apostila joão eustáquio - var e vec(1)

C A P Í T U L O 7

MODELOS MULTIVARIADOS DE SÉRIES TEMPORAIS

7.1 Introdução

Após ter trabalhado nos capítulos anteriores com modelos univariados de séries

temporais procura-se, neste capítulo, abordar os modelos multivariados. Trataremos de

modelos que analisam duas ou mais séries temporais em conjunto tentando captar a

dinâmica temporal de cada uma e as relações dinâmicas entre elas.

Dentre as diversas abordagens multivariadas destacam-se os modelos VAR e

VAR Estrutural, para séries estacionárias, e análise de co-integração e o modelo de

correção de erro (VEC), para séries não estacionárias.

7.2 Modelo de Auto-regressão Vetorial (VAR)

7.2.1 Definição e Especificação

O modelo de auto-regressão vetorial (VAR ) é uma extensão do modelo auto-

regressivo ( AR ) para mais de uma série. Conceitualmente, é um modelo multi-

equacional composto de uma equação para cada variável em que cada equação é função

de valores defasados daquela variável e de valores defasados das outras variáveis do

sistema.

Um modelo VAR tem duas dimensões: a) número de variáveis = k e b) número

de defasagens = p . Considerando três séries temporais, e , e temos

um modelo dado por,

tt XW , tZ 1=p

)1(VAR

(7.1) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

++++=++++=++++=

−−−

−−−

−−−

ttttt

ttttt

ttttt

ZXWZZXWX

ZXWW

31331321313

21231221212

11131121111

εθθθαεθθθαεθθθα

Em forma matricial, podemos escrever

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

t

t

t

t

t

t

t

t

t

ZXW

ZXW

3

2

1

1

1

1

333231

232221

131211

3

2

1

εεε

θθθθθθθθθ

ααα

.

que pode ser representado por

ttt YY εθα ++= −11 , (7.2)

que é a notação matricial para um . É interessante observar as relações

dinâmicas captadas pelo sistema (7.1). Por exemplo,

)1(VAR

11θ representa o efeito de 1−tW

João Eustáquio de Lima 2DER/UFV

sobre , na presença e . Já tW 1−tX 1−tZ 12θ representa o efeito de sobre , dado

e , ou o efeito de sobre , dado e . Um choque em por meio

de

1−tX tW

1−tW 1−tZ tX 1+tW tW tZ tW

t1ε tem efeito contemporâneo sobre . No período seguinte, este efeito se torna

e afeta que no período seguinte se torna e afeta , e assim

sucessivamente. Em um modelo estacionário este efeito do choque desaparece após

alguns períodos.

tW

1−tW tX 1−tX tW

O modelo para as variáveis e é definido por )2(VAR tt XW , tZ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+++++++=+++++++=

+++++++=

−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

tttttttt

tttttttt

tttttttt

ZXWZXWZZXWZXWX

ZXWZXWW

32362352341331321313

22262252241231221212

12162152141131121111

εθθθθθθαεθθθθθθα

εθθθθθθα

que em termos matriciais fica

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

ZXW

ZXW

ZXW

3

2

1

2

2

2

363534

262524

161514

1

1

1

333231

232221

131211

3

2

1

εεε

θθθθθθθθθ

θθθθθθθθθ

ααα

..

que pode ser escrito como

tttt YYY εθθα +++= −− 2211 . (7.3)

No modelo VAR todas as variáveis são consideradas endógenas e determinadas

de forma dinâmica pelos valores defasados. Tem-se uma equação para cada variável em

função de seus valores defasados e dos valores defasados das outras variáveis.

Generalizando, um com variáveis é representado, em forma matricial,

por

)( pVAR k

tptpttt YYYY εθθθα +++++= −−− .......2211 (7.4)

em que é um vetor de variáveis endógenas, tY 1 xk ,jtY − pj ,........,3,2,1= são vetores

de variáveis defasadas, 1 xk α é um vetor de interceptos, 1 xk iθ ,

são matrizes de coeficientes a serem estimados e

pi ,........,3,2,1=

kxk tε é um vetor de erros

aleatórios com média zero,

1 xk

0)( =tE ε , e matriz de variâncias e covariâncias

. Σ=)( 'ttE εε

A equação (7.4) pode ser escrita de forma mais compacta fazendo uso do

operador de defasagem , isto é, L

ttp

pttt YLYLLYY εθθθα +++++= .......221

ttp

p YLLLI εαθθθ +=−−−− ).......( 221

ttYL εα +=Θ )( , (7.5)


em é um polinômio matricial de ordem )(LΘ p em . L

O modelo VAR é simples e operacional. O estimador de MQO pode ser aplicado

a cada equação individualmente e fornece estimativas não tendenciosas e consistentes.

As variáveis a serem incluídas no VAR são definidas pelo modelo econômico e

todas são consideradas endógenas. No entanto, a equação (7.4) pode conter variáveis

tipicamente exógenas ou determinísticas como tendência e dummies.

O modelo VAR também pode ser definido como uma forma reduzida de um

modelo estrutural de equações simultâneas dinâmicas. Esta idéia ficará clara quando

analisarmos o modelo VAR estrutural. Por enquanto, vamos definir e analisar o VAR

como uma forma reduzida sem se preocupar com sua relação com um modelo

estrutural. Ou seja, sem se preocupar com as restrições para identificar o VAR com um

modelo estrutural. Vamos analisar primeiro uma forma reduzida irrestrita ou VAR não

identificado.

7.2.2 Condições de Estabilidade

Um modelo estável é aquele em que o efeito de um choque (inovação)

eventualmente desaparece ao longo do tempo voltando as variáveis ao equilíbrio de

longo prazo (estado estacionário).

Considere um modelo ( )pVAR em k variáveis como na equação (7.4)

tptpttt YYYY εθθθα +++++= −−− L2211 .

Aplicando o operador de defasagem, temos

ttp

pttt YLYLLYY εθθθα +++++= L221

( ) tttp

p YLLLI εαθθθ +=−−−− L221

Para o VAR ser estável ou estacionário todas as raízes da equação característica kp

0221 =−−−− p

p LLLI θθθ L (7.6)

devem ser , em módulo. Se a solução fornecer uma raiz unitária uma ou mais

variáveis são não estacionárias e o modelo não deve ser estimado na forma como se

apresenta em (7.4). O número de raízes é igual a kp sendo o número de variáveis e

1>

k

p o número de defasagens.

Em um modelo estável:

a) efeitos de choques (inovações) eventualmente desaparecem ao longo do tempo; o

modelo volta ao equilíbrio;

b) Os impactos de choques são finitos e calculáveis;

c) Um modelo estável é estacionário.


Considere, como exemplo, um ( )1VAR com 2 variáveis em que

, (Judge et al, 1988). Assim, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

297,0232,0461,0008,0

1θ

0297,0232,0461,0008,0

1001

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡L

0297,01232,0461,0008,01

=−−−−

LLLL

( )( ) ( )( ) 0232,0461,0297,01008,01 =−−− LLL

( )209152,0

418304,0305,0305,0

0104576,0305,010106952,0002376,0008,0297,01

2

2

22

−+±

=

=−−

=−+−−

L

LLLLLL

877,41 −=L e . 961,12 =L

Como e , o VAR é estável. 1|| 1 >L 12 >L

Com base na análise de estabilidade devemos proceder da seguinte maneira:

1. Ser o VAR é estacionário (estável), proceder análise com variáveis em nível.

2. Se o VAR não é estacionário, existem raízes unitárias. Neste caso, devemos

analisar cointegração:

a) Se as variáveis são não estacionárias mas cointegradas, estimar e analisar um

(modelo de correção de erro vetorial). Um é um VAR com as

restrições de cointegração entre as variáveis que possui dinâmica de curto

prazo e ajuste para o equilíbrio.

VEC VEC

b) Se as variáveis não são cointegradas ajustar o VAR em diferença.

7.2.3 Estimação

O modelo VAR é de especificação simples e fácil de ser estimado. As variáveis

explicativas são todas pré determinadas e o método dos mínimos quadrados ordinários

(MQO) aplicados em cada equação fornece estimadores consistentes e eficientes, dado

erros com média zero, variância constante e não auto-correlacionados. Se os erros são

normalmente distribuídos o método de máxima verossimilhança fornece estimadores

iguais aos do MQO. Para se chegar a um modelo adequado para análise existem vários

procedimentos relacionados com determinação do número de defasagens e testes de

especificação. Observa-se que as variáveis explicativas são as mesmas em todas as

equações e que todas elas têm o mesmo número de lags. Conceitualmente, poderíamos


ter um VAR incompleto (com restrições) com diferentes defasagens para as equações.

No entanto, isto não é comum. Certamente não se dispõe de teoria para dar suporte às

restrições de exclusão de lags e, por outro lado, mesmo que a defasagem não seja

significativa sua manutenção não prejudica as propriedades do estimador e pode

aumentar o poder de previsão do modelo uma vez que estão sendo consideradas toda a

dinâmica de inter-relações entre as variáveis.

7.2.4 Definição da ordem do VAR

No caso univariado a definição da ordem do modelo AR é feita com base na

função de autocorrelação parcial. Para o VAR esta função são matrizes e a escolha da

ordem pela análise dessas matrizes não é simples. A alternativa é usar testes e critérios.

1. Teste de Razão de Verossimilhança

Este teste compara o valor da função de verossimilhança de um modelo de p

lags com um modelo com lags. Inicia-se com um p-máximo pré-estabelecido e

testa sequencialmente até rejeitar a hipótese nula. É um teste de restrições em que se

compara um modelo restrito com um irrestrito. Supondo que os coeficientes de um

VAR(p) relacionados com as variáveis defasadas sejam dados pela matriz

1−p

[ ]pAAAA L21= o teste de razão de verossimilhança consiste em testar

seqüencialmente as seguintes hipóteses, iniciando com um p razoavelmente alto

designado por (Lütkepohl, 1993): maxp

0: contra 0: max1max0 ≠= pp AHAH ,

0 que dado ,0: contra 0: max1max11max0 =≠= −− ppp AAHAH ,

0 que dado ,0: contra 0: 1maxmax2max12max0 ==≠= −−− pppp AAAHAH

M

0 que dado ,0: contra 0: 21maxmax1110 ====≠= − AAAAHAH pp L .

O teste é interrompido quando a hipótese nula for rejeitada e a ordem do VAR será pelo

p correspondente. A decisão do maxp pode ser baseada na freqüência dos dados. Para

dados mensais pode usar 12 lags e para dados trimestrais, 4 lags. O teste é semelhante

ao caso univariado. A diferença é que ao invés de usar a soma de quadrados dos

resíduos usa-se o determinante da matriz de variâncias e covariâncias dos resíduos, .

A estatística de teste é

|ˆ|Σ


(7.7) 2~|]ˆ|ln|ˆ|)[ln( rIRRcTLR χΣ−Σ−=

em que T é igual ao número de observações, é o número de parâmetros estimados no

modelo irrestrito,

c

r é o número de restrições dado pela quantidade de parâmetros que se

deixa de estimar no modelo restrito, e são as matrizes de varâncias e

covariâncias dos modelos irrestrito e restrito, respectivamente.

IRΣ̂ RΣ̂

O teste de razão de verossimilhança tende a indicar valor alto para o número de

lags do VAR e por isso é menos prático que os critérios de informação. Quando se

adiciona lags ao modelo o ajuste melhora e o valor da função de verossimilhança

aumenta e a razão de verossimilhança não capta adequadamente o custo de parâmetros

adicionais.

2. Critérios de Seleção

A determinação do número de defasagens pode se basear nos critérios de

informação que procuram um balanço entre ajuste do modelo e parcimônia em termos

de número de parâmetros. Eles se baseiam no valor máximo da função de

verossimilhança penalizada pelo número de parâmetros. Os critérios se diferenciam pela

penalidade aplicada por parâmetros adicionais. Tem-se os seguintes critérios

(Lütkepohl, 2006):

a) Critério de Akaike: ( )T

pkpAIC p

22|ˆ|ln +Σ= , (7.8)

b) Critério de Schwartz: ( )T

TpkpSC pln|ˆ|ln

2

+Σ= , (7.9)

c) Critério de Hannan-Quinn: ( ) 2lnln2|ˆ|ln pkT

TpHQ p +Σ= , (7.10)

em que = número de variáveis, T = tamanho da amostra,k p = o número de lags e =

matriz de variâncias e covariâncias dos resíduos. Ajusta-se o modelo para diferentes

valores de

pΣ

p e escolhe-se o que minimiza o critério. Segundo Lütkepohl e Krätzig

(2004), para existe uma relação entre os critérios dada por 16≥T

. (7.11) ( ) ( ) (AICpHQpSCp ≤≤ )

7.2.5 Testes de Avaliação do Modelo

Depois de definido o número apropriado de defasagens o modelo é estimado

e, em seguida, deve ser avaliado antes de ser usado em análises.

1. Testes de auto-correlação


O VAR estimado deve apresentar resíduos não auto-correlacionados ao longo do

tempo. Dentre as diferentes formas de analisar os resíduos a mais prática é aplicação de

testes estatísticos para os quais a hipótese nula é que os resíduos estimados não são

auto-correlacionados até o lag . h

a) Teste de Ljung-Box

Testa-se

phjEH

phjEH

jtt

jtt

>=≠′

>==′

−

−

,...,3,2,1 algum para ,0)(:

,...,3,2,1 todopara ,0)(:

1

0

εε

εε

Podem ser calculadas duas estatísticas:

(i) (7.12) ∑=

−−− ΣΣ′ΣΣ′=

h

jphkjjtrTQ

1

2)(

10

10 2~)ˆˆˆˆ( χ

(ii) ∑=

−−− ΣΣ′ΣΣ′

−=

h

jphkjjtr

hTTQ

1

2)(

10

10

22~)ˆˆˆˆ(1 χ (7.13)

em que significa traço da matriz, é a matriz de variâncias e covariâncias

estimada dos resíduos no tempo com os do tempo

) (tr jΣ̂

t jt − , é a matriz de variâncias e

covariâncias contemporânea, é a defasagem para a qual a correlação nos resíduos está

sendo avaliada, é o número de variáveis e T é o número de observações. As matrizes

de variâncias e covariâncias são dadas por e , em que

0Σ̂

h

k

∑+=

−− ′=Σ j

ˆT

jtjttT

1

1 ˆˆ εε ∑=

− ′=ΣT

tttT

1

10 ˆˆˆ εε

tε̂ é o vetor de resíduos do modelo VAR. A segunda estatística está ajustada para graus

de liberdade e é mais apropriada para amostras pequenas.

b) Teste de Breusch-Godfrey

Um teste alternativo para auto-correlação é o de multiplicador de Lagrange

onde se estima um VAR auxiliar dos resíduos em função das variáveis defasadas e dos

resíduos defasados representado por

ththttptpttt uYAYAYA ++++++++= −−−−−− εθεθεθε ˆ...ˆˆ...ˆ 22112211 (7.14)

e testa-se a hipótese 0...: 210 ==== hH θθθ contra 0 um menos pelo :1 ≠iH θ . Neste

modelo admite-se que os resíduos do VAR são auto-correlacionados. O teste é feito em

quatro etapas:

a) Estima-se o VAR dado por (7.14);

b) Estima-se um VAR restrito em que 0...21 ==== hθθθ , isto é, os resíduos não são

auto-correlacionados, dado por


;

(7.15)

Rtptpttt uYAYAYA ++++= −−− ...ˆ 2211ε

c) Constrói-se as matrizes de variâncias e covariâncias dos resíduos das equações (7.14)

e (7.15) definidas por

∑=

− ′=ΣT

tttIR uuT

1

1 ˆˆˆ

∑=

′−=ΣT

t

Rt

RtR uuT

1

1 ˆˆˆ

em que IR significa irrestrito e R restrito.

d) Calcula-se a estatística de teste dada por LM 2χ

. (7.16) 212~)]ˆˆ([)( hkRIRtrkThLM χ−ΣΣ−=

e compara com o valor da tabela com graus de liberdade. Se a hipótese nula não for

aceita há evidência de auto-correlação e a necessidade de acrescentar mais defasagens

no modelo VAR.

2hk

2. Teste de Normalidade

Testes de normalidade são, na maioria dos casos, baseados em medidas de

assimetria (terceiro momento em relação à média) e de curtose (quarto momento em

relação à média). A idéia básica é comparar os valores calculados com os da

distribuição normal que são assimetria igual a zero e curtose igual a três. Estas medidas

são definidas, para cada variável i , por

:iAssimetriaT

m

T

tit

i

∑== 1

3

3

ε̂ (7.17)

:iCurtoseT

m

T

tit

i

∑== 1

4

4

ε̂ (7.18)

em que tε̂ são resíduos padronizados, normalmente por uma decomposição de Choleski

da matriz de variância e covariância dos resíduos originais. Sob a hipótese nula de erros

normalmente distribuídos, a assimetria e a curtose dos resíduos têm distribuição normal

dadas por

)6,0(~)0( 3 NmT i −

)24,0(~)3( 4 NmT i − .

As estatísticas de teste são:


a) Para teste da assimetria conjunta: 23323 ~

6)ˆˆ(

kmmTS χ′

= (7.19)

b) Para teste da curtose conjunta: 24424 ~

24)3ˆ)(3ˆ(

kmmTS χ−′−′

= (7.20)

c) Para teste da assimetria e curtose conjunto: (7.21) 22

24

23 ~ kM SSJB χ+=

O EViews reporta o teste de assimetria e curtose para cada variável, o teste de

assimetria e curtose multivariado e o teste de Jarque-Bera para cada variável e para o

conjunto de variáveis.

3. Teste de heterocedasticidade condicional

O teste para verificar heterocedasticidade condicional ou efeito ARCH no

modelo VAR pode ser feito para cada variável ou em conjunto. Ambas as formas já

foram descritas no Capítulo 6.

7.2.6 Análises feitas com o VAR

Os modelos VAR com variáveis estacionárias permitem realizar as seguintes

análises com dados de séries temporais:

1. Analisar os efeitos de choques nas variáveis por meio de Função Impulso

Resposta (FIR)

2. Analisar a importância das variáveis para explicar a Variância do Erro de

Previsão de cada variável

3. Testar Causalidade de Granger

4. Fazer Previsões

5. Analisar relações contemporâneas (teoria) entre as variáveis com o VAR

Estrutural

As análises de impulso resposta e decomposição de variância servem para se

conhecer o sentido do fluxo de informação entre as variáveis. A função impulso

resposta mostra os efeitos de choques nas variáveis do sistema; possibilita calcular o

impacto (sinal e magnitude) dinâmico de mudança em uma variável sobre ela e sobre as

outras ao longo do tempo. A análise de decomposição de variância indica quanto da

variância do erro de previsão de uma variável pode ser atribuído a mudanças na própria

variável e nas outras do sistema. Os modelos VAR permitem, também, a análise de

relações de causalidade no sentido de Granger entre as variáveis e, de forma semelhante

aos modelos ARMA, podem ser usados para realizar previsões de valores futuros das

variáveis. A análise de relações contemporâneas procura relacionar o VAR com uma

forma estrutural que representa a teoria.


Os modelos VAR com variáveis integradas incorporam informações de curto e

longo prazo nas relações entre as séries temporais e são usados para análise de

cointegração, modelo de correção de erro, além das análises anteriormente

mencionadas.

Os modelos VAR podem também incorporar variáveis tipicamente exógenas

como dummies sazonais e tendência. Assim,

tptptttt YYYBXY εθθθ +++++= −−− L2211 (7.22)

em que B é uma matriz de coeficientes e X um vetor de variáveis exógenas podendo

incluir interceptos, dummies, tendência, variável climática ou qualquer outra de

natureza exógena.

A seguir vamos abordar as questões básicas relacionadas com função impulso

resposta, decomposição de variância, causalidade de Granger e VAR Estrutural. Não

será abordada a parte de previsões por ser uma simples extensão do que já foi visto para

os modelos ARMA.

7.2.7 Funções de Impulso-Resposta

Funções impulso resposta são funções de resposta do sistema a choques

(inovações) nas variáveis através dos erros aleatórios tε . Procura-se medir o efeito de

um choque unitário em uma variável no período t sobre todas variáveis em períodos

subseqüentes. Os coeficientes da função impulso resposta são os coeficientes )(∞VMA

obtido da inversão do . ( )pVAR

Seja um com as variáveis medidas em termos de desvios das médias, ( )pVAR

tptpttt YYYY εθθθ ++++= −−− L2211 .

Aplicando o operador de defasagem temos

( ) ttp

p YLLLI εθθθ =−−−− L221

( ) ttYL εθ = . (7.23)

Se o VAR é estacionário pode-se invertê-lo obtendo-se um )(∞VMA . Ou seja,

( ) ( ttt LMLY εεθ == −1 )

L+++= −− 2211 tttt MMY εεε (7.24)

em que são matrizes que fornecem os efeitos de choques nas variáveis do modelo. iM

Para melhor visualizar a FIR, considere um ( )pVAR estacionário com duas

variáveis. Logo podemos escreve-lo na forma de médias móveis


...1001

32

31

3.223.21

3.123.11

22

21

2.222.21

2.122.11

12

11

1.221.21

1.121.11

2

1

2

1 +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

aaaa

aaaa

aaaa

YY

εε

εε

εε

εε

Pode-se verificar que a i-ésima coluna da matriz mede o efeito de um choque

unitário no i-ésimo componente do vetor de inovações no período sobre as

variáveis no período t .

kM

kt −

De forma mais específica, para um ( )1VAR a FIR pode ser definida da seguinte

maneira. Seja

ttt YY εθ += −11

Logo,

1011 εθ += YY

( )

21102

12

210112

εεθθ

εεθθ

++=

++=

YY

YY

( )

32112

103

13

321102

113

εεθεθθ

εεεθθθ

+++=

+++=

YY

YY

M

LL+++++= −−− 33

122

11101 ttttt

t YY εθεθεθεθ

. (7.25) it

t

i

itt YY −

−

=∑+= εθθ

1

0101

Como o VAR é estacionário, , 01 →iθ ∞→t e

, com , (7.26) it

t

i

ttY −

−

=∑= εθ

1

01 I=0

1θ

que é a representação do . Assim, observa-se que os efeitos são

relacionados com o parâmetro

)(∞VMA )1(VAR iM

1θ .

Com o calcula-se o efeito de choques em uma variável sobre ela e

sobre as outras do sistema. Pode-se racionar tanto em termos de choques em ,

, , etc., ou choques em

)(∞VMA

tt →−1

tt →− 2 tt →−3 1+→ tt , 2+→ tt , 3+→ tt , etc..

A interpretação da função impulso resposta é dada por

st

st MY

=∂∂ +

ε

em que o elemento de mostra o efeito de uma unidade de aumento na inovação

da variável no tempo sobre a variável i no tempo

ij sM

j t st + , mantendo-se constante


todas as outras inovações e tempos constantes. A Função Impulso Resposta é o gráfico

de jt

stiyε∂

∂ +, em função de que é um lapso de tempo ou defasagem. s

Os choques devem ser analisados de forma isolada. Por exemplo, para o ( )1VAR ,

32112

103

13 εεθεθθ +++= YY

e . 43122

113

104

14 εεθεθεθθ ++++= YY

Se e todos os erros para 00 =Y 1≠t forem iguais a zero, um choque no período 1

resulta em

13

112

114314

12

11113213

11112112

11011

0

0

0

εθεθθεθ

εθεθθεθ

εθεθεθεεθ

=+=+=

=+=+=

=+=+==+=

YY

YY

YYYY

M

Para um tempo t

, 11

1 εθ −= ttY

que é o efeito de um choque no período 1. Resta especificar em qual variável este

choque ocorre. Se for na variável 1, tem-se o efeito deste choque sobre ela e sobre as

outras.

7.2.8 Funções Impulso Resposta Ortogonalizadas

Seja um com 2 variáveis, ( )1VAR

ttt AYY ε+= −1

⎩⎨⎧

++=++=

−−

−−

tttt

tttt

YaYaYYaYaY

2122211212

1121211111

εε

em que 0)( =tE ε e Σ=′)( ttE εε . A matriz Σ é a matriz de variâncias e covariâncias

dos erros. Esta é constante ao longo do tempo (estacionariedade). Em geral esta matriz

não é diagonal, ou seja, existe correlação contemporânea entre os erros das diferentes

equações (variáveis). As inovações (choques) são contemporaneamente correlacionadas.

Um choque em no período representado por uma variação em 1Y t t1ε tem efeito

imediato sobre . Por exemplo, se 1Y 11 =tε no período 0=t e 0=tY para , 0<t 11 =tY .

Este choque não tem efeito imediato sobre . No período 2Y 1+t , o choque em afeta

pela primeira equação e pela segunda. Estes efeitos ocorrem nos períodos

, , etc. Então, um choque em uma variável em dado período desenvolve uma

tY1

11 +tY 12 +tY

2+t 3+t


reação em cadeia ao longo do tempo em todas as variáveis do sistema. As funções

impulso resposta calculam estes efeitos em cadeia.

O choque pode ser de uma unidade da variável ou de um desvio padrão ou de

qualquer valor definido. Se as variáveis têm unidades de medida diferentes é mais

indicado usar choque de um desvio padrão. Se as variáveis estão medidas nos

logarítmos os valores da função impulso reposta podem ser interpretados como

elasticidades. Normalmente a análise da FIR se prende ao valor da resposta ao choque

unitário, ao sinal e quantos períodos leva para o efeito do choque desaparecer. Para um

VAR estável a FIR eventualmente decresce até atingir zero.

No entanto, o fato de existir correlação contemporânea entre os erros impede

que se tenha o efeito puro/líquido de cada choque. Quando ocorre choque em uma

variável do sistema seu efeito se confunde com o efeito advindo da correlação dos erros

de outras variáveis. Não há como garantir que o choque ocorre em cada variável

isoladamente. Correlação entre os erros pode indicar que um choque em uma variável é

provável de ser acompanhado por choques nas outras no mesmo período.

Para contornar este problema é necessário transformar os erros em erros

ortogonais que terão matriz de variâncias e covariâncias diagonal. Esta operação pode

ser denominada de ortogonalização dos erros ou diagonalização da matriz de variâncias

e covariâncias. A base para esta operação está no conceito de decomposição de

matrizes.

7.2.9 Decomposição de matrizes

Uma matriz quadrada é definida positiva se: a) mxmA A for simétrica, e b) todas

as raízes características (autovalores) de A forem positivos. Alternativamente, A é

definida positiva se, para qualquer vetor 0≠b , 0>′bbA .

Propriedades importantes de matrizes definidas positivas incluem: a) todos os

autovalores são reais e positivos, e b) a matriz pode ser tranformada como PPA ′Λ= ,

em que é uma matriz diagonal com os autovalores de Λ A e P é uma matriz ortogonal

formada com os autovetores de A . Esta decomposição é denominada decomposição

espectral.

Existem diversas formas de decompor matrizes. Uma que tem grande aplicação

é a decomposição de Cholesky. Esta diz que, para uma matriz simétrica A , existe uma

matriz triangular inferior com uns na diagonal principal e uma matriz diagonal G tal

que . Se

L

LLGA ′= A é definida positiva so elementos da diagonal de são positivos e

podemos escrever

G

))(( ′=′= GLGLLGGLA , em que GL é triangular inferior


e a raiz quadrada é tomada elemento por elemento da diagonal. Pela relação LLGA ′=

tem-se que que é uma operação de diagonalização de GLALLAL =′=′ −−−− )()( 1111 A

(Tsay, 2005).

Esta operação pode ser aplicada no modelo VAR para gerar erros ortogonais

com matriz de variâncias e covariâncias diagonal e funções impulso resposta isentas do

problema de correlação entre os erros.

Dado o modelo

tptpttt YYYY εθθθ ++++= −−− L2211

com 0)( =tE ε e Σ=′)( ttE εε e sendo Σ uma matriz simétrica positiva definida, existe

uma matriz D não singular tal que DDG ′=Σ e que em que é uma

matriz diagonal.

GDD =′Σ −− )()( 11 G

No entanto, a operação de ortogonalização dos erros implica em transformar

todo o modelo. Sendo assim, multiplicando o modelo por 1−D , temos

tptpttt DYDYDYDYD εθθθ 1122

111

11 −−

−−

−−

−− ++++= L

(7.27) tptpttt vYDYDYDYD ++++= −−

−−

−−− θθθ 1

221

1111 L

tt Dv ε1−=

Pela decomposição de Cholesky o modelo transformado tem erros ortogonais pois

. GDDDEDDDEvvE tttttt =′Σ=′′=′′=′ −−−−−− 111111 )(][)( εεεε

Portanto a matriz de variâncias e covariâncias das inovações transformadas é

diagonal. As covariâncias entre os choques não existem e a variância de cada erro é

dada pelos elementos da diagonal. Se IG = os erros têm variância igual a unidade.

Invertendo-se o modelo para a representação de médias móveis obtém-se a FIR com

choques ortogonais.

O modelo transformado é denominado forma estrutural ou modelo estrutural.

Assim, da forma reduzida que é o VAR inicial obtém-se a forma estrutural pela

transformação dos erros com uma decomposição de Cholesky.

No entanto, deve-se observar que em (7.27) todos os termos do modelo foram

tranformados. Os coeficientes das variáveis defasadas são agora dados por ,

e fornecem os efeitos dos choques para diferentes defasagens. Contudo,

do lado esquerdo da equação o termo define relações contemporâneas entre as

variáveis e apresenta importantes implicações para as análises do VAR, implicações

estas inerentes na forma de ortogonalização dos erros.

iD θ1−

pi ,...,3,2,1=

tYD 1−


A seguir, mostra-se, através de um exemplo, baseado em Tsay (2005), que a

ortogonalização dos erros (diagonalização de Σ ) pela decomposição de Cholesky gera

uma forma estrutural recursiva nas variáveis do modelo e que as funções impulso

resposta são afetadas pela ordem em que as variáveis aparecem na análise. Seja o

modelo com duas variáveis na forma reduzida ( )1VAR

(7.28) ⎩⎨⎧

++−=+++=

−−

−−

tttt

tttt

arrrarrr

212112

112111

1.16.04.03.02.02.0

e . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

t

t

t

t

t

t

aa

rr

rr

2

1

22

11

2

1 .1.16.03.02.0

4.02.0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=Σ

1112

Para a matriz de variâncias e covariâncias dada, a decomposição de Cholesky é obtida

com . Multiplicando o modelo por obtém-se

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=−

15.0011D 1−D

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− −

−

t

t

t

t

t

t

aa

rr

rr

2

1

22

11

2

1

15.001

.1.16.03.02.0

15.001

4.02.0

15.001

15.001

e . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==′Σ −−

5.000211 GLL

Assim, o modelo estrutural fica

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+− −

−

t

t

t

t

tt

t

bb

rr

rrr

2

1

22

11

21

1 .95.07.03.02.0

3.02.0

5.0

(7.29) ⎩⎨⎧

++−+=+++=

−−

−−

ttttt

tttt

brrrrbrrr

2121112

112111

95.07.05.03.03.02.02.0

O modelo estrutural (7.29) apresenta uma forma recursiva. A relação contemporânea se

dá de para e não de para . A primeira variável afeta a segunda mas a segunda

não afeta a primeira, contemporaneamente. Isto acontece devido a: a) tipo de

decomposição usada (Cholesky), e b) a ordem das variáveis, vem antes de .

1r 2r 2r 1r

1r 2r

Mudando a ordem das variáveis no VAR, temos

⎩⎨⎧

+++=++−=

−−

−−

tttt

tttt

arrrarrr

112111

212112

3.02.02.01.16.04.0

e ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

t

t

t

t

t

t

aa

rr

rr

1

2

21

12

1

2 .2.03.06.01.1

2.04.0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=Σ

2111


Agora a matriz triangular inferior para a decomposição de Cholesky é .

Pré-multiplicando o modelo por temos

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=−

11011L

1−L

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− −

−

t

t

t

t

t

t

aa

rr

rr

2

1

21

12

1

2

1101

.2.03.06.01.1

1101

2.04.0

1101

1101

e . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==′Σ −−

100111 GLL

Agora a forma estrutural será dada por

. ⎩⎨⎧

+−++−=++−=

−−

−−

ttttt

tttt

crrrrcrrr

2121121

112112

8.08.00.12.01.16.04.0

O modelo estrutural apresenta uma forma recursiva porém com relação contemporânea

diferente em que (a primeira variável) afeta mas não afeta . A primeira

variável afeta a segunda mas a segunda não afeta a primeira, contemporaneamente. A

simples mudança na ordem das variáveis no modelo altera o sentido da relação

contemporânea (teoria) entre as variáveis e consequentemente as funções impulso

resposta e a decomposição de variância. A saída para este problema é: a) usar uma

ordem das variáveis que tenha boa justificativa tendo como base a teoria e

conhecimento do setor; b) usar outro tipo de decomposição; c) usar funções impulso

resposta generalizadas, e d) usar procedimento de estimação da matriz de relações

contemporâneas que seja compatível com a teoria e que forneça erros ortogonais para a

forma estrutural.

2r 1r 1r 2r

No processo de ortogonalização dos erros (diagonalização de ) ficou evidente

que os erros ortogonais são erros de um modelo estrutural que contém relações

contemporâneas entre as variáveis e que a todo VAR forma reduzida corresponde uma

forma estrutural que deve ser compatível com a teoria relativa ao estudo. Para melhor

entender a relação entre VAR (forma reduzida) e VAR Estrutural (forma estrutural)

pode-se fazer as seguintes observações:

Σ

a) A ortogonalização dos erros do modelo VAR (diagonalização de Σ ) conduz a uma

forma estrutural que tem como característica importante as relações contemporâneas

entre as variáveis.

b) A um com erro correlacionados corresponde um modelo estrutural com

erros não correlacionados. Erros estruturais são considerados não correlacionados.

( )pVAR

c) A decomposição de Cholesky gera relações contemporâneas recursivas de acordo

com a ordem em que as variáveis aparecem no modelo.


d) Mudando a ordem das variáveis no vetor que compõe o VAR, as relações

contemporâneas se alteram.

tY

e) Relações contemporâneas representam teoria. Assim, antes de estimar o modelo

deve-se certificar de que a estrutura recursiva tem respaldo na teoria.

f) As funções impulso resposta e decomposição de variância obtidas com decomposição

de Cholesky estão sujeitas à ordenação das variáveis.

g) Dada a matriz de variâncias e covariâncias Σ aplica-se a transformação de Cholesky

para obter a matriz de relações contemporâneas. Existem outras formas de obter esta

matriz com relações contemporâneas não recursivas. Esta é a idéia básica do VAR

Estrutural. Dada a estimativa de Σ , procura-se obter uma matriz de relações

contemporâneas que represente uma teoria mais flexível que a recursiva.

h) Deve-se observar que o processo de identificação do VAR (forma reduzida) para o

VAR Estrutural (forma estrutural) impõe naturalmente restrições na matriz de relações

contemporâneas. Não é possível estimar uma matriz cheia com relações entre todas as

variáveis. Será necessário definir restrições de exclusão que tenham respaldo na teoria e

dêem validade ao modelo.

i) A idéia básica do VAR Estrutural é estimar a matriz de relações contemporâneas com

o número mínimo de restrições e com relações teoricamente relevantes. Combina-se a

diagonalização de Σ com a matriz de relações contemporâneas especificada de acordo

com a teoria.

7.2.10 Decomposição da Variância do Erro de Previsão

Uma análise complementar à função impulso resposta é a decomposição da

variância do erro de previsão que procura determinar qual a percentagem da variância

do erro de previsão de uma variável que é devido a ela e qual percentagem é devido a

cada uma das outras variáveis do modelo ao longo do horizonte de previsão. Esta

análise fornece elementos para se inferir sobre causalidade ao longo de um período

temporal e sobre qual variável é mais exógena no sistema.

A análise se baseia nos desvios da previsão das variáveis. As previsões obtidas

com o modelo VAR contém dois elementos: o valor esperado para a variável e o choque

inesperado em cada equação. A decomposição de variância inicia com o cálculo da

variância do erro de previsão do VAR na forma de médias móveis, isto é, na foram

invertida . Assim, o erro de previsão h períodos à frente no modelo na

forma de é dado por

)(∞VMA )( pVAR

)(∞VMA

...)|( 2211 +Φ+Φ+=− −+−++++ hththththt TYEY εεε . (7.30)


O lado esquerdo de (7.30) é a diferença entre o valor observado do vetor de variáveis

endógenas no tempo e o valor previsto pelo VAR. O lado direito é a representação

dos erros de previsão. Observe que o erro de previsão corrente ou inovações

no modelo dependem de inovações passadas.

ht +

)(∞VMA

A análise precisa ser feita com or erros ortogonais. Assim, a equação (7.30)

pode ser expressa em termos de choques ortogonais por

...)|( 2211 +Ψ+Ψ+=− −+−++++ hththththt uuuTYEY . (7.31)

Denotando o ij-ésimo elemento de nΨ por nij ,ψ e considerando o erro de previsão da

variável temos k

......

...)|(

112,1

112,112,0111,1111,111,0

2

22111

++

++++++=−

+−

−+++−−++++

tyh

htyhtytyhhtyhtyhThT

u

uuuuuTyEy

ψ

ψψψψψ

Dado que os erros não são correlacionados a variância do erro de previsão da variável

é dada por

k

∑≠

−≠− +++++++=k

hkhkk h )...()...()( 211,1

211,1

211,0

2211,1

211,1

211,0

22 ψψψσψψψσσ (7.32)

Cada termo é interpretado como a contribuição da respectiva variável para a variância

do erro de previsão h períodos à frente da variável k . Dividindo ambos os lados por

obtém-se a contribuição percentual de cada variável (Lütkepohl e Krätzig, 2004,

Bueno, 2008).

)(2 hkσ

Deve-se lembrar que a ortogonalização dos erros estabelece relações

contemporâneas entre os erros de previsão da mesma forma que foi visto nas funções

impulso resposta e está diretamente ligada à pressuposição que é feita sobre as relações

contemporâneas entre as variáveis na identificação do VAR. Se for usada a

decomposição de Cholesky a ordem das variáveis é importante e oredens diferentes

fornecem decomposição de variância diferente.

A decomposição da variância do erro de previsão é, normalmente, apresentada

em forma de tabela que indica a precentagem do erro de previsão de uma variável que

pode ser atribuída a ela e a cada uma das outras do sistema períodos à frente depois

da inovação. Uma variável tipicamente exógena terá alta percentagem explicada por ela

própria por um longo período. Se uma variável é importante para a dinâmica temporal

de outra variável, um erro de previsão na primeira variável terá efeito sobre o erro de

previsão na segunda variável. A análise pode indicar, também, relações de causalidade

de Granger mostrando os impactos de mudanças e como as variáveis são relacionadas

ao longo de certo horizonte de tempo. Analisa-se, basicamente, o percentual da

variância do erro de previsão de uma variável que decorre dela e decada uma das outras,

h


se o percentual varia ao longo do horizonte e por quantos períodos uma variável

permanece importante para explicar outra.

7.3 VAR Estrutural

7.3.1 Introdução

Nesta parte vamos apresentar o modelo VAR Estrutural como uma extensão

lógica do VAR que foi definido como um modelo auto-regressivo vetorial capaz de

captar as características dinâmicas dos dados econômicos, como originalmente

especificado por Sims (1980). Após apresentar a especificação do modelo,

identificamos a necessidade de transformar a matriz de variâncias e covariâncias dos

erros para se ter choques ortogonais, isto é, não correlacionados, para a análise correta

das funções impulso resposta e decomposição da variância do erro de previsão.

Contudo, mesmo tendo erros ortogonais surge a dificuldade de como interpretar

as funções impulso resposta sem referência à teoria econômica, ou seja, fica difícil

interpretar o VAR sem referência a uma estrutura econômica específica.

Na seqüencia, vimos que a decomposição de Cholesky da matriz de variâncias e

covariâncias dos erros gera erros ortogonais, mas impõe uma estrutura recursiva nas

relações contemporâneas entre as variáveis uma vez que a transformação ocorre em

todo o modelo. Nesta estrutura a primeira variável do vetor não é,

contemporaneamente, afetada por nenhuma das outras, a segunda é afetada pela

primeira, a terceira é afetada pela primeira e pela segunda, e assim sucessivamente. A

variável mais exógena no modelo, isto é, a que não é afetada por nenhuma, vem

primeiro e a mais endógena, isto é, a que afetada por todas, vem por último na

ordenação.

tY

Dessa forma, a menos que exista uma justificativa teórica para esta estrutura

recursiva a análise dos efeitos de choques se torna arbitrária. Além disso, vimos que, em

geral, mudando a ordem das variáveis no vetor muda os resultados dos choques e,

logicamente, muda as relações contemporâneas. Surge o problema de como definir a

ordem das variáveis no modelo. Diante disto, Sims (1981) sugere estimar com várias

ordenações de variáveis e verificar a robustês dos resultados em relação à ordenação se

nenhuma ordem for sugerida pela teoria. Mas, esta não é uma solução prática.

tY

A incorporação da teoria para definir as relações contemporâneas entre as

variáveis como alternativa à relação recursiva conduz ao VAR Estrutural (SVAR), ou


VAR identificado como foi definido por Sims (1986), Bernanke (1986) e Shapiro e

Watson (1986).

Inicialmente o VAR foi definido como um modelo cujo objetivo era captar as

relações dinâmicas entre as variáveis e fazer previsões. Ele apresentava bom

desempenho para previsão, mas sofria críticas com relação a interpretação dos efeitos

dos choques devido seu caráter ateórico. Como interpretar as funções impulso resposta

sem uma referência à teoria econômica? Assim, avançou-se na idéia de que existe um

modelo estrutural por traz do VAR irrestrito. Como veremos adiante, o VAR passa a ser

considerado formalmente como uma Forma Reduzida (FR) para o qual existe uma

Forma Estrutural (FE) que especifica relações contemporâneas entre as variáveis de

acordo com a teoria. Greene (2003) salienta que assim a literatura “fecha um círculo”

porque a análise recente baseada no VAR com identificação estrutural se torna muito

semelhante à análise com modelos de equações simultâneos dinâmicos.

Considerar o VAR como uma FR de um modelo estrutural exige analisar o

problema da identificação em que se procura verificar se as informações da FR são

suficientes para identificar a FE. Diferentemente dos modelos de equações simultâneas

onde se pode estimar a FE, neste caso estima-se a FR e a partir dela se obtém os

parâmetros estruturais. Para isso é necessário impor restrições suficientes para

identificar a FE. A decomposição de Cholesky impõe número suficiente de restrições

mas gera uma estrutura recursiva na FE. Existem procedimentos mais flexíveis que

possibilitam identificar FE’s mais gerais que representam relações econômicas

coerentes com a teoria.

A relação entre VAR e VAR estrutural pode ser estabelecida de outra forma.

Alguns livros iniciam definindo um modelo estrutural tipo equações simultâneas

dinâmico, que é na verdade um VAR estrutural, e obtém a forma reduzida que é o VAR

padrão. Passa a descrever o VAR e depois volta a analisar o VAR Estrutural com ênfase

nas relações contemporâneas entre as variáveis e no problema da identificação. Alguns

chamam o Var Estrutural de sistema primitivo e o VAR de forma padrão (Enders,

1995). Outros livros definem primeiro o VAR como um modelo auto-regressivo vetorial

e, após caracterizar a nessecidade de decomposição da matriz de variâncias e

covariâncias dos erros para se ter choques ortogonais chega no VAR Estrutural

caracterizado pelas relações contemporâneas que aparecem entre as variáveis em

conseqüencia da decomposição. Esta é a abordagem que estamos seguindo. Neste

processo fica claro o problema da identificação do modelo estrutural através da forma

reduzida. Relacionado com o VAR forma reduzida existe um modelo estrutural sempre


que uma transformação é feita. A decomposição de Cholesky gera um VAR Estrutural

recursivo, mas outras formas são possíveis.

Erros estruturais são ortogonais por pressuposição e erros da forma reduzida são

correlacionados. A análise de impulso resposta e decomposição de variância que

mostram o efeito de inovação nas variáveis deve ser feita com choques estruturais.

Assim, a decomposição ortogonaliza os erros da forma reduzida e gera erros estruturais

que devem ser relacionados com um modelo estrutural que tenha base teórica.

7.3.2 Especificação

Nesta parte vamos apresentar a especificação do modelo VAR Estrutural (SVAR)

com ênfase na especificação da matriz de relações contemporâneas e nas restrições

necessárias para identificar o sistema estrutural (SVAR) a partir da forma reduzida

(VAR) de acordo com o procedimento de Bernanke (1986) que é uma alternativa à

especificação recursiva obtida com a decomposição de Cholesky. Em seguida, são

apresentados alguns exemplos de especificações encontradas em trabalhos publicados

ou em livro texto.

Do VAR para o SVAR

Considere um com variáveis estacionárias )( pVAR k

tptpttt YAYAYAY ε++++= −−− ...2211 (7.33)

em que é um vetor de variáveis endógenas, , tY 1kx iA pi ,...,3,2,1= são matrizes

de coeficientes e

kxk

tε é um vetor de erros com média zero e matriz de variâncias e

covariâncias , isto é

1kx

εΣ ),0(~ εε Σt . Os termos determinísticos (intercepto, tendência,

dummies e outras variáveis exógenas) foram suprimidos para simplificar a notação.

O processo (7.33) tem uma representação de médias móveis, , dada por )(∞MA

......332211 −−− +++= ttttt MMMY εεεε (7.34)

em que, , e ∑=

−=s

jjjss AMM

1

,...3,2,1=s kIM =0 .

Os coeficientes das matrizes , sM ,...3,2,1=s , fornecem as respostas das

variáveis a choques no sistema, constituindo as funções impulso resposta. Porém, como

os erros tε são contemporaneamente correlacionados esses coeficientes não refletem de

forma adequada os efeitos dos choques nas variáveis do sistema. Assim os erros de

(7.33) devem ser ortogonalizados de modo a apresentarem matriz de variâncias e

covariâncias diagonal (ausência de covariância). A ortogonalização consiste em uma


transformação dos erros em (7.33) gerando outro vetor de erros com matriz de

variâncias e covariâncias diagonal. No entanto, esta transformação envolve modificar

todo o modelo o que traz conseqüências para o relacionamento contemporâneo entre as

variáveis.

Dado εΣ simétrica e definida positiva, existe uma matriz P não singular tal que

é uma matriz diagonal. Multiplicando-se (7.33) por PP ′Σε P , tem-se,

tptpttt PYPAYPAYPAPY ε++++= −−− ...2211

ou

, (7.35) tptpttt uYAYAYAPY ++++= −−−*

2*21

*1 ...

que constitui um novo modelo, com novo erro tt Pu ε= e com o termo do lado

esquerdo que incorpora relações contemporâneas entre as variáveis do sistema.

tPY

O modelo (7.35) é um VAR Estrutural que permite análise de funções impulso

resposta ortogonais, decomposição da variância do erro de previsão e estimativas de

coeficientes de relações contemporâneas entre as variáveis. A matriz de variâncias e

coveriâncias dos erros estruturais em (7.35) é dada por

definição)por (diagonal )(

)()()(PPPPE

PPEuuEuCovVar

tt

ttttut

′Σ=′′==′′=′=Σ≡−

εεεεε

(7.36)

Relacionamos um VAR (equação 7.33) com um SVAR (equação 7.35).

Do SVAR para o VAR

De forma alternativa podemos definir um VAR a partir de um SVAR. Mudando

um pouco a notação, considere um modelo estrutural (SVAR) dado por

(7.37) tptpttt BuYAYAYAAY ++++= −−−*

2*21

*1 ...

em que vetor (k x 1) de variáveis do modelo, =tY

=A matriz (k x k) de relações contemporâneas entre as variáveis do modelo,

matrizes (k x k) de coeficientes que relacionam os valores == ),...,3,2,1(* piAi

defasados das variáveis com seus valores correntes,

=B matriz (k x k) de relações contemporâneas entre os erros estruturais , tu

vetor (k x 1) de erros/choques estruturais ortogonais com e =tu 0)( =tuE

uttuuE Σ=′)( (diagonal), e

é o número de variáveis. =k

Pré multiplicando-se (7.37) por 1−A , temos


tptpttt BuAYAAYAAYAAAYA 1*12

*2

11

*1

11 ... −−

−−

−−

−− ++++=

tptpttt YAYAYAY ε++++= −−− ...2211 . (7.38)

em que (7.38) é um VAR padrão e

tt BuA 1−=ε

ou tt BuA =ε . (7.39)

Observe que,

=tε erros/choques ou inovações do modelo VAR (forma reduzida) que

são correlacionados, e

erros/choques ou inovações estruturais que devem ser ortogonais =tu

(não correlacionados).

A matriz de variâncias e covariâncias dos erros da forma reduzida em (7.38) é dada por

′′Σ=′′′

=′′′=′=Σ≡−

−−−−

−−

1111

11

)(

)()()(

ABBAABuuBEA

ABuBuAEECovVar

utt

ttttt εεε ε (7.40)

Se for identidade, uΣ

′′=Σ −− 11 ABBAε . (7.41)

Identificação

O que mostramos anteriormente é que o VAR (equação 7.33 ou 7.38) é uma

forma reduzida do VAR Estrutural (equação 7.35 ou 7.37). O modelo estrutural não é

observável, mas a forma reduzida pode ser estimada. Realmente, a estratégia é,

primeiro, especificar e estimar o VAR, e depois estimar o VAR Estrutural e concentrar

na análise de funções impulso resposta, decomposição de variância e relações

contemporâneas entre as variáveis.

Para estimar o SVAR temos que resolver primeiro o problema de identificação.

A partir da estimativa do VAR será possível identificar o VAR Estrutural? Mais

especificamente, a partir da estimativa de εΣ̂ εΣ , será possível obter estimativas dos

coeficientes de A e B do modelo estrutural?

Para se ter identificação é preciso impor restrições nas matrizes A e B . O

número de restrições necessário para alcançar identificação depende da relação entre o

número de coeficientes estimados na forma reduzida e o número de coeficientes a serem

obtidos na forma estrutural; é um problema de número de incógnitas e de número de

equações (relações) semelhante à condição de ordem1 em equações simultâneas.

1 A condição de ordem é uma condição necessária; existe também a condição de posto.


O número de parâmetros do VAR forma reduzida que servem para identificar os

elementos das matrizes A e B é o número de coeficientes não redundantes da matriz de

variâncias e covariâncias . Os coeficientes das variáveis defasadas não contam.

Como é simétrica, temos

εΣ̂

εΣ̂ 22)1( 2 kkkk +=

+ coeficientes que é o número máximo de

elementos identificáveis em A e B . Se nosso modelo tem 3 variáveis, teremos

62

)13(3=

+ elementos em e só podemos identificar 6 elementos em εΣ̂ A e B ; se

nosso modelo tem 4 variáveis, teremos 102

)14(4=

+ elementos em e só podemos

identificar 10 elementos em

εΣ̂

A e B . Assim, temos:

Elementos a serem identificados: São elementos em 22k A e B ;

Elementos observados/estimados: São os 22

)1( 2 kkkk +=

+ valores da matriz de

variâncias e covariâncias dos erros ( ). εΣ̂

Identificação: Para identificar coeficientes desconhecidos a partir dos

valores de , será necessário impor

22k

2/)( 2 kk + εΣ̂ 2)1(

2)1(2 22 −

+=+

−kkkkkk

restrições nas matrizes A e B . Temos três situações com relação à condição de

identificação do sistema2:

a) Sistema exatamente identificado – quando o número de restrições em A e B for

igual a 2

)1(2 −+

kkk ,

b) Sistema super identificado – quando o número de restrições em A e B for

maior que 2

)1(2 −+

kkk ,

c) Sistema sub-identificado – quando o número de restrições em A e B for menor

que 2

)1(2 −+

kkk .

Para a maioria dos casos são usadas restrições de exclusão com zeros nas posições

que representam ausência de relação contemporânea, ou seja, nas posições de

coeficientes que não serão estimados. Estas restrições são definidas pela teoria. Além

disso, podemos definir A ou B como identidade e impor a restrição de que a matriz

tenha na diagonal principal, o que reduz o número de restrições necessárias. s1′

2 Podemos distinguir dois tipos de restrições: de curto prazo e de longo prazo. Vamos tratar aqui somente das restrições de curto prazo.


O sistema estrutural é estimável ou identificado quando for exatamente identificado

ou super identificado. Na modelagem de SVAR é comum considerar modelos

exatamente identificados, pois estes contêm o mínimo de restrições necessárias para

identificação.

Para sistemas super identificados existe um teste de razão de verossimilhança para

verificar a validade das restrições além do mínimo necessário. A hipótese nula é que as

restrições sãoválidas. A estatística de teste é dada por

2~|)ˆ|ln|~|(ln rTLR χΣ−Σ=

(7.42)

em que Σ~ e Σ̂ são as matrizes de variâncias e covariâncias restrita e irrestrita,

respectivamente, e r é o número de restrições a inimo.

Com base na equação 7.39 em que tt BuA

cima do m

=ε e dependendo das restrições

impostas, três tipos de modelos SVAR podem ser definidos (Lütkepohl e Krätzig,

2004): a) Modelo-A; b) Modelo-B, e c) Modelo-AB. Esta denominação é utilizada na

eratura e implementada pelos programas econométricos.

cont as entre as variáveis

diretamente pela matriz

lit

Modelo-A

Neste modelo a idéia é modelar as relações emporâne

A em (7.37) considerando kIB = , isto é,

tt uA =ε (7.43)

o que reduz o número de valores desconhecidos de 2k . Assim, o número mínimo de

restrições para identificação será 2

)1( −kk

go, temos que impor, no

mínimo, 6 restrições. A matriz

.

Por exemplo, em um sistema de 4 variáveis temos 16 elementos a serem

identificados. Os elementos estimados são 10 da matriz εΣ̂ . Lo

A teria a seguinte configuração

⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

=323231

2221

11

000000

aaaaa

a

A .

recursivo, os zeros podem aparecer em posições diferentes fora da

iagonal principal.

⎥⎥⎥⎥

⎦⎣ 42434241 aaaa

Assim, o sistema é exatamente identificado. Se colocarmos quatro 1’s na diagonal

principal o sistema fica super identificado. Se a teoria indica um relacionamento

contemporâneo não

d


o

ente pelos choques da forma reduzida. A matriz

Modelo-B

Neste modelo, ao invés de modelar diretamente as relações contemporâneas

entre as variáveis, especifica-se as relações entre os erros identificand -se os choques

estruturais diretam A é considerada

o identidade, isto é, kIA = . Log

tt Bu=ε . (7.44)

Ou seja, os erros da forma reduzida são funções line s erros estrutur ro

míni

ares do ais. O núme

mo de restrições para identificação é, também, 2

)1( −kk . Neste caso, BB u ′Σ=Σε e,

.

sível considerar os dois tipos

amente e

se ku I=Σ , BB ′=Σε

Modelo-AB

De acordo com Amisano e Giannini (1997), é pos

de restrições simultane o modelo resultante será

tt uA = Bε . (7.45)

Como A e B têm por, no mínimo, 2k elementos cada, temos que im

222 k restrições para identificação.

Como exemplo, considere o odelo apresentado por Lütkepohl e Krätzig (2004)

envolvendo as variáveis produto ( tq ), t ) e moeda ( tm ). Os erros da

o denotados por ),,( ′= mt

it

qtt εεεε e os erros estruturais por

),,( ′= mt

LMt

IStt uuuu . De acordo com uma visão

)1()1( 22 −+=

+−

kkkkk

m

taxa de juros (

forma reduzida sã

a21−= εε

ão

i

keynesiana a relação entre os erros da

forma reduzida e os erros estruturais é dada por

que representa a curva IS ISt

it

qt uba 1112 +−= εε ,

LMt

mt

q uba 2223 +− ε que representa a curva LM tit

mt

mt ub33=ε que representa uma regra de oferta de moeda

A primeira equação representa um curva IS com um parâmetro negativo para inovação

na taxa de juros e um efeito de choque estrutural na própria IS; a segunda equação é

melhor entendida resolvendo a demanda por moeda em funç de inovações na taxa de

juros, ou seja, LMt

it

qt

mt u++= εβεβε 21 , de onde se tira que 1β deve ser positivo porque


mais moeda é necessário para um maior volume de transação e que 2β deve ser

negativo porque quanto mais alta a taxa de juros maior o custo de se reter moeda e,

consequentemente, menor quantidade de moeda será demandada. Por fim a terceira

equação postula que as inovações da base monetária são determinadas por choques

exógenos na oferta monetária. As três equações formam um m

scrito na forma

odelo AB que pode ser

tt BuA =ε e

⎢⎢⎡

=⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

33

22

11

2321

12

0000

101

ε

C

tt ub

bb

aaa

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 00100

omo 3=k , é necessário um mínimo de 121(212 2 =+− kkk restrições em ) A e em

B para identificação do modelo. Com 3 uns e 3 zeros em A e 6 zeros em B a condição

gonal de B são estimativas dos

ios padrões dos erros estruturais (QMS, 2009).

ir m o

é satisfeita e o modelo é exatamente identificado.

Par fins de estimação, os softwares econométricos consideram o Modelo-AB

uma vez que os outros podem ser considerados casos especiais. O modelo mais comum

é o Modelo-AB em que A define as relações contemporâneas entre as variáveis e B é

diagonal. Na maioria dos softwares os elementos da dia

desv

Estimação de SVAR no EViews

Prime o te os que estimar um VAR padrão e, em seguida, solicitar a estimaçã

das matrizes A e B . Antes, porém, temos que criar as matrizes A e B com a opção

Object/New Object...editando-as com zero nas posições de exclusão e com “NA” nas

posições de coeficientes a serem estimados. Por exemplo,

⎢⎢⎡

=101001

NANANAA e , que representa um sistema recursivo com

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

B IB =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎣

.

Ou,

e , que representa um sistema

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

10010001

01

NANANA

NANANA

A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

NANA

NANA

B

000000000000


strutu z

turais.

do

Structural Factorization... e seleciona Matrix para

ecificar as restrições de identificação, depois Short-run pattern para indicar as

erem estimadas.

al do Brasil usado para prever

mo descrito em Bueno (2008). O

enas:

ominal;

994 a ma

âmetros estruturais

o Modelo-AB em que

e ral com relações contemporâneas não recursivas entre as variáveis e com matri

B diagonal cujos coeficientes são estimativas dos desvios padrões dos erros estru

Depois de criadas estas matrizes e estimado o VAR padrão, clica-se, na tela

VAR, a opção Proc/Estimate

esp

matrizes a s

Exemplo

Considere o modelo VAR 1 do Banco Cenr

inflação e determinar as relações entre as variáveis co

modelo inclui as seguintes variáveis endóg

camb = variação da taxa de câmbio n

juro = variação da taxa selic real;

livres = inflaçãodos preços livres, e

adm = inflação dos preços administrados.

Além disso, são incluídas 11 dummies mensais e uma dummy de tendência para o

período de desinflação (janeiro de 1995 a junho de 1998). Ao dados se referem ao

período de setembro de 1 io de 2007. O VAR foi estimado com 4 defasagens as

11 dummies e a tendência. Após estimar o VAR recuperamos os par

tt BuA =εd e B diagonal para duas situações: modelo recursivo

exatam entificado.

a mais endógena. Os coeficientes da

matriz B fornecem as estimativas dos desvios padrões dos erros estruturais. Na Tabela

7.3 encontram ativas do modelo.

o* de

juro camb adm li s

ente identificado e modelo não recursivo super-id

1. Modelo recursivo exatamente identificado

A Tabela 7.1 mostra a especificação da matriz A de relações contemporâneas

entre as variáveis e a Tabela 7.2 a especificação da matriz B para um modelo recursivo

em que juro é a variável mais exógena e livres

-se as estim

Efeit →

Sobre ↓

vre

juro 1 0 0 0

camb 21a 1 0 0


1 0 adm 31a 32a

livres a a a 1 41 42 43

* Coluna afeta linha

Tabel E pecifica a matriz A de relações contem

o* de

juro camb adm li s

a – 7.1 – s ção d porâneas.

Efeit →

Sobre ↓

vre

juro 11b 0 0 0

camb 0 22b 0 0

adm 0 0 0 33b

livres 0 0 0 b 44


temporâneas

Com 4 variáveis temos que impor, pelo menos,

Tabela – 7.2 – Especificação da matriz B de relações con

entre os erros estruturais.

Identificação: 222

)1(2 =−

+kkk

restrições nas matrizes A e B. Como são impostas 22 restrições, o sistema é exatamente

07M05 r adjustments

alytic derivatives)

tura AR is just-identi

identificado. Structural VAR Estimates Date: 10/26/11 Time: 23:18 Sample (adjusted): 1995M01 20

Included observations: 149 afte Estimation method: method of scoring (an

vergence achieved after 12 iterations Con Struc

l V fied

Model: A u where E[uuRestricti e: short-run n matrix

C C C

B = C )

e = B ']=I on Typ patter

A = 1

C 0 0 0

(1) 1 C )

0 0 (2) (4 1

C ) 0

(3) (5) (6

1

(70

0 C(8)

0 0

0 0

0 0 C(9) 0 0 0 0 C(10)

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

C(1) -0.014491 0.020350 -0.712110 0.4764 C(2) 1.117776 0.200538 5.573877 0.0000 C(3) 0.536834 0.051062 10.51336 0.0000 C(4) 0.278796 0.805940 0.345926 0.7294 C(5) C(6)

-0.087125 0.089408

0.186747 0.018975

-0.466542 4.711893

0.6408 0.0000

C(7) C(8)

0.370556 0.092047

0.021466 17.26268 0.0000 0.005332 17.26268 0.0000


C(9) 0.905538 0.052456 17.26268 0.0000 0.209741 0.012150 17.26268 0.0000 C(10)

Log likelihood -94.82972

Estimated A matrix: 0.000000 0.000000 0.000000

Estimated B matrix: 0.370556 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.092047 0.000000 0.000000

0.000000 0.000000 0.209741

1.000000 -0.014491 1.000000 0.000000 0.000000 1.117776 0.278796 1.000000 0.000000 0.536834 -0.087125 0.089408 1.000000

0.000000 0.000000 0.905538 0.000000 0.000000

ativas do modelo SVAR exatamente identificado. Tabela – 7.3 – Estim

A matriz A multiplicada pelo vetor de variáveis resulta em 4 equações,

+−++

+−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎡

−

−=

livresadmcambjuroadmcambjuro

cambjurojuro

livresadmcambjuro

A

089.0087.0537.0279.0118.1

014.0

1089.0087.001279.0118.1001014.00001

⎧+=

=

defasadostermosjurocambdefasadostermosjuro

t

t

014.0

o é que, a elevação

e 2.79%

na

s preços livres. São estas as

inform eve-se analisar as funções

puls

porâneas

entre as variá en 3 co ficientes d esma

especificada T bela 7. ntra estim s do .

to de

juro camb adm li s

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎢⎣ 537.0

⎪⎪⎩

⎨

+−+−=+−−=

defasadostermosadmcambjurolivresdefasadostermoscambjuroadm

t

t

089.0087.0537.0 279.0118.1

Observe a forma recursiva do modelo. A interpretação desse resultad

de 10% na variável juro implica aumento no cambio de 0.14%, diminuição dos preços

administrados de 11.18% e diminuição nos preços livres de 5.37%,

contemporaneamente. Já o aumento de 10% na variável camb leva à redução d

nos preçosadministrados e elevação de 0.87% nos preços livres. A elevação de 10%

variável adm leva a uma diminuição de 0.89% no

⎪⎪

ações das relações contemporâneas. Em seguida, d

im o resposta e decomposição de variância.

2. Modelo não recursivo e super identificado

A Tabela 7.4 mostra a especificação da matriz A de relações contem

veis com ap as e iferentes de zero. A matriz B é a m

antes. Na a 5 enco m-se as ativa modelo

Efei →

Sobre ↓

vre

juro 1 0 0 0

camb 0 1 0 0


1 adm 31a 0 0

livres 41a 0 1 43a


Tabela – 7.4 – Especificação da matriz A de relações con

Identificação: Com 4 variáveis temos que impor, pelo menos,

temporâneas.

222

2 =+k

restrições nas

)1( −kk

matrizes A e B. Como foram impostas 25 restrições, o sistema é super

Convergence achieved after 10 iterations

(3 degrees of freedom)

identificado. Structural VAR Estimates Date: 10/26/11 Time: 23:18 Sample (adjusted): 1995M01 2007M05 Included observations: 149 after adjustments Estimation method: method of scoring (analytic derivatives)

Structural VAR is over-identified

Model: Ae = Bu where E[uu']=Restrictio ype: short-run p rn matrix A =

C(1) 0 C

B = C

C 0 0 C(6) 0

I atte

n T

1 0 0 0 0 1 0 0

1 0 C(2) 0 (3) 1

(4) 0 0 0 0 (5) 0 0

0 0 0 C(7)

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

C(1) 1.121816 0.200278 5.601286 0.0000 C(2) 0.535853 0.051056 10.49539 0.0000 C(3) 0.089659 0.018981 4.723558 0.0000 C(4) 0.370556 0.021466 17.26268 0.0000 C(5) 0.092204 0.005341 17.26268 0.0000 C(6) C(7)

0.905902 0.209894

0.052477 17.26268 0.0000 0.012159 17.26268 0.0000

Log likelihood -95.25140 LR test for over-identificChi-square(3)

ation: 0.843359 Probabil y 0.8391

it

Estimated A matrix:

0.000000 1.000000 0.000000

Estimated B matrix:

0.000000 0.000000 0.905902 0.000000

1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.121816 0.535853 0.000000 0.089659 1.000000

0.370556 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.092204 0.000000 0.000000

0.000000 0.000000 0.000000 0.209894

abela – 7.5 – Estimativas do modelo SVAR super identificado. T


As estimativas fornecem 4 equações

⎪⎪⎨

⎧

+−==

=

defasadostermosjuroadmdefasadostermoscambdefasadostermosjuro

t

t

t

122.1

e

to de 10% na variável adm leva a uma

iminuição de 0.89% nos preços livres.

o-integração

de séries temporais pode se orientar pela seguinte estratégia:

a

o que “d” é

ár para tornar estacionária. Obtém-se e

enciada .

iado

e , três séries

⎪⎩ +−−= defasadostermosadmjurolivrest 089.0536.0

A interpretação desse resultado é que, a elevação de 10% na variável juro implica

diminuição dos preços administrados de 11.22% e diminuição nos preços livres d

5.36%, contemporaneamente. Já o aumen

⎪

d

7.4 Análise de c7.4.1 Introdução

A modelagem

A. Caso Univ riado

1. Se Y é uma série estacionária, usa-se um modelo ARMA(p,q).

2. Se tY é não estacionária, usa-se um m delo ARIMA(p,d,q), em a

ordem de diferenciação necess ia

t

tY td

t YZ ∆=

tZmodela-se a série difer

B. Caso Multivar

Sejam Y temporais e a seguinte relação de interesse ttt ZX

tttt ZXY εγβα +++= . (7.46)

Neste caso temos que cons

nível.

2. Se Z e são não

a)

Correção de Erro (MCE), na forma uni ou

multivariada, dado por J

uZXY ++∆+∆+=∆ ∑∑ ε̂λγβα (7.47)

iderar as seguintes possibilidades:

1. Se são estacionárias, podemos estimar (7.46) emttt ZXY e ,

ttt XY , estacionárias, temos duas situações:

Se ttt ZXY e , são não estacionárias, mas cointegradas, deve-se

ajustar um Modelo de

ttj

jtjj

jtjt −=

−=

− 100

J

1ˆ −tε em que são

b) -integradas, deve-se

ajustar (7.46) em primeiras

os resíduos da equação (7.46).

Se ttt ZXY e , são não estacionárias e não co

diferenças, isto é,


tttt vZXY +∆+∆+=∆ γβα . (7.48)

.4.2 Conceito de Co-integração

r relações de equilíbrio (relações de cointegração) entre

as

de maneira a garantir a relação de equilíbrio de longo prazo.

Suponha

7

A não estacionariedade de séries temporais é uma possível manifestação de uma

tendência estocástica nas séries. Do ponto de vista econométrico a não estacionariedade

é problemática porque ela gera regressão espúria e não permite o uso da teoria

assintótica para estimação e inferência. Ou seja, mesmo em amostras grandes o

estimador de MQO será inconsistente e os testes de t e F não são válidos. Para contornar

este problema temos que busca

as variáveis não estacionárias.

A idéia intuitiva de cointegração é que variáveis não estacionárias podem

caminhar juntas, isto é, podem ter trajetórias temporais interligadas, de forma que no

longo prazo apresentem relação de equilíbrio. A existência de uma relação de equilíbrio

de longo prazo tem, certamente, implicações para o comportamento de curto prazo das

variáveis; deverá haver algum mecanismo que influencia o comportamento d

variáveis no curto prazo

),0(~ , 21111 σεε iidYY tttt += −

e ),0(~ , 221 σεε iidXX tttt += − ,

sendo t1

22

ε e t2ε independentes. As variáveis tY e tX são passeios aleatórios e portanto

não estacionários. Ambas apresentam tendência estocástica Mesm não havendo

ão da existência de um relaç entre tY e tX , o ajuste de

ttt XY

. o

nenhum i ça ndica a ão

εβα ++= deverá mostrar: a) alto 2R , b) β̂ altamente significativo, c) baixa

estatística de Durbim-Watson indicando resíduos autocorrelacionados. Isto é esperado

por causa da tendência presente em cada variável. Este resultado indica regressão

espúria, caracterizada por relação forte entre as variáveis, devido a tendência estocástica

comum s duas séries, e erro não estacionário.

7.4.3 D e Co-integraçã

As séries são cointegradas de ordem (d , b), isto é,

3 bdCIYY ktt ,

com 0

d), e

à

efinição d o

ktttt YYYY ,...,,, 321

, 21 YY tt

),(~,...,,

db ≤≤ , se:

a) Todas as séries forem integradas de ordem “d”, I(


b) Existir uma combinação linear dessas variáveis,

YaYttt aYaYaZ ++= 2211 ktkt ++ ...33 ,

que sej

ito de outra forma, as variáveis3

dIYdIYdIYdI kttt

serão CI(d , b) se

ttt

a integrada de ordem (d-b).

D

1Y t )(~),...,(~ ),(~ ),(~ 32

)(~...33 ktkt2211 bdIYaYaYaYaZ −++++= .

O vetor [ ]′= kaaaaa ...321 é denominado “vetor de cointegração”. Este é um

conceito estatístico geral em que a combinação linear deve ser integrada de ordem

menor

quando a combinação

linear é , I(0). Temos, então, duas situações:

a) Quando b = d,

se

IddIYaYa ktktt

que d.

Os casos de interesse para as relações econômicas são

estacionária, isto é

),(~,...,,, 321 ddCIYYYY ktttt

211 YaYaZ tt )0(~)(~...332 −+++ .

b) Quando d = b = 1,

se

+=

)1,1(~,...,,, 321 CIYYYY ktttt

)0(~)11(~...332211 IIYaYaYaYaZ ktktttt −++++= .

À semelhança de Bueno (2008), outros autores afirmam que os casos mais

estudados e de maior interesse são aqueles em que as variáveis são integradas de ordem

um ou há algumas integradas de ordem 1 e outras de ordem zero.

7.4.4 Relação de Equilíbrio de Longo Prazo

lação XY 10

Considere )1(~ e I(1)~ ),1(~ IZXIY ttt e a re tZ2tt βββ ++= .

Esta relação estará em equilíbrio de longo prazo se 0210 =−−− ttt ZXY βββ . No

ocorre e o “desvio do equilíbrio” pode ser representado por

tttt ZXY 210

entanto, a relação exata não

βββε −−−= sendo que, para o equilíbrio existir e ter significado

econômico, o desvi lutuar o deve f em torno de zero. Isto significa que tε deve ser

)0(~ Itε com 0)( =tE εestacionário, isto é, .

Assim, com 3 Existe uma definição de co-integração mais abrangente apresentada por Campbell e Perron (1991) que não exige que as variáveis tenham a mesma ordem de integração (Ver Bueno, 2008).


)1(~ e I(1)~ ),1(~ IZXIY ttt e

)0(~210 IZXY tttt βββε −−−=

tem-se com vetor de co-integração )1,1(~ e , CIZXY ttt [ ]′−−−= 2101 ββββ .

Intuitivamente, a análise de cointegração consiste em verificar se as variáveis

guardam uma relação de equilíbrio de longo prazo, isto é, se elas possuem uma

dinâmica comum que faz com que elas caminhem juntas ao longo do tempo. As Figuras

7.1, 7.2, 7.3 e 7.4 mostram exemplos de séries que podem ser cointegradas. A Figura

7.1 mostra as séries do Indicador Boi Gordo ESALQ-BM&F de valor a prazo (azul) e

valor a vista (vermelho). As duas séries parecem ser não estacionárias mas,

cointegradas, pois caminham juntas ao longo do tempo.

Figura 7.1 – Indicador ESALQ-BM&F do Preço doBoi Gordo.

A Figura 7.2 apresenta os preços médios da arroba de boi gordo nos Estados de

São Paulo, Minas Gerais e Goiás que, também, podem ser cointegradas, pois

apresentam uma trajetória comum ao longo do tempo.

Na Figura 7.3 são mostrados os preços de café em três segmentos do mercado.

Tem-se o preço pago ao produtor brasileiro (PP), preço de exportação (PE) e o preço de

atacado nos Estados Unidos (PA). Aparentemente as séries apresentam tendência

estocástica (não estacionárias), mas podem ser cointegradas.


A Figura 7.4 apresenta dados sobre taxa de câmbio real efetiva (TC), oferta

monetária (M1), taxa nominal de juros (JN) e preço relativo agricultura/indústria (RP).

As séries podem ser não estacionárias e apresentarem ou não equilíbrio de longo prazo.

0

40

80

120

160

200

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02

SP MG GO

Figura 7.2 - Preços médios da arroba de boi gordo nos Estados de São

Paulo, Minas Gerais e Goiás.

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

25 50 75 100 125

PP PE PA

Figura 7.3 - Preço de café pago ao produtor brasileiro (PP), preço de

exportação (PE) e preço de atacado nos Estados Unidos (PA).


0

1

2

3

4

5

6

7

8

1983 1984 1985 1986 1987 1988

M1 JN TC RP

Figura 7.4 - Taxa de câmbio real efetiva (TC), oferta monetária (M1),

taxa nominal de juros (JN) e preço relativo entre

agricultura e indústria (RP).

7.4.5 Número de Vetores de Cointegração

O vetor de co-integração é formado pelos coeficientes da relação de co-

integração (estacionária) que assegura o equilíbrio de longo prazo entre as séries. Os

vetores de cointegração não são únicos. Podem existir várias combinações lineares

estacionárias resultantes da existência de vários vetores de cointegração. A identificação

do número de vetores de cointegração tem implicações relevantes para a modelagem de

relações econômicas e para aplicação prática do conceito de cointegração.

O número de vetores de cointegração depende do número de variáveis

envolvidas. Tem-se:

a) Caso de 2 variáveis – Se e e )1(~ IYt )1(~ IX t )0(~10 IXY ttt ββε −−= ,

então, com vetor de co-integração . Neste caso,

existe somente

)1,1(~, CIXY tt [ ′−−= 101 βββ ]uma combinação linear estacionária que representa uma relação de

equilíbrio de longo prazo entre as variáveis.

b) Caso de k variáveis – Se e )1(~),...,1(~X ),1(~X ),1(~ 32 IXIIIY ktttt

)0(~...33221 IXXXY ktktttt ββββε −−−−−= , então,

com vetor de cointegração

)1,1(~,...,X ,X , 32 CIXY ktttt

[ ]′−−−= kββββ ...1 21 . Neste caso, pode-se


mostrar que existem até vetores de cointegração linearmente independentes. Ou

seja, podem existir de 1 até vetores de cointegração que representam relações de

equilíbrio de longo prazo entre as variáveis.

1−k

1−k

Deve-se observar que o vetor de cointegração aparece com o coeficiente da

primeira variável endógena igual a 1. Diz-se que o vetor está normalizado com relação a

esta variável. Este procedimento é definido pela natureza da relação econômica de

interesse e ajuda a identificar o vetor de cointegração.

7.4.6 Rank de Co-integração

O rank de cointegração ( r ) é o número de vetores de co-integração

linearmente independentes. Para k variáveis de mesma ordem de integração e

cointegradas, tem-se que 11 −≤≤ kr . O rank de cointegração é o número de relações

de cointegração importantes para manter o equilíbrio de longo prazo entre as variáveis.

7.4.7 Testes de Co-integração

Para testar a existência de cointegração entre variáveis, podemos distinguir os

seguintes casos:

1. Testes uniequacionais – Baseiam–se no ajustamento de uma relação entre as

variáveis. Temos que considerar:

a) Caso de 2 variáveis

b) Caso de mais de 2 variáveis

2. Testes multiequacionais – Baseiam-se no ajustamento de um modelo VAR

com as variáveis. Pode ser aplicado para duas ou mais variáveis.

7.4.7.1 Testes Uniequacionais

O teste mais utilizado, neste caso, é o de Engle-Granger que consiste em ajustar

uma relação entre as variáveis e realizar um teste de raiz unitária tipo Dickey-Fuller nos

resíduos da equação ajustada.

a) Caso de 2 variáveis

Considere duas séries econômicas e . Para que estas variáveis sejam

cointegradas deve existir uma combinação linear estacionária entre elas. Então, pode-se

tY tX


considerar a relação ttt XY εβα ++= e a combinação linear ttt XY βαε −−= . Se

)0(~ Itε , e são co-integradas. tY tX

Procedimento do Teste de Engle-Granger

1. Verificar a ordem de integração das variáveis: a) Se a ordem for a mesma, I(1)

ou I(2), por exemplo, continuar o teste; b) Se a ordem for diferente, pode-se concluir

que as variáveis não são cointegradas, e c) Se as variáveis são I(0) não há razão para

testar cointegração.

2. Estimar a relação ttt XY εβα ˆˆˆ ++=

3. Testar raiz unitária (não estacionariedade) nos resíduos tε̂ usando, por

exemplo, DF ou ADF. Ajusta-se

ttt v+=∆ −1ˆˆ εδε (DF) ou (ADF) t

p

iititt v+∆+=∆ ∑

−

=−−

1

11 ˆˆˆ εγεδε

e testa-se 0:0 =δH → tε̂ não estacionário; Y e X não cointegradas, contra

0:1 <δH → tε̂ estacionário; Y e X são cointegradas.

A equação de teste não deve conter intercepto nem tendência porque os resíduos

de MQO oscilam em torno de zero.

Um detalhe importante é que, devido ao fato de que tε̂ é estimado, as tabelas de

valores críticos de Dickey-Fuller não são apropriadas. Deve-se usar os valores críticos

de uma tabela específica adaptada para este teste (Tabela 7.6).

No caso de 2 variáveis cointegradas, existe uma relação de cointegração,

, e um único vetor de cointegração, ttt XY βαε ˆˆˆ −−= [ ]′−−= βαβ ˆˆ1 , dada a

normalização em relação a . tY

Exemplo: Teste de cointegração entre o preço de boi gordo em Goiás e em São ( tGO )

Paulo ( )tSP

1. Testes de raiz unitária (ADF) aplicados nas séries mensais de preços

indicaram que ambas são I(1).

2. A equação de cointegração estimada é dada por

, e tt SPGO 826,037,3^

+= 96,02 =R 98,0=DW

3. Teste de estacionariedade nos resíduos:

Estatística calculada = -9,766

Valor da tabela: 2=m , %1=α , fornece 90,3−=cτ


4. Conclusão: 90,3766,9 −=>−= ccalculado ττ , rejeita-se ; resíduo não tem

raiz unitária; resíduo é estacionário; preços de boi gordo de GO e SP são

0H

cointegrados.

A relação de cointegração é dada por e o vetor de

cointegração por

ttt SPGO 826,037,3^

−−=ε

[ ]′−−= 826,037,31β .

m = número de variáveis. Valores válidos para qualquer n (grande)

Fonte: DAVIDSON, R.; MACKINNON, J. G. Estimation and inference in econometrics. New York, Oxford University Press, 1993. 874p.

Tabela 7.6 – Valores Críticos para Teste de Co-integração de Engle-Granger.


b) Caso de mais de 2 variáveis

Os procedimentos do teste de co-integração de Engle-Granger para o

caso de mais de 2 variáveis são uma extensão do caso anterior. Temos que ajustar uma

relação entre as variáveis e testar raiz unitária nos resíduos. Em geral, a relação pode ser

com qualquer variável como dependente. Podem ocorrer incoerências quando se muda a

variável dependente. Sejam . Tem-se que

se

)1(~ e I(1)~ ),1(~ IZXIY ttt

)1,1(~ e , CIZXY ttt )0(~210 IZXY tttt βββε −−−= .

O vetor de co-integração é [ ]′−−−= 2101 ββββ .

No caso de mais de duas variáveis envolvidas, o teste de Engle-Granger

apresenta alguns problemas:

a) Pode-se ter uma ou mais relações de co-integração;

b) O teste de Engle-Granger só identifica uma relação;

c) O teste pode apresentar resultados diferentes dependendo de qual variável é

considerada dependente;

d) O teste de Engle-Granger não é capaz de identificar o rank de cointegração,

isto é, o número de vetores de cointegração.

Assim, no caso de mais de duas variáveis pode ser recomendável usar testes

multiequcionais.

7.4.7.2 Modelo de Correção de Erro (MCE)

Se as variáveis são cointegradas, a relação econômica de interesse deve ser

estimada de forma a incorporar um mecanismo que garanta o equilíbrio entre elas. Este

mecanismo é representado pelas relações de cointegração. Existe uma ou mais relações

de equilíbrio de longo prazo entre as variáveis, mas no curto prazo vai existir

desequilíbrio que é constantemente corrigido pelo erro tε̂ .

A dinâmica do desequilíbrio de curto prazo entre as variáveis é descrita por um

Modelo de Correção de Erro (MCE) que faz também a correção entre a dinâmica de

curto prazo e o comportamento de longo prazo.

Tendo concluído que as variáveis são cointegradas, a relação de interesse entre

elas deve ser estimada na forma de um MCE que, em geral, é dado por

. (7.49) tt

J

jjtt vXfY ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆=∆ −

=−∑ 1

0

ε̂α

ttjtjttt vXXXY ++∆++∆+∆+=∆ −−−− 122110 ˆ... εαββββ , (7.50) Por exemplo,


em que =α coeficiente de ajustam é

corrigid

ento que representa a parcela do desequilíbrio que

a em cada período. No exemplo dos preços do boi gordo em São Paulo e Goiás,

Observando que 826,037,3 −−− −−= ttt SPGOε podemos escrever

)

de cointegração no períod

rto prazo das variáveis. Variações nos preços de GO e SP deve

po.

o MCE estimado é representado por

1

^^5138,0507,0179,0 −−∆+−=∆ ttt SPGO ε .

^

111

826,037,3(5138,0507,0179,0 11

^

−− −−−∆+−=∆ tttt SPGOSPGO ,

que mostra a relação o anterior afetando a relação entre as

variações de cu m oscilar

em torno dessa relação, mantendo-se o equilíbrio de longo prazo entre as variáveis.

O coeficiente -0,51 significa que 0,51 (51%) da discrepância do equilíbrio entre

os preços de boi gordo de Goiás e São Paulo é corrigida em cada período de tem

Mas, este processo é dinâmico; em todo período existe correção para o equilíbrio e

existe desequilíbrio. No longo prazo o equilíbrio prevalece.

7.4.7.3 Teste Multiequacional

( )1I , kYYY ,........,, 21 Suponha k variáveis e que a teoria, ou qualquer

onhecimento a priori, sugere uma relação de equilíbrio de longo prazo entre elas. c

Por exemplo:

a) =dQ quantidade demandada, =P preço, =R renda e =PS preço de um

produto substituto.

bel PSQd A teoria da demanda esta ece que ,( RPf ),= .

b) =1M oferta monetária, =PIB produto e =IIG =P inflação, taxa de juros.

relações dinâmicas entre estas A teoria macroeconômica estabelece

variáveis.

c) =PSP preço em São Paulo, =PMG preço em MG e =PGO preço em

Goiás.

O conceito de integração de mercado procura d lações de loefinir re ngo

ntre estes preços.

indica que es as. Estas combinações lineares governam o

mpo

prazo e

Se as variáveis são ( )1I , a existência de combinações lineares ( )0I entre elas

tas variáveis são cointegrad

co rtamento de longo prazo (equilíbrio) entre as variáveis. Em geral, existem


1−≤ kr combinações lineares independentes que são chamadas relações de co-

o e o problema é determinar o valor de integraçã r . Observa-se que:

a) Quando kr = , as variáveis são estacionárias (e não ( )1I );

b) Quando , não existe relação de longo prazo entre elas; 0=r

c) Se 11 ≤ r , existem de 1 até 1−k vetores de cointegração (ou−≤ k r combinações

estes de Cointegração de Johansen

Considere um com variáveis,

t YAYA

lineares independentes) e será de interesse determinar quantas e quais são estas relações.

O teste multiequacional para determinar o número de vetores de cointegração

(rank de cointegração) e estimar as relações de cointegração mais usado é o teste de

Johansen que tem como base um modelo VAR irrestrito (Johansen, 1988, 1991, 1992,

1995).

T

)( pVAR k

ttt YAYAY tptp ε+++++ −− 321 . (7.51)

À sem uller aume do, o test

= −− .......321

elhança do teste de Dickey-F e de Johansen se baseia em nta

um modelo transformado, denominado de VAR reparametrizado, que permite um

processo autorregressivo de ordem p e não somente de ordem um. A obtenção deste

modelo segue procedimento semelhante à derivação da equação de teste do Dickey-

Fuller Aumentado (ADF). Partindo-se de (7.51) obtém-se o VAR reparametrizado

representado por

ttptpttt YYYYY ε+Π+∆Γ++∆Γ+∆Γ=∆ −−−−−− 1)1(12211 ....... . (7.52)

em que

e

Para melhor entendimento da obtenção do VAR reparametrizado, que constitui a

a) Considere um delo V

∑+=

−=Γp

ijji A

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Ι−=Ι−=Π ∑∑

==

p

iiK

p

ii AA

11.

equação básica do teste de Johansen, vamos considerar a derivação a partir dos modelos

)1(VAR , )2(VAR e )3(VAR , antes de generalizar para um )( pVAR :

mo AR(1) com k variáveis

YA tttY ε+= . −11

VAR reparametrizado, no caso, é dado por O


ttt YY ε+Π=∆ −1 , em que )( 1AI −−=Π .

Esta forma é obtida somando e subtraindo do lado direito da equação o vetor de

1 −−

variáveis defasadas 1−tY , isto é,

1− 11 −++= tt YAY ttt YY ε ,

ttttt YYAYY ε+−=− −−− 1111

ttt YIAY ε+−=∆ −11 )(

ttt YAIY ε+−−=∆ −11 )(

ttt YY ε+Π=∆ −1 , em que )( 1AI −−=Π

que é o VAR re o VAR(1parametrizado d ).

) Considere o modelo VAR(2) com variáveis

b k

tttt YAYAY ε++= −− 2211 .

VAR reparametrizado, no caso, é dado por O

tttt YYY ε+∆Γ+Π=∆ −− 111 , em que )]([ 21 AAI +−−=Π e .

Para obter esta forma, primeiro, some e (segunda matriz de coeficientes

−

21 A−=Γ

subtraia A 12 −tY

vezes o vetor de variáveis com uma defasagem)

122211 −−− 12−+++= ttttt AYAYAYAY tYε

ttttt YYAYAAY ε+−−+= −−− )()( 212121

tttt YAYAAY ε+∆−+= −− 12121 )(

Ag e subtraia

−−−−

ora, some 1−tY ,

1 )( 111212 −++∆− ttttt YYYAA+=t YAY ε

tttt YAYIAAY ε+∆−−+=∆ −− 12121 )(

tttt YAYAAIY ε+∆−+−−=∆ −− 12121 )]([

tttt YYY ε+∆Γ+Π=∆ −− 111 , em que )]([ 21 AAI +−−=Π e .

VAR (3),

21 A−=Γ

c) Para um

ttttt YAYAYAY ε+++= −−− 332211 ,


primeiro some e subtraia (terceira m icientes vezes o vetor de

ns)

YYAYA

23 −tYA atriz de coef

variáveis com duas defasage

tt AYAY ++= − ( 211 tttt ε+−− −−− )() 32323

ttttt YAYAAYAY ε+∆−++= −−− 2323211 )( .

A este resultado, some e subtraia 132 )( −+ tYAA ,

YAYAAY t AAAY tttt ε+∆−∆+−++= 3321 ))( −−− 23121 ( .

E, ome e subtraia

YAYAAYAAA

por fim, s 1−tY

t IY +−−=∆ ([ tttt ε+∆−∆+−+ −−− 231321321 )()]

ttttt YYYY ε+∆Γ+∆Γ+Π=∆ −−− 22111

em , 21 AA que =Π 3)]([ 321 AAAI ++−− )( +−=Γ e 32 A−=Γ .

) Observando a lógica do procedimento é fácil entender que a forma reparametrizada

d

do modelo )( pVAR

tptptttt YAYAYAYAY ε+++++= −−−− .......332211 ,

é dada por

ttptpttt YYYYY ε+Π+∆Γ++∆Γ+∆Γ=∆ −−−−−− 1)1(12211 ....... ,

em que

e

VAR reparametrizado apresenta-se em forma multivariada, mas é semelhante

inição, todos os termos da equação são estacionários, exceto

∑+=

−=Γp

ijji A

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Ι−=Ι−=Π ∑∑

==

p

iiK

p

ii AA

11.

O

a equação de teste do Dickey-Fuller Aumentado (ADF). O desenvolvimento do teste de

Johansen inicia com as seguintes observações a respeito da equação do VAR

reparametrizado:

a) Por def 1−Π tY .

b) Para o sistema ser estacionário, 1−Π tY deve ser estacionário e pa o ra iss a

matriz Π deve apresentar estrutura tal que as combinações lineares sejam

estacionárias.

c) Então, a matriz Π controla as propriedades de estacionariedade do sistema.

bSe existirem com inações lineares estacionárias, as variáveis são

cointegradas. Inicialmente, o termo 1−Π tY representa k combinações


=Π

−

−

−

−

1

12

11

21

22221

1

1

Kt

t

t

KxKKKKK

K

K

t

Y

YY

YM

K

MMM

K

πππ

πππ

, combinações lineares.

d) Para as variáveis serem cointegradas as linhas de

lineares das variáveis, isto é,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ 1211 K πππ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++

+++

=

−−−

−−−

1122111

1112121111

...

...

KtKKtKtK

KtKtt

YYY

YYY

πππ

πππ

L

L

k

Π não podem ser todas

linearmente independentes; elas têm que ser dependentes porque não se pode

ter k combinações lineares (relações de cointegração) para k variáveis

cointegradas.

e) Assim, Π deve ser singular, ou seja, 0)det( =Π e, então, o posto ou rank de

Π deve ser menor que k , rank k<Π)( e as variáveis sejam , para qu

co

f) rês possibilidades:

- significa u

integradas.

Temos, então, t

1ª) 0)( =Πrank :

q e 0=Π

- não há relação e coi d ntegração entre as variáveis; as variáveis

elo pode ser especificado em primeiras diferenças

- as linhas de

não são cointegradas e não existe mecanismo de correção de

erro.

- o mod VAR

2ª) krank =Π)( :

Π são linearmente independentes

as variáveis - existem k combinações lineares estacionárias d

- significa que as variáveis são estacionárias

- o modelo VAR pode ser estimado em nível

- A questão de cointegração não é pertinente

3ª) krrank <=Π)( : <0

exist - em r , r k<<0 , combinações lineares independentes

s

são I(1), existem

estacionária ;

- se as variáveis r relações de cointegração que

fornecem r vetores de cointegração;

- O termo 1−Π tY fornece as combinações lineares estacionárias.


a) A m m raízes características;

ra corre

Complementando, deve-se observar que:

atriz Π é de dimensão k xk e, portanto, te k

b) Para cada iz característica sponde um vetor característico;

c) O krrank <=Π)( , e r é o número de raízes características diferentes de 0;

primeiros r d) Os ve s mamtore característicos são os vetores de cointegração que for r

combinações lineares estacionárias independentes, e

e) Existem rks −= combinações lineares não estacionárias, mas que não são

ra mantimportantes pa er o equilíbrio de longo prazo entre as variáveis.

Se krrank <=Π)( , pode-se mostrar que existem matrizes kxrα e kxrβ tais que

kxrkxk α=Π

Substit na equação do VAR reparametrizado, obtém-se

que é o Modelo de Correção de Erro na forma multivariada denominado Modelo de

ue,

)('

rxkβ . )(

uindo

ttptpttt YYYYY εαβ ++∆Γ++∆Γ+∆Γ=∆ −−−−−− 1'

)1(12211 .......

Correção de Erro Vetorial (VEC). O VEC é um VAR (reparametrizado) com as

restrições de co-integração entre as variáveis. Tem-se q

1'

−tYβ = são as r relações de co-integração que definem a trajetória de longo

prazo (equilíbrio) entre as variáveis. São relações em nível.

α = m prazo.

Co

atriz de coeficientes de ajustamento para o equilíbrio de longo

iΓ = matrizes de coeficientes que definem a dinâmica de curto prazo.

mo ilustração, considere um exemplo com 3=k variáveis e matriz dada

por

Π

33323321141

32564418116116521

x⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−=Π

com raízes características 01 =λ , 4416,02 −=λ e 7928,03 −=λ . Assim, com duas

ntes e zero, raízes características difere d )( 2=Πran e exis

k tem 2 relações de

cointegração. Pode-se mostrar que,

322333

41100811

83418581

4121

32332114132564418116116521

⎢⎡ −−

xxx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎣ −−

−=Π

α β ′

Coefs. de ajustamento Vetores de co-integração.


iti Y −∆ΓO modelo VEC, desconsiderando os termos de diferença defasados, , será

1313

122 .4110

0811.8581 tt YY ⎥

⎥⎢⎢

⎥⎤

⎢⎡

−−

⎥⎥

⎢⎢ −=⎥

⎥⎢⎢∆ −

112 tY ⎤⎡⎡ −

323

1

8341

411

xtx

t

t

YY

Y

⎥⎦⎢⎣⎦⎣⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

⎥⎦

⎤

⎢⎣∆

∆

−

12131211

131211

23

4/1008/1

83418581

4121

xttt

ttt

x

YYYYYY

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

−−−

−−−

( ) ( )( ) ( )( ) ( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

−+−=∆−−−=∆−+−−=∆

−−−−

−−−−

−−−−

131212113

13121211

131212111

4183814141858181

41418121

ttttt

ttttt

ttttt

YYYYYYYYYY

YYYYY

2

As expressões 1211 81 −− − tt YY e 1312 41 −− − tt YY são as relações de cointegração que

entram m cada equação.

este da Raiz Característica Máxima

número de raízes

características diferentes de zero na matriz

e

Teste do Traço e T

O procedimento de Johansen consiste em testar o

Π que corresponde ao número de relações e

vetores

ste teste considera como hipótese nula a existência de raízes características

vetores de cointegração) contra a alternativa de

ormal

> .

teste é da por

de cointegração entre as variáveis. São utilizados dois testes: Teste do Traço e

Teste da Raiz Característica Máxima.

1. Teste do Traço

0rE

diferentes de zero ( 0r 0rr > .

F mente,

00 : rH =

H

r

01 : rr

A estatística de da

∑+

−−=k

r

=iT

10

)ˆ1ln( λλ , (7.53)

é o número de observações e são a

estim da.

iTraço

em que T s raízes características obtidas da matriz iλ̂

Π a


2. Teste da Raiz Característica Máxima

O segundo teste tem como hipótese nula a existência de raízes características

gração) contra a alternativa de

0r

diferentes de zero ( 0r vetores de cointe 10 += rr .

ormal

e teste é

λλ . (7.54)

lizados em seqüência, de forma crescente, até que a hipótese

ula nã seja r itada. Para

F mente,

00 : rrH =

H 1: 01 += rr

e a estatística d

T )ˆ1ln( 10 +−−= rMax

Os testes são rea

0:0 =rH 0H significa que há um ou mais vetores n o eje , rejeitar

de cointegração, pelo teste do traço, e um pelo teste da raiz máxima. Para 1:0 =rH ,

rejeitar 0H significa que há d ais vetore e cointegração, pelo teste do traço, e

mais um pelo teste da raiz máxima. A Tabela 7.7 mostra como os testes d r

realizados.

ois ou m

evem se

Teste do Traço Teste da Raiz Máxima

s d

0H H1 Traçoλ 0H 1H Maxλ

0=r 1≥r ∑=

−−K

iiT

1)ˆ1ln( λ

0=r 1=r )ˆ1ln( 1λ−−T

1=r 2≥r ∑=

−−K

iiT

2

)ˆ1ln( λ 1=r 2=r )ˆ1ln( 2λ−−T

2=r 3≥r ∑=

−−K

iiT

3

)ˆ1ln( λ 2=r 3=r )ˆ1ln( 3λ−−T

... ... ... ... ... ...

1−= kr kr = )ˆ1ln( kT λ−− 1−= kr kr = )ˆ1ln( kT λ−−

Tab la 7.7 – Form Teste do Traço e da Raiz Máxima

e a Sequencial do


xemplo: Considere os preços médios mensais de boi gordo nos estados de São

aulo (SP), Minas Gerais (MG) e Goiás (GO) para o período de janeiro de 1980 a

iews:

. Analisar estacionariedade das séries:

ram que as séries são I(1).

te é baseado no modelo VAR, temos que

prim m as variáveis em

r as

pecificar lags...ok. Na tela da saída do VAR...View...Lag Structure...Lag

).

inhos para chegar no teste de cointegração:

atistics...Cointegration Test: Especificar

ia...ok.

de intercepto e tendência...ok.

nível.

Dev em

é a especificação de termos determinísticos.

intercepto e

E

P

setembro de 2002 (273 observações). Objetivos: a) Verificar a existência de

relação(ões) de equilíbrio de longo prazo entre os preços (cointegração), e b) Estimar

a(s) relação(ões) de cointegração.

Procedimento usando o EV

1

Análise gráfica e testes ADF indica

2. Definir a ordem do VAR: Como o tes

eiro estimar um VAR e definir sua ordem (número de lags). Co

nível estima-se um VAR e seleciona-se a ordem com base nos critérios de

informação.

Estimação: Quick...Estimate VAR...escolher opção Unrestrict VAR...especifica

variáveis...es

Length Criteria...ok.

Os critérios de FPE (final prediction error), Akaike, Schwarz e Hannan-Quinn

indicaram um VAR(2

3. Seqüência do teste no EViews:

a) No EViews temos três cam

(i) Quick... Group St

variáveis…ok…especificar lags e opção de intercepto e tendênc

(ii) Marcar as variáveis e clicar em show ou abrir como um grupo.

Depois clicar em View...Cointegration Test...Especificar lags e opção

de intercepto e tendência...ok.

(iii) Pela tela de saída do VAR clicar em View...Cointegration

Test...Especificar lags e opção

b) A especificação de lags deve ser coerente com a ordem do VAR em

e-se especificar um lag a menos para o teste porque a equação está

diferenças. Se a ordem do VAR for 2, especificado como 1 2, para o teste

especifica-se 1 1 (Figura 7.5).

c) Especificação da opção de intercepto e tendência (Figura 7.5):

Um grande problema do teste

Existem 5 possibilidades relacionadas com a presença de

tendência no nível das variáveis e/ou na equação de cointegração. Estes

termos afetam a distribuição da estatística de teste e, consequentemente, os


ções de cointegração não têm interceptos;

de cointegração têm interceptos;

Existem ou

de variáve pouco usados. O caso (i)

d

O kaike e Schwarz,

valores críticos. Os modelos possíveis são (Ver Eviews 7 - User’s Guide II, e

Bueno, 2008):

(i) As variáveis em nível não possuem tendência determinística e as

equa

(ii) As variáveis em nível não possuem tendência determinística e as

equações de cointegração têm interceptos;

(iii) As variáveis em nível possuem tendência linear e as equações de

cointegração têm interceptos;

(iv) As variáveis em nível e as equações de cointegração possuem

tendência linear e as equações

(v) As variáveis em nível têm tendência quadrática e as equações de

cointegração possuem tendência linear.

tros casos possíveis, mas estes são suficientes para evitar omissão

l relevante no teste. Os caso (i) e (v) são

se refere à situação em que todas as séries têm média zero e o caso (v) não

fornece boas previsões. O caso (ii) é usado quando as séries não apresentam

tendência e o (iii) quando as tendências são estocásticas (default). O caso

(iv) é quando existe tendência determinística nas séries.

) Resumo das Opções – Saída do EViews apresentada na Figura 7.6.

resumo indica, pelos critérios de log verossimilhança, A

a melhor opção. É comum o resumo não ser muito útil.


Figura 7.5 – Tela de especificação de lags e opção de intercepto e tendência


Figura 7.6 – Resumo das Opções de Intercepto e Tendência

d) Teste de Cointegração de Johansen – Saída do EViews na Figura 7.7.


Figura 7.7 – Saída do EViews para o Teste de Co-integração de Johansen


e) Estimação do VEC: O teste indica o número de relações de cointegração e

fornece estimativa dos vetores de cointegração e dos vetores de coeficientes

de ajustamento. Pode ser de interesse estimar o modelo VEC que incorpora as

restrições de cointegração. Para isto temos que entrar em

Quick...estimate VAR...,

escolher a opção de Vector Error Correction e especificar a mesma opção de

intercepto e tendência do teste, um lag a menos que o VAR e o número de

relações de cointegração (Figuras 7.8 e 7.9). Os resultados para uma e duas

relações de cointegração podem ser vistos nas saídas do EViews apresentadas

nas Figuras 7.10 e 7.11.

Figura 7.8 – Tela de especificação do Modelo VEC


Figura 7.9 – Tela de especificação do número de relações de cointegração e

opção de intercepto e tendência

4. Identificação das Estimativas das Relações de Cointegração

O teste de Johansen indica a existência de 2 relações de cointegração (Figura

7.7). Para melhor entendimento, vamos considerar a existência de 1 e de 2 relações.

a) Considerando Uma Relação de Cointegração:

A estimativa do vetor de cointegração, normalizado para Goiás, é

[ ]′−−= 153156,0431387,0390626,11β e a relação de longo prazo estimada é

dada por (preços em logaritmos)

SPMGGO 431387,0390626,1153156,0 −+= .

Neste caso, a identificação do termo de correção de erro que garante o equilíbrio de

longo prazo das variáveis é feita da seguinte forma (Figuras 7 ou 10)

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=′=Π

−

−

−

−−

CSP

MGGO

YYt

t

t

tt1

1

1

11 153,0431,0391,11044,0

333,0104,0

βα

[ ] 11111

13

11 153,0431,0391,1044,0

333,0104,0

xttt

x

tt SPMGGOYY −+−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=′=Π −−−−− βα


13111

111

111

11

)153,0431,0391,1(044,0)153,0431,0391,1(333,0)153,0431,0391,1(104,0

xttt

ttt

ttt

tt

SPMGGOSPMGGOSPMGGO

YY⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−−−+−−+−−

=′=Π

−−−

−−−

−−−

−− βα

São três relações sendo a primeira para a equação de preço de Goiás, a segunda

para Minas Gerais e a terceira para São Paulo. A relação de cointegração é a

mesma, o que muda é o coeficiente de ajustamento.

b) Considerando Duas Relações de Cointegração:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=′=Π

−

−

−

−−

CSP

MGGO

YYt

t

t

tt1

1

1

11 051,0993,010082,0949,001

117,0114,0473,0308,0

097,0238,0βα

131111

1111

1111

11

)051,0993,0(117,0)082,0949,0(114,0)051,0993,0(473,0)082,0949,0(308,0)051,0993,0(097,0)082,0949,0(238,0

xtttt

tttt

tttt

tt

SPMGSPGOSPMGSPGOSPMGSPGO

YY⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+−−+−−−−+−+−−−

=′=Π

−−−−

−−−−

−−−−

−− βα

5. Estimativas do VEC

O VEC é o VAR reparametrizado com as restrições de cointegração.

a) Considerando 1 Relação de Cointegração (Figura 10):

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−∆+∆−∆−=∆+∆+∆−∆−=∆−∆+∆−∆−=∆

−−−−

−−−−

−−−−

1111

1111

1111

044,0309,0002,0261,0333,0630,0091,0329,0104,0694,0040,0410,0

ttttt

ttttt

ttttt

VCSPMGGOSPVCSPMGGOMGVCSPMGGOGO

153,0431,0391,1 1111 −+−= −−−− tttt SPMGGOVC

b) Considerando 2 Relações de Co-integração (Figura 11):

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++∆+∆−∆−=∆−+∆+∆−∆−=∆+−∆+∆−∆−=∆

−−−−−

−−−−−

−−−−−

11111

11111

11111

2117,01114,0422,0029,0307,02473,01308,0612,0086,0322,02097,01238,0599,0017,0371,0

tttttt

tttttt

tttttt

VCVCSPMGGOSPVCVCSPMGGOMGVCVCSPMGGOGO

⎩⎨⎧

+−=−−=

−−−

−−−

051,0993,02082,0949,01

111

111

ttt

ttt

SPMGVCSPGOVC


Figura 7.10 – Estimativa do VEC com uma Relação de Cointegração


Figura 7.11 – Estimativa do VEC com duas Relações de Cointegração


7.5 Análise de Causalidade de Granger

O teste de causalidade de Granger baseia-se na idéia de que se X causa Y , o

conhecimento de valores passados de X permitem melhores previsões de Y . Assim, o

termo causalidade, no sentido estatístico, não significa que uma variável é resultante do

efeito da outra, mas que uma variável precede a outra. Por isso, o próprio Granger

concorda que se trata de um teste de precedência temporal e não de causalidade no

sentido de uma relação de causa e efeito.

Considere duas séries temporais Y e X . Na prática, estamos interessados em

saber se X causa/precede Y , ou se Y causa/precede X , se as duas ocorrem

simultaneamente ou se não existe relação de causalidade entre as variáveis.

Formalmente, o teste de causalidade de Granger consiste em estimar as seguintes

regressões:

(7.55) ∑ ∑= =

−− +++=p

i

p

ititXiitYit XYY

1 110 εββα

. (7.56) ∑ ∑= =

−− +++=p

i

p

ititYiitXit YXX

1 120 εββγ

A equação (7.55) estabelece que valores correntes de Y estão relacionados a valores

passados de Y e a valores passados de X ; a equação (7.56) estabelece comportamento

semelhante para X . Se X não for importante para prever Y , os coeficientes Xiβ na

equação (7.55) devem ser estatisticamente iguais a zero, isto é, deve-se aceitar a

hipótese nula 0...: 210 ==== XpXXH βββ . De forma semelhante, se Y não for

importante para prever X , os coeficientes Yiβ na equação (7.56) devem ser

estatisticamente iguais a zero, isto é, deve-se aceitar a hipótese nula

0...: 210 ==== YpYH Y βββ . O teste desta hipótese é um teste de F das restrições nas

duas equações onde se compara um modelo restrito com um irrestrito.

Após estimação das equações (7.55) e (7.56), podemos ter quatro situações:

1. Causalidade unidirecional de X para Y ( ) - se os coeficientes

estimados em (7.55) para as variáveis defasadas forem conjuntamente

diferentes de zero e os coeficientes estimados em (7.56) para as variáveis

YX →

itX −


defasadas forem conjuntamente iguais a zero. Ou seja, rejeita-se a hipótese

nula em (7.55) e aceita-se em (7.56).

itY −

2. Causalidade unidirecional de Y para X ( ) - se os coeficientes

estimados em (7.56) para as variáveis defasadas forem conjuntamente

diferentes de zero e os coeficientes estimados em (7.55) para as variáveis

defasadas forem conjuntamente iguais a zero. Ou seja, rejeita-se a hipótese

nula em (7.56) e aceita-se em (7.55).

XY →

itY −

itX −

3. Causalidade bidirecional de X para Y e de Y para X ( ) - se os

coeficientes estimados em (7.55) para as variáveis defasadas forem

conjuntamente diferentes de zero e os coeficientes estimados em (7.56) para as

variáveis defasadas forem, também, conjuntamente diferentes de zero. Ou

seja, rejeita-se a hipótese nula em (7.55) e em (7.56).

YX ⇔

itX −

itY −

4. Ausência de Causalidade - se os coeficientes estimados em (7.55) para as

variáveis defasadas forem conjuntamente iguais a zero e os coeficientes

estimados em (7.56) para as variáveis defasadas forem, também,

conjuntamente iguais a zero. Ou seja, aceita-se a hipótese nula em (7.55) e

aceita-se em (7.56).

itX −

itY −

Um ponto importante no teste de causalidade de Granger é a determinação do

número de defasagens. Isto deve ser feito com critério porque o teste é muito sensível

ao número de defasagens usado. Um número pequeno de defasagens pode causar viés

de omissão de variáveis relevantes no modelo fazendo com que as estimativas dos

coeficientes das variáveis que permanecem sejam tendenciosas. Por outro lado, a

escolha de mais defasagens do que o necessário pode levar ao viés de inclusão de

variável irrelevante. A sugestão é usar os critérios de escolha AIC, SC para definir o

número ótimo de defasagens.

Outro ponto importante é que o teste só é válido para variáveis estacionárias.

Assim, o teste se concentra em relações de curto prazo desprezando a informação da

tendência de longo prazo comum a séries não estacionárias e co-integradas. Granger

mostra que se existe co-integração tem que existir causalidade de alguma forma entre as

variáveis. Engle e Granger (1987) propõe identificar relações de causalidade entre


variáveis não estacionárias, mas co-integradas, por meio de um Modelo de Correção de

Erro Vetorial (Modelo VEC)4.

O VEC explica mudanças nos valores correntes de uma variável com base em

mudanças defasadas da própria variável e das outras e de um termo de correção de erro.

Se duas variáveis Y e X são co-integradas parte da mudança corrente em Y , por

exemplo, pode ser o resultado de movimentos corretivos em X para que se atinja

novamente o equilíbrio de longo prazo de Y . Dessa forma, desde que Y e X sejam co-

integradas, isto é, possuem uma tendência comum, deverá existir causalidade entre elas

em alguma direção.

Para testar causalidade quando as variáveis são não estacionárias e co-

integradas utiliza-se um modelo VEC dado por

(7.57) ∑ ∑−

=

−

=−−− ++∆+∆+=∆

1

1

1

111110

p

i

p

ittitXiitYit uXYY εαβββ

(7.58) ∑ ∑−

=

−

=−−− ++∆+∆+=∆

1

1

1

121220

p

i

p

ittitYiitXit uYXX ηαβββ

em que 1−tε e 1−tη são valores defasados dos resíduos das equações de co-integração

ttt XY εγ += 1 e ttt YX ηγ += 2 , respectivamente. São termos de correção de erro

defasados obtidos da relação de co-integração. Os coeficientes )2,1( =iiα representam o

desvio da variável dependente do equilíbrio de longo prazo e e são erros não

correlacionados e com média zero. A existência de relações de co-integração entre as

variáveis sugere que deve existir causalidade de Granger em, pelo menos, uma direção.

Além de indicar a direção de causalidade o VEC possibilita distinguir entre causalidade

de curto e de longo prazo.

tu1 tu2

Nas equações (7.57) e (7.58), as variações na variável dependente são causadas

por variações passadas e pelo desequilíbrio em nível do período anterior. Assim, pode-

se testar a presença de causalidade de curto e de longo prazo. Considere, por exemplo, a

equação (7.57). Se os coeficientes estimados das variáveis defasadas são

estatisticamente significantes, em conjunto, então

itX −∆

X causa Y , no curto prazo. Esta

hipótese pode ser testada por um teste de F conjunto. Se o coeficiente do termo de

correção de erro, 1α , for significativo pelo teste t , existe causalidade de longo prazo de

4 Se as variáveis são não estacionárias e não co-integradas, deve-se fazer o teste padrão com as variáveis diferenciadas.


X para Y . Finalmente, o que se denomina de causalidade de Granger forte pode ser

examinado pelo teste de F conjunto da significância dos coeficientes Xiβ e de 1α .

Raciocínio semelhante deve ser feito com a equação (7.58) para determinar a direção de

causalidade.

Resumindo, a causalidade de Granger entre X e Y no modelo VEC

representado pelas equações (7.57) e (7.58) pode ser feita identificando-se três fontes de

causalidade representadas por:

1. Causalidade de Granger fraca ou causalidade de curto prazo – teste das

hipóteses conjuntas 0:0 =XiH β para todo , na equação (7.57) e teste de i

0:0H =Yiβ para todo , na equação (7.58) feito por um teste de Wald de

restrições. Se, por exemplo, rejeitarmos a primeira hipótese e aceitarmos a

segunda, concluímos que existe uma relação de causalidade unidirecional de

curto prazo de

i

X para Y .

2. Causalidade de Granger de longo prazo – teste de significância (teste t) dos

coeficientes do termo de correção de erro 1α e 2α . Se, por exemplo, 2α for

estatisticamente igual a zero, X não responde a desvios do equilíbrio de longo

prazo no período anterior (causados por Y ). Indica que X é fracamente

exógeno sugerindo causalidade unidirecional de longo prazo no sentido de X

para Y .

3. Causalidade de Granger forte – testes das hipóteses conjuntas (teste de Wald)

0 e 0: 10 == XiH βα para todo i na equação (7.57) e 0 e 0: 20 == YiH βα

para todo i na equação (7.58).

Como ressalta Bueno (2008, pg. 190), teste de causalidade de Granger não

significa teste de exogeneidade. Para que seja exógeno a , é necessário que não

seja afetado contemporaneamente por . O VAR convencional não permite que se faça

este tipo de teste.

tz ty tz

ty


Referências

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apostila joão eustáquio - var e vec(1)

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