apostila de exercÍcios concorrÊncia imperfeita e

APOSTILA DE EXERCÍCIOS

CONCORRÊNCIA IMPERFEITA E TEORIA DOS JOGOS

Prof. Cláudio D. Shikida

v.2016(e.1)

Prof. Claudio D. Shikida

O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais

2

Índice

Manual do Usuário (“Bula” da Apostila) ......................................................................... 3

Teoria dos Jogos.............................................................................................................. 4

Concorrência Perfeita .................................................................................................... 11

Monopólio..................................................................................................................... 12

Oligopólio, Conc. Monopolista, Modelo de Hotteling, Medidas de Concentração .......... 23

Informação Assimétrica, Agente-Principal .................................................................... 30

Outra Questões (com dicas em itálico)........................................................................... 41

Apêndice – a definição de “sunk costs” ......................................................................... 56



3

UFPel/DECON1

EXERCÍCIOS DE CONCORRÊNCIA IMPERFEITA/TEORIA DOS JOGOS

2016.I

Exercícios selecionados por Cláudio D. Shikida2

Manual do Usuário (“Bula” da Apostila)

Esta apostila contém exercícios complementares à bibliografia básica e complementar do curso

“Microeconomia III” ministrado pelo prof. Claudio D. Shikida no Decon-UFPel.

Originalmente, estes exercícios foram criados pelo professor e/ou adaptados de alguns artigos de

Concorrência Imperfeita ou de Teoria dos Jogos (disciplina lecionada pelo mesmo professor em outra

faculdade). Outros exercícios são questões de provas passadas desta cadeira, problemas inéditos ou

adaptações de questões de outros livros. Há também algumas questões de exames de seleção para mestrado

realizados pela ANPEC.

NÍVEL DE FACILIDADE

Os índices de facilidade dos exercícios são codificados da seguinte forma:

(*) - Absurdamente fácil

(**) - Muito fácil

(***) - Fácil

(****) - Não tão fácil

RESPOSTAS

A maioria dos exercícios apresenta respostas, porém essas quase sempre não são completas ou

auto-explicativas. Isto é, essa não é a forma que você deve responder as questões formuladas em um exame

de avaliação. As respostas aqui apresentadas são apenas referências . Obviamente, caso você encontre erros de qualquer espécie, agradeço a indicação.

RECOMENDAÇÕES DE USO

Antes de tentar resolver qualquer exercício o aluno deve sempre ler (e entender) por completo o

respectivo material referenciado no material didático indicado (livro-texto, notas de aula, etc). O aluno deve

sempre tentar resolver sozinho o exercício antes de consultar as respostas. Caso encontre dificuldades, deve

retornar ao material didático. O aluno só deve procurar o auxílio do(a) monitor(a) ou professor(a) quando

tiver dúvidas específicas a respeito da resolução de certos exercícios. O(A) monitor(a) ou professor(a) não

irá resolver os exercícios para você se você não tiver tentado primeiro.

OBJETIVO

O objetivo dessa apostila é auxiliar a compreensão da teoria pelo aluno através da compreensão e resolução de exercícios baseados nas aulas e no material didático. A realização de exercícios “em si” não é

o objetivo da disciplina (ou mesmo do curso como um todo). Ou seja, esses exercícios não são

padronizados, de forma que nas provas o aluno poderá encontrar questões diferentes das formuladas aqui.

DECORAR A RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS NÃO MELHORARÁ EM NADA SUA

PERFORMANCE NAS PROVAS!!

CONTRA-INDICAÇÕES

Esta apostila é contra-indicada para aquele que não lê o material antes de resolver exercícios.

1 Prezado estudante, esta versão da apostila de exercícios tem um caráter transitório, preliminar e não se encontra totalmente revista. Acrescentei alguns novos exercícios, mas não espere que esta versão seja a

mesma no próximo semestre. Possivelmente não o será. Lembre-se de que indicarei a você que exercícios

fazer. 2 Agradeço ao prof. Marcus Xavier (Ibmec Minas e Usiminas) por alguns dos exercícios da seção de

informação assimétrica e agente-principal.



4

Teoria dos Jogos

1. (*) Um famoso exemplo de psicologia social foi o assassinato de Kim Genovese, em

New York. Durante o crime, 38 vizinhos assistiram o crime sem chamar a polícia. Esta

situação é bem ilustrada pelo jogo que chamamos de “dever cívico”. O mesmo encontra-

se na forma normal abaixo.

Don-Don

Bam-Bam Ignorar ( ) Telefonar ( 1 ) Ignorar ( ) 0, 0 10, 7

Telefonar ( 1 ) 7, 10 7, 7

a) Existe(m) equilíbrio(s) em estratégia dominante? Se sim, qual(is) é (são)?

b) Pergunta similar para equilíbrios de Nash em estratégias puras e não se esqueça

de indicar qual(is) é (são).

Pergunta similar para equilíbrios de Nash em estratégias mistas e não se esqueça de

indicar qual(is) é (são)?

2. (*) O jogo abaixo ocorre entre duas firmas, é repetido infinitamente, e a estratégia do

gatilho é tal que:

, 1,..., 1

,

i j

i t tF se a a F ta

S caso contrário

A.2

A.1 Sair do cartel (S) Ficar no cartel (F)

S 1, 1 5, 0

F 0, 5 4, 4

Por definição, você sabe que r

1

1 . Existe um título, no mercado financeiro, que

paga um rendimento fixo de “r” (ou, em percentual, 100*r%) e o jogador A.1 deseja sair

do cartel (“furar o olho” de A.2). Para que valor de “r”vale a pena para A.1 (ou, o que dá

na mesma, A.2) fica indiferente para a firma permanecer no cartel ou sair?

3. (*) Verifique se o jogo abaixo possui equilíbrio de Nash.

SistemasINC Borton Antivirus

Atualiza Não atualiza

Desenvolve 2, 1 -1, -2

Não desenvolve 0, -1 1, 2

4. (*) No jogo anterior, suponha que a Sistemas Inc decide, primeiro, se desenvolve ou



5

não uma nova ferramenta em seus sistema operacional e, em seguida, a Borton Antivirus

decide se atualiza ou não o antivirus que fabrica. Encontre o equilíbrio de Nash perfeito

em subjogos e verifique se há alguma diferença com relação ao feito no exercício 5.

5. (*) Considere o jogo do “estado do bem-estar”, também conhecido como o jogo do

“bom samaritano”:

MISERÁVEL

trabalha fica à toa

Ajuda 3,2 -1,3

GOVERNO

Não ajuda -1,1 0,0

O jogo considera dois atores. Primeiro, há o governo, que deseja ajudar o pobre

desempregado que se mostra responsável e procura trabalho. Por sua vez, existe o pobre

desempregado que possui orgulho e só procura emprego sem ajuda do governo. O jogo é

conhecido como “O Dilema do Bom Samaritano”.

a) Existe equilíbrio em Estratégias Dominantes?

b) Existe equilíbrio de Nash?

c) Aleatorize o jogo e, no equilíbrio em estratégias mistas, diga qual a probabilidade do

governo ajudar o desempregado. Idem para a probabilidade do desempregado trabalhar.

6. (*) Considere um jogo do pênalti entre o goleiro e o artilheiro do time adversário.

GOLEIRO

E D

E 6,-6 3,-3

COBRADOR

D 2,-2 9,-9

As únicas estratégias possíveis para o jogador são: chutar à esquerda (E) ou chutar à

direita (D). O goleiro, por sua vez, pode pular para a direita (D) e pular para a esquerda

(E). Encontre o equilíbrio deste jogo em estratégias mistas.

7. (*) Faça a questão 11 da prova de Microeconomia da ANPEC (2016).




6


10. (*) Dois dos alunos da faculdade brigaram no corredor, destruindo mesas e cadeiras.

Foram imobilizados pela segurança e levados à direção. Considere o jogo abaixo onde os

payoffs já foram convertidos para R$ (reais):

José João

Coopera Não coopera

Coopera 1, 1 -1, (2 – x)

Não coopera (2 – x), -1 (0 – x), (0 – x)

Sabemos que se x = 0, os alunos João e José não estarão em equilíbrio cooperando. A

direção da faculdade resolve estabelecer um incentivo na forma de uma multa “x”. Para

qual valor de x pode-se induzir a cooperação de João e José? [considere que a direção não

deseja estabelecer qualquer valor para a multa, já que minimiza custos. Assim, não se

trata de um intervalo de valores, mas apenas do mínimo valor que garante a cooperação]

11. (*) Explique a estratégia do gatilho (trigger strategy) citada no estudo de jogos

repetidos.

12. (*) Suponha que, inicialmente, Bolívia e Brasil se encontram em uma situação

pacífica, dividindo os benefícios de sua parceria na produção de gás natural pela metade

(pode-se pensar nisto como percentual). Esta é a situação na qual ambos vivem sob uma

situação na qual a Bolívia (cujas estratégias são denominadas em cor vermelha3) não

expropria o Brasil4.

3 Se você imprimiu a apostila, consulte-a, novamente, em sua versão online. 4 Este exercício foi elaborado em conjunto com o prof. Ari F. Araujo Jr do Ibmec-MG.



7

Caso a Bolívia decida expropriar o Brasil, o governo deste último deve decidir se retalia

ou não retalia (em azul, na figura acima). Se não retaliar, perde tudo. Caso contrário,

enfrenta uma nova rodada com a Bolívia escolhendo entre ceder à retaliação brasileira ou

não. Se ceder, o jogo termina e volta-se à situação inicial. Caso contrário, o governo

brasileiro poderá responder com um conflito militar, no qual ambos perderão ativos

petrolíferos, ou através da diplomacia, novamente gerando uma última rodada na qual a

Bolívia cede ou não. No último caso, ela fica com todos os ativos e no caso de cessão,

ambos retornam à situação inicial.

a) Use indução retroativa e confirme o(s) equilíbrio(s) em estratégias puras encontrado(s).

b) Suponha uma pequena alteração neste jogo de forma que temos a configuração abaixo:

Uma outra forma de ver o problema seria pensar que, em caso de retaliação, há uma

desvalorização dos ativos (máquinas paradas), o que diminui a fatia que cada um leva.

Neste caso, o único jeito é ele não expropriar (estratégias dominadas pulam fora).

Pode-se fazer o Morales achando inicialmente que é uma situação injusta.



8

Use indução retroativa e confirme o(s) equilíbrio(s) em estratégias puras encontrado(s).

13. (*) Encontre o(s) equilíbrio(s) do jogo abaixo (o trecho pontilhado indica informação

incompleta) em estratégias puras.

14. (*) Considere o seguinte jogo entre o banqueiro central e o setor privado de uma

economia: no primeiro momento do jogo, o setor privado forma uma expectativa de

inflação, e e, no segundo, o banqueiro central observa esta expectativa e escolhe o nível

de inflação, . Uma vez que as escolhas sejam feitas, pode-se determinar o nível de

desemprego que prevalecerá nesta economia. A curva de Phillips é dada por:

eu u .

O payoff do banqueiro central é dado por: 2,L u u , onde u é a taxa natural de

desemprego e , 0 . O payoff do setor privado é dado por: 2

e .

O objetivo do banqueiro central é escolher a taxa de inflação que minimiza a função

perda ),( uL e o objetivo do setor privado é minimizar o desvio de suas expectativas em

relação à taxa de inflação atual.

Resolva o jogo e verifique se é correto o que disse um aluno sobre este exercício: “é

óbvio que, após resolver o jogo, o equilíbrio se dá fora do pleno emprego”. Cheque esta

afirmação com o que encontrou na resolução do jogo.



9

15. (*)1. Considere o jogo abaixo entre o jogador Deus e o jogador “Adão e Eva”, criado

por Steven J. Brams em Biblical Games: Game theory and the Hebrew Bible, MIT Press.

a) Resolva o jogo abaixo e verifique se existe algum (ou mais de um) equilíbrio de Nash

em estratégias puras e em estratégias mistas. Note, no último caso, que já especifiquei

os símbolos para as probabilidades5.

Adão e Eva

Deus Adere às restrições

divinas

(δ)

Não aderem às

restrições divinas

(1-δ)

Impõe restrições (β) (3,2) (2,3)

Não impõe

restrições (1 – β)

(4,1) (1,4)

Obs:

i) 4 é preferível a 3 que é preferível a 2 que é preferível a 1.

ii) (x,y) = (Deus, Adão e Eva)

b) Construa o jogo entre Deus e Adão e Eva na forma extensiva considerando que Deus

age primeiro e a informação é perfeita. Verifique se existe algum (ou mais de um)

equilíbrio de Nash perfeito em subjogos.

16. (*) Considere o seguinte jogo na forma normal:

5 É possível resolver a estratégia mista pelo método da maximização (mais intuitivo para quem está

acostumado com os problemas típicos da microeconomia, ou pelo método da igualação dos payoffs (payoff-

equating method). Contudo, no jogo acima, há um problema que vários(as) leitores(as) já se defrontaram:

uma das probabilidades resulta em um valor maior do que um! Quanto a isto, diz-nos Rasmusen (2007):

When a mixing probability is calculated to be greater than one or less than zero, the implication is either

that the modeller has made na arithmetic mistake or, as in this case, that he is wrong in thinking that the

game has a mixed-strategy equilibrium. (…).The absurdity of probabilities greater than one or less than zero is a valuable aid to the fallible modeler because such results show that he is wrong about the

qualitative nature of the equilibrium – it is pure, not mixed. Or, if the modeller is not sure whether the

equilibrium is mixed or not, he can use this approach to prove that the equilibrium is not in mixed

strategies”. [Rasmusen (2007), p.75] Desta forma, agradeço aos alunos que me chamaram a atenção para

este problema e, para não perder a piada, deixemos a Deus o título de o grande modelador.



10

a) Existe estratégia dominante para o jogador 1? Se existe, qual é? Explique sua

resposta.

b) Existe equilíbrio de Nash neste jogo? Se sim, quantos?

17. (*) [Dixit e Nalebuff, 1994]. A figura abaixo ilustra as posições e opções entre dois

navios em conflito no Oriente Médio. Um navio iraquiano, localizado no ponto I, está

prestes a disparar um míssil para atingir um navio americano localizado em A. O míssil

pode viajar em linha reta ou fazer curvas de 90 graus a cada 20 segundos. Se o míssil

viajar em linha reta, as baterias antimísseis dos americanos neutralizam o ataque

facilmente. Assim, os iraquianos tentarão trajetórias em zigue-zague. Cada segmento

como IF, por exemplo é percorrido em 20 segundos (a figura é auto-explicativa, cada

segmento é percorrido em 20 segundos: BC, BE, IF, etc).

O radar do navio americano detecta o míssil iraquiano quando de seu lançamento e

responde automaticamente com um antimíssel que viaja à mesma velocidade do míssil

iraquiano e que e também pode fazer curvas em ângulos de 90 graus. Diferentemente do

míssil iraquiano, o antimíssil norte-americano carrega mais explosivos e tem menos

A

B

C

D

E

F

G

H

I



11

combustível, de forma que sua autonomia de vôo é de apenas 60 segundos. Se, neste

período, o antimíssel encontrar o míssel, a ameaça iraquiana é neutralizada. Caso

contrário, o míssil atinge o navio norte-americano.

a) Construa a matriz deste jogo, colocando todas as estratégias norte-americanas nas

linhas e todas as estratégias iraquianas nas colunas. (Dica: se o antimíssil sai de A

e vai até E, passando por B, a estratégia, “ABE”, é uma das estratégias norte-

americanas). Os payoffs são os seguintes: se o antimíssel norte-americano

encontra o míssil iraquiano, os americanos ganham + 1 e os iraquianos ficam com

-1. Caso o míssil atinja o navio americano, os iraquianos ganham + 1 e os norte-

americanos ficam com -1.

b) Há equilíbrio de Nash neste jogo em estratégias puras? Se sim, quantos são e

quais são?

c) Verdadeiro ou Falso e por que? – “Da tabela acima é fácil ver que os americanos

se saem melhor se usam as estratégias ABED ou ADEB. Já os iraquianos se saem

melhor usando IFCB ou IHED”.

18. (*) Resolva a questão 10 da prova de Microeconomia da ANPEC (2010).

19. (*) Resolva as questões 11 e 13 da prova de Microeconomia da ANPEC (2002).



22. (*) Resolva as questões 11 e 12 da prova de Microeconomia da ANPEC (2005).

Concorrência Perfeita

1. (*) A curva de demanda de mercado para um bem é dada por ( ) 120Q p p , na qual

p é o preço de mercado e Q é a quantidade comprada pelos consumidores. Suponha que o

bem é produzido por um único fator, trabalho, representado por “L”. Assuma que cada

firma “i” possa empregar qualquer quantidade de trabalho ao salário dado w, tal que

0w . A função de produção de cada firma é dada por ii Lq , onde iL é a quantidade

de trabalho empregada pela firma i.

a) Seja 1w . Suponha que existam três firmas, 1, 2 e 3. Encontre, no equilíbrio, o

preço e as quantidades produzidas de cada uma das firmas. Qual o lucro de cada

firma? Faça o gráfico da curva de oferta de cada firma e também da oferta da

indústria. Mostre o equilíbrio competitivo para cada firma e também para a

indústria.

b) Seja 1w . Suponha que existam quatro firmas, 1, 2, 3 e 4. Encontre, no

equilíbrio, o preço e as quantidades produzidas de cada uma das firmas. Qual o

lucro de cada firma? Faça o gráfico da curva de oferta de cada firma e também da



12

oferta da indústria. Mostre o equilíbrio competitivo para cada firma e também

para a indústria.

c) Compare ambos os resultados anteriores. O aumento do número de firmas torna a

curva de oferta da indústria mais ou menos inclinadas?

d) Compare os resultados com o exercício anterior. O que você pode dizer sobre a

diferença entre retornos constantes e decrescentes de escala?

e) Qual a importância da definição de equilíbrio competitivo na solução de ambos os

problemas?





Monopólio

1. (*) Deus é um indivíduo especial: ele faz milagres (Q). Vamos caracterizar isto como o

fato de que, para ele, o milagre tem custo zero: 0TC Q para qualquer valor de Q. Seja

a curva de demanda de milagres dada por: ( )P Q a bQ . Calcule o número ótimo de

milagres (suponha que Deus seja racional) e a elasticidade-preço da demanda no ponto

ótimo. Feito isto, responda: Deus opera no ramo elástico de sua curva de demanda?

2. (*) Em conversas do dia-a-dia você já ouviu os seguintes fatos sobre o narcotráfico: (1)

a demanda é altamente preço-inelástica, de forma que os consumidores são praticamente

obrigados a comprarem drogas, não importa o quão alto seja o preço e, ao mesmo tempo,

(2) a oferta do mercado é dominada por um cartel (ou um monopólio) que consiste de

poucos ofertantes.

a) Seja a demanda inversa dada por ( )p Q a bQ e o custo total dado por 2( )TC Q F cQ . Considere , , , 0a b F c . Suponha que o custo fixo é suficientemente

baixo de forma a garantir uma quantidade produzida positiva no ponto de máximo.

Resolva o problema do monopolista e calcule a expressão da elasticidade-preço no ponto

de máximo. O equilíbrio se dá no ramo elástico ou inelástico da curva de demanda?

b) Use o que for relevante do item anterior para explicar, em 3 linhas, porque há uma

contradição entre (1) e (2).

c) Suponha agora que se trata de um cartel ( 1N , onde N é o número de membros do

cartel). Assim, mantida a demanda de mercado, temos 2

( )i i iTC q F c q para cada

membro do cartel. Resolva o problema de maximização do cartel (note que todas as

firmas são idênticas) e encontre o par **, pQ de equilíbrio. Calcule a a expressão da

elasticidade-preço no ponto de máximo. O equilíbrio se dá no ramo elástico ou inelástico

da curva de demanda?

d) Use o que for relevante do item anterior para explicar, em 3 linhas, porque há uma



13


e) Suponha que haja apenas um narcotraficante, mas a demanda de mercado agora é

definida por eQ p ap , com 1e . A função de custo total do monopolista é

TC Q cQ , 0c . Resolva o problema do monopolista e calcule a expressão da


da curva de demanda? Os resultados encontrados em (b) e (d) são idênticos ao que você

encontra aqui? Explique.

f) Em relação ao item anterior, o que aconteceria se 1e ? O monopolista estaria

maximizando lucro?

Você pode fazer comentários sobre o narcotráfico e os resultados fora da questão, mas

eles não valem pontos.

3. (*) Uma editora sabe que a função demanda para um famoso livro-texto de Introdução

a Economia é dada por: ( ) 100 0.005p Q Q . O acordo com o autor é tal que a editora

deve lhe pagar R$ 20.00 para cada livro vendido. Além disso, a editora paga R$ 20.00

por custos de impressão e distribuição, independentemente da quantidade produzida.

Suponha que não existem outros custos.

A) Qual é a quantidade produzida que maximiza lucros da editora? Qual o lucro obtido?

Quanto o autor receberá? Qual será o preço de venda deste livro?

B) Você, membro do DECOPON (uma consultoria-júnior hipotética) foi contratado como

consultor para rever a relação entre o autor e a editora. Seu conselho foi: “esqueçam este

acordo de R$ 20.00 por livro vendido. Façam o seguinte: a editora fica com 60% dos

lucros e o autor com 40%”. O autor concordará com este novo contrato? E a editora?

Quanto aos alunos que compram este livro, ficarão mais felizes se a editor e o autor

adotarem este novo arranjo contratual? Ou não? Sua resposta é impossível sem que você

faça as contas necessárias. [máximo: 6 (seis) linhas + contas e/ou gráficos]

4. (**) Diga se Verdadeiro ou Falso e justifique (tanto as afirmativas verdadeiras como

falsas)

a) Qualquer monopólio tenta igualar a receita marginal ao custo marginal na região

em que a receita marginal cresce mais devagar do que o custo marginal.

b) Se um monopolista opera com uma tecnologia que exibe retornos constantes de

escala, então ele trabalha com mark-up constante, independente de sua função

demanda.

c) Um monopolista com várias plantas distribui a produção entre as mesmas de

forma que o custo variável seja o mesmo em cada fábrica.

d) Um monopolista com várias plantas distribui a produção entre as mesmas de

forma que o custo marginal seja o mesmo em cada fábrica e, além disso, ajusta o

número de plantas de forma a que cada planta opere em seu ponto de custo total

médio mínimo.



14

5. (*) Suponha um monopolista que vende maços de cigarros. O governo impõe à esta

empresa um imposto ad valorem na esperança de diminuir seu lucro. A maximização do

monopolista, com o imposto é dada por: ( ) ( ) (1 )Q

Max p Q Q TC Q t Q , na qual “(1+t)” é

o imposto ad valorem. Considere, para simplificar, que a demanda inversa seja dada por:

( ) 100p Q Q e que a função de custo total seja dada por: 3 2( ) 2 10TC Q Q Q .

Considere duas situações: antes do imposto e depois do imposto (com 10% de imposto, o

que significa que t = 0,10)

a) Preencha o quadro abaixo [use, se for o caso, apenas uma casa decimal.]

Sem imposto (t = 0) Com imposto (t = 0,10)

Preço praticado (R$)

Quantidade vendida (maços

de cigarros)

Elasticidade-preço da

demanda no ponto ótimo

Receita total (R$)

Custo total (R$)

Lucro total (R$)

Excedente do consumidor

(R$)

Bem-estar Social (R$)

Do que você encontrou, é possível afirmar que a política do governo diminui o lucro do

monopolista?

b) Repita o exercício anterior, mas alterando a função de demanda inversa para

( ) 100 2p Q Q . O que você pode dizer sobre a política do governo nas duas situações?

Lembre-se do conceito de elasticidade-preço da demanda quando responder à pergunta.

[a parte textual de sua resposta não deve ultrapassar cinco linhas. A parte algébrico-

gráfica não tem limite de linhas]

6. (**) Seja um monopolista que opera segundo a seguinte função de produção: baKLY . Pode-se dizer que se esta tecnologia exibir retornos constantes de escala,

então o lucro máximo do monopolista será sempre igual a zero? Por que? [Use o



15

Teorema de Euler para responder a esta pergunta. Em caso de dúvida, veja o livro de

Microeconomia de Varian, 5ª edição, p.580-1, ou as páginas pertinentes na edição que

você tiver em mãos]

7. (*) A partir do que foi visto em sala (e no livro), cheque a veracidade da seguinte

afirmação: “um monopolista com várias plantas produz, em equilíbrio, no ponto onde os

custos marginais de cada planta se igualam”.

8. (*) Em Cachoeira de Pajeú existe um único distribuidor de água. A demanda de água

foi estimada por um aluno do DECON como ( ) 100 2Q p p . A Companhia Represa é a

detentora dos direitos de propriedade sobre os reservatórios da região. A distribuidora

deve comprar água da Companhia Represa.

a) Considere o custo marginal da água para a Companhia Represa como nulo e

também considere que não existem custos fixos relevantes para a distribuidora.

Qual o preço cobrado da distribuidora pela Companhia Represa?

b) Suponha que o custo marginal da Companhia Represa não seja desprezível, mas

sim obtido a partir de: ( ) 2TC Q Q . Mantenha as outras hipóteses anteriores e

encontre o novo preço cobrado.

9. (*) Considere a demanda invertida linear, P a bQ , onde 0, ba e a função de

custo total do monopólio: 2)( cQFQCT , com 0, cF . Mostre que, no ponto ótimo,

o monopolista opera em um ponto da demanda em que a elasticidade-preço é maior do

que um, em valor absoluto.

10. (**) Algumas pessoas se perguntam se o resultado encontrado para monopólios que

vendem bens duráveis (visto em sala e no livro) se mantém quando o monopolista

desconta o futuro ou quando os consumidores formam expectativas quanto ao futuro. É

fácil responder estas perguntas com um exemplo. Assim, considere uma demanda mais

simples ( ) 1D p p e o fator de desconto r

1

1 6

.

a) Mostre que, no caso do aluguel, temos: 1 1

1 1,

2 2q p e o lucro total é dado por:

1 1 1

14 4 4

r .

6 O exemplo é de Tirole (1988). Entretanto, note que, na p.81 do livro, há um erro de digitação. A

quantidade produzida pelo monopolista no período 2 (futuro) é ½ e não zero. Ver p.81, coluna da direita,

11ª linha de cima para baixo.



16

b) Mostre que, no caso da venda, [lembre-se, resolvemos primeiramente o “futuro”

(período 2) e depois o “presente” (período 1). Assim, temos:

2

2 2 11q

Max q q q ], obtém-se: 1

2

1

2

qq

.

c) Para tornar o problema mais interessante, suponha que, no primeiro período, o

consumidor espere que o preço no segundo período seja ap2 . A função de

demanda, no primeiro período, é a soma desta expectativa, descontada, com a

demanda do primeiro período. Em outras palavras, 1 1 21 ap q p . Mais ainda,

suponha, para simplificação, que os consumidores tenham expectativas racionais

na forma “forte”, isto é, antecipam corretamente os preços. Assim, 22 ppa .

Mostre que a demanda, no primeiro período é:

11 1 1

11 1 1

2 2

qp q q

.

d) Mostre que: 1

2

4q

e

2

1

2

2 4p

.

A intuição do que você encontrou é que consumidores racionais percebem que o

monopolista não pode lhes cobrar um preço mais alto hoje do que no futuro neste caso.

11. (**) Carraro Enterprises é a única empresa da Econolândia que produz tangerinas ao

custo marginal “c”. Por algum motivo, ela não pode vender diretamente ao consumidor:

deve revender as tangerinas para uma cadeia de pequenas empresas que são monopólios

nas diversas regiões da Econolândia (existem i = 1, ...., I regiões).

Em cada região, a demanda de tangerinas é dada por i

i

i

A pq

B

, onde ip é o preço de

venda na região i e iq refere-se à quantidade de tangerinas vendidas na região i. A e B são

assumidos: 0, 0A c B . Assume-se que a Carraro Enterprises fixa o preço para os

pequenos empresários (doravante chamados de “revendedores”) que, por sua vez,

determinam os preços em suas respectivas regiões. Assume-se também que não há a

possibilidade de consumidores de uma região fazerem compras em outra região. Também

não é possível discriminar preços dentro das regiões. Entretando, a Carraro Enterprises

pode discriminar os preços ( iP ) que cobra dos revendedores. Estes, por sua vez, podem

fixar seu preço de venda em sua respectiva região. Assim, iP é igual ao custo marginal de

cada revendedor.

a) Qual a lógica de se supor 0cA ?



17

b) Resolva o problema de maximização do revendedor dado por:

( )( )max

i

i i i

pi

p P A p

B

e encontre a expressão algébrica das seguintes variáveis, em

equilíbrio: **, iip , (respectivamente, preço cobrado pelo revendedor e seu

lucro).

c) Mostre, em um único gráfico: a demanda, a receita marginal, o custo marginal.

Indique, no mesmo gráfico, como é encontrado o par **, ii px .

d) Vamos agora nos concentrar na Carraro Enterprises. Qual a expressão de seu

lucro se ela fixar o preço em iP ? No gráfico do item anterior, mostre o lucro da

Carraro Enterprises.

12. (**) Uma indústria monopolizada tem uma demanda tal que epQ , com 1e . O

custo marginal é constante e igual a c .

a) Mostre que um planejador benevolente (ou uma indústria competitiva) alcançaria um

bem-estar total cW tal que 1

1

ec c

We

.

b) Calcule a perda de peso morto (PM) sob o monopólio.

c) Mostre que / cPM W cresce com e , que PM é não-monotônico em e , e que a fração

lucro do monopolista/bem-estar alcançado pelo planejador benevolente ( /m cW ) do

excedente do consumidor potencial que pode ser capturado pelo monopolista aumenta

com e . Discuta este resultado.

d) Se 1e , a função lucro do monopolista é quase-côncava? Calcule as condições de

segunda ordem da maximização de lucro do monopolista e encontre a resposta desta

pergunta.

13. (**) Seja um monopolista cuja função custo seja 2( )TC Q aQ bQ e , onde todos

os parâmetros são positivos. Considere que não existam estoques e, portanto, Q é a

quantidade demandada pelo monopólio. Supõe-se que exista uma relação entre a

quantidade e o preço, ao longo do tempo, t, dada por: dP

Q f gP t hdt

, onde

, 0, 0f g h .

a) Qual é a função lucro da firma? Mostre que ela é função de ,dP

Pdt

.

b) Resolva o seguinte problema de maximização do monopolista:



18

0

,

TdP

Max P P dtdt

sujeito às seguintes condições: (0) , ( )o TP P P T P , nas

quais 0 , TP P são dados. [dica: Veja Chiang, A. Dynamic Optimization, seção2.4]

14. (****) Considere a seguinte função inversa de demanda por monografias:

( , )p p q x , na qual x = qualidade e q = medida de quantidade (e.g. páginas da

monografia). Obviamente, todas as funções apresentadas a seguir seguem as propriedades

matemáticas usuais exigidas. Suponha que ela tenha o seguinte formato funcional:

( , )p q x a bq cx .

Suponha um orientador benevolente apenas no sentido de que seus anos de trabalho e

experiência lhe deram uma capacidade de avaliar a qualidade de uma monografia de

forma compatível com os cânones da boa prática científica. O excedente do consumidor

de monografias, digo, do orientador é dado por: 0

( , ) ( , )

q

CS p u x du qp q x

O orientando deseja maximizar seu benefício líquido, π, dado por:

( , ) ( , )qp q x TC q x . Vamos supor que a função de custo seja dada por: 2 2( , )TC q x F cq dx . Suponha que o aluno escolha apenas o número de páginas que

maximize seu lucro.

a) Encontre o equilíbrio do aluno.

b) Calcule a derivada do bem-estar social com relação a x. Você encontrará, em termos

genéricos: 0

q

x x

Wp du qp

x x

. Se o aluno não ajusta “x” para maximizar seu lucro,

qual o valor da última expressão do lado direito?

b.1.) Dado o que você respondeu acima, verifique que o sinal de W

x

fica indeterminado.

b.2.) Mostre que um aluno pouco preocupado com a qualidade da monografia seguirá:

0 0

10

q q

x x x xp du qp p du pq

.

b.3.) É correto dizer que um aluno pode gerar um calhamaço de asneiras se (

,q x )? Por que?

15. (*) A função de demanda por um certo livro-texto é dada por ( ) 20 0.0002P Q Q .

A função custo marginal da editora é: ( ) 6 0.00168MC Q Q . O autor recebe royalties



19

de 20%.

a) Qual é a solução preço-quantidade preferida pelo editor?

b) O autor deseja maximizar sua receita de royalty, o que requer que ele iguale a receita

marginal a zero (por que?). Qual é a solução preço-quantidade favorita do autor?

16. (*) Considere um problema ligeiramente distinto ao problema 14. Neste caso,

perguntamo-nos o seguinte: dado que o editor fixa o preço do livro, que o valor do

royalty, , deveria ser negociada pelo autor? Em outras palavras, o autor deseja

maximizar sua receita, Ra, dada por: ( )TRa TR P Q Q .

a) Usando as mesmas funções do exercício 14, qual o valor de que satisfaz o autor? O

que isto significa em termos de preço e quantidade no equilíbrio?

b) E se o editor escolher ?O que acontece? [Dica: qual é a receita do editor, dado que,

agora, é negociado?]

17. (*) Um produtor gaúcho de vinho tem sua demanda doméstica protegida da

concorrência internacional. Sua demanda doméstica é 120 /10d dP q . Sua firma é

muito pequena no mercado mundial e, portanto, é tomadora de preços e este, atualmente,

é de 80eP . Sua estrutura de custos é tal que:

5010

d e

d e

q qCMg q q

. Calcule

as quantidades de vinho que suprem a demanda doméstica, a externa e mostre que o

monopolista cobra um preço maior no mercado menos elástico.

18. (***) Seja uma economia dividida entre “g”compradores governamentais e “n”

compradores privados de uma determinada mercadoria Q. A demanda inversa dos

compradores governamentais é dada por: ( )ag Q

P Qbg

. De forma similar, a demanda

inversa dos compradores privados é: ( )an Q

P Qbn

. O custo marginal de se produzir Q é

igual ao custo médio e é constante no nível “C”.

a) Mostre que a demanda inversa agregada é igual a: ( )

( )( )

a g n QP Q

g n b

b) Faça o gráfico representando: a curva de demanda de mercado, sua correspondente

curva de receita marginal, a curva de demanda dos compradores governamentais e o

custo marginal. Encontre a quantidade de equilíbrio (chame-a de q̂ ) e o preço de

monopólio (chame-o de mP ).



20

c) Mostre que o excedente do consumidor é dado pela expressão: 0

cQag Q

C dQgb

na

qual cQ é a quantidade encontrada pela interseção da curva de demanda dos

consumidores governamentais e o custo marginal. Mostre o mesmo resultado no gráfico

que você desenhou no item anterior.

d) Se a = 100, b = 0.5, n = 10 e g = 5, encontre os pontos importantes no gráfico que você

fez em “b”e calcule o excedente do consumidor.

e) Este exercício é baseado no artigo The Supply of Occupational Regulation, publicado

no Economic Inquiry, vol. XXI, April/1983, de Roger Faith e Robert Tollison. A idéia é

ilustrar a oferta e a demanda de regulamentação de profissões, cuja origem é medieval e

faz parte da história econômica do mercado de trabalho, especificamente na era

mercantilista. Assim, uma vez que você já resolveu o exercício até o item “d”, considere

agora o ganho dos compradores governamentais com a venda dos direitos de monopólio

que é dado por: 0

ˆ( )ˆ ˆ

( )

mQ

m

ag Q a g n qP dQ q Cq

gb b g n

. Mostre que a diferença entre

o excedente do consumidor e o ganho dos compradores pode assumir um valor negativo

se: ˆ 0c

m

Q

m m c c m

Q

ag QdQ P Q PQ P C q

gb

.

19. Define-se o índice de Lerner de poder de monopólio como: ( ) ( ) /L Q P CMg Q P

. A demanda de mercado é dada por: p Q a bQ , onde 0, ba . Suponha que a

função de custo total do monopólio seja tal que: 2( )CT Q F cQ , com 0, cF .

Encontre a expressão do índice de Lerner no ponto de maximização de lucro do

monopolista e explique se falso ou verdadeiro: “um aumento de b aumenta o índice de

Lerner”. Cálculos e explicações devem ser detalhados. Sua explicação escrita não deve

ultrapassar 5 linhas.

20. (*) Uma editora sabe que a função demanda para um famoso livro-texto de

Introdução a Economia é dada por: ( ) 100 0.005p Q Q . O acordo com o autor é tal que

a editora deve lhe pagar R$ 20.00 para cada livro vendido. Além disso, a editora paga R$

20.00 por custos de impressão e distribuição, independentemente da quantidade

produzida. Suponha que não existem outros custos.

a) Qual é a quantidade produzida que maximiza lucros da editora? Qual o lucro

obtido? Quanto o autor receberá? Qual será o preço de venda deste livro?

b) Você, membro do DECOPON (uma consultoria-júnior hipotética) foi contratado

como consultor para rever a relação entre o autor e a editora. Seu conselho foi:



21

“esqueçam este acordo de R$ 20.00 por livro vendido. Façam o seguinte: a editora

fica com 60% dos lucros e o autor com 40%”. O autor concordará com este novo

contrato? E a editora? Quanto aos alunos que compram este livro, ficarão mais

felizes se a editor e o autor adotarem este novo arranjo contratual? Ou não? Sua

resposta é impossível sem que você faça as contas necessárias. [máximo: 6 (seis)

linhas + contas e/ou gráficos]

21. [para

você pensar] Lembre-se do ano de 2006, quando o presidente Evo Morales criou um

gigantesco monopólio estatal do gás na América Latina. Na época, governos latino-

americanos viram-se diante de um potencial aumento de preços7. Como podemos

entender – e propor soluções – para este problema? Uma opção é o governo propor um

preço máximo para pagamento ao governo boliviano8. Veja o gráfico abaixo.

7 Segundo uma notícia, a Argentina pagava, na época, US$ 3,4 por milhão de BTU. A Bolívia pretendia aumentar o preço para US$ 5,4. [http://ultimosegundo.ig.com.br/materias/economia/2411501-

2412000/2411678/2411678_1.xml] 8 Esta seção se baseia no exemplo, para a OPEP, ilustrado por McCloskey (1985).

CTMe

PM

CMg(Q)

QM

Preço

máximo

Qn



22

Este preço é fixado abaixo do preço PM

. A idéia seria conter o excesso de

demanda através de impostos ou simplesmente deixando que filas se formassem nos

postos de gasolina. Ao longo do tempo, o governo boliviano seria obrigado a aumentar a

quantidade produzida de gás para Qn e o preço cairia para o nível máximo.

A proposta depende, obviamente, de uma posição firme do governo, em relação

ao monopolista, pagando apenas o preço menor e, claro, há o problema de inconsistência

temporal do próprio governo: ele teria de se comprometer com a queda do imposto ao

longo do tempo, conforme a diminuição da diferença entre PM

e o preço máximo.

Uma outra solução é formar um cartel de compradores que adote esta política em

bloco. Contudo, seria difícil coordenar a ação dos governos componentes deste cartel,

conforme veremos no capítulo sobre cartéis.

Em outras palavras, sua vida pode ficar melhor quando o governo impõe um

preço máximo sobre um monopolista.

22. (*) [baseado em: Brook, Is the Dorfman-Steiner rule always optimal?, American

Economist, 2005] Derive a condição de Dorfman-Steiner para um monopolista que gasta

em publicidade tal como no livro-texto. Guarde os resultados. Agora, use as seguintes

funções de demanda e custo: ( , )P Q A a bQ cA , ( , )C Q A eQ f A , nas quais as

letras minúsculas são parâmetros, que respeitam as seguintes relações:

12 ( 1), , , , 0, 0 1, , db d Q

a b c e f d a e dcAA

. Mostre que, neste caso, o

monopolista maximiza lucro, mas a condição de Dorman-Steiner não passa de uma

identidade.

23. (*)“Em geral, a eficácia do pacote dependerá de quão negativamente as demandas

estejam correlacionadas”. Explique o significado desta frase em um parágrafo de, no



23

máximo, 20 linhas.

24. (**) [Rasmusen] Uma forma de discriminação de preços consiste em cobrar uma

quantia fixa, L, para que o consumidor tenha o direito de comprar o bem e, então, cobrar

uma taxa, p, por unidade de consumo do bem. O exemplo padrão é o parque de diversões

no qual a firma cobra uma entrada e depois preços para cada diversão do parque. Esta é a

chamada tarifa em duas partes. Suponha que todos os consumidores tenham funções de

utilidade idênticas, u(x), e que o custo de produção seja cx (c vezes x). Se o monopolista

utiliza a estratégia da tarifa em duas partes, ele produzirá x em um nível ótimo, muito alto

ou muito baixo?


Oligopólio, Conc. Monopolista, Modelo de Hotteling, Medidas de

Concentração

1. (*) Em uma indústria existem três firmas produzindo um bem homogêneo. A demanda

de mercado é dada por ( ) 100p Q Q . A tecnologia de cada firma é dada por:

i i i iTC q c q , na qual 1 2 3 2c c c .

a) Encontre a quantidade produzida e o lucro de cada firma no equilíbrio de Cournot.

b) Calcule a elasticidade-preço da demanda no ponto de equilíbrio.

c) Suponha que as firmas 2 e 3 se fundem em uma firma que chamaremos de 4.

Calcule o nível de lucro da firma 4 no mercado supondo competição via Cournot.

Sobre o resultado encontrado, comente, justificando se verdadeiro ou falso: “as

firmas 2 e 3 ganharam com a fusão”. Suponha que, no caso do cartel, o lucro do

cartel é igualmente dividido entre seus componentes.

d) Suponha que as firmas 1 e 4 se fundem. A firma 4 se beneficia da fusão? Por que?

e) Partindo da situação inicial (o item “a”), imagine que as firmas 2 e 3 descobrem

uma tecnologia que lhes permite diminuir seus respectivos custos marginais para

2 3 1c c . Calcule o equilíbrio de mercado. Feito isto, você diria que vale a pena

para ambas as firmas, nesta nova configuração de custos, fazerem um cartel? Para

responder a esta pergunta, compare a situação do cartel (item “c” acima) com uma

hipótetica fusão, em termos do lucro de cada firma (considere a mesma regra de

divisão de lucros do item “c”).





24

4. (*) Suponha que existam duas firmas no mercado, com as seguintes funções de custo:

1 1 1( ) 5TC q q e 2

2 2 2( ) 0.5TC q q . A demanda de mercado é dada por:

( ) 200 2P Q P . A competição é simultânea e as empresas decidem a quantidade

produzida (Cournot). Encontre as funções de reação de cada uma das firmas e o

equilíbrio deste mercado (quantidades e preço praticado). Se ambas as firmas formarem

um cartel, qual será a produção de cada uma delas? [Questão extra: é correto usar os

resultados do apêndice 6.7 aqui? Sim, não e por que?]

5. (*) Conforme visto em sala sobre Cournot e Stackelberg, considere duas firmas com

estruturas de custos idênticas ( )i i iTC q cq e uma demanda inversa, como sempre, linear:

( )P Q a bQ . Os valores dos parâmetros são os usuais (e 0a c ). Suponha, no caso

da seção 6.2, o jogo em duas etapas, com a firma 1 agindo primeiro. É possível dizer se o

bem-estar é maior sob uma estrutura de mercado a la Stackelberg relativamente a uma

estrutura de configuração Cournot? Sim, não? Em qualquer caso, explique sua resposta

usando os cálculos necessários.

6. (*) Considere um problema similar ao anterior, mas agora temos ( )i i i iTC q c q e, mais

ainda, 1 2c c . Suponha, no caso de Stackelberg, que a firma 1 se move primeiro, seguida

da firma 2. Compute o equilíbrio. Agora, suponha que a firma 2 age primeiro, seguido da

firma 2 (o inverso do que você acabou de fazer). Há alguma diferença no equilíbrio por

conta da mudança da ordem seqüencial dos jogadores? O bem-estar social é maior no

primeiro, no segundo caso, ou não há diferença? Explique algebricamente e dê uma

intuição para o resultado.

7. (*) Em http://antitruste.blogspot.com/2007/03/ambev-vai-luta.html, pode-se ler:

Após o Parecer da SDE recomendando sua condenação por fechar o mercado varejista

aos concorrentes, a AmBev confirmou a compra da Cintra por US$ 140 milhões,

conforme informou Guilherme Barros, da Folha. A AmBev não estaria interessada nas

marcas da empresa adquirida, mas em expandir a produção para atender à demanda.

No Valor, em 15 de março, Daniela D'Ambrosio informava que:

O que está em jogo nesse negócio é o mercado carioca. Segundo dados Nielsen de

fevereiro, a Cintra tem uma participação nacional de apenas 1,12%. Em janeiro último

http://antitruste.blogspot.com/2007/03/ambev-vai-luta.html



25

tinha 1,08% e em fevereiro de 2005, 1,26%. Mas na Grande Rio sua participação é de

5,9% e na área que abrange Espírito Santo, interior do Rio e Minas Gerais sua fatia é de

2,1%. Já na Grande São Paulo, a Cintra tem 0,14% e no interior paulista, 0,71%.

Considerando os mais de 65% de participação de mercado da AmBev, o acréscimo do

HHI (índice de concentração) em decorrência da operação é certamente superior a 100,

o que a torna preocupante, em princípio, para as autoridades de defesa da concorrência.

Discuta esta notícia tendo em vista a definição (geográfica) de “mercado”. O cálculo de

HHI tem relação com a definição de mercado? Como isto pode alterar decisões do CADE

sobre política antitruste?

8. (*) Do mesmo blog:

Caso houvesse um aumento dos preços das mercadorias vendidas pela Internet, você

deixaria de comprá-las, substituindo esse tipo de comércio pelo tradicional? Essa é uma

questão crucial para o caso Submarino - Lojas Americanas, cuja sociedade na maior

empresa de comércio eletrônico do Brasil está aguardando análise pelo Cade.

Segundo reportagem do Juliano Basile ("Submarino e Americanas explicam-se ao

Cade". Valor Econômico, de 17/01/2007), as empresas sustentam que aquela

substituição é regra e, portanto, "não terão como aumentar os preços dos produtos

vendidos pela internet, pois, se o fizerem, o consumidor poderá deslocar suas compras

para o varejo tradicional".

Se aceita a tese, a concentração do comércio varejista seria de apenas 2%. Caso

contrário, as empresas somam mais de 50% do comércio eletrônico brasileiro.

Após ler o trecho acima, responda: “o que um carro Flex Power e a notícia acima têm em

comum”? A resposta deve conter ao menos uma vez o termo “elasticidade” (fácil, não?).

Novamente, reflita sobre a definição geográfica de mercado da questão anterior

adaptando-a a este novo contexto.

9. (*) Qual a diferença entre concentração vertical e horizontal? Defina cada uma em, no

máximo, cinco linhas. Comente brevemente sobre a diferença entre elas.

10. (***) Um mercado apresenta a seguinte função de procura:



26

1 2,p Q A bQ a a , onde 1 2A a a . As firmas decidem, simultaneamente,

quanto produzem ( iq ) e quanto gastam em propaganda ( ia ). O lucro de cada firma é

dado pela receita total subtraída do custo total de produção (suposto linear: icq ) e do

gasto em propaganda. Suponha que 0, 0, , 1,2i ib c c i .

Encontre o ótimo de cada firma (quantidades produzidas e gastos em propaganda). A

afirmativa seguinte está correta ou não? “Um aumento em b gera uma queda na

quantidade produzida no ponto ótimo pela firma 2”. Responda derivando a quantidade de

equilíbrio da firma 2 em relação a b e explicando em, no máximo, 5 (cinco) linhas.

11.(***) Na lista de exercícios de monopólio, vimos o que aconteceria com o

monopolista se lhe fosse imposto um tributo ad valorem.

Suponha duas firmas com estruturas de custos idênticas ( )i i iTC q cq e uma demanda

inversa, novamente, linear: ( )P Q a bQ . No caso do duopólio de Cournot, a tributação

ad valorem transforma a função de lucro da firma “i” em:

1 ( )1

i i

cQ P Q q

.9

a) O que aconteceria, em um duopólio de Cournot, se ambos os jogadores pagam a

mesma alíquota de imposto? Compute a receita de imposto dada por ( *) *G P Q Q .

Após fazer isto, calcule o equilíbrio, mas com 0 , ou seja, o governo não interfere na

competição das firmas cobrando impostos.

b) Vamos seguir o anseio do economista que mora no fundo de seu coração, muitas vezes

sufocado por sua consciência, e tentar entender o que aconteceria em uma situação mais

interessante, mais complexa, menos abstrata (e todos estes sinônimos que surgem quando

você quer fugir do problema simples)........sem se lembrar que deve resolver o problema

mais rico, complexo, menos abstrato, “da vida real”, etc. Bem, é sua chance.

(b.1) Imagine que, dado um investimento exógeno em pesquisa bem-sucedido, a firma

dois conseguiu um custo marginal menor ( 1 2c c ). Compute o equilíbrio no caso em que

ambas as firmas pagam imposto. Após fazer isto, calcule o equilíbrio, mas com 0 , ou

9 Seguindo Anderson, Palma & Kreider (2000), note que reescrevi o imposto ad valorem.

Normalmente, expressa-se este em forma de (1+s) do preço do produtor. Assim, se definimos τ = s/(1+s),

apenas tornamos mais simples o problema. O texto é: The efficiency of indirect taxes under imperfect

competition.



27

seja, quando o governo não interfere na competição das firmas cobrando impostos.

(b.2) Agora, imagine que, com 1 2c c , o governo resolva tributar apenas a firma 2. O que

acontece com a receita do governo, relativamente ao encontrado em (b.1)? E se o governo

mudar de idéia e apenas tributar a firma 1? Se o objetivo do governo é maximizar sua

receita de impostos, em qual caso ele ganha mais com a adoção do imposto ad valorem:

quando tributa apenas a firma mais eficiente (menor custo marginal) ou a segunda? Por

que? Mostre algebricamente.

12. (***) [inspirado em: Zikos, V. (2007) Stackelberg mixed oligopoly with asymmetric

subsidies] Suponha um jogo seqüencial que envolve uma empresa pública, estatal (vamos

chamá-la de firma 1) e duas firmas privadas (firmas 2 e 3), membros de uma mesma

indústria. A demanda de mercado é linear, dada por ( )p Q a Q , no qual Q é a soma da

produção das três firmas. Todas as firmas possuem idênticas funções de custo dadas por:

21

2i i iC q k q . Vamos considerar 1k para facilitar as contas. O jogo se desenvolve

da seguinte forma: no primeiro estágio o governo se compromete com um subsídio por

produto apenas para as empresas privadas (ou seja, cada função de lucro das firmas

privadas é acrescida do termo isq , onde s é o subsídio). No segundo estágio, a firma

pública decide o nível de produção que maximiza seu lucro e, finalmente, as firmas

privadas decidem o quanto produzir no último estágio do jogo.

a) Resolva este jogo e encontre o nível de bem-estar. [Dica: o bem-estar é dado por: 3 3

2

1 2

(1/ 2) i i

i i

W Q s

]

b) Suponha o mesmo jogo acima, com uma única alteração: a firma estatal também

recebe subsídios. Note que o bem-estar será dado por: 3 3

2

1 1

(1/ 2) i i

i i

W Q s

.

Compare o nível de bem-estar com o encontrado em (a) e comente.

13. (*) Suponha duas firmas que competem em um duopólio de Cournot. Contudo, suas

estruturas de incentivos são distintas. Na firma 1, os acionistas são ao mesmo tempo os

gerentes e, assim, seguem uma maximização distinta da tradicional, vale dizer,

maximizam uma combinação linear da receita e do lucro da firma. Para a firma 2, vale a

maximização de lucros tradicional. Compare as condições de primeira ordem das duas

firmas e comente.

Para ajudá-lo, encontram-se abaixo as funções objetivo das firmas. O “*” diz respeito aos

dados da firma 1. Supõe-se que as funções custo sejam estritamente convexas em todos

os seus argumentos. [ 0 1 ]

Função objetivo da firma 1: ( , *) * *( *) * 1 [ ( , *) *]p q q q c q q p q q q



28

Função objetivo da firma 2: , * , * ( )q q p q q q c q q

14. (**) Considere o artigo Mukherjee (2007) [disponível em:

http://economicsbulletin.vanderbilt.edu/2007/volume12/EB-07L10028A.pdf]. Resolva as

equações do artigo (não copie, resolva). Siga os passos da prova do autor para a

proposição 1. Ao final da seção 2, o autor encontra a quantidade produzida pelo

incumbente sob entrada sob a hipótese de uma demanda inversa linear. Inverta a demanda

seguinte - eQ p ap - e tente encontrar um resultado análogo. Compare o que

encontrou com o resultado do autor. Verifique se a proposição 1 é respeitada e explique o

porquê disto.

15. (*) Define-se o índice de Lerner de poder de monopólio como:

( ) ( ) /L Q P CMg Q P . A demanda de mercado é dada por: p Q a bQ , onde

, 0a b . Suponha que a função de custo total do monopólio seja tal que: 2( )CT Q F cQ , com , 0F c . Encontre a expressão do índice de Lerner no ponto de

maximização de lucro do monopolista e explique se falso ou verdadeiro: “um aumento de

b aumenta o índice de Lerner”. Cálculos e explicações devem ser detalhados.

16. (*) Como podemos aplicar o que sabemos de oligopólios para entender a realidade

econômica de países com abundância de recursos naturais? Em Samman, Bank &

Shahnawaz (2005) [Services Liberalization and the Role of Natural Resources, publicado

nos anais do 2006 Proceedings of the Middle East Economic Association], temos um bom

exemplo que pode, inclusive, ser adaptado para se pensar casos como o da Bolívia ou

Venezuela dos anos recentes.

Neste modelo existem uma firma estrangeira e várias firmas nacionais. A firma

estrangeira opera no setor doméstico de serviços. Existem barreiras à entrada para esta

firma, na forma de impostos ou de exigências burocráticas.

O setor de serviços é regulado pelo governo e existem, nele, “n” firmas domésticas

idênticas. O objetivo de qualquer firma, estrangeira ou não, é maximizar lucros. O

governo, por sua vez, maximiza seu poder. Como ele faz isto?

O governo controla o oligopólio local, usando a receita que obtém dos recursos naturais

para conquistar votos através de subsídios ao emprego de indivíduos. Isto significa que as

firmas locais podem ter um excesso de pessoal empregado em função desta intervenção

direta do governo em seu processo de produção. Estes custos – unemployment costs (ui) -

http://economicsbulletin.vanderbilt.edu/2007/volume12/EB-07L10028A.pdf



29

são, para efeitos didáticos, divididos em custos altos (i = H) e baixos (i = L). Este caráter

estocástico do custo é derivado da hipótese de que os preços do recurso natural são

aleatórios. Pense no caso da Arábia Saudita e em seu petróleo. Quando o preço do

petróleo está alto, as receitas com vendas de petróleo aumentam e o custo de se empregar

gente nas firmas domésticas diminui, o que é bom para a maximização do poder saudita.

Assim, temos:

Demanda de mercado: ( ) , , 0h fP Q a b nq q a b

Custos da firma estrangeira: ( ) , , 0f fc c t q T c T [T = custos de entrada e

estabelecimento no mercado local e (c + t) = custos marginais (inclui o custo de

comercialização local, t, que poderia ser, por exemplo, um custo de transporte)]

Custos da firma doméstica:

,

, (1 )

H

h h

L

l l

c c u q com prob

c c u q com prob

, com H Lu u .

a) Assumindo competição via Cournot, resolva o problema de maximização das firmas

(há dois sistemas para você resolver: um no qual a firma doméstica enfrenta Hu e outro

no qual enfrenta Lu , enquanto a firma estrangeira resolve, sempre, o mesmo problema).

Encontre as quantidades ótimas, o preço e os lucros das firmas.

Para facilitar, apresento ambos os sistemas, de forma resumida, abaixo:

( ( ) , ,

( ) (1 ) ( )

h

f

i

h h f h

q

H L

f h f f h f fq

Max a b nq q c u q i H L

Max a b nq u q c t q a b nq u q c t q T

b) Do resultado acima, suponha que: * ( ) 0, * ( ) 0iP c u P c t . Do que

encontrou anteriormente, aplique o Teorema do Envelope e calcule

*

f

e iguale a

expressão resultante a zero. Multiplique ambos os lados por */1 P e certifique-se de ter

encontrdo a seguinte expressão: * 1

* *

P c t

P

, onde * é a elasticidade-preço da

demanda no ponto de equilíbrio. Explique o significado econômico de



30

* 1

* *

P c t

P

e de

*

0f

.

c) O que aconteceria neste modelo se o custo, c, de ambas as firmas fosse distinto?

Suponha, por exemplo, o caso em que f hc c , ou seja, a firma estrangeira é mais

eficiente do que a nacional.

17. (*) [Shy, 6.8.] Duas firmas produzem um bem homogêneo cujo preço denominaremos

por “p”. O nível produzido pela firma 1 é 1q e, o da firma 2 (não surpreendentemente),

2q . O nível de produto da indústria é denominado “Q “, sendo que, obviamente,

1 2Q q q . A curva de demanda agregada da indústria é dada por p Q . Assuma

que o custo unitária das firmas 1 e 2 sejam tais que: 2 1 0c c .

Pede-se:

a) Resolva para o equilíbrio competitivo. Não se esqueça de resolver para o nível de

produto de cada firma e para o preço de mercado.

b) Resolva para o equilíbrio de Cournot. Não se esqueça de resolver para o nível de


c) Resolva para o equilíbrio sequencial (Stackelberg). Suponha que a firma 1 estabelece

seu nível de produção antes da firma 2.

d) Tal como o item anterior, mas agora a firma 2 é a primeira jogadora. Há diferença com

o que foi encontrado em (c)? Explique.

e) Resolva para o equilíbrio de Bertrand. Não se esqueça de resolver para o nível de




Informação Assimétrica, Agente-Principal

1. (*) Faça os exercícios do final do capítulo 37 de Varian.



31

2. (*) Seja a demanda por carros usados, D, dada pela seguinte função: ( , )D D p ,

onde p é o preço do carro usado e μ é a qualidade média dos carros usados negociados.

Assuma que: 2 10, 0D D . Suponha que exista uma relação entre a qualidade média

dos carros usados negociados e o preço, tal que: ( )p , com ' 0 . A oferta de

carros usados é dada por: ( )S S p , com 0'S .

a) Escreva a condição de equilíbrio do mercado de carros usados incorporando todas as

informações relevantes.

b) Encontre a expressão da inclinação da curva de demanda, /dD dp e mostre que o sinal

da inclinação não pode ser determinado a priori.

c) Considere as seguintes formas funcionais específicas para a oferta, demanda e para a

relação entre a qualidade média e preço: 2, ,S bp D a dp gp , onde todos

os parâmetros são positivos. Faça o gráfico com as curvas de oferta e demanda

especificadas no problema. Há equilíbrio?

d) Explique o resultado encontrado no item anterior.

3. (*) O gerente da firma Scott Bar é o agente de um principal representado pelos

acionistas. Suponha que não exista incerteza quanto ao resultado da empresa e que o

preço do produto seja igual a 1. Suponha que a produção e o esforço se relacionam

segundo a função Q e . Suponha, adicionalmente, que o principal é incapaz de observar

diretamente o esforço do agente. Embora isto seja um fato, como não há fatores

estocásticos, basta observar o valor de Q para se saber quanto de esforço “e” foi

despendido. Assuma que o esforço é custoso para o agente na seguinte forma: 2( )2

kc e e

, na qual k > 0. Suponha que o principal ofereça um contrato no qual o salário tem uma

parte fixa e outra dependente do produto, de forma que: w r Q , com 0 1 .

a) Resolva o problema do agente: ( ) . .e

Max A r Q c e s a Q e . Você deverá

encontrar a função de reação do agente ao incentivo oferecido pelo principal que é igual a

ke / . Interprete esta expressão. (Se o principal conhece esta função, basta que ele

ofereça um * tal que ele obtenha *e )

b) Assuma, na seqüência do item anterior, que o agente tenha a liberdade de escolher se

aceita ou não a oferta. Explique porque a restrição de participação dele será

2

2

kr e e A . Mostre que o lucro líquido do principal, neste caso, será:

( ) (1 )l íquidoQ e r . [suponha que 0A ]



32

c) Resolva, então, o problema do principal: 2

,. . ,

2

l

r

kMaxQ s a e r e e A

k

.

Considere, para simplificar, apenas a igualdade na última restrição. Você deverá

encontrar * 1 . Interprete este resultado (já respondendo à seguinte questão: “neste

caso, o agente se tornou o único reivindicador residual sobre os lucros da firma”?)

d) Mostre que 1

*2

rk

e interprete. [dica: o agente está, na verdade, fechando um

contrato de franquia com o principal....certo?]

e) Ache também: *, *, *, *le Q w Q

f) Qual era mesmo o nome desta firma? Se você não se lembra, provavelmente se

concentrou em aprender os cálculos e a lógica do problema. Parabéns.

410

. O Sr. Alfredo tem uma empresa de revenda com um pico de vendas no verão. Por

isso está considerando a possibilidade de contratar Bernardo - estudante de economia –

para trabalhar como vendedor durante o verão. Dada a experiência passada, sabe-se que o

valor das vendas obtido por Bernardo pode ser igual a 2, 5 ou 10, com probabilidades 0.5,

0.2 e 0.3, respectivamente. De acordo com o contrato coletivo de trabalho, o salário de

Bernardo deve ter uma componente fixa no montante de 1 e comissões de 50% sobre o

valor das vendas.

a. Suponha que Bernardo tenha uma função utilidade U=ln W e uma riqueza

igual a 5. Qual é o equivalente certo do contrato acima descrito?

b. O Sr. Alfredo é muito mais rico, tendo uma riqueza de 1000. Por isso, o

risco envolvido neste contrato é relativamente pequeno e o seu

comportamento é neutro ao risco. Sabendo isso, e Bernardo percebeu que

seria melhor que negociassem um salário fixo. O Sr. Alfredo pediu então

que o jovem lhe apresentasse uma proposta de salário fixo em que os

ganhos monetários fossem igualmente divididos pelos dois. Qual o salário

que Bernardo pediu?

a. Resolução: Partindo dos valores possíveis para as vendas e das regras de

remuneração do contrato conclui-se que o salário de Bernardo será igual a 2. 3.5

ou 6 com probabilidades de 0.5, 0.2 e 0.3, respectivamente. Somando-se a isso a

sua riqueza inicial tem-se que o equivalente certo EC do contrato será dado por:

ln(5+EC) = 0.5 ln 7 + 0.2 ln 8.5 + 0.3 ln 11

10 Agradeço ao professor Marcus Xavier pela cessão dos exercícios 4, 5, 6 e 7 desta seção.



33

e portanto

EC

= 70.5

x 8.50.25

x 110.3

– 5 = 3.334

b. Resolução: O salário fixo que para Bernardo é indiferente ao esquema

contratual acima apresentado é o equivalente certo determinado em (a); por

outro lado, para o Sr. Alfredo que é neutro ao risco é o salário médio, que é igual

a 3.5. Portanto o salário fixo que divide igualmente os ganhos é igual a 3,417.

5. Suponha que o produto y de uma firma dependa apenas do esforço, e, de seu único

trabalhador.

y = 100e – e2 para e 50

O trabalhador recebe um salário w que depende do produto (e também do seu

esforço) e escolhe o nível de esforço que maximize

w(e) – e

Determine o nível de esforço que o trabalhador escolherá, o produto e os lucros

resultantes (suponha que o preço do bem seja 1 de modo que o lucro seja igual ao

produto menos o salário) para cada um dos seguintes esquemas de compensação:

i) w = 2 para y 1000 e 0 caso contrário.

ii) w = y / 2

iii) w = y – 100

Resolução

i) O produto da firma é y = 100e – e2 e 50.

O trabalhador quer maximizar sua utilidade, a qual é dada por:

U(e) = w(e) – e, onde w(e) é o esquema de incentivos provido pela firma.

i) w =

2 para y 1000

0 caso contrário



34

Neste caso é claro o trabalhador terá uma escolha entre 2 níveis de esforço:

trabalhar zero e obter salário 0 ( u = 0) ou trabalhar o mínimo possível para

atingir o nível de produto y = 1000.

No segundo caso ele tem que empreender um esforço e tal que 1000 = 100e – e2.

Mas precisamos nem mesmo resolver para e uma vez que no máximo ele obtém w

= 2, o que implica que no máximo ele empreenderá um esforço e= 2, o que não

dá os y = 1000 necessários. (Para ser exato dá 196).

Assim ele empreende um esforço e = 0, o produto é y = 0 e os lucros são 0.

ii) w = y / 2

Substitua y = 100e – e2 em w = y / 2. Então o trabalhador resolve o seguinte

problema:

500

..

250max

2

e

as

ee

e

Esquecendo as restrições de desigualdade por um momento e tomando as

Condições de Primeira Ordem:

49 – e* = 0 e* = 49

Assim está dentro da restrição e é um máximo (a função é côncava e, portanto, a

condição de 2a. ordem está automaticamente satisfeita.

Assim o nível de esforço é

e* = 49, y = 100 x 49 – 492 = 4900 – 2401 = 2499 e os lucros são:

24992499 1249,5.

2

iii) w = y – 100



35

Substituindo y = 100e – e2 em w = y – 100. Então o trabalhador resolve o

seguinte problema:

2max100 100

. .

0 50

e e e

s a

e

Esquecendo a restrição da desigualdade por um momento e tomando as

Condições de Primeira Ordem:

99 – 2e* = 0 e* = 48.9

Assim está dentro da restrição e é um máximo. Como no caso anterior, a

condição de 2a. ordem está automaticamente satisfeita.

Assim o nível de esforço é

e* = 48,5, y = 100 x 48,5 – 48,52 = 4850 – 2401 = 2352,25 e os lucros são

100

6. Considere um agente que possa escolher entre dois níveis de esforço xA = 1 > x

B = 0.

Suponha que existam três estados da natureza:

1.Receita é $1000

2.Receita é $100

3.Receita é 0

E o esforço do agente influencia as probabilidades desses estados da seguinte

forma: Sob esforço alto (1 = 0,3 2 = 0,5 e 3 = 0,2) Sob esforço baixo (1 = 0,1 2

= 0,4 e 3 = 0,5). O principal escolhe os níveis de salário s1, s2 e s3 de forma

contingente aos estados da natureza de forma a induzir o agente a empreender um

alto nível de esforço e maximizar os lucros esperados.

UP = 1 (1000 – s1) + 2 (100 – s2) + 3 (-s3)

Suponha que o agente seja avesso ao risco

UA(s,x) = 1 log s1 + 2 log s2 + 3 log s3 – x



36

E que garanta 0u trabalhando em algum outro lugar (note que isso não é de todo

ruim para ele considerando-se que ele tem uma utilidade negativa se não ganhar

salário algum).

a) Qual é o esquema de salários first best?

b) Suponha que o principal pague $ 3 no estado 1 , $3 no estado 2 e $1 no estado

3.

I. Isso satisfaz a restrição de participação ? (Explique)·

II. Atende a compatibilidade de incentivos? (Explique)

a. Resolução: A solução first-best é equivalente a quando o esforço é observado.

Isto nos permite (e ao principal também) estabelecer o salário de forma

contingente ao nível de esforço alto empreendido. Uma outra maneira de olhar isso

é que apenas a restrição de participação deve ser satisfeita. Para encontrar uma

solução ótima, note que podemos estabelecer o nível de utilidade do agente a 0 e

veremos que é a solução que maximiza a utilidade do principal. Uma coisa que não

falamos em aula mas que também é importante é que existem outros esquemas onde

a utilidade é 0. O ponto chave aqui é perceber que o agente é avesso ao risco e o

principal é neutro ao risco. Assim a solução ótima deve envolver o agente tendo um

salário nivelado e o principal assumindo o risco do negócio.

Se o agente exerce esforço baixo, seu salário deve ser tal que a desutilidade de

exercer esforço baixo é compensada por seu salário. Desde que já sabemos que o

contrato ótimo envolve o agente ter um salário nivelado, este salário w* deve

satisfazer (dado que o agente pode obter u = 0 em outra atividade):

0,1log(w*

B) + 0,4 log(w*

B) + 0,5log(w*

B) = 0 log(w*

B) = 0 w*

B = 1.

De forma similar, para o alto nível de esforço (agora o esforço custa 1 para o

agente)

0,3log(w*

A) + 0,4 log(w*

A) + 0,5log(w*

A) = 0 log(w*

A) = 1 w*

A = e.

Como decidiremos quais desses esquemas é ótimo? Em ambos o agente obtém 0 de

utilidade. Assim o ótimo será aquele que maximiza os lucros esperados do

principal.

E[ B]= 0,1 x 1000 + 0,4 x 100 + 0,5 x 0 –1

= 139

Se o principal coloca o salário de forma que o agente empreenda o nível de esforço

alto, obtém

E[ A] = 0,3 x 1000 + 0,5 x 100 + 0,2 x 0 – e



37

Vemos então que o lucro é mais alto quando o nível de esforço alto é empregado.

Dessa maneira o nível de esforço s1= s2 = s3 = w*A = e.

b. Resolução Agora o salário não é mais observável. Vamos analisar o que

acontece quando o esquema de salários é s1 = s2 = 3 e s3 = 1.

i) Se o agente escolhe esforço alto ele obtém:

0,3log(3) + 0,5 log(3) + 0,2log(1) - 1 = 0,8log(3) –1 < 0 restrição de

participação não é satisfeita para o nível de esforço alto.

Se o agente escolhe esforço baixo ele obtém:

0,1log(3) + 0,4 log(3) + 0,5log(1) - 0 = 0,5log(3) > 0 restrição de participação

é satisfeita para o nível de esforço baixo.

ii) Podemos ver que o trabalhador obtém maior utilidade exercendo esforço baixo

que esforço alto sendo esse o esquema de salário. Assim a restrição de

compatibilidade de incentivos não é satisfeita.

7. Considere o seguinte modelo de ação oculta com três possíveis ações E = {e1, e2, e3}.

Existem 2 resultados de lucro possíveis: A = 10 e B = 0. As probabilidades de A

condicionais aos 3 níveis de esforço são f(A|e1) = 2/3, f(A|e2) = ½ e f(A|e3) = 1/3. As

funções de custo do esforço para o agente são g(e1) = 5/3, g(e2) = 8/5, g(e3) = 4/3.

Finalmente, v(w) = w 0,5

e a utilidade de reserva do agente é u = 0.

a) Qual o contrato ótimo quando o esforço é observável?

b) Mostre que se o esforço não é observável, então e2 não é implementável. Para

quais níveis de g(e2) e2 seria implementável?

c) Qual o contrato ótimo quando o esforço não é observável?

Resolução

a) Seja

)(i

H

ie

fp

de modo que p1 = 2/3, p2 = ½, e p3 = 1/3. Quando o esforço é

observável, o principal pagará exatamente g(e) pelo nível de esforço e, de maneira

que



38

1

2

3

2 1 25( ) 10 0 3,

3 3 9

1 1 64( ) 10 0 3,

2 2 25

1 2 16( ) 10 0 2

3 3 9

e

e

e

Assim e1 é o ótimo com um salário de w = 25/9.

a) Com o esforço não observável o esquema de incentivos que o principal oferece

ao agente deve especificar um par (vA, vB) contingente ao lucro observado (Alto

ou Baixo). Para que e2 seja implementável, 3 condições devem ser satisfeitas:

1 1 8( ) 0,

2 2 5

1 1 8 2 1 5( )

2 2 5 3 3 3

1 1 8 1 2 4( )

2 2 5 3 3 3

A B

A B A B

A B A B

i v v

ii v v v v

iii v v v v

Essas condições são familiares a vocês. A primeira é a restrição de participação

considerando a utilidade de reserva do agente. As duas outras são restrições de

compatibilidade de incentivos. Estabelecem que a utilidade de empregar o esforço

e2 deve exceder os dois outros níveis de esforço possíveis.

Não é difícil ver que (ii) implica BA vv 5

2 e (iii) implica BA vv

5

8. Também

não é difícil ver que elas não podem ser simultaneamente satisfeitas.

Para que e2 viesse a ser implementável, deveríamos ter ambas (ii) e (iii) satisfeitas.

Reescrevendo ambas:

2

2

2

2

1 1 2 1 5( ) ( )

2 2 3 3 3

1 1 1 2 4( ) ( )

2 2 3 3 3

( )10 6 ( )

( )6 ( ) 8

A B A B

A B A B

B A

B A

ii v v g e v v

iii v v g e v v

ou

ii g e v v

iii g e v v

Ambas só podem satisfeitas se e apenas se g(e2) 3/2.



39

c) Vimos em (b) que e2 não pode ser implementado. Para implementar e3 o melhor

contrato é pagar w = g(e3) = 14/9, e o lucro esperado do principal é:

3

1 2 16 14( ) 10 0

3 3 9 9e

Para implementar e1, a restrição de participação e a de compatibilidade de

incentivos devem ser atendidas. A restrição de participação e a de compatibilidade

de incentivos com relação a e3 são:

2 1 5( ) 0

3 3 3

2 1 5 1 2 4( )

3 3 3 3 3 3

A B

A B A B

i v v

ii v v v v

Isso dá (vA, vB) = (2, 1), em termos de salário, isso dá (wA, wB) = (4, 1). (Lembrem

que v(w) = w 0,5

)

É fácil checar que os incentivos com relação a e2 são igualmente satisfeitos. O

lucro esperado do principal é:

1

2 1 2 1 33( ) 10 0 4 1

3 3 3 3 9e

e1 é assim o esquema ótimo de compensação.

8. (*) Considere o modelo do agente-principal sob informação perfeita aplicado ao caso

da produção. [você necessitará de calculadora neste exercício]

a) Suponha que a ordem do jogo seja a seguinte: i) o principal oferece ao agente um

salário w, (ii) o agente decide e aceita ou rejeita o contrato, (iii) se o agente aceita, exerce

um esforço e, (iv) o produto é tal que q(e), 0)(' eq .

Os payoffs do jogo são os seguintes: se o agente rejeitar o contrato, então UA e

0P . Caso o agente aceite, )(),,( wqVweU PA .

Suponha que cada movimento é de conhecimento comum. Ache a condição de equilíbrio

do jogo.

Discuta os possíveis contratos que o principal poderia oferecer ao agente e que cumprem

esta condição (se você não se esqueceu das aulas, eles são três!).

Resolva o problema para os seguintes formatos específicos das funções:



40

)1ln(*100)( eeq e 2),( ewewU .

b) Suponha que haja uma alteração neste jogo, especificamente na ordem do mesmo.

Agora o agente se move primeiro. Assim: (i) o agente oferece ao principal um contrato

w(e); (ii) o principal decide se aceita ou se rejeita o contrato; (iii) se o principal aceita, o

agente exerce o esforço e; (iv) o produto é tal que q(e), 0)(' eq .

Ache a condição de equilíbrio do jogo. Certifique-se de ter feito corretamente esta etapa.

Em seguida, resolva o problema para as mesmas funções especificadas no item anterior,

ou seja: )1ln(*100)( eeq e 2),( ewewU .

c) Analise (a) e (b) sob a luz do Teorema de Coase (no máximo 5 linhas). [dica: os

ganhos da produção eficiente dependem de quem possui o poder de barganha nestas

negociações que você analisou?]

9. (*) Suponha duas firmas em competição de Cournot. Ambas as firmas são

representadas pela existência de um gerente e de um “board” de diretores que estabelece

o contrato de trabalho tal como na seção 15.3 do livro-texto de Shy. Considere os

mesmos parâmetros, hipóteses e função demanda da seção.

a) Resolva novamente o caso-padrão da seção 15.3.

b) Resolva o caso em que uma firma segue o contrato tal como em (a), mas a outra

segue o caso simples de maximização de lucros de Cournot. Compare o lucro de

cada firma e comente os resultados. Faça uma verificação das proposições 15.5,

15.6 e 15.7. Há alguma alteração? Se há, dê uma intuição para a(s) mesma(s).

c) Resolva o caso do exercício 15.2 novamente e compare com o resultado obtido

em (a) e (b).

d) De forma geral, a introdução de algum tipo de contrato altera o resultado com

relação ao caso do duopólio de Cournot simples do capítulo 6? Explique o que

ocorre.

10. (*) [Shy, 15.6] Considere o problema do trabalho de alguns alunos que fizeram um

grupo de estudos para gerar um relatório para um professor de economia. A função de

produção é dada por: 1

N

i

i

V e

. Suponha que a função utilidade de cada aluno “i” seja

dada por: 2

i i iU w e . Ou seja, o aluno tem uma desutilidade marginal crescente em

relação ao esforço que exerce (bem parecido com o que você vê, não?). Responda os

seguintes itens.

a) Caso os estudantes se unam e monitorem os esforços uns dos outros, qual será o nível

de esforço ótimo de cada aluno?

b) Suponha que os estudantes não se unam como no item anterior (ou seja, suponha que

trabalham em grupo, mas cada qual cuidando apenas de si). Qual será o equilíbrio de

Nash para os esforços exercidos individualmente?

c) O aumento no número de alunos neste grupo geraria uma intensificação do problema



41

do carona (caroneiro, caroneamento, etc)? Prove sua resposta!



13. (**) Resolva a questão 9 da prova de Microeconomia da ANPEC (2011).

Outra Questões (com dicas em itálico)

1. Em conversas do dia-a-dia você já ouviu os seguintes fatos sobre o narcotráfico: (1) a

demanda é altamente preço-inelástica, de forma que os consumidores são praticamente

obrigados a comprarem drogas, não importa o quão alto seja o preço e, ao mesmo tempo,

(2) a oferta do mercado é dominada por um cartel (ou um monopólio) que consiste de

poucos ofertantes.

a) Seja a demanda inversa dada por ( )p Q a bQ e o custo total dado por 2( )TC Q F cQ . Considere , , , 0a b F c . Suponha que o custo fixo é suficientemente

baixo de forma a garantir uma quantidade produzida positiva no ponto de máximo.

Resolva o problema do monopolista e calcule a expressão da elasticidade-preço no ponto

de máximo. O equilíbrio se dá no ramo elástico ou inelástico da curva de demanda?

A maximização do monopolista implica em 2 2a bQ cQ , o que nos dá, no equilíbrio:

2* , *

2( ) 2( )

a ab acQ P

b c b c

. A elasticidade-preço, no ponto de equilíbrio:

2

* 1 1 ( 2 ) ( 2 ) 22( )1

* / 2( )p

ab ac

Q P a b c b c cb c

P Q b a b c b a b b

.

Lembrando que o ramo elástico da curva de demanda é aquele no qual 1p , é fácil

ver que, como , 0b c ,

21 1

c

b

. Então, o equilíbrio se dá no ramo elástico da curva

de demanda.

b) Use o que for relevante do item anterior para explicar, em 3 linhas, porque há uma




42

Se o monopólio opera, o equilíbrio não pode estar ocorrendo no ramo inelástico da

curva de demanda, conforme foi visto acima. Do enunciado da questão 2 (da qual “b” é

um subitem), temos: (1) a demanda é altamente preço-inelástica, de forma que os

consumidores são praticamente obrigados a comprarem drogas, não importa o quão alto

seja o preço e, ao mesmo tempo, (2) a oferta do mercado é dominada por um cartel (ou

um monopólio) que consiste de poucos ofertantes.

Não é difícil entender a contradição. Pense em duas curvas de demanda, uma com b =

0.5 e outra com b = 2. A curva de demanda pode ser mais ou menos inclinada, mas isto

não é sinônimo de dizer que ela é mais ou menos elástica na mesma região.

A mesma explicação será usada no item (d) desta questão.

c) Suponha agora que se trata de um cartel ( 1N ), onde N é o número de membros do

cartel). Assim, mantida a demanda de mercado, temos 2

( )i i iTC q F c q para cada

membro do cartel. Resolva o problema de maximização do cartel (note que todas as

firmas são idênticas) e encontre o par **, pQ de equilíbrio. Calcule a a expressão da


da curva de demanda?

Vimos que, no caso do cartel, a maximização é dada por: 1

1,...,

,...,N

Nq qMax q q . Para a

curva de demanda e para a função de custos deste item, isto se traduz em algo bem

similar ao visto em sala, obviamente:

1

1,...,

,...,N

N i i i iq qMax q q a b q q TC q . Faz-se a condição de primeira

ordem para uma firma genérica “i” e, explicitamente cita-se o fato de que a simetria da

tecnologia entre firmas implica em uma escolha simétrica qqqq N ...21 .

Somente ao explicitar isto temos a permissão de reescrever a CPO (condição de primeira

ordem) da firma “i” como: 2 2a bNq cq . Isto nos dá:

( 2 )* , * , *

2( ) 2( ) 2( )

a Na a bN cq Q P

bN c bN c bN c

.

O cálculo da elasticidade-preço do cartel se dá considerando Q* e P*. Ao fazer as

contas, temos: 1 ( 2 )

1 2 .p

bN c c

b N bN

Como o enunciado nos garante

que N > 1, é fácil ver, pelo mesmo raciocínio do item “b” desta questão que o equilíbrio



43

se dá no ramo elástico da curva de demanda.

d) Use o que for relevante do item anterior para explicar, em 3 linhas, porque há uma


Veja o item “b”, obviamente, com o resultado encontrado acima.

e) Suponha que haja apenas um narcotraficante, mas a demanda de mercado agora é

definida por eQ p ap , com 1e . A função de custo total do monopolista é

TC Q cQ , 0c . Resolva o problema do monopolista e calcule a expressão da


da curva de demanda? Os resultados encontrados em (b) e (d) são idênticos ao que você

encontra aqui? Explique.

Você pode fazer comentários sobre o narcotráfico e os resultados fora da questão, mas

eles não valem pontos.

(Aquele que se lembra de seus primeiros contatos com Microeconomia provavelmente

sabe que esta curva de demanda tem elasticidade constante).

Primeiramente, para encontrar a receita marginal, encontramos a demanda inversa: 1/

( )

eQ

p Qa

. O restante da solução é similar: o monopólio maximiza lucro e, assim:

1/1

*1

e eQ e e

c Q a ca e e

. Isto nos dá: *( *)1

cep Q

e

. A elasticidade-preço

será encontrada como antes: 1 1

1 1

e

e

p

ce ceeap

e a e

, que, após aproximadamente

três linhas de cálculo, dá-nos: p e . Sabemos, do enunciado, que e > 1. Logo,

estamos novamente no ramo elástico da curva de demanda. O comentário feito em (b) e

em (d) se aplica aqui.

2. Considere um duopólio no qual a firma 1 age como líder e a firma 2 como seguidora.

(ou seja, 1 age no primeiro período)

a) Mostre que a condição de primeira ordem da firma 1 é dada por:



44

2 1

1 1 1

1 1

( )( ) 1

dR qdp Qp Q q MC q

dq dq

, onde 2 1R q é a função reação da firma 2, Q

é a quantidade total de mercado e o restante da notação como usualmente vimos.

Bom, primeiro você resolveu o problema da firma 2 no segundo período. Encontrou,

certamente, a função de reação de 2 à quantidade produzida pela firma 1. Genericamente

falando, sabemos que a maximização de lucro da firma 2 gera, em sua c.p.o., 2 1R q . A

primeira firma, assim, maximizará o lucro considerando esta informação. Ou seja:

1

1 2 1 1 1( ) ( )q

Max p q R q q TC q . Note que a c.p.o deste problema nos dá:

1 2 1 1 1

1

( ) ( )0

p q R q q TC q

q

ou seja:

2 1

1 2 1 1 1

1 1

( ) 1 ( )dR qdp

p q R q MC qdq dq

b) Considere, agora, a seguinte reinterpretação do segundo termo da expressão em

colchetes como uma variação conjectural da firma 1 sobre a firma 2. Ou seja, este termo,

agora, é uma conjectura “arbitrária” sobre como a firma 2 reage à quantidade escolhida

(produzida) pela firma 1. Vamos renomeá-la para 12v . Assim, a condição de primeira

ordem acima pode ser reescrita como: 12 1 1 1

1

( )( ) 1

dP Qp Q v q MC q

dq . Explique

(usando em sua explicação esta condição de primeira ordem) porque seria razoável dizer

que:

b.1) se 12 0v , este modelo é de Cournot;

b.2) se 12 1v , este modelo é um modelo competitivo;

Basta fazer a substituição e rever o que é a c.p.o. de cada problema.

Se 1 1 1 1 1 1

1 1

( ) ( )( ) 1 0 ( )

dP Q dP Qp Q q MC q p Q q MC q

dq dq podemos ver que a

condição se reduz a um caso no qual as firmas escolhem a quantidade produzida

independentemente do que os outros escolhem (as escolhas são simultâneas). Ou seja,

estamos no modelo de Cournot. Por sua vez, se

1 1 1 1 1

1

( )( ) 1 1 ( )

dP Qp Q q MC q p Q MC q

dq que é exatamente a condição de

primeira ordem para uma firma em concorrência perfeita.



45

3. O mercado de automóveis na Camilolândia é, atualmente, ocupado por apenas uma empresa, a

Vale. Contudo, recentes mudanças no cenário mundial permitiram à empresa Do Rio Doce entrar

neste mercado. Considere:

Vale é chamada de “incumbente” e Do Rio Doce é a “entrante”. Ambas produzem o

mesmo bem: automóveis.

Se a entrante entra, a incumbente pode agir em coalisão com a mesma ou lutar por

meio de uma queda drástica no preço dos automóveis. Ou seja, a incumbente “entra em coalisão” ou “luta”. Já a entrante, “entra” ou “não entra”.

Os payoffs: na situação de monopólio, o lucro é de R$ 300 bilhões. No corte de

preços, a receita é de R$ 0,00. Para entrar no mercado, o custo é de R$ 10 bilhões. A

competição (coalisão) entre as duas firmas reduz a receita total para R$ 100 bilhões a

qual, neste caso, consideraremos repartida entre ambos.

a) Construa o jogo na forma normal e verifique se há equilíbrio(s) de Nash em ações puras.

b) Suponha que há sequência de movimentos e a entrante decide primeiro o que fazer. Em

seguida, a incumbente toma sua decisão. Verifique se existe equilíbrio(s) perfeito(s) em subjogos.

Respostas:

a)

Incumbente

Luta Não luta (coalisão)

Entrante Entra -10,0 40,50

Não entra 0,300 0,300

Há dois NE em ações puras neste jogo.

b) Neste caso, a árvore é:



46

O incumbente escolhe lutar. Assim, a entrante deve escolher entre entrar e ganhar 40 ou não

entrar e ganhar zero. O NE, neste caso, é {entra, não luta}.

4. Suponha um monopolista que vende maços de cigarros. O governo impõe à esta empresa um

imposto ad valorem na esperança de diminuir seu lucro. A maximização do monopolista, com o

imposto é dada por: QtQTCQQpMax

Q)1()()(

, na qual “(1+t)” é o imposto ad valorem.

Considere, para simplificar, que a demanda inversa seja dada por: bQaQp )( e que a

função de custo total seja dada por: 2)( cQFQTC . [dica: ca e todos os parâmetros são

positivos]

Calcule o equilíbrio do monopólio (é óbvio, mas vou lembrar: o equilíbrio deve conter valores

ótimos para preço, quantidade, lucro e bem-estar).



47

( ) ( ) (1 )

. . .

( )( ) ( ) (1 ) 0 2 (1 ) 0

(1 )2 ( ) (1 ) 2( ) (1 ) *

2( )

(1 ) 2 2 (1 ) 2 (1 )*( *)

2( ) 2( ) 2( )

( *)

QMax p Q Q TC Q t Q

c p o

p QQ p Q MC Q t bQ a bQ cQ t

Q

a tQ b c t a b c Q a t Q

b c

a t ab ac ab b t ab ac b tp Q a b

b c b c b c

Q T

2 2

2

( *) ( *) (1 ) * * * * (1 ) *

(1 ) * ( ) * .

1( *) *( *)

2

R Q TC Q t Q aQ b Q F c Q t Q

a t Q F b c Q

CS Q Q a p

Note que é importante que )1( ta ou o problema não faz sentido pois teríamos uma

quantidade negativa no ponto ótimo. Faça o gráfico para se certificar de que o excedente do

consumidor é exatamente o que especifiquei. Note que, agora, o governo leva uma parte dos

excedentes na forma de arrecadação. Neste caso, sob a hipótese de que o governo retornará esta

receita, o imposto também entra no cálculo do bem-estar (na primeira versão deste gabarito,

acostumado ao nosso bom Brasil, eu havia me esquecido de somar a arrecadação ao bem-

estar...). Assim, temos:

2

2

)(2

)1()(

)(2

)1(

)(2

)1(25.0

)(2

)1(5.1

)(2

)1()1(

)(2

)1()(

)(2

)1(

)(2

)1(25.0

)(2

)1()1(5.1

*)1(*)(*)(

cb

tacbF

cb

ta

cb

tbacab

cb

taa

cb

tat

cb

tacbF

cb

ta

cb

tbacab

cb

tata

QtQCSQW

a) Se t = 0, o que acontece com o lucro de equilíbrio do monopolista? Idem para t > 0.

O lucro com t > 0 você já achou no item anterior. Basta, agora, ver como fica com t = 0.



48

Fcb

ta

cb

taF

cb

taQQcbFQta

QtQcFQbaQQtQTCQTRQ

)(4

)1(

)(4

)1(

)(2

)1(*)(*)(*)1(

*)1(****)1(*)(*)(*)(

2222

22

Se t = 0, fica:

Fcb

a

cb

aF

cb

a

cb

acbF

cb

aatQ

)(4

1

)(4

1

)(2

1

)(2

1)(

)(2

11)0*,(

2222

É bem fácil ver que o lucro aumentou, não? Por que?

Note bem: muita gente tenta enganar o professor fazendo contas e, com preguiça ou falta de

conhecimento, joga uma conversa do tipo “é fácil ver que...”. Na verdade, ele não sabe se é

verdade e tenta se esconder nas contas que não consegue interpretar. Péssima estratégia! A

resposta deve ser a mais completa possível! Como exercício, veja o que acabei de calcular e

tente explicar. Infelizmente, quem não faz isto na prova não poderá usar este argumento a

posteriori, mas pode aprender uma boa lição para a próxima prova.

b) Se t = 0, o que acontece com o bem-estar? Idem para t > 0 e diga em que situação os

consumidores ficam melhores.

Novamente, o caso em que t > 0 você já fez. Vamos ao caso em que t = 0.

2

2

)(2

1)(

)(2

1

)(2

25.0

)(2

15.10

)(2

)1()(

)(2

)1(

)(2

)1(25.0

)(2

)1(5.1

*)1(*)(*)(

cb

acbF

cb

a

cb

bacab

cb

aat

cb

tacbF

cb

ta

cb

tbacab

cb

taa

QtQCSQW

Se queremos saber como o bem-estar varia com t, podemos ver o que acontece com 1+t, já que

“1” é uma constante. Assim, será que o bem-estar aumenta com 1+t? É extremamente útil

simplificar ao máximo a expressão do bem-estar antes de se fazer a checagem (como sempre...).

Não fizemos isto no item anterior, teremos, inevitavelmente, de fazê-lo agora. Em seguida,

calculo a derivada.



49

2

2

( *) ( *) (1 ) *

(1 ) 2 (1 ) (1 ) (1 )1.5 0.5 ( )

2( ) 2( ) 2( ) 2( )

(1 ) 2 (1 ) (1 )1.5 ( )

2( ) 4( ) 2( )

W Q CS Q t Q

a t ab ac b t a t a ta F b c

b c b c b c b c

a t ab ac b t a ta F b c

b c b c b c

2

2

(1 ) 6 6 2 (1 ) (1 )( )

2( ) 4( ) 2( )

(1 ) 5 4 (1 ) (1 )( )

2( ) 4( ) 2( )

(1 ) 5 4 (1 )

2( ) 4( )

a t ab ac ab ac b t a tF b c

b c b c b c

a t ab ac b t a tF b c

b c b c b c

a t ab ac b t

b c b c

2

(1 )

4( )

a tF

b c

Note que o bem-estar é maior que zero apenas se o primeiro termo é maior que o segundo:

2

(1 )(1 ) 5 4 (1 )

2( ) 4( ) 4( )

a ta t ab ac b tF

b c b c b c

. Agora vejamos o que acontece com o

bem-estar se (1+t) varia. Obviamente, não valem afirmações genéricas sobre o bem-estar.

1 5 4 (1 ) (1 ) (1 )

1 2( ) 4( ) 2( ) 4( ) 2( )

1 5 4 (1 ) (1 )1

2( ) 4( ) 2( ) 4( )

1 5 4 (1

2( )

W ab ac b t a t b a t

t b c b c b c b c b c

ab ac b t a t b

b c b c b c b c

ab ac b

b c

) (1 ) 3 4

4( ) 2( ) 4( )

5 4 (1 ) 3 4 (1 )1

2( ) 4( )

1 5 4 (1 ) 3 3 (1 ) 4 4 (1 )

2( ) 4( )

1 2 (2 4 )(1

2( )

t a t b c

b c b c b c

ab ac b t b c a t

b c b c

ab ac b t ab b t ac c t

b c b c

ab b c t

b c

) 1 2 2( 2 )(1 )

4( ) 2( ) 4( )

2 2 2 (1 )10

2( ) 4( )

ab b c t

b c b c b c

ab b c t

b c b c

5. Um mercado apresenta a seguinte função de procura: 21, aabQAQp ,



50

onde 21 aaA . As firmas decidem, simultaneamente, quanto produzem ( iq ) e quanto

gastam em propaganda ( ia ). O lucro de cada firma é dado pela receita total subtraída do

custo total de produção (suposto linear: icq ) e do gasto em propaganda. Suponha que

2,1,,0,0 iccb ii .

a) Encontre o ótimo de cada firma (quantidades produzidas e gastos em

propaganda).

b) A afirmativa seguinte está correta ou não? “Um aumento em b gera uma queda na

quantidade produzida no ponto ótimo pela firma 2”. Responda derivando a

quantidade de equilíbrio da firma 2 em relação a b e explicando em, no máximo, 5

(cinco) linhas.

O lucro da firma 1, por exemplo, é dado por: 1111211 qcaqaaQb .

Erro conceitual grave é ignorar o enunciado. Se a firma gasta com propaganda, isto é

um custo. Cada firma tem duas variáveis de controle: o quanto produz e o quanto gasta

em propaganda. Portanto, cada firma tem duas condições de primeira ordem. Para a

firma 1, por exemplo: 1212111 2,2 caabqbqaq . Para a firma 2,

temos: 2211222 2,2 caabqbqaq . Note que temos q1 e q2 em função

dos respectivos gastos em propaganda. Há várias formas de se resolver o sistema.

Substituindo ambas na segunda CPO da firma 1 (a equação após a vírgula duas linhas

acima), temos: 12121 24 caaabab . Da mesma forma, a firma 2

terá: 21212 24 caaabab . O resultado da firma 1 pode ser reescrito:

14

)12( 21

1

b

abca

. Joga-se este resultado em:

12121 24 caaabab e você terá encontrado a expressão de a2. Feito

isto, acha-se q2. Ambas estarão em função apenas dos parâmetros. Daí, basta derivar.

6. Considere um jogo do pênalti entre o goleiro e o artilheiro do time adversário.

As únicas estratégias possíveis para o jogador são: chutar à esquerda (E) ou chutar à

direita (D). O goleiro, por sua vez, pode pular para a direita (D) e pular para a esquerda



51

(E). Encontre o equilíbrio deste jogo em estratégias mistas.

Caso o cobrador chute para a esquerda e o goleiro pule para a esquerda, então o payoff

do goleiro é maximizado. Já se o goleiro pula para a esquerda e o cobrador chuta na

direita do gol, o payoff do cobrador é maximizado, pois aumenta a chance de gol.

Mas você não precisa de nada disto para resolver o jogo. Obviamente, estratégia mista

não é jogo na forma extensiva (o que é um sério erro conceitual), nem sinônimo de

estratégia pura (outro erro tão grave quanto). O que se deve fazer é atribuir

probabilidades às ações. O cobrador estará em seu equilíbrio com (0.6 , 0.4) e o goleiro

em (0.7 , 0.3), onde 0.6 significa que o “cobrador escolhe chutar à esquerda com 60% de

chance”. Analogamente para o resto.

7. Em uma indústria existem três firmas produzindo um bem homogêneo. A demanda de

mercado é dada por QQp 100)( . A tecnologia de cada firma é dada por:

iiii qcqTC , na qual 2321 ccc .

a) Encontre a quantidade produzida e o lucro de cada firma no equilíbrio de Cournot.

b) Suponha que as firmas 2 e 3 se fundem em uma firma que chamaremos de 4.

Calcule o nível de lucro da firma 4 no mercado supondo competição via Cournot.

Sobre o resultado encontrado, comente, justificando se verdadeiro ou falso: “as

firmas 2 e 3 ganharam com a fusão”.

c) Suponha que as firmas 1 e 4 se fundem. A firma 4 se beneficia da fusão? Por que?

Basicamente, o item “a” é fácil, basta resolver o problema de Cournot com várias firmas

com exatas funções de custo. Como as funções são as mesmas e os parâmetros das

funções de custo também são os mesmos (veja bem, está errado dizer que apenas uma

das duas condições é suficiente para garantir o que vamos enunciar), então, sim, as

quantidades produzidas são iguais. E são tais que, no equilíbrio de Cournot:

bN

caq c

)1(

, onde a = 100, b = 1, c = 2 e N = 3. Achar o lucro é fácil.

Quando as firmas se fundem, temos um monopólio multiplanta. O erro conceitual das

pessoas foi ignorar o custo da nova firma. Qual a função de lucro da firma 4? É,

simplesmente: 33223232324 )()( qcqcqqqqbaqq . Algumas pessoas

ignoraram o novo custo, outras somaram o custo da firma 1 com o da firma 4 (!).



52

Mas nem era preciso fazer isto. Bastava, para as duas firmas, 1 e 4, fazer N = 2 em

bN

caq c

)1(

. Com isto, calcular o lucro seria trivial. A quantidade total é a soma das

quantidades produzidas, a curva de demanda dá o preço e, finalmente, o lucro pode ser

encontrado facilmente a partir disto.

As firmas 2 e 3 ganham com a fusão? Como elas devem dividir o lucro, percebe-se com

pouca conta que elas ficam piores.

Finalmente, no caso de 1 e 4 se fundirem, temos um caso de monopólio. Temos que, em

bN

caq c

)1(

, N = 1. Acha-se o preço (via função de demanda) e o lucro (veja, por

exemplo, Shy (6.1.2)). O lucro do monopólio é o maior de todos. Dividir o lucro em três

mostra que as firmas ganham mais em monopólio do que nos casos anteriores.

8. (Anpec 2009) Considere uma indústria com 35 firmas, todas com a mesma função de custo

dada por c(qi) = 2qi, em que qi é a produção da firma i (i=1,...,35). Defina Q = q1 + ...+ q35. A

demanda de mercado é dada por p(Q) = 362 - 2Q. Supondo que as firmas se comportam como no

modelo de Cournot e dado que elas são idênticas, cada firma produzirá a mesma quantidade q*.

Determine q*.

Cartel! A solução é : lucro = (a-bq1 – Σqi)q1 – 2q1. Da CPO você tira que cada firma i tem a

seguinte função de reação (digamos, a firma 1):

2bq1 = a – bsomatorioqi – 2 ou: q1 = (a-2)2b – (somatorioqi)/2 (*)

(*) note que, neste caso, o somatório exclui a firma i em questão.

Como todas as firmas têm o mesmo custo (função idêntica, parâmetros idem), podemos supor

que: q1 = q2 = ...=qn = q. Bem, o somatório de qi menos a firma 1, no caso, é (n-1). Logo n -1 =

34. Assim, q = 362-2/4 – 34q/2 cuja solução é q*=5.

9. (Anpec 2005) A função de custo médio de um produtor monopolista é dada por

10120

2)(

q

qqCMe , em que q é a quantidade produzida expressa em unidades. Para

maximizar seus lucros sabe-se que o produtor deve produzir 6 unidades do produto e que



53

neste ponto a elasticidade da demanda por seus produtos é igual a 2

3 . Qual o valor do

lucro total do monopolista expresso em de unidades monetárias?

Esta aqui é fácil. Você tem o custo médio e acha o custo total. Em seguida, deriva e acha o custo

marginal. Fácil ver que este é cmg(q) = q + 10. A receita marginal, rmg, é, por definição, rmg

(q) = p(q) [1 + 1/elasticdemanda]. Ou seja, Rmg(q) = p(q) [1-2/3], Rmg(q) = p(q)/3. Como rmg

= cmg no máximo do monopólio, p(q) = 16 . (q+10 = p(q)/3 e o problema nos informa que q = 6

no ótimo.

10. (Anpec 2003) Considere o jogo:

O jogo acima é repetido infinitas vezes. Seja δ* o menor fator de desconto intertemporal que

permite implementar a lista de estratégias Pareto-eficientes como equilíbrio perfeito de subjogo,

em que a não-cooperação é punida com o equilíbrio de Nash Pareto dominado para sempre.

Calcule 100 × δ* (isto é, cem vezes δ*).

Aqui se compara o valor presente de dois payoffs: aquele em que o sujeito coopera e o

que não coopera. O aluno so precisa se lembrar (não é preciso deduzir) de como ficam

os fatores δ*. Alem disso, o jogo é simétrico. Se você resolver para 1, resolve para 2 por

analogia. Basta escolher um jogador. Digamos, o jogador 1.

Payoff de cooperar:

(1) * 1/1- δ

Payoff de não cooperar (no primeiro período desvia, depois é punido pela estratégia do

gatilho):

(2) + (0)* δ/1- δ



54

(5,5)

Você encontra o ponto de indiferença igualando os dois payoffs. Aí é só isolar δ e achar

δ*.

1/1- δ* = 2 logo, δ* = 0.5 e , portanto, δ*x100 = 50.

11. (ANPEC 2000) Considere o jogo sequencial abaixo, na forma extensiva. Responda se

Verdadeiro ou Falso e justifique cada afirmativa.

(0) O perfil de estratégias (a,c) é um equilíbrio de Nash.

(1) O perfil de estratégias (b,c) é um equilíbrio de Nash.

(2) Num equilíbrio de Nash perfeito em subjogos o jogador 2 jogará sempre c.

(3) Existem dois equilíbrios de Nash nesse jogo.

(4) Todo equilíbrio de Nash desse jogo é perfeito em subjogos.

Esta é uma questão da ANPEC. O gabarito da mesma nos força a analisar o jogo na

forma normal e extensiva também. (1 joga a,b x 2 joga c,d). Considerando a forma

normal, a,c e b,d são NE (eq Nash) , embora não seja um equilibrio perfeito em subjogos

(SPE). Logo, o item (0) é verdadeiro. O item (1) é falso pois não é um NE da forma

normal e nem é um SPE (que, aliás, é (5,5)). No item (2), também temos um F. se o jogo

for finito, jogador 2 joga sempre “d”. se infinito, depende do fator de desconto. No item

3, verdadeiro (o gabarito considera o SPE e os dois NE). Finalmente, (4) é falso,

(0,1)

(2,10)

a

1 2

1

b

1

c d



55

obviamente. Nem todo NE é SPE, como se viu acima.

12. ANPEC (1994) As firmas de uma dada indústria possuem uma mesma estrutura de

custo onde o CMg = $60 e o custo fixo é nulo. A demanda de mercado pelo produto desta

indústria pode ser representada por: P = 90 - Q, em que Q e P representam a quantidade e

o preço de mercado. Nestas condições determine o diferencial da produção total da

indústria entre um duopólio de Cournot e um regime de monopólio.

Monopólio:

Lucro(PI) = 90q – q2 -60q e o cmg = 60. Logo,

dPI/dq = 0 no máximo implica 90 – 2q -60 = 0, q = 15, p = 75 e PI = 225.

No caso de Cournot, para a firma 1 (analogamente para 2):

PI1 = 90q1 –(q1+q2)q1 – 60q1.

dPI/dq1 = 0 dá a função de reação de 1. Vejamos:

90 – q2 – 2q1 – 60 = 0, q1 = (30-q2)/2 ou q1 = R1(q2) = 15 – q2/2.

É fácil ver que, para a firma 2,....q2 = R2(q1) = 15 – q1/2. Agora, resolve-se o sistema e

encontra-se: q1 = 15 – (15-q1/2)/2. Logo, q1 = 15/2 +q1/4, q1(3/4) = 15/2, q1 = 10 e, assim,

q2 = 10. Logo, o diferencial de produção entre cartel e monopolio é dado por: qmonop = 15

e qcartel = 10+10 , a diferença é 5.



56

Apêndice – a definição de “sunk costs”

Are Pandas sunk?

Claudio D. Shikida & Leonardo M. Monasterio

O San Diego Zoo é famoso pelos pandas. Milhares de pessoas vão lá ver um bicho que só come

bambu, meio paradão e - cá entre nós- está meio encardido. (Para falar a verdade, eu achei sem

graça. Eu preferia ver um Zoo mais integrado, com os bichos se relacionando mais. Por

exemplo: que tal por o leão na jaula do panda? Ou as focas junto com o urso polar? Poderia ser

um inicio de grandes amizades no mundo animal)

Bem, vendo aquela multidão indo ver o panda e pagando US$21, eu só pensava em duas coisas:

oferta inelástica e quase-rendas. Afinal, existem pouquíssimos fora da China e ele não tá muito

aí para se reproduzir. O curioso é que - segundo essa reportagem - não são os zoológicos que

se apropriam dessas rendas. Elas vão é para o governo chinês e seu programa de rent-a-panda.

[Leonardo M. Monasterio em www.degustibusblog.net, 27.11.05]

O trecho acima nos dá uma dimensão do uso econômico da vida natural. Um uso,

diga-se de passagem, privatizado pelo governo chinês11

. A indagação acima foi motivada

pela observação de que: O curioso é que - segundo essa reportagem - não são os

zoológicos que se apropriam dessas rendas. Elas vão é para o governo chinês e seu

programa de rent-a-panda. Se você pesquisar um pouo, acha esta informação:

The founding of the People’s Republic of China ended the history of foreign plundering of giant

pandas. As friendly ambassadors, 23 giant pandas were sent as state gifts to nine countries from

1953 to 1982. (...) Up to 1992, those 23 giant pandas have produced eight offspring, including

five in Mexico, two in Tokyo, and one in Madrid. Meanwhile, 15 giant pandas in the above list

have died, but eight remain. Whether an overseas giant panda population can be set up depends

on those “gift” pandas and their descendants.

In the 1990’s, the China Wildlife Conservation Association (CWCA) and China Zoological

Association reached an agreement with the International Wildlife Conservation Agency to loan

giant pandas in pairs to overseas countries for 10 years for cooperative research with Chinese

scientists; these pandas and their offspring remain the property of China during the loan

period; annual fees of US$ 1 million should be paid to China. [grifos meus]

Pairs of giant pandas have been sent since the project came into effect to Kobe in Japan in 1994, Seoul in South Korea in 1995, and San Diego and Atlanta in the United States in 1996 and 1999

11 A study estimates that the largest panda reserve in China has the potential to generate 29-42

million USD without exceeding the limits of sustainability for the reserve (…). This does not mean that all

current activity is sustainable or non-intrusive. Tourists at the same reserve can currently be photographed

holding a panda for 12 dollars (…). [http://www.american.edu/TED/panda-tour.htm]

http://www.sandiegozoo.org/zoo/ex_panda_station.html

http://homepage1.nifty.com/~xiongmao/zoo_world.html

http://www.washingtonpost.com/wp-dyn/content/article/2005/08/06/AR2005080601118.html

http://www.degustibusblog.net/

http://www.china.org.cn/english/features/panda/37969.htm



57

respectively. Among them, Shi Shi and Bai Yun in the San Diego Zoo produced a baby on August

21, 1999. Mr. Li Zhaoxing, former Chinese Ambassador in the United States, named it “Hua Mei” meant China-American. It played a critical role in improving the relationship between

China and the United States. In December 2000, giant pandas Mei Xiang and Tian Tian arrived

at the Washington National Zoo. Mei Xiang, two and a half years old, a female whose name

means "beautiful fragrance," and Tian Tian, three and a half years old, a male whose name means "more and more," were taken to zoo on a Federal Express flight dubbed "Panda One."

Mei Xiang and Tian Tian were born at the Research and Conservation Center for the Giant

Panda in Wolong, in south China’s Sichuan Province. Under a deal meant to foster conservation,

the center will loan the pandas to the zoo for 10 years for US$10 million.

Agora, vamos lá, o Leo falou de duas hipóteses: oferta inelástica e quase-renda. A

pergunta nos remete ao conceito de quase-renda. Segundo o bom e velho Stigler - numa

tradução algo sofrível de 1970 - a quase-renda seria: "...o rendimento para um específico

fator (= fator específico) durável. Se o fator produtivo for durável, ele será usado através

de sua vida, desde que proporcione uma produção superior ao seu valor como sucata.

Desde que esse fator é concretamente produtivo, digamos, uma casa ou uma máquina, ele

é em certo grau especializado, e não pode transformar-se em outra coisa se diminuir a

procura de seus serviços". [p.259]

Em linguagem recente, "Quasi-rent is an analytical term in economics, for the income

earned, in excess of post-investment opportunity cost, by a sunk cost investment"12

. Note

que os custos irrecuperáveis/afundados ["sunk costs"] são apropriados para o estudo de

fatores específicos. Em outras palavras, o que Stigler chama de fator específico é o fator

12 http://en.wikipedia.org/wiki/Sunk_costs

p

Q 0

A

G

C

D2

D1

B

Rmg

Cmg

CVme



58

"sunk", aquele tão especializado que não há custo alternativo para ele ao longo de sua

vida útil. Graficamente, a quase-renda seria dada pela área 0A x BG, considerando-se

uma firma monopolista (cujo equilíbrio de produção, 0A é dado pelo encontro de RMg e

CMg). No caso, a receita total é 0A x AG e o custo total 0A x AB. Desta receita total, a

parcela 0A x BG é a quase-renda (já incluindo a depreciação).

Além disso, note também que a quase-renda pode ser encarada como o retorno

dos fatores fixos já que se pode assumir com alguma confiança que, na maioria das vezes,

um fator fixo é sinônimo de um fator específico13

.

Outra forma de se explicar isto é recorrer ao velho Ferguson [Microeconomia, Ed.

Forense Universitária, 1988]? Segundo o autor: "No uso clássico, o 'rent' constitui o

retorno a um recurso cuja oferta é absolutamente fixa e não aumentável (ou seja, aquele

cuja curva de oferta é uma linha perpendicular ao eixo das quantidades). O retorno dos

insumos fixos a curto prazo é denominado de quase renda, porque suas quantidades são

variáveis no longo prazo". [p.453, n.23]

O arranjo institucional foi dado pela notícia: o - ironicamente auto-declarado

comunista - governo chinês percebeu que poderia ganhar uma grana com os pandas e

mudou a forma de enviá-los ao exterior, contando ainda com ajuda de organizações

ocidentais de proteção à vida animal. É o panda um fator específico? Basta rever a

definição de Stigler: "Se o fator produtivo for durável (o Panda vive um bocadinho), ele

será usado através de sua vida, desde que proporcione uma produção superior ao seu

valor como sucata (um Panda vivo no zoológico vale mais para os seus frequentadores

do que um Panda morto em seu habitat natural). Desde que esse fator é concretamente

produtivo (claro que é, todos vão ao zôo para ver o ursinho), digamos, uma casa ou uma

máquina, ele é em certo grau especializado (não há outro como o Panda, há? Pensando

assim, países africanos até poderiam alugar zebras...), e não pode transformar-se em

outra coisa se diminuir a procura de seus serviços"14

.

Bom, fica aí a sugestão para governos africanos: se for possível, alugar zebras e

direcionar os recursos para pesquisas ou para o combate à pobreza. Claro, há todo o

problema de se o governo fará mesmo o que está prometendo, mas este é um outro - e

importante - problema, digno de uma análise de Escolha Pública15

.

13

Ekelund & Hebert oferecem uma boa definição de quase-renda: “Quasi-rent, in Marshallian

terms, is a return to temporarily fixed factors devoted to production in the short run. It is of the nature of

“sunk capital”. [A History of Economic Theory and Method, McGraw-Hill, 1997, 4a edição, p.373] 14 Outra pergunta interessante diz respeito à escassez de pandas. Recentes estudos mostram que o

número de pandas é maior do que se imaginava. Ver, por exemplo, esta notícia:

http://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/5085006.stm. 15 Mark Thoma tem um excelente comentário sobre o tema aqui:

http://economistsview.typepad.com/economistsview/2006/06/save_the_wails.html.

apostila de exercÍcios concorrÊncia imperfeita e

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