APOSTILA DE RACIOCÍNIO

LÓGICO

PROF.ALESSANDRO RAMALDES

Proposições

São sentenças que podem ser atribuídos valores

verdadeiros ou falsos. Mas nunca ambos.

Princípio do Terceiro Excluído: uma proposição ou é

verdadeira ou é falsa, isto é, há de ser um desses

casos e nunca um terceiro caso;

Princípio da Não-Contradição: uma proposição não

pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.

O que não é proposição?

Sentenças abertas.

Uma sentença aberta não é considerada proposição,

pois não é possível julgá-la como verdadeira nem

como falsa. Considere a sentença:

Ele marcou mais de mil gols.

É impossível dizer se essa sentença é verdadeira ou

falsa sem saber quem é a variável "Ele''

Também não são preposições.

Sentenças exclamativas!

Seja feliz!

Sentenças interrogativas

Que é isso?

Sentenças auto-referentes

porque essa se refere ao seu próprio valor verdade,

exemplo: está sentença é falsa.

Exemplos.

A terra é maior que a lua

Esta é sentença tem valor lógico verdadeiro, portanto

é uma proposição

Maria é bonita.

Esta sentença tem valor lógico que pode ser

verdadeiro ou falso portanto temos uma proposição.

Exercitando.

Reconheça as proposições abaixo:

Renata é linda.

Pele fez 10 gols pela seleção brasileira.

√3 + 4 = 7.

Feliz ano novo

Flamengo é um time de futebol

Seja feita a vontade de Deus.

Questão cespe.

Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.

“A frase dentro destas aspas é uma mentira.”

A expressão X + Y é positiva.

O bb é o melhor banco do país

Dunga jogou pela seleção brasileira.

O que é isto?

Trabalhando com proposições

Tomamos como base a seguinte proposição composta.

Te darei uma bola e um carrinho.

Possibilidades.

Dar a bola e o carrinho

Dar a bola e não dar o carrinho

Não dar a bola e dar o carrinho

E não dar nenhum dos dois.

Calculando as possibilidades.

Fórmula:

2n = numero de possibilidades

Onde n é o numero de proposições.

No exemplo anterior temos duas proposições

por isso 4 possibilidades.

Montando a tabela verdade.

Se temos duas proposições sabemos que temos 4

possibilidades, se 3 temos 8.

V V

V F

F V

F F

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Analisando os conectivos lógicos.

Primeiro conectivo e símbolo ^

Regra

A sentença é verdadeira quando todas as proposições

forem verdadeiras.

Ex: uma pai promete ao seu filho; te darei uma bola e

um carrinho.

Analisando.

1. Notamos o numero de proposições

2. Fazemos a tabela verdade.

3. Damos a sentença segundo a regra do

conectivo.

4. Chamamos de A= dar a bola B= dar o carrinho

A B A ^ B

V V V

V F F

F V F

F F F

Conectivo ou exclusivo.

Ou.... Ou..... Símbolo “v”

REGRA; a sentença é verdadeira quando as

proposições tiverem valores lógicos diferentes.

Tomemos como exemplo ainda a frase; um pai

promete ao seu filho ou te darei uma bola ou uma

carrinho.

Chamemos da A= dar a bola B= dar o carrinho.

Analisando.

1. Notamos o numero de proposições

2. Fazemos a tabela verdade.

3. Damos a sentença segundo a regra do conectivo.

A B A “V” B

V V F

V F V

F V V

F F F

Conectivo ou

......Ou..... Símbolo v

REGRA; a sentença é verdadeira quando pelo menos

uma proposição for verdadeira.

Tomemos como exemplo ainda a frase; um pai

promete ao seu filho te darei uma bola ou uma

carrinho.

Chamemos da A= dar a bola B= dar o carrinho.

Analisando.

1. Notamos o numero de proposições

2. Fazemos a tabela verdade.

3. Damos a sentença segundo a regra do conectivo.

A B A v B

V V V

V F V

F V V

F F F

Exercitando.

De as sentenças das seguintes equações

lógicas abaixo.

1. (A v B) ^ ( A ^ B)

2. (A v B) “v” ( A ^ B)

3. (A ^ B) ^ ( A “v” B)

RESOLUÇÃO 1.

A B A v B A ^ B (A v B) ^ ( A ^ B)

V V V V V

V F V F F

F V V F F

F F F F F

RESOLUÇÃO 2.

A B A v B A ^ B (A v B) “v” ( A ^ B)

V V V V F

V F V F V

F V V F V

F F F F F

RESOLUÇÃO 3.

A B A ^ B A “v” B (A ̂ B) ^ ( A “v” B)

V V V F F

V F F V F

F V F V F

F F F F F

Negação de uma proposição.

Símbolo ~ ou ⌐

Seja a proposição A

Se A = V então ~A = F

Se A = F então ~A = V

Exemplos.

Maria é bonita.

Negação = maria não é bonita.

João não é médico.

Negação = joão é médico.

(CESPE) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os

símbolos ¬, ∧, ∨ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e

significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada

proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou

falso (F), mas nunca ambos.

Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.

1) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição

R v (¬ T) é falsa

2)Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a

proposição (P∧R)”v”(¬Q) é verdadeira.

Se a proposição T é verdadeira e a proposição

R é falsa, então a proposiçãoR v (¬ T) é falsa

RESOLUÇÃO

T= V R = F

Daí temos F v ~V F v F = F

CORRETA A QUESTÃO

2)Se as proposições P e Q são verdadeiras e a

proposição R é falsa, então a proposição

(P∧R)”v”(¬Q) é verdadeira.

RESOLUÇÃO

Substituindo os valores temos;

( V ^ F ) “v” ~V ( F ) “v” F F

QUESTÃO ERRADA.

EXERCICIOS CESPE.

23. resolução.~(AvB)v(AvB)

Temos que independente isso quer dizer que são todas as

possibilidades.

Daí temos a tabela verdade.

QUESTÃO CORRETA.

A B AvB ~(AvB) .~(AvB)v(AvB)

V V V F V

V F V F V

F V V F V

F F F V V

24. resolução.

Seja A= todos os beija-flores...

Seja B= algum beija-flor....

Negação de todos = algum

Negação de nenhum = algum

Negação de algum = todos ou nenhum.

Então temos se A=F temos B= ~A daí B= V

Correta a questão.

25. resolução

~AvB= V e sendo A=F

Sabemos que conectivo ou a sentença é

verdadeira quando ao menos uma proposição

for verdadeira daí temos.

Fv”B”=F obrigatoriamente B tem que ser falso.

Questão errada.

Conectivo condicional. Símbolo

Módulo clássico de se ver a forma condicional.

Se.... Então....

Exemplo;

Se nasci em Petrópolis então sou fluminense.

Tabela verdade. A= nascer em pet... B= ser flu...

A B A B

V V V

V F F

F V V

F F V

REGRA

A sentença será falsa quando a primeira

proposição for verdadeira e a segunda falsa.

a proposição condicional: “Se chove, então faz frio” poderá também ser dita das

seguintes maneiras:

Se chove, faz frio.

Faz frio, se chove.

Quando chove, faz frio.

Chover implica fazer frio.

Chover é condição suficiente para fazer frio.

Fazer frio é condição necessária para chover.

Chove somente se faz frio.

Toda vez que chove, faz frio.

Questão 1

(Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P:

P: “A ou B”

Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:

A: “Carlos é dentista”

B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”.

Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:

a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.

b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.

c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto.

d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.

e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.

Questão 2

Julgue a questão abaixo.

É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de

proposições seguintes:

Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José

será aprovado no concurso.

Maria é alta.

Portanto José será aprovado no concurso.

Questão 3

Julgue a questão abaixo.

É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência

de proposições seguintes:

Se Célia tiver um bom currículo, então ela

conseguirá um emprego.

Ela conseguiu um emprego.

Portanto, Célia tem um bom currículo.

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 4

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 5

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 6

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 7

Julgue as questões abaixo

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 8

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 9

Um pai diz ao filho: Ser aprovado é condição suficiente para você ganhar um presente. A promessa do pai só será falsa se:

a) Sendo aprovado e ganhando o presente

b) Não sendo aprovado, mais ganhara o presente.

c) Não sendo aprovado e não ganhando o presente

d) Sendo aprovado e não ganhando o presente

e) Nenhuma das opções acima

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 10

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 11

(ESAF) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai

ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul

briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo.

a. Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.

b. Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.

c. Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.

d. Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.

e. Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.

RACIOCÍNIO LÓGICO

Conectivo bi condicional.

Símbolo

Forma clássica de ocorrer.

.... Se somente se....

Regra a sentença é verdadeira quando as proposições tiverem

valores lógicos iguais e falsa quando são diferentes.

RACIOCÍNIO LÓGICO

São também equivalentes à bicondicional "p se e somente se q" as

seguintes

expressões:

A se e só se B.

Se A então B e se B então A.

A somente se B e B somente se A.

A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para A.

B é condição necessária para A e A é condição necessária para B.

Todo A é B e todo B é A.

Todo A é B e reciprocamente.

RACIOCÍNIO LÓGICO

Outras formas de aparecer a bicondicional.

A é condição suficiente e necessária para B

A é condição necessária e suficiente para B

RACIOCÍNIO LÓGICO

Revisão geral da lógica sentencial.

Questão 1

a)Iara não fala italiano e Débora não fala dinarmaquês.

b)Ching não fala chinês e Débora fala dinarmaquês.

c) Francisco não fala Frances e Elton fala espanhol.

d) Ana não fala alemão e Lara fala italiano

e) Nenhuma alternativa esta correta

RACIOCÍNIO LÓGICO

A= Lara não fala italiano

B= Ana fala alemão

C= ching fala ingles

D= Débora fala dinarmarquês

E= Elton fala espanhol

F= Francisco não fala Frances.

Equacionando. A B | ~A C “v” D | D E | E ~F

Sabe-se que F=v e ~C=v

Resolução feita em aula.

Resposta letra A

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 2

Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul

mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há

um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta

sala. Logo:

A Nestor e Júlia disseram a verdade

B Nestor e Lauro mentiram

C Raul e Lauro mentiram

D Raul mentiu ou Lauro disse a verdade

E Raul e Júlia mentiram

RACIOCÍNIO LÓGICO

Seja

A= nestor diz a verdade ( f )

B= julia mente (f ou v)

C= raul mente (f)

D= lauro diz a verdade (f)

E= existe um leão feroz (f)

Sabe-se que ~E=V equacionando temos.

A B ^ C | C D | D E

Resolução feita em sala. Resposta letra B

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 3

RACIOCÍNIO LÓGICO

Seja

A= a=b+p (v)

B= a= z+r (v )

C= a= w-r (v)

D= a=0 (f)

E= a+u=5 (f)

Sabe-se que ~E=V equacionando temos.

A B | B C | A v D | D E

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 4

A equação proposicional ( A B ) ( ~A B ) tem:

A) nenhum valor verdade

B) 1 valor verdade

C) 2 valores verdade

D) 3 valores verdade

E) 4 valores verdade

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 5

Qual o número de linhas da tabela–verdade das seguintes

fórmulas ?

(X ^ (W (( P v Q) v (S T))

A) 8

B) 16

C) 32

D) 64

E) 128

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 6

Interprete a letra sentencial C como ‘Está chovendo.’ e a letra sentencial ‘N’ como ‘Está

nevando.’ Complete a tabela ao lado e escolha a opção

1 Não está chovendo. ( ) (C ^ ~N )

2 Está chovendo ou nevando. ( ) (~C ^ ~N)

3 Não está chovendo e não está nevando. ( ) ~C

4 Está chovendo e nevando. ( ) ~(C ^ N)

5 Está chovendo, mas não nevando. ( ) (C v N)

6 Não é verdade que está chovendo e nevando. ( ) (C ^ N)

A) 634215

B)142365

C)621345

D) 641235

E) 531624

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Questão 7 julgue como certo ou errada

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 8 julgue como certa ou errada

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 9

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 10

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Diagramas lógicos.

O uso de diagramas é feito para resoluções do tipo em que

apareçam palavras lógicas do tipo; todos, alguns e nenhum.

A idéia básica para resolução das questões é o conceito básico

de lógica em que diz. Que uma coisa possível não é uma coisa

verdadeira, pois uma coisa para ser verdadeira deve ser

verdadeira em todos os casos.

Vamos a um exemplo para podemos entender melhor isso.

RACIOCÍNIO LÓGICO

RACIOCÍNIO LÓGICO

Exercitando.

Questão 1

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 2

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Questão 3

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Questão 4

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Questão 5

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 6

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 7

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 8

RACIOCÍNIO LÓGICO

Negação de diagramas lógicos.

Negação de todos é alguns

Negação de nenhum é alguns

Negação de alguns é nenhum ou todos.

RACIOCÍNIO LÓGICO

Exercitando.

Dizer que não é verdade que, todos os artistas são felizes e

alguns professores são ricos é o mesmo que dizer que;

a) Todos os artistas não são felizes e alguns professores são

ricos.

b)Todos os artistas não são felizes e alguns professores não são

ricos.

c) algum artista não é feliz ou nenhum professor é rico

d) Alguns artistas não são felizes e nenhum professor é rico.

e) Nenhum das anteriores esta correta.

RACIOCÍNIO LÓGICO

Exercitando.

A afirmação; não é verdade que se nenhum pobre é feliz então

algum rico é infeliz. É logicamente equivalente a;

a) Algum rico é feliz e algum pobre é infeliz

b) Algum pobre é feliz e nenhum rico é infeliz.

c) Todos os pobres são felizes ou algum rico é infeliz

d) Nenhum pobre é feliz se somente se todos os ricos são

infelizes

e) Nenhuma das alternativas anteriores.

RACIOCÍNIO LÓGICO

Análise combinatória ou principio fundamental da contagem.

Toda vez que houver a necessidade de se contar, quantificar,

combinar... Usamos as técnicas de análise combinatória que

consiste em utilizar uma das três técnicas. PERMUTAÇÃO,

ARRANJO ou COMBINAÇÃO.

RACIOCÍNIO LÓGICO

Fatorial.

n! = n (n-1) (n-2) (n-3) (n-4).... Ate que a subtração por n seja igual

á 1.

4! = 4x3x2x1= 24

5! = 5 x 4! = 5 x 24 = 120

8! \ 4! = ?

9! \ 6! x 2! = ?

12! \ 8! X 4! = ?

RACIOCÍNIO LÓGICO

PEMUTAÇÃO.

Só usamos a permutação quando podemos repetir

elementos do problema.

Usamos o seguinte esquema.

Pos x pos x pos x pos........

Ex; quantas senhas diferentes com quatro dígitos

podem ser formadas ?

Temos; 10 x 10 x 10 x 10 = 10000

RACIOCÍNIO LÓGICO

ARRANJO.

se em um problema não podemos repetir elementos vemos se a ordem desses

elementos é importante para a solução, se for temos um problema de

ARRANJO.

formula. A n,p = n! \ (n-p)!

Ex; deseja-se formar uma comissão composta por 3 pessoas sendo um

presidente, um secretário e um vice-presidente. Escolhe-se ao acaso essas

pessoas de um grupo de 6 pessoas quantas possibilidades diferentes

temos para montar essas comissões?

Temos n= 6 p = 3 A 6,3 = 6! \ ( 6 – 3 )! 6x5x4x3!\3! = 6x5x4=120

RACIOCÍNIO LÓGICO

Combinação

ao testar em um problema se o mesmo é uma permutação ou um arranjo, e

ao notar que não é podemos ver que a ordem dos elementos se torna

importante e temos um problema de combinação.

Fórmula. C n,p = n! \ p! ( n-p )!

Ex; quantas saladas de frutas podem ser feitas utilizando 4 frutas

escolhidas de uma sexta com 7 frutas?

n= 7 p = 4 temos; C 7,4 = 7! \ 4! ( 7- 4 )! 7! \ 4! x 3!

7x6x5x4 \ 3x2x1 = 35

RACIOCÍNIO LÓGICO

EXERCITANDO.

Questão 1

Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem

usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do

Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade total de

nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada

inserção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes

distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de

nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 2

Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12

funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada

agência receba 4 funcionários.

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 3

Se 6 candidatos são aprovados em um concurso público e há 4

setores distintos onde eles podem ser lotados, então há, no

máximo, 24 maneiras de se realizarem tais lotações.

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 4

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 5

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 6

RACIOCÍNIO LÓGICO

QUESTÃO 7

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 8

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 9

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 10

O jogo da Mega-Sena consiste no sorteio de seis dezenas de um conjunto

de sessenta possíveis (01, 02, 03, ..., 59, 60). A aposta mínima é feita

escolhendo-se seis dessas dezenas. José pensou em oito dezenas

diferentes, e resolveu fazer o maior número de apostas mínimas,

combinando-as oito dezenas escolhidas de todas as maneiras possíveis.

Quantas apostas fez José?

(A) 28

(B) 48

(C) 56

(D) 98

(E) 102

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 11

RACIOCÍNIO LÓGICO EXERCICIOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA.

QUESTÃO 1

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 2

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 3

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 4

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 7

Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve

resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10

questões?

a) 3003

b) 2002

c) 4000

d) 4084

e) 2048

RACIOCÍNIO LÓGICO

Probabilidade.

Em resumo podemos definir probabilidade como sendo ;

Número de casos possíveis

casos prováveis.

ou

evento .

Espaço amostral.

RACIOCÍNIO LÓGICO

Exemplo:

Qual a probabilidade de jogarmos um dado ao acaso e termos

como resultado o número 4.

Qual a probabilidade de em um baralho com 52 cartas tirarmos

uma ao acaso e a mesma ser do nipe de copas.

RACIOCÍNIO LÓGICO

: A probabilidade do evento impossível é nula.

Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto

vazio (Ø), teremos:

p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0

Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas,

a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento

impossível, neste caso) é nula.

RACIOCÍNIO LÓGICO

A probabilidade do evento certo é igual a unidade.

Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1

Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a

probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo,

neste caso) é igual a 1.

RACIOCÍNIO LÓGICO

A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar é

igual a unidade.

Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A' = U.

n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U).

Dividindo ambos os membros por n(U), vem:

n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:

p(A) + p(A') = 1

Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois facilita a solução

de muitos problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, é

mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar e, pela

propriedade acima, fica fácil determinar a probabilidade do evento.

RACIOCÍNIO LÓGICO

ex; de probabilidade complementar.

Ao lançarmos 5 moedas ao acaso qual a probabilidade de que

pelo menos uma moeda tenha na sua face voltada para cima a

cara.

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 1

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 3

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Questão 4

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Questão 5

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Questão 6

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Questão 7

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Questão 8

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Questão 9

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Questão 10

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Questão 11

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Questão 12

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Questão 13

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 14

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Questão 15

Lança-se, simultaneamente, uma moeda e um dado. A

probabilidade de obtermos cara e um número par é

a) 1 / 12.

b) 2 / 12.

c) 3 / 12.

d) 4 / 12.

e) 6 / 12.