apostila matemメtica volume 3 - files.comunidades.net · 7 hm em dam → 7 * 10 = 70 decâmetros 5...

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www.jcmatematica.com.br 1

Conteúdo Unidades de medidas ................................................................................................................................... 3

Exercícios .................................................................................................................................................. 6

Gabarito .................................................................................................................................................. 18

Geometria plana ......................................................................................................................................... 19

Áreas ....................................................................................................................................................... 19

Perímetros .............................................................................................................................................. 19

Áreas e Perímetros de Figuras Planas ..................................................................................................... 20

Triângulo ............................................................................................................................................. 20

Retângulo ............................................................................................................................................ 20

Quadrado ............................................................................................................................................ 20

Círculo ................................................................................................................................................. 21

Trapézio: ............................................................................................................................................. 21

Losango ............................................................................................................................................... 21

Exercícios ................................................................................................................................................ 22

Gabarito .................................................................................................................................................. 38

Regra de três simples ................................................................................................................................. 39

Passos utilizados numa regra de três simples ......................................................................................... 39

Exemplos ................................................................................................................................................ 39

Exercícios ................................................................................................................................................ 42

Respostas ............................................................................................................................................ 50

Regra de três Composta ............................................................................................................................. 51

Exemplos ................................................................................................................................................ 51

Exercícios ................................................................................................................................................ 53

Respostas ................................................................................................................................................ 62

Produtos notáveis ....................................................................................................................................... 63

Quadrado da soma de dois termos .......................................................................................................... 63

Quadrado da diferença de dois termos .................................................................................................. 63

Produto da soma pela diferença de dois termos ................................................................................... 63

Cubo da soma de dois termos ................................................................................................................ 64

Cubo da diferença de dois termos.......................................................................................................... 64

Exercícios ................................................................................................................................................ 64

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Respostas ................................................................................................................................................ 69

Equação de primeiro e segundo graus ....................................................................................................... 69

Exercícios ................................................................................................................................................ 72

Respostas ................................................................................................................................................ 80

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Unidades de medidas

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De acordo com o SI (sistema internacional de medidas), o metro é considerado a unidade principal de medida de comprimento, seguido de seus múltiplos e submúltiplos. Os múltiplos do metro são o quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam) e os submúltiplos são decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).

São estabelecidos alguns critérios de conversão, de acordo com a tabela a seguir:

À medida que as unidades seguem a orientação da direita, os valores são multiplicados por 10. E à medida que seguem a orientação da esquerda, os valores são divididos por 10. Essa tabela de conversão existe para que as valores estejam sempre na mesma unidade. Vamos realizar as seguintes transformações: 10 km em metros → 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000 metros 7 hm em dam → 7 * 10 = 70 decâmetros 5 m em cm → 5 * 10 * 10 = 500 centímetros 10 cm em m → 10 : 10 : 10 = 0,1 metros 1000 m em km → 1000 : 10 : 10 : 10 = 1 quilômetro 1 m em hm → 1 : 10 : 10 = 0,01 hectômetro 2 hm em mm → 2 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 200 000 milímetros 5 mm em m → 5 : 10 : 10 : 10 = 0,005 metros 4 km em mm → 4 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 4 000 000 milímetros

Exemplo Algumas medidas foram fornecidas à empresa responsável pela construção de casas populares. As informações trazem as dimensões das casas em várias unidades de comprimento diferenciadas. Faça a transformação das unidades de forma que as unidades fiquem padronizadas. Observe as dimensões das casas populares:

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Casa 1

Comprimento: 120 dm Largura: 700 cm Casa 2 Comprimento: 0,8 dam Largura: 90 dm Casa 3 Comprimento: 10 000 mm Largura: 0,009 km Casa 4 Comprimento: 7 000 mm Largura: 11 dm Vamos realizar a conversão para a unidade padrão: o metro. Casa 1 120 dm em m = 120 : 10 = 12 metros 700 cm em m = 700 : 10 : 10 = 7 metros Casa 2 0,8 dam em m = 0,8 * 10 = 8 metros 9 dm em m = 90 : 10 = 9 metros Casa 3 10 000 mm em m = 10 000 : 10 : 10 : 10 = 10 metros 0,009 km em m = 0,009 : 10 : 10 : 10 = 9 metros Casa 4 7 000 mm em m = 7 000 : 10 : 10 : 10 = 7 metros 110 dm em m = 110 : 10 = 11 metros

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Exercícios

1) Converta as unidades de área:

a) 8,37 dm2 em mm2

b) 3,1416 m2 em cm2

c) 2,14 m2 em mm2

d) 125,8 m2 em km2

e) 12,9 km2 em m2

f) 15,3 m2 em mm2

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2) Converta as unidades de volume:

a) 8,132 km3 em hm3

b) 180 hm3 em km3

c) 1 m3 em mm3

d) 5 cm3 em m3

e) 78,5 m3 em km3

f) 12 m3 em cm3

g) 139 mm3 em m3

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3) Transforme as unidades de medidas de comprimento:

a) a) 2 km em m

b) 1,5 m em mm

c) 5,8 km em cm

d) 0,4 m em mm

e) 27 mm em cm

f) 126 mm em m

g) 12 m em km

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4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão:

3540dm3 + 340.000cm3 =

5) 13,73 dam foram convertidos para várias unidades diferentes. Das conversões abaixo, assinale a única que está

errada.

a) 13730 cm

b) 137,3 m

c) 1,373 hm

d) 0,01373 km

e) 1373 km

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6) Converta as seguintes unidades de medidas em litros:

a) 3,5 dm3

b) 5 m3

c) 3400000 mm3

d) 28 cm3

e) 4,3 km3

f) 13 dam3

7) Uma tartaruga percorreu, num dia, 6,05 hm. No dia seguinte, percorreu mais 0,72 km e, no terceiro dia, mais

12500 cm. Qual a distância que a tartaruga percorreu nos três dias?

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8) Em uma enchente, um jornalista viu uma menina com uma lata de refrigerante de 350 ml. Perguntando à

menina o que ela estava fazendo, ela respondeu que estava tirando a água para secar a enchente. Sabendo que o

volume da enchente era de 70.000 m3, quantas viagens a menina teria que fazer para secar toda a água?

a) 200

b) 20.000

c) 2.000.000

d) 200.000.000

9) Fui colocar gasolina no meu carro, que estava com o tanque pela metade. Coloquei 35 litros e enchi o tanque.

Qual é a capacidade do tanque em m3?

a) 0,07 m3

b) 17,5 m3

c) 70 m3

d) 175 m3

e) 17500 m3

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10) Fernando trabalha 2 h 20 min todos os dias numa empresa, quantos minutos ele trabalha durante um mês

inteiro de 30 dias?

a) 420

b) 4200

c) 42000

d) 4,20

e) 42,00

11) Raquel saiu de casa às 13h 45min, caminhando até o curso de inglês que fica a 15 minutos de sua casa, e

chegou na hora da aula cuja duração é de uma hora e meia. A que horas terminará a aula de inglês?

a) 14h

b) 14h 30min

c) 15h 15min

d) 15h 30min

e) 15h 45min

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12) Um passo de Pedro equivale a 0,5 m. Para dar uma volta em torno do quarteirão, ele contou 420 passos.

Quantos metros tem o contorno desse quarteirão?

a) 840 metros

b) 84 metros

c) 2100 metros

d) 210 metros

13) A atleta brasileira Fabiana Murer alcançou a marca de 4,60 m no salto com vara, nos Jogos Pan-americanos

realizados no Rio de Janeiro em 2007. Sua melhor marca é de 4,80 m, recorde sul-americano na categoria. Qual é

a diferença, em centímetro, entre essas duas marcas?

a) 20 cm

b) 0,2 cm

c) 2 cm

d) 200 cm

e) 0,02 cm

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14) Preciso colocar arame farpado em volta de um terreno retangular que mede 0,2 km de largura e 0,3 km de

comprimento. Quantos metros de arame farpado devo usar?

a) 500 metros

b) 600 metros

c) 1000 metros

d) 6000 metros

e) 60000 metros

15) Um programa de televisão começou às 13 horas, 15 minutos e 20 segundos, e terminou às 15 horas, 5 minutos

e 40 segundos. Quanto tempo este programa durou, em segundos?

a) 6620 segundos

b) 6680 segundos

c) 6740 segundos

d) 10220 segundos

e) 10120 segundos

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16) Comprei 12 m de tecido por R$ 30,00. Quanto custa 80 cm do mesmo tecido?

a) R$ 0,20

b) R$ 2,50

c) R$ 2,00

d) R$ 0,25

e) R$ 0,80

17) Uma rocha cúbica tem uma aresta medindo 30 metros. Qual é o seu volume em litros?

a) 27 litros

b) 90 litros

c) 27.000 litros

d) 90.000 litros

e) 27.000.000 litros

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18) Um município colheu uma produção de 9.000 toneladas de milho em grão em uma área plantada de 2.500

hectares. Obtenha a produtividade média do município em termos de sacas de 60 kg colhidas por hectare.

a) 50

b) 60

c) 72

d) 90

e) 100

19) Um reservatório tem 1,2 m de largura, 1,5 m de comprimento e 1 metro de altura. Para conter 1.260 litros de

água, esta deve atingir a altura de:

a) 70 cm

b) 0,07 m

c) 7 m

d) 0,7 dm

e) 700 cm

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20) Eu tenho um terreno retangular de dimensões de 125 metros por 80 metros que eu pretendo usar para

plantação. Mas deste terreno, uma parte, medindo 30 dam2, está ocupada com construções. Qual é a área que

sobra, em km2 ?

a) 0,007 km2

b) 0,097 km2

c) 0,7 km2

d) 0,997 km2

21) Os vídeos são exibidos, em uma televisão, usualmente a 30 quadros por segundo, uma velocidade que

proporciona uma sensação natural de movimento. Para mostrar detalhes de movimentos muito rápidos, algumas

câmeras conseguem filmar a uma taxa de 324 000 quadros por segundo. Se o número de quadros filmados com

essas câmeras, durante um segundo, fosse exibido na velocidade usual, qual seria a duração do vídeo em horas?

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22) Um aquário tem o formato de um paralelepípedo retangular, de largura 50 cm, comprimento 32 cm e altura

25 cm. Para encher 3/4 dele com água, quantos litros de água serão usados?

a) 0,03 litros

b) 0,3 litros

c) 3 litros

d) 30 litros

e) 33 litros

Gabarito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

a x x x x x

b x x

c x x

d x x x x x

e x

1) a) 83700 mm2; b) 31416 cm2; c) 2140000 mm2

d) 0,0001258 km2; e) 12900000 m2; f) 15300000 mm2

2) a) 8132 hm3 b) 0,180 km3 c) 1 × 109 mm3 d) 5 × 10-6 m3

e) 78,5 × 10-9 km3 f) 12 × 106cm3 g) 139 × 10-9 m3

3) a) 2000 m ; b) 1500 mm ; c) 580000 cm ; d) 400 mm ; e) 2,7 cm ; f) 0,126 m; g) 0,012 km

4) 3,88 m3

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6) a) 3,5 ? b) 5000 ? c) 3,4 ? d) 0,028 ? e) 4,3 × 1012 ? ; f) 13000000 ?

7) Percorreu 1450 metros

21) A duração do vídeo na velocidade usual de 30 quadros por segundo seria de 3 horas

Geometria plana Na geometria, os conceitos de área e perímetro são utilizados para determinar as medidas de alguma figura. Veja abaixo o significado de cada conceito:

Áreas equivale a medida da superfície de uma figura geométrica.

Perímetros soma das medidas de todos lados de uma figura.

Geralmente, para encontrar a área de uma figura basta multiplicar a base (b) pela altura (h). Já o perímetro é a soma dos segmentos de retas que formam a figura, chamados de lados (l). Para encontrar esses valores é importante analisar a forma da figura. Assim, se vamos encontrar o perímetro de um triângulo, somamos as medidas dos três lados. Se a figura for um quadrado somamos as medidas dos quatro lados. Na Geometria Espacial, que inclui os objetos tridimensionais, temos o conceito de área (área da base, área da lateral, área total) e o de volume. O volume é determinado pela multiplicação da altura pela largura e pelo comprimento. Note que as figuras planas não possuem volume.

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Áreas e Perímetros de Figuras Planas Confira abaixo as fórmulas para encontrar a área e o perímetro das figuras planas. Triângulo: figura fechada e plana formado por três lados.

Retângulo: figura fechada e plana formada por quatro lados. Dois deles são congruentes e os outros dois também.

Quadrado: figura fechada e plana formada por quatro lados congruentes (possuem a mesma medida).

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Círculo: figura plana e fechada limitada por uma linha curva chamada de circunferência.

Atenção! π: constante de valor 3,14 r: raio (distância entre o centro e a extremidade) Trapézio: figura plana e fechada que possui dois lados e bases paralelas, onde uma é maior e outra menor.

Losango: figura plana e fechada composta de quatro lados. Essa figura apresenta lados e ângulos opostos congruentes e paralelos.

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Exercícios

1) A pista do autódromo de Interlagos tem 4 309 metros. Nas provas de Fórmula 1, os pilotos devem percorrer 71 voltas. Qual é o total de quilômetros percorridos quando o piloto consegue completar esse número de voltas?

2) Na figura abaixo, as medidas estão expressas em centímetros e o seu perímetro é igual a 36 cm. Qual é o valor de x?

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3) O perímetro de um triângulo é 27 cm. As medidas dos lados desse triângulo são expressas por três números inteiros e consecutivos. Quais são as medidas dos lados do triângulo?

4) Determine o perímetro da figura abaixo.

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5) Calcule o perímetro do polígono abaixo, dando a resposta em centímetros

6) Um terreno retangular tem 200 m de comprimento. O perímetro dele é igual ao de outro terreno quadrado que tem 165 m de lado. Calcule a largura desse terreno retangular.

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7) A chácara do senhor Luís tem o formato e as medidas da figura abaixo.

Quantos metros de arame farpado ele precisa comprar para cercar a chácara com 6 voltas de fio?

8) Meu terreno retangular tem o comprimento igual ao triplo da largura. Desejando murar esse terreno, consultei um pedreiro para saber quantos tijolos deveria comprar. Ele me disse que seriam necessários 130 tijolos por metro. Então, comprei 10 000 tijolos. Sabendo que a largura desse terreno é 10,8 metros, sobraram ou faltaram tijolos? Quantos?

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9) Em um terreno retangular, a medida do contorno é de 80 metros. A lateral mede o triplo da frente do terreno. Se for colocada grade de ferro na frente do terreno, quantos metros de grade serão necessários?

10) A aresta de um cubo mede 8 cm. Quanto mede a área de uma face desse cubo? Quanto mede a área total desse cubo?

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11) Determinar a área de um círculo sabendo que o comprimento de sua circunferência é igual a 8 π

cm.

12) Um campo de futebol tem 100 m de comprimento por 70 m de largura. Para cobrir esse campo, foram compradas placas de gramas com 3,50 m2 de área cada placa. Quantas placas de grama serão necessárias para cobrir totalmente o campo?

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13) Na figura abaixo têm-se 4 semicírculos, dois a dois tangentes

Se o raio de cada semicírculo é 4cm, a área da região sombreada, em centímetros quadrados, é (Use: π =

a) 24,8 cm2

b) 25,4 cm2

c) 26,2 cm2

d) 28,8 cm2

e) 32,4 cm2

14) A base de um retângulo é o dobro sua área.

a) base 8 cm e altura 4 cm

b) base 10 cm e altura 5 cm

c) base 6 cm e altura 3 cm

d) base 6 cm e altura 12 cm

e) base 12 cm e altura 6 cm

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se 4 semicírculos, dois a dois tangentes entre si e inscritos em um retângulo.

Se o raio de cada semicírculo é 4cm, a área da região sombreada, em = 3,1).

14) A base de um retângulo é o dobro de sua altura. Determine suas dimensões, em cm, sendo 72 cm

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entre si e inscritos em um retângulo.

Determine suas dimensões, em cm, sendo 72 cm2

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15) Um vidraceiro fez um vitral triangular com 42 cm de base e altura relativa a ela medindo 1/3 da medida da base. Qual é a área desse vitral?

16) (Cesgranrio - RJ) A área da região representada na figura é?

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17) Num losango, a medida da diagonal maior é o dobro da medida da diagonal menor. Sabendo que D = 50 cm, qual será a medida da área desse losango?

18) Calcule o valor de um lote que possui o formato de um trapézio, considerando que o valor do m2 é de R$ 42,00.

19) Calcule a área da seguinte região.

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20) Calcule a área da região mais escura.

21) Paula quer pintar um paralelogramo de 36 m2 como fundo de um painel. Se a base desse

paralelogramo deve medir 2,4 m, qual deverá ser a altura relativa a ela?

22) Qual é a área de um quadrado cujo perímetro é igual a 52 cm?

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23) Quanto mede o lado de um octógono equilátero cujo perímetro é igual a 120 cm?

Nota: Um octógono é um polígono com oito lados.

24) Calcule a área do paralelogramo em que a base mede 2,5 m e a altura relativa a ela, 1,8m.

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25) Calcule a área das superfícies

26) Calcule a área de um trapézio, sabendo que sua base menor mede 10,8 cm, sua base maior, 17, 2 cm, e sua altura é a metade da soma das medidas das duas bases.

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27) A área do quadrado APCD representa que fração da área do trapézio ABCD?

28) Um quadrado tem área de 25 cm2. O que acontece com a área desse quadrado, se os lados forem

duplicados?

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29) Determine a área das seguintes figuras (

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29) Determine a área das seguintes figuras (em cm2):

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30) Certo tabuleiro de xadrez tem área igual a 1 024 cm2. Quantos centímetros quadrados tem uma

casa desse tabuleiro?

31) Mário fez uma horta em um terreno de 7 m de comprimento e 13 m de largura. Ele plantou cenoura numa área de 6 m de largura e 7 m de comprimento, tomate em uma área de 4 m de largura e 7 m de comprimento, e na restante ele plantou repolho. Mário utilizou quantos metros quadrados para plantar repolho?

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32) O ponto O é o centro de uma circunferência de raio r, conforme a figura. Se rda região sombreada.

33) A bandeira nacional brasileira deve, oficialmente, de comprimento. Os vértices do losango devem estar a 1,7 unidade de distância do contorno da bandeira. Assim, suas diagonais medem (20 confeccionar uma bandeira com 40cm de comprimento, qual será a área do losango da sua bandeira? (observe que 40 é o dobro de 20, então tudo na sua bandeira deve ser o dobro da medida oficial para não fugir dos padrões legais).

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32) O ponto O é o centro de uma circunferência de raio r, conforme a figura. Se r

33) A bandeira nacional brasileira deve, oficialmente, apresentar um retângulo de 20 por 14 unidades de comprimento. Os vértices do losango devem estar a 1,7 unidade de distância do contorno da bandeira. Assim, suas diagonais medem (20 - 3,4) e (14 - 3,4) unidades de comprimento. Se você for

ma bandeira com 40cm de comprimento, qual será a área do losango da sua bandeira? (observe que 40 é o dobro de 20, então tudo na sua bandeira deve ser o dobro da medida oficial para

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32) O ponto O é o centro de uma circunferência de raio r, conforme a figura. Se r = 4 cm ,calcule área

apresentar um retângulo de 20 por 14 unidades de comprimento. Os vértices do losango devem estar a 1,7 unidade de distância do contorno da

3,4) unidades de comprimento. Se você for ma bandeira com 40cm de comprimento, qual será a área do losango da sua bandeira?

(observe que 40 é o dobro de 20, então tudo na sua bandeira deve ser o dobro da medida oficial para

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Gabarito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

A

b

C

d x

E x

1) 305,94 km

2) x = 2 cm

3) a = 8 cm; b = 9 cm e c = 10 cm

4) Perímetro = 36 cm

5) 10,2 cm

6) 130 m

7) 5640 m

8) Faltaram 1.232 tijolos

9) 10 metros de grade

10) Área de uma face 64 cm2. A área total é 384 cm

2

11) A = 16� cm2

12) 2000 placas de grama

15) 294 cm2

16) Área = 20 m2

17) 625 cm2

18) R$ 8820,00

19) 24 m2

20) 13,22 cm2 aproximadamente

21) Altura = 15 m

22) 169 cm2

23) 15 cm

24) 4,5 m2

25) a) 36 cm2 b) 8 cm

2

26) 196 cm2

27) 4/5

28) A área quadriplica.

29) a) 48cm² b) 48cm² c) 91cm² d) 150cm²

30) 16 cm2

31) Plantou repolho em 21 m2

32)

33) 351,92 cm2

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Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)

1,2 400

1,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que, aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais.

Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a

proporção e resolvendo a equação temos:

Aulas particulares

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Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?


Velocidade (Km/h) Tempo (h)

400 3

480 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que, aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais.

Assim, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a

proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

Aulas particulares

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3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?


Camisetas Preço (R$)

3 120

5 x

Observe que, aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas por dia, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?


Horas por dia Prazo para término (dias)

8 20

5 x

Observe que, diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Aulas particulares

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Exercícios

1) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos?

2) Com 6 pedreiros podemos construir uma parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros para fazer a

mesma parede?

Aulas particulares

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3) Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias levarão 15 pedreiros para fazer a mesma casa?

4) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas levará para despejar 600

litros?

5) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo são

necessários para se obterem 7 kg de farinha?

Aulas particulares

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6) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto tempo levará,

aumentando a velocidade média para 80 km/h?

7) (CFO-93) Se uma vela de 360 mm de altura, diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levará para se

consumir?

a) 20 minutos

b) 30 minutos

c) 2 horas e 36 minutos

d) 3 horas e 20 minutos

e) 3 horas e 28 minutos

Aulas particulares

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8) Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6 eletricistas para

fazer o mesmo trabalho?

9) Um tanque se enche com 3 torneiras, e se esvazia por uma quarta. Aberta sozinha, a primeira torneira o enche

em 4 horas; a segunda em 5 horas; a terceira em 8 horas. A quarta o esvazia em 6 horas. Vazio o tanque, abrem-

se as quatro torneiras ao mesmo tempo. No fim de quanto tempo o tanque estará cheio?

a) 2 horas 26 minutos

b) 2 horas 27 minutos

c) 2 horas 28 minutos

d) 2 horas 29 minutos

e) 2 horas 30 minutos

Aulas particulares

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10) Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias nove marceneiros fariam o mesmo

armário?

11) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 metros quadrados. Quantos litros são necessários

para pintar uma parede de 15 metros quadrados?

12) Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000

refrigerantes?

Aulas particulares

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13) Na construção de uma escola foram gastos 15 caminhões de 4 metros cúbicos de areia. Quantos caminhões

de 6 metros cúbicos de areia seriam necessários para fazer o mesmo trabalho?

14) Uma pessoa caminha em uma pista plana com a forma de triângulo retângulo. Ao dar uma volta completa na

pista com velocidade constante de caminhada, ela percorre 600 e 800 metros nos trajetos correspondentes aos

catetos da pista triangular, e o restante da caminhada ela completa em 10 minutos. A velocidade constante de

caminhada dessa pessoa é igual a quantos quilômetros por hora?

Aulas particulares

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15) (SESD-94) 30 operários deveriam fazer um serviço em 40 dias. 13 dias após o início das obras, 15 operários

deixaram o serviço. Em quantos dias ficará pronto o restante da obra?

a) 53

b) 54

c) 56

d) 58

e) 60

16) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias quarenta operários construiriam essa

casa?

Aulas particulares

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17) (UFMG) Um relógio atrasa 1 min e 15 seg a cada hora. No final de um dia ele atrasará:

a) 24 minutos

b) 30 minutos

c) 32 minutos

d) 36 minutos

e) 50 minutos

18) (EPCAR) Um trem com a velocidade de 45km/h, percorre certa distância em três horas e meia. Nas

mesmas condições e com a velocidade de 60km/h, quanto tempo gastará para percorrer a mesma distância?

a) 2 horas 30 minutos 18 segundos

b) 2 horas 37 minutos 08 segundos

c) 2 horas 37 minutos 30 segundos

d) 2 horas 30 minutos 30 segundos

e) 2 horas 29 minutos 28 segundos

Aulas particulares

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Respostas

1) 112 voltas

2) 16 dias

3) 10 dias

4) 4 horas

5) 10 kg de trigo

6) 3 horas

7) d

8) 4 dias

9) b

10) 8 dias

11) 6 litros

12) 8 horas

13) 10 caminhões

14) A velocidade constante de caminhada é de 6 km/h

15) b

16) 90 dias

17) b

18) c

Aulas particulares

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Regra de três Composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas Caminhões Volume

8 20 160

5 x 125

Identificação dos tipos de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que,aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto, a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação, temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

Aulas particulares

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2) Em uma fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?


Homens Carrinhos Dias

8 20 5

4 x 16

Observe que, aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.


Logo, serão montados 32 carrinhos.

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostrado abaixo:


Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

Aulas particulares

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Exercícios

1) Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para fazer um trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para executar o mesmo serviço, se trabalharem 20 horas por dia, durante 12 dias?

2) Uma máquina fabricou 3200 parafusos, trabalhando 12 horas por dia, durante 8 dias. Quantas horas deverá trabalhar por dia para fabricar 5000 parafusos em 15 dias?

3) Um ciclista percorre 150 km em 4 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem de 400 km, pedalando 4 horas por dia?

Aulas particulares

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4) Oitenta pedreiros constroem 32 m de muro em 16 dias. Quantos pedreiros serão necessários para construir 16 m de muro em 64 dias?

5) (FESP-96) Doze operários, em 90 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 36m de certo tecido. Podemos afirmar que, para fazer 12m do mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operários, trabalhando 6 horas por dia levarão:

a) 90 dias

b) 80 dias

c) 12 dias

d) 36 dias

e) 64 dias

Aulas particulares

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6) (Colégio Naval) Vinte operários constroem um muro em 45 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantos operários serão necessários para construir a terça parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8 horas por dia?

a) 10 operários

b) 20 operários

c) 15 operários

d) 30 operários

e) 6 operários

7) Um ônibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá em 10 dias, correndo 14 horas por dia?

Aulas particulares

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8) (ESA-88) 12 pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. O número de horas por dia, que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazerem 10 barracões em 20 dias é:

a) 08 horas por dia

b) 09 horas por dia

c) 10 horas por dia

d) 12 horas por dia

e) 15 horas por dia

9) Uma olaria produz 1470 tijolos em 7 dias, trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolos produzirá em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia?

Aulas particulares

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10) Numa fábrica , 12 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 864 caixas de papelão. Quantas caixas serão feitas por 15 operários que trabalhem 10 horas por dia?

11) Numa indústria têxtil , 8 alfaiates fazem 360 camisas em 3 dias. Quantos alfaiates são necessários para que sejam feitas 1080 camisas em 12 dias?

Aulas particulares

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12) (ETFPE-91) Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens montam 50 máquinas em:

a) 18 dias

b) 03 dias

c) 20 dias

d) 06 dias

e) 16 dias

13) (UFMG) Ao reformar-se o assoalho de uma sala, suas 49 tábuas corridas foram substituídas por tacos. As tábuas medem 3 m de comprimento por 15 cm de largura e os tacos 20 cm por 7,5 cm. O número de tacos necessários para essa substituição foi:

a) 1029

b) 1050

c) 1470

d) 1500

e) 1874

Aulas particulares

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14) João e Pedro associaram-se em certo negócio. João entrou com R$ 1200,00 e Pedro com R$ 1300,00. Se perderam R$ 5000,00, qual será o prejuízo que caberá a cada um?

15) Três pessoas formaram uma sociedade em que a primeira entrou com R$ 18000,00, a segunda com R$ 24000,00 e a terceira com R$ 42000,0, todos ao mesmo tempo.No final do primeiro ano ouve lucro de R$ 35000,00, quanto caberá a cada um.

Aulas particulares

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16) Três pessoas constituíram uma sociedade, entretanto cada uma respectivamente com R$ 12000,00, R$ 15000,00 e R$ 16000,00. Houve um lucro de R$ 8600,00.Qual a parte de cada uma?

17) Três amigos A,B e C formaram uma sociedade para qual A entrou com R$ 4000,00, B com R$ 6000,00 e C com R$ 7000,00. Sabendo-se que houve um lucro de R$ 51000,00, quanto caberá a cada um ?

Aulas particulares

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18) Duas pessoas investiram R$ 45.000,00 e R$ 30.000,00 na compra de uma casa em sociedade. Após determinado tempo eles resolveram vender a casa por R$ 90.000,00. Qual a parte que cada um irá receber pela venda dessa casa?

19) Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo que A entrou com um capital de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B entrou com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses e C entrou com um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que pode ser um lucro ou um prejuízo) da empresa após um certo período posterior, foi de R$25.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?

Aulas particulares

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Respostas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

a

b

c x x x

d x

e x

1) 8 máquinas

2) 10 horas

3) 8 dias

4) 10 pedreiros

7) 4340 km

9) 5600 tijolos

10) 1350 caixas

11) 6 alfaiates

14) R$ 2400,00 e R$ 2600,00

15) Investidor A -> R$ 7500,00 Investidor B -> R$ 10000,00 Investidor C -> R$ 17500,00

16) Investidor A -> R$ 2.400,00 Investidor B -> R$ 3.000,00 Investidor C -> R$ 3.200,00

17) R$ 12000,00 R$ 18000,00 R$ 21000,00

18) Investidor A -> R$ 54.000,00 Investidor B -> R$ 36.000,00

19) Investidor A recebeu -> R$ 10.000,00 Investidor B recebeu -> R$ 9.000,00 Investidor C recebeu -> R$ 6.000,00

Aulas particulares

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Produtos notáveis 1. Quadrado da soma de dois termos 2. Quadrado da diferença de dois termos 3. Produto da soma pela diferença de dois termos 4. Cubo da soma de dois termos 5. Cubo da diferença de dois termos

Quadrado da soma de dois termos O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo

Exemplo:

Quadrado da diferença de dois termos O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.

Produto da soma pela diferença de dois termos O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Aulas particulares

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Exemplo

Cubo da soma de dois termos O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo.

Cubo da diferença de dois termos O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo.

Exercícios

Aulas particulares

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1) (IBMEC-04) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual:

a) a diferença dos quadrados dos dois números

b) a soma dos quadrados dos dois números

c) a diferença dos dois números

d) ao dobro do produto dos números

e) ao quádruplo do produto dos números

2) Mostrar que: x + ( x + 3 ) = ( x + 2 )2 - ( x + 1 )2

Aulas particulares

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3) Sabe-se que x2 + y2 = 20 e xy = 3, qual é o valor de (x + y)2?

4) Desenvolva os seguintes produtos notáveis:

a) (x + y)2

b) (2a + b)2

c) (x - 5y)2

d) (3 - a3)2

Aulas particulares

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5) O professor Joventino pediu à classe para desenvolver a expressão ( 4x - y2 )2. Um dos alunos deu como

resposta o polinômio 4x2 - 8xy3 + y. A resposta desse aluno está correta? Se não estiver escreva a resposta

correta.

6) Uma das seguintes igualdades está errada. Qual delas?

a) ( 2a - b ) ( 2a + b ) = 4a2 - b2 c) ( 2a + b )2 = 4a2 + 4ab + b2

b) ( 2a + 2b )2 = 4a2 + 4ab + ab2 d) ( b + 2a ) ( b - 2a ) = b2 - 4a2

Aulas particulares

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7) Escreva as expressões a seguir de forma reduzida:

a) (3m + n)2 + 2n2

b) (2a + 2b)2 - a.(a - 2b)

8) (Fuvest) A soma dos quadrados de dois números positivos é 4 e a soma dos inversos de seus quadrados é 1.

Determine:

a) o produto dos dois números

b) a soma dos dois números

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Respostas 1 2 3 4 5 6 7 8

a

b

c

d

e x

2) Desenvolva ambos os membros da equação

3) (x + y)2 = 26

4) a) x2 + 2.x.y + y2 b) 4a2 + 4ab + b2 c) x2 - 10xy + 25y2 d) 9 - 6a3 + a6

5) Errada. A resposta correta é 16x2 - 8xy +y4

6) b) ( 2a + 2b )2 = 4a2 + 4ab + ab2

7) a) 9m2 + 6mn + 3n2 b) 3a2 + 10ab + 4b2

8)

Equação de primeiro e segundo graus

As equações do tipo ax + b = 0, com a e b números reais e a ≠ 0 são consideradas equações do 1º grau, e podem ter no máximo um resultado. Os modelos de expressões que satisfazem a condição ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais e a ≠ 0 se enquadram na condição de equações do 2º grau, sendo possível a sua resolução através do Teorema de Bháskara. A utilização desse teorema requer conhecimento dos valores dos coeficientes a, b e c, por exemplo, na equação 2x² + 4x – 12 = 0 os coeficientes são: a = 2, b = 4 e c = –12.

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Uma equação do 2º grau pode ter no máximo duas raízes (soluções) reais, a condição de existência das raízes dependerá do valor do discriminante (∆). De acordo com o seu valor podemos ter as seguintes situações: ∆ < 0, não possui raízes reais.

∆ = 0, possui duas raízes reais idênticas.

∆ > 0, possui duas raízes reais e distintas. As equações do 2º grau poderão ser resolvidas utilizando a seguinte fórmula:

Resolução de uma equação do 2º grau Exemplo 1 Dada a equação x² + 3x – 10 = 0, determine suas raízes, se existirem. a = 1, b = 3 e c = –10 ∆ = b² – 4ac ∆ = 3² – 4 * 1 * (–10) ∆= 9 + 40 ∆ = 49

As raízes da equação são x’ = 2 e x” = – 5 � = {−5, 2}

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Exemplo 2 Determine as soluções reais da seguinte equação: 2x² + 12x + 18 = 0 a = 2, b = 12 e c = 18 ∆ = b² – 4ac ∆ = 12² – 4 * 2 * 18 ∆= 144 – 144 ∆ = 0

A equação possui apenas uma raiz real, x’ = x” = 3. Exemplo 3 Resolva a seguinte equação: 4y² + 6y + 50 = 0 a = 4, b = 6 e c = 50 ∆ = b² – 4ac ∆ = 6² – 4 * 4 * 50 ∆ = 36 – 800 ∆ = – 764 Não possui raízes reais ou soluções reais, pois o valor do discriminante é menor que zero.

Aulas particulares

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Exercícios

1) (PM SC 2011) Qual é o valor de x que poderá satisfazer a equação do primeiro grau:

3x + 4(1 + x) + 2 = 5x - x - 6?

a) 4

b) -4

c) 2

d) 3

e) -3

2) (PM SP 2012). Um eletricista comprou um rolo de fio com 50 metros de comprimento para realizar três ligações. Na primeira ligação ele utilizou 18,7 metros do fio; na 3.ª ligação, utilizou 2/3 do comprimento de fio que havia utilizado para a 2.ª ligação, restando ainda 2,3 m de fio no rolo. Pode-se concluir que o comprimento, em metros, de fio utilizado na 3.ª ligação foi

a) 14,3

b) 13,2

c) 12,9

d) 11,6

e) 10,8

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3) Uma sorveteria tem um custo fixo mensal de R$2.000,00 (custo este que engloba o aluguel, salários e outras despesas que independem da quantidade produzida). Sabendo-se que o custo da fabricação de cada sorvete é de R$2,50 e o preço de venda por unidade é R$5,00, quantos sorvetes, no mínimo, devem ser vendidos mensalmente para não haver prejuízo?

a) 400

b) 500

c) 600

d) 700

e) 800

4) (UFG - 2010 - 2ª Fase) Uma agência de turismo vende pacotes familiares de passeios turísticos, cobrando para crianças o equivalente a 2/3 do valor para adultos. Uma família de cinco pessoas, sendo três adultos e duas crianças, comprou um pacote turístico e pagou o valor total de R$ 8.125,00. Com base nessas informações, calcule o valor que a agência cobrou de um adulto e de uma criança para realizar esse passeio.

Aulas particulares

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5) Uma pessoa gasta 1/3 do dinheiro que tem; em seguida gasta 3/4 do que lhe sobra. Sabendo-se que ainda ficou com R$12,00, podemos afirmar que tinha inicialmente:

a) menos do que R$50,00

b) mais do que R$80,00

c) mais do que R$100,00

d) menos do que R$90,00

e) R$90,00

6) (PM SP 2012). Ao somar todos os gastos da semana, Maria somou, por engano, duas vezes o valor da conta do supermercado, o que resultou num gasto total de R$ 832,00. Porém, se ela não tivesse somado nenhuma vez a conta do supermercado, o valor encontrado seria R$ 586,00. O valor correto dos gastos de Maria durante essa semana foi

a) R$ 573,00

b) R$ 684,00

c) R$ 709,00

d) R$ 765,00

e) R$ 825,00

Aulas particulares

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7) Roberto disse a Valéria: "pense um número; dobre esse número; some 12 ao resultado; divida o novo resultado por 2. Quanto deu?" Valéria disse "15", ao que Roberto imediatamente revelou o número original que Valéria havia pensado. Calcule esse número.

a) 3

b) 7

c) 4

d) 9

e) 2

8) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos. Um destes tirou para si metade dos bombons da caixa. Mais tarde o outro menino também tirou para si metade dos bombons que encontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa.

a) 18

b) 5

c) 40

d) 15

e) 23

Aulas particulares

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9) (PM ES 2013). Existe um número que somado com seu triplo é igual ao dobro desse número somado com doze. O valor desse número é:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

10) Hoje, a idade de um pai é o quíntuplo da idade de seu filho e, daqui a 15 anos, a soma das idades será de 60 anos. Pode-se afirmar que daqui a 15 anos, a idade do pai será quantas vezes a idade do filho?

11) (PM SP 2012). João tem 5 filhos, sendo que dois deles são gêmeos. A média das idades deles é 8,6 anos. Porém, se não forem contadas as idades dos gêmeos, a média dos demais passa a ser de 9 anos. Pode-se concluir que a idade dos gêmeos, em anos, é

a) 6,5

b) 7,0

c) 7,5

d) 8,0

e) 8,5

Aulas particulares

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12) Bel, Karen e Isabella são três embarcações que navegam, respectivamente, com velocidades de 40 km/h, 50 km/h e 60 km/h. Bel começou sua viagem às 7 h e Karen, às 9 h. Sabe-se que as três embarcações partiram de um mesmo local e seguiram a mesma rota. Para que todas se encontrem num mesmo horário, qual deve ser o horário em que Isabella começou a sua viagem?

13) (BB 2011 - FCC) Em um dado momento em que Ari e Iná atendiam ao público nos guichês de dois caixas de uma Agência do Banco do Brasil, foi observado que a fila de pessoas à frente do guichê ocupado por Ari tinha 4 pessoas a mais que aquela formada frente ao guichê que Iná ocupava. Sabendo que, nesse momento, se 8 pessoas da fila de Ari passassem para a fila de Iná, esta última ficaria com o dobro do número de pessoas da de Ari, então, o total de pessoas das duas filas era:

a) 24

b) 26

c) 30

d) 32

e) 36

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14) O dobro do quadrado da nota de Pedrinho é ZERO. Qual é sua nota final?

15) Há dois números, cujo triplo do quadrado é igual a 15 vezes este número. Quais números são estes?

16) O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo é igual a 374. Pedro é 5 anos mais velho do que Paulo. Quantos anos tem cada um deles?

Aulas particulares

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17) O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem?

18) Quais são as raizes da equação x2 - 14x + 48 = 0?

19) O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos atrás é igual a 2000. Quantos anos eu tenho agora?

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20) Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De outro tipo de lanche, com o mesmo preço unitário, a quantidade comprada foi igual ao valor unitário de cada lanche. Paguei com duas notas de R$ 100,00 e recebi R$ 8,00 de troco. Qual o preço unitário de cada produto?

Respostas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

a

b x

c x x

d x x x x x

e x x

4) Adulto = R$ 1.875,00 Criança = R$ 1.250,00

10) Daqui a 15 anos, a idade do pai será 2 vezes a idade do filho

12) Isabella começou a sua viagem às 10h 20min

14) A nota final de Pedrinho é 0 (zero)

15) Os números são 0 e 5

16) Pedro tem 22 anos e Paulo tem 17 anos

17) Pedro tem 3 filhos.

18) S = {6, 8}

19) Agora eu tenho 45 anos.

20) O preço unitário é de R$ 12,00

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