Lógica Matemática para concursos – Dudu cearense

AULA 01

CONCEITOS INICIAIS

Para iniciarmos, tomemos uma questão do MPOG-2003.

Ana é artista ou Carlos é carioca. Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito. Se Carlos é carioca, então Breno é bonito. Ora, Jorge é juiz. Logo: a) Jorge é juiz e Breno é bonito b) Carlos é carioca ou Breno é bonito c) Breno é bonito e Ana é artista d) Ana não é artista e Carlos é carioca e) Ana é artista e Carlos não é carioca

Toda questão de lógica matemática estará sempre em linguaguem corrente, como vemos nesta. Quando dizemos "Ana é artista" ou "Carlos é carioca" estaremos sempre fazendo uma leitura em linguagem corrente.

Mas, para ser mais racional e objetivo ao tratarmos questões de lógica, é preciso transformar essa linguagem para uma outra, uma que indique apenas símbolos no lugar de expressões, a qual denominamos linguagem simbólica.

Primeiramente, para se resolver qualquer questão de prova de concurso, fundamental se faz conhecer um conceito extremamente importante dentro da lógica matemática. Este conceito a que me refiro é o de preposição. Mas o que é isso? Quando se diz que “Ana é artista”, podemos afirmar tranquilamente que se trata de uma preposição, pois tem-se um conjunto de palavras que exprimem um pensamento de sentido completo. Assim, entendemos claramente o que diz a frase “Ana é artista”.

Podemos, então, representar as proposições da nossa questão através de letras:

p: Ana é artista

q: Carlos é carioca

r: Jorge é juiz

t: Breno é bonito

Cada uma das letras “p”, “q”, “r” e “s” representam uma afirmação (proposição) sobre alguém, e que poderiam ser sobre alguma coisa, conforme o caso. Entretanto, poderíamos atribuir a “p” a afirmação “Ana não é artista”. Ou ainda dizer que “q” é “Carlos não é carioca”, sem menores restrições, como abaixo:

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p: Ana não é artista

q: Carlos não é carioca

r: Jorge é juiz

t: Breno é bonito

O que nos interessa é saber o que está sendo dito com a representação simbólica. Não importa se a proposição afirma ou não alguma coisa. Ou melhor, não importa se “q” quer dizer “Ana é artista” ou “Ana não é artista”. O que é imprescindível é atribuição inicial dada à respectiva “letra”.

Essas letras (“p”, “q”, “r” e “t”) representam o que chamamos de proposições simples. Assim, a afirmação “Ana é artista” é uma preposição simples, designada por “p”. A proposição simples é uma espécie de célula da lógica matemática, a unidade básica, a unidade de medida de uma afirmação qualquer. Ao se dizer, por exemplo, que “Carlos é carioca”, estamos a afirmar uma única coisa a respeito de uma única pessoa. Não poderíamos acrescentar uma outra característica além da qualidade de carioca a Carlos. Seria incorreto atribuir à “q” a proposição “Carlos é carioca e advogado”. Estaríamos dando duas características a uma única pessoa. O correto seria criar mais uma letra, para representar a outra característica de Carlos, tipo:

q: Carlos é carioca

s: Carlos é advogado

Muito embora o conceito de proposições simples sejam sobremaneira relevantes, as questões de concursos são elaboradas em cima de várias proposições simples, onde não uma, mas duas ou mais preposições simples são dadas.

No enunciado da questão em comento, tem-se “Ana é artista ou Carlos é carioca”. Aqui, duas proposicões simples estão sendo ditas: uma “Ana é artista”, a outra “Carlos é carioca”. Quando estamos a dizer que “Ana é artista ou Carlos é carioca”, relacionando uma proposição simples com outra, deparamo-nos com uma preposição mais ampla: a preposição composta.

Uma proposição composta é o conjunto de duas ou mais proposições simples. Pelo sua própria definição, uma proposição composta pode possuir, nela mesma, uma ou várias proposições compostas. Isso veremos mais adiante!

Observamos que a nossa questão vale-se de 3 proposições compostas (PC), logo abaixo:

PC1: Ana é artista ou Carlos é carioca

PC2: Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito.

PC3: Se Carlos é carioca, então Breno é bonito.

Pois bem, como deveremos proceder então? E eu respondo: conhecendo as Operações Lógicas Fundamentais. Tais operações são realizadas para se fazer inferências sobre um

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conjunto de proposições. Por isso, devemos ir nos familiarizando com os operadores lógicos principais. Eles substituem os conectivos (essas palavras usadas para interligar as proposições) “não”, “e”, “ou”, “se”, “então”, “se e somente se” etc, conectivos usados em qualquer questão de lógica.

Os operadores estão logo abaixo, dispostos segundo a ordem de precedência, do operador mais fraco (~) para o mais forte (→):

1) ~: negação

2) ^: conjunção (em bom português quer dizer “e”)

3) v: disjunção (chamamos pela palavra “ou”)

4) →: condicional (lemos normalmente se... então...)

5) ↔: bicondicional (lê-se normalmente ...se e somente se...)

6) v: disjunção exclusiva (sua leitura é ou...ou...)

Para entender esses operadores, vamos escrever (em negrito) na linguagem simbólica as 3 PC’s dadas, lembrando das letras de cada proposição dada lá início da aula:

PC1: p v q (Ana é artista ou Carlos é carioca)

PC2: r → ~t (Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito)

PC3: q → t (Se Carlos é carioca, então Breno é bonito)

Aí está a representação simbólica do enunciado da questão!

Os operadores lógicos “~”, “^”, “v” e “→” são os mais usados em questões de concursos. Já os operadores “v” e “↔” aparecem com menos frequência, mas podem perfeitamente ser cobrados, como realmente vem acontecendo, sem maiores restrições.

Destarte, para resolver nossa questão, precisamos conhecer os valores lógicos (Verdade ou Falsidade) das operações entre duas proposições simples, tema que trarei em próxima oportunidade.

Valeu turma!

Dudu cearense.

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Exercícios

1) Traduza para a linguagem simbólica os enunciados a, b, c, d e e da questão do MPOG.

2) Dadas as preposições p: João é pobre e q: Laura fala inglês, traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:

a) ~p → q

b) ~~p

c) ~p ^ q → p

d) p v ~q

e) q → p

f) p v q

g) p → ~q

3) Sejam as proposições p: Carlos é rico e q: Carlos é alto e r: Carlos fala alemão. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Carlos é rico, mas fala alemão

b) Carlos é pobre ou baixo

c) Carlos fala alemão e é alto

d) Carlos é baixo ou rico, mas é alemão

e) Carlos é rico ou é pobre e fala alemão

f) Carlos é rico ou alto, mas não fala alemão

g) Carlos é rico e alto, ou não fala alemão

h) É falso que Carlos é rico mas que não fala alemão

i) É falso que Carlos é alto ou fala alemão mas que não é rico