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Geometria Descritiva Professora Sarah Rabelo

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GGeeoommeettrriiaa DDeessccrriittiivvaa

Professora: Sarah Rabelo

1 Introduo A GD tem por objetivos: A representao de figuras do espao, a fim de... ...estudar sua forma, dimenso e posio. - GD a base terica de numerosas aplicaes profissionais, que vo da Engenharia

Arquitetura, bem como Desenho Industrial, Pintura, Escultura... - A GD desenvolve a habilidade de imaginar objetos ou projetos no espao, e no

apenas a leitura ou interpretao de desenhos. - A GD utiliza um sistema de projees elaborado por Garpard Monge, conhecido como

sistema mongeano, ortogonal ou didrico:

o Sistema de representao: pura o Mtodo de projetividade: um dado ente (figura) e sua imagem em

correspondncia o Tcnica: linha de terra, conveno de traos, notao... o Processo: dupla imagem por projees ortogonais

2 Teoria Geral das Projees 2.1 Definio A noo mais intuitiva imaginarmos um objeto (ente) e sua imagem (representao). Projeo vem de PROJETAR: atirar longe, arremessar, lanar algo sobre uma superfcie...


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2.2 Sistemas de Projeo Como j dito, o objetivo da GD representar no plano, atravs de projees, as figuras do espao. H duas formas principais de projetar uma figura F em um plano :

(a) Utilizando um sistema de projeo central: A projeo de cada ponto FP o ponto obtido da interseo de com a reta OP . O o ponto fixo, o centro de projeo.

(b) Utilizando um sistema de projeo cilndrica: A projeo de cada ponto FP o ponto obtido da interseo de com a reta que passa por P e paralela a uma direo fixa , a direo de projeo. O sistema de projeo utilizado na GD a projeo cilndrica ortogonal (a direo de projeo perpendicular ao plano de projeo):

Na maioria das vezes, h perda de informaes sobre a figura!!! Assim, para obter informaes mais precisas sobre uma figura, necessrio utilizar mais de um plano de projeo...


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3. MTODO DE MONGE

Gaspard Monge, criador da Geometria Descritiva, a definiu como sendo a parte da Matemtica que tem por fim representar sobre um plano as figuras do espao, de modo a poder resolver, com o auxlio da Geometria Plana, os problemas em que se consideram as trs dimenses. O QUE A PROJEO DE UM PONTO?

Projeo de um ponto sobre um plano o p da perpendicular ao plano conduzido pelo ponto. O plano dito plano de projeo e a reta a reta projetante do ponto. Porm, no espao um ponto no est bem determinado apenas com uma projeo. Ento mostramos como se determina um ponto A atravs do mtodo das projees de Monge.

PLANOS DE PROJEO Planos de projeo so dois planos perpendiculares entre si; um deles chama-se plano horizontal e o outro plano vertical. Os dois planos so ilimitados em todos os sentidos. Chama-se Linha de Terra - LT a interseo dos dois planos.

O 1 diedro formado pelos semi-planos: Vertical Superior (VS) e Horizontal Anterior (HA). O 2 diedro formado pelos semi-planos: Vertical Superior (VS) e Horizontal Posterior (HP). O 3 diedro formado pelos semi-planos: Vertical Inferior (VI) e Horizontal Posterior (HP). O 4 diedro formado pelos semi-planos: Vertical Inferior (VI) e Horizontal Anterior (HA).


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PURA

pura a representao de uma figura do espao pelas suas projees no plano. O interessante da pura observar a figura no plano e imaginar como essa figura se apresenta no espao.

OBTENO DA PURA Para obter a pura, gira-se o Plano Vertical de Projeo (PV) em torno da Linha de Terra no sentido horrio, de tal forma que este coincida com o Plano Horizontal de Projeo (PH). Esta nova representao recebe o nome de pura.

3.1. ESTUDO DO PONTO

Para determinar a posio de um ponto (A) necessrio projet-lo sobre os dois planos de projeo. A projeo horizontal designa-se por A ou (A1) e a projeo vertical por (A) ou (A2).


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3.1.1. COORDENADAS Um ponto no espao determinado por trs coordenadas: altitude (eixo Z), longitude (eixo X) e latitude (eixo Y).

Plano de perfil: plano perpendicular aos planos de projees passando por O. Um ponto tem abscissa positiva se est frente do plano de perfil e negativa se estiver atrs.

__________

Seja o ponto P situado no primeiro diedro e projetado no HP e no VS.


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Linha de chamada o segmento que une as duas projees de um ponto e sempre perpendicular LT.

Abscissa de um ponto P a, distncia da Linha de chamada do ponto P at o Plano de Perfil. Assim, abscissa a coordenada do eixo X.

Afastamento de um ponto P a distncia deste ponto ao plano vertical de projeo. Assim, afastamento a coordenada do eixo Y.


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Cota de um ponto P a distncia deste ponto ao plano horizontal de projeo. Assim cota a coordenada do eixo Z.

DETERMINAO DE UM PONTO

Um ponto P est determinado quando se conhece abscissa, afastamento e cota. Exemplo: P(-2,4,2).

3.1.2. POSIES DO PONTO

O ponto pode ocupar nove posies diferentes em relao aos planos de projeo. So elas: 1. Ponto no 1 diedro Depois do rebatimento, o (S) ficar em coincidncia com o (P) e a projeo vertical A acompanhar o plano (S) no seu deslocamento. As projees so separadas pela linha de terra, estando a projeo vertical A acima e a horizontal A abaixo da referida linha.


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2. Ponto no 2 diedro Depois do rebatimento, a projeo B vem colocar-se no (P), sobre BB0 (ou seu prolongamento) conforme a cota seja maior ou menor que o afastamento. Na pura correspondente verificamos que ambas as projees esto acima da linha de terra, fato este que caracteriza o ponto no 2 diedro.

3. Ponto no 3 diedro Depois do rebatimento, o (S) ficar em coincidncia com o (P) e o (I) ficar em coincidncia com o (A), ento a projeo vertical C ir cair em C1 no prolongamento de CC0. Na pura correspondente verificamos que as projees so separadas pela linha de terra, estando a projeo horizontal C acima e a vertical C abaixo dessa linha.

4. Ponto no 4 diedro Depois do rebatimento, a projeo vertical D vem cair sobre DD0 (ou seu prolongamento). Na pura correspondente verificamos que ambas as projees esto abaixo da linha de terra, fato este que caracteriza que o ponto est no 4 diedro.


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5. Ponto no plano vertical superior (S) Estando o ponto (E) no (S) o seu afastamento ser nulo, coincidindo, ento sua projeo vertical E com o prprio ponto (E), e a projeo horizontal E estar sobre a linha de terra. Depois do rebatimento, a projeo E cair em E1 sobre o (P). Na pura, a projeo vertical E est acima da linha de terra e a horizontal E, est sobre essa linha.

6. Ponto no plano vertical inferior (I) Estando o ponto (F) no (I) o seu afastamento ser nulo. Sua projeo vertical F coincide com o prprio ponto (F), e a projeo horizontal F estar sobre a linha de terra. Depois do rebatimento, a projeo F cair em F1 sobre o (A). Na pura, a projeo vertical F est abaixo da linha de terra e a horizontal F, permanece sobre essa linha.

7. Ponto no plano horizontal anterior (A) Estando o ponto (G) no (A) sua cota ser nula, coincidindo, ento sua projeo horizontal G com o prprio ponto (G), e a projeo vertical G estar sobre a linha de terra. Na pura, a projeo horizontal G est abaixo da linha de terra e a vertical G, est sobre essa linha.


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8. Ponto no plano horizontal posterior (P) Estando o ponto (J) no (P) sua cota ser nula, coincidindo, ento sua projeo horizontal J com o prprio ponto (J), e a projeo vertical J estar sobre a linha de terra. Na pura, a projeo horizontal J est acima da linha de terra e a vertical J, est sobre essa linha.

9. Ponto na linha de terra Nessa posio, o ponto no ter cota nem afastamento. Nada se altera com o rebatimento, j que a linha de terra fixa. A pura do ponto nessa posio representada na figura ao lado.

Tudo quanto te vier s mos para fazer, faze-o conforme as tuas foras, pois na sepultura para onde tu vais no h cincia, nem indstria, nem sabedoria alguma. (Ecles. 9:10).


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3.1.3. PLANOS BISSETORES

Denomina-se plano bissetor de um ngulo diedro, o plano que divide este diedro em dois iguais,

nesse caso, o plano bissetor forma um ngulo de 45 com os planos vertical e horizontal. Existem dois planos bissetores: O primeiro divide os diedros I e III, chamado de bissetor impar e denotado por I. O segundo divide os diedros II e IV, chamado de bissetor par e denotado por P.

OBS.: Um ponto pertence ao plano bissetor se a cota e o afastamento tiverem o mesmo valor.

3.1.4. SIMETRIA DE PONTOS Dois pontos (A) e (B) so simtricos em relao a um plano (), quando este plano o mediador do

segmento formado pelos dois pontos, isto , quando o plano perpendicular ao segmento formado por esses dois pontos e contendo o seu ponto mdio, onde o segmento (A)(M) igual ao segmento (M)(B).


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Consideremos a simetria de um ponto em relao: a) aos planos de projeo Um ponto (B) simtrico a um ponto (A) em relao ao plano horizontal de projeo () quando

possui a mesma abscissa, o mesmo afastamento em grandeza e sentido, e a cota da mesma grandeza, porm de sentido contrrio.

Como nos mostra a pura abaixo, os afastamentos dos pontos (A) e (B) so iguais e ambos positivos (mesmo sentido) e cotas iguais de sentido contrrio.

Um ponto (D) simtrico a um ponto (C) em relao ao plano vertical de projeo () quando possui

a mesma abscissa, a mesma cota em grandeza e sentido, e o afastamento da mesma grandeza, porm de sentido contrrio.

Na pura observamos que os pontos tm projees verticais coincidentes CD e projees horizontais C e D simtricas em relao linha de terra.


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b) aos planos bissetores Seja (A) e a reta que representa o 1 bissetor (I). Verifica-se que a figura (A)AMA um retngulo

igual ao formado por (B)BMB, e, como (A) e (B) so simtricos (portanto mesma abscissa), a cota de um dos pontos igual ao afastamento do outro e vice-versa.

A pura se caracteriza por abscissas iguais, afastamento e cota de um dos pontos iguais respectivamente a cota e afastamento do outro, isto , as projees de nomes contrrios simtricas em relao linha de terra.

Seja o ponto (A) e a reta que representa o 2 bissetor (P). Por razes anlogas ao caso anterior, verifica-se que as abscissas so iguais e que a cota de um simtrica ao afastamento do outro.

A pura se caracteriza por abscissas iguais e cota de (A) igual ao afastamento de (B) e cota de (B) igual ao afastamento de (A). Portanto, as projees de nomes contrrios so coincidentes.


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c) linha de terra Se a figura (a) onde a linha de terra a mediatriz do segmento (A)(B), ento so iguais os

retngulos que se observam na figura e os pontos simtricos em relao linha de terra possuem abscissas iguais e cotas e afastamentos simtricos.

A pura (b) caracterizada pelas projees de mesmo nome dos dois pontos (A) e (B), simtricas em relao linha de terra.

Obs.: A simetria em relao linha terra o produto das simetrias em relao aos planos ()

horizontal e () vertical e, assim, para obter o simtrico de um ponto dado em relao linha de terra, pode-se efetuar a simetria em relao a um dos planos de projeo e a seguir a simetria desse ltimo em relao ao outro plano.

Assim, na figura (c), determina-se o ponto (C) simtrico de (A) em relao a () e depois o ponto (B)

simtrico de (C) em relao a () ou o ponto (D) em relao a () e depois o ponto (B) em relao a ().

EXERCCIOS: 1) Determinar as posies dos pontos (A), (B), (C), (D), (E), (F) e (G), dados por suas projees na figura abaixo:


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2) Representar a pura dos pontos abaixo e determinar suas posies: (A) [-1; -2; -1] (B) [0; 1,5; -2] (C) [1,5; 1; 1,5] (D) [3; 0; -2] (E) [-2; 2; 0] (F) [2; -1; 0] (G) [4,5; 2; 0] (H) [-3; 0; 0] (I) [6; -1,5; 0] (J) [8; -1; 1] 3) Representar a pura de um ponto (A) no 2 diedro com cota igual a 1/3 do afastamento: 4) So dados os pontos (A) [1; 1; 1,5] e (B) [3; -1; 2]. Pede-se determinar as projees de um ponto:

(a) simtrico a (A) em relao ao (I) (b) simtrico a (B) em relao ao (P)

5) Determinar as coordenadas de um ponto (B) simtrico a (A) [1; 0; -2] em relao a ():


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3.2 ESTUDO DA RETA 3.2.1 Projeo da reta

A projeo de uma reta sobre um plano o lugar das posies de todos os seus pontos sobre esse plano.

Seja na figura abaixo a reta (A)(B) e o plano (). Baixando em todos os pontos da reta

perpendiculares ao plano, os ps dessas perpendiculares do lugar a projeo ortogonal da reta.

Essas perpendiculares formam um plano () perpendicular ao plano () e que o plano projetante da reta. A projeo de uma reta sobre um plano s deixa de ser uma reta, quando ela lhe for perpendicular, pois neste caso, a projeo ser um ponto, j que a projetante de todos os seus pontos se confundem com a prpria reta.

Quando uma reta for paralela a um plano a sua projeo sobre este plano igual e paralela prpria reta (Figura abaixo (a)). Se a reta (A)(B) for paralela ao plano (), sua projeo nesse plano a reta AB. As duas retas (A)(B) e AB formam com as projetantes (A)A e (B)B um paralelogramo no qual (A)(B)=AB. Diz-se ento que a reta se projeta em verdadeira grandeza (V.G.).

Quando uma reta for oblqua a um plano (Figura (b)) a projeo menor que a reta do espao, pois

ela forma com sua projeo e as projetantes um trapzio retngulo, em que a projeo do plano, sendo perpendicular s bases menor que a reta do espao.

O comprimento da projeo de uma reta sobre um plano varia com a inclinao dela sobre o plano.

Ela passa por todos os valores, de zero (caso do ponto quando a reta perpendicular ao plano) at o limite mximo igual ao comprimento da reta (caso da reta paralela ao plano).


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Determinao de uma reta: A posio de uma reta no espao fica bem determinada quando so conhecidas as projees dessa

reta sobre dois planos ortogonais. Sejam na figura (a) os dois planos () e () perpendiculares e AB e AB respectivamente, as

projees da reta (A)(B) cuja posio queremos determinar. Por AB faz-se passar um plano perpendicular ao plano (), o mesmo acontecendo com AB em relao a (). Cada um dos planos que so os planos projetantes da reta nos respectivos planos de projeo, deve conter a reta do espao, que ser, ento, a interseo desses dois planos projetantes.

Para se designar a reta cujas projees so AB e AB escreve-se; reta (A)(B) (figura (b)). A reta

pode tambm ser designada por letras minsculas.

3.2.2 Pertinncia de ponto a reta Regra geral:

Um ponto pertence a uma reta, quando as projees desse ponto esto sobre as projees de mesmo nome da reta, isto , a projeo horizontal do ponto sobre a projeo horizontal da reta e projeo vertical do ponto tambm sobre a projeo vertical da reta.

Na figura abaixo, temos a pura de pontos que pertencem a retas correspondentes, isto , ponto AA

pertencendo a reta rr; ponto CC pertencendo a reta (E)(F) dada pelas projees EF e EF.


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3.2.3 Posies da reta (nomenclatura) Em relao aos planos de projeo, a reta pode ocupar vrias posies, as quais determinam nomes

e propriedades particulares. So as seguintes retas:

1) Reta qualquer a reta oblqua aos dois planos de projeo. Sua pura caracterizada por possuir ambas projees

oblquas linha de terra.

2) Retas segundo o paralelismo em relao aos planos de projeo Reta horizontal (ou de nvel): a reta paralela ao plano horizontal () e oblqua ao vertical (). Sua pura caracterizada por

possuir a projeo vertical paralela linha de terra e a projeo horizontal oblqua essa mesma linha. A projeo horizontal representa a verdadeira grandeza.


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Reta frontal (ou de frente): a reta paralela ao plano vertical () e oblqua ao horizontal (). Sua pura caracterizada por

possuir a projeo horizontal paralela linha de terra e a projeo vertical oblqua a essa mesma linha. A projeo vertical representa a verdadeira grandeza.

Reta frontohorizontal (paralela linha de terra): a reta paralela simultaneamente aos dois planos de projeo () e (). Sua pura caracterizada

por possuir ambas as projees paralelas linha de terra. Qualquer das projees (que so iguais) representa a verdadeira grandeza.


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3) Retas segundo o perpendicularismo em relao aos planos de projeo Reta vertical: a reta perpendicular ao plano horizontal (). Sua pura caracterizada por possuir a projeo

horizontal reduzida a um ponto (chamada projeo pontual) e a vertical perpendicular linha de terra, e que representa a V.G.

Obs: A reta vertical sempre paralela ao plano vertical, pois perpendicular ao plano horizontal.

Reta de topo: a reta perpendicular ao plano vertical (). Sua pura caracterizada por possuir projeo vertical

reduzida a um ponto (chamada projeo pontual) e a horizontal perpendicular linha de terra, e que representa a V.G.

Obs: A reta de topo sempre paralela ao plano horizontal, pois perpendicular ao plano vertical.


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Reta de perfil: uma reta oblqua dos dois planos de projeo numa posio particular: perpendicular (ou

ortogonal) linha de terra. A figura abaixo mostra uma reta de perfil situada num plano (I) que perpendicular aos dois planos de projeo (plano de perfil). A pura caracterizada pelas projees perpendiculares a linha de terra. A reta de perfil no tem verdadeira grandeza.

Como no estudo do ponto, a reta tambm pode estar contida dentro de qualquer um dos semiplanos

ou em coincidncia com a linha de terra. No primeiro caso, a reta possuir sempre uma das projees sobre a linha de terra e, no segundo, ambas projees coincidem com essa linha.

Na figura abaixo se observa uma reta situada no plano vertical superior (S) e sua pura

correspondente. Nesse caso, em que a reta coincide com sua prpria projeo vertical, apresenta-se (em pura) a projeo vertical acima da linha de terra e a horizontal sobre a mesma.


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Na figura abaixo, observamos uma reta situada no plano vertical inferior (I) e sua pura correspondente. Nesse caso, em que a reta coincide com sua prpria projeo vertical, apresenta-se (em pura) a projeo vertical abaixo da linha de terra e a horizontal sobre a mesma.

Aqui observamos uma reta situada no plano horizontal anterior (A) e sua pura correspondente. Nesse caso, em que a reta coincide com sua prpria projeo horizontal, apresenta-se (em pura) a projeo horizontal abaixo da linha de terra e a vertical sobre a mesma.

Na figura a seguir, observamos uma reta situada no plano horizontal posterior (P) e sua pura correspondente. Nesse caso, em que a reta coincide com sua prpria projeo horizontal, apresenta-se (em pura) a projeo horizontal acima da linha de terra e a vertical sobre a mesma.

Quando a reta coincide com a linha de terra, a pura da figura abaixo sua representao.

As retas podem ainda, ocupar qualquer posio particular dentro dos planos de projeo, isto , com

pontos em vrios diedros.


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EXERCCIO:

1) Representar as puras das retas (A)(B); (C)(D) e (E)(F) e nome-las:

(A) [-2; 3; 5]

(B) [1; 8; 5]

(C) [0; -4; 3]

(D) [3; -4; 0]

(E) [-3; 8; 1]

(F) [3; 1; 6]

3.2.4. Traos de reta

Chama-se trao de uma reta sobre um plano o ponto em que essa reta fura ou atravessa esse plano. Logo, quando uma reta for paralela a um plano, no ter trao sobre esse plano. O trao sobre o plano () o trao vertical e por conveno representa-se por (V), e o trao sobre o plano () o trao horizontal e por conveno representa-se por (H).

Seja na figura abaixo a reta (u) e o ponto (V) a interseo da reta (u) no plano (). Para se obter o trao (V) de uma reta, basta determinar o ponto da reta (u) que tem afastamento nulo.

Em pura, para se achar o trao vertical da reta uu, prolonga-se a projeo horizontal at a linha de terra, onde fica determinada a projeo horizontal V. De V, uma linha de chamada faz conhecer V como indica a pura. Esse ponto V que coincide com o ponto objetivo (V) um ponto da reta (u) e seu afastamento nulo.

Da mesma maneira, obtm-se o trao horizontal, como seguem as figuras abaixo:


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Ateno: a projeo horizontal V do trao vertical (V) e projeo vertical H do trao horizontal (H) esto sempre obrigatoriamente sobre a linha de terra.

Conclui-se ento, que uma reta s possui os dois traos quando oblqua aos dois planos ()()

(reta qualquer e reta de perfil). As demais retas, como horizontal, frontal, vertical e de topo, possuem apenas um trao e finalmente, a frontohorizontal, por ser paralela aos dois planos no possui trao nesses planos.

O conhecimento da determinao dos traos de uma reta nos permite traar retas subordinadas condio de passarem por diedros dados.

Na figura a seguir, a reta (r) do 1 diedro passa pelo 2 e 4 diedros. Vemos que os traos so obtidos prolongando a reta nos sentidos indicados pelas setas: trao vertical (V) no sentido da seta 1 e trao horizontal (H) no sentido da seta 2. indiferente determinar-se primeiro um ou outro trao. Em pura, os traos da reta (r) so obtidos prolongando-se as projees r e r em sentidos contrrios at a linha de terra.

Na figura da reta (u) no 1 diedro passando pelo 4 e 3 diedros, vemos que ambos os traos so

obtidos prolongando a reta (u) num nico sentido, indicado pela seta 3. Primeiro, determina-se o trao horizontal (H) e depois o vertical (V). Em pura, os traos da reta (u) so obtidos prolongando-se as projees u e u no mesmo sentido.

Exemplo: Dada a reta (A)(B) pede-se: (a) Sua pura;

(b) Seus traos;

(c) Os diedros que ela atravessa;

(d) A sua posio no espao.

(A) [0; -2; -1] (B) [4; 2; 2,5]


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Traos de reta de perfil: Seja na figura abaixo a reta (A)(B) e (H) e (V) os seus traos respectivamente sobre () e ().

Utiliza-se, na reta de perfil, o rebatimento do plano de perfil que a contm, no caso o tringulo (H)V(V). Esse rebatimento consiste em gir-lo de 90 no sentido-horrio, at que fique em coincidncia com o plano vertical (), sendo esse giro feito em torno de sua interseco com o plano vertical (), que no caso (V)V. Com esse rebatimento, os pontos (A) e (B) descrevero no espao arcos de crculos horizontais e vem coloca-se em (A1) e (B1) respectivamente, sobre retas traadas por A e B paralelamente a linha de terra.

No plano horizontal o ponto A descreve um arco de crculo de raio AV e vem cair em A1 do mesmo modo que B vem cair em B1. Desses pontos A1 e B1 traam-se no plano vertical as paralelas a (V)V que determinam as posies (A1) e (B1) aps o rebatimento.

Vejamos a pura. Seja (A)(B) dada por suas projees A e A e B e B. Faz-se o centro em HV e

descrevem-se os raios de crculo AA1 e BB1 at situa-los em A1 e B1 na linha de terra. Traa-se perpendiculares linha de terra e tem-se os pontos (A1) e (B1) e, portanto, a reta (A1)(B1) nos encontros com as paralelas a linha de terra traadas por A e B respectivamente. Teremos em (A1)(B1) a verdadeira grandeza da reta dada e um V(V) do seu trao vertical. No plano horizontal, o trao H e teremos que fazer o alamento (inverso do rebatimento). Assim prolongando a reta (A1)(B1), teremos em H1 sobre a linha da terra o trao horizontal rebatido, ento, com o mesmo centro em HV e raio HH1 descreve-se, em sentido anti-horrio, o arco H1H, sendo H trao horizontal.

Obs.: a regra geral sempre rebater a projeo horizontal no sentido anti-horrio.


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3.2.5. Posies relativas a duas retas Sejam as retas (r) e (s), o plano () e o ponto (M) comum a

reta (s) e ao plano (). Nota-se que, enquanto a reta (r) est situada no plano (), a reta (s) tem nesse plano apenas um ponto (M). Ento esse ponto (M) e a reta (r) definem o plano () e a reta (s) a ele no pertence.

Diz-se ento, que as retas (r) e (s) so reversas ou no coplanares, ou seja, no esto no mesmo plano.

Se a reta (s) tambm pertencer ao mesmo plano () da reta (r), as retas so, ento, coplanares, isto , definem um plano, podendo ser concorrentes ou paralelas. Logo, temos as retas (r) e (s) que so concorrentes, pois tem um ponto em comum (M), que se diz prprio, e as retas (r1) e (s1) que so paralelas por no terem ponto comum (diz-se que o ponto imprprio, isto , no existe).

Retas concorrentes Duas retas so concorrentes quando: 1 - O ponto de interseo das projees verticais e o das projees horizontais estiverem numa

mesma linha de chamada. Observa-se essa situao no espao e na sua pura correspondente.

2 - Duas projees de mesmo nome se confundem e as duas outras se cortam. Observa-se essa

situao no espao e na sua pura correspondente. Nesse caso, as duas retas concorrentes admitem um mesmo plano projetante e por isso suas duas projees de mesmo nome coincidem. A pura mostra ainda, duas projees horizontais coincidentes e as verticais concorrentes em O. Poderia ser o inverso, ou seja, as projees horizontais concorrentes e as verticais coincidentes.


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3 - Uma das projees de uma das retas se reduz a um ponto situado sobre a projeo de mesmo nome de outra reta. A situao do espao definida pela figura abaixo e na sua pura correspondente. No caso, considerou-se uma reta vertical (u) e, portanto, como projeo pontual a horizontal u.

Retas paralelas

Analogamente, aos trs casos anteriores, duas retas so paralelas quando: 1 - As duas projees de mesmo nome so paralelas. Observa-se essa situao no espao e na sua

pura correspondente.

2 - Duas projees de mesmo nome se confundem e as duas outras so paralelas. o caso das duas retas paralelas admitirem um mesmo plano projetante. Observa-se essa situao no espao e na sua pura correspondente. Poderia ser o inverso, ou seja, as projees horizontais paralelas e as verticais coincidentes, o que no altera a condio de paralelismo das duas retas.


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3 - As duas projees sobre um mesmo plano se reduzem, cada uma, a um ponto. o caso de duas retas verticais ou de topo que obrigatoriamente so paralelas entre si. A situao do espao definida pela figura abaixo e na sua pura correspondente (retas verticais no caso).

Retas de perfil paralelas ou concorrentes:

No caso de retas de perfil, a condio de paralelismo das projees correspondentes, apesar de necessria no suficiente.

Consideremos dois casos: 1) Retas situadas no mesmo plano de perfil 2) Retas situadas em planos de perfil distintos No 1 caso, as retas tero a mesma abscissa, elas podero ser paralelas ou concorrentes (nunca

reversas, pois esto num mesmo plano). No 2 caso, podem ser paralelas ou reversas e nunca concorrentes, porque esto situadas cada uma

em planos paralelos entre si, todas as retas de qualquer deles sero paralelas ao outro, e nesse caso, as abscissas das retas so diferentes. Duas retas de perfil quando possuem abscissas iguais, logo no mesmo plano de perfil, tero suas projees de mesmo nome superpostas; quando de abscissas diferentes, tero projees de mesmo nome paralelas. Observemos as figuras abaixo e suas respectivas puras.


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EXERCCIOS: 1) Representar a pura das retas (A)(B) e (C)(D) e defini-las quanto a posio:

(A) [3; 2; 1] (B) [3; 1; 3] (C) [-3; -2; -2] (D) [0; -2; -2]

2) Dada a reta (A)(B), onde (A) [0; 2; -3] e (B) [5; 2; 4], pede-se:

a) Sua pura; b) Seus traos; c) Os diedros que ela atravessa; d) A sua posio no espao.

3) Por um ponto (A) [2; 2; 2] traar em pura uma reta (A)(B) paralela a uma reta dada (C)(D):

(B) [0; ?; ?] (C) [-1; -1; 3] (D) [3; 0; -1]

4) Dada uma reta (A)(B) de perfil, pede-se:

a) Sua verdadeira grandeza traada em pura; b) Os diedros que atravessa. (A) [0; 3; -3] (B) (B) [?; 1; 2]

5) D-se uma reta de perfil (A)(B) e um ponto (M) no mesmo plano da reta. Pede-se traar por (M), em pura, uma reta (M)(N) de 2 cm e paralela a reta (A)(B).

(A) [0; 1; 1] (B) [0; 3; 3] (M) [?; 5; 5,5]


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3.3 ESTUDO DO PLANO 3.3.1 Traos do plano

Trao de um plano a interseo desse plano com outro, ou desse plano com os planos de projeo. Assim, na figura abaixo, o plano () intercepta o plano horizontal () segundo a reta ; o mesmo plano intercepta o plano vertical () segundo a reta . Ento, as retas e so os traos do plano ().

Os traos de um plano so designados por uma letra do alfabeto grego que individualiza o plano considerado, seguida de outra letra grega que individualiza o plano de projeo ( ou ).

Em geral, um plano possui dois traos, exceto quando for paralelo a um dos planos de projeo (possuindo apenas um trao).

Os traos de um plano podem ocupar posies diferentes em relao linha de terra, conforme a situao do plano, podendo ser distintos (concorrendo ou no com a linha de terra) e coincidentes com . Quando os traos so distintos e no paralelos linha de terra, eles concorrem num mesmo ponto dessa linha, e a pura mostrada abaixo. Nesse caso, para a determinao do plano na pura, so dados a abscissa do ponto TT de concorrncia dos traos sobre a linha de terra e os ngulos que cada trao forma com . Esses ngulos so orientados no sentido trigonomtrico (horrio) e tem a linha de terra como origem.


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3.3.2 Posies do plano 1) Plano qualquer

o plano oblquo dos dois planos de projeo. Possui os dois traos distintos, concorrendo sobre a linha de terra em um mesmo ponto. Sua pura se apresenta como a da figura abaixo. Entretanto, pela maneira do plano se situar no espao, a pura pode aparecer em qualquer das posies indicadas na figura, pois o que caracteriza o plano possuir os dois traos oblquos linha de terra, no importando como fiquem.

2) Segundo o paralelismo em relao aos planos de projeo Plano horizontal (ou de nvel):

Esse plano se apresenta como nos mostra a figura abaixo. Basta defini-lo como plano paralelo ao plano horizontal de projeo. A pura caracterizada por possuir apenas um trao, o vertical, e, paralelo linha de terra.


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Plano frontal (ou de frente):

o plano paralelo ao plano vertical de projeo. A pura caracterizada por possuir apenas um trao, o horizontal, e, paralelo linha de terra.

3) Segundo o perpendicularismo em relao aos planos de projeo Plano vertical:

um plano perpendicular ao plano horizontal e oblquo ao vertical. A pura caracterizada por possuir o trao vertical perpendicular linha de terra, e o horizontal oblquo linha de terra.


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Plano de topo:

um plano perpendicular ao plano vertical e oblquo ao horizontal. A pura caracterizada por possuir o trao horizontal perpendicular linha de terra, e o vertical oblquo linha de terra.

Plano de perfil:

um plano perpendicular aos dois planos de projeo. A pura caracterizada por possuir ambos os traos em coincidncia, perpendiculares linha de terra.


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4) Plano paralelo linha de terra

um plano oblquo aos dois planos de projeo, numa posio particular. A pura caracterizada por possuir ambos os traos paralelos linha de terra.

Na figura seguinte, o plano paralelo linha de terra est no 1 diedro e atravessando o 2 e 4 e da sua pura apresenta o trao vertical acima e o horizontal abaixo da linha de terra.

Mas o plano pode estar na posio como aparece na figura abaixo atravessando os 1, 2 e 3 diedros e, nesse caso, a pura nos mostra o dois traos acima da linha de terra, como tambm teria ambos os traos abaixo da linha de terra se o plano atravessasse o 1, 4 e 3 diedros, podendo ainda os traos coincidir, acima ou abaixo dessa linha.


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5) Plano passando pela linha de terra

Nesse caso, os traos do plano coincidem com a linha de terra. o caso do plano bissetor, que tem todos os pontos de afastamento e cotas iguais.

No sendo conhecida a inclinao do plano, ele s fica determinado se conhecermos outros elementos, como um ponto ou uma reta desse plano, por exemplo.

3.3.3 Pertinncia de reta e plano

Regra geral:

Uma reta pertence a um plano quando possui os seus traos sobre os traos correspondentes do plano.

Essa regra sofre exceo quando se trata de um plano que passa pela linha de terra. Um plano

no pode conter seno determinadas retas. Vemos, por exemplo, na figura abaixo, que o plano horizontal () de trao no pode conter a reta vertical (r), pois s h um nico ponto comum reta e ao plano que o ponto (A) onde a reta fura o plano. Entretanto, esse mesmo plano de trao pode conter a reta de topo (s), a qual tem seu trao (V) sobre o trao vertical do plano, conforme a regra geral acima descrita. Com exceo do plano qualquer, que pode conter quatro retas diferentes, os demais planos s podem conter trs retas cada um.


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1) Retas de um plano qualquer

Um plano qualquer sendo oblquo aos dois planos de projeo, poder conter as retas que tambm sejam oblquas a eles ou, no mnimo, a um deles pelo menos. Assim, poder conter as seguintes retas: qualquer, horizontal, frontal e de perfil. a) Reta qualquer: desde que os traos da reta estejam sobre os traos de mesmo plano, a reta pertencer ao plano, sem qualquer outra restrio. Vemos que na pura da figura abaixo, a reta (r) pertence ao plano de traos , porque os traos (V) e (H) dessa reta esto sobre os traos correspondentes ao plano.

J na figura seguinte, a reta (r) no pertence ao plano, porque o trao (H) dessa reta no est sobre o trao do plano.


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b) Reta horizontal: uma reta horizontal no tem trao horizontal, como j foi visto. Ento, o ponto comum projeo horizontal da reta e ao trao horizontal do plano ser um ponto imprprio, isto , estar no infinito. Da, conclui-se que a projeo horizontal da reta dever ser paralela ao trao de mesmo nome do plano. Quanto ao trao vertical da reta dever estar sobre o correspondente do plano, tal como vemos na pura:

c) Reta frontal: uma reta frontal no tem trao vertical. Ento, o ponto comum projeo vertical da reta e ao trao vertical do plano ser um ponto imprprio, isto , estar no infinito. Da, conclui-se que a projeo vertical da reta dever ser paralela ao trao de mesmo nome do plano.

Quanto ao trao horizontal da reta dever estar sobre o correspondente do plano, tal como vemos na pura:


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d) Reta de perfil: tratando-se de uma reta de perfil, a pura no indica claramente, se ela pertence ou no a um plano qualquer. Opera-se o rebatimento do plano de perfil que contm a reta e determinam-se seus traos, os quais, se estiverem sobre os de mesmo nome do plano, como mostra a pura abaixo, indica que a reta pertence ao plano.

2) Retas de plano horizontal

Como o plano horizontal paralelo ao plano horizontal de projeo, s poder conter as retas que tambm sejam paralelas ao plano (). Assim, poder conter as seguintes retas: horizontal, frontohorizontal e de topo. a) Reta horizontal: a pura se caracteriza pela coincidncia da projeo vertical da reta com o trao do plano.


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b) Reta frontohorizontal: uma reta frontohorizontal no possui traos. Como vemos na pura, a projeo vertical da reta (r) coincide com o trao de mesmo nome do plano .

c) Reta de topo: sendo uma reta de topo caracterizada por possuir projeo vertical reduzida a um ponto e a projeo horizontal perpendicular linha de terra, a pura mostra uma reta de topo (r) com sua projeo pontual r coincidente com o seu trao vertical.

3) Retas de plano frontal

Como o plano frontal paralelo ao plano vertical de projeo, s poder conter as retas que

tambm sejam paralelas ao plano (). Assim, poder conter as seguintes retas: frontal, frontohorizontal e vertical. a) Reta frontal: a pura se caracteriza pela coincidncia da projeo horizontal da reta (r) com o trao do plano, onde tambm est contido o nico trao da reta que o horizontal (H).


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b) Reta frontohorizontal: a pura mostra a frontohorizontal (r) pertencente ao plano de trao .

c) Reta vertical: a pura mostra uma reta vertical (r) como pertencendo a um plano frontal de trao .

4) Retas de um plano paralelo linha de terra

Sendo o plano paralelo linha de terra, oblquo aos dois planos de projeo, s poder conter as retas paralelas linha de terra e oblquas queles planos. Assim, poder conter as seguintes retas: qualquer, frontohorizontal e de perfil.

a) Reta qualquer: desde que os traos da reta estejam sobre os traos de mesmo plano, a reta pertencer ao plano, sem qualquer outra restrio. Vemos que na pura a reta (r) pertence ao plano de traos , paralelos linha de terra.


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b) Reta frontohorizontal: quando a reta frontohorizontal a pura no indica diretamente se ela pertence ao plano. Seja na pura a reta (r) dada pelas suas projees, que se deseja saber se pertence ao plano cujos traos so e . Para isso, toma-se um ponto (O) de projees O e O sobre a reta dada e por ele faz-se passar uma reta auxiliar (H)(V), qualquer, situando-se o ponto (V) sobre o trao correspondente . Determinando-se o trao horizontal (H) dessa reta auxiliar, constata-se que ele no est sobre o trao do plano, o que significa que a reta dada no pertence ao plano. O ponto (O) pertence reta dada e tambm a reta auxiliar por ele traada, mas no pertence ao plano, porque a reta (H)(V) no pertence.

A figura abaixo nos mostra a pura de uma reta (s), frontohorizontal, pertencendo a um plano () paralelo linha de terra.


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c) Reta de perfil: a pura no indica, claramente, se uma reta de perfil (A)(B) pertence ou no a um plano paralelo a linha de terra. Opera-se o rebatimento do plano de perfil que contm a reta e determinam-se seus traos, os quais se estiverem sobre os de mesmo nome do plano, como mostra a pura da figura abaixo, indica que a reta pertence ao plano, pois os traos H e V esto sobre os correspondentes do plano.

5) Retas de um plano vertical

Sendo um plano vertical perpendicular ao horizontal de projeo, e oblquo ao vertical, s poder conter retas que sejam perpendiculares ao plano () e oblquas ao plano (). E essas retas so: qualquer, horizontal e vertical. Verifica-se que toda a figura contida num plano vertical se projetar no plano () sobre o trao horizontal do plano, com o qual coincidir.


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a) Reta qualquer: Vemos que na pura a reta qualquer (A)(B) pertence ao plano de traos , porque os traos (V) e (H) dessa reta esto sobre os traos correspondentes ao plano e porque o trao (H) dessa reta est sobre o trao do plano.

b) Reta horizontal: Vemos que na pura a reta horizontal (A)(B) pertence ao plano vertical, porque seu nico trao (V) est sobre o trao correspondente do plano e porque sua projeo horizontal coincide com o trao do plano.


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c) Reta vertical: a pura mostra uma reta vertical (r) como pertencendo a um plano vertical, porque seu trao horizontal (que coincide com a projeo pontual) est sobre o trao do plano e sua projeo vertical paralela ao trao vertical do plano.

6) Retas de um plano de topo

Sendo um plano de topo perpendicular ao vertical de projeo, e oblquo ao horizontal, s poder conter retas que sejam oblquas ao plano () e perpendiculares ao plano (). E essas retas so: qualquer, frontal e de topo. Verifica-se que toda a figura contida num plano de topo se projetar no plano () sobre o trao do plano, com o qual coincidir.


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a) Reta qualquer: na pura, a reta qualquer (r) pertence ao plano () de topo, por possuir seus traos sobre os traos correspondentes do plano e sua projeo vertical r coincide tambm com o trao do plano.

b) Reta frontal: V-se, sem dificuldades, na pura, que a reta frontal (s), pertence ao plano de topo de topo ().

c) Reta de topo: sendo uma reta de topo caracterizada por possuir projeo vertical reduzida a um ponto, a pura mostra uma reta de topo (s) com sua projeo pontual s coincidente com o seu trao vertical e a projeo horizontal s paralela ao trao do plano.


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7) Retas de um plano de perfil

Sendo um plano de perfil perpendicular aos dois planos projeo, s poder conter retas que sejam perpendiculares ao plano () ou () e perpendiculares interseo deles, isto , perpendicular linha de terra. E essas retas so: de topo, vertical e de perfil. Em qualquer dos casos, as projees da reta estaro em coincidncia com os traos correspondentes do plano.

A figura abaixo mostra em um plano de perfil (), as retas (A)(B) vertical, (C)(D) de topo e (E)(F) de perfil. Ao lado, a pura correspondente das mesmas retas no plano de traos e .

8) Retas de um plano que passa por

Um plano que passa pela linha de terra um plano oblquo aos dois planos de projeo. Se ele estiver igualmente inclinado em relao aos planos de projeo, ser ento um plano bissetor.

Esse plano s poder conter retas que passem pela linha de terra ou paralelas a essa linha.

Como se observa na figura ao lado, os traos desse plano se confundem em uma nica reta, que a linha de terra. E como normalmente uma reta s no define um plano, segue-se que somente a linha de terra no pode definir o plano que por ela passa. Ento, necessrio pelo menos mais um ponto, para que com a linha de terra, possam definir o plano. Assim, o ponto (A) e a linha de terra definem o plano nessa posio e, como nesse ponto, cota e afastamento so iguais, temos a pura no plano bissetor (no caso, o 1 bissetor), e que se l plano (A).


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Seja a figura (a) abaixo, onde o plano () passa pela linha de terra e a reta (A)(B) com um ponto (A) sobre . Observa-se que a reta tem seus traos sobre e, portanto sobre os traos do plano, e, entretanto, ela no pertence ao plano. A reta (A)(C) nessa mesma figura pertence ao plano () porque ambos os pontos (A) e (C) pertencem ao plano. A figura (b) fornece a pura de uma reta (A)(C) pertencente ao plano (C).

Tambm, quando uma reta tem um ponto sobre a linha de terra em coincidncia com o ponto de concorrncia dos traos do plano, no podemos, pela simples observao em pura, afirmar se ele pertence ao plano. preciso, nesse caso, verificar se mais um ponto da reta pertence ao plano.

Na pura da figura (c), a reta (A)(B) no pertence ao plano de traos e apesar de possuir seus traos sobre os traos de mesmo nome do plano, porque o ponto (B) no pertence horizontal (V)(C) do plano.

2.3.4 Pertinncia de ponto e plano Regra geral:

Um ponto pertence a um plano quando pertence a uma reta do plano.

Seja a figura seguinte (a), onde so dados o plano qualquer de traos e e ponto (A). A pura indica diretamente se o ponto pertence ou no ao plano e, para verificao, procedesse do seguinte modo: por uma das projees do ponto (no caso, A) faz-se passar uma reta (r) do plano (no caso, uma horizontal). Essa horizontal tem seu trao vertical sobre o trao vertical do plano e sua projeo horizontal paralela ao trao do mesmo nome do plano. Verifica-se que a projeo horizontal A do ponto no est sobre a projeo do mesmo nome da reta. Ento o ponto (A) no pertence reta (r). A reta (r) pertence ao plano e o ponto (A) no pertencendo reta (r) no pertencer ao plano.

Seja ainda a figura (b): um plano com os traos em linha reta (plano qualquer) e o ponto (A)

dado pelas projees, que desejamos saber se pertence ou no ao plano. Usou-se agora uma frontal (r), cuja projeo vertical r passando por A paralela ao trao

do plano de projeo horizontal r, paralela linha de terra. uma frontal do plano porque o seu trao horizontal H est sobre . Verifica-se que a projeo A est sobre a projeo r da reta e, portanto, o ponto (A) pertence reta (r). Logo, o ponto (A) pertence ao plano, porque pertence reta (r) desse plano.


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OBS: Nesse estudo de pertinncia de ponto e plano, podemos simplificar a questo, conforme o plano seja projetante ou no projetante. Diz-se que um plano projetante, quando perpendicular pelo menos a um dos planos de projeo. Assim, so projetantes, os planos: - Horizontal (perpendicular a ) - Frontal (perpendicular a ) - Vertical (perpendicular a ) - Topo (perpendicular a ) - Perfil (perpendicular a e )

So no projetantes os planos oblquos aos de projeo. So eles: qualquer, paralelo linha de terra e os que contm a linha de terra.

Ento, se o plano projetante, a pura indica diretamente se o ponto dado pertence ou no a ele. A simples situao de uma das projees do ponto suficiente para a afirmao. Consideremos a que plano de projeo perpendicular o plano dado:

1) Se for perpendicular ao plano horizontal (), para que um ponto a ele pertena, suficiente que possua sua projeo horizontal sobre o trao horizontal do plano. Exemplo: Na figura ao lado vemos o ponto (A) pertencendo ao plano () frontal e a projeo horizontal A do ponto sobre o trao do plano. Na pura, estando a projeo A sobre , no importa onde esteja a projeo vertical: Em A, A ou A, o ponto (A) pertence ao plano.


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2) Se for perpendicular ao plano vertical (), para que um ponto a ele pertena, suficiente que possua sua projeo vertical sobre o trao vertical do plano. Exemplo: Na figura abaixo, vemos o ponto (B) pertencendo ao plano () de topo e a projeo vertical B do ponto sobre o trao do plano. Na pura, estando a projeo B sobre , no importa onde esteja a projeo horizontal: Em B, B1 ou B2, o ponto (B) pertence ao plano.

Na pura abaixo, s pela posio da projeo C de um ponto (C), pode-se afirmar que o ponto (C) no pertence ao plano vertical (), pois aquela projeo no est sobre o trao correspondente do plano.

Seja ainda como exemplo a figura abaixo, considerando-se o plano paralelo linha de terra ao qual se deseja saber se lhe pertence o ponto (A). Trata-se por A a projeo vertical de uma reta qualquer auxiliar, situando-se o trao vertical V sobre e o horizontal H sobre . Verifica-se que a projeo horizontal A do ponto est sobre a horizontal VH da reta, indicando ento, que o ponto pertence reta, e conseqentemente, pertencendo tambm ao plano.

Quando um ponto possuir uma das projees sobre um dos

traos do plano e a outra projeo estiver sobre a linha de terra, ento, nesse caso, o ponto pertence ao trao do plano, onde se situar a projeo.


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Exemplo: Na figura 2.13, o ponto (A) pertence ao trao horizontal do plano () e o ponto (B) ao trao vertical do mesmo plano.

2.3.5 - Interseo de planos

Dois planos quando so no paralelos, diz-se que so secantes, isto , eles se cortam ou se interceptam. Para se obter a interseo de dois planos, basta determinar dois pontos que sejam comuns a ambos os planos ou apenas um ponto, quando se conhece a direo da interseo.

Para facilitar o estudo, dividimos os diversos casos em trs grupos, a saber:

1) Ambos os planos so dados pelos traos (cruzando-se ou no nos limites da pura); 2) Apenas um dos planos dado pelos traos; 3) Os planos no so dados pelos traos.

No 1 grupo, quando os planos so dados pelos traos, em geral, a soluo imediata, como por exemplo, na figura (a) abaixo, onde se deseja a interseo de dois planos () e (). evidente que a reta comum aos dois planos deve ter seus traos no ponto de concurso dos traos do plano. Assim, basta unir o ponto (H) ao ponto (V) e teremos a reta (H)(V) ou reta (r) que a interseo desejada.

Seja agora, por exemplo, na figura (b), onde se deseja a interseo de dois planos () e (). Os traos horizontais e se cruzam em H, nos seus prolongamentos e os verticais e em V, tambm nos respectivos prolongamentos, de modo que a reta interseo (H)(V) est no 3 diedro.


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Podem ocorrer casos em que no possvel determinar o ponto (V) ou o ponto (H). Nesses casos, a soluo no ser imediata e teremos que recorrer a plano ou planos auxiliares, o que veremos nos exerccios. O mesmo se aplica a pontos que concorrerem na mesma linha de terra ou um deles passar por essa linha.

Se acontecer que os planos tenham traos de mesmo nome paralelos, a soluo imediata. Seja na figura (a), onde os traos horizontais dos planos () e () so paralelos. Neste caso, o ponto de concurso dos traos horizontais est no infinito (ponto imprprio) e ento a projeo horizontal da interseo ser paralela a esses traos e a reta interseo ser a horizontal (r).

Quando dois planos forem verticais (ou de topo) as intersees sero respectivamente, retas verticais ou de topo, como vemos nas figuras (b) e (c). Em ambos os casos, a projeo pontual de cada reta interseo se situar em coincidncia com o ponto de concurso dos respectivos traos.

Quando um dos planos s possuir um trao (plano horizontal ou frontal), a reta interseo nele ter a projeo respectiva, que ser um ponto ou uma reta, dependendo do outro plano. Assim, por exemplo, na figura (a) a seguir, um plano horizontal () e outro de topo (), tero na reta (r) sua interseo. Se um dos planos for qualquer e o outro frontal, por exemplo, (figura (b)), a interseo ser a reta frontal (r), onde a interseo estar com sua projeo horizontal com o trao de mesmo nome do plano.


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EXERCCIOS: 1) Determinar os traos do plano () definido pela reta (A)(B) e pelo ponto (C). (A) [2; 1; 3] (B) [5; 3; 1] (C) [6; 0; 2]

2) Determinar os traos de um plano do qual se conhece uma reta (A)(B) e um ponto (C). (A) [0; -0,5; 2,5] (B) [3,5; -1,5; 0] (C) [2; 2; -3] 3) Determinar uma reta de perfil que pertena a um plano (), que contm o ponto (T) [0; 0; 0]. ^ = 50 ^ = -40 4) Determinar um ponto da reta (A)(B) que pertena ao (I). (A) [1; 0; 2] (B) [5; 2; 1]

apostila gd_sarah rabelo.pdf

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