apostila matemática facilitada para todos os níveis

Elaborado por Diesson Costa | Dúvidas e sugestões entrem em contato através do email: [email protected]

1

Capítulo 1- Sistemas de

Numeração e os números

decimais

Capítulo 2 - Operações com

números naturais, – Adição e

Subtração


números naturais –

Multiplicação e Divisão


números naturais – Potenciação

e raiz quadrada

Capítulo 5- Divisibilidade

Capítulo 6 - Máximo Divisor

Comum e Mínimo Múltiplo

Comum (MDC)

Capítulo 7- Frações

Capítulo 8- Números decimais

Capítulo 9 - Operações com os

Números Decimais

Capítulo 10 - Introdução ao

estudo da Geometria


2

1-Sistemas de Numeração e os

números decimais

Para fazermos as contagens do nosso

dia a dia é necessário um sistema de

numeração.

O sistema que mais usamos é o

decimal, pois contamos em grupos de

10. A palavra decimal tem origem na

palavra latina decem, que significa 10.

Ele foi inventado pelos hindus,

aperfeiçoado e levado para a Europa

pelos árabes. Daí o nome indo-arábico.

Esse sistema de numeração apresenta

algumas características:

1°Utiliza apenas os algarismos indos-

arábicos: 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9 para

representar qualquer quantidade.

2°Cada 10 unidades de uma ordem

formam uma unidade da ordem

seguinte. Observe:

10 unidades = 1 dezena = 10

10 dezenas = 1 centena = 100

10 centenas = 1 unidade de milhar =

1000

3°) Outra característica é que ele segue

o principio do valor posicional do

algarismo, isto é, cada algarismo tem

um valor de acordo com a posição que

ele ocupa na representação do numeral.

Temos, então, o seguinte quadro de

posição (ou de ordens):

4°

ordem

3°

ordem

2°

ordem

1°

ordem

Milhar Centenas Dezenas Unidades

Exemplo:

632.

Temos que o algarismo 2 representa 2

unidades e vale 2 (1º ordem);

O algarismo 3 representa 3 dezenas, ou

seja, 3 grupos de 10 unidades e vale 30

(2º ordem);

O algarismo 6 representa 6 centenas, ou

seja, 6 grupos de 100 unidades e vale

600 (3º ordem).

Atividades:

1) Leia as afirmativas, e descubra qual é

o número.

a) Este número tem 4 centena, 7

dezenas e 6 unidades. Qual é este

número?

b)Este número tem 9 unidades de

milhar, 1 centena, 3 dezenas e 8

unidades. Qual número é este?

c) Este número tem 3 unidades de

milhar, 6 centenas, 9 dezenas e 4

unidades. Qual número é este?


3

- Números Naturais

O número natural nasceu da

necessidade dos homens contarem

quantidade de coisas ou objetos. Esse

conceito foi estabelecido a partir da

sucessão dos números naturais, que se

constitui num conjunto infinito de

números, denominado conjunto dos

números naturais.

IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Esse conjunto tem as seguintes características:

I) É representado pela letra IN (maiúscula)

II) É um conjunto infinito

III) Todo número natural tem um sucessor

IV) Todo número natural, exceto o zero,

tem um antecessor

V) Zero é o menor dos números

naturais

Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.

Exemplos:

O sucessor de 0 é 0 + 1 = 1



O sucessor de 113 é 113 + 1 = 114

Todo número natural dado,

exceto o zero, tem um

antecessor (número que vem

antes do número dado).

Exemplo:

O antecessor de 1 é 1 – 1 = 0




Atividades:

1°) Qual o sucessor de 99

2°) Qual o antecessor de 104


4°) Qual o sucessor de 47



-Números Romanos

Os romanos usavam um sistema

interessante para representar os

números. Utilizavam sete letras do

alfabeto e a cada uma delas atribuíam

valores:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000


4

Atividades:

1) Pio 12 foi um dos papas que mais se

destacaram por sua qualidade de

estadista.

Usando símbolos do sistema romano de

numeração, escreva o número que

designa esse papa.

__________________________

2) No Brasil, tanto a independência

como a República foram proclamadas

no

século XIX. Usando algarismos, escreva

o número que representa esse século.

________________________________

__________

3) Os números representados por LX e

XL no sistema romano têm o mesmo

valor.

Essa afirmação é verdadeira ou falsa?

4) Usando o sistema romano de

numeração, você deve escrever os

seguintes números:

a) 26 ________________

b) 102 _______________

c) 830 _______________

d) 77 ________________

e) 409 ________________

f) 1050 _______________

g) 91 _________________

h) 365 ________________

i) 3012 ________________

5) Estou lendo o capitulo LVII de um

livro. Usando os nossos símbolos,

escreva o

número correspondente ao capítulo que

estou lendo. ______________


5

2 - Operações com números

naturais, – Adição e Subtração

-Adição

Adição é o ato de atribuir um valor a

mais para um valor já existente, seu

símbolo é +, por exemplo: 5+5=10,

7+1=8, 3+6 =9.

De forma literal, podemos enunciar

situações do cotidiano com soma, por

exemplo: Se Marcos comprou cinco

pacotes de biscoito e João comprou dez.

Quantos biscoitos os dois possuem

juntos, resposta 15 biscoitos ambos

possuem juntos.

Ou seja, adição é a idéia de acrescentar

e juntar objetos e números com o

objetivo de somar tais valores e

aumentar uma quantidade de elementos.

- Propriedades da Adição

I) Comutatividade

Se alterarmos os valores de lugar, a

soma não é alterada.

Exemplos:

2+3=5

3+2=5

6+3=9

II)°Associativa

Os valores em uma soma podem ser

somados de maneiras diferentes sem

alterar o valor da soma.

Exemplos:

(5+2) +6 = 13

(7+1)+ 1 = 9

(3+4) + 0 = 7

Em matemática quando temos

uma operação entre parênteses a

primeira coisa a se fazer na operação e

resolver o que estar inserido entre

parênteses, exemplo: (5+1)+ 2= 6 +2

=8.

III) Elemento Neutro

Qualquer número somado a zero será o

próprio valor.

Exemplo:

2+0=2

3+0=3

4+0=4

-Adição de um número positivo

com um número negativo

Se tivermos uma conta onde há um

algarismo negativo, por exemplo:

3+ (– 4), como efetuamos esse cálculo?


6

Simples, basta entender que na soma

sinais contrários sempre será negativo,

ou seja, mais com menos é igual a

menos e menos com mais é igual a

mais, logo:

3+ (-4) = 3 -4 = -1

Como o maior número é o quatro, o

sinal que será repetido é o do maior

número, por isso tivemos como resposta

o número -1.

Iremos compreender uma pouco mais

sobre o “joguinho dos sinais” nos

próximos capítulos.

-Subtração

A subtração é uma operação básica da

Matemática, sendo representada pelo

sinal de –. O desenvolvimento da

subtração entre números Naturais é de

certa forma bem simples. Observe os

exemplos:

5-2=3

7-4=3

8-2=6

De forma, literal subtração é o ato de

tirar, perder uma determinada

quantidade de elementos, exemplo:

Paulo tinha 7 lapiseiras perdeu 5,

quantas lapiseiras Paulo possui?

Resposta: 7-5 =2.

-Diferença de um número

positivo com um número

negativo

Se tivermos a conta:

5 – (-5) = ?

Quando temos uma subtração e o

número seguinte tem um sinal negativo

esse sinal juntamente com o sinal

negativo anterior torna-se positivo,

logo:

5 – (-5) = 5 + 5 = 10

Atividades:

1)A professora de língua Portuguesa

indicou aos alunos do 6º ano os livros

que eles deverão ler no primeiro

bimestre do ano letivo, o primeiro tem

87 páginas e o segundo têm 123

páginas. Nesses dois livros, quantas

páginas, ao todo, os alunos vão ler?

2) Uma empresa tem 1087 pessoas

trabalhando na sua fábrica e 462

pessoas trabalhando no seu escritório.

Quantas pessoas trabalham, ao todo,

nessa empresa?

3)Durante o ano de 2011, uma equipe

de futebol venceu 49 partidas, empatou

18 partidas e perdeu 5 partidas.

Quantas partidas essa equipe disputou

durante o ano de 2011?


7

4) Dona Maria comprou um aparelho de

som por 719 reais e as caixas de som

por 96 reais. Tendo pagado 17 reais pela

instalação, qual a quantia que ela

gastou?

5) Dom Pedro II, imperador do Brasil,

faleceu em 1891 com 66 anos de

idade. Em que ano ele nasceu?

6) O Ceará possui 43 títulos estaduais,(

campeonato cearense), o Fortaleza

possui 39 títulos. Quantas vezes as

duas equipes possui juntas o título

estadual?

-Expressões numéricas com

Adição e Subtração

As operações de adição e subtração são

efetuadas segundo a ordem em que

aparecerem.

Exemplos:

a)7-3+1-2=

=4+1-2=

=5-2=

=3

b)15-1-2+5=

=14-2+5=

=12+5=

=17

Existem expressões onde aparecem os

sinais de associação e que devem ser

eliminados nesta ordem

I) Parênteses ( )

II) Colchetes [ ]

III) Chaves { }

Exemplo:

74+{10-[5-(6-4)+1]}=

=74+{10-[5-2+1]}=

=74+{10-[3+1]}=

=74+{10-4}=

=74+6=

=80

Atividades:

1)Calcule o valor das expressões:

a) 10-1+8-4=

b) 12-8+9-3=

c) 25-1-4-7=

d) 45-18+3+1-2=


8

e) 75-10-8+5-1=

f) 10+5-6-3-3+1=

2) Calcule o valor das expressões

a) 25-[10+(7-4)] =

b) 32+[10-(9-4)+8] =

c) 45-[12-4+(2+1)] =

d) 70-{20-[10-(5-1)]} =

e) 28+{13-[6-(4+1)+2]-1} =

f) 53-{20-[30-(15-1+6)+2]} =

g) 62-{16-[7-(6-4)+1]} =

h) 20-{8+[3+(8-5)-1]+6} =

i) 15+{25-[2-(8-6)]+2} =

j) 56-[3+(8-2)+(51-10)-(7-2)] =

l){42+[(45-19)-(18-3)+1]-(28-15)-1} =


9

3- Operações com números

naturais – Multiplicação e

Divisão

A multiplicação é a operação aritmética

que permite somar um número,

chamado multiplicando, tantas vezes

quanto for necessário o número de

repetições, seu símbolo é o sinal de x e

também pode ser representado por um

ponto (.) . Exemplos:

2x3=6

3x2=6

5x1=5

7x6= 42

Note que, 10 x 5 = 50, ou seja, agente

soma o 10 +10 +10 +10 +10 (5 vezes) e

o obtém da soma o número 50,

-Algoritmo da múltiplcação

Vimos até agora a multiplicação de um

número de segunda ordem por um

número de primeira ordem, ou seja, 10

x 5.

Como multiplicar um algarismo de

terceira ordem em diante por um

número de segunda ordem

UM C D U

3 5 2

x 2 5

+ 7 6 0

7 0 4

Note que, na terceira linha da tabela

colocamos os valor da multiplicação de

352 por 5 e obtemos 1760, já na quarta

linha da tabela tivemos 352 x 2 e

obtemos 704 para termos o valor da

multiplicação basta somar os valores

obtidos, 1760 + 7040 = 8800, lembre-

se devemos somar unidades com

unidades, dezenas com dezenas,

centenas com centenas e assim,

sucessivamente. Conforme a tabela

anterior.

-Propriedades da Multiplicação

I) Associatividade:

Na multiplicação de três ou mais

valores quaisquer, podemos associar os

fatores de diferentes modos que o

produto é sempre o mesmo. A

propriedade de associatividade é

satisfeita na multiplicação, pois:

Exemplo:

3.5.2 =15.2 =30


10

3.(5.2) =3.10 =30

Observe que os resultados obtidos são

iguais. Os parênteses indicam a

multiplicação que deve ser feita

primeiro.

II) Existência de Elemento Neutro:

O elemento neutro na multiplicação é o

número 1, pois qualquer número natural

multiplicado por 1 é esse próprio

número .

Por exemplo: 8 x 1 = 8 e 1 x 8 = 8

III) Comutatividade:

A propriedade comutativa também é

satisfeita pela multiplicação, pois a

ordem dos fatores não altera o produto.

Observe:

7 x 5 = 35 , 5 x 7 = 35

4 x 5 = 20 , 5 x 4 = 20

IV) Distributividade:

Um jeito simples de explicar a

propriedade distributiva é com o

seguinte exemplo, tenho 3 laranjas e

ganho mais 5 laranjas então na verdade

eu fiquei com (3 + 5) laranjas agora

substituímos as laranjas por um número,

por exemplo, o número 6.

Assim temos, 3.6 + 5.6 = (3 + 5) . 6.

Assim, como na multiplicação e na

subtração também iremos trabalhar com

números negativos (nos próximos

capítulos).

Um número positivo multiplicado por

um número negativo sempre será o

valor da expressão sendo que negativo

Por exemplo:

2 x -3 = -6

Se tivemos o produto de dois números

negativos, por exemplo:

-3 x -3 = 9

A multiplicação de dois números

negativos sempre será o valor do

produto positivo.

Atividades:

1) Em uma caixa existem 12 ovos.

Quantos ovos existem em 24 caixas?

2) Na escola de Laís existem 22 salas de

aula e em cada uma existem 25

cadeiras. Quantas cadeiras existem na

escola?

3) Paulo precisa montar 4 bicicletas. De

quantas rodas ele precisará?

4) Um marceneiro vendeu 20 mesas.

Quantas pernas de mesa ele precisará

para deixar as 20 mesas montadas?


11

5) Ricardo comprou 12 bolas de gude e

Rafael comprou o triplo. Quantas bolas

de gude Rafael comprou?

.

6) Em um vestiário há 12 camisas e em

outro, há o dobro desse número.Quantas

camisas há no outro vestiário?

7) Júnior e seu amigo Edgar fazem

coleção de carrinhos em miniatura.

Júnior possui 32 carrinhos e Edgar o

triplo dessa quantia. Quanto carrinho

Edgar possui?

8) Um ônibus transporta 42 passageiros

sentados. Quantos passageiros

transportarão em 5 viagens, levando

sempre essa quantidade?

9) Graça comprou 2 brinquedos, que

custaram R$32,50 cada, para presentear

seus 2 sobrinho. Quanto dinheiro ela

gastou?

10) Patrícia comprou 4 caixas de lápis

com 52 lápis em cada caixa. Quantos

lápis ela comprou?

-Divisão

Divisão é a operação matemática

inversa da multiplicação, ou seja, se na

multiplicação eu vou aumentar um valor

em uma grande escala, na divisão eu irei

reduzir esse valor em uma grande

escala. Seu símbolo é representa pelo

sinal: ÷ ou também pelo sinal de : .

Exemplo;

12 ÷ 4 = 3, onde 12 é o divisor e 4 é o

dividendo.

12|_4__

-12 3

0

Note que, ao dividir o algarismo 12 pelo

4 encontramos dois algarismo no caso,

o 3 se chama quociente, o 0 se chama

resto, e quando a divisão tem resto igual

á zero ela se chama divisão exata.

Quando o resto é diferente de zero a

divisão é chamada de divisão inexata.

Observe a figura seguinte :

Podemos enunciar a divisão da seguinte

forma:

D = dq+ r

Onde, D é o divisor, d é o dividendo e r

é o resto.


12

O algoritmo da divisão foi

enunciado por Euclides (300 A.C), e

está presente no livro, Os Elementos de

Euclides, o segundo livro mais vendido

no mundo após a bíblia sagrada.

Atividades:

1) Determine o quociente e o resto:

a) 842 ÷ 31

b) 1236 ÷ 54

c) 5348 : 63

d) 37511 : 107

e) 25713 ÷ 102

f) 138400 ÷ 1297

g) 3711 : 123

h) 1113 ÷ 13

i) 9999 ÷ 1109

-Operações envolvendo

Multiplicação e Divisão

Quando tivermos uma a operação

matemática envolvendo ao mesmo

tempo multiplicação e divisão,

resolvemos a operação que estiver entre

parênteses primeiro.

Exemplo

(45 ÷ 3 ) x 3 =

= 15 x 3

= 45

Atividades:

1) Efetue as operações abaixo:

a) (45 x 9) ÷ 3 =

b) (110 x 2) ÷ 1 =

c) 170 x 2 + ( 45÷3) =

d) (245 ÷ 5) x ( 64÷8) =

e) (12 ÷ 4) + (68 x2) =

f)( 1024 ÷ 2) + ( 2 x 1)=

g) ( 300 x 6) ÷ 300=

h) (81÷3) x 7 =

i) (45 x 3) + 2 =


13

4- Operações com números

naturais – Potenciação e raiz

quadrada

-Potenciação

Potenciação ou Exponenciação significa

multiplicar um número real (base) por

ele mesmo X vezes, onde X é a potência

(número natural). Exemplo:

32 (leia-se "três elevado ao quadrado",

ou "três elevado à segunda potência" ou

ainda "três elevado à dois").

No exemplo, precisamos multiplicar o 3

por ele mesmo duas vezes. Sendo: 3.3 =

9.

Então 33 = 3 . 3 . 3 = 3 . 9 = 27

Algumas outras definições que podem

ser utilizadas:

Na potenciação fique atento a dois

casos:

1°) Qualquer número elevado a 1 é ele

próprio, exemplo:

31 =3

51=5

2°) Qualquer número elevado a zero é

igual á 1, exemplo:

20 =1

30= 1

-Propriedades

1)Produtos de potências de mesma base:

Exemplo

22. 2

2 =2

2+2 =2

4 = 16

Note que no produto de duas potências,

as bases são iguais quando isso

acontece, repetimos a base e somamos

os expoentes.

Outro exemplo:

32.3

3 = 3

2+3 = 3

5 = 243

-Quociente de potências de

mesma base

Quando se tem uma divisão de

potências, por exemplo, 25: 2

3, nessa

http://www.infoescola.com/matematica/numeros-reais/

http://www.infoescola.com/matematica/numeros-naturais/


14

situação repetimos a base e subtraímos

os expoentes, 25: 2

3 = 2

5-3 = 2

2 = 4

Outro exemplo:

7 2: 7

1= 7

2-1 = 7

1 = 7

-Potência de mesma potência

Basta multiplicar os expoentes da

expressão, o número que está fora dos

parênteses pelo número que está dentro

dos parênteses

-Potência de Produto

O expoente que eleva a expressão

contida dentro do parêntese, eleva todos

os elementos inseridos dentro do

parêntese, exemplo:

Atividades:

1)Escreva os números e as letras em

forma de potência.

a)4.4.4=

b)5.5.5.5=

c)10.10.10.10.10=

d)a.a.a.a.a=

e)45.45.45.45.45.45=

2)Qual é o número que representa a

base em :

3)Calcule as potências abaixo:

-Raiz Quadrada de um número

Determinar a raiz quadrada consiste em

calcular o número que, elevado ao

quadrado, gera o valor desejado. Por

exemplo, a raiz quadrada do algarismo

25 corresponde ao número 5, pois 5² é

igual a 25. Em algumas situações,

descobrir esse número por tentativa

pode ser muito cansativo e bastante

complicado. Para resolver, devemos

utilizar uma técnica denominada

decomposição de números em fatores

primos, isto é, utilizar a

http://4.bp.blogspot.com/-E82b5xr47FM/TVhiZ-vQLsI/AAAAAAAAADs/6H8kYy_4wrw/s1600/potencia.jpg

http://2.bp.blogspot.com/-S1r-j3pVtw8/TVhju_5bfDI/AAAAAAAAADw/8ezlkOy7H7U/s1600/potencia.jpg

http://4.bp.blogspot.com/-zRd_DJa9tU0/TVhYb9uwLQI/AAAAAAAAADc/BwOybptrVYQ/s1600/potencia.jpg

http://3.bp.blogspot.com/-EFeJZFjC4WA/TVhblTenXyI/AAAAAAAAADg/27K74_Y0EFM/s1600/potencia.jpg


15

fatoração. Número primo é um número

que só pode ser divido por dois

números, um e ele próprio.

Quando decompomos um número em

fatores primos temos a chance de

verificar se esse número é chamado de

quadrado perfeito. Fatorar significa

escrever o número em uma

multiplicação de fatores primos. A

multiplicação de dois números iguais

deve ser representada por uma

potenciação de expoente 2. Observe o

exemplo a seguir:

Para determinarmos a raiz quadrada do

número 196 precisamos primeiramente

fatorar e unir os termos semelhantes,

dois a dois.

196 = 2 2

x 72

Logo, a raiz quadrada de 196 é:

𝟏𝟗𝟔 = 𝟐.𝟐 𝒙 𝟕.𝟕 = 14

-Raiz cúbica

Determinar a raiz cúbica consiste em

determinar o número em que elevado a

terceira potência gera o valor desejado.

Exemplo:

27 = 3.3.3 = 3

Propriedades Das Raízes

1) nn b.a n b.a

exemplo: 333 147.2

2) nn b:a n

b

a

exemplo: 36

186:18

3 ) m n a n.m a

exemplo: 63 1010

4) n)a( =

na

exemplo:

5255)5( 22

5) p.n p.mn m aa

exemplo:

124.3 43 1622

6) n

m

a n ma

exemplo:

5 35

3

44


16

Atividades:

1)Calcule as potências:

a) 10² b) (–7)²

c) (–4)³ d) (2,5)²

e) 61

f) (–3/4)² g) (√3)1

h) (–1/2)³ i) (–1,3)²

j) (–0,6)³

2) Calcule as seguintes raízes:

a) 1024

b) 25

c) 36

d) 81

e) 273

f) 813

3) Determine as raízes:

3

5

3

a) 81 e) 27

b) 100 f) 32

c) 8 g) 25

9d)

16

9 h)

49

4) Calcule as seguintes raízes: 169 ;

3 125 ; 4 625 ; 3 343 ; 4 81 ; 6 729 ;

7 128 ; 10 1024 .


17

5-Divisibilidade

Existem alguns métodos que facilitam a

resolução de determinadas divisões,

neste capítulo, iremos ver alguns casos

que facilitam muito na hora de dividir

determinados números

Critérios de divisibilidade

Divisão por 2

Um número é divisível por dois quando

o seu algarismo das unidades simples (o

último algarismo da direita para a

esquerda) for par, ou ainda quando esse

algarismo for zero.

Exemplo:

256 → divisível por 2, pois o último

algarismos (6) é par.

14698 → divisível por 2, pois o último

algarismos (8) é par.

95647 → não-divisível por 2, pois o

último algarismos (7) não é par.

Divisão por 3

Um número é divisível por três quando

a soma de seus algarismos absolutos for

também divisível por três.

855 → 8+5+5 = 18, como 18 é divisível

por 3, podemos afirmar que 855

também será.

No exemplo acima, ainda poderemos

somar 1 a 8 para facilitar a resposta:

1+8 = 9, sendo que 9 também é

divisível por 3, atestamos que 855

também será divisível por 3.

Outros exemplos:

25 848 → 2+5+8+4+8 = 27 = 2+7 = 9

→ O número 25848 é divisível por 3

,pois 9 é divisível por 3.

274 → 2+7+4 = 13 = 1+3 = 4

→ O número 274 não é divisível

por 3, pois 4 não é divisível por 3.

Divisão por 4

Um número é divisível por quatro

quando o número formado pelos seus

últimos algarismos (unidade e dezena)

forem também divisíveis por 4 ou

terminarem em 00 (zero, zero).


18

128 → 28:4 = 7 → como o

agrupamento dos dois últimos

algarismos foi um número divisível por

4, o número 128 também será divisível

por 4.

7900 → como o número 7900 termina

em 00, ele é divisível por 4.

Divisão por 5

Um número é divisível por cinco

quando seus últimos algarismos

terminam em zero ou em cinco.

25 680

Como esse número termina em zero,

ele é divisível por cinco;

152

Como esse número não termina nem

em zero nem em cinco, ele

não é divisível por cinco;

5685

Por terminar em cinco, esse

número é divisível por cinco.

Divisão por 6

Um número é divisível por seis quando

for divisível por 2 e por 3 ao mesmo

tempo.

5286 → 5+2+8+6 = 21 (divisível por 3);

termina em algarismo par (6) (divisível

por 2).

Portanto 5286 é também divisível por 6.

957 → 9+5+7 = 21 (divisível por 3);

não termina em algarismo par. Portanto

957 não é divisível por 6.

Observações

Um número será divisível por 9, quando

atender os mesmos critérios da

divisão por 3, ou seja, a soma de seus

algarismos formará um número

também divisível por 9;

Um número será divisível por 8, quando

terminar em 000 (zero, zero, zero) ou

quando os últimos 3 dígitos forem

divisíveis por 8;

Um número será divisível por 10 se

terminar em 0.

Todo número é divisível por 1;

Não existe divisão por zero;

Todo número dividido por ele próprio

resulta 1.

Atividades:

1) Sem efetuar a divisão, assinale com

um X os números que são divisíveis por

2 .

a) 111 ( )

b) 128 ( )

c) 306 ( )

d) 517 ( )

e) 250 ( )

f) 305 ( )


19

2) Sem efetuar a divisão, assinale com

um X os números que são divisíveis por

3 .

a) 129 ( ) b) 101 ( ) c) 401 ( )

d) 902 ( )e) 333 ( )f) 209 ( )

3) Usando as regras de divisibilidade,

verifique se o número 3 306 é divisível

por 6.

4)Entre os números naturais

compreendidos entre 120 e 130,

identifique os que são divisíveis por:

a) 2

................................................................

................................................................

...............................................................

b)3...........................................................

................................................................

...............................................................

c)6

................................................................

................................................................

................................................................

5) Considerando os números 432, 516,

825, 1100, 4008 e 15 000, identifique os

que são:

Divisíveis por 3

................................................................

................................................................

..............................

Divisíveis por 4

................................................................

................................................................

...............................

6) Um número é divisível por 12, se é

divisível por 3 e 4, ao mesmo tempo.

Considerando os números dados no

exercício anterior, quais deles são

divisíveis por 12?

7) Um número é divisível por 15, se é

divisível por 3 e 5, ao mesmo tempo.

Encontre dois número formados por 3

algarismos que sejam divisíveis por 15.

8) Dados os números 39, 140, 245, 384,

720 e 2600, verifique os que são

divisíveis por :

a)2 :

b)3 :

c) 4 :

d) 5 :

e) 6 :

f) 8 :

g) 9 :

h) 10 :


20

9) Qual é o maior número de dois

algarismos divisível por 5 ?

10) Qual é o menor número de três

algarismos divisível por 3 ?

Desafio

Um número é composto de três

algarismos. O algarismo das unidades é

2 e o das centenas é 5. Determine os

possíveis valores do algarismo das

dezenas para que esse número seja

divisível por 3.

-Múltiplos de um número

natural

Múltiplo de um número natural é

qualquer número que possa ser obtido

multiplicando o número natural por 0, 1,

2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 9,

por exemplo, devemos multiplicá-lo

pela sucessão dos números naturais:

9 x 0 = 0

9 x 1 = 9

9 x 2 = 18

9 x 3 = 27

9 x 4 = 36

9 x 5 = 45

9 x 6 = 54

E assim por diante.

Sendo assim, os múltiplos de 9 são: 0,

9, 18,27, 36, 45, 54,...

Também uma forma de saber se um

número é múltiplo de outro é dividi-los.

Se o resto for zero, então é múltiplo.

Assim:

a) 4 é múltiplo de 2 porque 4 ÷ 2 = 2 e o

resto = 0.

b) 72 é múltiplo de 3 porque 72 ÷ 3 =

24 e o resto = 0.

c) 200 é múltiplo de 4 porque 200 ÷ 4 =

50 e o resto = 0.

d) 125 é múltiplo de 5 porque 125 ÷ 5 =

25 e o resto = 0.

-Números primos e compostos

Número primo:

Um número primo, é um número

natural maior que 1, que tem só dois

divisores, o 1 e o próprio número.

Número Composto

Um número composto, é um número

natural maior que 1, que tem mais do

que dois divisores.

Atividades:


21

1) Determina os divisores dos números

abaixo e ostre quais são primos e quais

são compostos:

12 13 14 15 16

17 18 19 20

2) Qual é o menor número primo?

3) Quantos e quais são os números

primos?

4) Quais são os dez primeiros números

primos?

5) Classifique como verdadeiro ou

falso:

a) Todos os números primos são

ímpares.

b) Existem números que são primos e

compostos

-Decomposição de um Número

Natural em Fatores Primos

A decomposição de um número

natural em um produto de

fatores primos é chamada de fatoração.

A fatoração de qualquer número natural

primo resultará no próprio número.

A fatoração do número primo 19, por

exemplo, não resultará em outro número

senão ao próprio número 19.

-Método para a Decomposição em

Fatores Primos

Para realizarmos a decomposição de um

número em fatores primos, devemos

procurar pelo menor número primo

capaz de dividi-lo (divisão exata) e

realizarmos a sua divisão por este

número enquanto for possível. Depois

devemos procurar pelo próximo número

primo capaz de dividi-lo e continuar

neste procedimento até que o quociente

da divisão resulte em 1. Neste momento

teremos todos os fatores primos que

compõe tal número.

Exemplo:

Após sucessivas divisões do número

360 chegamos ao quociente 1. Temos

então que o número 360 pode ser

decomposto nos seguintes fatores

primos:

2, 2, 2, 3, 3 e 5.

Podemos dizer então que: 360 = 23 . 32

.

5.

Atividades:

1)Decomponha os números em fatores

primos:

a)180

b)220

http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentais.aspx

http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentais.aspx

http://www.matematicadidatica.com.br/NumerosPrimos.aspx


22

c)320

d)308

e) 605

f) 616

g) 1008

h)1210

i)2058

j)3125

k)4225

l)5040

2 – Qual é o número cuja fatoração é:

a) 2 . 2. 3 . 5 . 7

b) 3 . 3 . 5 . 5 . 7.

c) 2 . 3 . 5 . 7

d) 5 . 5 . 11 . 13

-Divisores de um número

natural

Dizemos que um determinado número

natural é divisível por outro (não nulo),

quando a divisão do primeiro pelo

segundo deixa resto zero (0).

Exemplo:

6 é divisível por 3, pois tem resto igual

á 0.

25 é divisível por 5 , pois tem resto

igual a 0.

Exemplo:

Determinando os divisores naturais de

64:

64 = 1 . 64

64 = 2 . 32

64 = 4 . 16

64 = 8 . 8

Esgotando todas as possibilidades de

escrever 64 como o produto de 2

números naturais, encontramos os

divisores de 64, que são: 1, 2, 4, 8, 16,

32 e 64.

Exemplo:

2) Determinando os divisores naturais

de 80:

80 = 1 . 80

80 = 2 . 40

80 = 4 . 20

80 = 5 . 16

80 = 10 . 8

Os divisores naturais de 80 são: 1, 2, 4,

5, 8, 10, 16, 20, 40 e 80.

Atividades:

1)Escreva os divisores de cada número

natural representado abaixo:

a)36

=_______________________________

________________________________

_

b)54


23

=_______________________________

________________________________

_

c)15

=_______________________________

________________________________

_

d)60=___________________________

________________________________

______

e)90

=_______________________________

________________________________

__

f)28

=_______________________________

________________________________

__

g)12

=_______________________________

________________________________

__

h)24

=_______________________________

________________________________

i)30

=_______________________________

________________________________

__

j)25

=_______________________________

________________________________

__

2)Represente o conjunto dos divisores

de cada número:

a)D(6)

=

{_______________________________

______________________________}

b)D(9)

=

{_______________________________

______________________________}

c)D(8)

=

{_______________________________

______________________________}

d)D(14)

=

{_______________________________

______________________________}

e)D(15)

=

{_______________________________

______________________________}

f)D(18)

={______________________________

_______________________________}

g)D(20)

=

{_______________________________

______________________________}

h)D(30)

=

{_______________________________


24

______________________________}

i)D(24)

=

{_______________________________

______________________________}

3)Escreva todos os números divisíveis

por 2 que estão entre 25 e 49.

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________

4)Dentre os números:

60 – 531 – 123 – 120 – 36 – 13 –

540 - 27

Quais são divisíveis:

a) por:

2

:_______________________________

________________________________

b) por:

3

________________________________

________________________________

___

c) por:

5

_______________________________

_______________________________

_____

d) por:

6

_______________________________

_______________________________

_____

e) por:

9

_______________________________

_______________________________

_____

f) por:

10

_______________________________

_______________________________

____


25

6-Máximo Divisor Comum e

Mínimo Múltiplo Comum

(MDC)

-Máximo Divisor Comum

O maior dos divisores comuns de dois

ou mais algarismos é chamado de

máximo divisor comum (M.D.C)

Exemplo

Consideremos os conjuntos dos

divisores de 12 e 18

D12={1,2,3,4,6,12}

D18={1,2,3,6,9,18}

Os mesmos divisores ou números que

aparecem tanto em D12como em D18

são { 1,2,3,6} , os números ou divisores

{4,9,12,18} aparecem mas não é

comum nos dois divisores.

E o maior desses divisores comuns, ou

seja, o maior valor que aparece tanto

para D12 quanto D18 neste caso é 6 e

indicamos m.d.c (12,18) = 6.

Atividades:

1) escreva o conjunto dos divisores de

8,9,10,12,15 e 20

a) D8={

b) D9={

c) D10= {

d) D12={

e) D15={

f) D20 ={

-Processos práticos para

determinação do mdc

I) Por decomposição em fatores primos

(fatoração completa)


26

Exemplo:

Determinar o mdc de 18 e 60

18 2

09 3

03 3

01

60 2

30 2

15 3

05 5

01

18 = 2 x 3 x 3

60 = 2 x 2 x3 x 5

O valor comum nas duas fatorações é

um número 2 e um número 3, sendo

assim 3 x 2 = 6 o m.d,c,(18,60)=6

II) Números primos entre si

Quando o m.d.c. de dois números é

igual, a 1 dizemos que eles são primos

entre si

exemplos:

a) 4 e 9 são primos entre si, pois

m.d.c.(4,9)=1

b) 8 e 15 são primos entre si pois o

m.d.c.(8,15) = 1

Atividades:

1) Temos que os números 24, 36 e 48

possuem vários números divisores

comuns, como exemplo os números 2 e

4. Determine o maior divisor comum a

24, 36 e 48.

2) Determine os menores números

inteiros positivos pelos quais devem ser

divididos os números 72 e 120 de modo

que se obtenham divisões exatas com

quocientes iguais.

3) Três fios que medem respectivamente

24m, 84m e 90m foram cortados em

pedaços iguais e do maior tamanho

possível. Então cada pedaço deve

medir:

a) 4m

b) 6m

c) 14m

d) 15m

4) Um auxiliar de enfermagem pretende

usar a menor quantidade possível de

gavetas para acomodar 120 frascos de

um tipo de medicamento, 150 frascos de

outro tipo e 225 frascos de um terceiro

tipo. Se ele colocar a mesma quantidade

de frascos em todas as gavetas, e

medicamento de um único tipo em cada

uma delas, quantas gavetas deverá usar?

a) 33

b) 48

c) 75

d) 99

e) 165


27

5) Um fazendeiro comprou 180 mudas

de açaí e 84 de copaíba para plantar em

uma região de sua fazenda. Considere

que, para o plantio, as mudas tenham

sido repartidas entre os empregados da

fazenda, de forma que todos os

empregados tenham recebido a mesma

quantidade de mudas de açaí e a mesma

quantidade de mudas de copaíba e que

nenhuma muda tenha sobrado.

Afirmação: nessa situação, é correto

afirmar que o número máximo de

empregados da fazenda é 4.

Julgue a afirmação acima em certa ou

errada

-Mínimo múltiplo comum

(MMC)

O menor dos múltiplos comuns

(excluído o zero) de dois ou mais

números chama-se mínimo múltiplo

comum,(M.M.C.).

Exemplo:

Consideramos os múltipos de 2 e 3,

M2={0,2,4,6,8,10,12..........}

M3={0,3,6,9,15..........}

Obtemos o múltilplo comum fazendo a

comparação dos dois conjuntos entre si.

M2 e M3 = { 0, 6 , 12 ...}

excluindo o zero, o menor múltiplo

comum é 6. e indicamos o mínimo

múltiplo comum de 2 e 3 assim:

m.m.c.(2,3) = 6

-Processo prático para

determinar o Mínimo múltiplo

comum, (M.M.C).

Por decomposição em fatores primos

(fatoração completa)

1) determinar o m.m.c. de 120 e 80

120,80 2

060,40 2

030,20 2

015,10 2

015,05 3

005,05 5

001,01

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 240


28

logo m.m.c. (120,80) = 240

2) determinar o m.m.c. de 14, 45 e 6

14, 45, 06 2

07, 45, 03 3

07, 15, 01 3

07, 05, 01 5

07, 01, 01 7

01, 01, 01

2 x 3 x 3 x5 x7 = 630

logo M.M.C ( 14, 45, 06) = 630

Atividades:

1)Determine o menor número positivo

que é múltiplo, ao mesmo tempo, de 5,

6 e 7.

2) Determine o menor número inteiro

positivo de três algarismos, que é

divisível, ao mesmo tempo, por 4,8,12.

3) Três funcionários fazem plantões nas

seções em que trabalham: um a cada 10

dias, outro a cada 15 dias, e o terceiro a

cada 20 dias, inclusive aos sábados,

domingos e feriados. Se no dia

18/05/2002 os três estiveram de plantão,

a próxima data em que houve

coincidência no dia de seus plantões foi:

4) Em uma casa há quatro lâmpadas, a

primeira acende a cada 27 horas, a

segunda acende a cada 45 horas, a

terceira acende a cada 60 horas e a

quarta só acende quando as outras três

estão acesas ao mesmo tempo. De

quantas em quantas horas a quarta

lâmpada vai acender?

5) Alguns cometas passam pela terra

periodicamente. O cometa A visita a

terra de 12 em 12 anos e o B, de 32 em

32 anos. Em 1910, os dois cometas

passaram por aqui. Em que ano os dois

cometas passarão juntos pelo planeta

novamente?

6) Em uma arvore de natal, três luzes piscam

com freqüência diferentes. A primeira pisca a

cada 4 segundos, a segunda a cada 6 segundos

e a terceira a cada 10 segundos. Se, num dado

instante, as luzes piscam ao mesmo tempo,

após quantos segundos voltarão, a piscar

juntas?

7) Três viajantes partem num mesmo

dia de uma cidade A. Cada um desses

três viajantes retorna à cidade A

exatamente a cada 30, 48 e 72 dias,

respectivamente. O número mínimo de


29

dias transcorridos para que os três

viajantes estejam juntos novamente na

cidade A é:

8) Dois ciclistas saem juntos, no

mesmo instante e no mesmo sentido, do

mesmo ponto de partida de uma pista

circular. O primeiro dá uma volta em

132 segundos e o outro em 120

segundos. Calcule os minutos que

levarão para se encontrar novamente.

9) Numa pista de videogame, um

carrinho dá uma volta completa em 30

segundos, outro, em 45 segundos e um

terceiro carrinho, em 1 minuto. Partindo

os três do mesmo ponto P, no mesmo

instante T, quando os três se

encontrarem novamente, o número de

voltas que o mais rápido terá dado será:

10) Calcule o m.m.c dos seguintes

números

1. M.M.C (3, 4, 6)

2. M.M.C (2, 4, 8)

3. M.M.C (3, 6, 9)

4. M.M.C (4, 8, 10)

5. M.M.C (6, 12, 15)

6. M.M.C (6, 15, 18)

7. M.M.C (8, 12, 20)

8. M.M.C (9, 15, 27)

9. M.M.C (12, 16, 24)

10. M.M.C (12, 15, 21)

11. M.M.C (20, 25, 40)

12. M.M.C (16, 32, 48)

13. M.M.C (12, 32, 48)

14. M.M.C (15, 25, 40)

15. M.M.C (24, 30, 45)

16. M.M.C (25, 50, 75)

17. M.M.C (32, 48, 64)

18. M.M.C (30, 45, 60)

19. M.M.C (6, 12, 18, 30)

20. M.M.C (35, 50, 70, 100)


30

-Relação entre M.M.C. e M.D.C

Uma relação entre o M.M.C. e o m.d.c.

é:

O M.D.C.(a,b) multiplicado pelo

M.M.C.(a, b) é igual ao produto de a

por b, isto é:

M.D.C.(a, b) . M.M.C.(a, b) = a . b

Exemplo:

M.D.C.(12, 15) ´ M.M.C.(12, 15) = 12 .

15 = 180

Esta relação é bastante útil para

o caso de querermos encontrar o

M.M.C. e o M.D.C. de dois números,

pois basta encontrar um dele e utilizar a

relação acima.

Exemplo:

Determinar o M.M.C. e o

M.D.C. entre 15 e 20.

O primeiro passo é

determinar o M.D.C. ou o M.M.C. entre

15 e 20, obtido o M.D.C.(15, 20) = 5 e

sabendo que 15 .20 = 300, e tomando a

relação M.D.C.(15, 20) .M.M.C.(15, 20)

= 15 . 20, fazemos:

M.M.C.(15, 20) = (15 . 20) / m.d.c.(15,

20)

Donde se obtém que o

M.M.C.(15, 20) é igual a 300 dividido

por 5, ou seja M.D.C.(15, 20) = 60.


31

7- Frações

O que uma fração? Certamente, você já

deve ter comido uma pizza e na hora da

divisão das doze fatias sempre quis

comer uma a mais. A pizza é a

quantidade de fatias é um exemplo claro

de fração, você tem um total de doze

pedaços e como três pedaços, fazemos a

seguinte representação matemática 3

12,

onde o tanto de pedaços de pizza que

você devorou é três e o fato de estar em

cima, ou seja, em cima da barra é

chamado de numerador, e o numeral

que está embaixo da barra, ou seja, o

doze é chamado de denominador.

Podemos representar da seguinte forma:

𝑎

𝑏

Sendo a o numerador e b o

denominador. Em outras palavras,

fração é a parte dividida pelo todo,

As figuras a seguir são representações

clássicas de fração observe:

Note que temos, todo que são as partes

não preenchidas, pelas partes

preenchidas, ou seja, frações.


32

-Leitura dos Números

Fracionários

Para fazer a leitura de uma fração

devemos começar pelo número que está

acima, o numerador para em seguida ler

o que está em baixo, denominador.

A tabela a seguir mostra os casos mais

recorrentes na leitura de números

fracionários:

Número de partes

em que a fração

foi dividida

Nome de cada

parte

2 Meio

3 Terço

4 Quarto

5 Quinto

6 Sexto

7 Sétimo

8 Oitavo

9 Nono

10 Décimo

11 Onze avos

12 Doze avos

13 Treze avos

100 Centésimo

1000 Milésimo

Então, se tivermos o número1

4 Como

fazemos a leitura dele?

Simples, o numerador é o número um e

o denominador é o quatro, segundo a

tabela a leitura será:

Um quarto.

*Uma consideração a lembrar no estudo

das frações é que o denominador não

pode ter o valor igual á zero.

Atividades:

1) Que fração do Tagram cada peça

representa?

2) Encontre a fração correspondente a

cada figura abaixo:

3) Como se lê os seguintes números

fracionários:

a) 1

11

b) 3

4


33

c) 1

8

d) 2

3

e) 1

5

3) Uma terrível bruxa descobriu uma

fórmula para preparar uma mistura com

efeitos mágicos. Observe a fórmula e

responda:

a)Que fração da mistura representa as

lágrimas de crocodilo?

b)Que fração da mistura representa a

baba de sapo e o vinho de víbora

juntos?

-Tipos de Frações

Há algumas considerações no estudo de

frações que devemos estar atento e com

isso facilitar o entendimento do estudo

de frações, exemplos:

I) Própria: o numerador é menor que

denominador.

Exemplo, 1

2 (lê-se um meio).

II) Imprópria: o numerador é maior ou igual

ao denominador.

Exemplo, 9

5 (lê-se nove quintos)

III) Mista: constituída por uma parte

inteira e uma fracionária.

Exemplo, 21

3 (lê-se dois um terço).

Pode-se encontrar uma fração imprópria

a partir do número misto:

Exemplo, 31

2 (lê-se três um meio) =>

2x3=6; 6+1=7 (7 é o numerador e o 2 é

o denominador), e assim por diante,

repetindo o denominador.

IV) Aparente: é quando o numerador é

múltiplo ao denominador, ou seja,

um número inteiro escrito em forma de

fração.

Exemplo, 1=4

4 (lê-se um igual a quatro

quartos).

Fórmula para

mistura mágica (10 litros de mistura)

1 litro de lágrimas de crocodilo

2 litros de baba de sapo

3 litros de sangue de vampiro

4 litros de vinho de víbora

Fórmula para mistura mágica (10 litros de mistura)

1 litro de lágrimas de crocodilo

2 litros de baba de sapo

3 litros de sangue de vampiro

4 litros de vinho de víbora

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_inteiro


34

V) Equivalentes ou semelhantes:

aquelas que mantêm a mesma

proporção de outra fração.

Exemplo 4

4=

2

2

VI) Irredutível: o numerador e o

denominador são primos entre si, não

permitindo simplificação.

Exemplo:9

22

VII) Decimal: o denominador é uma

potência de 10(100,1000,10000…).

Exemplo, 436

1000 (lê-se quatrocentos e

trinta e seis-mil avos).

Atividades:

1) Classifique as seguintes frações

como: próprias, impróprias ou

aparentes.

2) Escreva cinco frações equivalentes à

cada uma das frações dadas:

4

5

3

2

)

)

b

a

3) Transforme os números mistos em

frações impróprias:

a) 3

2

5 b) 5

1

4 c ) 2

5

6 d)4

1

2

4) Mostre três frações equivalentes as ½

-Operações com frações

Assim como uma soma de dois números

é possível também somarmos duas

frações, subtrair, multiplicar e dividir

frações.

-Adição e subtração de números

fracionários

A adição e a subtração de frações de

denominadores diferentes são feitas

utilizando mínimo múltiplo comum, ou

M.M.C .

Exemplo:

(O MMC de 9 e 6 é 18)

Outro exemplo

1

2+

1

5 =

5+2

10

Temos, que o M.M.C é 10 basta, fazer

uma nova fração, onde o denominador é

o M.M.C, 10 e o numerador é a divisão

dos do primeiro denominador pelo

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_primos

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o#Simplifica.C3.A7.C3.A3o_de_fra.C3.A7.C3.B5es

http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%ADnimo_m%C3%BAltiplo_comum


35

M.M.C multiplicado pelo numerador ,

da mesma forma com a outra fração,

divide em baixo e multiplica em cima,

logo:

5+2

10 =7/10

-Subtração

A Subtração, operação contrária a soma

também é da mesma forma:

½ -1/5 = 5-2/10 = 3/10

-Multiplicação

A multiplicação é efetuada apenas

multiplicando-se os numeradores entre

si e os denominadores entre si.

Exemplos:

8

7 x

2

5 =

16

35

1

9 x

4

7=

4

63

* É bom lembrar que o símbolo %

(percentual ou de porcentagem)

representa uma fração sobre 100,

exemplo:

4% = 4/100

Então, 10% de 100 é igual á, 10/100 x

100 = 10.

Quando se multiplica um número sem

ser fração por uma fração e o valor do

denominador é igual ao número

multiplicado, podemos cancelar esses

dois números e repetir apenas o

numerador, exemplo:

1

9 x 9 = 1

Divisão de Frações

Para efetuar a divisão entre duas

frações, multiplica-se a fração que está

no numerador pelo inverso da fração

que está no denominador. Exemplo:

-Potenciação de frações

Basta elevar tanto o numerador quanto o

denominador para a potência em

questão, exemplo:

(𝟏 𝟐 ) 2

= 𝟏

𝟒

-Radiciação

A raiz de uma fração é feita seguindo-se

os mesmos passos da potenciação:

* 0,5 é uma representação decimal de

um meio, veremos mais sobre o assunto

no capítulo seguinte.

Atividades:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_(matem%C3%A1tica)


36

1) Efetue as operações e apresente a

resposta na forma simplificada:

5

2

10

11

3

21

4

2

3

1

)

)

)

c

b

a

6

11

9

42

24

1

6

1

4

1

)

)

e

d

2) Se num estádio de futebol cabem 44

mil torcedores e num jogo apenas 5

2 da

sua capacidade foi preenchida, quantos

torcedores assistiram a esse jogo?

3) Um aluno já fez 3

2 dos exercícios de

um trabalho de Matemática. Ainda

faltam 7 exercícios para terminar.

Quantos exercícios há nesse trabalho?

4) Ache o valor de X:

x = 3/5 + 1/3

5) O professor de Educação Física do

Colégio observou que em uma classe de

42 alunos, 1/3 praticavam futsal,

responda: quantos alunos praticam

futsal e quantos não praticam?

6) Responda: Quanto é ¼ de hora em

minutos?

7)Lucas e Pedro gostam de jogar

bolinhas de gude, juntos eles tem 15

bolinhas, sabendo que 2/5 das bolinhas

são de Lucas, quem possui mais bolas

de gude, Lucas ou Pedro?

8) Faremos uma festa no final do ano, a

5ª série ficará responsável pela

arrecadação de 1/5 do dinheiro

necessário para realização desse evento.

Sabendo que precisaremos de R$

2.000,00, quanto a 5ª série deverá

arrecadar?


37

8- Números decimais

São numerais que indicam um

algarismo que não é inteiro. Geralmente

após o algarismo das unidades, usa-se

uma vírgula, indicando que o número a

seguir pertence à ordem das décimas, ou

casas decimais. Todos os números

decimais finitos( que tem fim) ou

infinitos( que não tem fim) podem ser

escritos na forma de fração, porém, os

números decimais irracionais, como

o 𝜋, por exemplo, não podem ser

escritos na forma de fração pois são

infinitos e não têm período.

Comumente, vemos números decimais

nos preços de qualquer objeto e também

nos produtos alimentícios, por exemplo:

Uma muda de uma planta X custa R$

15,50.

Temos que o valor ou preço da muda

não é um número inteiro e sim decimal,

quize reais e cinqüenta centavos.

-Notação decimal

Um número decimal sempre será

evidenciado por ter uma vírgula,

http://pt.wikipedia.org/wiki/Numeral

http://pt.wikipedia.org/wiki/Algarismo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o


38

exemplos; 1,387 ; 1,4 ; 1,2 ; 1,5 ; 2,8 ;

2,9 e etc.

O deslocamento da vírgula corresponde

a um zero se colocarmos número na

forma fracionária, exemplo 1,2 é o

mesmo que : 12

10, note que a vírgula se

desloca da direita para a esquerda uma

casa, pois 1,2 só tem um zero se fosse

1,020 como ficaria sua forma

fracionária ?

Um Número decimal com infinitas

ordens decimais ou de extensão infinita

periódica. São dízimas periódicas

simples ou compostas observe os

exemplos,

-Leitura dos números decimais

Como escrever números decimais por

extenso ?

Sim temos o número 20,50 como

fazemos a leitura dele, simples, antes da

vírgula temos a parte inteira e após a

vírgula temos a parte decimal, logo para

o exemplo acima temos a seguinte

leitura:

Vinte inteiros e cinqüenta centésimos.

Se fosse 20 ,4000 como seria por

extenso ?

Vinte inteiros e 4 milésimos.

-Numerais por extenso

0,1 = décimo (1 casa decimal).

0,01 = centésimo (2 casas decimais).

0,001 = milésimo (3 casas decimais).

0,0001 = décimo de milésimo (4 casas

decimais).

0,00001 = centésimo de milésimo (5

casas decimais).

0,000001 = milionésimo (6 casas

decimais).

0,0000001 = décimo de milionésimo (7

casas decimais).

0,00000001 = centésimo de

milionésimo (8 casas decimais).

0,000000001 = bilionésimo (9 casas

decimais).

0,000000000001 = trilionésimo (12

casas decimais).

Atividades:

1) Escreva por extenso os números

decimais abaixo:

a)2,1=

b)0,36=.

c)2,36=.

d)14,6=

e)0,123 =.


39

-Transformação para números

fracionários

Se pegarmos o número 5 para

representá-lo em forma de fração basta

achar um número que dividido por outro

número o resultado seja 5. Por exemplo:

5 = 10

2 ou

20

4 ou

300

60.

Atividades:

1)Escreva as frações decimais na forma

de números decimais:

a) 10

228

=

_________________________

b) 1000

98

_________________________

c) 000 000 1

1336

=

_________________________

d) 100

61

_________________________

e) 000 10

129

=

_________________________

2) Usando algarismos, escreva na forma

decimal:

a) Quatro inteiros e sete décimos

________________________________

____________

b) Dois inteiros e trinta e cinco

milésimos

________________________________

______

c) Quarenta e sete centésimos

________________________________

______________

d) Dois inteiros e trezentos e cinqüenta

e um centésimo de milésimos

_______________

e) Sete inteiros e oito centésimos de

milésimos

________________________________

_

3) Um edifício A tem 27,6 metros de

altura, enquanto um edifício B tem


40

27,45 metros de altura. Qual dos dois

edifícios é mais alto? Por quê?

4) O que é um número decimal ?

5) O que é uma dizima periódica ? Dê

exemplos ?

9-Operações com os Números

Decimais

-Adição de Números Decimais

Considere a seguinte soma:

1,28 + 2,6 + 0,038

Transformando em frações decimais,

temos:

128

100+

26

10+

38

1000=

1280

1000+

2600

1000+

38

1000=

3818

1000

Método prático:

I) Igualamos o número de casas

decimais, com o acréscimo de zeros;

II) Coloca-se vírgula debaixo de

vírgula;

III) Efetuamos a soma, colocando a

vírgula na soma alinhada com as

demais.


41

Exemplos:

1°)(1,28 + 2,6

0,038)

2°) (35,4 +

0,75 + 47)

3°) (6,14 + 1,8

+ 0,007)

Note que na soma, utilizamos o método

prático, onde não havia o zeros

colocamos para efetuar a soma, e

fizemos a soma.

-Subtração de Números

Decimais

Considere a seguinte subtração:

3,97 - 2,013

Transformando em fração decimal,

temos:

Método prático

I) Igualamos o número de casas


II) Coloca-se vírgula debaixo de

vírgula;

III) Efetuamos a diferença, colocando a

vírgula na subtração alinhada com as

demais.

Exemplos:

1°) (3,97 -

2,013)

2°) (17,2 -

5,146)

3°) (9 -

0,987)

Seguindo o método prático e fazendo os

“ajustes” necessários temos facilidade

para operar a subtração e as demais

operações com os números decimais

Atividades:

1) Calcule as expressões:

a) 17,352 – 15,2 + 8,3

b) 35,25 – (4,85 – 1,23 + 17,9)

c) 15 – (3,25 + 2,7 – 4,08) – 10

d) 20,3 – [4,75 – (1,2 + 2,38)] + 5,1

2)Nara mede 1,58m e Darlan mede 1,88

m de altura. Qual deles é mais alto e

qual é a diferença entre as duas alturas?

3) Qual o resultado de cada operação?

a) 0,917 + 2,79 I) 2,318

b) 2,7 – 1,82 II) 0,88

c) 5,14 – 2,822 III) 3,707

4) Thiago e Joaquim são dois irmãos

que se preocupam com o peso e por essa


42

razão eles fazem regularmente

atividades físicas. Ao se pesarem

constataram que o peso de cada um era

de 87,7 kg e87,69 kg. Qual dos dois está

pesando mais?

5) A ginasta Daiane dos Santos obteve a

5a colocação da ginástica artística de

solo nas Olimpíadas de Atenas 2004.

Daiane conseguiu a nota de 9,375 e a

romena Catalina Ponor conquistou a

nota 9,75. Qual delas consegui a maior

nota?

6) Qual é o maior, 0,3 ou 0,03?

Justifique.

- Multiplicação de Números

Decimais

Considere a seguinte multiplicação:

3,49 · 2,5

Transformando em fração decimais,

temos:

Método prático:

Multiplicam-se os dois número normal,

acrescentando a vírgula depois sendo

que a virgula desloca-se a quantidade de

números existentes após a vírgula tanto

no primeiro número quanto no segundo

número

Exemplos:


43

3,49 · 2,5

1,842 · 0,013

Atividades:

1) Calcule mentalmente e escreva o

resultado em seu caderno.

a) 10 × 43,21

b) 1,45 × 100

c) 1 000 × 65,4

d) 10 × 0,0012

e) 1,25 x 200

f) 1,387 x 100

g) 2,9 x 2,9

i) 1,2 x 1,5

j) 7,8 x 7,9

k) 2,7 x 3,6

l) 4,5 x 4,8

2) Um prédio tem 20 andares. Cada

andar tem 3,75 m de altura. Qual é a

altura do prédio?

3) Se m = 1,802 e n = 100, então m × n

= ________________.

4)Um fio de náilon vai ser colocado

em rolinhos com 15 m cada um. Se na

fábrica há 3 000 m de fio, quantos

rolinhos de náilon vão ser feitos?

Divisão de Números Decimais

I) Divisão exata

Considere a seguinte divisão: 1,4 : 0,05

Transformando em frações decimais,

Método prático

I) Iguala-se o número de casas


II) Retira-se as vírgulas;

III) Efetua-se a divisão;


44

Exemplo:

1,5 : 2,5 =

15

10:25

10=

15

10 .

10

25=

15

25

II) Divisão não-exata

Tome como exemplo a divisão de 66

por 21, temos:

Note que na divisão 66:21 temos que 3

multiplicado por 21 é igual a 63 e 66-

63= 3, quando isso ocorrer

acrescentamos uma vírgula no

quociente no caso 3, e votamos a fazer a

divisão colocando um zero no resto.

Logo temos uma divisão inexata ou

aproximada igual a 3,1

Atividades:

1) Calcule as divisões.

a) 7,44 : 06

b) 1,2 : 0,24

c) 0,072 : 0,09

d) 5,4 : 2,7

e) 2,08 : 0,8

f) 9 : 0,06

2) Determine o valor de cada uma das

expressões.

a) (0,324 + 1,26) : (2 – 0,8)

b) (16 – 6 x 1,8) : 1,3

c) (7,2 – 1,26) : 0,9

d) 1,1 + 0,33: 1,1

3) Leia essa situação, arme uma

expressão numérica e determine o valor

da expressão.

“Milena foi a uma loja de bijuteria com

R$ 100 reais comprar alguns presentes.

Ela comprou um cordão para dar a sua

tia, que custou R$ 22,30 reais, e

comprou cinco pares brincos para dar as

suas amigas, que custou R$ 13,20 cada

par.”

10- Introdução ao estudo da

Geometria

Ao contrário do que muitos atualmente

são levados a pensar, o estudo da

geometria não é um fator isolado da

matemática. Aliás, a matemática inteira

está interligada, a geometria é um

campo específico que completa o ensino

da matemática com a compreensão de

objetos sólidos concretos e abstratos,

mas para entendermos a geometria é

necessário conhecer os elementos

básicos geométricos existentes.

-Inicio da Geometria

Geometria significa "medida da terra".

Mas o que se tem de mais interessante

ao se estudar a história, é que os

primeiros passos no estudo da

geometria foram dados com base numa


45

hipótese falsa. Acreditava-se que a

Terra era plana, portanto, todas as

pesquisas foram feitas segundo essa

crença, mas isso não impediu o

desenvolvimento da geometria.

Foi no período grego, entre 600 e 300

a.C., que a geometria se firmou como

um sistema organizado, e muito disso se

deve a Euclides, mestre na escola

de Alexandria (Cidade do Egito, famosa

por seu farol), que publicou por volta de

325 a.C. Os Elementos, uma obra com

treze volumes, propondo um sistema

inédito no estudo da Geometria.

Esse trabalho de Euclides é tão vasto

que alguns historiadores não

acreditaram que fosse obra de um só

homem.

Mas essas desconfianças não foram

suficientes para tirar o mérito

de Euclides o primeiro a propor um

método para um estudo lógico da

matemática.

-Noções Elementares

Geométricas

A figura abaixo representa um ponto, o

conceito elementar de geometria por

meio de pontos pode traçar uma reta e a

partir daí construir elementos e figuras

geométricas

Exemplos de pontos: uma estrela, um

pingo de caneta, um furo de agulha.

A figura a seguir representa uma reta

que representa a menor distância

possível entre dois pontos.

Exemplos de reta: fio esticado, lados de

um quadro.

A próxima figura representa um plano,

que é uma noção geométrica

Exemplos de planos: o quadro negro, a

superfície de uma mesa.

-Notações de Ponto, Reta e

Plano:

As representações de objetos

geométricos podem ser realizadas do

seguinte modo, letras usadas em nosso

cotidiano, da seguinte maneira :

Pontos A, B, L e M representados por

letras maiúsculas latinas;

Retas r, s, x, p, q, u e v representados

por letras minúsculas latinas;

Planos Alfa, Beta e Gama representados

por letras gregas minúsculas.


46

-Pontos Colineares e semi-retas

Pontos colineares: são pontos que

pertencem a uma mesma reta.

A B C

Semi-retas: Um ponto B sobre uma reta

s, divide esta reta em duas semi-retas. O

ponto B é a origem comum às duas

semi-retas que são denominadas semi-

retas opostas.

Atividades:

1) No seu cotidiano, existem vários

objetos com formato de figuras plana e

sólido geométrico. Cite algumas?

2) Dê 3 exemplos:

a) plano

b)reta

c) ponto

4) A sala de aula é um exemplo de um

plano ?

5) Quem foi o percussor do estudo da

geometria ?

6) Qual foi o livro que deu início aos

estudos da geometria ?

-Segmento de Reta

É a parte da reta limitada por dois

pontos distintos.

Exemplo:

Na física, o segmento de reta é também

conhecido como vetor.


47

-Ângulos Geométricos

É a reunião de duas semi-retas de mesma

origem não colineares (que não estão

sobre a mesma reta).

As duas figuras a seguir são exemplos de

ângulos

Na figura A temos a reunião das duas semi

retas divididas pela origem, observe que a

região “aberta” é o ângulo formado pelas

retas AO e OB :

Na figura B temos a medida que é dada

para algum ângulo formado:

-Ângulo reto

Temos alguns ângulos específicos que

sempre vale ser lembrado e relembrado.

Um ângulo reto é chamado assim,

quando o encontro de suas duas semi-

retas forma 90°.

Exemplo:

-Ângulo Obtuso

É quando o ângulo formado tem medida

menor que noventa graus.

Exemplo:

-Ângulo Agudo

É o ângulo cuja medida é menor que

90°.

-Posições Relativas entre duas

Retas

- Retas Paralelas

Duas retas são chamadas paralelas

quando não tem ponto em comum

(quando não se tocam).

r s

Logo, r e s são retas paralelas


48

Retas Coplanares

Quando duas retas estão inseridas no

mesmo plano essas retas são chamadas

de retas coplanares.

Retas Coincidentes

É quando duas retas têm os mesmo

pontos em comum, ou quando elas são

iguais.

Exemplo:

Atividades:

1) O que é um segmento de reta ? Dê

um exemplo?

2) O que são ângulos ?

3) O que é um ângulo reto ?

4) O que é um ângulo obtuso ?

5) O que é um ângulo agudo

6) O que se quer dizer quando falamos

que duas avenidas ou ruas são paralelas

?

7) O que é uma reta coplanar ?

8) O que são retas paralelas ?

9) O que são retas coincidentes ?

10) Um ângulo pode ter mais de 90° ?

-Polígonos

Chamamos de polígonos uma superfície

plana limitada por uma linha poligonal

fechada. Linha poligonal é uma linha

que é formada apenas por segmentos de

reta. Os polígonos precisam ser figuras

fechadas. O número de lados de um

polígono coincide com o número de

ângulos.

A tabela a seguir representa os

principais polígonos do cotidiano.

Nome

Polígono

Quantidade

de lados

Triângulo Três

Quadrilátero Quatro

Pentágono Cinco


49

Hexágono Seis

Heptágono Sete

Octógono Oito

Decágono Dez

-Medidas de comprimento e

superfície

Você, certamente, já deve ter ouvido

falar em uma medida de comprimento,

por exemplo, aquele terreno medido em

m2

(metros quadrados). Metros é uma

medida de comprimento.

A tabela a seguir mostra como é a

tabela de comprimento que utilizamos

no Brasil.

km hm dam m dm cm mm

Essa é a tabela de comprimento

utilizada, onde:

Km é chamado de quilômetro

Hm é chamado de hectômetro

Dam é chamado de decâmetro

M chamado de é metro

Dm é chamado de decímetro

Cm é chamado de centímetro

Mm é chamado de milímetro

-Transformação de medidas

Para transformarmos de uma unidade

para outra basta multiplicar o que estar

a minha direita pela quantidade de

casas, exemplo 1 metro para milímetro

multiplica por 1000 que é igual á 1 x

1000 = 1000 milímetros.

Se quisermos inverter, ou seja,

transformar milímetros para metros,

basta dividir pela quantidade casas na

potência de dez. De milímetros para

metros são três unidades, logo divide

por 1000, então ; 1000:1000 = 1 metro

A tabela a seguir mostra como se efetua

tal conversão

-Unidades de área

Bastante utilizada para medir

determinadas superfícies

A escrita é a mesma da medida de

comprimento só que ao invés de

terminar em metros termina em

metros quadrados, exemplo

centimetrosquadrados.

-Unidade de Massa

Km2 hm

2 dam

2 m

2 dm

2 cm

2 mm

2

106 10

5 10

2 1 10

-2 10

-4 10

-6


50

kg hg dag g dg cg mg

Onde:

Kg é chamado de quilograma.

Hg é chamado de hectograma.

Dag é chamado de decagrama.

G é chamado de grama.

Dg é chamado de decigrama.

Cg é chamado de centigrama.

Mg é chamado de miligrama.

-Unidade de Volume

Tradicionalmente, representamos o

volume de qualquer líquido pela

unidade denominada de litros.

kl hl dal l dl cl ml

A interpretação é a mesma dos demais

sendo que ao invés da terminação ser

em metros é em litros, exemplo,

mililitro.

Atividades:

1) Quanto vale em metros:

a) 3,6 km + 450 m

b) 6,8 hm - 0,34 dam

c) 16 dm + 54,6 cm + 200mm

d) 2,4 km + 82 hm + 12,5 dam

e) 82,5 hm + 6 hm

2) Escreva por extenso a medida

indicada em cada um dos itens

seguintes:

a) 32 km

b) 48cm

c) 12,76 m

d) 34,8 dm

e) 51,32 m

3) Faça as transformações solicitadas em

cada item.

a) 345,67 m em km

b) 46,87 m em mm

c) 0,034 km em dm

d) 7458 dm em hm

e) 48 km em m

f) 0,23 mm em km


51

4) Três pedaços de barbantes, todos de

40 cm, equivalem a um único pedaço de

quantos metros de barbante?

5) Para que serve uma trena ?

6) Um passo de Pedro equivale a 0,5 m.

Para dar uma volta em torno do quarteirão,

ele contou 420 passos. Quantos metros tem

o contorno desse quarteirão?

7) A medida do palmo de Fausto é de

22 cm. Se, ao medir a altura de uma

estante, ele contou 8 palmos, qual é a

medida da estante, em metros?

8) Ana está passeando em uma praça

quadrada com 24,5 m de lado. Ela deu 4

voltas completas no contorno da praça.

a) Quantos metros Ana andou?

b) Em média, cada passo de Ana mede

0,8 m, quantos passos ela terá dado ao

completar as 4 voltas?

9) Quanto mede a área de sua cidade ou

bairro ? Especifique a sua cidade ou seu

bairro.

10) Qual a medida mais utilizada em

um frigorífico ?

-Áreas das figuras planas

Você já deve ter ficado curioso para

saber a área de um determinado terreno

ou mesmo do seu quarto e da sua casa,

há figuras geométricas que basta uma

fórmula matemática para calcular o

valor do seu tamanho.

-Triângulo

h


52

b

Como se calcular a área de um triângulo

de 90°, simples basta multiplicar a

base(b) pela altura(h) e dividir por dois

em outras palavras:

Área do triângulo = 𝑏 .ℎ

2

Exemplo:

7

3

Área = 𝑏 .ℎ

2 =

3.7

2 =

21

2

-Quadrado

l

l

Bata multiplicar o lado vezes o lado

Área do quadrado = l2

Exemplo:

5

5

Área = l.l = 5.5 = 25

-Retângulo

l

c

Basta multiplicar o comprimento ( c )

pela largura ( l)

Exemplo:

7

2

Área = c.l = 2 . 7 = 14

Atividades:

1) Determine a área de uma sala

quadrada, sabendo que a medida de seu

lado é 6,45 m

2) Vamos calcular a área de uma praça

retangular, em que o comprimento é

igual a 50 m e sua largura mede 35,6 m


53

3) Calcule a área de um retângulo, em

que a base mede 38 cm e sua largura

mede a metade da base.

4) Quantos metros de tecido, no

mínimo, são necessários para fazer uma

toalha para uma mesa que mede 400 cm

de comprimento por 230 cm de largura?

5) Determine a área de um triângulo,

sabendo que sua base mede 5 cm e sua

altura mede 3 cm

6) Determine a área de uma sala

quadrada, sabendo que a medida de seu

lado é 8 m

7) Um jardim de forma retangular tem

área de 54 m2. Qual é o comprimento

desse jardim, sabendo-se que a largura

mede 3 m?

8) Qual o formato de um caderno ?

apostila matemática facilitada para todos os níveis

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