apostila raciocinio logico completa ract 013 020 021 gxsjdp611446

7/29/2019 Apostila Raciocinio Logico Completa Ract 013 020 021 GxsJdp611446

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PROFESSOR: ALBERTO THOMAZ

MATRIA: ARITIMTICA


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Aula.01 - Teoria Dos Conjuntos

ALGEBRA

Conceito : Em matemtica,lgebra o ramo que estuda as generalizaes dos conceitos eoperaes de aritmtica. Hoje em dia o termo bastante abrangente e pode se referir a vriasreas da matemtica.

No nosso estudo, vamos focar na parte da Algebra essencial no trabalho de qualquer pessoaque se utilize de conceitos matemticos.

Introduo aos Conjuntos

Ao estudarmos Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem serentendidos e aceitos sem definio.

Alguns Conceitos Primitivos

Conjunto: representa uma coleo de objetos.

a. O conjunto de todos os argentinos.

b. O conjunto de todos os nmeros naturais.

Em geral, um conjunto denotado por uma letra maiscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.

Elemento: um dos componentes de um conjunto.

a. Alberto um elemento do conjunto dos professores do Ibenac.

b. 1 um elemento do conjunto dos nmeros naturais.

Em geral, um elemento de um conjunto, denotado por uma letra minscula doalfabeto: a, b, c, ..., z.

Pertinncia: a caracterstica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.

a. Alberto pertence ao conjunto dos professores do Ibenac.

b. 1 pertence ao conjunto dos nmeros naturais.

Smbolo de pertinncia: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o smbolo que

se l: "pertence".

Para afirmar que 1 um nmero natural ou que 1 pertence ao conjunto dos nmeros naturais,escrevemos:

1 N

0 N

Um smbolo matemtico muito usado para a negao a barra / traada sobre o smbolo

normal.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica


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Algumas notaes para conjuntos

Muitas vezes, um conjunto representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e }atravs de duas formas bsicas e de uma terceira forma geomtrica:

Apresentao: Os elementos do conjunto esto dentro de duas chaves { e }.

a. A={a,e,i,o,u}

b. N={1,2,3,4,...}

Descrio: O conjunto descrito por uma ou mais propriedades.

a. A={x: x uma vogal}

b. N={x: x um nmero natural}

Diagrama de Venn-Euler: (l-se: "Ven-iler") Os conjuntos so mostrados graficamente.

Subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A est contido em B, denotado por A B, se todos oselementos de A tambm esto em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A estpropriamente contido em B, quando o conjunto B, alm de conter os elementos de A, contmtambm outros elementos. O conjunto A denominado subconjunto de B e o conjunto B osuperconjunto que contm A.

Alguns conjuntos especiais

Conjunto vazio: um conjunto que no possui elementos. representado por { } ou por . Oconjunto vazio est contido em todos os conjuntos.

Conjunto universo: um conjunto que contm todos os elementos do contexto no qualestamos trabalhando logo contm todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo representado por uma letra U.

Reunio de conjuntos

A reunio dos conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjuntoA ou ao conjunto B.

A B = { x: x A ou x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2} ento A B={a,e,i,o,u,1,2}.


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Interseo de conjuntos

A interseo dos conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem aoconjunto A e ao conjunto B.

A B = { x: x A e x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} ento A B=.

Quando a interseo de dois conjuntos A e B o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntosso disjuntos.


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Aula 02

Propriedade dos conjuntos

1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunio de A e B, denotada porA B e a interseo de A e B, denotada por A B, ainda so conjuntos no universo.

2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:

A A = A e A A = A

3. Incluso: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A A B, B A B, A B A, A B B

4. Incluso relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A B equivale a A B = BA B equivale a A B = A

5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

A (B C) = (A B) CA (B C) = (A B) C

6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A B = B AA B = B A

7. Elemento neutro para a reunio: O conjunto vazio o elemento neutro para a reunio deconjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

A = A

8. Elemento "nulo" para a interseo: A interseo do conjunto vazio com qualquer outroconjunto A, fornece o prprio conjunto vazio.

A =

9. Elemento neutro para a interseo: O conjunto universo U o elemento neutro para ainterseo de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

A U = A

10.Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

A (B C ) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)


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Os grficos abaixo mostram a distributividade.

Diferena de conjuntos

A diferena entre os conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem aoconjunto A e no pertencem ao conjunto B.

A-B = {x: x A e x B}

Do ponto de vista grfico, a diferena pode ser vista como:

Complemento de um conjunto

O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, a diferena entre

os conjuntos A e B, ou seja, o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto Ae no pertencem ao conjunto B.

CAB = A-B = {x: x A e x B}

Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, dado por:


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Quando no h dvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmenteutilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste

conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.

Exemplos: c=U e Uc=.

Leis de Augustus De Morgan

1. O complementar da reunio de dois conjuntos A e B a interseo dos complementaresdesses conjuntos.

(A B)c = Ac Bc

2. O complementar da reunio de uma coleo finita de conjuntos a interseo dos

complementares desses conjuntos.

(A1 A2 ... An)c = A1

c A2c ... An

c

3. O complementar da interseo de dois conjuntos A e B a reunio dos complementaresdesses conjuntos.

(A B)c = Ac Bc

4. O complementar da interseo de uma coleo finita de conjuntos a reunio doscomplementares desses conjuntos.

(A1 A2 ... An)c = A1

c A2c ... An

c


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Aula .03

Diferena simtrica

A diferena simtrica entre os conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos quepertencem reunio dos conjuntos A e B e no pertencem interseo dos conjuntos A e B.

A B = { x: x A B e x A B }

O diagrama de Venn-Euler para a diferena simtrica :

Exerccio: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:

1.

A= se, e somente se, B=A B.

2. O conjunto vazio o elemento neutro para a operao de diferena simtrica. Usar o temanterior.

3. A diferena simtrica comutativa.

4. A diferena simtrica associativa.

5. A A= (conjunto vazio).

6. A interseo entre A e B C distributiva, isto :

A (B C) = (A B) (A C)

7. A B est contida na reunio de A C e de B C, mas esta incluso prpria, isto :A B (A C) (B C)


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Conjuntos Numricos

1. Conjunto dos Nmeros NaturaisSo todos os nmeros inteiros positivos, incluindo o zero. representado pela letra maisculaN.Caso queira representar o conjunto dos nmeros naturais no-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, }

N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, }

2. Conjunto dos Nmeros InteirosSo todos os nmeros que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivosopostos (negativos).

So representados pela letra Z:

Z = { -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, }

O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles so:

- Inteiros no negativos

So todos os nmeros inteiros que no so negativos. Logo percebemos que este conjunto igual ao conjunto dos nmeros naturais.

representado por Z+:

Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, }

- Inteiros no positivos

So todos os nmeros inteiros que no so positivos. representado por Z-:

Z- = {, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- Inteiros no negativos e no-nulos

o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+:

Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, }

Z*+ = N*

- Inteiros no positivos e no nulos

So todos os nmeros do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.

Z*- = { -4, -3, -2, -1}

3. Conjunto dos Nmeros RacionaisOs nmeros racionais um conjunto que engloba os nmeros inteiros (Z), nmeros decimaisfinitos (por exemplo, 743,8432) e os nmeros decimais infinitos peridicos (que repete umasequncia de algarismos da parte decimal infinitamente), como 12,050505, so tambm

conhecidas como dzimas peridicas.Os racionais so representados pela letra Q.
http://www.infoescola.com/matematica/numeros-naturais/http://www.infoescola.com/matematica/numeros-naturais/http://www.infoescola.com/matematica/numeros-inteiros/http://www.infoescola.com/matematica/numeros-inteiros/http://www.infoescola.com/matematica/numeros-racionais/http://www.infoescola.com/matematica/numeros-racionais/http://www.infoescola.com/matematica/numeros-racionais/http://www.infoescola.com/matematica/numeros-inteiros/http://www.infoescola.com/matematica/numeros-naturais/


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4. Conjunto dos Nmeros Irracionais formado pelos nmeros decimais infinitos no-peridicos. Um bom exemplo de nmeroirracional o nmero PI (resultado da diviso do permetro de uma circunferncia pelo seudimetro), que vale 3,14159265 . Atualmente, supercomputadores j conseguiram calcularbilhes de casas decimais para o PI.

Tambm so irracionais todas as razes no exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 )

5. Conjunto dos Nmeros Reais formado por todos os conjuntos citados anteriormente (unio do conjunto dos racionais comos irracionais).

Representado pela letra R.
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Aula.04

Exerccios

1 (UEFS) Sendo M(0) o conjunto dos mltiplos de zero e D(0) o conjunto dos divisores dezero, M(0) e D(0) so , respectivamente conjuntos:

a)unitrio e infinito b) unitrio e vazio c) vazio e unitrio

d) vazio e infinito e) infinito e vazio

2 - (INFO) - Aps um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoaspresentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas.

Quantas no comeram nenhuma das sobremesas?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

3 - (INFO) - Numa universidade so lidos apenas dois jornais, X e Y. 80% dos alunos da mesmal em o jornal X e 60%, o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno leitor de pelo menos um dos

jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que l em ambos:

a)80% b)14% c)40% d)60% e)48%

4 - Em uma prova de matemtica com apenas duas questes, 300 alunos acertaram somenteuma das questes e 260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e 210alunos erraram a primeira questo. Quantos alunos fizeram a prova?

Resposta : 450

05. (FEI) Se n o nmero de subconjuntos no-vazios do conjunto formado pelos mltiplosestritamente positivos de 5, menores do que 40, ento o valor de n :

a) 127 b) 125 c) 124 d) 120 e) 110


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Aula.05

06. No ltimo clssico Corinthians x Flamengo, realizado em So Paulo, verificou-se que sforam ao estdio paulistas e cariocas e que todos eles eram s corintianos ou sflamenguistas. Verificou-se tambm que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram corintianos,84.000 eram paulistas e que apenas 4.000 paulistas torciam para o Flamengo. Pergunta-se:

a) Quantos paulistas corintianos foram ao estdio?

b) Quantos cariocas foram ao estdio?

c) Quantos no-flamenguistas foram ao estdio?

d) Quantos flamenguistas foram ao estdio?

e) Dos paulistas que foram ao estdio, quantos no eram flamenguistas?

f) Dos cariocas que foram ao estdio, quantos eram corintianos?

g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas?

h) Quantos eram corintianos ou paulistas?

i) Quantos torcedores eram no-paulistas ou no-flamenguistas?

07. (ESAL) Foi consultado um certo nmero de pessoas sobre as emissoras de TV quehabitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270pessoas assistem o canal B, das quais 150 assistem ambos os canais A e B e 80 assistem outros

canais distintos de A e B. O nmero de pessoas consultadas foi:a) 800 b) 720 c) 570 d) 500 e) 600

08. (UF - Uberlndia) Num grupo de estudantes, 80% estudam Ingls, 40% estudam Francs e10% no estudam nenhuma dessas duas lnguas. Nesse grupo, a porcentagem de alunos queestudam ambas as lnguas :

a) 25% b) 50% c) 15% d) 33% e) 30%

09. (VUNESP) Uma populao utiliza 3 marcas diferentes de detergente: A, B e C. Feita umapesquisa de mercado colheram-se os resultados tabelados abaixo:

Marcas A B C A e B A e C B e C A, B e CNenhuma

delas

Nmero deConsumidores

109 203 162 25 28 41 5 115

Pode-se concluir que o nmero de pessoas que consomem ao menos duas marcas :

a) 99 b) 94 c) 90 d) 84 e) 79
http://www.coladaweb.com/http://www.coladaweb.com/http://www.coladaweb.com/http://www.coladaweb.com/


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12. (PUC CAMP) Considere os Conjuntos :

IN, dos nmeros naturais

Q, dos nmeros racionais,

Q+, dos nmeros racionais no negativos,

IR, dos nmeros reais.

O nmero que expressa :

A) a quantidade de habitantes de uma cidade um elemento de Q+, mas no de IN.

B) a medida da altura de uma pessoa um elemento de IN.

C) a velocidade mdia de um veculo um elemento de Q, mas no de Q+,

D) o valor pago, em reais, por um sorvete um elemento de Q+,

E) a medida do lado de um tringulo um elemento de Q,


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Aula.06 - - Frao, Razo e Proporo

Frao um nmero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidadeou um inteiro .

Alguns conceitos primitivos

Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro partes iguais, cadaparte representar uma frao da pizza.

Uma pizza inteira Quatro pedaos de pizza

1 4 x 1/4

Qual o significado de uma frao?

Uma frao significa dividir algo em partes iguais. Assim:

indica a : b , sendo a e b nmeros naturais e b diferente de 0.

a representa o numerador e b, o denominador.

Podemos tambm encontrar a denominao de Antecedente e Consequente, para osnumeradores e denominadores respectivamente.


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Leitura de fraes:

Metade

Um tero

Dois quartos

Trs quintos

Um sexto

Quatro stimos

Sete oitavos

Dois nonos

Um dcimo

Dois onze avos

Cinco doze avos

... ...

Um centsimo

Um milsimo


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Fraes Equivalentes

Fraes equivalentes: so fraes que representam a mesma parte de um todo, como oprprio nome j diz, so equivalentes.

Simplificao de Fraes

Simplificao de fraes: Para simplificarmos uma frao, devemos dividir o numerador e odenominador por um mesmo nmero inteiro. Observem comparando com os quadradinhosacima.

a)

b)

Outros exemplos:

a)

b) No possvel a simplificao, por isso, uma frao irredutvel.

Tipos de Frao- Frao prpria: aquela que o numerador menor que o denominador.

Ex: ( 7


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Numa frao imprpria temos o seguinte:

Ao dividirmos 12 por 7, temos 1 inteiro, esobram 5 stimos.Vejam que 7x1+5=12

Outros exemplos:

a)

b)

Mnimo Mltiplo Comum MMC

Dados dois ou mais nmeros naturais no nulos, denomina-se mnimo mltiplo comum(MMC) o menor dos seus mltiplos que comum a todos eles, com exceo do nmero zero,pois este menor dos nmeros naturais e mltiplo de todos eles.

Os mltiplos de um nmero natural so todos aqueles que divididos por este nmero tm zerocomo o resto da diviso. Por exemplo, 0, 6 e 12 so todos mltiplos de 6, pois qualquer um

deles pode ser dividido por 6 em uma diviso exata. Neste caso o quociente da diviso seriarespectivamente 0, 1 e 2. Percebe-se portanto, que os mltiplos de um nmero natural so oresultado do produto deste nmero por um outro nmero natural.

J que o conjunto dos nmeros naturais um conjunto infinito, os mltiplos de um nmerotambm so infinitos.

Mltiplos de um Nmero Natural e o seu MMC

Tomemos por exemplo os nmeros naturais 6, 8 e 12. Seus mltiplos so respectivamente:

{ 0, 6, 12, 18, 24, 30, ... }

{ 0, 8, 16, 24, 32, 40, ... }

{ 0, 12, 24, 36, 48, 60, ... }

Podemos notar que com exceo do nmero 0, o nmero 24 o menor dos mltiplos comuma todos eles.

Temos ento que:

MMC(6, 8, 12) = 24


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Como descobrir o MMC de um conjunto de nmeros?

Um prtico mtodo para se determinar o MMC de um conjunto de nmeros naturais adecomposio em fatores primos.

Para que possamos fazer uma comparao, vamos tomar novamente os nmeros 6, 8 e 12como exemplo.

Da fatorao destes trs nmeros temos:

6 = 2 . 3

8 = 23

12 = 22 . 3

O MMC(6, 8, 12) o produto dos fatores comuns e no comuns, com os maiores expoentes.

O fator 2 comum a todos eles, mas tomemos o 23, pois o que possui o maior expoente.

O fator 3 no comum ao nmero 8, mas independente disto tambm deve ser considerado ecomo nos dois casos onde ele mltiplo, o expoente 1, iremos considerar somente o 3mesmo.

Note que cada fator considerado apenas uma vez. O fator 3, por exemplo, ocorre tanto parao nmero 6, quanto para o nmeros 12, mas o consideramos apenas uma vez.

Logo:

MMC(6, 8, 12) = 23 . 3 = 24


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Aula.07

MXIMO DIVISOR COMUM

Dados dois ou mais nmeros naturais no nulos, denomina-se mximo divisor comum (MDC)o maior nmero que divisor de todos eles.

Entenda por divisor, um nmero natural no nulo, que ao dividir um outro nmero natural,produz uma diviso com resto igual a zero, isto , produz uma diviso exata.

Com este sentido, o conjunto dos nmeros formados pelos divisores de um nmero naturalqualquer um conjunto finito.

Caso o nmero 1 seja o nico divisor comum a um conjunto de nmeros naturais, dizemos que

os nmeros deste conjunto so primos entre si.

Divisores de um Nmero Natural e o seu MDC

Analisemos os nmeros naturais 108, 135 e 63. Seus divisores so respectivamente:

{ 1, 3, 4, 9, 12, 27, 36, 108 }

{ 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135 }

{ 1, 3, 7, 9, 21, 63 }

De todos os divisores que cada um dos nmeros possui, o nmero 9 o maior deles que

comum a todos os trs.Temos ento que:

MDC(108, 135, 63) = 9

Como descobrir o MDC de um conjunto de nmeros?

Um mtodo prtico para se determinar o MDC de um grupo de nmeros naturais afatorao.

Para podermos comparar o resultado obtido pelo mtodo acima e o obtido pela fatorao,vamos utilizar de novo os nmeros 108, 135 e 63 como exemplo.

Da fatorao deles ns temos que:

108 = 33 . 4

135 = 33 . 5

63 = 32 . 7

O MDC(108, 135, 63) o produto dos fatores comuns com os menores expoentes.

No caso apenas o fator 3 comum a todos eles, mas tomemos o 32, pois o que possui omenor expoente.

Logo:

MDC(108, 135, 63) = 32 = 9


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Calculando o MDC entre dois nmeros pelo mtodo das divises sucessivas

Este mtodo consiste em se dividir o maior nmero pelo menor.Se a diviso for exata, ento onmero menor ser o MDC entre os dois nmeros. Se no for, ento o nmero que estavasendo utilizado como divisor, passar a ser utilizado como dividendo e o resto da divisopassar a ser o novo divisor.

Se desta vez a diviso for exata, ento o divisor atual ser o MDC, se no for, repete-se oprocesso, o nmero que estava sendo utilizado como divisor, passar a ser utilizado comodividendo e o resto da diviso passa a ser o novo divisor e assim vai at que a diviso sejaexata, neste momento o divisor atual ser o mximo divisor comum entre os dois nmeros.

Para a exemplificar vamos utilizar os nmeros naturais 80 e 288:

Dividindo 288, que o maior deles, por 88, teremos 48 como resto da diviso, ento devemos

continuar o processo.

Agora dividiremos 80 pelo resto 48 e como novo resto iremos obter 32, como a diviso aindano foi exata, continuamos o processo.

Dividiremos ento 48 por 32, cujo resto 16, o que nos obriga a continuar o processo.

Desta vez dividiremos 32 por 16. Agora a diviso exata, ento o MDC(80, 288) = 16.

Note que por este mtodo s possvel o clculo do MDC entre dois nmeros. Se vocprecisar calcular o mximo divisor comum dentre trs ou mais nmeros, o ideal apurar oMDC entre os dois menores e depois ir calculando o mximo divisor entre o MDC atual e o

prximo nmero na ordem ascendente at terminar, ou at que encontre um MDC igual a 1.Por exemplo, o MDC(24, 80, 242) deve ser calculado assim:

Primeiro calcule MDC(24, 80) que igual a 8, finalmente calcule MDC(8, 242) que igual a 2.

Para melhor fixao destes conceitos, faa os clculos por este mtodo e confira o resultado.

Exemplos de MDC

Qual o MDC(15, 75, 105)?

Fatorando os trs nmeros temos:

15 = 3 . 5

75 = 3 . 52

105 = 3 .5 . 7

Note que cada fator considerado apenas uma vez. O fator 3, por exemplo, ocorre tanto parao nmero 15, quanto para o nmero 75 e para o 105, mas o consideramos uma nica vez. Deforma anloga agimos em relao ao fator 5.

MDC(15, 75, 105) = 3 . 5 = 15

Portanto:

O MDC(15, 75, 105) igual 15


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Qual o MDC(100, 150, 200, 250)?

Da Fatorao dos quatro nmeros temos:

100 = 22 . 52

150 = 2 .3 . 52

200 = 23 . 52

250 = 2 . 53

Os fatores 2 e 5 so comuns aos quatros nmeros. O menor expoente do 2 1 e do 5 2.Assim:

MDC(100, 150, 200, 250) = 2 . 52 = 50

Logo:O MDC(100, 150, 200, 250) igual a 50

Qual o MDC(25, 16)?

A decomposio dos dois nmeros em fatores primos nos d:

25 = 52

16 = 24

No h fatores comuns, j que 25 e 16 so primos entre si, ento:

MDC(25, 16) = 1

Portanto:

O MDC(25, 16) o nmero 1.

Propriedade do MMC e do MDC

Sejam a e b dois ou mais nmeros naturais no nulos temos que MMC(a, b) . MDC(a, b) = a . b.

Observe que esta propriedade e vlida apenas para o MMC/MDC entre exatamente doisnmeros, para trs nmeros ou mais esta propriedade no se verifica.

Exemplos de MMC

Qual o MMC(15, 25, 40)?

Fatorando os trs nmeros temos:

15 = 3 . 5

25 = 52

40 = 23 . 5

Para uma melhor identificao, os fatores comuns e no comuns com os maiores expoentes

foram marcados em vermelho.


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MMC(15, 25, 40) = 23 . 3 . 52 = 600

Portanto:

O MMC(15, 25, 40) igual 600

Qual o MMC(250, 225, 294, 245)?

Da Fatorao dos quatro nmeros temos:

250 = 2 .53

225 = 32 . 52

294 = 2 .3 .72

245 = 5 . 72

MMC(250, 225, 294, 245) = 2 . 32 .53 . 72 = 110250

Logo:

O MMC(250, 225, 294, 245) igual a 110250

Qual o MMC(27, 81)?

A decomposio dos dois nmeros em fatores primos nos d:

27 = 33

81 = 34

MMC(27, 81) = 34 = 81

Portanto:

O MMC(27, 81) o prprio nmero 81.

Se o MDC(27, 72) = 9, qual o MMC(27, 72)?

Segundo a propriedade do MMC e do MDC temos que :

Logo:

O MMC(27, 72) igual a 216.


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Aula.08

OPERAES COM FRAO

Neste mdulo iremos abordar a realizao das quatro operaes aritmticas fundamentaiscom nmeros fracionrios.

Iremos analisar cada uma das operaes aritmticas separadamente para que possamosobservar as caractersticas individuais de cada uma delas.

Adio

A soma ou adio de fraes requer que todas as fraes envolvidas possuam o mesmo

denominador. Se inicialmente todas as fraes j possurem um denominador comum, bastaque realizemos a soma de todos os numeradores e mantenhamos este denominador comum.

Vejamos o seguinte exemplo:

Podemos observar que toas elas possuem o denominador 7. Neste caso a frao final tercomo numerador a soma dos nmeros 1, 2 e 3, assim como ter o mesmo denominador 7

Vejamos agora este outro exemplo:

Neste caso no podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores.

Primeiramente devemos converter todas as fraes ao mesmo denominador.

O denominador escolhido ser o mnimo mltiplo comum dos denominadores.

Ser o MMC(3, 5, 13):

Como sabemos, o MMC(3, 5, 13) = 195. Logo todas as fraes tero o denominador comum195.


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O novo numerador de cada uma delas ser apurado, simplesmente dividindo-se 195 pelo seudenominador atual e em seguida multiplicando-se o produto encontrado pelo numerador

original:

Para 1/3 temos que: 195 : 3 . 1 = 65, logo:1/3 =

65/195


78/195


45/195

Obtemos assim, trs fraes equivalentes s fraes originais sendo que todas contendo odenominador 195. Agora resta-nos proceder como no primeiro exemplo:

Subtrao

A diferena ou subtrao de fraes, assim como a adio, tambm requer que todas asfraes contenham um denominador comum. Quando as fraes possurem um mesmodenominador, temos apenas que subtrair um numerador do outro, mantendo-se estedenominador comum.

Vejamos o exemplo:

Observamos que todas as fraes possuem o denominador 9. Neste caso a frao final tercomo numerador a diferena dos numeradores, assim como ir manter o denominador 9:

Observemos este outro exemplo:

Como as fraes no possuem todas o mesmo denominador, primeiramente devemos aapurar o MMC(9, 3, 7) para utiliz-lo como denominador comum.

Sabemos que o MMC(9, 3, 7) = 63. Logo utilizaremos 63 como o denominador comum.


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Como j visto, para encontrarmos as fraes equivalentes s do exemplo, que possuam odenominador igual a 63, para cada uma delas iremos dividir 63 pelo seu denominador e em

seguida multiplicaremos o resultado pelo seu numerador:


56/63


21/63


18/63

Finalmente podemos realizar a subtrao:

Multiplicao

Ao menos conceitualmente, a multiplicao ou produto de fraes, talvez seja a mais simplesdas operaes aritmticas que as envolvem. Diferentemente da adio e da subtrao, amultiplicao no requer que tenhamos um denominador comum. Para realizarmos o produtode fraes, basta que multipliquemos os seus numerados entre si, fazendo-se o mesmo emrelao aos seus denominadores.

Vejamos o exemplo abaixo:

Independentemente de os denominadores serem todos iguais ou no, iremos realizar amultiplicao conforme mostrado abaixo:

A multiplicao de fraes mistas deve ser precedida da converso das mesmas em fraesimprprias:


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Diviso

A diviso de fraes resume-se a inverso das fraes divisoras, trocando-se o seu numeradorpelo seu denominador e realizando-se ento a multiplicao das novas fraes.

Vejamos como realizar a diviso abaixo:

Realizando-se a inverso das divisoras e mudando-se de diviso para multiplicao teremos:

Realizando-se a multiplicao teremos:

A diviso de fraes mistas segue o mesmo principio, no entanto devemos primeiramenteconvert-las em fraes imprprias:

Mltiplas Operaes

Assim como nas operaes aritmticas com nmeros naturais, nas operaes aritmticas comfraes, a multiplicao e a diviso tm precedncia sobre a adio e a subtrao, por isto emexpresses compostas que envolvam mltiplas operaes, devemos primeiro realizar asoperaes de multiplicao e de diviso e por ltimo as operaes de soma e subtrao.

Vejamos a expresso a seguir:

A sequncia para a sua resoluo a seguinte:

Primeiramente executamos a multiplicao

Em seguida executamos a diviso, invertendo a frao e transformando a diviso em umamultiplicao

E por fim a soma e a subtrao

Finalmente obtemos o resultado da expresso


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Aula.09

Dzimas Peridicas

H fraes que no possuem representaes decimal exata. Por exemplo:

Aos numerais decimais em que h repetio peridica e infinita de um ou mais algarismos, d-se o nome de numerais decimais peridicos ou dzimas peridicas.

Numa dzima peridica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem operodo dessa dzima.As dzimas classificam-se em dzimas peridicas simples e dzimas peridicas compostas.Exemplos:

(perodo: 5)(perodo: 3) (perodo: 12)

So dzimas peridicas simples, uma vez que o perodo apresenta-se logo aps a vrgula.

Perodo: 2Parte no peridica: 0

Perodo: 4Perodo no peridica: 15

Perodo: 23Parte no peridica: 1

So dzimas peridicas compostas, uma vez que entre o perodo e a vrgula existe uma parteno peridica.

Observaes:

Consideramos parte no peridica de uma dzima o termo situado entre vrgulas e o perodo.

Exclumos portanto da parte no peridica o inteiro.

Podemos representar uma dzima peridica das seguintes maneiras:


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28

Geratriz de uma dzima peridica

possvel determinar a frao (nmero racional) que deu origem a uma dzima peridica.Denominamos esta frao de geratriz da dzima peridica.

Procedimentos para determinao da geratriz de uma dzima:

Dzima simples

A geratriz de uma dzima simples uma frao que tem para numerador o perodo e paradenominador tantos noves quantos forem os algarismos do perodo.

Exemplos:

Dzima Composta :

A geratriz de uma dzima composta uma frao da forma , onde

n a parte no peridica seguida do perodo, menos a parte no peridica.

d tantos noves quantos forem os algarismos do perodo seguidos de tantoszeros quantos forem os algarismos da parte no peridica.

Exemplos:


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Aula.10

Exerccios

Simplificando a Expresso :

obtm-se :

a) 1,8. b) 1,75. c) 1,5. d) 1,25. e) 1,2.

(CESPE-Correios)Considere que, das correspondncias que um carteiro deveria entregar emdeterminado dia, 5/8 foram entregues pela manh, 1/5 tarde e 14 ficaram para serentregues no dia seguinte. Nessa situao, a quantidade de correspondncias entregue pelocarteiro naquele dia foi igual a

a) 98.

b) 112.

c) 26.

d) 66.

e) 82.

(CESPE Correios)Em determinado dia, todas as correspondncias recebidas na agncia dosCorreios da cidade Alfa destinavam-se apenas a moradores dos bairros X, Y e Z. Ao bairro X foi

destinada metade das correspondncias recebidas na agncia menos 30 correspondncias; aobairro Y foi destinada a tera parte das correspondncias restantes, isto , depois de retiradasas do bairro X, e mais 70 correspondncias; o bairro Z recebeu 180 correspondncias.O totalde correspondncias recebidas, nesse dia, na agncia dos Correios da cidade Alfa foi

a) superior a 680 e inferior a 700.

b) superior a 700 e inferior a 720.

c) superior a 720.

d) inferior a 660.

e) superior a 660 e inferior a 680.


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Aula.11

(VUNESP-TJ) Considere dois nveis salariais apontados em uma pesquisa de mercado para ummesmo cargo, o mnimo (piso) e o mximo (teto).Sabe-se que o dobro do menor somado a 1/5do maior igual a R$ 3.700,00. Se a diferena entre o nvel mximo e o nvel mnimo igual aR$ 3.100,00, ento o teto salarial para esse cargo de

a) R$ 4.800,00.

b) R$ 4.500,00.

c) R$ 3.800,00.

d) R$ 3.600,00.

e) R$ 3.400,00.

(FCC-TRT) Dispe-se de dois lotes de boletins informativos distintos: um, com 336 unidades, eoutro, com 432 unidades. Um tcnico judicirio foi incumbido de empacotar todos os boletins

dos lotes, obedecendo as seguintes instrues:1. todos os pacotes devem conter a mesma quantidade de boletins;

2. cada pacote deve ter um nico tipo de boletim.Nessas condies, o menor nmero de pacotes que ele poder obter

a) 12

b) 16

c) 18

d) 24

e) 32

(FCC TRT) Sistematicamente, Fbio e Cntia vo a um mesmo restaurante: Fbio a cada 15dias e Cntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004 ambos estiveram em tal restaurante,

outro provvel encontro dos dois nesse restaurante ocorrer em

a) 9 de dezembro de 2004.

b) 10 de dezembro de 2004.

c) 8 de janeiro de 2005.

d) 9 de janeiro de 2005.

e) 10 de janeiro de 2005.


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Aula.12

Propores

Proporo a igualdade entre duas razes. A proporo entre A/B e C/D a igualdade:

A

B=

C

D

Notas histricas: A palavra proporo vem do latim proportione e significa uma relao entreas partes de uma grandeza, ou seja, uma igualdade entre duas razes. No sculo XV, omatemtico rabe Al-Kassadi empregou o smbolo "..." para indicar as propores e em 1.537,o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporo na forma

6:3::8:4.

Regiomontanus foi um dos matemticos italianos que mais divulgou o emprego daspropores durante o perodo do Renascimento.

Propriedade fundamental das propores

Numa proporo:

A

B=

C

D

os nmeros A e D so denominados extremos enquanto os nmeros B e C so os meios e vale apropriedade: o produto dos meios igual ao produto dos extremos, isto :

A D = B C

Exemplo: A frao 3/4 est em proporo com 6/8, pois:

3

4=

6

8

Exerccio: Determinar o valor de X para que a razo X/3 esteja em proporo com 4/6.

Soluo: Deve-se montar a proporo da seguinte forma:

x

3=

4

6

Para obter X=2.


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Razes e Propores de Segmentos

Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas so dadas, respectivamente, por 2cm e4cm.

A________B, C ______________ D

Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razo entre as suas medidas.

m(AB)

m(CD)=

2

4

Podemos tambm afirmar que AB est para CD na razo de 1 para 2 ou que CD est para AB narazo de 2 para 1.

Polgonos Semelhantes

Dois polgonos so semelhantes se tm ngulos correspondentes congruentes e os ladoscorrespondentes proporcionais.

Exemplo: Sejam os tringulos ABC e RST.

Observamos que os ngulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aquipor, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes so proporcionais.

AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2

Afirmamos que os polgonos (tringulos) ABC e RST so semelhantes e indicamos isto por :

ABC ~ DEF


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Figuras Semelhantes

Duas figuras so semelhantes quando elas tm a mesma forma com medidas correspondentescongruentes, ou seja, quando uma uma ampliao ou reduo da outra. Isto significa queexiste uma proporo constante entre elas sem ocorrncia de deformao. A figura final e afigura original so chamadas figuras semelhantes.

As figuras geomtricas so semelhantes quando existe uma igualdade entre as razes dossegmentos que ocupam as correspondentes posies relativas nas figuras.

Exemplo: Nos tringulos

observamos que os ngulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, B=S eC=T e os lados correspondentes so proporcionais.

AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2

Assim, os tringulos ABC e DEF so semelhantes e indicamos por:

ABC ~ DEF

Exemplo: O mapa do Brasil est em duas escalas diferentes.

Os dois mapas possuem a mesma forma mas tm tamanhos diferentes. O mapa verde umaampliao do mapa amarelo ou o mapa amarelo uma reduo do mapa verde.


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Aplicaes prticas das razes

Existem algumas razes especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidademdia, escala, densidade demogrfica e densidade de um corpo.

1. Velocidade Mdia: A "velocidade mdia", em geral, uma grandeza obtida pela razoentre uma distncia percorrida (expressa em quilmetros ou metros) e um tempo por ele gasto(expresso em horas, minutos ou segundos).

vmdia = distncia percorrida / tempo gasto

Exemplo: Suponhamos que um carro de Frmula MAT percorreu 328Km em 2h. Qual foi avelocidade mdia do veculo nesse percurso?

A partir dos dados do problema, teremos:

vmdia = 328 Km / 2h = 164 Km/h

o que significa que a velocidade mdia do veculo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja, paracada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.

2. Escala: Uma das aplicaes da razo entre duas grandezas se encontra na escala dereduo ou escala de ampliao, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de

um desenho razo entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento realcorrespondente, ambos medidos na mesma unidade.

escala = comprimento no desenho / comprimento real

Usamos escala quando queremos representar um esboo grfico de objetos como mveis, plantasde uma casa ou de uma cidade, fachadas de prdios, mapas, maquetes, etc.

Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:

Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8

Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6

O barco vermelho uma ampliao do barco azul, pois as dimenses do barco vermelho so 2vezes maiores do que as dimenses do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foramreduzidos metade na mesma proporo.


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3 Densidade Demogrfica: O clculo da densidade demogrfica, tambm chamada depopulao relativa de uma regio considerada uma aplicao de razo entre duas grandezas.

Ela expressa a razo entre o numero de habitantes e a rea ocupada em uma certa regio.

Exemplo: Em um jogo de vlei h 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores emcada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulso de 1 jogador de um time, sendoque no pode haver substituio, observa-se que sobra mais espao vazio para ser ocupadopelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demogrfica menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.

Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a rea de 200.000 Km. De acordo com o censorealizado, o estado tem uma populao aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:

dens.demogrfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km

densidade demogrfica = 60 habitantes/ Km2

Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes.

4 Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo mais uma aplicao de razo entreduas grandezas. Assim, a densidade (volumtrica) de um corpo a razo entre a massa dessecorpo, medida em Kg ou gramas e o seu volume, medido em m, dm ou qualquer outraunidade de volume.

Exemplo: Se uma esttua de bronze possui uma densidade volumtrica de 8,75 kg/dm entopara cada dm h uma massa de 8,75 kg.

Curiosidade:Devido existncia de densidades diferentes, observamos que ao colocarmoscorpos diferentes em um recipiente com gua, alguns afundam e outros flutuam.

Uma bolinha de isopor flutuar na gua enquanto que uma de chumbo, de mesmo volumeafundar. Isso ocorre porque a densidade do chumbo maior que a densidade do isopor.

Algumas substncias e suas densidades esto na tabela abaixo:

Substncia Densidade [g/cm]

madeira 0,5

gasolina 0,7

lcool 0,8

alumnio 2,7

ferro 7,8

mercrio 13,6


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5 Pi: Uma razo muito famosa: Os egpcios trabalhavam muito com certas razes edescobriram a razo entre o comprimento de uma circunferncia e seu dimetro. Este um

fato fundamental pois esta razo a mesma para toda circunferncia. O nome desta razo Pie seu valor aproximadamente:

Pi = 3,1415926535

Exemplo: Se C o comprimento da circunferncia e D a medida do dimetro da circunferncia,temos uma razo notvel:

C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...

significando que

C = Pi . D

Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferncia tem 1,5cm ento o permetro dacircunferncia igual a 9,43cm.

Para finalizar, vale estabelecer as seguintes definies:

Frao uma diviso entre dois nmeros

Razo uma comparao entre duas grandezas

Proporo a igualdade entre duas razes


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Aula.13 - Diviso de um Nmero em Partes Proporcionais

Grandezas Proporcionais

O que estudaremos so grandezas que sejam diretamente ou inversamente proporcionais,embora existam casos em que essas relaes no se observem, e que portanto, no faroparte de nosso estudo.

1. Grandezas Diretamente Proporcionais

Duas grandezas so ditas diretamente proporcionais, quando o aumento de uma implica noaumento da outra, quando a reduo de uma implica na reduo da outra, ou seja, o que vocfizer com uma acontecer com a outra.

Observao necessrio que satisfaa a propriedade destacada.

Exemplo: Se numa receita de pudim de micro-ondas uso duas latas de leite condensado, 6ovos e duas latas de leite, para um pudim. Terei que dobrar a quantidade de cada ingredientese quiser fazer dois pudins, ou reduzir a metade cada quantidade de ingredientes se quiser,apenas meia receita.

Observe a tabela abaixo que relaciona o preo que tenho que pagar em relao quantidadede pes que pea:

Preo R$ 0,20 0,40 1,00 2,00 4,00 10,00

N de pes 1 2 5 10 20 50

Preo e quantidade de pes so grandezas diretamente proporcionais. Portanto se peo maispes, pago mais, se peo menos pes, pago menos. Observe que quando dividimos o preopela quantidade de pes obtemos sempre o mesmo valor.

Propriedade: Em grandezas diretamente proporcionais, a razo constante.

2. Grandezas Inversamente Proporcionais

Duas grandezas so ditas inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica nareduo da outra, quando a reduo de uma implica no aumento da outra, ou seja, o que vocfizer com uma acontecer o inverso com a outra.

Observao: necessrio que satisfaa a propriedade destacada.


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Exemplo: Numa viagem, quanto maior a velocidade mdia no percurso, menor ser o tempode viagem. Quanto menor for a velocidade mdia, maior ser o tempo de viagem.

Observe a tabela abaixo que relaciona a velocidade mdia e o tempo de viagem, para umadistncia de 600km.

Velocidade media(km/h) 60 100 120 150 200 300

Tempo de viagem(h) 10 6 5 4 3 2

Velocidade mdia e Tempo de viagem so grandezas inversamente proporcionais, assim seviajo mais depressa levo um tempo menor, se viajo com menor velocidade mdia levo um

tempo maior. Observe que quando multiplicamos a velocidade mdia pelo tempo de viagemobtemos sempre o mesmo valor.

Propriedade: Em grandezas inversamente proporcionais, o produto constante.

Diviso Proporcional

Uma GRANDEZA todo valor que pode ser relacionado a um outro certo valor de tal formaque, quando um varia, como consequncia direta o outro valor tambm varia.

Desta forma, podemos definir uma DIVISO PROPORCIONAL, como uma forma de diviso noqual determinam-se valores que, divididos por quocientes previamente determinados,mantm-se uma razo que no tem variao.

Diviso Proporcional

A diviso proporcional pode ser:

Direta

Inversa

Direta e Inversa ao mesmo tempo.


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Diviso Inversamente Proporcional

Para decompor um determinado nmero N em duas partes, sejam X e Y, que sejaminversamente proporcionais a X e Y, deve-se decompor este nmero N em duas partes X e Ydiretamente proporcionais a 1/x e 1/y, que formam, desta forma, os nmeros inversos.

Em princpio, a diviso proporcional inversa no existe, pois neste caso, basta inverter ostermos da razo para transform-la em uma diviso direta. Assim, por exemplo, para dividirem partes inversamente proporcionais a 1/4 e 2/3 equivale a dividir em partes diretamenteproporcionais a 4 e 3/2.

Exemplos para fixao de definio

a) Dividir o nmero 50 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3.

Soluo:

b) Dividir o nmero 441 em partes inversamente proporcionais a 3,5 e 6.


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Aula.14

Regra da Sociedade.

Quando temos um nmero sendo divido em partes diretamente proporcionais a doisconjuntos de nmeros, o resultado ser o mesmo que dividir esse nmero em partesproporcionais ao produto desses nmeros.

Lembrando que se a diviso for diretamente proporcional a um conjunto de nmeros einversamente ao outro conjunto, o resultado ser o mesmo que dividir esse nmero em partesdiretamente proporcionais ao produto do primeiro conjunto pelo inverso do segundo.

Exemplo : Dividir o nmero 180 em partes diretamente proporcionais aos nmeros 8 e 6 einversamente proporcionais aos nmeros 2 e 3.

Exerccios

1)Qual a razo que igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8.

2)Almejando desenhar uma representao de um objeto plano de 5m de comprimento,

usando uma escala de 1:20, qual ser o comprimento no desenho:


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3) Em uma sala de aula, a razo de moas para o nmero de rapazes de 5/4. Se o nmerototal de alunos desta turma de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas moas ficariam

sem par ?

4) (FEDF-95 / Professor Nvel 1) Um copo de suco corresponde a 250 ml.Uma professora fez

suco para 48 copos, o que corresponde em litros, a:

a) 12,0

b) 15,2

c) 16,0

d) 20,4

e) 24,0

5) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Um disco gira a 45 rotaes por minuto. Em 4 segundos, odisco d :

a) 3 voltas

b) 5 voltas

c) 6 voltas

d) 9 voltas

e) 12 voltas


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6). Repartir uma herana de R$ 495.000,00 entre trs pessoas na razo direta do nmero defilhos e na razo inversa das idades de cada uma delas. Sabe-se que a 1 pessoa tem 30 anos e

2 filhos, a 2 pessoa tem 36 anos e 3 filhos e a 3 pessoa 48 anos e 6 filhos.

*7). Dois nmeros esto na razo de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estona razo de 3 para 5. Ento, o produto dos dois nmeros :a)90b)96c)180d)72e)-124

*Est com erro nas respostas


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Aula.15

8). (PUC) Se (2; 3; x; ...) e (8; y; 4; ...) forem duas sucesses de nmeros diretamenteproporcionais, ento:

a) x = 1 e y = 6

b) x = 2 e y = 12

c) x = 1 e y = 12

d) x = 4 e y = 2

e) x = 8 e y = 12

9). (FUVEST) So dados trs nmeros reais, a < b < c. Sabe-se que o maior deles a soma dosoutros dois e o menor um quarto do maior. Ento a, b e c so, respectivamente,proporcionais a:

a)1,2 e 3

b)1,2 e 5

c)1,3 e 4

d)1,3 e 6

e)1,5 e12

10. (MACK) Dividindo-se 100 em partes diretamente proporcionais a 2 e 4 e inversamenteproporcionais a e 2/3 a menor parte :

a) 35

b) 40

c) 60

d) 50

e) 28


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11. (UFLA) Trs pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica,respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balano anual da firma acusou

um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamenteproporcionais ao capital aplicado, cada scio receber, respectivamente:

a) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00

b) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00

c) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00

d) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00

e) R$ 12.000,00; R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00

12(ESAF-2005)- Um indivduo fazendo clculos chegou dzima 5,48383....

Obtenha o nmero racional p/q que representa esta dzima.

a) Tal nmero no existe porque esta dzima corresponde a um nmero irracional.

b) p=5483, q=990.

c) p=5483-54=5429, q=999.

d) p=5483-54=5429, q=900.

e) p=5483-54=5429, q=990.

13(ESAF- 2003) Um municpio colheu uma produo de 9.000 toneladas de milho em gro emuma rea plantada de 2.500 hectares. Obtenha a produtividade mdia do municpio emtermos de sacas de 60 kg colhidas por hectare.

a) 50

b) 60

c) 72

d) 90

e) 100


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Aula.16 - Regra de Trs

Regra de Trs

Consta na histria da matemtica que os gregos e os romanos conhecessem as propores,porem no chegaram a aplica-las na resoluo de problemas.

Na idade mdia, os rabes revelaram ao mundo a regra de trs. Nos sculo XIII, o italianoLeonardo de Pisa difundiu os princpios dessa regra em seu livro Lber Abaci, com o nome deRegra de Trs Nmeros Conhecidos.

Regra de trs simples

Regra de trs simples um processo prtico para resolver problemas que envolvam quatrovalores dos quais conhecemos trs deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dostrs j conhecidos.

Passos utilizados numa regra de trs simples

Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas e mantendo namesma linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia.

Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais.

Montar a proporo e resolver a equao.

Exemplos:

a) Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preo de 12m do mesmo tecido?

Observe que as grandezas so diretamente proporcionais, aumentando o metro do tecido

aumenta na mesma proporo o preo a ser pago

Observe que o exerccio foi montado respeitando o sentido das setas.

Macete : X ser igual a razo onde no denominador estar o oposto ao X e no numerador oproduto dos outros valores.

Assim teramos :

X =( 12 x 156 )/8 = 234,00

A quantia a ser paga de R$234,00.


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b) Um carro, velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas.

Se a velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso?

Observe que as grandezas so inversamente proporcionais, aumentando a velocidade o tempodiminui na razo inversa.

Resoluo:

Observe que o exerccio foi montado respeitando os sentidos das setas.

Macete : X ser igual a razo onde no denominador estar o valor da mesma linha de X e nonumerador o produto dos outros valores.

Assim teramos :

X =(60 x 40 )/80 = 3O tempo a ser gasto 3 horas.

Regra de Trs Composta

A regra de trs composta utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ouinversamente proporcionais.

Exemplo:

a)Em 8 horas, 20 caminhes descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhessero necessrios para descarregar 125m3?

Aumentando o nmero de horas de trabalho, podemos diminuir o nmero de caminhes.Portanto a relao inversamente proporcional

(seta para cima na 1 coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o nmero de caminhes.

Portanto a relao diretamente proporcional (seta para baixo na 3 coluna).


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Devemos igualar a razo que contm o termo x com o produto das outras razes de acordocom o sentido das setas.

Resoluo:

Macete : Identificar as grandezas que so diretamente ou inversamente proporcionais ao valor

procurado X , e X ser obtido aplicando as mesmas regras anteriores. Ou seja nodenominador o produto dos termos opostos a X para o caso das grandezas diretamenteproporcionais e os termos da mesma linha de X para as grandezas inversamente proporcionaise no numerador o produto dos outros valores.

Assim teramos :

X =(20 x 125 x 8)/(160 x 5 ) = 25 caminhes.


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Aula.17

Exerccios sobre Regra de Trs

01 Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo sonecessrios para fabricar 28 kg de farinha?

02 Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fub. Quantas sacas de 60 kg de fub podemosobter com 1 200 kg de milho ?

03 Sete litros de leite do 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite sero necessriospara se obterem 9 quilos de manteiga ?

04 Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em mdia, 5 minutos para atender 3clientes. Qual o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?

05 Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substncia. Quanto pagaria por 0,750 kg dessamesma substncia?

06 Seis mquinas escavam um tnel em 2 dias. Quantas mquinas idnticas seronecessrias para escavar esse tnel em um dia e meio?

07 Uma fonte fornece 39 litros de gua em 5 minutos. Quantos litros fornecer em uma horae meia ?

08 Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos paraobter 385 bombons ?

09 Um automvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilmetros percorrer em 7 horas,mantendo a mesma velocidade mdia ?

10 Um automvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros degasolina gastar para percorrer 120 km ?

11 Uma torneira despeja 30 litros de gua a cada 15 minutos. Quanto tempo levar para

encher um reservatrio de 4m3 de volume?


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12 Um relgio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantar em 54 dias ?

13 Um relgio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.

a) Quantos minutos atrasar em 72 horas ?

b) Quantos minutos atrasar em 18 dias ?

c) Quantos dias levar para o relgio ficar atrasado 45 minutos ?

14 Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que anova foto tenha 10,5 m de largura. Qual ser o comprimento da foto ampliada?

15 Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampli-la de tal maneira que o lado maiormea 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ?

16 Duas piscinas tm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. Apiscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de gua de 35 m3. Qual o volume degua da piscina B, que tem 2 m de profundidade?

17 Uma roda de automvel d 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer

constante, quantas voltas essa roda dar em 315 segundos?

18 A combusto de 48 g de carbono fornece 176 gs carbnico. A combusto de 30 g decarbono fornece quantos gramas de gs carbnico?

19 Num mapa, a distncia Rio-Bahia, que de 1.600 km, est representada por 24 cm. Aquantos centmetros corresponde, nesse mapa, a distncia Braslia-Salvador, que de 1200km?

20 Sabendo-se que, para cada 5 fitas de msica brasileira, tenho 2 fitas de msica estrangeira,quantas fitas de msica brasileira eu tenho se possuo 22 fitas estrangeiras ?

21 Duas piscinas tm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos diferentes.Na piscina que tem 8 m de comprimento, a quantidade de gua que cabe na piscina de45.000 litros. Quantos litros de gua cabem na piscina que tem 10 m de comprimento ?

22 Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qualseria a nota obtida por Cristina?


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23 Uma vara de 3 m em posio vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmoinstante, um prdio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prdio ?

24 Uma tbua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual a altura de um edifcio que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ?

25 Uma tbua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relao ao cho eprojetou urna sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por umposte que tem 10,5 m de altura?

26 Se 3/7 da capacidade de um reservatrio correspondem a 8.400 litros, a quantos litroscorrespondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque?

27 Uma circunferncia, com 8 cm de dimetro, tem 25,1 cm de comprimento. Qual ocomprimento de outra circunferncia que tem 14 cm de dimetro ?

28 Uma folha de alumnio tem 400 cm2 de rea e tem uma massa de 900 g. Qual ser, em g,a massa de uma pea quadrada, da mesma folha de alumnio, que tem 40 cm de lado? (Determine a rea da pea quadrada ).

29 Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura,foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar umaparede que tem 15 m2 de rea?

30 Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100C) correspondem a 212 grausaferidos na escala Fahrenheit (212F). Em Miami, nos Estados Unidos, uma temperatura, lidano termmetro Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual a temperatura correspondente se lidano termmetro Celsius?

31 Com 4 latas de tinta pintei 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam serpintados com 11 latas dessa tinta?

32 Um corredor de Frmula 1 manteve, em um treino, a velocidade mdia de 153 km/h.Sabendo-se que 1 h = 3 600 s, qual foi a velocidade desse corredor em m/s ?

33 A velocidade de um mvel de 30m/s, Qual ser sua velocidade em km/h ?


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34 Para fazer um recenseamento, chegou-se seguinte concluso: para visitar 102residncias, necessrio contratar 9 recenseadores. Numa regio em que existem 3 060

residncias, quantos recenseadores precisam ser contratados ?

35 O ponteiro de um relgio de medio funciona acoplado a uma engrenagem, de modoque 4 voltas completas da engrenagem acarretam uma volta completa no mostrador dorelgio. Quantas voltas completas, no mostrador do relgio, o ponteiro d quando aengrenagem d 4.136 voltas ?

36 O ponteiro menor de um relgio percorre um ngulo de 30 graus em 60 minutos. Nessascondies, responda :

a) Quanto tempo ele levar para percorrer um ngulo de 42 graus ?

b) Se O relgio foi acertado s 12 horas ( meio-dia ), que horas ele estar marcando?

37 Uma rua tem 600 m de comprimento e est sendo asfaltada. Em seis dias foramasfaltados 180 m da rua Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantosdias o trabalho estar terminado?

38 Um muro dever ter 49 m de comprimento. Em quatro dias, foram construdos 14 m domuro. Supondo-se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias serconstrudo o restante do muro?

39 Um automvel percorreu uma distncia em 2 horas, velocidade mdia de 90 km porhora. Se a velocidade mdia fosse de 45 km por hora, em quanto tempo o automvel faria amesma distncia?

40 Com a velocidade de 75 km/h, um nibus faz percurso em 40 minutos. Devido a umpequeno congestionamento, esse nibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual avelocidade mdia desse nibus no percurso de volta?

41 Para transportar material bruto para uma construo, foram usados 16 caminhes comcapacidade de 5 cm3 cada um. Se a capacidade de cada caminho fosse de 4 cm3, quantoscaminhes seriam necessrios para fazer o mesmo servio ?

42 Com o auxlio de uma corda, que julgava ter 2 m de comprimento, medi o comprimentode um fio eltrico e encontrei 40 m. Descobri, mais tarde, que a corda media na realidade, 2,05m. Qual o comprimento verdadeiro do fio?


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43 Com uma certa quantidade de arame pode.se fazer uma tela de 50 m de comprimentopor 1,20 m de largura. Aumentando-se a largura em 1,80 m, qual ser o comprimento de uma

outra tela feita com a mesma quantidade de arame da tela anterior ?

44 Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operrios levaram 48 dias. Sefosse construda uma cobertura idntica em outra quadra e fossem contratados 30 operriosde mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta ?

45 Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas 21 peas de papel de parede com 80 cmde largura. Se houvesse peas desse mesmo papel que tivessem 1,20 m de largura, quantasdessas peas seriam usadas para forrar a mesma parede ?

46 Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias, Quantas pessoas, de mesma capacidadede trabalho que as primeiras, so necessrias para pintar o mesmo barco em 6 dias ?

47 Uma torneira, despejando 4,25 litros de gua por minuto, enche uma caixa em 3 horas emeia. Em quanto tempo uma torneira que despeja 3,5 I de gua por minuto encher uma caixade mesma capacidade que a primeira ?

48 Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levaro 6 pedreiros para fazero mesmo muro ?

49 Dez operrios constroem uma parede em 5 horas. Quantos operrios sero necessriospara construir a mesma parede em 2 horas ?

50 Uma certa quantidade de azeite foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-seassim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessrias para colocara mesma quantidade de azeite ?

51 Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito velocidade mdia de210 km/h. Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito velocidade mdia de140km/h ?

52 Para se transportar cimento para a construo de um edifcio, foram necessrios 15caminhes de 2m3 cada um. Quantos caminhes de 3m3 seriam necessrios para se fazer omesmo servio?

53 Uma torneira despeja 16 litros por minuto e enche uma caixa em 5 horas. Quanto tempolevar para encher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por minuto?


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54 Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura.Quantos m de tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma quantidade

de fio ?

55 A rea de um terreno dada pelo produto do comprimento pela largura. Um terrenoretangular tem 50 m de comprimento por 32 m de largura. Se voc diminuir 7 m da largura, dequantos m dever aumentar o comprimento para que a rea do terreno seja mantida ?

56 Na construo de uma quadra de basquete, 20 pedreiros levam 15 dias. Quanto tempolevariam 18 pedreiros para construir a mesma quadra ?

57 Um livro possui 240 pginas e cada pgina 40 linhas. Qual seria o nmero de pginasdesse livro se fossem colocadas apenas 30 linhas em cada pgina ?

58 Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada pginas so necessrias 280 pginas.Quantas pginas com 30 linhas cada uma seriam necessrias para paginar o mesmo livro?

59 Com velocidade mdia de 60 km/h, fui de carro de uma cidade A para uma cidade B em16 min. Se a volta foi feita em 12 minutos, qual a velocidade mdia da volta ?

60 ( MACK SP ) Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantasvoltas d a maior enquanto a menor d 100 voltas ?

61 Um caminho percorre 1.116 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantosquilmetros percorrer 10 dias, correndo 14 horas por dia?

62 Uma certa mquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregos durante 6 dias.Quantas horas por essa mquina deveria funcionar para fabricar 20.000 pregos em 20 dias?

63 Um ciclista percorre 75km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias fariauma viagem 200 km, pedalando 4 horas por dia?

64 Foram empregados 4 kg de fio para tecer 14 m de fazenda de 0,8 m de largura. Quantosquilogramas sero precisos para produzir 350 m de fazenda com 1,2 m de largura ?

65 Em 30 dias, uma frota de 25 txis consome 100.000 l de combustvel. Em quantos diasuma frota de 36 txis consumiria 240.000 de combustvel?


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66 Um folheto enviado pela Sabesp informa que uma torneira, pingando 20 gotas porminuto, em 30 dias, ocasiona um desperdcio de 100 l de gua. Na casa de Helena, uma

torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de guaforam desperdiados.

67 Numa fbrica de calados, trabalham 16 operrios que produzem, em 8 horas de serviodirio, 240 pares de calados. Quantos operrios So necessrios para produzir 600 pares decalados por dia, com 10 horas de trabalho dirio?

68 Meia dzia de datilgrafos preparam 720 pginas em 18 dias. Em quantos dias 8datilgrafos, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararo 800 pginas ?

69 Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo nmero deoperrios levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo nmero de operrios ergueria um murode 2 m de altura e 25 m de comprimento ?

70 Um automvel, com velocidade mdia de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias parafazer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, emquanto tempo ele faria o mesmo percurso?

71 Dois carregadores levam caixas do depsito para um caminho. Um deles leva 4 caixaspor vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutospara ir e voltar. Enquanto o mais rpido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro ?

72 O consumo de 8 lmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, de 14quilowatts. Qual ser o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas lmpadas acesasdurante 4 horas por dia?

73 Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12 dias?

74 Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos?

75 ( UNIV. BRASLIA ) Com 16 mquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6 dias detrabalho. Quantas mquinas sero necessrias para confeccionar 2.160 uniformes em 24 dias?

76 ( USP SP ) Uma famlia composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de po. Quantos

quilos de po sero necessrios para aliment-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?


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77 ( CEFETQ 1991 ) Quinze operrios trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroemum muro de 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operrios construiro

um muro de 90 metros de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24dias?

78 ( CEFET 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, so causados por grande acmulo delixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantastoneladas sero retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?

79 ( CEFETQ 1996 ) Uma frota de caminhes percorreu 3 000 km para transportar umamercadoria, com velocidade mdia de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias sero

necessrios para que, nas mesmas condies, uma frota idntica percorra 4 500 km com umavelocidade mdia de 50 km/h ?

80 ( CEFETQ 1997 ) H 40 dias, um torneira na casa de Neilson est apresentando umvazamento de 45 gotas por minuto. Se um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentadopela mesma torneira, desperdia 100 litros de gua em 30 dias, calcular o nmero de litros degua j desperdiados na casa de Neilson.

81 ( EsPECEx 1981 ) Se 12 recenseadores visitam 1440 famlias em 5 dias de trabalho de 8horas por dia, quantas famlias sero visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4horas por dia ?

82 ( EsPECEx 1982 ) Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m decada. Quantos colares de 1,25 m sero fabricados em 5 dias ?

83 ( EsPECEx 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado suavelocidade em 10 km/h, teria percorrido essa distncia em 1 hora menos. Determinar avelocidade do trem, em km/h.

84 Se 4 mquinas fazem um servio em 6 dias, ento 3 dessas mquinas faro o mesmoservio em:

a) 7 dias b) 8 dias c) 9 dias d) 4,5 dias

85 Um quilo de algodo custa R$ 50,00. Um pacote de 40 gramas do mesmo algodo custa :

a) R$ 1,80 b) R$ 2,00 c) R$ 2,20 d) R$ 2,50


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86 Um litro de gua do mar contm 25 gramas de sal. Ento, para se obterem 50 kg de sal, onmero necessrio de litros de gua do mar ser:

a) 200 b) 500 c) 2 000 d) 5 000

87 Um avio percorre 2 700 km em quatro horas. Em uma hora e 20 minutos de vopercorrer:

a) 675 km b) 695 km c) 810 km d) 900 km

88 Na fabricao de 20 camisetas, 8 mquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 dessascamisetas, 4 mquinas gastariam quantas horas ?

a) 3 horas b) 6 horas c) 5 horas d) 4 horas

89 Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 kg de rao. Em quantos dias 3/8 deles comeriam75 kg de rao ?

a) 10 dias. b) 12 dias . c) 14 dias. d) 18 dias

90 Trs mquinas imprimem 9.000 cartazes em uma dzia de dias. Em quantos dias 8/3dessas mquinas imprimem 4/3 dos cartazes, trabalhando o mesmo nmero de horas por dia?

a) 4 dias. b) 6 dias. c) 9 dias. d) 12 dias

91 ( VESTIBULINHO SP ) Numa corrida de Frmula 1, um corredor d uma volta na pista em1 minuto e 30 segundos com velocidade mdia de 200 km por hora. Se sua velocidade mdiacair para 180km por hora, o tempo gasto para a mesma volta na pista ser de:

a) 2 min b) 2 min e 19 segundos

c) 1 min e 40 segundos d) 1 min e 50 segundos

92 ( UMC SP ) Um carro consumiu 50 litros de lcool para percorrer 600 km. Supondocondies equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumir :

a) 68 litros b) 80 litros c) 75 litros d) 70 litros

93 ( UF MG ) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuaiscongeladas suficientes para o almoo deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500empregados, a quantidade de marmitas j adquiridas seria suficiente para um numero de diasigual a:

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18


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94 ( UDF ) Uma mquina varredeira limpa uma rea de 5.100 m2 em 3 horas de trabalho. Nasmesmas condies, em quanto tempo limpar uma rea de 11.900 m2 ?

a) 4 horas b) 5 horas c) 7 horas d) 9 horas

95 ( PUC SP ) Um motorista de txi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$1.026,00 de gs. Qual ser o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia ?

a) R$ 1.026,00 b) R$ 2.052,00 c) R$ 3.078,00 d) R$ 4.104,00

96 ( VUNESP SP ) Um secretrio gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto,trabalhando 7 horas por dia. Se o prazo concedido fosse de 21 dias para realizar o mesmo

projeto, poderia ter trabalhado :a) 2 horas a menos por dia. b) 2 horas a mais por dia.

c) 3 horas a menos por dia. d) 3 horas a mais por dia.

97 ( MACK SP ) Se 15 operrios em 9 dias de 8 horas ganham R$ 10.800,00; 23 operriosem 12 dias de 6 horas ganhariam :

a) R$ 16.560,00 b) R$ 17.560,00. c) R$ 26.560,00. d) R$ 29.440,00

98 ( SANTA CASA SP ) Sabe-se que 4 mquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias,produzem 4 toneladas de certo produto Quantas toneladas do mesmo produto seriamproduzidas por 6 mquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias ?

a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5

99 ( FEP PA ) Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8horas por horas por dia. Vinte homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12horas por dia, gastaro :

a) 6 dias. b) 12 dias. c) 24 dias. d) 28 dias.

100 ( PUCCAMP-SP ) Operando 12 horas por dia horas, 20 mquinas produzem 6000 peasem 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho dirio, 15 daquelas mquinas produziro 4.000peas em:

a) 8 dias b) 9 dias c) 9 dias e 6 horas. d) 8 dias e 12 horas.

101 ( USP SP ) Uma famlia de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de po. Quantos quilossero necessrios para aliment-lo durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas ?

a) 3 quilos b) 4 quilos c) 5 quilos d) 6 quilos


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102 ( Unimep SP ) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratosem 30 minutos so necessrios:

a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos d) 5 gatos e) 6 gatos

103 ( FAAP SP ) Numa campanha de divulgao do vestibular, o diretor mandouconfeccionar cinquenta mil folhetos. A grfica realizou o servio em cinco dias, utilizando duasmquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor precisou fazer novaencomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasio, uma das mquinas estavaquebrada. Para atender o pedido, a grfica prontificou-se a trabalhar 12 horas por dia,executando o servio em :

a) 5 dias b) 8 dias c) 10 dias d) 12 dias

104 ( PUC Campinas 2001 ) Em uma fbrica, constatou-se que eram necessrios 8 dias paraproduzir certo n de aparelhos, utilizando-se os servios de 7 operrios, trabalhando 3 horas acada dia. Para reduzir a dois dias o tempo de produo, necessrio :

a) triplicar o n de operrios

b) triplicar o n de horas trabalhadas por dia

c) triplicar o n de horas trabalhadas por dia e o n de operrios

d) duplicar o n de operrios

e) duplicar o n de operrios e o nmero de horas trabalhadas por dia

105 ( UNICAMP 2001. ) Uma obra ser executada por 13 operrios (de mesma capacidade detrabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos8 dias do incio da obra 3 operrios adoeceram e a obra dever ser concluda pelos operriosrestantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual dever ser a jornada diria de trabalhodos operrios restantes nos dias que faltam para a concluso da obra no prazo previsto ?

a) 7h 42 min b) 7h 44 min c) 7h 46 min d) 7h 48 min e) 7h 50 min

106 ( CEFET 1990 ) Uma fazenda tem 30 cavalos e rao estocada para aliment-losdurante 2 meses. Se forem vendidos 10 cavalos e a rao for reduzida metade. Os cavalosrestantes podero ser alimentados durante:

a) 10 dias b) 15 dias c) 30 dias d) 45 dias e) 180 dias

107 ( CEFETQ 1980 ) Em um laboratrio de Qumica, trabalham 16 qumicos e produzemem 8 horas de trabalho dirio, 240 frascos de uma certa substncia. Quantos qumicos sonecessrios para produzir 600 frascos da mesma substncia, com 10 horas de trabalho por dia?

a) 30 b) 40 c) 45 d) 50


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Aula.18 - Probabilidades

1 Introduo

Probabilidade um conceito filosfico e matemtico que permite a quantificao da incerteza,permitindo que ela seja aferida, analisada e usada para a realizao de previses ou para aorientao de intervenes. aquilo que torna possvel se lidar de forma racional comproblemas envolvendo o imprevisvel. A probabilidade teve o inicio de seus estudos nos jogosde azar.

Chama-se experimento aleatrio quele cujo resultado imprevisvel, porm pertencenecessariamente a um conjunto de resultados possveis denominado espao amostral .

Qualquer subconjunto desse espao amostral denominado evento.

Se este subconjunto possuir apenas um elemento, o denominamos evento elementar.Por exemplo, no lanamento de um dado, o nosso espao amostral seria U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Exemplos de eventos no espao amostral U:

A: sair nmero maior do que 4: A = {5, 6}

B: sair um nmero primo e par: B = {2}

C: sair um nmero mpar: C = {1, 3, 5}

Nota: O espao amostral tambm denominado espao de prova.

Trataremos aqui dos espaos amostrais equiprovveis, ou seja, aqueles onde os eventoselementares possuem a mesma chance de ocorrerem.

Por exemplo, no lanamento do dado acima, supe-se que sendo o dado perfeito, as chancesde sair qualquer nmero de 1 a 6 so iguais. Temos ento um espao equiprovvel.

Em oposio aos fenmenos aleatrios , existem os fenmenos determinsticos, que soaqueles cujos resultados so previsveis, ou seja, temos certeza dos resultados a seremobtidos.

Normalmente existem diversas possibilidades possveis de ocorrncia de um fenmenoaleatrio, sendo a medida numrica da ocorrncia de cada uma dessas possibilidades,denominada Probabilidade.

Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada,

teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que ser muitomais frequente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando da, podermos afirmar queo evento "sair bola azul" tem maior probabilidade de ocorrer, do que o evento "sair bolabranca".

2 Conceito elementar de Probabilidade

Seja U um espao amostral finito e equiprovvel e A um determinado evento ou seja, umsubconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrncia do evento A ser calculada pela frmula,

p(A) = n(A) / n(U)

onde:

n(A) = nmero de elementos de A e n(U) = nmero de elementos do espao de prova U.Vamos utilizar a frmula simples acima, para resolver os seguintes exerccios introdutrios:


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1.1 - Considere o lanamento de um dado. Calcule a probabilidade de:

a) sair o nmero 3:

Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade procuradaser igual a p(A) = 1/6.

b) sair um nmero par: agora o evento A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidadeprocurada ser p(A) = 3/6 = 1/2.

c) sair um mltiplo de 3: agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidadeprocurada ser p(A) = 2/6 = 1/3.

d) sair um nmero menor do que 3: agora, o evento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto,p(A) = 2/6 = 1/3.

e) sair um quadrado perfeito: agora o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, p(A) =2/6 = 1/3.

1.2 - Considere o lanamento de dois dados. Calcule a probabilidade de:

a) sair a soma 8

Observe que neste caso, o espao amostral U constitudo pelos pares ordenados (i,j), onde i= nmero no dado 1 e j = nmero no dado 2.

evidente que teremos 36 pares ordenados possveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, omesmo ocorrendo com j.

As somas iguais a 8, ocorrero nos casos:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) e (6,2). Portanto, o evento"soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada ser igual a p(A) = 5/36.

b) sair a soma 12

Neste caso, a nica possibilidade o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada ser igual ap(A) = 1/36.

1.3 Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se umabola com reposio, calcule as probabilidades seguintes:

a) sair bola azul

p(A) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30%

b) sair bola vermelha

p(A) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50%

c) sair bola amarela

p(A) = 4/20 = 1/5 = 0,20 = 20%


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Vemos no exemplo acima, que as probabilidades podem ser expressas como porcentagem.

Esta forma conveniente, pois permite a estimativa do nmero de ocorrncias para umnmero elevado de experimentos. Por exemplo, se o experimento acima for repetido diversasvezes, podemos afirmar que em aproximadamente 30% dos casos, sair bola azul, 50% doscasos sair bola vermelha e 20% dos casos sair bola amarela. Quanto maior a quantidade deexperimentos, tanto mais a distribuio do nmero de ocorrncias se aproximar dospercentuais indicados.

A essa propriedade, damos o nome de Lei dos grandes nmeros. Que nos diz que serepetirmos um experimento um grande nmero de vezes o resultado do experimento tende ase estabilizar em torno da probabilidade de sua ocorrncia.


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3 Propriedades

P1: A probabilidade do evento impossvel nula.

Com efeito, sendo o evento impossvel o conjunto vazio (), teremos:

p() = n()/n(U) = 0/n(U) = 0

Por exemplo, se numa urna s existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma bolaverde (evento impossvel, neste caso) nula.

P2: A probabilidade do evento certo igual a unidade.

Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1Por exemplo, se numa urna s existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bolavermelha (evento certo, neste caso) igual a 1.

P3: A probabilidade de um evento qualquer um nmero real situado no intervalo real [0, 1].

Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima.

P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar igual a unidade.

Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A' = U .

n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U).Dividindo ambos os membros por n(U), vem:

n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:

p(A) + p(A') = 1

Nota: esta propriedade simples, muito importante pois facilita a soluo de muitosproblemas aparentemente complicados. Em muitos casos, mais fcil calcular a probabilidadedo evento complementar e, pela propriedade acima, fica fcil determinar a probabilidade doevento.

P5 : Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:

p(A U B) = p(A) + p(B) p(A B)

Observe que se A B= (ou seja, a interseo entre os conjuntos A e B o conjunto vazio),ento p(A U B) = p(A) + p(B).

Com efeito, j sabemos da Teoria dos Conjuntos que

n(A U B) = n(A) + n(B) n(A B)

Dividindo ambos os membros por n(U) e aplicando a definio de probabilidade, conclumosrapidamente a veracidade da frmula acima.


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Exemplo:

Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas so assinantesdo jornal J, 4000 so assinantes de P, 1200 so assinantes de ambos e 800 no l em jornal.Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os

jornais?

SOLUO:

Precisamos calcular o nmero de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaoamostral.

Teremos:

n(U) = N(J U P) + N. de pessoas que no l em jornais.

n(U) = n(J) + N(P) N(J P) + 800

n(U) = 5000 + 4000 1200 + 800

n(U) = 8600

Portanto, a probabilidade procurada ser igual a:

p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43.

Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.

A interpretao do resultado a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa dacomunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais de

aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de no ser).


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4 Probabilidade condicional

Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrncia de um evento A, sabendo-sede antemo que ocorreu um certo evento B. Pela definio de probabilidade vistaanteriormente, sabemos que a probabilidade de A dever ser calculada, dividindo-se o nmerode elementos de A que tambm pertencem a B, pelo nmero de elementos de B. Aprobabilidade de ocorrer A, sabendo-se que j ocorreu B, denominada Probabilidadecondicional e indicada por

p(A/B) probabilidade de ocorrer A sabendo-se que j ocorreu B da, o nome deprobabilidade condicional.

Teremos ento:

p(A/B) = n(A B)/ n(B)

onde A B = interseo dos conjuntos A e B.

Esta frmula importante, mas pode ser melhorada. Vejamos:

Ora, a expresso acima, pode ser escrita sem nenhum prejuzo da elegncia, nem do rigor,como:

p(A/B) = [n(A B)/n(U)] . [n(U)/n(B)]

p(A/B) = p(A B) . 1/p(B)

Vem, ento: P(A/B) = p(A B)/p(B), de onde conclumos finalmente:

p(A B) = p(A/B).p(B)

Esta frmula denominada Lei das Probabilidades Compostas.

Esta importante frmula, permite calcular a probabilidade da ocorrncia simultnea doseventos A e B, sabendo-se que j ocorreu o evento B.

Se a ocorrncia do evento B, no mudar a probabilidade da ocorrncia do evento A, ento

p(A/B) = p(A) e, neste caso, os eventos so ditos independentes, e a frmula acima fica:p(A B) = p(A) . p(B)

Podemos ento afirmar, que a probabilidade de ocorrncia simultnea de eventosindependentes, igual ao produto das probabilidades dos eventos considerados.

7/29/2019 Apostila Raciocinio Logico Completa

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