apostila noções de integral 2010
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FACULDADES INTEGRADAS
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO
MÉTODOS QUANTITATIVOS- Prof. EDUARDO
ALUNO(A): __________________________________________________________________
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DO CÁLCULO INTEGRAL
ANTIDIFERENCIAÇÃO, ANTIDERIVADA OU INTEGRAÇÃO:
A derivada e a integral são duas noções básicas do Cálculo Diferencial e Integral. Do ponto de
vista geométrico, a derivada está ligada ao problema de traçar a tangente a uma curva enquanto
que a integral está relacionada com o problema de determinar a área de certas figuras planas, mas
também possui muitas outras interpretações possíveis. Na realidade, a grande descoberta de
Newton e de Leibniz foi que a Matemática, além de lidar com grandezas, é capaz de lidar com a
variação das mesmas.
A idéia básica do conceito de integral já estava embutida no método da exaustão atribuído a
Eudoxo (406-355 a.C.), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212 a.C. O método da
exaustão consiste em "exaurir" a figura dada por meio de outras de áreas e volumes conhecidos.
O caso mais conhecido é o famoso problema da quadratura do círculo, isto é, o problema de obter um quadrado com a mesma área de um círculo de raio r dado.
O que permitiu a passagem do método de exaustão para o conceito de integral foi a percepção
que em certos casos, a área da região pode ser calculada sempre com o mesmo tipo de aproximação por retângulos.
Fazemos uma sequência de soma de áreas obtendo uma sequência numérica {Sn} é convergente
para um número real bem definido, diz-se que f é integrável no intervalo [a,b] e o valor do limite
desta sequência é denotado por:
=
A expressão da esquerda é a integral de f entre os limitantes de integração a e b e a expressão da
direita é o limite da sequência de somas parciais Sn.
A definição de integral é abstrata e tem pouco uso operacional. Em função disto, introduzimos
mecanismos que facilitam certos cálculos e os principais são as propriedades das integrais.
A integração pode ser concebida sob duas formas: integração indefinida ou definida:
1) Integral Indefinida: dada a derivada de uma função, consiste em achar a função que a
originou, ou seja achar sua primitiva.
A integração indefinida é basicamente a operação inversa da diferenciação.
Definição: Uma função F é antiderivada de f em um intervalo I se F‘ (x) = f(x) para todo x em I.
Notação: Para indicar a operação de integração efetuada, será utilizado o símbolo ∫ originado
da letra “s” , proveniente da palavra soma ou somatório.
f(x) dx = F(x) + C Onde:
F‘ (x) = f(x) e “c” é uma constante arbitrária, denota a família de todas as antiderivadas de f(x)
em um intervalo.
Exemplos:
1)
=dxx23
2)
=xdxcos
3)
=dxx 4
Generalizando: se ' e 1−==
nnnxyxy para a integração o processo é inverso:
1)
cn
xdxx
nn
++
=
+
1
1
Exercício:
1)
=dxx 35
2)
=dxx56
Propriedades da integral indefinida: 1) A integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais:
f(x) + g(x) dx =
f(x) dx +
g(x) dx
2) A constante multiplicada pode ser retirada do integrado:
(K.f)(x) dx = K
f(x) dx
3) A derivada da integral de uma função é a própria função:
Dx
f(x) dx = f(x)
Integrais imediatas: São as integrais que decorrem de forma direta das fórmulas de derivação. Através deste processo temos a tabela a seguir com algumas fórmulas de integral:
2) Integral definida: Consiste em achar a área situada entre uma curva e o eixo “x” num intervalo dado:
“a” é o limite inferior da integração “b” é o limite superior da integração
[ ] [ ]dxxfxgdxxgxfA
b
c
c
a
∫∫ −+−= )()()()(
Propriedades da integral definida: 1ª) Se os limites de integração forem o mesmo seu resultado é zero
a
a
f(x) dx = 0
2ª) Podemos inverter a posição dos limites de integração invertendo o sinal da integral
b
a
f(x) dx = -
a
b
f(x) dx
3ª) Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e K uma constante qualquer, então a função
Kf é integrável e
b
a
(K.f)(x) dx = K
b
a
f(x) dx
4ª) Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então f+g é integrável no mesmo intervalo
e além disso:
b
a
(f+g)(x) dx =
b
a
f(x) dx +
b
a
g(x) dx
5ª) Se f é uma função integrável nos intervalos [a,c] e [c,b], então f é integrável em [a,b] e além
disso:
b
a
f(x) dx =
c
a
f(x) dx +
b
c
f(x) dx
Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e seja F a função definida por
F(x) =
b
a
f(x) dx
Então, F é derivável em todos os pontos internos desse intervalo e F’(x) = f(x)
Ou:
Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e G uma
primitiva de f, então,
b
a
f(x)dx = F(b) - F(a)
Exemplo de cálculo da integral definida:
∫ −==
b
a
bFaFxFdxxf )()( )()(
∫1
0
xdx
Resolve-se como uma integral indefinida e em seguida substitui os limites de integração retirando a constante “c” .
∫1
0
xdx então cx
cx
xdx +=++
=
+
∫ 211
211
substituindo os limites de integração temos:
2
1
2
0
2
1 22
=
−
Calcule a área das regiões indicadas nas figuras:
1)
2)
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO:
Este tipo de integral funciona como a regra da cadeia para integrais de funções.
Seja a expressão [ ]∫ dxxfxfg )('.)( . Através da substituição )(''por )( xfuxfu == , temos:
[ ] [ ]∫∫ +=+== cxfhcuhduugdxxfxfg )()()()('.)( admitindo que se conhece ∫ duug )(
Exemplo:
f(u(x)) u'(x) dx Basta substituir “u” por u(x) e teremos:
f(u) du
Observação: Para trabalhar com o método de integração por substituição há a necessidade de
fazer uso de bastante criatividade, percepção e muitos exercícios!
Exemplos:
1) ∫ =++ dxxxx )32).(3( 2
2) ( )∫ =− xdxx 212
3) ∫ =+
dxx
x
1
52
4) ∫ =+
dxx
x
4
EXERC ÍCIOS
1ª QUESTÂO: Resolva as integrais indefinidas abaixo:
1) ( )∫ =−+ dxxxx 232
2) ∫ =
+ dxx
x
31
3) =−+∫ dxx
xx )1
sen2
1(cos
4) =
−∫ dx
x
xx
5) =
−+∫ dx
x
xx2
2 1
6) =
+∫ dx
xx 32
32
7) ∫ =dxx
x1
).cos(ln
8) ∫ =dxx)7cos(
9) ( )∫ =− dxxx 243 1
2ª QUESTÂO: Resolva As integrais definidas abaixo:
1) ( )∫ =++
1
0
2 32 dxxx
2) ( )∫ =+
2
1
2 2 dxxx
3) ∫ =+
2
0
2 1dx
x
x
4) ∫ =+
1
0
21
1dx
x
3ª QUESTÃO: Calcule a área limitada por:
1) 3x0 para x,eixo o e )( 2≤≤= xxf 2) 22 2)( e )( xxxfxxf −==
INTEGRAÇÃO POR PARTES:
Se existe uma primitiva G para a função g, isto é: G'(x)=g(x), então:
∫ ∫−= dxxGxfxGxfdxxgxf )().(')().()().(
Exemplo: Para calcular ∫ dxxx )ln(. , tomamos g(x)=x e f(x)=ln(x). Assim, uma primitiva para
g=g(x) é a função G(x)=x²/2 e f'(x)=1/x e a fórmula de integração por partes, nos informa que:
∫ ∫−= dxxGxfxGxfdxxgxf )().(')().()().(
Teremos:
Cxxxdxxxxdxx
xxdxxx +−==−= ∫∫∫ )ln(
2
1)ln(..
1
2).ln()ln(. 2
2
A constante só foi colocada no final para não atrapalhar os cálculos intermediários.
Exercício: Calcular as integrais abaixo pelo uso sucessivo do método de integração por partes.
1. E1= x ex dx
2. E2= x² ex dx
3. E3= x³ ex dx
4. En= xn ex dx