Eq. 2.133)

em que, ci > 0 (i = 1,...,6). Estes parmetros formam um conjunto de pesos que

pode ser ajustado por simulao de modo a obter a soluo mais adequada. Assim,

necessrio calcular o valor da equao (Eq. 2.133) para cada um dos vectores

candidatos a soluo e escolher aquele que a minimiza.

Minimizao do erro quadrtico mdio entre vector candidato a soluo e o

vector formado pelos pontos mdios dos intervalos de variao das juntas

Dado o vector qmed, que corresponde aos pontos mdios dos intervalos de

variao das juntas, e o vectorqseg de coordenadas no espao das juntas candidato a

soluo para o vector xseg de coordenadas operacionais seguinte, a funo a

minimizar

=

6

1

2,, )(min

i

segimedii qqc (Eq. 2.134)

em que ci > 0 (i = 1,...,6). A soluo escolhida tal como no caso anterior.

2.3.3.1.2 Escolha da funo custo (caso do manipulador TI ER 6000)

A escolha da funo custo adequada pode requerer alguma simulao. Assim,

considere-se que no instante de tempo t = 0 seg. a posio generalizada do


60/101

60

manipulador x0 = (50, 40, 600, 10, 5, 35)T (posio expressa em milmetros e

orientao expressa em graus) e que as correspondentes coordenadas das juntas so

q0 = (6.3, 54.8, 24.2, 40.8, 54.2, 46.1)T (em graus). Pretende-se que o rgo

terminal do rob descreva um quadrado no plano YZ (plano vertical) demorando2 seg para percorrer cada lado. Para tal define-se uma trajectria especificando os

restantes trs vrtices do quadrado x1, x2 e x3: x1 = (50, 240, 600, 10, 5, 35)T,

x2 = (50, 240, 400, 10, 5, 35)Te x3 = (50, 40, 400, 10, 5, 35)

T(Figura 2.18).

350

400

450

500

550

600

650

0 50 100 150 200 250

EixoZ(mm)

Eixo Y (mm)

Figura 2.18 Trajectria no plano YZ desejada para o rgo terminal.

Na Figura 2.19 podem observar-se as trajectrias geradas por um mtodo

analtico, para duas funes custo: a funo custo (1) minimizao do erro quadrtico

mdio entre o vector candidato a prxima soluo e o vector soluo anterior, e a

funo custo (2) minimizao do erro quadrtico mdio entre o vector candidato a

prxima soluo e o vector cujas componentes so os pontos mdios dos intervalos

de variao das juntas. Em ambas as funes custo o vector de pesos 2 c = (10, 10,

10, 1, 1, 1)T. Notar que a funo custo (2) conduz gerao de trajectrias no espao

das juntas descontnuas no tempo (que implicam mudanas de configurao do

manipulador). As correspondentes trajectrias no espao operacional so

coincidentes (i.e., o manipulador consegue executar a mesma trajectria no espao

operacional de vrias formas diferentes (Figura 2.20)).

2

Entende-se que se deve dar maior peso s juntas do brao uma vez que, tipicamente, estas tm menorcapacidade de acelerao que as do punho. Assim, d-se maior importncia s descontinuidades dastrajectrias destas juntas.


61/101

61

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Pos.dajunta(graus)

Tempo (segundos)

Junta 1

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Junta 2

Tempo (segundos)

Pos.dajunta(graus)

Junta 1 Junta 2

-50

0

50

100

150

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Pos.dajunta(graus)

Tempo (segundos)

Junta 3

-150

-100

-50

0

50

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Junta 4

Tempo (segundos)

Pos.dajunta(graus)

Junta 3 Junta 4

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Pos.dajunta(graus)

Tempo (segundos)

Junta 5

-150

-100

-50

0

50

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Junta 6

Tempo (segundos)

Pos.dajunta(graus)

Junta 5 Junta 6

Figura 2.19 Trajectrias das juntas geradas por um mtodo analtico com diferentes

funes custo.

Funo custo (1); --- Funo custo (2).


62/101

62

350

400

450

500

550

600

650

0 50 100 150 200 250

EixoZ(mm)

Eixo Y (mm)

Figura 2.20 Trajectrias no espao operacional (plano YZ) geradas por um mtodo

analtico com diferentes funes custo.

Funo custo (1); --- Funo custo (2).

2.3.3.2 PROBLEMA DA RESTRIO DOS NGULOS AO INTERVALO [[[[180,

+180]]]]

O facto das solues para as juntas resultarem da aplicao de uma funo

atan2(x, y) faz com que os ngulos venham restringidos ao intervalo [, ]. Se os

intervalos de variao impostos s juntas no estiverem contidos dentro desteintervalo, impe-se a correco da soluo obtida. Um procedimento possvel

consistir na comparao da soluo proposta com a soluo anterior. Caso se

verifique uma inverso de sinal, haver que fazer a devida correco soluo.

2.3.4 MTODOS NUMRICOS ITERATIVOS

2.3.4.1 MTODO BASEADO NO JACOBIANO

Seja q um vector definido no espao das juntas e x um vector definido no

espao operacional: ( ) ( )xqqx 1f;f == , sendo f uma funo no linear.

Considere-se dq (ou q) um vector de incrementos infinitesimais (ou muito

pequenos) em q e dx (ou x) um vector de incrementos infinitesimais (ou muito

pequenos) em x.


63/101

63

Sabe-se das relaes diferenciais que

dx = JEdq (x = JEq) (Eq. 2.135)

ou

xJq dd 1= E ( xJq =1E ) (Eq. 2.136)

Algoritmo 2.2

D1. Seleccionar o vector inicial candidato a soluo 0qq k ;

D2. Determinar e inverter o jacobiano de ngulos de Euler ( )kE qJ1 ;

D3. Determinar o vector erro no espao operacional ( )[ ]kqx f ;

D4. Fazer ( )[ ]kEk qxJq f1 = ;

D5. Fazer kkk qqq +=+1 ;

D6. Se ( ){ } > +1fmaxval kqx voltar ao passo D2.

+

q

x

( )qJ 1E

( )qf

x q

Figura 2.21 Diagrama de blocos do algoritmo de clculo da cinemtica inversa.

A rapidez de convergncia do algoritmo depende fortemente da aproximao

inicial q0. No seguimento de uma trajectria deve-se usar a soluo encontrada no

instante Tpara aproximao inicial soluo procurada para o instante T+ T.


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64

2.3.4.2 EXEMPLO: MANIPULADOR TI ER 6000

Considere-se que se dispe de um mtodo eficaz de gerar uma trajectria no

espao operacional, isto , de gerar pontos xi muito prximos pelos quais o rgoterminal do manipulador deve passar. Para o manipulador TI ER 6000 o Algoritmo

2.3 revela-se adequado no seguimento de uma trajectria. Note-se que a soluo para

cada ponto xi calculada numa nica passagem, i.e., sem a necessidade de iterar.

Algoritmo 2.3

P0. Fazeri = 0.

P1. Ler a situao inicial (vector qi). Ler os sensores de posio das

juntas. Este passo s necessita de ser executado uma vez.

P2. Executar os passos P3 a P8 at x =0.

P3. Calcular o vector xi que corresponde ao vector qi. Este passo

executado de um modo simples, pois corresponde resoluo do

problema da cinemtica directa.

P4. Calcular xi+1. O clculo de xi+1 efectuado por um mtodo de

gerao de trajectrias.

P5. Calcularx. Fazerx = xi+1 xi.

P6. Calcularq. Fazer xJq = 1E .

P7 Calcularqi+1. Fazerqi+1 = qi + q.

P8. Fazeri = i+1.

2.3.4.3 APLICAO A MANIPULADORES COM PUNHO ESFRICO

Segundo Coiffet (1982), desde que se verifique que os trs ltimos eixos do

rob manipulador se intersectam no mesmo ponto, possvel separar o problema

global (que implica a manipulao de matrizes de dimenso 66) em dois


65/101

65

subproblemas independentes: um de posicionamento e outro de orientao (que

requerem apenas a manipulao de matrizes de dimenso 33).

Considere-se que o vector de coordenadas do espao operacional x (dedimenso 61) e o vector de coordenadas no espao das juntas q (de dimenso 61)

podem ser representados da seguinte forma:

=

=

2

1;q

qq

x

xx

o

p(Eq. 2.137)

em que xp (dimenso 31) representa a posio do rgo terminal em coordenadas

cartesianas e xo (dimenso 31) representa a orientao em termos de ngulos de

Euler. Por outro lado, q1 e q2 so vectores (de dimenso 31) que representam as

posies angulares, respectivamente, das trs primeiras e das trs ltimas juntas.

Considere-se ainda o jacobiano, intJ , relacionando a velocidade linear e as

derivadas dos ngulos de Euler do punho (ponto de interseco dos eixos das trs

ltimas juntas), com as velocidades das juntas. Verifica-se que este pode ser obtido apartir de JEfazendo o parmetro d6 = 0, podendo ser representado na forma

=

0J

JJJ

21

1211int (Eq. 2.138)

onde J11, J12 e J21 so matrizes de dimenso 33 e 0 representa a matriz nula de

dimenso 33.

O vector intpx que representa a posio do ponto de interseco dos trs

ltimos eixos em relao ao referencial da base pode ser calculado pela equao

axx 6dpint

p = (Eq. 2.139)

em que xp representa a posio do rgo terminal em relao ao referencial da base.


66/101

66

Ento o algoritmo vem:

Algoritmo 2.4

P0. Fazeri = 0.

P1. Ler a situao inicial (vector qi). Ler os sensores de posio das

juntas.

P2. Executar os passos P3 a P10, at x =0.

P3. Calcular o vector xi que corresponde ao vector qi. Este passo

corresponde resoluo do problema da cinemtica directa.

P4. Determinar intix que corresponde a xi. Fazer axx 6,, dpiint

pi =

( )intoiintoi ,, xx = .

P5. Calcular xi+1. O clculo de xi+1 efectuado por um mtodo de

gerao de trajectrias.

P6. Determinar

int

i 1+x que corresponde a xi+1. Fazer axx 6,1,1 dpiint

pi = ++ ( )int oiint oi ,1,1 ++ = xx .

P7. Calcular intx . Fazer intiint

i

int xxx 1 = + .

P8. Calcular q . Fazer intoxJq =1211 e [ ]intointp xJJxJq = 121111122

P9 Calcularqi+1. Fazerqi+1 = qi + q.

P10. Fazeri = i+1.

2.3.5 LIMITAES DOS MTODOS NUMRICOS ITERATIVOS

Podem ser notadas algumas dificuldades inerentes aos mtodos numricos, a

saber:

conduzem a uma soluo aproximada (embora, teoricamente, possa sermuito boa se forem adoptados incrementos x suficientemente


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67

pequenos, i. e., se for seleccionando um intervalo de amostragem

apropriado). Como se ver atravs de resultados obtidos por simulao,

o erro resultante da linearizao pode ser desprezado se se trabalhar a

frequncias de amostragem tpicas entre os 60 Hz e os 100 Hz;

pequenos incrementos x no vector de coordenadas no espao

operacional no garantem, partida, incrementos q pequenos no

vector de coordenadas no espao das juntas, principalmente prximo de

pontos singulares. No entanto, existem tcnicas que podem ser usadas

para minimizar este problema (Nakamura e Hanafusa, 1986).

2.3.6 COMPARAO DOS DOIS MTODOS

2.3.6.1 EVOLUO TEMPORAL DAS TRAJECTRIAS GERADAS

O mtodo analtico pode conduzir a trajectrias descontnuas no tempo e

como tal as suas duas primeiras derivadas temporais so infinitas. Fisicamente,

significa que para serem executadas so requeridas s juntas velocidades e

aceleraes infinitas. Por outro lado, a frequncia de amostragem afecta, ao contrrio

do que acontece no mtodo analtico, a evoluo temporal das trajectrias geradas

pelo mtodo numrico iterativo (Figura 2.22 e Figura 2.23, para a trajectria definida

anteriormente).

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Junta 1

Pos.dajunta(graus)

Tempo (segundos)

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Junta 2

Pos.dajunta(graus)

Tempo (segundos)

Junta 1 Junta 2


68/101

68

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo (segundos)

Pos.daju

nta(graus)

Junta 3

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo (segundos)

Pos.daju

nta(graus)

Junta 4

Junta 3 Junta 4

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Junta 5

Pos.dajunta(graus)

Tempo (segundos)

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo (segundos)

Pos.dajunta(graus)

Junta 6

Junta 5 Junta 6

Figura 2.22 Trajectrias das juntas geradas por um mtodo numrico iterativo para

diferentes frequncias de amostragem.

Frequncia de amostragem de 100 Hz; --- Frequncia de amostragem de 10 Hz.

350

400

450

500

550

600

0 50 100 150 200 250

Eixo Y (mm)

EixoZ(mm)

Figura 2.23 Trajectrias no espao operacional (plano YZ) geradas por um mtodo

numrico iterativo para diferentes frequncias de amostragem.Frequncia de amostragem de 100 Hz; --- Frequncia de amostragem de 10 Hz.


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69

2.3.6.2 PESO COMPUTACIONAL

No controlo de manipuladores muitas vezes necessrio calcular em tempo-

real a soluo do problema da cinemtica inversa. Assim, o peso computacional podeser um importante critrio de comparao dos algoritmos apresentados.

Neste aspecto, para o manipulador TI ER 6000 e para uma frequncia de

100Hz, o mtodo numrico revela-se cerca de 4.5 vezes ma

[apostila] robótica industrial - feupe

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