SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL

Escola de Educação Profissional SENAI “Plínio Gilberto Kröeff”

MECÂNICA TÉCNICA Professor: Dilmar Cordenonsi Martins Curso: Mecânica de Precisão

São Leopoldo 2009

1

SUMÁRIO 1CÁLCULO APLICADO ............................................................................................ 03

1.1 UNIDADES DE MEDIDAS ..................................................................................... 03

1.2 SISTEMAS DE UNIDADES ................................................................................... 04

1.3 NOTAÇÃO CIENTÍFICA ........................................................................................ 06

1.4 PREFIXOS SI ........................................................................................................... 07

1.5 TEOREMA DE PITÁGORAS .................................................................................. 07

1.6 TRIGONOMETRIA ................................................................................................. 09

1.7 REGRA DE TRÊS .................................................................................................... 11

1.7.1 Regra de Três Direta ............................................................................................ 11

1.7.2 Regra de Três Inversa. ........................................................................................ 12

1.8 SISTEMA DE EQUAÇÕES ..................................................................................... 14

1.8.1 Método da Adição ................................................................................................ 14

1.8.2 Método da Substituição ....................................................................................... 16

1.9 ÁREA DE SUPERFÍCIES PLANAS ........................................................................ 18

1.10 VOLUME ............................................................................................................... 20

2 VETORES .................................................................................................................. 27

2.1 GRANDEZAS FÍSICAS ........................................................................................... 27

2.2 CONCEITO DE VETOR .......................................................................................... 27

2.3 VETORES IGUAIS E VETORES OPOSTOS ....................................................... 28

2.4 ADIÇÃO DE VETORES .......................................................................................... 28

2.4.1 Método do Paralelogramo ................................................................................... 28

2.4.2 Método do Polígono ............................................................................................. 30

2.4.3 Casos particulares da adição de vetores .............................................................. 30

2.5 PROJEÇÃO DE UM VETOR NUM EIXO ............................................................... 32

2.6 COMPONENTES DE UM VETOR .......................................................................... 33

2.7 ADIÇÃO DE VETORES PELO MÉTODO DAS PROJEÇÕES ............................... 34

3 INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA .......................................................................... 40

3.1 VELOCIDADE MÉDIA ( vm ) ................................................................................. 40

3.2 ACELERAÇÃO MÉDIA ( am) ................................................................................. 41

4LEIS DE NEWTON .................................................................................................. 43

4.1 INÉRCIA .................................................................................................................. 43

2

4.2 PRIMEIRA LEI DE NEWTON OU PRINCÍPIO DA INÉRCIA ............................... 44

4.3 SEGUNDA LEI DE NEWTON OU PRINCÍIPIO FUNDAMENTAL ...................... 45

4.4 TERCEIRA LEI DE NEWTON - PRINCÍPIO DA AÇÃO E REAÇÃO ................... 47

5 FORÇA DE ATRITO ................................................................................................ 49

5.1 FORÇA DE ATRITO ESTÁTICO ............................................................................ 50

5.2 FORÇA DE ATRITO DINÂMICO ........................................................................... 51

5.3 INFLUÊNCIA DA RESISTÊNCIA DO AR ............................................................. 52

6 PLANO INCLINADO ............................................................................................... 54

7 EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL ...................................................... 57

8 MOMENTO DE UMA FORÇA OU TORQUE ................................................... 60

8.1CONCEITO ............................................................................................................... 60

8.2 CONVENÇÃO DE SINAIS DO MOMENTO .......................................................... 61

8.3 BINÁRIO ................................................................................................................. 63

9 VÍNCULOS ................................................................................................................ 67

9.1 CLASSIFICAÇÃO DOS VÍNCULOS ...................................................................... 67

9.2 EFICÁCIA VINCULAR ........................................................................................... 68

9.3 CLASSIFICAÇÃO ESTRUTURAL ......................................................................... 69

10 EQUILÍBRIO DE UM CORPO EXTENSO ........................................................... 71

10.1 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO ............................................................................ 71

10.2 CÁLCULO DE REAÇÕES EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICA

POR APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO DA MECÂNICA ................ 71

REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 76

3

1 CÁLCULO APLICADO

1.1 UNIDADES DE MEDIDAS

Medir uma grandeza física significa compará-la com outra grandeza de mesma

espécie, tomada como padrão. Este padrão é a unidade de medida.

� Unidades de comprimento

Nome

quilômetro

hectômetro

decâmetro

metro

decímetro

centímetro

milímetro

Símbolo

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

� Unidades de Área

Nome

quilômetro quadrado

hectômetro quadrado

decâmetro quadrado

metro

quadrado

decímetro quadrado

centímetro quadrado

milímetro quadrado

Símbolo

km²

hm²

dam²

m²

dm²

cm²

mm²

� Unidades de Volume

Nome

quilômetro

cúbico

hectômetro

cúbico

decâmetro

cúbico

metro cúbico

decímetro

cúbico

centímetro

cúbico

milímetro

cúbico

Símbolo

km³

hm³

dam³

m³

dm³

cm³

mm³

Nome

quilolitro

hectolitro

decalitro

litro

decilitro

centilitro

mililitro

Símbolo

kl

hl

dal

l

dl

cl

ml

4

� Unidades de Massa

Nome

quilograma

hectograma

decagrama

grama

decigrama

centigrama

miligrama

Símbolo

kg

hg

dag

g

dg

cg

mg

1.2 SISTEMAS DE UNIDADES

� Sistema Internacional de Unidades

No Brasil, o sistema de unidades adotado oficialmente é o Sistema Internacional (SI).

De acordo com o SI, há sete unidades fundamentais, conforme o quadro abaixo.

UNIDADES FUNDAMENTAIS DO SI GRANDEZA

NOME SÍMBOLO

comprimento metro

m

massa quilograma kg

tempo segundo s

intensidade de corrente elétrica ampère A

temperatura termodinâmica kelvin K

quantidade de matéria mol mol

intensidade luminosa candela cd

A partir das unidades fundamentais, derivam-se as unidades de outras grandezas, que

recebem, então, a denominação de unidades derivadas.

No estudo da Mecânica, adota-se um subconjunto do SI conhecido como sistema

MKS.

5

SISTEMA MKS comprimento

M m (metro)

massa K

kg (quilograma)

tempo S

s (segundo)

� Sistema CGS

Na Mecânica também é utilizado o sistema CGS.

SISTEMA CGS comprimento

C cm (centímetro)

massa G

g (grama)

tempo S

s (segundo)

EXERCÍCIOS - CONVERSÃO UNIDADES DE MEDIDAS 1) Converter:

a) 6,316 m __________________cm b) 56 dm _______________________ hm c) 45 000 000 mm² ____________ m² d) 8,915 dam² ___________________ dm² e) 1538,7 cm³ _______________ dm³ f) 6 dam³________________________ m³ g) 832000 mm³ ______________ ml h) 75100 cl ______________________ m³ i) 6,43 kg ___________________ g j) 3817,3 dg ____________________dag

2) Converter para o Sistema Internacional de Unidades (SI) as unidades abaixo:

a) 2,37 cm ________________ b) 8 000 dm² ____________________ c) 82 dam³ _______________ d) 34781,6 dg ____________________

6

3) Utilizando os fatores de conversão das tabelas, converter:

a) 50 in em cm ________________ b) 25 cm em in _____________________ c) 75 kg em onça____________ d) 240 lb em kg____________________ e) 40 kgf em N ________________ f) 6 atm em N/m²___________________

1.3 NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Uma maneira prática de escrevermos números com grande quantidade de zeros é a

notação científica, na qual se utilizam as potência de dez .Qualquer número real pode ser

escrito como o produto de um número, cujo módulo está entre 1 e 10 (incluindo o 1), por

outro, que é uma potência de dez com expoente inteiro (10x ).

Notação Científica ( 1 ≤ N < 10 ). 10x

N = número compreendido entre 1 e 10 x = expoente inteiro

Exemplos: 1º caso: O número maior que 1

35 000 000 = 3,5.107

O expoente do dez indica o número de vezes que devemos deslocar para a direita a vírgula.

2º caso: O número é menor que 1

0,000469 = 4,69. 10-4

O expoente negativo do dez indica o número de vezes que devemos deslocar a vírgula para a

esquerda.

EXERCÍCIOS

Coloque os números seguintes em forma de notação científica.

1) 358 000 2) 0,0015 3) 0,0000000957

4) 8 341 000 000 5) 141.103 6) 0,0064.10-2

7) 8752,4 9) 265,7. 105 10) 45000.10-2

7

1.4 PREFIXOS SI

Nome Símbolo Fator de Multiplicação exa E 1018

peta P 1015 tera T 1012 giga G 109 mega M 106

quilo k 103

hecto h 102

deca da 10 deci d 10-1

centi c 10-2 mili m 10-3

micro µ 10-6 nano n 10-9 pico p 10-12

femto f 10-15 atto a 10-18

1.5 TEOREMA DE PITÁGORAS O quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos.

Essa relação vale para todos os triângulos retângulos.

hipotenusa a cateto c

ca

teto

b

8

Hipotenusa : lado maior do triângulo retângulo

EXERCÍCIOS 1) A diagonal "d" de um retângulo cujos lados medem 16 cm e 12 cm é: a) 17 cm b) 18 cm c) 19cm d d) 20 cm 12 cm e) 21 cm 16 cm 2) O valor de x do triângulo abaixo é igual a: a) 3

b) 3 c) 4

d) 5 5 3 cm 10 cm

e) 5 3) Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos no chão, em um terreno plano

horizontal, conforme mostra a figura. Se A está a 15 m da base B da torre e C está a 20 m de

altura, o comprimento do cabo AC é:

A B

a2 = b2 + c2

C a) 15 m b) 20 m c) 25 m d) 35 m e) 40 m

. x

9

1.6 TRIGONOMETRIA C a

Hipotenusa → lado maior do triângulo retângulo = a

Cateto adjacente ao ângulo α: lado que forma o ângulo α juntamente com a hipotenusa = b

Cateto oposto ao ângulo α = c

Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

SENO DE UM ÂNGULO

sen  = sen α = hipotenusa

opostocateto =

a

c

sen  = seno do ângulo  ou

sen α = seno do ângulo α

CO-SENO DE UM ÂNGULO

cos  = cos α = hipotenusa

cateto adjacente =

a

b

α

A b B

c

10

TANGENTE DE UM ÂNGULO

EXERCÍCIOS 1) Determine o valor de X dos triângulos retângulos abaixo.

a) b) 20 cm

2) Um fio vai ser esticado do topo de um prédio até um ponto no chão, conforme indica a

figura. Considerando sen 37º = 0,6 ; cos 37º = 0,8 e tg 37º = 0,75, determine o comprimento

do fio.

37º

42 m

tg  = tg α = adjacente

oposto

cateto

cateto =

b

c

30º

X 53º

X

12 cm

11

3) Qual é a altura da igreja, sabendo-se que a distância do ponto A até o ponto B é 100 m.

A

4) No triângulo retângulo abaixo, é verdadeira a igualdade:

a) sen α = t

s

b) sen α = r

t

c) cos α = r

s s

d) cos α = r

t

e) tg α = r

s

1.7 REGRA DE TRÊS

1.7.1 Regra de Três Direta

Exemplo:

Em 12 m2 de parede foram utilizados 540 tijolos. Quantos tijolos serão necessários

para construir 20 m2 de parede ?

Relação: mais m2 de parede mais tijolos - Relação MAIS - MAIS

37º

B

α .

r

t

12

A relação Mais-Mais ou Menos-Menos caracteriza a regra de três direta. Na regra

de três direta multiplicamos cruzado.

12 m2 540 tijolos 20 m2 X

X . 12 = 20 . 540 → X . 12 = 10800 → X = 12

10800 →

X = 900 tijol.os.

1.7.2 Regra de Três Inversa

Exemplo: Uma casa é construída por 20 pedreiros em 30 dias. Em quantos dias será

construída a mesma casa se o número de pedreiros aumentar para 50?

Relação: mais operários menos dias

A relação Mais - Menos ou Menos – Mais caracteriza a regra de três inversa.

Na regra de três inversa multiplicamos lada a lado.

20 operários 30 dias 50 operários X

50 . X = 20 . 30 → 50X = 600 → X = 50

600 → X = 12 dias

EXERCÍCIOS 1) Uma máquina produz 100 peças em 5 horas. Quantas peças produz em 2 horas?

2) Uma ponte é feita em 120 dias por 16 trabalhadores. Se o número de trabalhadores for

reduzido para 10, qual o número de dias necessários para a construção da mesma ponte ?

3) Duas polias, ligadas por uma correia, têm raios 20 cm e 50 cm. Supondo que a polia

maior efetua 100 rpm, qual a rotação da polia menor ?

13

1.8 SISTEMA DE EQUAÇÕES

1.8.1 Método da Adição

Elimina-se uma das incógnitas somando algebricamente a equação de cima com a

equação de baixo.

Exemplo 1

- 3X + Y = 14 4X – Y = 8 Adicionando as equações membro a membro, temos: - 3X + Y = 14 4X – Y = 8 X + 0Y = 22 → X = 22 Achando X, podemos determinar o valor de Y na 1ª ou na 2ª equação. -3X + Y = 14 → X = 22 - 3. (22) + Y = 14 - 66 + Y = 14 → Y = 14 + 66 → Y = 80 Exemplo 2 4X + 3Y = 6 2X + 5Y = -4

Nesse exemplo não adianta somar as equações, pois nem X nem Y serão cancelados.

Devemos preparar o sistema de modo que os coeficientes de uma das incógnitas

fiquem simétricos, por exemplo X. Para conseguir que os coeficientes fiquem simétricos,

podemos multiplicar a 2ª equação por (-2).

Obs.: Uma igualdade não se altera quando multiplicamos todos os seus temos pelo mesmo número

14

4X + 3Y = 6 2X + 5Y = -4 multiplicando todos os termos da equação por (-2), temos: 4X + 3Y = 6 -4X - 10Y= +8 Somando-se as equações, encontramos:

- 7 Y = 14 → - 14 = 7Y → Y=−

7

14 → Y = -2

Substituindo-se o valor de Y na 1ª equação, tem-se:

4X + 3(-2) = 6 → 4X – 6 = 6 → 4X = 6+ 6 → 4X = 12 → X = 4

12

X = 3 Exemplo 3 2a + 4b = 9 3a - 5b = 7

Para ajustar as equações para que uma das incógnita se anule podemos multiplicar a

1ª equação por -3 e a 2ª equação por 2.

2a + 4b = 9 x (-3) 3a - 5b = 7 x (2) - 6a - 12b = -27 6a - 10b = 14 0a - 22b = - 13

13 = 22b → 22

13=b

2a + 4b = 9 → 2a + 4(22

13) = 9 → 2a +

22

52 = 9 → 2a = 9 -

22

52

15

2a = 11

73 → a =

211

73

→ a = 22

73

1.8.2 Método da Substituição X + Y = 11 2X – 4Y = 10 Escolhemos uma das equações, a 1ª equação, por exemplo, e isolamos uma das incógnitas. X + Y = 11 → X = 11 - Y Tomamos a outra equação do sistema (2ª equação) e substituindo X pela expressão que

obtivemos anteriormente, temos:

2X – 4Y = 10 2 ( 11 – Y ) – 4Y = 10 → 22 – 2Y – 4Y = 10 → 22 – 6Y = 10 → 22 – 10 = 6Y

12 = 6Y → Y=6

12 → Y = 2

Substituindo-se Y pelo seu valor na equação X = 11 – Y , encontramos: X = 11 – Y → X = 11 – 2 → X = 9

16

EXERCÍCIOS Resolva os sistemas seguintes pelo método que achar mais conveniente. 1. - X + 4Y = 3 6X – 2Y = 26 2. 2a + b = -4 3a + 6b = -15 3. 2X + 3Y = 14 3X + 2Y = 11

17

1.9 ÁREA DE SUPERFÍCIES PLANAS

A = a.b A = a2

A= 2

.ha A = a.h

A = 2

).( hbB + A =

2

.dD

A = π.R2

α em graus

A = 360

.. 2Rπα

α em radianos

A = 2

. 2Rα

A = π.(R2 – r2)

α em radianos

A = ).(2

2

αα senR

−

18

EXERCÍCIOS

1) Na figura AB = 2,0 cm; CF = 8,0 cm; DE = 5,0 cm; AF = 3,0 cm e FE = 3 cm.

Determine a área do polígono ABCDE, em cm2.

C

A F E 2) Um terreno tem a forma e as dimensões especificadas na figura abaixo. A área desse

terreno é:

24 m 3) Calcule a área das superfícies planas pintadas abaixo. A) B) 42 cm

B

D

3

0 m

20

m

a) 1200 m² b) 1000 m² c) 600 m² d) 500 m² e) 360 m²

18 cm

30 cm

10

cm

r

Raio r = 10 cm

34 cm

19

1.10 VOLUME

a

a a

V = a3

a b

c

V = a.b.c

r

h

V = π. r2. h

d

V= 6

. 3dπ

V= 3

.. 2hrπ

h

r

r

h

r

V = )..(3

. 22rRrR

h++

π

h

Ab

V = 3

1. Ab. h

V= )..(3 bBbB AAAAh

++

AB

Ab

h

20

EXERCÍCIOS

1) Quantos litros de água cabem num reservatório que tem a forma de um bloco retangular

com dimensões de 3 m x 1,5 m x 1,2 m.

1,5 m

3 m 2) O cilindro representado na figura tem raio de 3 m e altura igual a 4m. Determine o seu

volume.

3) Um cubo X tem 2 m de aresta e um cubo Y tem 1 m de aresta. Então, o volume do cubo

X é igual a:

a) duas vezes o volume de Y b) três vezes o volume de Y a c) quatro vezes o volume de Y d) seis vezes o volume de Y a e) oito vezes o volume de Y

1,2 m

a

21

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Efetue as conversões: a) 12,781 m =________________cm b) 2595,4 dm2 =_______________ dam2 c) 126 hm2 = _______________m2 d) 57000 mm3 = ________________ cm3 e) 28 cm³ =________________ cl f) 135,1 mg = _________________ g g) 15 in = __________________cm h) 40 lb = ____________________ kg i) 40 kgf = _________________N j) 6 atm = ____________________ Pa 2) Converter para o Sistema Internacional de Unidades (SI) as unidades abaixo:

a) 1,947 hm _________________ b) 527 000 litros ___________________ c) 76500 cm2_________________ d) 2456,9 dg _______________________

3) Escreva os números abaixo na forma de notação científica

a) 0,0058___________________ b) 65 000 000 ________________________ 4) De acordo com os dados da figura, determine a medida do segmento Y.

5) Qual é o valor da medida X no triângulos abaixo.

30 cm

a) b) X X 15 cm

60c m

80 cm

Y .

30º

53º

22

6) Uma pessoa está distante 60 m da base de um prédio e vê o ponto mais alto do prédio sob

um ângulo de 37º em relação a horizontal. Qual é a altura do prédio ?

7) Considere o triângulo da figura. A

Dado AB = 20 cm , calcule a medida AC e AH

8) Transforme: a) 150º em radianos b) 5 π/6 rad em graus

9) Qual é a área da figura? 5 m 2 m

2 m 5 m

60º 45º B H C

2

m

2 m

23

10) Calcule a área das superfícies planas abaixo.

30 cm 8 cm 11) O reservatório da figura tem as seguintes dimensões internas: 5 m de comprimento,

2,4 m de altura e 1,5 m de largura. Estando com água até os 3

2 de sua capacidade

máxima, ele contém um volume de água correspondente a:

a) 21 m3

b) 12 m3 c) 18 m3

d) 8 m3 e) 6 m3

5 m

12) Calcular o volume de um paralelepípedo retângulo cujos lados são 40 cm, 30 cm e 20

cm. 13) Calcular o volume de um cilindro de diâmetro 20 cm e altura 30 cm.

14) O volume de um cubo é 27 cm³. Calcule a medida da aresta do cubo. a a

2,4 m

20

cm

14 cm

a

.

20 c

m

a) b)

1,5 m

24

15) As raízes reais da equação 9x2 - 2

3x = 0, são

a) 0 ou -6 b) 1 ou 3

c) 0 ou 6

1

d) 3 ou 6

e) 3

2 ou 1

16. Quais as raízes reais da equação 4x2 - 3x - 1 = 0 ? 17. O sistema x - y = 5 tem como solução: 2x + 3y = - 55

a) ( - 8 , - 2

1 )

b) ( -13, 4 )

c) ( - 4, -8)

d) ( - 8, -13 )

e) (- 4 , 8 ) 18) Dezesseis máquinas foram alugadas para fazer um serviço de terraplanagem em vinte

dias. Porém seis dessas máquinas não puderam ser usadas por defeitos técnicos. Em

quantos dias as máquinas restantes fizeram o mesmo serviço?

19) O litro de gasolina comum custava R$ 2,00. Houve um aumento de 10 % no preço.

Após o aumento para encher um tanque de 40 litros são necessários:

a) R$ 80,00 b) R$ 84,00 c) R$ 88,00 d) R$ 92,00 e) R$ 94,00

25

20. O pneu de um veículo, com 800 mm de diâmetro, ao dar uma volta completa percorre, aproximadamente, uma distância de:

a) 2,51 m b) 5,00 m c) 25,10 m d) 0,50 m e) 1,51 m

21. O perímetro do retângulo em figura é 30 cm.

Então x é igual a: a) 5 cm b) 2 cm c) 4,5 cm d) 10 cm e) 7,5 cm

4 x

3 x + 1

26

2 VETORES

2.1 GRANDEZAS FÍSICAS

A tudo aquilo que pode ser medido, associando-se a um valor numérico e a uma

unidade, dá-se o nome de grandeza física.

As grandezas físicas são classificadas em:

Grandeza Escalar: fica perfeitamente definida (caracterizada) pelo valor

numérico acompanhado de uma unidade de medida.

Exemplos: comprimento, área, volume, massa, tempo, temperatura, etc.

Grandeza Vetorial: necessita, para ser perfeitamente definida (caracterizada), de

um valor numérico, denominado módulo ou intensidade, acompanhado de uma unidade de

medida, de uma direção e de um sentido. Toda a grandeza Física Vetorial é representada

por um vetor.

Exemplos: Força, velocidade, aceleração, campo elétrico, etc.

2.2 CONCEITO

Vetor: é um símbolo matemático utilizado para representar o módulo, a direção e o sentido

de uma grandeza física vetorial. O vetor é representado por um segmento de reta orientado.

Módulo: é a medida do comprimento do segmento de reta orientado que o representa.

Direção: ângulo que o vetor forma com um eixo de referência. Determinada pela reta

suporte do segmento orientado.

Sentido: orientação do vetor.

Exemplo 1

P Módulo: Fr

= 30 N ou F = 30 N

Direção: 90º com o eixo horizontal X ou

Fr

= 30 N direção Vertical

O Sentido : de O para P ou Norte X.

27

Módulo: v

v = 8 m/s

Exemplo 2 P Direção: 55º com o eixo horizontal X v

r= 8 m/s Sentido: de O para P

O 55º X 2.3 VETORES IGUAIS E VETORES OPOSTOS

Vetores iguais: Dois ou mais vetores são iguais quando têm o mesmo módulo, a mesma

direção e o mesmo sentido.

Vetores opostos: Dois vetores são opostos quando têm o mesmo módulo, a mesma direção e

sentidos contrários.

2.4 ADIÇÃO DE VETORES

2.4.1 Método do Paralelogramo

Vetor Resultante: Vetor Resultante de vários vetores é o vetor que, sozinho, produz o

mesmo efeito que todos os vetores reunidas.

Rr

= vetor resultante ou Sr

= vetor soma

Sejam dois vetores Fr

1 e Fr

2 , formando entre si um ângulo α. O vetor soma Sr

, também

chamado de vetor resultante Rr

, é indicado por Sr

ou Rr

= Fr

1 + Fr

2.

Fr

1 Fr

2

28

Desenhamos os dois vetores com suas origens coincidentes. A partir da extremidade

do vetor Fr

1, traçamos um segmento de reta paralelo ao vetor Fr

2.

Em seguida, a partir da extremidade do vetor Fr

2, traçamos um outro segmento

paralelo ao vetor Fr

1. O vetor soma é obtido pela ligação do ponto de origem comum dos

vetores ao ponto de intersecção dos segmentos de reta traçados.

R

v

O módulo do vetor resultante é dado por:

Rr

2 = 2

1Fr

+ 2

2Fr

+ 2. 1Fr

. 2Fr

. cos α Lei dos cossenos

Exemplo - Dados os vetores ra e

rb abaixo, de módulos iguais a 5 unidades e 9 unidades,

respectivamente. Sendo cos 60º =0,5 , represente graficamente, pela regra do

paralelogramo o vetor soma rS e calcule o seu módulo.

αcos...222babaSvvvvv

++=

º60cos.9.5.295 22++=S

v = 5,0.908125 ++ = 458125 ++ = 12,29 u

Fr

1

Fr

2

α

ou

Rr

= αcos...2 212

22

1 FFFFvvvv

++

ra 60º

rb

ra

rb

Sv

29

2.4.2 Método do Polígono

A regra do polígono pode ser utilizada na adição de qualquer número de vetores. Para

a sua utilização devemos colocar os vetores de tal modo que a origem do segundo vetor

coincida com a extremidade do primeiro; a origem do terceiro coincida com a extremidade

do segundo; a origem do quarto coincida com a extremidade do terceiro; e assim

sucessivamente. O vetor soma ou vetor resultante é determinado ligando-se a origem do 1º

vetor à extremidade do último vetor, conforme mostra o exemplo abaixo.

Ex. Dadas as forças Fr

1 , Fr

2, Fr

3 e Fr

4 , cujos módulos são, respectivamente, 30

N, 50N, 40 N e 20 N, determine graficamente (método do polígono) a força resultante

Rr

= Fr

1 + Fr

2 + Fr

3 + Fr

4. Escala: 1 cm = 10 N

F

r

2 Fr

4 F

r

1 Fr

3 F

r

4 R

r≅ 31 N

F

r

3 F

r

1 F

r

2

2.4.3 Casos particulares da adição de vetores 1° ) Os vetores tem a mesma direção e o mesmo sentido ( αααα = 0º )

1F

r = 4 N

2Fr

= 3 N

1Fr

2Fr

Rv

= 4 + 3 = 7 N

NR 7=

v

21 FFRvrv

+=

30

2º ) Os vetores tem a mesma direção e sentidos contrários ( αααα = 180º ) 1F

r = 7 N

2Fr

= 3 N 1F

r R

v = 7 - 3 = 4 N

NR 4=v

2Fr

3º) Os vetores são perpendiculares entre si ( αααα = 90º ) Triângulo retângulo “1”

Rr

Aplicando Pitágoras, temos:

1Fr

F1

R2 = ( F1 )2 + ( F2 )

2

2

22

1 FFRrvv

++++====

21 FFRvrv

−=

1

2Fr

31

2.5 PROJEÇÃO DE UM VETOR NUM EIXO

Ex. 1 Y

proj x F → projeção no eixo X da força F

rr

F

rr = 30 N

yFr

=0 proj x F = Fx = 30 N proj y F = Fy = 0 xF

r X

Ex. 2 Y yFr

proj x F = Fx = 0 N proj y F = Fy = 60 N ====F

v 60 N

xF

r= 0 X

CONVENÇÃO DE SINAIS PARA PROJEÇÕES DE VETORES - Eixo “X” - Orientação do vetor para a direita – positivo - Orientação do vetor para a esquerda - negativo

- Eixo “Y” - Orientação do vetor para cima positivo - Orientação do vetor para baixo negativo

- + +

-

32

2.6 COMPONENTES DE UM VETOR

Todo o vetor pode ser obtido a partir da soma de dois outros vetores, perpendiculares

entre si, chamados de componentes do vetor dado. Assim, dado o vetor NF 100====r

, ele pode

ser decomposto em dois outros vetores, xFr

e yFr

, que recebem o nome de componentes

retangulares ( ou componentes horizontal e vertical ) do vetor Fr

.

Y Y

β Fr

yFr

X xFr

X

Cálculo de Fx Cálculo de Fy

Triângulo 1 Triângulo 2 cos α = cateto adjacente/ hipotenusa cos β = cateto adjacente / hipotenusa

cos α = F

Fx cos β = F

Fy

cos α . F = Fx F. cos β = Fy

Fx = F . cos α Fy = F. cos β

α α

β

1

2

Fr

33

Cálculo de Fy usando o seno - Triângulo 1 sen α = cateto oposto / hipotenusa

sen α = F

FY → Fy = F . sen α

Ex.1. Determinar os componentes horizontal e vertical do vetor Fr

. Y

Fr

= 50 N Fx = F cos α Fx = 50 . cos 37º

yFr

53º Fx = 50 . 0,8 = 40 N Fy = F. cos β Fy = 50 .cos 53º Fy = 50.0,6 = 30 N Ex. 2. Determinar as componentes horizontal e vertical do vetor v

r representado abaixo.

Y v

r

X 2.7 ADIÇÃO DE VETORES PELO MÉTODO DAS PROJEÇÕES

Quando o sistema é formado por mais de dois vetores concorrentes e coplanares,

podemos determinar o vetor resultante pelo método das projeções de cada vetor em dois

eixos perpendiculares ( X e Y ).

37º

xFr

X

60º

34

Ex. Dadas as forças indicadas na figura, determine o módulo, a direção e o sentido da força

resultante Rr

( Rr

= 321 FFFvvv

++++++++ )

Y 37º X

3Fr

= 40 N 1º ) Resultante em X Rx = Σ proj x F Rx = proj x F1 + proj x F2 + proj x F3

Rx = 50 – 20 cos 37º + 0 Rx = 50 – 20 . 0,8 Rx = 50 – 16 Rx = 34 N 2º ) Resultante em Y RY = Σ proj Y F Ry = proj y F1 + proj y F2 + proj y F3 RY = 0 + 20.cos 53º - 40 RY = 20.0,6 – 40 = 12 – 40 = – 28

1Fr

= 50 N

2Fr

= 20 N

35

3º) Cálculo do módulo do vetor resultante Y

Rv

= 22RyRx ++++

XRr

X Rv

= 228234 ++++

YRr

Rv

R

v = 7841156 ++++

Rv

= 44,04 N

Direção: tg θ = Rx

Ry tg θ =

34

28 = 0,823 θ ≅ 39º

Direção: aproximadamente 39º com o eixo X, sentido sudeste

EXERCÍCIOS - VETORES

1) Determine a intensidade e trace, pelo método do paralelogramo, o vetor soma rS =

ra +

rb para o caso abaixo.

Dados: | ra | = 10 cm , |

rb |= 8 cm, cos 60º = 0,5

rb

ra

60º

θ

36

2) Nos casos a seguir, determine a força resultante que age sobre cada partícula, sabendo-se

que a intensidade das forças Fr

1 e Fr

2 são, respectivamente, 20 N e 50 N.

A) B)

Fr

2 Fr

2 Fr

1 •

Fr

1 C) D)

Fr

1 120º Fr

1 Fr

2

Fr

2

3) Para os vetores ra e

rb e c

v a seguir , determine graficamente o vetor

rS =

ra +

rb + c

v

4) Em cada caso determine as componentes retangulares do vetor

rF representado abaixo.

a) Y b) Y

NF 50====r

NF 40====r

37º X X c) Y Y d)

NF 30====r

NF 40====r

X X

60°

rb

cv

ra

.

.

37

5) Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante que age sobre a partícula.

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Determine para os casos abaixo a intensidade da força resultante e trace, pelo método do

paralelogramo, a sua direção e o seu sentido.

a)

b)

F1 = 40 N F2 = 30 N F3 = 10 N F4 = 50 N

rF 1

rF 2

rF 3

60º

53º X

Y

rF 4

●

100 N

60 N

65º

38

2) Determine, o módulo, a direção e o sentido da força resultante das figuras abaixo. a)

b)

rF 2 = 30 N

rF 1 = 50 N

X

rF 4 = 80 N

100 N

300 N

200 N

53º

37º

Y

rF 3 = 60 N

37º

39

3 INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA

3.1 VELOCIDADE MÉDIA ( vm )

vm = t

d

∆

∆ vm o

o

tt

dd

−

−

∆d = distância total percorrida

∆t = tempo gasto no percurso

do = posição inicial

d = posição final

to = instante inicial

t = instante final

Unidades – no SI

∆d – metro (m)

∆t – segundo (s)

v - m/s

d = 0 do ∆d d

to t

40

EXERCÍCIOS

1) Um automóvel, que trafega ao longo de uma rodovia, passa pelo marco de estrada 250 km

às 7 h e pelo marco 400 km às 10 h. Determine a velocidade escalar média, em km/h e m/s,

nesse intervalo de tempo.

2) Um veículo percorre, inicialmente, 50 km de uma estrada em 0,5 h. A seguir percorre

mais 120 km em 1h e 30 min. Determine a velocidade escalar média do veículo, em km/h,

durante todo o percurso.

3) Um caminhão, em um trecho inicial não-pavimentado da estrada, desenvolve uma

velocidade de 40 km/h, gastando um tempo de 2h neste percurso. No trecho seguinte

(asfaltado), sua velocidade passa a ser 70 km/h, sendo mantida durante um tempo de 1 h.

a) Que distância total o caminhão percorreu?

b) Qual foi a velocidade média do caminhão nesta viagem?

3.2 ACELERAÇÃO MÉDIA ( am)

Quando um movimento apresenta variação da sua velocidade, ao longo do tempo, o

movimento é um movimento variado – apresenta aceleração.

Movimentos acelerados apresentam um aumento da velocidade e os retardados uma

diminuição da velocidade.

vo v

v

to t

41

am = t

v

∆

∆ am =

0

0

tt

vv

−

−

∆v = variação da velocidade = v – vo

∆t = intervalo de tempo (variação do tempo) = t - to

vo = velocidade inicial

v = velocidade final

Unidades - no SI

v – m/s

t – s

a – m/s2

Aceleração é a grandeza física que relaciona a variação da velocidade com o tempo gasto

nessa variação.

Ex.: am = 5 m/s2 significa que a velocidade está variando, em média, de 5 m/s em cada 1

segundo.

EXERCÍCIOS

1) Partindo do repouso, um avião percorre a pista e atinge a velocidade de 360 km/h, em

25 s. Qual o valor da aceleração escalar média, em m/s2 ?

2) Um móvel se movimenta sobre uma trajetória retilínea e tem velocidade em função do

tempo, indicada pela tabela. Determine a aceleração média no intervalo de 0 a 10 s.

t(s) 0 2 4 6 8 10

v(m/s)

8 16 24 32 40 48

42

4 LEIS DE NEWTON

4.1 INÉRCIA

A tendência natural dos corpos de manter seu estado de repouso ou de movimento

retilíneo e uniforme denomina-se de inércia, portanto inércia consiste na tendência natural

que os corpos possuem em manter velocidade constante.

Exemplo: Quando um ônibus arranca, o passageiro por inércia tende a permanecer em

repouso em relação ao solo terrestre. Como o ônibus movimenta-se para frente o passageiro

cai para trás, conforme figura.

No caso de um ônibus frear bruscamente os passageiros tendem a manter-se no seu

estado de movimento. Por isso as pessoas vão para a frente do ônibus. Na realidade, a

mudança do estado de movimento é do ônibus. Os passageiros tendem a manter-se como

estavam, ou seja, em movimento e o ônibus não.

43

4.2 PRIMEIRA LEI DE NEWTON OU PRINCÍPIO DA INÉRCIA Todo o corpo continua no seu estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme, a menos que seja obrigado a mudar esse estado por forças imprimidas sobre ele.

Podemos concluir, que um corpo livre de ação de forças, ou com força resultante

nula, conservará , por inércia, sua velocidade constante. Todo o corpo em equilíbrio mantém,

por inércia, sua velocidade constante.

Equilíbrio de Repouso Equilíbrio estático um ponto Fr = 0 v

rconstante ou

material MRU Equilíbrio dinâmico Referencial Inercial

As noções de repouso, movimento, velocidade, aceleração, força, etc. dependem do

sistema de referência. Referencial Inercial é todo aquele que torna válida a lei da inércia, ou

seja, um sistema de referência que não possui aceleração em relação as estrelas fixas.

Para a maioria dos problemas de Dinâmica, envolvendo movimentos de curta duração

na superfície terrestre, podemos considerar um sistema de referência fixo na superfície da

Terra como inercial, embora sabemos que a Terra não seja um perfeito referencial inercial

devido a seu movimento de rotação.

Quando o movimento em estudo é muito prolongado , devemos considerar inercial

um sistema de referência ligado as estrelas fixas, que são estrelas que aparentam manter fixas

suas posições no céu após muitos séculos de observações astronômicas.

44

4.3 SEGUNDA LEI DE NEWTON OU PRINCÍIPIO FUNDAMENTAL

Quando uma força resultante atua num ponto material, este adquire uma aceleração

na mesma direção e sentido da força, segundo um referencial inercial.

A resultante das forças que agem num ponto material é igual ao produto de sua massa pela aceleração adquirida.

m = massa

Fv

r = m. av

a = aceleração Fr = força resultante

As grandezas vetoriais F

vr e a

v possuem mesma direção e sentido.

Unidades – no SI

m em quilograma (kg) av

em m/s² Fv

r em newton (N) 1kg.1m/s² = 1 N

Peso de um corpo ( P )

É a força de atração gravitacional sofrida por um corpo na vizinhança de um planeta

ou outro grande corpo. O peso de um corpo na Terra é a força de atração que a Terra

exerce sobre o corpo, sendo essa força dirigida para o seu centro.

Devido às diferentes massas dos planetas do sistema solar, o peso de um corpo

será diferente em cada um deles. Quanto maior for a massa de um planeta, maior será a força

gravitacional que o planeta exerce sobre os corpos.

Quando um corpo está em movimento sob ação exclusiva de seu peso Pv

, ele

adquire uma aceleração denominada aceleração da gravidade gv

.

45

Pelo princípio fundamental da dinâmica, resulta:

gmP

vv.====

A aceleração da gravidade (g), em nosso planeta, tem intensidade aproximada de 9,8

m/s². Em outros astros celestes, a aceleração da gravidade tem intensidade diferente, como

por exemplo, na Lua g = 1,6 m/s² e em Júpiter g = 26,5 m/s².

Exemplo: A massa de uma pessoa é de 80 kg Determine o peso da pessoa na Terra, na Lua

e a sua massa na Lua.

Peso na Terra

P = m.g P = 80 kg.9,8 m/s² = 784 N

Peso na Lua

P = m.g P = 80 kg.1,6 m/s² = 128 N

Massa na Lua

m = 80 kg a massa é constante em qualquer planeta.

46

4.4 TERCEIRA LEI DE NEWTON - PRINCÍPIO DA AÇÃO E REAÇÃO

Se um corpo A aplicar uma força AF

v sobre um corpo B, este aplica em A

uma força BFv

de mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto.

Exemplo 1

A força que A exerce em B e a correspondente força que B exerce em A constituem o

par ação-reação

Exemplo 2 - Bloco apoiado numa mesa

NFv

P

v

No exemplo, o bloco é atraído pela Terra, exercendo sobre a mesa uma força de

compressão. Pelo princípio da Ação e Reação a mesa exerce sobre o bloco uma força de

reação NFv

de mesma intensidade, mesma direção, porém de sentido contrário.

47

Exemplo 3

As forças de ação e reação possuem as seguintes características:

• São forças trocadas entre dois corpos; • Não se equilibram e não se anulam, pois estão aplicadas em corpos

diferentes. • Tem a mesma direção e sentidos contrários.

EXERCÍCIOS 1) Suponha que um bloco seja puxado com uma força horizontal F = 20 kgf sobre uma

superfície horizontal sem atrito, adquirindo um movimento retilíneo com uma aceleração de

5 m/s2. Qual é a massa do bloco? Considere 1 kgf = 9,8 N

2) Um bloco de massa 4 kg desliza sobre um plano horizontal sujeito a ação das forças

1Fv =

50 N e 2Fv

= 26 N, conforme indica a figura. Determine a aceleração do corpo e a reação do

plano de apoio. Considere g = 9,8 m/s2

2Fv

1Fv

48

5 FORÇA DE ATRITO

Considere um corpo apoiado sobre uma superfície horizontal e rígida. Se o corpo

receber a ação de uma força F, devido às rugosidades surge a força de atrito. As forças de

atrito são contrárias ao movimento.

A força de atrito entre os corpos sólidos é devido às asperezas das superfícies em

contato e diminui com o polimento ou com uso de lubrificantes.

Existem dois tipos de forças de atrito. Força de atrito estática e força de atrito

cinético. Quando a força de atrito impede que o corpo deslize, ou seja, neste caso o corpo

está em repouso, dizemos que o atrito é do tipo estático. Quando a força de atrito atua sobre

corpos que estão deslizando sobre alguma superfície, ou seja em movimento, dizemos que o

atrito é do tipo dinâmico.

Fr

49

5.1 FORÇA DE ATRITO ESTÁTICO

Nr

F

v

aeF

v

P

r

Admita um corpo sobre uma superfície, conforme figura acima, sendo solicitada a

mover-se pela força Fv

. Enquanto o corpo não deslizar, à medida que cresce o valor de Fv

,

cresce também o valor da força de atrito estática, de modo a equilibra a força Fv

, impedindo

o movimento. Quando a força Fv

atingir um determinado valor, o corpo fica na iminência de

deslizar, e a força de atrito estática atinge o seu valor máximo. A partir desse instante, com

qualquer acréscimo que a força Fv

sofra , o corpo começa a deslizar.

A força de atrito estática é dada por:

Fae = µe.N

N = força normal que o corpo troca com a superfície de apoio.

µe = coeficiente de atrito estático

O coeficiente de atrito µ é um número adimensional e depende do material

dos corpos em contato e do polimento das superfícies

50

5.2 FORÇA DE ATRITO DINÂMICO OU CINÉTICO N

r

vv

F

v

adFv

P

r

Se o corpo está escorregando na superfície de apoio, com velocidade v

v, conforme

figura, significa que a força de atrito que age nele é dinâmico ou cinético e é dada por:

µd = coeficiente de atrito dinâmico ( depende das duas superfícies que estão em contato). N = força normal Observações:

1) Se alguém estiver empurrando um corpo, mas este permanece em repouso, a força de

atrito que age nesta situação será sempre igual a força que a pessoa estiver aplicando no

corpo.

2) A equação da força de atrito estático máximo serve para determinar a força máxima que

a superfície pode aplicar no corpo para mantê-lo em repouso. Depois deste valor a

superfície deixa o corpo entrar em movimento.

3) A equação da força de atrito dinâmica só pode ser usada para determinar qual o valor da

força de atrito aplicada pela superfície em corpos que já estão movimentando-se.

4) A força de atrito de rolamento é muito menor que no atrito de deslizamento, aí residindo

a vantagem da invenção da roda.

Fad = µd.N

51

5.3 INFLUÊNCIA DA RESISTÊNCIA DO AR

O meio no qual o corpo está imerso ( ar ou líquido) oferece também uma resistência

ao deslocamento.

Um corpo abandonado do alto de um prédio adquire movimento acelerado por causa

da ação da força peso. Além dessa força, atua no corpo a força de resistência do ar, que tem

mesma direção e sentido contrário ao da força peso.

Essa força de resistência do ar é variável e depende da velocidade do corpo, de sua

forma e da maior secção transversal em relação à direção do movimento.

Exemplos:

• Um pára-quedas tem forma semi-esférica côncava (área grande) para aumentar a

força de resistência do ar.

• Carros, aviões e peixes têm forma aerodinâmica (cortam o ar e água) e área da

secção transversal muito pequena para diminuir a força de resistência do ar ou da

água.

EXERCÍCIOS 1) Um corpo de massa 4 kg está sob a ação de uma força F = 80 N e se desloca na direção

horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o corpo e o apoio é igual a 0,5.

Considerando a aceleração da gravidade local igual a 10 m/s2, determine:

Fv

a) A força normal ( reação do apoio) aF

v

b) A força de atrito c) A aceleração adquirida pelo corpo. 2) Para iniciar o movimento de um corpo de massa 8 kg, apoiado sobre um plano horizontal,

é necessária uma força mínima de 50 N. Para manter o corpo em movimento uniforme é

preciso aplicar ao bloco uma força de 40 N. Determine os coeficientes de atrito estático e

dinâmico entre o corpo e o plano. Adote g = 10 m/s2.

3) Um carro de 800 kg, andando a 108 km/h, freia bruscamente e pára em 5 s.

a) Qual a aceleração do carro?

b) Qual o valor da força de atrito que atua sobre o carro?

52

4) Sistema da figura, os corpos A e B têm massas mA = 3 kg e mB = 6 kg. Os corpos estão

ligados por um fio ideal que passa por uma polia sem atrito, conforme figura.. Entre o

corpo A e o apoio há atrito, cujo coeficiente é 0,5. Considerando-se g = 10 m/s2,

determine a aceleração dos corpos e a força de tração no fio.

A B

53

6 PLANO INCLINADO Y N

v

a

v

X Px = P. sen α ou Px = P. cos β Py = P . cos α P = peso do corpo

N = reação normal de apoio

Fa = Força de atrito

Px > Fa → corpo em movimento

Py = N

Pv

yPv

xPv

α

α

aFv

β

54

EXERCÍCIOS 1) Um corpo de massa 20 kg desce um plano horizontal que faz um ângulo de 37º com a

horizontal. O coeficiente de atrito entre as superfícies é 0,4. Considerando g = 10 m/s2 ,

determine:

a) a reação normal de apoio b) a aceleração do corpo.

2) Um corpo de massa 5 kg move-se sobre um plano horizontal perfeitamente liso, puxado

por uma força Fv

paralela ao plano inclinado, como indica a figura.

F

v

Sabendo que g = 10 m/s2 , calcule a intensidade da força Fv

nos seguintes casos:

a) o corpo sobe o plano inclinado com uma aceleração de 2 m/s2

b) o corpo sobe o plano inclinado com velocidade constante.

α

m

30º

55

3) No sistema da figura, o coeficiente de atrito estático entre o bloco A e o plano vale 0,3 e o

coeficiente de atrito dinâmico vale 0,2. As massas de A e B são respectivamente iguais a 10

kg e 8 kg e o sistema é abandonado a partir do repouso. O fio e a polia são ideais e g = 10

m/s2.

a) Qual a intensidade da força de atrito entre o bloco A e o plano inclinado?

b) Qual a aceleração do sistema?

A B

30º

56

7 EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL

Para que um ponto material esteja em equilíbrio é necessário e suficiente que a

resultante de todas as forças que nele agem seja nula.

Equilíbrio estático - v

v = 0

v - ponto material em repouso em relação

Fr = 0 a um referencial Equilíbrio dinâmico - =v

v constante ≠ 0

v - o ponto material está em

MRU ( movimento retilíneo e uniforme ) Rx = 0 - Σ proj x F = 0 – somatório das projeções em X de todas as Fr = 0 forças é igual a zero Ry = 0 - Σ proj y F = 0 – somatório das projeções em Y de todas as forças é igual a zero. EXERCÍCIOS

1) Calcule a intensidade das trações nos fios ideais 1 e 2 nas situações abaixo. 30º 60º

a) b) 2 1 2

1 P = 300 N P = 200 N

53°

57

2 ) Determine as forças de tração nos cabos AB e BC da figura a seguir. Considere os cabos

ideais.

3) A figura mostra o esquema de sustentação de duas cargas por meio de um cabo de aço. O cabo está fixo em A e passa por uma pequena roldana em B. O esforço no cabo AC é 500 kgf. Calcular as cargas P e Q. Considere os fios ideais e despreze o atrito. B Q P 4) Determine a força de tração no fio AC e a compressão na barra AB da estrutura a seguir. Considere o fio e a barra ideais. C ⋅⋅⋅⋅ 30º B A 500 N

37º

P = 50 N

60º 37º

C A

58

5) Considere uma esfera homogênea de peso 250 N suspensa por um fio e encostada a uma

parede vertical, como ilustra a figura. A esfera está em equilíbrio. Determine:

a) a força tensora no fio b) a reação oposta à esfera pela parede.

6) Calcule a intensidade da força de tração no fio AB e a compressão na barra. AC da

estrutura abaixo. Despreze o peso do fio e da barra.

B

40º A 60º C P = 200 N

. 25º

59

8 MOMENTO DE UMA FORÇA OU TORQUE

8.1 CONCEITO

O momento de uma força é a capacidade dessa força em fazer girar um objeto.

Consideremos uma força de intensidade F, aplicada num ponto A de uma barra que pode

girar livremente em torno do ponto O ( pólo), conforme figura:

rF

O d

A intensidade do momento da

rF em relação ao ponto O (pólo) é dado por:

MTO O F = F. d

O momento da força rF , em relação a um ponto O fixo, é o produto da intensidade da

força rF pela distância d do ponto à reta suporte da força.

Ponto “O” – pólo do momento

F = força

d = braço da força – distância da reta suporte da força ( linha de ação da força) ao eixo de

rotação. Perpendicular traçada da linha de ação da força ao ponto (pólo).

MTO O F = Momento da força F em relação ao ponto O.

No caso de uma força que não seja perpendicular ao segmento de reta que une o

ponto de aplicação da força ao pólo, podemos calcular o momento dessa forças de duas

maneiras: decompondo a força ou calculando a medida do braço da força.

60

Unidades no SI :

F - em N (Newton)

d - em m ( metro )

MTO - N.m

Outras unidades do momento

N.cm, N.mm, kgf.m, kgf.cm, kgf.mm

8.2 CONVENÇÃO DE SINAIS DO MOMENTO

•••• Rotação sentido horário – MTO + •••• Rotação sentido anti-horário – MTO -

EXERCÍCIOS

1) Calcular o momento de cada uma das forças, em relação ao ponto O, da barra em figura.

rF 1 = 80 N

O

rF 3 = 100 N

0,3 m 0,2 m

2Fr

= 50 N

61

2) Determinar o momento resultante, em relação ao ponto C, da barra em figura.

2F

r = 60 N

rF 4 = 70 N

rF 6 = 90 N

A B C D E

rF 1 = 50 N

rF 3 = 80 N

rF 5 = 100 N

1 m 1 m 1 m 1 m 3) Determine o momento resultante, em relação ao ponto O, da figura abaixo.

2Fr

= 70 N

rF 1 = 50 N

3Fr

= 40N

rF 3 = 40 N

4Fr

= 60 N

4) Determine o momento da força

rF em relação ao ponto A.

20 cm A • B

37º

rF = 100 N

O

40 cm

30 cm

62

8.3 BINÁRIO

Denomina-se binário o sistema constituído por duas forças de mesma intensidade,

mesma direção, sentidos opostos e aplicadas em pontos distintos.

rF

A B sentido de rotação

rF

b OBS:

� Um binário tende a produzir apenas uma rotação no corpo em que é aplicado e só pode

ser equilibrado por outro binário, pois uma outra força que atuasse no corpo provocaria

uma resultante R ≠ 0;

� A resultante de um binário é nula.

O momento do binário é dado por:

b = braço do binário

F = intensidade da força EXERCÍCIOS Determine o momento dos binários das barras representadas abaixo.

NF 50=r

1)

NF 50=r

Mto binário = F.b

0,3 m

63

2)

NF 70====r

30º

A 20 cm B 30º

NF 70====r

EXERCÍC IOS COMPLEMENTARES 1) Calcule a intensidade das trações nos fios ideais 1 e 2 nas situações abaixo.

50º a) b) 2 1 2

1

P = 400 N

P = 500 N 2) A figura mostra o esquema de sustentação de três cargas por meio de cabos. Determine

os pesos N e P, sabendo-se que o peso Q é igual a 600 kgf. Considere os fios ideais.

Q N N

60°

P

30º

40º

64

3) Calcular a força de tração no fio e a compressão na barra da estrutura. Despreze o peso

da barra e do fio.

45º P = 900 N

4) Determine o momento resultante,em relação ao ponto C, das forças representadas a

seguir.

Dados:

F1 = 10 N , F2 = 50 N , F3 = 60 N , F4 = 100 N , F5 = 50 N, F6 = 20 N

2Fr

3Fr

4Fr

5Fr

A B C D E

1Fr

6Fr

2 m 3 m 2 m 2 m

5) Determine o momento da força F em relação ao ponto B. B A 60°

Fr

= 80 N

0,3 m .

65

9 VÍNCULOS

É todo elemento de ligação entre as partes componentes de uma estrutura ou entre a

estrutura e o solo. Toda a condição geométrica que limite a mobilidade de um corpo chama-

se vínculo. Os vínculos devem impedir que a estrutura perca sua forma e que se movimente,

todavia permitem as deformações elásticas das peças da estrutura.

9.1 CLASSIFICAÇÃO DOS VÍNCULOS

Os vínculos são classificados segundo os movimentos que impedem. Examinaremos

aqui os vínculos no caso plano, lembrando que uma barra possui no plano três graus de

liberdade: duas translações e uma rotação.

Vínculo de 1ª Classe : são os que impedem um único movimento da estrutura Representação:

Fr

Exemplo - Apoio simples

66

Vínculo de 2ª Classe: São os que impedem dois movimentos da estrutura Representação: Exemplo Movimento do carrinho somente no eixo X

Vínculo de 3ª Classe: São os que impedem os três movimentos da estrutura. Representação:

Exemplo - Engaste

9.2 EFICÁCIA VINCULAR

Para que a vinculação seja eficaz é necessário que a quantidade de vínculos seja

suficiente para impedir os movimentos da estrutura e ainda que esses vínculos estejam

corretamente distribuídos.

67

- Vinculação eficaz

2Fr

1F

r

- Vinculação ineficaz 2F

r

1F

r

9.3 CLASSIFICAÇÃO ESTRUTURAL

Conforme o número de vínculos a estrutura pode ser:

1º) Estrutura Hipoestática

O número de vínculos é insuficiente para impedir os movimentos da estrutura.

2Fr

1

Fr

68

2º) Estrutura Isostática O número de vínculos é suficiente para impedir os movimentos da estrutura.

2F

r

1F

r

3º) Estrutura Hiperestática

O número de vínculos é mais do que suficiente para impedir os movimentos da

estrutura.

2F

r

69

10 EQUILÍBRIO DE UM CORPO EXTENSO

10.1 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO

Para que um corpo esteja em equilíbrio é necessário e suficiente que a resultante de

todas as forças que nele agem seja nula e que o somatório dos momentos de todas as forças,

em relação a um ponto qualquer da estrutura, seja nula.

Rx = 0 - Σ proj x F = 0 – somatório das projeções em X de todas as Fr = 0 forças é igual a zero Ry = 0 - Σ proj y F = 0 – somatório das projeções em Y de todas as forças é igual a zero. Essa condição implica que o corpo não terá movimento de translação. Σ MTO A F = 0 O somatório dos momentos de todas as forças, em relação a um

ponto A qualquer da estrutura, é nula. Essa condição implica que o corpo não terá movimento de rotação.

10.2 CÁLCULO DE REAÇÕES EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICA

POR APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO DA MECÂNICA.

Para o cálculo de reações, em estruturas isostática, utilizam-se as equações de

equilíbrio da mecânica vistas acima.

70

EXERCÍCIOS

Determinar as reações nos apoios A e B das estruturas representadas abaixo. 1) 200 N 500 N A

1m 3m 1m 300 N 200 N 500 N 2) A B 100 N 1 m 1,5 m 1,5 m 1 m 3) 500 N 1 000 N A B 37° 1 m 2 m 1 m 500 kgf/m 800 kgf 4) A B 2 m 2 m 4 m 2 m

B

71

5) O sistema da figura está em equilíbrio estático. O ponto A representa uma articulação em

torno da qual a barra AB de comprimento 3 m e peso 2 000 N pode girar. Determine:

a) A intensidade da tração no cabo, considerando-o ideal.

b) A intensidade das forças componentes (horizontal e vertical) na articulação A.

30° A C B

F = 4 000 N 2 m 1 m 6) Determinar a força de tração no cabo 1 e as forças de reações horizontal e vertical no

apoio A da estrutura abaixo.

5 kN/m 1

10 kN

A B

53º

4 m 3 m 3 m

72

7) O guindaste da figura foi projetado para 5 kN. Determinar a força atuante na haste do

cilindro e reação horizontal e vertical na articulação A.

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Determine as reações nos apoios A e B das estruturas representadas a seguir. a)

10 kN 15 kN

200 mm 350 mm 350 mm

73

b) c)

0,5 m 0,4 m 0,1 0,2

d)

e)

200 Nm

37º

1,5 m 1,5 m

8000 N/m 2500 N

3,0 m 1,5 m 1,5m

4 kN/m 5 kN

4 kN/m 6 kN/m

3 m 3 m

500 N

600 N 300 N

74

REFERÊNCIAS

BONJORNO, José R. et al. Física fundamental: volume único. São Paulo: FTD, 1992.

HIBBELER, Russel Charles. Mecânica estática. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora, [199?].

MELCONIAN, Sarkis. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 14. ed. São Paulo: Érica, 2004.

NICOLAU,Gilberto; PENTEADO, Paulo; TORRES, Carlos. Física: ciências e tecnologia. São Paulo: Moderna, 2006.