apostila de limite fsa

ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Cálculo

Prof. Sérgio Santos

ASSOCIAÇÃO TERESINENSE DE ENSINO – ATE. FACULDADE SANTO AGOSTINHO – FSA. NÚCLEO DE APOIO PEDAGÓGICO – NUAPE. COORDENAÇÃO DE CURSO ENGENHARIA ELÉTRICA.

APOSTILA DE CÁLCULO I

LIMITES

TERESINA, FEVEREIRO DE 2012


Prof. Sérgio Santos Página 2 de 24



LIMITES 01. INTRODUÇÃO

1.1. Seja a função g definida por g(x) =

a) Calcule i) g(0) ii) g( 2) iii) g (5) b) Complete a tabela abaixo:

x g(x)=y x g(x)=y

2,9 3,1

2,99 3,01

2,999 3,001

2,9999 3,0001

c) o que corresponde os valores de x, em relação a 3,na tabela da esquerda? d) o que corresponde os valores de x, em relação a 3,na tabela da direita? e) esboce o gráfico da função g. f) analisando a tabela e o gráfico, qual o valor de g(x) = y quando os valores de x se aproxima de 3?

1.2. Seja a função f definida por f(x) =

para x e x ≠ 2.

a) Calcule: i) f(1) ii) f(3) iii) f(4)



b) Complete a tabela abaixo:

x f(x)= y x f(x)= y

1,9 2,1

1,99 2,01

1,999 2,001

1,9999 2,0001

c) o que corresponde os valores de x, em relação a 2,na tabela da esquerda? d) o que corresponde os valores de x, em relação a 2,na tabela da direita? e) esboce o gráfico da função f. f) analisando a tabela e o gráfico, qual o valor de f(x)= y quando os valores de x se aproxima de 2? 02. DEFINIÇÃO: Dizemos que o limite da função de f(x), quando x tende a “a”, é o número L, se, e somente se, os números reais da imagem f(x) permanecerem próximos de L, para os infinitos valores de x próximos de “a”. Indica-se: 2.1. Como se lê a representação acima? 2.2. No exemplo 1.1, o limite da função g(x) é igual a ___________, quando x tende a 3, porque para infinitos valores de x próximos de 3 (tanto pela esquerda como pela direita) os valores de y aproximam de 1. A representação deste limite é: 2.3. No exemplo 1.2, o limite da função h(x) é igual a ___________, quando x tende................ A representação deste limite é:............. 2.4. Complete a tabela e use o resultado para fazer uma estimativa do limite: a)



b) c) 2.5. Use o gráfico para encontrar o limite. Se não existir explique o por quê? a) b) c)



d) 2.6. Use o gráfico da função f para verificar se existe o valor da quantidade dada. Se existir, encontre-o, Se não, explique o por quê? a) b) 2.7. Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça as seguintes condições (há várias respostas): a) 2.8. Esboce o gráfico f, a seguir, identifique o valor do “c” para o qual existe a)



LIMITE: LIMITES LATERAIS 01. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1.1. Seja o gráfico da função g. a) para que valor a função g se aproxima quando x se aproxima de “a”? b) qual o limite da função g quando x tende a “a”? 1.2. Seja o gráfico da função p: a) para que valor a função p se aproxima quando x se aproxima de “3”? b) qual o limite da função p quando x se aproxima de 3? 02. LIMITES LATERAIS Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a “a” pela esquerda é igual a L, se, à medida que se x se aproxima de “a” pela esquerda (isto é, por valores inferiores de “a”), os valores de f(x) se aproxima de L. Simbolicamente, escrevemos: Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a “a” pela direita é igual a L, se, à medida que se x se aproxima de “a” pela direita (isto é, por valores superiores de “a”), os valores de f(x) se aproxima de L. Simbolicamente, escrevemos: 2.1. No exercício 1.2, calcule o limite lateral pela esquerda e direita de 3. 2.2. Seja o gráfico da função f, determine o limite lateral de f quando x tende a “b”.



2.3. Seja a função g definida por g(x) =

.

a) esboce o gráfico da função g b) determine o limite lateral esquerdo e direito quando x tende a 3. 03. EXISTÊNCIA DE UM LIMITE O limite de uma dada função existe, em um dado ponto, quando existirem os limites laterais (no dado ponto) pela direita e pela esquerda, e os mesmos forem iguais. 3.1. Seja o gráfico da função f, verifique se existe limite quando x tende a 3.

3.2. Esboce o gráfico da função m definida por m (x) =

, para x ≠ 9 e verifique se existe limite quando x tende a

9.



04. LEIS DO LIMITE Das cinco leis apresentadas acima, são derivadas as leis seguintes:

4.1. Calcule, utilizando as Leis do Limite, os limites abaixo: a)

b) c)

d) e)



f) g) h) i)

j)

k)

l)

m)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

4.2. Suponha que e calcule:

a)

b)

c)

4.3. Calcule o limite supondo que a) b)

c)

d)

4.3. Supondo que

= 5. Calcule o valor de .

4.4. A lei do quociente pode ser aplicada no cálculo de

? Por quê?



05. LIMITES QUANDO O NUMERADOR E O DENOMINADOR TENDEM A ZERO Quando o numerador e o denominador de uma função tendem a zero, no cálculo de um limite para determinado valor de x, devemos fatorar e simplificar a(s) função (ões) antes de efetuarmos a substituição. Produtos notáveis: a) Quadrado da soma: (a + b)

2 = a

2 + 2ab + b

2

b) Quadrado da diferença: (a - b)2 = a

2 - 2ab + b

2

c) Produto da soma pela diferença: (a + b)(a – b) = a2 – b

2

d) Cubo da soma: (a + b)3 = a

3 + 3a

2b + 3ab

2 + b

3

e) Cubo da diferença: (a - b)3 = a

3 - 3a

2b + 3ab

2 - b

3

Fatorações: a) ax

2 +bx + c = a(x – x’)(x – x’’)

b) a3 + b

3 = (a + b) (a

2 – ab + b

2)

c) a3 – b

3 = ( a – b)(a

2 + ab – b

2)

Conjugado de radicais:

a) Conjugado de + é - , pois ( + ) ( - ) = a – b

b) Conjugado de

-

é

+

+

5.1. Calcule os limites abaixo:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)



LIMITE – CONTINUIDADE 01. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1.1. Complete a tabela e use o resultado para fazer uma estimativa do limite: a) b)

1.2. Use o gráfico para encontrar o limite. Se não existir explique o por quê?

a) b)



1.3. Um fio é estendido horizontalmente, como a figura abaixo. Um experimento é executado no qual diferentes pesos são pendurados no centro do fio e os deslocamento verticais correspondentes são medidos. Quando o peso é excessivo, o fio se rompe. Com base nos dados da tabela a seguir, qual é o maior deslocamento possível deste tipo, para se romper?

Peso – W- (kg) 15 16 17 18 17,5 17,9 17,99

Deslocamento – y – (cm) 1,7 1,75 1,78 arrebenta 1,79 1,795 arrebenta

1.4. Simplifique as expressões abaixo:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

1.5. Racionalize os denominadores

a)

b)

c)

d)

1.6. Sabendo que f(x) = 5 – x e g(x) = x

3. Encontre o limite de:

a) b) c) d) e)



1.7. Calcule o limite pedido ou informe que o limite não existe:

a)

b)

c)

d))

02. LIMITE E CONTINUIDADE Na linguagem corrente, a palavra “contínua” significa não ter quebras ou interrupções. No cálculo, a continuidade é usada para descrever as funções cujos gráficos não tem quebras. 2.1. DEFINIÇÃO: Suponha que f(x) esteja definida num intervalo aberto contendo x = c. Então f é contínua em x = c se: i) existe f(c); ii) existe ; iii) . 2.2. EXEMPLOS

2.2.1 Seja a função racional f (x) =

, com x ≠ 2.

a) Calcule f (3).

b) Calcule

c) Verifique se f(3) =

d) A função f é contínua no ponto 3?

2.2.2. Seja a função h definida por h(x) =

.

a) Calcule h(1)

b) Calcule

c) Calcule



d) Verifique se a função h é contínua em x = 1 2.2.3. Verifique se a função dada é contínua para o valor especificado de x. a) f(x) = 5x

2 – 6x + 1 em x = 2

b) g(x) =

em x =1.

c) h(x) =

em x = 2.

d) m(x)

em x =3.

2.2.4. O que a ser dito sobre f(3) se f for contínua e se =

?

2.2.5. Determine m pertence ao conjunto dos reais de modo que a função f (x) =

2.2.6. Seja “a” pertencente ao conjunto dos reais e f a função definida nos reais e f (x) =

Calcule “a” para que a função f seja contínua em x = 3.



LIMITE – LIMITES NO INFINITO (∞) 01 – EXERCÍCIO DE REVISÃO 1.1. Sela a função f definida por:

f(x) =

Calcular o 1.2. Seja a função g definida por

g(x) =

Calcule o 1.3. Calcule os limites de:

a)

b)

Nos exercícios 1.4 e 1.5 é dada a função h. Calcule os limites indicados, se existirem; se o(s) limite(s) não existir (em) especificar a razão.

1.4. h(x) =

a) b) c)

1.5 h(x) =

a) b) c) 1.6. Dada a função f definida por:

f(x) =



Determine a R para que exista . Nos exercícios 1.7 e 1.8, verificar se a função f é contínua no ponto especificado

1.7. f(x) =

no ponto x = 0

1.8. f(x) =

no ponto x = -2

1.9. Determine k, de modo que a função f(x) =

seja contínua para x = 2.

02. LIMITES INFINITOS E LIMITES PARA X TENDO AO INFINITO O elemento infinito, que representamos por ∞. O símbolo ∞ não representa um número, portanto não se efetuam com ele as operações que realizamos com os números naturais.

2.1. Seja a função f definida por f (x) =

para x ≠ 0. Construa o gráfico.

x f(x)

0,001

0,01

0,1

1

2

2.2. Com base no gráfico construído e nas tabelas acima, dê o limite da função f definida por f(x) =

.

a) b)

x f(x)

-0,001

-0,01

-0,1

-1

-2



2.3. Seja a função g definida por g (x) =

com x ≠ 2. Esboce gráfico,

x g(x)

-1

-0,5

0

1

1,5

2.4. Com base no gráfico construído e nas tabelas acima, dê o limite da função g. a) b) 2.5. Seja a função m definida por m(x) = 3x + 1, complete corretamente as tabelas abaixo:

x m(x)

-10

-100

-5000

- ∞

2.6. Calcule os limites indicados da função m definida por m(x) = 3x +1. a) b) 2.7. Dada a função f definida por f(x) = 3x

4 – 7x

2 – 10x + 9, calcular:

a) b) 2.8. Calcule os limites indicados:

a)

b)

x g(x)

2,5

3

3,5

4

5

x m(x)

10

100

5000

+ ∞



c)

2.9. Verifique se o

= 2.

2.10. Verifique se o

= 3.

2.10. Calcule o

2.11. A temperatura de uma reação química relaciona-se com o tempo (t) que dura a experiência segunda a lei

, com em graus Celsius e t e minutos.

a) Calcule – b) O que acontecia se a experiência durasse muito tempo?

2.12. Determine o

2.13. Calcule o

2.14. Calcule o

2.15. Encontre o

2.16. Um determinado tipo de árvore cresce de acordo coma função h (t) =

em que h representa a altura da

árvore, em metros, e t o tempo, em anos, desde que foi plantada. a) Qual a altura da árvore quando foi plantada? b) Quanto tempo leva para a árvore para atingir 22 metros de altura? c) Qual a altura máxima que essa árvore pode atingir?



LIMITE – EXPONENCIAL E TRIGONOMÉTRICO 01. INTRODUÇÃO 1.1. Esboce o gráfico das seguintes funções:

a) f(x) =

b) g(x) = 2

x

1.2. Com base nos gráficos, determine:

a)

b)

c)

d)

1.3. Seja a função f definida f(x) = ax, com 0 < x < 1. Determine:

a)

b)



1.4. Seja a função f definida f(x) = ax, com x >1. Determine:

a)

b)

1.5. Complete corretamente a tabela abaixo:

x f(x) =

x

-100

-1000

-10000

- ∞

100

1000

10000

+∞

1.6. Com base nos dados acima, calcule o


x g(x) = 1/x

-0,1

-0,01

-0,001

-0,0001

-0,00001

0,1

0,01

0,001

0,0001

0,00001

1.8. Com base nos dados acima, calcule o .

1.9. Calcule os limites:

a)

b)

c)



1.10.


x h(x) =

=

-0,1

-0,01

-0,001

-0,0001

-0,00001

0,1

0,01

0,001

0,0001

0,00001

1.12. Com base na tabela acima, calcule

.

1.13. Sejam a tabela e o gráfico da f(x) =

x f(x) =

±0,1 0,998334

±0,01 0,999833

±0,001 0,999983

±0,0001 0,999998

±0,00001 0,999999

Com base nos acima calcule

.



1.14. Calcule os limites:

a)

b)

c)

d)

02. EXERCÍCIO DE REVISÃO 2.1. Use o gráfico para determinar o limite e discuta a continuidade da função. a) b) c) d)



BIBLIOGRAFIA GIOVANNI, José Ruy. Matemática Completa. São Paulo: FTD, 2005. HOFFMANN, Laurence. Cálculo. São Paulo: LTC, 2008

MALTA, I.; PESCO, S.; LOPES, H. Cálculo a uma variável: uma introdução ao cálculo; 2. Ed. São Paulo:

PUC –RIO, 2003 MEDEIROS, Sebastião. Matemática. São Paulo, Atlas, 1999.

MORETTIN, Pedro A, Cálculo. São Paulo: Saraiva, 2003 ROGAWSKI, Jon. Cálculo. Porto Alegre; Brokman, 2009.

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