Fundamentos de Gravimetria

Notas de aula da Profa. Dra. Marta S.M. Mantovani, compiladas por Adalberto da Silva

Instituto Astronômico e Geofísico – USP 1999

Sumário 1. Introdução ............................................................................................... 1 2.1. Potencial numa Esfera Homogênea e Estática........................................ 3 2.2. Uma Esfera em Rotação: o Elipsóide ..................................................... 4 2.3 O Elipsóide de Referência ...................................................................... 6 2.4 O Geóide................................................................................................. 7 3 Medindo a Aceleração da Gravidade..................................................... 8 3.1 Pêndulos.................................................................................................. 8 3.2 Gravímetros de queda-livre .................................................................. 11 3.3 Gravímetro LaCoste-Romberg ............................................................. 11 3.4 Gravímetros Supercondutores .............................................................. 13 4 Corrigindo as Medidas.......................................................................... 15 Bibliografia recomendada..................................................................... 28

1

1 Introdução

m 1687, com a publicação do “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” de

Newton, foi estabelecida a base fundamental para o estudo da distribuição de massas e

seus efeitos: a lei da atração gravitacional.

Newton formulou-a de maneira bastante concisa: “A magnitude da força gravitacional

atuante entre duas massas é proporcional a cada uma delas e inversamente proporcional à dis-

tância que as separa”.

Na expressão matemática decorrente, a força gravitacional é:

onde m e m0 são massas centradas em P e Q, separadas por uma distância r entre si e

G é a constante gravitacional de Newton.

Considerando m0 uma massa de valor unitário, podemos obter a atração (ou acelera-

ção) gravitacional exercida pela massa m no ponto P:

onde û é um vetor unitário no sentido de Q para P (figura 1).

E

20

rmmGF ×

= (Equação 1)

ûrmGg 2−= (Equação 2)

Figura 1 – As massas m e m0 se atraem mutuamente e a força gravitacional é proporcional a m0, m e r-2. Convencionalmente, o vetor unitário û aponta no sentido do observador ; no caso, situado em P.

2

A aceleração gravitacional g é um campo potencial e podemos definir o potencial gra-

vitacional V(P) como:

O potencial gravitacional obedece ao princípio da superposição: o potencial associado

a um dado conjunto de massas é igual à soma do potencial de cada componente individual.

Como o potencial gravitacional é função da massa, podemos também exprimi-lo em

termos da densidade dos corpos:

onde v é o volume ocupado pela massa e r(Q) é a densidade no ponto de integração

(figura 2).

Essas características do campo fornecem a base para a interpretação gravimétrica.

g PV P )()( =∇ (Equação 3)

∫ ∫==V

dvrQ

Grdm

GV Pρ )(

)( (Equação 4)

Figura 2 – Atração gravitacional exercida em P por uma distribuição de densidades r.

3

2.1 Potencial numa Esfera Homogênea e Estática

o caso de uma esfera em que a densidade é constante para qualquer ponto em que

r’<R, onde R é o raio da esfera e r’ a coordenada radial esférica (com origem no seu

centro) de um ponto qualquer (figura 3), o campo gravitacional gerado em P é dado

pela integração de cada componente infinitesimal de massa. Dada a simetria da distribuição:

onde M é a massa total da esfera e d é a distância de P ao centro e d>R.

N

d

MGV P =)(

(Equação 5)

Figura 3 - Campo gravitacional gerado em P por uma esfera homogênea de massa M.

Exercício 1

A aceleração da gravidade na superfície terrestre é de 980 cm/s2 e o diâmetro do globo é da ordem de 12.760 km. Estime a massa total da Terra. Adote G = 6,667x10-11 Nm2kg-2.

Exercício 2

A aceleração da gravidade na superfície de Saturno é da ordem de 92,5% daquela observada na Terra e sua massa é 95 vezes maior que a do nosso planeta. Qual o raio de Saturno? E qual a sua densidade relativamente à da Terra?

4

Uma conclusão importante que obtemos da equação 5 é que o campo depende da

massa total e da posição do centro da esfera mas é independente do seu tamanho. Assim, uma

esfera de grande raio e pequena densidade pode gerar um campo de igual magnitude ao de

outra esfera com pequeno raio e grande densidade. No limite, temos um ponto de massa

quando o raio tende a zero e a densidade ao infinito.

Essa é a limitação fundamental na interpretação gravimétrica: diferentes arranjos de

corpos e densidades podem gerar um campo de igual magnitude. Portanto, não se pode garan-

tir de modo absoluto a unicidade da interpretação.

Outra decorrência fundamental: como o campo é função inversa da distância, numa

distribuição esférica simétrica e para uma determinada massa total constante, a magnitude do

campo também é constante para um dado valor de d.

Em outras palavras: qualquer esfera imaginária concêntrica em torno dessa distribui-

ção representa uma superfície eqüipotencial.

O resultado obtido da equação 5 pode ser estendido a qualquer distribuição esférica

simétrica de densidades.

Essa é a primeira aproximação do próprio campo gravitacional da Terra uma vez que

podemos considerá-la próxima da simetria esférica.

2.2 Uma Esfera em Rotação: o Elipsóide

Uma diferença fundamental a se considerar na elaboração de modelos mais aproxima-

dos do campo gravitacional terrestre é o efeito da rotação.

Se tomarmos uma Terra estática e iniciarmos um movimento de rotação, a principal

conseqüência será a sua deformação devido à ação da força centrífuga. A esfera original so-

frerá um achatamento nos pólos e tomará uma forma elíptica.

Exercício 3

Qual é a aceleração da gravidade terrestre exercida sobre um satélite numa órbita a 300 km de altitude?

5

Já em 1672, o cientista francês Jean Richer notara que um relógio de pêndulo, muito

preciso à época, construído em Paris atrasava alguns minutos por dia em Caiena, na Guiana

Francesa (esse fato, como veremos mais adiante, demonstrou a aplicabilidade dos pêndulos na

medida de variações do geopotencial).

Para Newton, corretamente, essa diferença refletia a forma oblata da Terra.

Tal interpretação não era aceita nos meios acadêmicos franceses e sua Academia de

Ciências promoveu duas expedições (uma no Equador, outra na altura da Suécia) para medir

com acurácia um arco de grau nas duas partes do globo.

Essas expedições realizaram as primeiras medidas precisas da forma da Terra e

demonstraram que as idéias de Newton eram corretas.

Esse achatamento pode ser definido pela relação entre dois fatores apenas: os raios

equatorial, a, e polar, c (figura 4). Assim, o achatamento f é:

De fato, a Terra é praticamente esférica, com um achatamento de apenas 1/298,257 e

permite várias simplificações para o cálculo do potencial na sua superfície.

a

caf

−=

(Equação 6)

Figura 4 – Parâmetros utilizados na definição do elipsóide de referência.

6

Basicamente, podemos desmembrar o campo potencial total V do esferóide em duas

componentes: o seu potencial gravitacional próprio Vg e o potencial rotacional Vr, de modo

que:

O potencial rotacional é dado em função da velocidade angular w da Terra e da lati-

tude l:

De modo semelhante, o potencial próprio é determinado basicamente pelo fator de

achatamento, o raio equatorial e a massa total da Terra pela equação:

onde J2 é o coeficiente de elipsicidade obtido em função do achatamento.

Como o esferóide é praticamente esférico, a aceleração da gravidade g0 é aproximadamente:

2.3 O Elipsóide de Referência

A forma real da Terra e do seu campo potencial associado é bastante complexa. Entre-

tanto, podemos assumir uma forma relativamente simples mas que possa descrevê-la de modo

bastante acurado.

A partir de uma série de medidas distribuídas numa rede mundial, foram obtidas fór-

mulas que descrevem o chamado elipsóide de referência.

λω cos22221

rV r=V rV gV +=

(Equação 7)

λω 222 cos21 rVr = (Equação 8)

( ))132

23

22

−= λsinr

JGMaVg (Equação 9)

( ) λωλ

δδ

2224

22

2

0

cos133 rsinr

JGMar

GMrVg

−−−=

=−= (Equação 10)

Exercício 4 Saturno,efetivamente, tem raio equatorial de 60.000 km. O raio calculado no Exercício 2 é, portanto, sobrestimado. Explique o motivo dessa diferença.

7

As fórmulas do elipsóide são estabelecidos e melhoradas por acordos internacionais

patrocinados pela associação Internacional de Geodésia (IAG, do seu nome em inglês). Três

sistemas já foram assim estabelecidos, o primeiro deles em 1930. Com o advento de medidas

por satélite e incremento na acurácia de medidas geodésicas, um novo elipsóide foi definido

em 1967. O sistema atualmente aceito é o Sistema Geodésico de Referência de 1980.

Por derivação da equação 10 e adotando esse elipsóide, a gravidade teórica ou normal

pode ser obtida através da fórmula:

denominada Sistema Geodésico Mundial de 1984.

2.4 O Geóide

A superfície eqüipotencial real que coincide com o nível médio dos mares sobre as

áreas oceânicas é denominada geóide. Ela corresponde ao efeito combinado das acelerações

da gravidade e centrífuga atuantes na superfície do planeta.

Podemos imaginar o geóide como a superfície dos mares sem nenhum efeito da dinâ-

mica de ventos e correntes; nas áreas continentais essa superfície está no mais das vezes

abaixo do nível do solo.

Nos estudos gravimétricos, utilizamos o campo associado à aceleração da gravidade

teórica. É óbvio que a superfície teórica não corresponde exatamente à real superfície eqüi-

potencial da Terra ao nível do mar, o geóide.

Mas, de todo modo, as diferenças de nível entre o geóide e a superfície teórica rara-

mente excedem os 100 metros e se restringem a menos de 50 metros de maneira geral.

Se considerarmos as magnitudes das grandezas medidas, é um erro bastante pequeno

para grande parte dos estudos crustais.

λλ2

2

090130066943799,01

86390019318513,017803267714,9sin

sing−

+×= (Equação 11)

8

3 Medindo a Aceleração da Gravidade

a média, o valor de g na superfície da Terra é de cerca de 980 cm/s2 ou 980 Gal (Gal

é a unidade padrão utilizada nas medidas gravimétricas). Ou, simplificando, o valor

de g é da ordem de 103 Gal.

As medidas de gravidade comuns demandam acurácia de 1 mGal; para medir varia-

ções da gravidade num determinado ponto ao longo do tempo, a acurácia das medidas deve

saltar três ordens ou, seja, para 1 μGal. Para se ter uma idéia, essa é a diferença da aceleração

da gravidade entre as faces de um simples disquete apoiado sobre uma mesa, um desnível de

cerca de 3 milímetros!

Os instrumentos que medem a aceleração da gravidade são conhecidos como graví-

metros. Os gravímetros podem ser de dois tipos: absolutos e relativos.

Os gravímetros absolutos medem diretamente a aceleração através da determinação de

uma distância e/ou de um intervalo de tempo. Nos relativos, o valor de g depende de outros

fatores como constantes de molas, por exemplo, que apenas possibilitam a medição da dife-

rença de aceleração observada entre dois pontos ou tempos diferentes.

No primeiro caso se enquadram os pêndulos e os aparatos de queda-livre; no segundo,

os gravímetros LaCoste-Romberg e supercondutores.

3.1 Pêndulos

Os pêndulos (figura 5), como já citamos no início, forneceram as primeiras medidas

de gravidade absoluta pelo seu próprio princípio de funcionamento. A aceleração é uma fun-

ção inversa do período de oscilação T e direta do comprimento do pêndulo l:

N

2

2)2(T

lg π=

(Equação 12)

9

Entretanto, há uma série de imprecisões no mundo real para se efetuar tais medições.

Basicamente, o pêndulo deve ser caracteristicamente um aparato que mantém um ponto de

massa sustentado por um fio sem nenhuma massa associada; o ângulo de oscilação deve ser

desprezível de modo a eliminarmos um dos termos trigonométricos da equação original de ve-

locidade angular (para obter a forma simplificada da equação 12, o seno do ângulo de oscila-

ção e sua medida em radianos devem ser muito próximos); e os efeitos de atrito também

devem ser eliminados ou postos em magnitudes muito pequenas comparativamente.

Praticamente todos os efeitos podem ser minimizados, ora por procedimentos constru-

tivos (por exemplo, pelo uso de massas com grande densidade e cabos de sustentação muito

longos), ora por artifícios de cálculo, exceto o cabo de massa desprezível. A medida, portanto,

tem necessariamente um alto valor de erro associado.

Efetivamente, o pêndulo ideal ou pêndulo matemático é uma impossibilidade constru-

tiva pois não há modo de se fazer uma certa massa oscilar presa a um cabo sem massa. E so-

mente esse aparato poderia medir diretamente a aceleração da gravidade como uma função da

medida direta do seu período de oscilação.

Os pêndulos reais ou pêndulos físicos são objetos sólidos, normalmente na forma de

bastões, que oscilam em torno de um ponto – denominado pivô – fixo no seu próprio corpo e

oscilam forçadamente em um único plano (figura 6).

Figura 5 –Geometria de um pêndulo.

10

A aceleração da gravidade é obtida em função da massa do pêndulo (m) e do momento

de inércia (I) no eixo perpendicular ao plano de oscilação que passa pelo pivô. Como I e m

não podem ser medidos diretamente, o pêndulo físico não é um instrumento absoluto.

Entretanto, como I, m e l devem se manter constantes, se efetuarmos medidas com o

mesmo instrumento em pontos (ou tempos) diferentes qualquer variação de g corresponderá a

mudanças no período de oscilação.

Temos então que:

onde os índices indicam a aceleração da gravidade e o período em dois pontos (ou

tempos) diferentes.

Assim por simples medidas de tempo se calcula o valor relativo da gravidade.

Os pêndulos físicos podem também ser utilizados para medidas absolutas através de

um pequeno artifício. Inicialmente, fixa-se o pivô e obtém-se o período de oscilação. A se-

guir, procura-se um segundo pivô em posição oposta ao primeiro em relação ao centro de

massa e que resulte no mesmo período de oscilação (figura 6).

Pivô 2

Pivô 1

Centro de Massa

Plano de oscilação

l

Figura 6 – Pêndulo físico esquemático.

2

1

2

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

TT

gg

(Equação 13)

11

Com esse truque, o valor de g é obtido em função da distância entre os pivôs (pas-

sando pelo centro de massa do pêndulo) e do período de oscilação. Como essas grandezas são

diretamente mensuráveis, o valor obtido é uma mediada absoluta da aceleração da gravidade.

É evidente que a operação é trabalhosa e esbarra em muitos problemas: o material

construtivo deve ser necessariamente não magnético, o coeficiente de dilatação deve ser pe-

queno, o atrito com o ar bem como nos pivôs deve ser minimizado, entre outros.

Ao final, a acurácia da medida se restringe a meros 0,5 mGal.

Por esses motivos, há longo tempo os pêndulos estão em desuso como instrumentos

relativos e apenas algumas poucas estações ao redor do globo são mantidas para medidas

absolutas.

3.2 Gravímetros de queda-livre

Os gravímetros de queda-livre não estão sujeitos às limitações inerentes aos pêndulos

pois, de modo simples, apenas medem a queda de uma massa dentro de um tubo e a variação

de sua velocidade intervalar, podendo derivar diretamente a aceleração da gravidade no ponto

de medida.

São, portanto, instrumentos absolutos.

Contudo, há pouquíssimas instituições no mundo inteiro com capacidade de efetuar a

medida pois a simplicidade aparente esconde calibrações intensivas e extensivas, controle de

muitas variáveis de aquisição, manutenção e checagem constante de equipamentos e outros

fatores adicionais.

3.3 Gravímetro LaCoste-Romberg

No procedimento usual de pesquisa e exploração, são utilizados os gravímetros relati-

vos. Desses, o modelo LaCoste-Romberg é praticamente o único utilizado pela praticidade e

qualidade das medidas e pelo custo associado.

12

Simplificadamente, esse instrumento é uma derivação dos gravímetros de mola mas

com uma geometria que os torna conceitualmente bastante diferentes dos primitivos dinamô-

metros usados até a Segunda Grande Guerra.

A sua construção (figura 7) baseia-se no uso da denominada “mola de comprimento

zero” onde a força exercida sobre ela é função direta do seu comprimento total e não da sua

elongação como se verifica em molas comuns. Há vários modos de se fabricar esse tipo de

mola; por exemplo, torcendo-se um fio em torno do seu eixo longitudinal.

Um braço de massa desprezível fixado à mola e sustentando uma massa junto a esse

ponto pode oscilar livremente em torno de um pivô na sua outra extremidade.

O sistema tem período infinito pois se o braço está em equilíbrio para um determinado

valor de q, a situação se mantém para qualquer valor de q. Qualitativamente, o mecanismo

que garante o funcionamento do sistema é simples: se movermos a massa m para cima, o tor-

que da mola que atua no sentido anti-horário diminui pois o seu comprimento total é menor;

mas também ocorre diminuição no valor do torque horário devido à atuação da gravidade pois

o ângulo entre a vertical (a aceleração da gravidade, para todos os efeitos, está sendo aplicada

segundo a vertical) e o braço que sustenta a massa é menor.

Caixa de engrenagens

Micrômetro

y

�

Massa

Mola decomprimento zero

Figura 7 – Esquema do gravímetro LaCoste-Romberg.

13

Desse modo, um efeito cancela a atuação do outro e a massa sempre se mantém em

equilíbrio.

Por essa geometria, o valor relativo da gravidade é obtido por:

onde y é a distância entre o ponto de fixação da mola e o pivô do braço de sustentação,

e k a constante da mola.

Assim, se a relação não é obtida, esse braço oscila livremente nos dois sentidos em

desequilíbrio, tocando nos batentes que limitam o seu movimento.

Para efetuar a medida, ajusta-se o valor de y até se obter o equilíbrio. De modo sim-

ples, um parafuso é girado de modo a diminuir ou aumentar a distância y.

Como podemos notar, um aparato assim construído é muito sensível; em realidade,

seria excessivamente sensível... É praticamente impossível ajustar o valor de y de modo a sa-

tisfazer exatamente à equação 14. Para resolver o problema, o lado que sustenta y é levemente

tombado em relação à vertical: o período do sistema continua bastante grande mas não infi-

nito, permitindo medidas ainda bastante acuradas.

Tipicamente, os gravímetros LaCoste-Romberg tem acurácia da ordem de 10 a

20 μGal, muito superiores aos instrumentos anteriormente utilizados e com uma operação

muito mais simplificada.

3.4 Gravímetros Supercondutores

Estes instrumentos foram desenvolvidos na Universidade da Califórnia e são produ-

zidos comercialmente na atualidade.

Seu princípio de funcionamento é simples: uma esfera de material supercondutor é

posta a levitar num campo magnético; se a atração gravitacional varia, uma força eletrostática

é aplicada de modo a manter a massa sempre num mesmo nível. A medida obtida é a ‘volta-

gem’ aplicada para manter o sistema estável (é portanto um instrumento relativo). Essencial-

mente podemos considerá-lo uma mola eletromagnética.

kmgy =

(Equação 14)

14

A acurácia obtida é menor que 1 μGal mas o equipamento é especificamente indicado

para estações fixas que monitoram as marés sólidas. Nessa faixa de precisão há também gra-

vímetros LaCoste-Romberg construídos para essa mesma utilização.

A grande desvantagem do gravímetro supercondutor é o fato de não ser portátil, impe-

dindo o seu uso em levantamentos de campo com estações móveis.

15

4 Corrigindo as Medidas

e modo geral, os levantamentos gravimétricos objetivam identificar as variações de

densidade que ocorrem no interior do planeta e suas implicações geológicas.

Quando instalamos um gravímetro ao longo de um perfil e efetuamos uma série de

medidas da aceleração gravitacional, os valores obtidos correspondem a uma somatória de

efeitos que compõem a gravidade observada – gobs (figura 8).

Esquematicamente, essa é a composição do sinal gravimétrico:

Sinal Medido = Atração teórica do elipsóide de referência

+ Efeito da elevação acima do nível do mar

+ Efeito de massas ‘normais’ acima do nível do mar

+ Variações cíclicas (marés sólidas)

+ Efeito do movimento da plataforma de medição

+ Efeito das variações de densidade de materiais da crosta e do manto superior

D

Figura 8 – Perfil gravimétrico teórico e seção crustal correspondente. A elevação topográfica no centro está compensada isostaticamente e há um corpo de maior densidade encaixado na crosta superior. O exagero vertical da seção é de 2x.

16

Desse modo, a medida bruta deve ser corrigida para cada um desses efeitos, exceto o

último. E resta ao intérprete relacionar o sinal corrigido com a distribuição interna de densi-

dades mais compatível com a Geologia da área.

A maior contribuição no sinal medido é dada pela atração teórica da Terra como o

corpo homogêneo em rotação descrito pelo elipsóide de referência. Ao subtrair esse valor teó-

rico (g0 obtido pela equação 11), o sinal é reduzido a apenas uma pequena parcela da gravi-

dade medida pois foi retirada a grande contribuição do campo associado à própria distribuição

‘normal’ de densidades de todo o globo terrestre (figura 9).

Observando atentamente a figura, vemos que resta somente a contribuição dos volu-

mes com densidades anômalas: a grande massa topográfica representada pela elevação no

centro do perfil e sua correspondente raiz de compensação isostática, e o pequeno corpo

rochoso mais denso à direita do perfil, dividido em duas partes, acima e abaixo da superfície

do geóide.

Usualmente, nessa fase também se corrigem os efeitos de marés sólidas (que estão

associadas às pulsações cíclicas da superfície terrestre pela atração das massas solar e lunar, a

Figura 9 – Seção crustal da figura anterior após a subtração do valor teórico de gravidade.

17

exemplo do que se observa com as marés propriamente ditas) e a correção de Eötvös no caso

de instrumentos de medida sobre plataformas móveis.

As marés sólidas são apenas uma parte dos efeitos da força de atração lunissolar. A

força gravitacional do Sol e da Lua causa o movimento orbital terrestre e esse é, de fato, o

principal efeito da atuação dessa força sobre a Terra. Porém, essa força também resulta em

deformações sobre a crosta e oceanos; a estas deformações denomina-se genericamente

marés. Na verdade, há uma parte da força garvitacional lunissolar que é constante sobre toda

a Terra e um pequeno resíduo que provoca as marés.

Para o caso da Lua, por exemplo, a força gravitacional total, representada pelas setas

na figura 9, atua no sentido Terra-Lua em todos os pontos e é maior naqueles mais próximos

do nosso satélite.

A força orbital é dada pela média de todos os vetores e, em grande medida, corres-

ponde ao vetor de força agindo sobre o centro da Terra.

Subtraindo o vetor da força atuante no centro de massa da Terra, resta a componente

de força responsável pelas marés que tem um padrão bastante definido: na vista lateral, ao

Figura 9 – Atuação da força gravitacional da Lua sobre a Terra. O tamanho das setas indica o módulo desta força e suas variações; Ω representa a rotação da Terra.

18

longo da linha imaginária que une os dois corpos, na face voltada e também na oposta à Lua,

os vetores se dispõem radialmente para fora da Terra; nas direções transversais, as forças

atuam no sentido do centro de massa do planeta (figura 10-a).

Observando-se a partir de um ponto acima do Pólo Norte, temos o padrão indicado na

figura 10-b. Esta distribuição se mantém fixa em relação à Lua e a Terra segue em rotação

relativamente ao padrão. Desse modo, a força de maré atuante sobre um ponto fixo na super-

fície do planeta é variável com o tempo e tem um comportamento cíclico: conforme a Terra

gira, o ponto se afasta e se aproxima sucessivamente do satélite e ocupa posições em que a

composição dos vetores de força se repete em ciclos determinados pela própria rotação da

Terra em relação ao sistema de referência da força de maré, centrado na Lua.

A freqüência na qual o arranjo de forças atuante sobre esse ponto muda é, portanto,

uma função da geometria dessas massas no espaço.

Suponha que o sistema Terra-Lua tivesse a geometria da figura 11-a, com a Lua dis-

posta numa superfície que contém o equador terrestre. É fácil observar que o lado da Terra

diretamente voltado para a Lua (e o seu oposto) é deslocado para fora, formando uma eleva-

ção; concomitantemente, as outras faces estarão deprimidas; um ponto qualquer, exceto nos

pólos, vai ‘navegar’ por duas elevações e duas depressões durante o curso de um dia após

�

�

LuaTerra

a)

b) +

Figura 10 – Padrão da força de maré da Lua atuante sobre a superfície da Terra em vista lateral (a) e zenital (b).

19

uma rotação completa da Terra, e assim sucessivamente. Então, a freqüência da força de maré

é de 2 ciclos por dia e corresponde ao período de 12 horas ou semi-diurno.

Com a Lua sobre o Pólo Norte (figura 11-c), qualquer ponto permanece na mesma ele-

vação ou depressão ao longo do dia, independente da rotação da Terra. Neste caso, a compo-

sição de forças não varia em função do tempo e, portanto, o período é infinito.

Agora, analise o comportamento do ponto A numa posição intermediária, com a Lua

inclinada a 45o do Equador (figura 11-b).

Inicialmente, o ponto se encontra numa elevação que está sendo atraída pela Lua; após

12 horas, ele está na posição A’ sobre a depressão correspondente; em 24 horas, ele retorna à

posição original no topo da elevação. Neste caso, o período para este ponto ⎯ ou qualquer

outro na Terra ⎯ é de 1 dia e a freqüência é de um ciclo por dia: é a variação diurna da maré.

Figura 11 – Esquema de forças de maré devidas à Lua segundo três geometrias ideais do sistema Terra-Lua.

20

Esta descrição é um pouco simplificada, é claro, pois há alguma componente com período de

12 horas ou ∞ (infinito) mesmo com a Lua nesse plano a 45º.

Na realidade, a Lua não está fixa em nenhuma dessas três posições; ao contrário, ela

orbita em torno da Terra. Assim, a qualquer dado instante, conforme a real disposição geomé-

trica do sistema Terra-Lua, temos uma combinação linear de todas essas freqüências: 12

horas, 24 ou ∞.

Como a Lua se move entre ±23,5º do equador (num período mensal), a maior parte do

tempo a componente semi-diurna é mais importante. Por isso, as marés com períodos de 12

horas são as mais importantes na maioria dos lugares.

O segundo termo em importância é representado pelas marés diurnas pois a Lua se

mantém mais próxima da posição a 45º que da posição a 90º. Por último, o termo de período

infinito é o menos importante.

Neste ponto vale lembrar que estamos tratando de marés lunissolares e, até agora, só

nos detivemos com a primeira parte do problema. Ainda resta o efeito do Sol e o efeito conju-

gado do sistema como um todo.

E, como efetuar uma correção tão complexa?

Na verdade, não necessitamos retomar todo esse árduo caminho a cada estação gravi-

métrica que medimos. A base da correção está descrita em dois artigos de I.M. Longmann que

utiliza uma determinada função (denominada função de Green) para descrever a dinâmica

deste sistema e, por conseqüência, permite retirar esse efeito das medidas reais num determi-

nado tempo e localização.

De todo modo, o efeito de maré nunca excede 0,3 mGal e só tem maior impacto em

levantamentos de alta precisão; em levantamentos menos precisos, pode-se assumir que este

efeito se comporta de modo linear num período de algumas horas e sua correção é

considerada como parte da deriva do próprio instrumento de medida.

Na correção de Eötvös, a quantidade de variáveis é bem menos preocupante: basica-

mente, interessa a posição da plataforma de medida e a sua velocidade vetorial de desloca-

mento. Por exemplo, num navio que se move para leste, a velocidade angular sobre o instru-

mento é maior que aquela aplicada sobre um observador estacionário (figura 12); conseqüen-

temente, a gravidade medida pelo instrumento em movimento será ligeiramente menor que a

real, obtida pelo observador estacionário.

21

De modo simplificado, quando a plataforma de medida se move favoravelmente ao

movimento de rotação da Terra, o seu efeito se soma ao potencial rotacional descrito na

seção 2.2; e vice-versa.

A correção de Eötvös é dada pela equação:

onde : v é a velocidade em nós; α é o rumo em relação ao Norte verdadeiro; λ é a latitude; e gE é a correção de Eötvös em mGal.

Esta correção é muito importante nas medidas sobre plataformas móveis. Por exemplo,

num navio rumando para leste na altura da latitude de 45ºN a uma velocidade de apenas 1 nó,

a correção atinge 5,4 mGal, valor bastante expressivo.

Retomando o perfil corrigido da figura 9, a mais notável característica é a forte ano-

malia negativa central, na projeção do edifício topográfico. Como é fácil notar, esse compor-

tamento não reflete diretamente as fontes de densidade anômalas do manto e da crosta mas,

antes, as medidas que ficam sucessivamente mais distantes do centro da Terra conforme o

Figura 12 – Correção de Eötvös.

2004154,0cos503,7 vsinvg E +××= αλ (Equação 15)

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instrumento vai avançando sobre a elevação (cabe aqui recordar a equação 2 e apontar que a

aceleração gravitacional decresce segundo o quadrado da distância da superfície até o centro

de massa).

As medidas gravimétricas em navios podem ser diretamente comparadas com o campo

de referência pois elas são realizadas virtualmente ao próprio nível do geóide que corres-

ponde, enfim, ao nível do mar. Contudo, nos continentes, as medidas devem ser ajustadas ou

niveladas para essa única referência pois genericamente elas são obtidas em altitudes variadas

acima (e, mais raramente, abaixo) do nível do mar.

A correção de ar-livre (gfa, do inglês ‘free-air correction’) permite fazer esse ajuste do

nivelamento. O seu nome deriva do fato de que nessa correção apenas se leva em conta a

altitude (h) do ponto de medida (ou, seja, a sua distância vertical em relação ao nível do mar),

como se não existissem massas entre o observador e o nível de referência.

O seu valor é dado por:

O resultado da aplicação dessa correção é denominada anomalia de ar-livre (Dgfa):

Na figura 13, observa-se o efeito da correção de ar-livre sobre o perfil-exemplo. A grande anomalia negativa (da figura 9) associada à elevação do gravímetro topografia acima é eliminada mas os valores tendem consistentemente a crescer junto com o relevo. De todo modo, observa-se ainda que a raiz crustal que suporta isostaticamente a massa da montanha do perfil gera uma componente negativa de grande comprimento de onda e de amplitude relativamente menor da anomalia (figura 13).

Essa forte correlação com as massas topográficas é um efeito pouco interessante das anomalias de ar-livre pois há modos mais simples de descrever a topografia que levantamen-tos gravimétricos; e, afinal, a gravidade é mais útil para fornecer informações acerca das den-sidades no interior da Terra.

Assim, para analisar a distribuição de densidades abaixo da superfície, o efeito de atra-

ção direta das massas acima do geóide deve ser eliminado. E há uma maneira simplificada de

se realizar isso e que praticamente todo geofísico ou geodesista aplica:

hg fa5103086,0 −×−= (Equação 16)

faobsfa gggg −−=Δ 0 (Equação 17)

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Imagine que a topografia é relativamente suave e que se pode aproximar toda a massa

acima do geóide como uma placa infinita de espessura igual à altitude h do ponto de medida

(figura 14). A atração gsb dessa placa é dada por:

onde r é a densidade ‘normal’ da crosta.

hGgsb ρπ2= (Equação 18)

Figura 14 – Parâmetros da correção Bouguer simples.

Figura 13 – Seção crustal após a correção de ar-livre. Observar que a anomalia é fortemente influenciada pela topografia.

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Essa é a correção Bouguer simples (por isso o índice sb, do inglês ‘simple Bouguer

correction’) e a anomalia resultante é:

Entretanto, a aproximação da forma do relevo para uma simples placa infinita a cada

ponto de medida pode ser melhorada. É simples imaginar que montanhas que se erguem ao lado

do ponto de medida são simplesmente ignoradas na aproximação, e que vales abaixo do nível de

observação constituirão ‘vazios’ igualmente desconsiderados pela correção (figura 14). Em am-

bos os casos, a correção Bouguer simples tende a sobrecompensar as medidas feitas junto a

essas feições topográficas.

Para solucionar esse problema, aplica-se a correção de terreno ou topográfica (gt) que

compensa a atuação da massas topográficas ao redor do ponto de medição. Em geral, a área

em torno desse ponto é subdividida em setores de círculo (figura15) do qual se conhece a

altitude média (através de cartas topográficas ou modelos digitais de terreno) e o valor da cor-

reção corresponde à integração (ou soma) de todas essas contribuições.

A anomalia Bouguer completa (Dgcb) é dada por:

Usualmente, essa correção é mais usada por geodesistas que por geofísicos. Exceto

nos casos de relevos mais perturbados, a correção de terreno representa apenas uma pequena

tsbfaobscb gggggg −−−−=Δ 0 (Equação 20)

Figura 15 – Representação de subdivisão em setores da região em torno do ponto de medida utilizada para a correção de terreno.

sbfaobssb ggggg −−−=Δ 0 (Equação 19)

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parcela da anomalia Bouguer e acaba tendo pouca influência na interpretação de feições geo-

lógicas; daí ser mais comum a utilização da anomalia Bouguer simples nos estudos geofísicos.

Voltando ao nosso perfil de exemplo, se considerarmos uma densidade típica da crosta

de 2.670 kg/m3, a correção Bouguer simples será dada por:

A anomalia Bouguer reflete os contrastes de densidade como vemos no perfil da

figura 16. Ela indica ‘massas anômalas’ cujas densidades são superiores ou inferiores ao valor

típico adotado. A escolha desse valor para a densidade ‘normal’ é crítico: para a maior parte

dos casos, é apropriada a densidade da crosta de 2.670 kg/m3 que adotamos aqui; já em

regiões predominantemente sedimentares, valores menores são mais adequados; em regiões

vulcânicas, ao contrário, valores mais elevados podem ser mais ‘normais’.

Observando a figura, distingue-se claramente o sinal associado ao corpo mais denso e mais raso, com valor anômalo de curto comprimento de onda e menos negativo (há mais massa próximo ao instrumento e portanto a medida de gravidade é maior numa área pequena ao redor da fonte rasa), e uma componente mais negativa e de maior comprimento de onda associada ao déficit de massa da raiz de compensação do edifício topográfico.

hgsb5101119,0 −×= (Equação 21)

Figura 16 – Anomalias Bouguer e a seção crustal correspondente. A superfície original do terreno no qual se efetuaram as medidas está indicada.

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Por esse comportamento, as anomalias Bouguer apresentam tipicamente uma forte cor-relação negativa com as componentes de longo comprimento de onda da topografia. A corre-ção apenas contempla a retirada dos efeitos diretos da topografia mas não os das raízes de baixa densidade que suportam isostaticamente os relevos elevados. Por razões similares, as anomalias Bouguer são negativas sobre os continentes e positivas nas bacias oceânicas devido à diferença de espessura crustal entre os dois ambientes.

É interessante também observar que, nesse caso, a diferença entre a anomalia Bouguer completa e a simples é relativamente pequena.

Finalmente: e no caso de calcularmos a anomalia Bouguer sobre áreas oceânicas?

Nesse caso, a medida é feita diretamente navegando-se sobre o geóide e não há neces-sidade de correção de ar-livre.

Mas, entre o geóide e o fundo do mar existe água; e como todos sabem a água é menos densa que as rochas crustais. Se não corrigirmos as medidas para a topografia de fundo e o déficit de massa representado pela lâmina d’água, haverá uma clara descontinuidade entre as anomalias na interface continente-oceano ao longo da linha de costa; as medidas de aceleração serão sistematicamente menores sobre a água em comparação com aquelas obtidas na área emersa adjacente.

Assim, para uma dada profundidade H e a densidade rw da água do mar, a correção

Bouguer simples será:

A correção é positiva pois há um déficit de massa e a anomalia Bouguer simples

(Dgsb_mar) é dada por:

)(2_ wmarsb Gg ρρπ −= (Equação 22)

marsbmarfamarsbobsmarsb gggggg ___0_ +=+−=Δ (Equação 23)

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Exercício 5

Num prédio de altura desconhecida, dispunha-se apenas de duas medidas gravimétricas feitas nos seus pisos extremos, junto ao solo e na laje de cobertura. Ao nível do solo, o gravímetro forneceu uma leitura de 2,266073 Gal ; na laje, mediu-se 2,250921 Gal. É possível estimar a altura do prédio? Caso a resposta seja positiva, qual é o seu valor em metros?

Exercício 6

Foi realizada uma série de estações gravimétricas na Torre do Relógio da Cidade Universitária em São Paulo (SP). A cada piso, o gravímetro foi estacionado e efetuada uma leitura na subida; na descida, realizaram-se leituras a cada piso intermediário. O resultado obtido, em valores já corrigidos para efeitos de maré sólida lunissolar, está resumido na tabela abaixo:

Estação

Altura (m)

Leitura Corr.(mGal)

1 0 2265,9472 2 5 2263,7427 3 10 2262,1624 4 15 2260,6331 5 20 2259,0972 6 25 2257,5711 7 30 2256,0342 8 35 2254,5106 9 40 2253,0048 10 45 2251,5574 11 47,5 2250,7592 12 42,5 2252,2384 13 37,5 2253,7441 14 32,5 2255,2655 15 27,5 2256,7779 16 22,5 2258,3037 17 17,5 2259,8807 18 12,5 2261,3371 19 7,5 2262,915 20 2,5 2264,3541

Por quê os valores diminuem conforme o gravímetro se eleva na torre? Há alguma tendência observável nessa variação? Propositalmente, duas das medidas gravimétricas foram realizadas sem aguardar o período adequado de ‘aclimatação’ do gravímetro e devem, portanto, ser desconsideradas. É possível identificá-las? Caso seja possível, elimine-as e reavalie as questões anteriormente propostas neste exercício.

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Bibliografia recomendada

Para posterior consulta e para aprofundar os pontos expostos nessa apostila, foram

selecionados algumas publicações.

Inicialmente, as notas de aula de John Wahr (Wahr, J. – 1996, Geodesy and Gravity,

Samizdat Press, 294 p., disponível em arquivo PostScript em http://landau.mines.edu/~samizdat)

fornecem uma boa base teórica sobre o potencial gravitacional, instrumentos de medida e

aplicações em Geodésia, Geofísica e Geologia. O tratamento matemático formal é bastante

adequado mas o autor não descuida dos exemplos qualitativos, simplificando a leitura para

aqueles menos afeitos às notações do cálculo.

Para os estudantes com melhor conhecimento de cálculo, o livro de Blakely (Blakely,

R.J. – 1996, Potential Theory in Gravity & Magnetic Applications, Cambridge University

Press, 441 p.) é uma leitura recomendada. Neste livro, há uma discussão acurada acerca dos

campos potenciais e de suas aplicações práticas em exploração geofisica; o tratamento

matemático adotado é bastante rigoroso mas supõe que o leitor tenha bom domínio de cálculo

integral e diferencial.

Para o ítem específico das correções de maré sólida, os artigos clássicos de Longman

em que o autor discute a teoria e a aplicação de uma função de Green para realizar estas

tarefas (Longman, I. M. – 1962 , A Green’s function for determining the deformation of

Earth and the surface mass loads, 1, Theory, Journal of Geophysical Research, 67: 845-850; e

idem, 2, Computation and Numerical Results, Journal of Geophysical Research, 68: 485-496).