apostila

Introduo Probabilidade

Notas de Aula

Leonardo T. Rolla

Instituto de Matemtica Pura e Aplicada

Rio de Janeiro

22 de fevereiro de 2013

Apresentao

Este texto foi compilado a partir de notas de aula das disciplinas Probabilidade, domestrado em Cincias Atuariais da PUC-Rio, ministrada em 2006, e Introduo Probabilidade, ministrada em 2012 e 2013 no IMPA.

No necessrio qualquer conhecimento prvio em Probabilidade. Os pr-requisitos para seguir este texto so clculo de derivadas e integrais em Rd, limitesde seqncias, convergncia de sries, e limites laterais de funes. Para entenderas demonstraes o leitor deve conhecer as propriedades elementares de lim sup elim inf, polinmios de Taylor e supremo de conjuntos.

No Captulo 1 introduzimos os espaos de probabilidade, probabilidade con-dicional e independncia de eventos. Os Captulos 2 e 3 estudam as variveisaleatrias e vetores aleatrios, com nfase nos casos discreto e absolutamentecontnuo. No Captulo 4 construda a esperana matemtica, suas propriedades,momentos, varincia e algumas desigualdades. Recomenda-se estudar esses captulosem seqncia, antes de passar para os captulos seguintes.

No Captulo 5 estudamos a esperana condicional dada uma partio e aesperana condicional regular. O Captulo 6 trata do Lema de Borel-Cantelli ede convergncia de variveis aleatrias. O Captulo 7 introduz a funo geradora demomentos e a funo caracterstica, incluindo convergncia em distribuio. Essescaptulos so basicamente independentes entre si. O Captulo 8 apresenta a Lei dosGrandes Nmeros e o Teorema Central do Limite, e depende do Captulo 6. Emtodos esses captulos, as demonstraes que envolvem Teoria da Medida so omitidascom um aviso correspondente.

Comentrios, crticas e correes so muito bem-vindos.

Rio de Janeiro, 22 de fevereiro de 2013.

c 20122013 Leonardo T. Rolla. Texto publicado sob a Licena Creative CommonsAtribuio CompartilhaIgual 3.0 Brasil: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/br/deed.pt

Este material parcialmente baseado no(s) seguinte(s) trabalho(s): [Roc09].

Trabalhos derivados devem ser distribudos junto com o cdigo-fonte, observando os termos desta

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Cdigo fonte: bzr branch http://www.impa.br/~leorolla/apostila-intr-prob/ Verso: Date: Mon 2012-10-01 16:51:48 -0300

3

Sumrio

Apresentao 3

1 Espao de Probabilidade 7

1.1 Espao de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Probabilidade Condicional e Independncia . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Variveis Aleatrias 19

2.1 Variveis Aleatrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Variveis Aleatrias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Variveis Aleatrias Contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Distribuies Mistas e Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5 Distribuio Condicional dado um Evento . . . . . . . . . . . . . . . 302.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Vetores Aleatrios 33

3.1 Vetores Aleatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Tipos de Vetores Aleatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Independncia de Variveis Aleatrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4 Mtodo do Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Esperana Matemtica 47

4.1 Variveis Aleatrias Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Esperana Matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3 Momentos, Varincia e Covarincia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4 Desigualdades Bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5 Esperana Condicional dado um Evento . . . . . . . . . . . . . . . . 654.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5 Esperana Condicional 69

5.1 Esperana Condicional dada uma Partio . . . . . . . . . . . . . . . 69

5

6 SUMRIO

5.2 Distribuio Condicional Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.3 Esperana Condicional Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6 Convergncia de Variveis Aleatrias 83

6.1 Lema de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.2 Convergncia de Variveis Aleatrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7 Funes Geradoras 93

7.1 Funo Geradora de Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.2 Funo Caracterstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8 Teoremas de Convergncia 103

8.1 Lei dos Grandes Nmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.2 Teorema Central do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Notao 111

Referncias Bibliogrficas 113

Captulo 1

Espao de Probabilidade

O objetivo deste texto introduzir o estudo formal dos Espaos de Probabilidade,as variveis aleatrias e suas propriedades. A Teoria da Probabilidade estudaeventos aleatrios, i.e., eventos que no possuem regularidade determinstica, poisobservaes feitas nas mesmas condies no do o mesmo resultado, mas possuemregularidade estatstica, indicada pela estabilidade estatstica de frequncias.

Por exemplo, no lanamento de um dado, apesar de a trajetria do dado ser de-terminstica do ponto de vista da mecnica Newtoniana, impraticvel tentar preverseu resultado: este experimento no possui regularidade determinstica. No entanto,esse experimento possui regularidade estatstica e o tratamento probabilstico omais adequado.

Um Espao de Probabilidade, ou Modelo Probabilstico, ou ainda Modelo Esta-tstico, uma abstrao matemtica, uma idealizao que busca representar osfenmenos aleatrios.

1.1 Espao de Probabilidade

Um modelo probabilstico tem trs componentes bsicas:

1. Um conjunto formado por todos os resultados possveis do experimento,chamado espao amostral.

2. Uma classe apropriada F de subconjuntos do espao amostral, chamada classede conjuntos mensurveis ou eventos aleatrios.

3. Uma funo P que associa a cada conjunto mensurvel um nmero real, querepresenta a ideia de chance, verossimilhana, confiana, credibilidade, ouprobabilidade. Esta funo chamada de probabilidade, medida, ou medidade probabilidade.

7

8 CAPTULO 1. ESPAO DE PROBABILIDADE

Resultados equiprovveis No modelo mais simples, onde os resultados soequiprovveis, o espao amostral um conjunto finito e a medida de probabilidade proporcional quantidade de resultados que fazem parte de um dado evento.

Exemplo 1.1.1. Imagine o sorteio de uma carta em um baralho francs com 52cartas (numeradas A, 2, 3, . . . , 9, 10, J,Q,K e de naipes ,,,). Queremos sabera probabilidade de um jogador tirar 4, 7, A ou 7, evento que ser denotadopor B. Temos ento:

P (B) =#B#

=452

=113.

Exemplo 1.1.2. Imagine o lanamento de um dado em que um jogador precisaobter 5 ou 6. Neste caso temos = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {5, 6} e

P (B) =#B#

=26=

13.

Espao discreto Outro exemplo um pouco menos simples quando o espaoamostral infinito e enumervel, i.e., pode ser escrito como uma seqncia = {x1, x2, x3, . . . }. Neste caso no faz sentido que todos os elementos sejamigualmente provveis. A cada possvel resultado xn associada uma probabilidadep(xn) de forma que

n=1 p(xn) = 1. Para um subconjunto B definimos

P (B) =

xB p(x).

Exemplo 1.1.3. Imagine uma seqncia de ensaios independentes que podemresultar em sucesso ou fracasso, e que termina assim que um sucesso obtido.Denotemos por q a chance de sucesso em cada ensaio. O resultado desse experimento o nmero de ensaios feitos ( = {1, 2, 3, . . . }) e, neste caso, p(n) = q(1 q)n1.Seja A = sucesso em no mximo 5 tentativas e B = fracasso nas primeiras 10tentativas. Temos

P (A) = q + q(1 q) + + q(1 q)4 = q (1 q)5q

1 (1 q) = 1 (1 q)5.

e

P (B) = q(1 q)10 + q(1 q)11 + q(1 q)12 + = q(1 q)10

1 (1 q) = (1 q)10.

A seguir veremos uma formulao mais precisa desses conceitos.

Espao amostral Um conjunto no-vazio , cujos elementos representamtodos os resultados possveis de um determinado experimento, chamado deespao amostral.

1.1. ESPAO DE PROBABILIDADE 9

Exemplo 1.1.4. Se o experimento consiste em lanar uma moeda, ento = {0, 1},onde 1 cara e 0 coroa.

Exemplo 1.1.5. Se o experimento consiste em lanar um dado e observar a facesuperior, ento = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Exemplo 1.1.6. Se o experimento consiste em lanar duas moedas, ento = {0, 1}2 = {0, 1} {0, 1} = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.Exemplo 1.1.7. Se o experimento consiste em lanar dois dados e observar as facessuperiores, ento = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2.Exemplo 1.1.8. Se o experimento consiste em medir a durao de uma lmpada,ento um possvel espao amostral dado por = [0,).

Eventos aleatrios Qualquer subconjunto A do espao amostral , isto ,A , ao qual atribumos uma probabilidade, dito um evento aleatrio.

O conjunto vazio denominado evento impossvel e o conjunto denominadoevento certo. Se , o evento {} dito elementar. importante saber traduzira notao de conjuntos para a linguagem de eventos: A B o evento A ou B;A B o evento A e B e Ac o evento no A. Dois eventos A e B so ditosmutuamente exclusivos ou incompatveis se A B = . A B significa que aocorrncia do evento A implica a ocorrncia do evento B.

Faremos algumas suposies naturais sobre a classe F P() de eventos alea-trios. Mais precisamente, vamos assumir que F satisfaz as seguintes propriedades:(F1) F ;(F2) Para todo A F , tem-se que Ac F ;(F3) Se A1, A2, A3, F , ento (i=1Ai) F .Definio 1.1.9 (-lgebra). Chamaremos de -lgebra a uma classe de subcon-juntos de satisfazendo as trs propriedades acima.

Exerccio 1.1.10. Seja F uma -lgebra de subconjuntos de . Mostre que:(a) F ;(b) se A e B F ento A \B F ;(c) se A1, A2, A3, F ento (i=1Ai) F .

Observao 1.1.11. Quando um conjunto finito ou enumervel, em geral setoma F = P(), isto , o conjunto de todos os subconjuntos de , chamado oconjunto das partes.


Espao de probabilidade Seja um espao amostral e F uma -lgebra paraum dado experimento. Uma medida de probabilidade P uma aplicao P : F Rsatisfazendo as seguintes propriedades:

(P1) P (A) > 0 para todo A F .(P2) P () = 1.

(P3) Se A1, A2, F e Ai Aj = i 6= j, ento P (i=1Ai) =

i=1 P (Ai).

Definio 1.1.12 (Espao de Probabilidade). Um espao de probabilidade umtrio (,F , P ), onde

1. um conjunto no-vazio;

2. F uma -lgebra de subconjuntos de ;3. P uma probabilidade definida em F .

Teorema 1.1.13. Toda medida de probabilidade P satisfaz as seguintes proprieda-

des:

1. P () = 0.2. P (Ac) = 1 P (A).3. Se A,B F e A B ento P (A) 6 P (B). (monotonicidade)4. Se A,B F e A B ento P (B \ A) = P (B) P (A).5. Para todo A F , temos 0 6 P (A) 6 1.6. Se A1, A2, . . . , An F , ento P

( i=1

Ai

)6

i=1

P (Ai). (-subaditividade).

7. Sejam A e B F . Ento P (A B) = P (A) + P (B) P (A B).

Demonstrao. Feita em aula.

Uma medida de probabilidade P tambm tem a propriedade de ser contnua.Dizemos que An A se A1 A2 A3 e n=1 = A. Analogamente, An Ase A1 A2 A3 e n=1 = A.

Teorema 1.1.14 (Continuidade). Se An A ou An A, ento P (An) P (A).


1.2. PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDNCIA 11

1.2 Probabilidade Condicional e Independncia

A probabilidade condicional uma nova medida de probabilidade, de forma arepresentar melhor as chances de eventos aleatrios a partir da informao de queum dado evento aconteceu. definida da seguinte maneira:

Definio 1.2.1 (Probabilidade Condicional). Dados A,B F em um espao(,F , P ), definimos a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B, ousimplesmente probabilidade de A dado B, por

P (A |B) = P (A B)P (B)

.

Quando P (B) = 0, definimos P (A|B) = P (A).

Exerccio 1.2.2. Um casal tem dois filhos que no sejam gmeos. Calcule aprobabilidade condicional de esse casal ter dois filhos homens, sabendo-se que:

(a) O casal tem um filho homem.

(b) O filho mais velho do casal homem.

(c) O casal tem um filho homem que nasceu num sbado.

(d) O casal tem um filho homem que no nasceu num sbado.

Respostas aproximadas: 33%, 50%, 48%, 36%. Comente o porqu de o resultado doitem (d) ser prximo ao do item (a) e o do item (c) ser prximo ao do item (b).

Proposio 1.2.3. A probabilidade condicional uma medida de probabilidade,

isto , dado B F tal que P (B) > 0, a funo que leva A em P (A|B) satisfaz asPropriedades (P1)(P3).


Regra do produto A regra do produto permite expressar a probabilidade daocorrncia simultnea de diversos eventos a partir do valor de cada probabilidadecondicional dados os eventos anteriores.

Teorema 1.2.4 (Regra do Produto). Dados A1, A2, . . . , An em (,F , P ), vale

P (A1 An) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1A2) P (An|A1A2 An1).


Demonstrao. Vamos provar por induo em n. Para n = 1 vale trivialmente:P (A1) = P (A1). Para n = 2, temos

P (A2|A1) = P (A2 A1)P (A1)

= P (A1 A2) = P (A1)P (A2|A1).

Para n = 3, temos

P (A3|A1 A2) = P (A1 A2 A3)P (A1 A2)

e portanto

P (A1 A2 A3) = P (A1 A2)P (A3|A1 A2)= P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 A2).

Suponhamos a igualdade vlida para n = m, temos

P (Am+1|A1 Am) = P (A1 Am Am+1)P (A1 Am)

e portanto

P (A1 Am+1) = P (A1 Am) usando a hiptese

P (Am+1|A1 Am)

= P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 A2) P (Am+1|A1 Am),

completando a prova por induo.

Exemplo 1.2.5 ([Jam04]). Selecionar 3 cartas de um baralho francs de 52 cartas,ao acaso e sem reposio. Qual a probabilidade de tirar 3 reis? Seja Ai =tirar reina i-sima retirada e A =tirar 3 reis= A1 A2 A3. Temos

P (A) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 A2) = 452351

250

=1

5525.

Lei da probabilidade total Dizemos que B1, B2, B3, F formam umapartio de se Bi Bj = i 6= j e i=1Bi = .

Teorema 1.2.6 (Lei da Probabilidade Total). Sejam A,B1, B2, B3, . . . eventosaleatrios em (,F , P ) tais que B1, B2, B3, . . . formam uma partio de .Ento

P (A) =i=1

P (Bi)P (A|Bi).

1.2. PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDNCIA 13

Demonstrao. Usando a regra do produto temos

P (A) = P[i=1(A Bi)

]=

i=1

P (A Bi) =i=1

P (Bi)P (A|Bi).

A primeira igualdade vale pois A = i=1(ABi). Na segunda igualdade usamos queesses eventos so disjuntos, i.e., (ABi) (ABj) Bi Bj = para todo i 6= j.Na ltima igualdade usamos a regra do produto.

Exemplo 1.2.7. Um armrio tem duas gavetas, A e B. A gaveta A tem 2 meiasazuis e 3 meias pretas, e a gaveta B tem 3 meias azuis e 3 meias vermelhas. Abre-seuma gaveta ao acaso e retira-se uma meia ao acaso da gaveta escolhida. Qual aprobabilidade de escolher-se uma meia azul? Comeamos pelos valores conhecidos:P (A) = P (B) = 1

2, P (azul|A) = 2

5e P (azul|B) = 3

6. Assim,

P (azul) = P (A)P (azul|A) + P (B)P (azul|B) = 1225+

1236=

920.

Exerccio 1.2.8. So dadas duas urnas, A e B. A urna A contm 1 bola azul e 1vermelha. A urna B contm 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Uma bola extrada aoacaso de A e colocada em B. Uma bola ento extrada ao acaso de B. Pergunta-se:

(a) Qual a probabilidade de se retirar uma bola vermelha de B?

(b) Qual a probabilidade de ambas as bolas retiradas serem da mesma cor?

Frmula de Bayes A frmula de Bayes determina a probabilidade condicional deeventos que precedem aquele efetivamente observado. Mais precisamente, quandoconhecemos as probabilidades de uma seqncia de eventos Bj que particionam e a probabilidade condicional de um evento posterior A em termos dessa partio,podemos calcular as probabilidades condicionais de ocorrncia de cada Bj sabendo-se da ocorrncia ou no do evento A. Os valores originais so chamados deprobabilidades a priori dos eventos Bj, e os valores das probabilidades condicionaisso chamados de probabilidades a posteriori desses eventos.

Teorema 1.2.9 (Frmula de Bayes). Dado um espao de probabilidade(,F , P ), uma partio B1, B2, B3, . . . , e um evento A, para todo j N valea frmula

P (Bj|A) = P (Bj)P (A|Bj)i P (Bi)P (A|Bi)

.



Exemplo 1.2.10. No Exemplo 1.2.7, sabendo-se que uma meia azul foi retirada,qual a probabilidade de ter sido aberta a gaveta A? Pela Frmula de Bayes temos

P (A|azul) = P (A)P (azul|A)P (A)P (azul|A) + P (B)P (azul|B) =

15920

=49.

Exerccio 1.2.11 ([Roc09]). Num certo certo pas, todos os membros de comitlegislativo ou so comunistas ou so republicanos. H trs comits. O Comit 1 tem5 comunistas, o Comit 2 tem 2 comunistas e 4 republicanos, e o Comit 3 consistede 3 comunistas e 4 republicanos. Um comit selecionado aleatoriamente e umapessoa selecionada aleatoriamente deste comit.

(a) Ache a probabilidade de que a pessoa selecionada seja comunista.

(b) Dado que a pessoa selecionada comunista, qual a probabilidade de ela tervindo do comit 1?

Independncia Dois eventos aleatrios so independentes quando a ocorrnciade um deles no aumenta nem diminui a chance relativa de que ocorra o outro.

Definio 1.2.12 (Eventos Independentes). Os eventos aleatrios A e B soditos independentes se

P (A B) = P (A)P (B).

Proposio 1.2.13. So equivalentes:

(i) A e B so independentes,

(ii) A e Bc so independentes,

(iii) Ac e B so independentes,

(iv) Ac e Bc so independentes,

(v) P (A|B) = P (A),(vi) P (B|A) = P (B).Demonstrao. Feita em aula.

Definio 1.2.14 (Eventos Independentes Dois a Dois). Os eventos aleatrios(Ai)iI , onde I um conjunto qualquer de ndices, so ditos independentes doisa dois se Ai e Aj so independentes para todos i, j I com i 6= j.

1.3. EXERCCIOS 15

Exemplo 1.2.15. Lanamento de um dado de 4 faces. Considere A =par,B =menor que 3, C =1 ou 4, i.e., A = {2, 4}, B = {1, 2}, C = {1, 4}. Ento A,B e C so independentes dois a dois. De fato, Exemplo melhor:

jogar dois dados.

A =primeiro

par, B =segundo

par C =soma

par.

P (A B) = P ({2}) = 14= P (A)P (B),

P (A C) = P ({4}) = 14= P (A)P (C),

P (B C) = P ({1}) = 14= P (B)P (C).

Definio 1.2.16 (Eventos Coletivamente Independentes). Os eventos aleat-rios (Ai)iI so ditos coletivamente independentes ou estocasticamente indepen-dentes se, dado qualquer conjunto de ndices distintos i1, i2, . . . , in I, vale

P (Ai1 Ai2 Ain) = P (Ai1)P (Ai2) P (Ain).

Exemplo 1.2.17. Lanamento de um dado de 12 faces. Seja A =mltiplo de 3,B =menor ou igual a 6 e C =par, i.e., A = {3, 6, 9, 12}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} eC = {2, 4, 6, 8, 10, 12}. Ento A, B e C so coletivamente independentes, pois

P (A B) = P ({3, 6}) = 16= P (A)P (B),

P (B C) = P ({2, 4, 6}) = 14= P (B)P (C),

P (A C) = P ({6, 12}) = 16= P (A)P (C),

P (A B C) = P ({6}) = 112

= P (A)P (B)P (C).

Contra-Exemplo 1.2.18. No Exemplo 1.2.15, os eventos A, B e C no socoletivamente independentes. De fato,

P (A B C) = P () = 0 6= 18= P (A)P (B)P (C).

Contra-Exemplo 1.2.19. Lanar duas moedas honestas. Sejam A1 = primeiramoeda sai Coroa, A2 = segunda moeda sai Coroa, A3 = as moedas do omesmo resultado. Ento A1, A2 e A3 so independentes dois a dois mas no socoletivamente independentes.

1.3 Exerccios

Exerccio 1.3.1. Considere o experimento resultante do lanamento de dois dadosonde se observa o mnimo entre suas faces. Construa um modelo probabilsticoassociado.


Exerccio 1.3.2. Seja (,F , P ) um espao de probabilidade. Considere umaseqncia de eventos aleatrios (An)n=1,2,3,... em F . Defina o evento Bm: o primeiroevento a ocorrer da seqncia (An)n=1,2,3,... Am.

1. Expresse Bm em termos dos eventos An.

2. Os eventos B1, B2, . . . , Bm, . . . so disjuntos?

3. Quem o evento m=1Bm?

Exerccio 1.3.3. Considere uma populao de indivduos capazes de gerar prolesdo mesmo tipo. O nmero de indivduos inicialmente presentes, denotado por X0, o tamanho da gerao zero. Todos as proles da gerao zero constituem a primeiragerao e o seu nmero denotado por X1. Em geral, Xn denota o tamanho dan-sima gerao. Mostre que limn P (Xn = 0) existe e interprete o seu significado.

Exerccio 1.3.4. Se P (A) = P (A|B) = 14e P (B|A) = 1

2:

1. A e B so independentes?

2. A e B so mutuamente exclusivos?

3. Calcule P (Ac|Bc).

Exerccio 1.3.5. Em uma gaveta existem 2 maos de baralho fechados. Um deles um baralho comum de 52 cartas, {A, 2, 3, . . . , 9, 10, J,Q,K}{,,,}, e outro um baralho de truco com 40 cartas (no possui as cartas de nmeros 8, 9 e 10).

Um dos maos retirado da gaveta ao acaso e depois uma carta sorteada aoacaso do baralho retirado.

(a) Calcule a probabilidade de a carta sorteada ser uma das trs figuras reais(J,Q,K).

(b) Sabendo-se que foi sorteada uma figura real, calcule a probabilidade de obaralho retirado ter sido o baralho comum.

(c) Calcule a probabilidade de a carta sorteada ser de espadas .(d) Sabendo-se que foi sorteada uma carta de espadas, calcule a probabilidade de

o baralho retirado ter sido o baralho de truco.

(e) Sejam A =Foi retirado o baralho comum, B =Foi sorteada uma figura reale C =Foi sorteada uma carta de espadas. A e B so independentes? A e Cso independentes? A, B e C so coletivamente independentes?

(f) Qual a probabilidade de se sortear uma carta de nmero 5 ?

(g) Sabendo-se que foi sorteado um nmero (i.e., no foi sorteado A, J , Q nemK), qual a probabilidade de o baralho retirado ter sido o baralho de truco?

1.3. EXERCCIOS 17

Exerccio 1.3.6. [Jam04, Captulo 1].Recomendados: 1, 2, 3, 4, 5, 11, 16, 18, 22.Sugeridos: 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21.

Captulo 2

Variveis Aleatrias

Na realizao de um fenmeno aleatrio, muitas vezes estamos interessados em umaou mais quantidades, que so dadas em funo do resultado do fenmeno. Porexemplo, sortear 11 cartas do baralho e contar quantas dessas cartas so de espadas,ou sortear dois nmeros reais entre 0 e 1 e considerar o menor deles. A essasquantidades damos o nome de variveis aleatrias. Uma varivel aleatria umobservvel numrico resultante de um experimento.

2.1 Variveis Aleatrias

Uma varivel aleatria uma funo que associa a cada resultado do espaoamostral um nmero real, ou seja, uma funo

X : R 7 X()

.

Exemplo 2.1.1. Joga-se um dado e observa-se a face superior. Nesse caso temos = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e X() = .

Vamos colocar uma restrio sobre a funo X com o intuito de poder associarprobabilidade a eventos como o valor observado de X menor que 7. Para isso,introduzimos uma definio mais formal:

Definio 2.1.2 (Varivel Aleatria). Uma varivel aleatria X em um espaode probabilidade (,F , P ) uma funo real definida no espao tal que oconjunto { : X() 6 x} evento aleatrio para todo x R, isto ,

X : R uma varivel aleatria se { : X() 6 x} F para todo x R.

Daqui para frente denotaremos por [X 6 x] o evento { : X() 6 x}.

19

20 CAPTULO 2. VARIVEIS ALEATRIAS

Exemplo 2.1.3 (Varivel aleatria constante). Se X() = c para todo , ento

{ : X() 6 a} =, se a > c,, se a < c.

Portanto, X varivel aleatria.

Exemplo 2.1.4 (Funo indicadora). Dado A , definimos

1A() =

1, A,0, 6 A.Se A F e X = 1A, ento

{ : X() 6 a} =

, se a > 1,

Ac, se 0 6 a < 1,

, se a < 0.

Portanto, X varivel aleatria.

Contra-Exemplo 2.1.5. Sejam = {1, 2, 3, 4} e F = {, {1, 2}, {3, 4},} econsidere os conjuntos A = {1, 2} e B = {1, 3}. Ento 1A varivel aleatriaem (,F), mas 1B no .

Espao de probabilidade induzido e lei de uma varivel aleatria A -lgebra de Borel na reta R, denotada por B, a menor -lgebra que contm todosos intervalos da reta.1 Os conjuntos B R tais que B B so chamados Borelianos.A -lgebra de Borel B muito menor que a -lgebra das partes P(R), e daqui emdiante, sempre que aparecer B R, deve-se entender B B.

Dado um espao de probabilidade (,F , P ) e uma varivel aleatriaX, definimoso espao de probabilidade induzido por X como (R,B, PX), onde

PX(B) = P({ : X() B}

), B B.

Ou seja, o espao amostral o conjunto dos nmeros reais, os eventos aleatriosso os conjuntos Borelianos, e a medida de probabilidade aquela induzida por X.Chamaremos de lei da varivel aleatria X a medida de probabilidade PX em Rinduzida por X.

1Equivalentemente, B a menor -lgebra que contm todos os intervalos semi-infinitos, ouainda, a menor -lgebra que contm todos os conjuntos abertos. O leitor mais curioso pode

ver [Jam04, Exerccio 1.6] a respeito da existncia e unicidade da menor -lgebra que contendo

determinada classe de conjuntos.

2.1. VARIVEIS ALEATRIAS 21

Funo de Distribuio

Definio 2.1.6 (Funo de Distribuio). A funo de distribuio, ou funode distribuio acumulada da varivel aleatria X, denotada por FX , definidacomo

FX(x) = P (X 6 x), x R.

Observao 2.1.7. A funo de distribuio determina o comportamento esta-tstico da varivel aleatria, e vice-versa. Dadas X e Y variveis aleatrias,FX(t) = FY (t) para todo t R se e somente se PX e PY em (R,B) so iguais. Porisso a funo de distribuio uma caracterstica fundamental da varivel aleatria.

Exerccio 2.1.8. Duas moedas honestas so lanadas. Seja a varivel X queconta o nmero de caras observadas. Construa a funo de distribuio da varivel Transformar em

exemplo e incluir o

grfico.aleatria X e represente-a graficamente.

Exerccio 2.1.9. Seja um experimento que consiste em selecionar um ponto aoacaso do intervalo [a, b] com a < b. Seja X a varivel aleatria que representa acoordenada do ponto. Construa a funo de distribuio da varivel aleatria X e Transformar em

exemplo e incluir o

grfico.represente-a graficamente.

Proposio 2.1.10 (Propriedades da Funo de Distribuio). Se X uma varivelaleatria, sua funo de distribuio FX satisfaz as seguintes propriedades:

1. FX no-decrescente, i.e., x 6 y FX(x) 6 FX(y).2. FX contnua direita, i.e., xn x FX(xn) FX(x).3. limx FX(x) = 0 e limx+ FX(x) = 1.


Observao 2.1.11. Uma funo F : R R satisfazendo as propriedades acima chamada funo de distribuio.

Exerccio 2.1.12. Mostre que

1. P (X > a) = 1 FX(a).2. P (a < X 6 b) = FX(b) FX(a).3. P (X = a) = FX(a) FX(a).

Ou seja, P (X = a) o tamanho do salto da funo de distribuio em x = a.

4. P (X = a) = 0 se e somente se FX contnua em a.


5. P (a < X < b) = FX(b) FX(a).6. P (a 6 X < b) = FX(b) FX(a).7. P (a 6 X 6 b) = FX(b) FX(a).

Exerccio 2.1.13. Seja F (x) a funo

F (x) =

0, x < 0,

x+ 12, 0 6 x 6 1

2

1, x > 12.

Mostre que F de fato uma funo de distribuio e calcule:

(a) P (X > 18)

(b) P (18< X < 2

5)

(c) P(X < 2

5

X > 18

)

2.2 Variveis Aleatrias Discretas

Definio 2.2.1. Dizemos que uma varivel aleatria X, sua funo de dis-tribuio FX e sua lei PX so discretas se existe um conjunto enumervel{x1, x2, x3, . . . } R tal que

n=1

P (X = xn) = 1.

Neste caso definimos a funo de probabilidade de uma varivel aleatria contnuacomo

pX(x) = P (X = x).

Note que, se X discreta assumindo valores em {x1, x2, x3, . . . }, ento temos queP (X {x1, x2, . . . }) = 1 e P (X 6 {x1, x2, . . . }) = 0. No tratamento de variveisaleatrias discretas, tudo pode ser feito em termos de somatrios. A lei de umavarivel aleatria discreta dada por

PX(B) =xB

pX(x) B B.

2.2. VARIVEIS ALEATRIAS DISCRETAS 23

Observao 2.2.2. Uma funo p() satisfazendo

p(x) > 0 x R, xR

p(x) = 1,

chamada funo de probabilidade.

Observao 2.2.3. Para especificar a distribuio ou a lei de uma varivel aleatriadiscreta, suficiente saber sua funo de probabilidade, e vice-versa. Com efeito,FX(t) =

x6t pX(x) e

pX(x) = F (x) F (x).

Exerccio 2.2.4 ([Roc09]). A probabilidade de um indivduo acertar um alvo 2/3.Ele deve atirar at atingir o alvo pela primeira vez. Seja X a varivel aleatria querepresenta o nmero de tentativas at que ele acerte o alvo.

(a) Encontre a funo de probabilidade de X.

(b) Mostre que pX funo de probabilidade.

(c) Calcule a probabilidade de serem necessrios exatamente cinco tiros para queele acerte o alvo.

Exerccio 2.2.5. Seja X uma varivel aleatria com funo de probabilidadeP (X = x) = cx2, onde c uma constante e k = 1, 2, 3, 4, 5.

(a) Encontre pX(x) e FX(x).

(b) Calcule P (X ser mpar).

Distribuio de Bernoulli Dizemos que X Bernoulli, X Bernoulli(p), sepX(1) = p e pX(0) = 1 p. Indicadores de eventos so Bernoulli e vice-versa. svezes associamos o evento [X = 1] a sucesso e [X = 0] a fracasso.

Distribuio uniforme discreta Dado I = {x1, x2, . . . , xk}, dizemos que X temdistribuio uniforme discreta em I, denotado por X Ud[I], se

pX(xi) =1k, i = 1, 2, . . . , k.

Exemplo 2.2.6. Lanamento de um dado. Temos I = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e p(i) = 16,

i = 1, 2, . . . , 6.


Distribuio binomial Considere n ensaios de Bernoulli independentes e commesmo parmetro p, e seja X o nmero de sucessos obtidos. Dizemos que X segueo modelo binomial com parmetros n e p, X b(n, p). A funo de probabilidade dada por

pX(x) =(nx

)px(1 p)nx, x = 0, 1, 2, . . . , n.

Exemplo 2.2.7. Lanar um dado 4 vezes e contar o nmero de vezes que se obtmo nmero 3. Temos X b(4, 1

6). A probabilidade de se obter 3 duas vezes dada

por

P (X = 2) = pX(2) =(42

) (16

)2 (56

)42=

4!2!(4 2)!

52

64=

25216

.

Exerccio 2.2.8. Seja X o nmero de caras obtidas em 4 lanamentos de umamoeda honesta. Construa a funo de probabilidade e a funo de distribuio deX esboando os seus grficos.

Distribuio geomtrica Numa seqncia de ensaios independentes com proba-bilidade de sucesso p, considere o nmero X de ensaios necessrios para a obtenode um sucesso. Dizemos que X segue o modelo geomtrico de parmetro p,X Geom(p), e sua funo de probabilidade dada por

pX(n) = p(1 p)n1, n = 1, 2, 3, 4, . . . .Exemplo: Lanar

um par de dados

at obter nmeros

iguais

Distribuio hipergeomtrica Suponha que numa caixa existem m bolas azuise n bolas brancas, de onde retiramos r bolas ao acaso. Contamos o nmero Xde bolas azuis retiradas. Se aps cada retirada a bola fosse devolvida caixa,teramos um experimento com reposio, e X b(r, m

m+n). No caso em que as bolas

retiradas so guardadas fora da caixa, temos um experimento sem reposio, e nessecaso X segue o modelo hipergeomtrico com parmetros m, n e r, denotado porX Hgeo(m,n, r). A funo de probabilidade de X dada por

pX(k) =

(mk

)(n

rk)

(m+nr

) , para [0 r n] 6 k 6 [r m].Exemplo 2.2.9. Num jogo de bingo com 50 pedras, conta-se o nmero X de pedraspares sorteadas nas 10 primeiras retiradas. Neste caso, X Hgeo(25, 25, 10).

Exemplo 2.2.10. No jogo de buraco um jogador recebe 11 cartas de um baralhofrancs de 52 cartas. Conta-se o nmero X de cartas de espadas . Neste caso,X Hgeo(13, 39, 11).

2.3. VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS 25

Distribuio de Poisson Imagine uma grande quantidade de determinados ob-jetos (estrelas, chamadas telefnicas, uvas-passas, etc.) uniformemente distribudasem uma certa regio (o espao, a linha do tempo, uma massa de panetone, etc.)tambm muito grande, sendo a proporo entre a quantidade de objetos e otamanho dessa regio. Se contamos o nmero X de objetos encontrados em umaunidade de volume dessa regio, temos que X segue o modelo de Poisson comparmetro , denotado por X Poisson(), com funo de probabilidade

pX(k) =ek

k!, k = 0, 1, 2, 3, . . . .

De fato, se temos n grande e pn = n , ento para todo k fixado temos

P (X = k) =(nk

) (n

)k (1

n

)nk=

k

k!

(nnn1n nk+1

n

) (1

n

)nk ekk!

.

Exemplo 2.2.11. Se em 1.000 horas de servio uma operadora recebe 50.000chamadas, essas chamadas acontecendo em instantes independentes e uniformementedistribudas ao longo dessas 1.000 horas, ento a distribuio da quantidade X dechamadas recebidas em 1 hora bem aproximada por X Poisson(50).

2.3 Variveis Aleatrias Contnuas

Definio 2.3.1. Uma varivel aleatria X dita contnua se P (X = a) = 0 paratodo a R, ou seja, se FX for contnua no sentido usual.

Definio 2.3.2. Dizemos que uma varivel aleatria X, sua funo de dis-tribuio FX e sua lei PX so absolutamente contnuas se existe fX() > 0 talque

PX(B) = P (X B) =BfX(x) dx B B.

Neste caso, dizemos que fX a funo de densidade de probabilidade de X, ousimplesmente densidade de X.

Observao 2.3.3. No tratamento de variveis aleatrias absolutamente contnuas,tudo pode ser feito em termos de integrais. A funo de distribuio de uma varivelaleatria absolutamente contnua dada por

FX(t) = t

fX(s) ds.


Observao 2.3.4. Uma funo f() satisfazendo

f(x) > 0 x R, +

f(x) dx = 1,

chamada funo de densidade.

Observao 2.3.5. A densidade fX pode ser obtida por

fX(x) =ddx

FX(x),

para todo x R, exceto talvez para um conjunto pequeno.2 Portanto, paraespecificar a distribuio ou a lei de uma varivel aleatria absolutamente contnua, suficiente saber sua funo de densidade, e vice-versa.

Exemplo 2.3.6. Sortear um nmero em [0, 1]. Definimos

fX(x) =

1, x [0, 1]0, caso contrrio,e neste caso temos

FX(t) = t

fX(x) dx =

0, t 6 0,

t, 0 6 t 6 1,

1, t > 1.

Exerccio 2.3.7 ([Roc09]). Mostre que se X uma varivel aleatria do tipocontnuo com funo de densidade par, ou seja, simtrica em torno de x = 0, isto ,fX(x) = fX(x), ento:(a) FX(x) = 1 FX(x);(b) FX(0) = 12 ;

(c) P (x < X < x) = 2FX(x) 1, x > 0;(d) P (X > x) = 1

2 x0 fX(t)dt, x > 0.

2 Dizemos que um conjunto A B pequeno, isto , tem medida zero, se, para todo > 0, existeuma seqncia de intervalos (an, bn) cuja unio contenha A e cujo tamanho total seja pequeno,

isto ,

n=1(bn an) 6 . Por exemplo, se A = {x1, x2, . . . } enumervel, ento podemostomar a seqncia de intervalos (xn 2n1, xn + 2n1), que contm A e cujo tamanho total exatamente . Podemos modificar a densidade fX em um conjunto pequeno de pontos e ainda

teremos uma densidade para X, pois um conjunto pequeno no altera o valor da integral.


Exerccio 2.3.8 ([Roc09]). Suponha que X seja uma varivel aleatria com densi-dade dada por

fX(x) =1

2(1 + |x|)2 , < x 1).

Falar do quantil de

uma varivel

aleatria contnua

Exerccio 2.3.9. Seja Z uma varivel aleatria contnua com funo de densidadede probabilidade

fZ(z) =

{10 e10z, z > 00, z 6 0

Obtenha a funo de distribuio de Z e esboce o seu grfico.

A uniforme

contnua dada

pelo limite de

uniformes discretas

Distribuio uniforme Dizemos que a varivel aleatria X tem distribuiouniforme no intervalo [a, b], denotado por X U [a, b], se todos os subintervalosde [a, b] com mesmo comprimento tiverem a mesma probabilidade. Sua densidade

Dar exemplo

fX(x) =

1

ba , x [a, b],0, x 6 [a, b].

A exponencial

dada pelo limite de

geomtricas com

intervalos curtos

de tempo

Distribuio exponencial Dizemos que X tem distribuio exponencial comparmetro > 0, denotado por X exp(), se sua funo de distribuio for dadapor Dar exemplo

FX(x) =

1 ex, x > 0,

0, x 6 0.

Distribuio gama A distribuio gama tem dois parmetros, e , e incluicomo casos particulares a distribuio exponencial e as chamadas qui-quadrado eErlang. Dizemos que X tem distribuio gama com parmetros positivos e ,denotado por X Gama(, ), se X tem densidade dada por

fX(x) =

x1ex

(), x > 0,

0, x < 0,

onde() =

0

x1ex dx.


Tabela 2.1: (x+ y), onde x so os valores das linhas e y os das colunas.0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890

2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916

2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964

2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974

2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981

2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993

3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995

3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997

3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998


Distribuio Normal Dizemos que a varivel aleatria X tem distribuionormal com parmetros R e 2 > 0, denotado por X N (, 2), se X temcomo densidade

fX(x) =122

e(x)222 , x R.

A distribuio N = N (0, 1) chamada normal padro.Denotamos por a funo de distribuio acumulada de uma normal padro N ,

dada por

(t) = FN (t) = P (N 6 t) = t

ex2/2

2

dx.

Em geral, a soluo de problemas numricos envolvendo a distribuio normal incluia consulta de uma tabela de valores de ((t); t > 0) com os valores de t apropriados.Na Tabela 2.1 exibimos os valores de (t) para t = 0, 00, 0, 01, 0, 02, . . . , 3, 49.

Para t < 0 usa-se a identidade

(t) = 1 (t).

Conseqentemente,

P (+a < N < +b) = (b) (a)P (a < N < b) = (b) (a) = (a) (b)P (a < N < +b) = (b) (a) = (b) + (a) 1.

Em particular,P (a < N < a) = 2(a) 1.

Exemplo 2.3.10. Calculemos as seguintes probabilidades:

(a) P (0 < N < 1) = (1) (0) 0, 8413 0, 5000 = 0, 3413.(b) P (1.93 < N < 3) = (1.93) + (3) 1 0, 9732 + 0, 9988 1 = 0, 9720.(c) P (1.8 < N < 1.8) = 2(1.8) 1 2 0, 9641 1 = 0, 9282.(d) Para qual x tem-se P (x < N < x) = 0, 90?

2(x) 1 = 0, 90 (x) = 0, 95 x 1, 645.(e) Para qual x tem-se P (x < N < x) = 0, 6826?

2(x) 1 = 0, 6826 (x) = 0, 8413 x 1, 000.Exerccio 2.3.11. Mostre que, se Y = aX + b com a > 0 e b R, ento fY (y) =1afX(

yba). Sugesto: determine FY (y), y R, em termos de fX(x), x R, sabendo

que FX(t) = t fX(x) dx, e depois tome a derivada.

Exerccio 2.3.12. Mostre que se X N (, 2) ento a varivel aleatria X

temdistribuio normal padro.


2.4 Distribuies Mistas e Singulares

Uma varivel aleatria discreta X vive em um conjunto enumervel de pontos cujaprobabilidade de ocorrncia positiva, e nesse contexto tudo se expressa em termosde somatrios ponderados pela funo pX . Uma varivel aleatria absolutamentecontnua X vive em R, sua distribuio em cada intervalo (n, n + 1] similar deuma distribuio uniforme, apenas seu peso ponderado pela funo fX . Nessecontexto tudo se expressa em termos de integrais com fX(x) dx.

Existem variveis aleatrias que so misturas dos tipos discreto e absolutamentecontnuo. Dizemos que X uma varivel aleatria mista com componentes discretae absolutamente contnua se existem pX e fX tais que

P (X B) = xB

pX(x) +BfX(x) dx.

Distribuies singulares Alm desses casos, existem variveis aleatrias cujaparte contnua no absolutamente contnua. Por um lado, nenhum ponto emparticular tem probabilidade positiva de ocorrer, o que afasta o tratamento porsomatrios do caso discreto. Por outro lado, sua distribuio no similar de umadistribuio uniforme, e de fato a varivel aleatria vive em um conjunto pequeno dareta, no sendo aplicvel tampouco o uso de integrais em f(x)dx para nenhuma f .A tais variveis chamamos de singulares.

Toda varivel aleatria pode ser decomposta em suas partes discreta, absoluta-mente contnua, e singular. Neste texto no daremos nfase a esse tpico. O leitorpode ler mais a respeito em [Jam04, pp. 44-48], e nas referncias ali citadas.

2.5 Distribuio Condicional dado um Evento

Dado um evento A com P (A) > 0, definimos a funo de distribuio de X dado A

FX(t|A) = FX|A(t) = P (X 6 t|A), t R.

Exemplo 2.5.1. Considere dois lanamentos de uma moeda honesta e seja X onmero de caras obtidas. Temos

FX(t) =

0, t < 0,14, 0 6 t < 1,

34, 1 6 t < 2,

1, t > 2.

2.6. EXERCCIOS 31

Seja A o evento pelo menos uma moeda deu cara. Temos

FX(t|A) =

0, t < 1,23, 1 6 t < 2,

1, t > 2.

Se X discreta, definimos ainda a funo de probabilidade condicional de Xdado A, pX( |A) ou pX|A( ), como a funo de probabilidade associada funo dedistribuio FX( |A). No exemplo acima, temos

pX(x|A) =

23, x = 1,

13, x = 2,

0, caso contrrio.

Se X absolutamente contnua, definimos a funo densidade de probabilidadecondicional de X dado A, fX( |A) ou fX|A( ), como a densidade associada funode distribuio FX( |A).

2.6 Exerccios

Exerccio 2.6.1. Mostre que, se duas variveis aleatrias X e Y so iguais quasecertamente, isto , P (X = Y ) = 1, ento FX = FY .

Exerccio 2.6.2. Encontre os valores das constantes reais e de modo que afuno F abaixo seja funo de distribuio acumulada de alguma varivel aleatriadefinida em algum espao de probabilidade:

F (x) =

0, x 6 0,+ ex2/2, x > 0.Exerccio 2.6.3. Seja X o nmero de caras obtidas em 4 lanamentos de umamoeda honesta. Determine a funo de probabilidade de X. Desenhe o grfico dafuno de distribuio da varivel aleatria X.

Exerccio 2.6.4. Se

f(t) =

e3t + c et, t > 0,

0, t 6 0,

funo de densidade, ache c.

Exerccio 2.6.5. Se f(t) = c 3t2et1[0,2](t) funo de densidade, ache c.

Exerccio 2.6.6. Mostre que a funo de probabilidade do modelo de Poisson defato uma funo de probabilidade.


Exerccio 2.6.7. Perda de memria do modelo geomtrico.

1. Mostre que P (X > m + n|X > n) = P (X > m) para inteiros no-negativos,se X segue o modelo geomtrico.

2. Se X segue o modelo geomtrico, prove que a distribuio de X dado queX > n igual distribuio de X + n.

Exerccio 2.6.8. Mostre que a densidade do modelo uniforme contnuo de fatouma funo de densidade.

Exerccio 2.6.9. Mostre que a distribuio do modelo exponencial de fato umadistribuio. Calcule a densidade associada.

Exerccio 2.6.10. Seja X uma varivel aleatria em (,F , P ) com distribuioexponencial de parmetro > 0. Considere N = X, o menor inteiro maior ouigual a X. Encontre a distribuio de N .

Exerccio 2.6.11. Uma pesquisa eleitoral determinou que a inteno de voto doCandidato A de 46%, com margem de erro de 3%, para mais ou para menos.Ou seja, a inteno de voto desse candidato tem distribuio normal com mdia = 46% e desvio-padro = 3%. Calcule a probabilidade de o Candidato A termais de 50% das intenes de voto.

Exerccio 2.6.12. Uma caixa contm 10 parafusos, cujos tamanhos so normais in-dependentes, com mdia 21, 4mm e desvio-padro 0, 5mm. Calcule a probabilidadede que nenhum dos parafusos tenha mais de 22mm.

Exerccio 2.6.13. Perda de memria do modelo exponencial.

1. Mostre que P (X > t + s|X > s) = P (X > t) para t, s > 0 se X temdistribuio exponencial.

2. Mostre que a distribuio de X dado que X > s igual distribuio de X+s.

Exerccio 2.6.14. Se X exp() e Y = 5X, ache a distribuio acumulada de Y .Ache a funo de distribuio condicional e a densidade condicional de Y dadoque X > 3.

Exerccio 2.6.15. [Jam04, Captulo 2]. Recomendados: 1, 5, 6, 7, 9, 10, 13, 14.

Captulo 3

Vetores Aleatrios

Imagine que queremos produzir duas variveis aleatrias com distribuioBernoulli(1

2). A forma mais natural seria lanar uma moeda duas vezes e considerar

o par X = (Z,W ). Uma outra forma de faz-lo seria, por exemplo, lanar a moedaapenas uma vez e copiar o resultado: Y = (Z,Z).

Em ambos os casos, produziu-se um par de variveis aleatrias distribudas comoBernoulli(1

2). Entretanto, o comportamento conjunto dessas variveis aleatrias

bem diferente nos dois casos.Neste captulo vamos estudar as principais propriedades dos vetores aleatrios,

isto , a combinao de muitas variveis aleatrias em que se considera seu compor-tamento estatstico conjunto.

3.1 Vetores Aleatrios

Comeamos com um pouco de notao vetorial. x Rd representa uma d-upla denmeros reais, x = (x1, x2, . . . , xd). Uma funo X em associa a cada umad-upla, i.e., um vetor X() = (X1(), X2(), . . . , Xd()).

Denotamos por x 6 y o conjunto de desigualdades xi 6 yi, i = 1, . . . , d,isto , x 6 y se, e somente se, vale a desigualdade para todas as coordenadassimultaneamente. Analogamente denotamos por x < y o conjunto de desigualdadesxi < yi, i = 1, . . . , d. Dados a 6 b, denotamos por [a, b] o conjunto {x Rd : a 6x 6 b}. Analogamente para (a, b], etc.

Definio 3.1.1 (Vetor aleatrio). Um vetor aleatrio X = (X1, . . . , Xd) umafuno X : Rd tal que cada coordenada Xi uma varivel aleatria.

33

34 CAPTULO 3. VETORES ALEATRIOS

Espao de probabilidade induzido e lei de um vetor aleatrio Como nareta, a -lgebra de Borel no espao Euclidiano Rd, denotada por Bd, a menor -lgebra que contm todos os octantes {x Rd : x 6 t}, t Rd. Dado um espao deprobabilidade (,F , P ) e um vetor aleatrio X, definimos o espao de probabilidadeinduzido por X como (Rd,Bd, PX), onde

PX(B) = P({ : X() B}

), B Bd.

Ou seja, o espao amostral o conjunto dos vetores d-dimensionais, os eventosaleatrios so os conjuntos Borelianos, e a medida de probabilidade aquela induzidapor X. Chamaremos de lei do vetor aleatrio X a medida de probabilidade PXem Rd induzida por X.

Funo de Distribuio Conjunta

Definio 3.1.2 (Funo de Distribuio Conjunta). A funo de distribuioconjunta de um vetor aleatrio X, denotada por FX , uma funo FX : Rd Rdada por

FX(t) = P(X 6 t

).

Exemplo 3.1.3. Lanamos duas moedas honestas e consideramos X1 = quantidadede caras, X2 = 1 se os resultados forem iguais, 0 se forem diferentes, e X = (X1, X2).Temos ento

P (X 6 t) =

0, t1 < 0 ou t2 < 0, pois [X 6 t] = ;0, t1, t2 [0, 1), pois [X 6 t] = [X1 = 0, X2 = 0] = ;12, t1 > 1, t2 [0, 1), pois [X 6 t] = [X1 = 1, X2 = 0];

14, t1 [0, 1), t2 > 1, pois [X 6 t] = [X1 = 0, X2 = 0];

34, t1 [1, 2), t2 > 1, pois [X 6 t] = [X1 = 0 ou 1];

1, t1 > 2, t2 > 1, pois [X 6 t] = .

Os valores de FX so ilustrados na Figura 3.1.

Considere o operador ia,b sobre funes de Rd em R, dado por(

ia,bF)(x) = F (x1, . . . , xi1, b, xi+1, . . . , xd) F (x1, . . . , xi1, a, xi+1, . . . , xd).

Note que a funo ia,bF no depende da i-sima coordenada de x.

Proposio 3.1.4. Para a 6 b Rd, 1a1,b1 dad,bdFX = P (a < X 6 b).

3.1. VETORES ALEATRIOS 35

t1

t2

1/4

1/2

3/4

1

1

1

2

0

Figura 3.1: Valores assumidos por FX(t1, t2) para cada (t1, t2) R2.

Demonstrao. Para quaisquer x,a 6 b, temos

dad,bdFX(x) = P (X1 6 x1, . . . , Xd1 6 xd1, Xd 6 bd) P (X1 6 x1, . . . , Xd1 6 xd1, Xd 6 ad) == P (X1 6 x1, . . . , Xd1 6 xd1, ad < Xd 6 bd),

e sucessivamente obtemos

jaj ,bj dad,bdFX(x) =[jaj ,bj

(j+1aj+1,bj+1 dad,bdFX

)](x) =

= P (X1 6 x1, . . . , Xj1 6 xj1, Xj 6 bj, aj+1 < Xj+1 6 bj+1, . . . , ad < Xd 6 bd) P (X1 6 x1, . . . , Xj1 6 xj1, Xj 6 aj, aj+1 < Xj+1 6 bj+1, . . . , ad < Xd 6 bd) == P (X1 6 x1, . . . , Xj1 6 xj1, aj < Xj 6 bj, . . . , ad < Xd 6 bd).

Tomando j = 1 temos

1a1,b1 dad,bdFX(x) = P (a1 < X1 6 b1, . . . , ad < Xd 6 bd).

Proposio 3.1.5 (Propriedades da Funo de Distribuio Conjunta). Se X um vetor aleatrio em (,F , P ), ento sua funo de distribuio FX goza dasseguintes propriedades:

1. FX no-decrescente em cada uma de suas coordenadas.

2. FX contnua direita em cada uma de suas coordenadas.

3. Se (xk)k tal que, para algum j, xkj , ento FX(x) 0.4. Se (xk)k tal que, para todo j, xkj +, ento FX(x) 1.5. Para a 6 b Rd, 1a1,b1 dad,bdFX > 0.



Contra-Exemplo 3.1.6. Considere a seguinte funo:

F (x, y) =

1, x > 0, y > 0, x+ y > 1,0, caso contrrio.Ento 10,1

20,1F = F (1, 1) F (1, 0) F (0, 1) + F (0, 0) = 1 1 1 + 0 = 1 < 0.

Portanto, F no pode ser funo de distribuio conjunta, ainda que satisfaa asPropriedades 14.

Funo de distribuio marginal A partir da funo de distribuio conjunta,pode-se obter o comportamento de cada varivel isoladamente.

A funo de distribuio de uma das coordenadas do vetor X denominadafuno de distribuio marginal e obtida da seguinte forma:

FXj(xj) = limxii6=j

FX(x1, . . . , xd),

em que o limite aplicado em tofdas as coordenadas, exceto j. De forma maisgeral, a funo de distribuio do vetor (X1, . . . , Xi1, Xi+1, . . . , Xd) dada porF(X1,...,Xi1,Xi+1,...,Xd)(x1, . . . , xi1, xi+1, . . . , xd) = limxi FX(x1, . . . , xd).


Exemplo 3.1.7. No Exemplo 3.1.3, temos

FX1(t) =

0, t < 0,14, 0 6 t < 1,

34, 1 6 t < 2,

1, t > 2,

FX2(t) =

0, t < 0,12, 0 6 t < 1,

1, t > 1.

3.2 Tipos de Vetores AleatriosExplicar os tipos

de vetores

aleatrios

Definio 3.2.1. Dizemos que um vetor aleatrio X, sua funo de distri-buio FX e sua lei PX so discretos se existem {x1,x2,x3, . . . } tais queP(X {x1,x2,x3, . . . }

)= 1. Neste caso, a funo de probabilidade de X

dada porpX(x) = P

(X = x

).

3.2. TIPOS DE VETORES ALEATRIOS 37

Um vetor aleatrio X discreto se e somente se suas coordenadas X1, . . . , Xd sodiscretas. Uma funo p() satisfazendo

x

p(x) = 1 e p(x) > 0, x Rd

funo de probabilidade conjunta.

Funo de probabilidade marginal A funo de probabilidade marginal deuma varivel Xi obtida somando-se nas demais variveis:

pXi(xi) = P (Xi = xi) =x1

xi1

xi+1

xd

p(x1, . . . , xi1, xi, xi+1, . . . , xd).

Demonstrao. Feita em aula. De forma maisgeral, podemos

eliminar uma

coordenada de

cada vezExerccio 3.2.2. No Exemplo 3.1.3, obtenha a funo de probabilidade de X, e asfunes de probabilidade marginais de X1 e X2.

Definio 3.2.3. Dizemos que um vetor aleatrio X, sua funo de distribui-o FX e sua lei PX so absolutamente contnuos se existe fX() > 0 tal que

P (X B) =BfX(x) ddx B Bd.

Neste caso, dizemos que fX a funo de densidade conjunta de X, ousimplesmente densidade de X.

Uma funo f() satisfazendo

f(x) > 0, x Rd eRdf(x) ddx = 1

chamada funo de densidade conjunta.

Observao 3.2.4. A funo de distribuio conjunta de X pode ser calculada por

FX(t) = t1

td

fX(x) dxd dx1,

e a densidade conjunta fx pode ser calculada por


fX(x) =d

x1 xdFX(x1, . . . , xd),

isto , calculando sucessivamente as derivadas parciais com relao a cada uma dascoordenadas.

Exemplo 3.2.5. Seja G Rd uma regio tal que VolG > 0, onde VolG o volumed-dimensional de G. Dizemos que X = (X1, X2, . . . , Xd) com funo de densidade

fX(x1, . . . , xd) =

1

VolG, (x1, . . . , xd) G

0, (x1, . . . , xd) / G uniformemente distribudo em G.

Observao 3.2.6. Se um vetor aleatrio X absolutamente contnuo, entosuas coordenadas X1, . . . , Xd so absolutamente contnuas, mas no vale arecproca! De fato, muito fcil construir um vetor aleatrio contnuo que no absolutamente contnuo.

Exerccio 3.2.7. Seja X U [0, 1], Y = 1X e X = (X,Y ). Encontre a funo dedistribuio conjunta FX(x, y). Verifique que

2

yxFX(x, y) = 0 para todo par (x, y)

no plano R2, exceto em algumas retas ou segmentos de reta.1 As coordenadas de Xso absolutamente contnuas, mas o vetor X no absolutamente contnuo!

Densidade marginal A densidade de uma varivel Xi chamada densidademarginal, e pode ser calculada por

fXi(xi) = +

+

d1 vezes

f(x1, . . . , xi, . . . , xd) dx1 dxd exceto xi

.

Demonstrao. Feita em aula. De forma maisgeral, podemos

eliminar uma

coordenada de

cada vez

1Dizemos que um Boreliano A Bd pequeno, isto , tem medida zero, se, para todo > 0,existe uma seqncia de paraleleppedos (aj , bj) cuja unio contenha A e cujo tamanho total seja

pequeno, isto ,

j=1(bj1 aj

1) (bjd ajd) 6 . Por exemplo, se A = {(x, y) : x > 0, y = 0}

uma semi-reta no plano, ento podemos tomar a seqncia (j 1, j) (2j1, 2j1). Essaseqncia contm a semi-reta A e seu tamanho total exatamente .

3.3. INDEPENDNCIA DE VARIVEIS ALEATRIAS 39

Exerccio 3.2.8. Sejam trs variveis aleatrias X, Y e Z com funo de densidadeconjunta dada por

f(x, y, z) =

{kxy2z, se 0 < x 6 1, 0 < y 6 1 e 0 < z 6

2

0, caso contrrio

Encontre o valor de k e ache a funo de densidade marginal de X.

Vetores Aleatrios Mistos

Como no caso uni-dimensional, dizemos que um vetor aleatrio X do tipo mistocom componentes discreta e absolutamente contnua se existem pX e fX tais que

P (X B) = xB

pX(x) +BfX(x) ddx B Bd.

3.3 Independncia de Variveis Aleatrias

Definio 3.3.1. Dizemos que as variveis aleatrias X1, X2, . . . , Xd em(,F , P ) so coletivamente independentes, ou simplesmente independentes, se

P (X1 B1, . . . , Xd Bd) = P (X1 B1) P (Xd Bd)

para quaisquer B1, . . . , Bd B.

Observao 3.3.2. Dada uma famlia de variveis aleatrias independentesX1, X2, . . . , Xd, qualquer subfamlia tambm formada por variveis aleatriasindependentes.

Proposio 3.3.3. So equivalentes:

(i) X1, X2, . . . , Xd so independentes.

(ii) FX(t) = FX1(t1)FX2(t2) FXd(td) para todo t Rd.(iii) FX(t) = F1(t1)F2(t2) Fd(td) para todo t Rd, com F1, . . . , Fd funes

reais.


Ideia da prova. (i) (ii) (iii) so triviais. Suponha (iii). Calculando a marginaltemos

FXi(xi) = limxjj 6=i

FX(x) = Fi(xi) j 6=i

limxj

Fj(xj) = ci Fi(xi),

onde ci 6= 0 pois FXi no pode ser uma funo constante. Assim,

FX(x1, . . . , xd) =1

c1 cd FX1(x1) FXd(xd).

Fazendo xi i, temos que c1 cd = 1, portanto (iii) (ii).Assumindo (ii), vamos mostrar (iii) supondo que os Bi so unies de intervalos

disjuntos. Observe que se Bi = (ai, bi] para i = 1, . . . , d, temos

P (X1 B1, . . . , Xd Bd) = 1a1,b1 dad,bdFX(x)= 1a1,b1 dad,bd [FX1(x1) FXd(xd)]= [1a1,b1FX1(x1)] [dad,bdFXd(xd)]= P (X1 B1) P (Xd Bd).

A mesma identidade se estende para Bi = [ai, bi] tomando-se o limite a ai,analogamente para intervalos abertos ou semi-infinitos, e por linearidade vale paraunies de intervalos disjuntos. A extenso a todo Bi B envolve argumentos deTeoria da Medida e ser omitida.

Proposio 3.3.4 (Critrio de Independncia. Caso Discreto). Seja X um vetoraleatrio discreto. So equivalentes:


(ii) pX(t) = pX1(t1)pX2(t2) pXd(td) para todo t Rd.(iii) pX(t) = p1(t1)p2(t2) pd(td) para todo t Rd, com p1, . . . , pd funes

reais.

Demonstrao. (i) (ii) (iii) so triviais. Suponha (iii). Para xi tal quepXi(xi) > 0, calculando a marginal temos

pXi(xi) =xj

xi1

xi+1

xd

pX(x) = pi(xi) j 6=i

xj

pj(xj) = ci pi(xi),

onde ci 6= 0. Assim,

pX(x1, . . . , xd) =1

c1 cd pX1(x1) pXd(xd).

3.3. INDEPENDNCIA DE VARIVEIS ALEATRIAS 41

Somando em x, temos que c1 cd = 1, portanto (iii) (ii).Suponha (ii). Temos que

P (X1 B1, . . . , Xd Bd) =

x1B1

xdBdpX(x) =

=

x1B1

pX1(x1)

xdBd

pXd(xd)

= P (X1 B1) P (Xd Bd),e portanto (ii) (i).

Proposio 3.3.5 (Critrio de Independncia. Caso Contnuo). Seja X umvetor aleatrio absolutamente contnuo. So equivalentes:


(ii) fX(t) = fX1(t1)fX2(t2) fXd(td) para todo t Rd.(iii) fX(t) = f1(t1)f2(t2) fd(td) para todo t Rd, com f1, . . . , fd funes

reais.

Demonstrao. (i) (ii) (iii) so triviais. Suponha (iii). Para Bi B tal queP (Xi Bi) > 0,

PXi(Bi) =Rd1Bi(xi)fX(x) d

dx =Bifi(xi)dxi

j 6=i

Rfj(xj) dxj = ci

Bifi(xi)dxi,

onde ci 6= 0. Logo, fXi(xi) = ci fi(xi) para todo xi R. Assim,

fX(x1, . . . , xd) =1

c1 cd fX1(x1) fXd(xd).

Integrando em Rd, temos que c1 cd = 1, portanto (iii) (ii).Suponha (ii). Temos que

P (X1 B1, . . . , Xd Bd) =B1Bd

fX(x) ddx =

=[

B1fX1(x1) dx1

]

[Bd

fXd(xd) dxd]= P (X1 B1) P (Xd Bd),

e portanto (ii) (i). Variveis aleatrias

independentes duas

a duas


3.4 Mtodo do Jacobiano

Suponha que o vetor aleatrio X absolutamente contnuo e assume valores emum domnio G0 Rd, e que estamos interessados em estudar o vetor aleatrio Ydado por uma transformao Y = g(X). Vamos considerar o caso em queg : G0 G, G Rd, bijetiva e diferencivel, com inversa g1 = h : G G0tambm diferencivel. Escrevemos a transformada inversa como X = h(Y ) edefinimos os Jacobianos:

Jh(y) = det

(x

y

)= det

x1y1

x1yd

.... . .

...xdy1

xdyd

e

Jg(x) = det

(y

x

)= det

y1x1

y1xd

.... . .

...ydx1

ydxd

.O Jacobiano satisfaz a seguinte identidade:

Jh(y) =1

Jg(x).

Proposio 3.4.1 (Mtodo do Jacobiano). Sejam G0, G Rd, g : G0 Guma bijeo e h = g1, e suponha que g e h sejam diferenciveis. Se X umvetor aleatrio absolutamente contnuo assumindo valores em G0, e Y = g(X),ento a densidade fY pode ser obtida a partir da densidade fX pela relao

fY (y) =Jh(y) fX(h(y)) = 1|Jg(x)| fX

(h(y)

).

Ideia da prova. Pelo clculo de vrias variveis, sabemos que se o jacobiano for no-nulo para todo y G, ento

A

f(x) ddx =g(A)

f(h(y)) |Jh(y)| ddy

para qualquer f integrvel em A, onde A G0. Como P (Y g(A)) dada porP (X A), e esta ltima dada pelo lado esquerdo da expresso acima com f = fX ,temos que o integrando do lado direito necessariamente dado por fY (y).

3.4. MTODO DO JACOBIANO 43

Exemplo 3.4.2. Considere o vetor aleatrio X = (X1, X2) com densidade

fX(x1, x2) =

4x1x2, x1, x2 [0, 1],0, caso contrrio,e o vetor Y dado por Y1 = X1/X2, Y2 = X1X2. Temos y = h(x) = (x1/x2, x1x2) e

y

x=

[1/x2 x1/x22x2 x1

]

e Jg(x) = 2x1/x2. Obtendo x em funo de y:

y1 = x1/x2 y1y2 = x21 y1 = x1 =y1y2

y2 = x1x2 y2/y1 = x22 y2 = x2 =y2/y1,

e os valores possveis de y so

G ={(y1, y2) : 0 < y2 < y1, 0 < y2 < 1y1

}.

Agora,

Jg(h(y)) =2y1y2

y2/y1= 2y1

efX(h(y)) = 4

y1y2

y2/y1 = 4y2.

Portanto,

fY (y) =1

|Jg(x)| fX(h(y)

)=

2y2/y1, 0 < y2 < 1, y2 < y1 < 1/y2,0, caso contrrio.Exerccio 3.4.3. Sejam X e Y variveis aleatrias independentes, cada uma comdistribuio exponencial com parmetro 1, mostre que Z = X + Y e W = X

Yso

tambm independentes com densidades

fZ(z) =

{zez, z > 00, z 6 0

e

fW (w) =

{1

(w+1)2, w > 0

0, w 6 0.

Exemplo 3.4.4. Se X e Y so independentes e distribudas como N (0, 1), entoX + Y e X Y so independentes e ambas distribudas como N (0, 2).


Ponha Z = (X,Y ) e W = (X + Y,X Y ). Temos que W = g(Z), ondeg(x, y) = (x+ y, x y). Logo,

w

z=

[1 11 1

],

assim Jg(z) = 2. Obtendo z como funo de w:

w1 = x+ y x =w1 + w2

2

w2 = x y y = w1 w22 .

Ainda,

fZ(z) = fX,Y (x, y) = fX(x)fY (y) =12

ex22 1

2ey22 ,

logo

fZ(h(w)) =12

e(w1+w22 )

2

2 e(w1w22 )

2

2 =e

w21+w22+2w1w2+w

21+w

222w1w2

8

2=

12

ew214 e

w224

e, substituindo,

fW (w) =1

|Jg(h(w))| fZ(h(w)) =14

ew214 e

w224 = fN (0,2)(w1)fN (0,2)(w2).

Portanto, W1 e W2 so independentes e distribudas como N (0, 2).Exerccio 3.4.5. Se X e Y so independentes e distribudas como N (0, 1), ento4X + 3Y e 3X 4Y so independentes e ambas distribudas como N (0, 25).

3.5 Exerccios

Exerccio 3.5.1. Considere um vetor aleatrio (X,Y ) absolutamente contnuo comdistribuio uniforme em

A ={(x, y) R2 : 0 < y < x e x+ y < 1

}.

Encontre FX,Y .

Exerccio 3.5.2. Considere um vetor aleatrio (Z,W ) absolutamente contnuo comdensidade

fZ,W (z, w) =

c, 0 < z < 1, 0 < w < z,0, caso contrrio.Encontre FZ,W .

3.5. EXERCCIOS 45

Exerccio 3.5.3. Sejam Y e U duas variveis aleatrias em um mesmo espao deprobabilidade, independentes e com leis Y N (0, 1) e P (U = 1) = P (U = +1) =12. Ache a lei de Z = UY .

Dica: estudar diretamente a funo de distribuio acumulada.

Exerccio 3.5.4.

(a) A densidade conjunta de X e Y dada por

f(x, y) =

c ey

x3, x > 1, y > 0

0, caso contrrio.

Encontre c. Diga se X e Y so independentes e por qu.

(b) Suponha que (X,Y ) um vetor aleatrio absolutamente contnuo com funode distribuio conjunta dada por

FXY (x, y) =

1 ex + exy xex ey + xexy, x, y > 0

0, caso contrrio.

Encontre a densidade conjunta fXY e diga se X e Y so independentes.

(c) Com X e Y dadas no item anterior, encontre a distribuio marginal FY .

Exerccio 3.5.5. Sejam X e Y variveis aleatrias discretas e independentes.Mostre que

pX+Y (t) =s

pX(s) pY (t s).

Sugesto: particione segundo o valor de X.

Exerccio 3.5.6. Mostre por induo finita que, se X1, X2, . . . , Xn so variveisaleatrias independentes com Xi b(mi, p), i = 1, 2, . . . , n, ento

ni=1

Xi b(

ni=1

mi, p

).

Dica:(a+bn

)=n

k=0

(ak

)(b

nk).

Exerccio 3.5.7. Se X e Y so independentes e distribudas respectivamente comoPoisson(1) e Poisson(2), mostre que

X + Y Poisson(1 + 2).

Dica: (a+ b)k =k

j=0

(kj

)ajbkj.


Exerccio 3.5.8. Sejam X e Y variveis aleatrias definidas no mesmo es-pao de probabilidade, independentes, discretas e com distribuies Poisson(1) ePoisson(2), respectivamente. Mostre que, dada a ocorrncia do evento [X+Y = n],a probabilidade condicional de X = k

P (X = k|X + Y = n) =(n

k

)(1

1 + 2

)k (2

1 + 2

)nk.

Como voc interpreta essa identidade?

Exerccio 3.5.9. O nmero X de uvas-passas encontradas em um panetone temdistribuio Poisson(). O panetone, estando com a data de validade vencida halguns meses, pode ter uvas-passas estragadas. Cada uva-passa pode estar estragadaindependente das demais, com probabilidade p. Encontre a distribuio do nmerode uvas-passas estragadas e calcule a probabilidade de no haver nenhuma estragada.

Exerccio 3.5.10. Sejam X e Y variveis aleatrias independentes, ambas comdistribuio exp(1). Use o mtodo do Jacobiano para determinar a distribuioconjunta de X + Y e X

X+Y. Diga se X + Y e X

X+Yso independentes. Encontre a

distribuio de XX+Y

.

Exerccio 3.5.11. Sejam X e Y i.i.d. absolutamente contnuas com densidade f .Mostre que

fX+Y (t) =Rf(t s)f(s) ds t R.

Sugesto: faa Z = X + Y e W = Y , e calcule a densidade conjunta de Z e W .

Exerccio 3.5.12. [Jam04, Captulo 2].Recomendados: 2, 17, 18, 21, 30, 33, 34, 41, 46.

Captulo 4

Esperana Matemtica

A esperana EX de uma varivel aleatria X a mdia dos valores assumidospor X, ponderada pela probabilidade de X assumir esses valores. Podemos pensarem EX como sendo o centro de massa de X. A esperana de X , em vriossentidos, a melhor aproximao determinstica para a varivel aleatria X. Umadas justificativas mais importantes, que veremos mais adiante, a lei dos grandesnmeros: se X1, . . . , Xn so independentes e tm a mesma distribuio de X, entoa mdia amostral 1

n

ni=1Xi se aproxima de EX quando fazemos n grande.

4.1 Variveis Aleatrias Simples

Uma varivel aleatria X dita simples se assume apenas finitos valores.

Definio 4.1.1. Dada uma varivel aleatria simples X, definimos a esperanade X, ou mdia de X, ou ainda o valor esperado de X, denotada por EX, por

EX =x

x P (X = x).

A esperana de X pode ser pensada como o centro de massa da varivelaleatria X, como ilustrado na Figura 4.1.

Exemplo 4.1.2. Lanar um dado e observar sua face superior. Temos

EX = 1.P (X = 1) + + 6.P (X = 6) = 16+

26+ + 6

6=

216

=72.

Exemplo 4.1.3. Lanar uma moeda 4 vezes e contar quantas vezes saem cara.Temos

EX = 0116

+ 1416

+ 2616

+ 3416

+ 4116

=3216

= 2.

47

48 CAPTULO 4. ESPERANA MATEMTICA

Exemplo 4.1.4. Seja X dada por X = 1A para algum A F . Nesse caso temosEX = 0.P (Ac) + 1.P (A) = P (A). Ou seja, se X Bernoulli(p) ento EX = p.

EXx

pX(x)

Figura 4.1: A esperana de X como o centro de massa de pX .

Sejam a1, . . . , ak os valores assumidos por X. Observe que os eventos aleatriosAi = [X = ai] F formam uma partio de , logo cada pertence a um, esomente um, dos A1, . . . , Ak, ou seja,

i 1Ai() = 1 . Portanto, a menos de

permutao dos ndices, existe uma nica forma de escrever

X =i

ai1Ai

com ai 6= aj i 6= j e A1, . . . , Ak formando uma partio de . Ademais,

EX =i

aiP (Ai).

Outra interpretao de EX vem dos jogos em cassinos. Sejam X o resultadoque se ganha em um dado jogo, e a1, . . . , ak os possveis valores. Suponhamostambm que jogaremos esse jogo n vezes, e denotamos o resultado de cada jogada porX1, . . . , Xn, independentes e com a mesma distribuio de X. A noo intuitiva deprobabilidade como frequncia relativa diz que a proporo dentre essas n repetiesem que o resultado ai se aproxima de P (X = ai) para n grande, ou seja,1n

nj=1 1[Xj=ai] P (X = ai). Dessa forma, para o ganho total dividido pelo nmero

de jogadas, 1n

nj=1Xj, temos

1n

nj=1

Xj =1n

nj=1

ki=1

ai1[Xj=ai] =ki=1

ai

(1n

nj=1

1[Xj=ai]

)

ki=1

ai P (X = ai) = EX.

Proposio 4.1.5. Sejam X e Y variveis aleatrias simples.

(i) Se X > 0 ento EX > 0.

(ii) Se X = c ento EX = c.

(iii) E[aX + bY ] = aEX + bEY .

(iv) Se X > Y ento EX > EY .

4.1. VARIVEIS ALEATRIAS SIMPLES 49

Demonstrao. Os itens (i) e (ii) so triviais, e (iv) segue de (iii) e (i) se tomamosZ = X Y . Resta provar (iii).

Primeiro vamos verificar que seX = a11A1+ +an1An , onde A1, . . . , An formamuma partio, ento EX =

i aiP (Ai), mesmo que alguns ai coincidam. Com efeito,

primeiro escrevemos X =

j cj1Cj onde os cj so distintos e C1, . . . , Ck formam umapartio. Observe que para todo j = 1, . . . , k, Cj = [Xj = cj] = {Ai : ai = cj}.Usando a definio de esperana e agrupando corretamente os termos dos somatrios,temos

EX =k

j=1

cjP (Cj) =k

j=1

cj

i:ai=cj

P (Ai) =k

j=1

i:ai=a

j

aiP (Ai) =ni=1

aiP (Ai).

Agora sejam X e Y variveis aleatrias simples dadas por X =

i ai1Ai e Y =j bj1Bj , onde A1, . . . , Ak particionam e B1, . . . , Bn tambm. Temos

aX + bY = ai

ai1Aij

1Bj + bj

bi1Bji

1Ai =i,j

(aai + bbj)1AiBj .

Mas {Ai Bj : i = 1, . . . , n; j = 1, . . . ,m} forma uma partio de , e portantoE[aX + bY ] =

i,j

(aai + bbj)P (Ai Bj)

=i,j

aaiP (Ai Bj) +i,j

bbjP (Ai Bj)

=i

aaij

P (Ai Bj) +j

bbji

P (Ai Bj)

=i

aaiP (Ai) +j

bbjP (Bj)

= ai

aiP (Ai) + bj

bjP (Bj) = aEX + bEY.

Exemplo 4.1.6. No Exemplo 4.1.3, temos X = X1 + X2 + X3 + X4, onde Xirepresenta o lanamento da i-sima moeda. Logo EX = EX1+EX2+EX3+EX4 =4.1

2= 2.

Exemplo 4.1.7. Lanar um dado duas vezes e somar os valores observados. Temos

EX = 2136

+3236

+4336

+5436

+6536

+7636

+8536

+9436

+10336

+11236

+12136

=25236

= 7.

Alternativamente, observamos que X = Y +Z, onde Y e Z representam o primeiroe segundo lanamento do dado. Logo

EX = EY + EZ =72+

72= 7.

Exemplo 4.1.8. Retirar 3 cartas de um baralho francs e contar quantas so reis.

EX = 048.47.4652.51.50

+ 13.48.47.452.51.50

+ 23.48.4.352.51.50

+ 34.3.2

52.51.50=

30600132600

=313.


Alternativamente, observamos que X = X1 + X2 + X3, onde Xi o indicador deque a i-sima carta retirada rei, e que, apesar da influncia que cada Xi possa tersobre as demais, cada uma individualmente satisfaz EXi = 113 . Logo

EX = EX1 + EX2 + EX3 = 3113.

Exemplo 4.1.9. Em geral, se X b(n, p), ento

EX =n

k=0

k

(n

k

)pk(1 p)nk =

nk=1

kn!

k!(n k)!pk(1 p)nk

= npn

k=1

(n 1)!(k 1)!(n k)!p

k1(1 p)nk

= npn1j=0

(n 1)!j!(n 1 j)!p

j(1 p)n1j = np[p+ (1 p)]n1 = np.

Alternativamente, X tem a mesma distribuio de X1 + + Xn, com Xi i.i.d.Bernoulli(p), e portanto

EX = EX1 + + EXn = (p+ + p) = np.

Proposio 4.1.10. Se X e Y so simples e independentes, ento

E[XY ] = EX EY.

Demonstrao. Fazendo Ai = [X = ai] e Bj = [Y = bj], temos

E[XY ] = E

[(i

ai1Ai

)(j

bj1Bj

)]= E

[i,j

aibj1Ai1Bj

]

= E

[i,j

aibj1AiBj

]=i,j

aibj E[1AiBj ] =i,j

aibjP (Ai Bj)

=i,j

aibjP (Ai)P (Bj) =

[i

aiP (Ai)

] [j

bjP (Bj)

]= EX EY.

Exemplo 4.1.11. Lanar um dado duas vezes e multiplicar os valores observados.

EX =136

(1.1 + 2.2 + 3.2 + 4.3 + 5.2 + 6.4 + 8.2 + 9.1 + 10.2 + 12.4+

+ 15.2 + 16.1 + 18.2 + 20.2 + 24.2 + 25.1 + 30.2 + 36.1)=

44136

=494.

Alternativamente, observamos que X = Y Z, onde Y e Z representam o primeiro esegundo lanamento do dado. Logo EX = EY EZ = 7

2 72= 49

4.

4.2. ESPERANA MATEMTICA 51

4.2 Esperana Matemtica

Nesta seo definimos a esperana de uma varivel aleatria qualquer. Comeamospelas variveis aleatrias no-negativas, que por sua vez so aproximadas porvariveis aleatrias simples.

Aproximao por Variveis Aleatrias Simples

Primeiro observamos que qualquer varivel aleatria no-negativa X pode seraproximada por variveis aleatrias simples. De fato, considere gk : R+ R+dada por

gk(x) = 2k max{j {0, 1, . . . , 2kk}

2kj 6 x} ,ilustrada na Figura 4.2.

Observe que gk assume no mximo 2kk + 1 valores. Alm disso,

gk(x) > gk1(x)

e

x 2k < gk(x) 6 x para todo k > x.Portanto, para todo x > 0,

gk(x) x quando k .

g1(x)

g2(x)g3(x)

g2(y)

x

x y

Figura 4.2: Grfico de g2(y) e aproximao de gk(x) x para um x fixado.

Tomando Xk = gk(X), temos que Xk uma varivel aleatria simples e Xk Xpara todo . Veja a Figura 4.3.


X()

g1(X())

g2(X())

Figura 4.3: Aproximao de X por g1(X) e g2(X).

Definio da Esperana

A esperana de uma varivel aleatria no-negativa definida aproximando-se porvariveis aleatrias simples.

Definio 4.2.1. Seja X uma varivel aleatria tal que X > 0. Definimos aesperana de X por

EX = sup {EZ : Z varivel aleatria simples com 0 6 Z 6 X}.Incluir figuras

ilustrando a

diferena entre a

integral de

Riemann, que

particiona o

domnio, e E, que

particiona a

imagem

Para definir a esperana no caso geral, observe que uma varivel aleatria semprepode ser decomposta em suas partes positiva e negativa. De fato, temos

X = X+ X,

onde

X+ =

X, X > 0,0, X 6 0, X =X, X 6 0,0, X > 0,

satisfazem X+ > 0 e X > 0. Observe tambm que |X| = X+ +X.

Definio 4.2.2 (Esperana de uma Varivel Aleatria). Seja X uma varivelaleatria. Definimos a esperana de X por

EX = EX+ EX

sempre que EX+ ou EX for finita.

Definio 4.2.3. Dizemos que X integrvel se ambas EX+ e EX so finitas.


Variveis Discretas e Contnuas

A definio acima no muito til quando queremos efetivamente calcular aesperana de uma varivel aleatria X dada. A seguir veremos como obter EXno caso de X ser discreta, contnua, ou mista, bem como a esperana de funes devariveis aleatrias desses tipos.

Teorema 4.2.4 (Variveis Aleatrias Discretas). Seja X uma varivel aleatriadiscreta. Se EX est definida, ento

EX =x

x pX(x).

Demonstrao. Segue direto do Teorema 4.2.10 com h(x) = x.

Exemplo 4.2.5 (Poisson). Se X Poisson(), ento

EX =n=0

nne

n!=

n=1

ne

(n 1)! = e

n=1

n1

(n 1)! = e

n=0

n

n!= ee = .

Portanto, o valor esperado de uma varivel aleatria que segue o modelo de Poissoncom parmetro o prprio .

Proposio 4.2.6. Se X assume valores em {0, 1, 2, 3, . . . }, ento

EX =n=1

P (X > n).

Demonstrao. Introduzimos um indicador de n 6 k para inverter as somas:

EX =k=1

k P (X = k) =k=1

kn=1

P (X = k)

=k=1

n=1

1n6k P (X = k)

=n=1

k=1

1n6k P (X = k)

=n=1

k=n

P (X = k) =n=1

P (X > n).

Exerccio 4.2.7. Seja X uma varivel aleatria. Mostre que X integrvel se, esomente se

n=0

P(|X| > n

)


Teorema 4.2.8 (Variveis Aleatrias Absolutamente Contnuas). Seja X umavarivel aleatria absolutamente contnua. Se EX est definida, ento

EX =Rx fX(x) dx.

Demonstrao. Segue direto do Teorema 4.2.10 com h(x) = x.

Exemplo 4.2.9 (Exponencial). Se X exp(), vale

EX = +

x fX(x) dx = +0

xexdx =[xex

0

] 0

[ex] dx = 1.

Portanto, o valor esperado de uma varivel aleatria que segue o modelo exponencialcom parmetro 1

.

Mudana de Varivel

Suponha que queremos calcular a esperana da varivel aleatria Y dada por

Y = h(X),

onde h uma funo contnua, ou uma funo contnua por partes. Temos pelomenos duas alternativas. Uma calcular FY (t) para todo t, a partir da distribuioacumulada FX de X, e depois calcular a esperana usando os Teoremas 4.2.4 e 4.2.8.Entretanto, existe outra maneira, que pode ser mais conveniente:

Teorema 4.2.10 (Mudana de Varivel). Seja X um vetor aleatrio misto comcomponentes discreta e absolutamente contnua. Seja h : Rd R uma funocontnua por partes, e considere a varivel aleatria Y = h(X). Se EY estdefinida, ento

EY =

x

h(x) pX(x) +Rdh(x) fX(x) ddx.

Em particular,

EY =

x h(x) pX(x), X discreto,Rd h(x) fX(x) d

dx, X contnuo.


Exemplo 4.2.11. Seja X exp(). Vamos calcular EX2. TemosEX2 =

0

x2exdx =2

0

xexdx =22

0

exdx =22,

integrando por partes duas vezes.

Lema 4.2.12. Sejam X e Y variveis aleatrias no-negativas definidas em

(,F , P ), e tome Xk = gk(X), Yk = gk(Y ). Ento, quando k ,EXk EX, E[Xk + Yk] E[X + Y ] e E[XkYk] E[XY ].

Demonstrao. Seja Z uma varivel aleatria simples com 0 6 Z 6 X + Y . TomeM = max Z(), X = [X M ] e Y = [Y M ]. Note que Z 6 X + Y . Entopara k > M temos Xk + Yk > X + Y 2k+1 > Z 2k+1. Da segue queE[Xk + Yk] > E[Z] 2k+1, logo lim infk E[Xk + Yk] > EZ. Tomando o supremoem Z, temos que lim infk E[Xk+Yk] > E[X+Y ] e portanto E[Xk+Yk] E[X+Y ].O primeiro limite segue como corolrio tomando-se Y = 0. A demonstrao doltimo limite um pouco mais complicada e ser omitida.

Demonstrao do Teorema 4.2.10. Se g : Rd R+ assume finitos valores, entoE[g(X)] =

y

y P[g(X) = y

]=y

y (

x:g(x)=y pX(x) +

x:g(x)=y fX(x) ddx)

=

x

g(x) pX(x) +Rdg(x) fX(x) ddx.

Fazendo a decomposio h = h+ h, podemos supor que h uma funo no-negativa. Tome Yk = gk(Y ) = gk(h(X)). Temos que

EYk =

x

gk(h(x)) pX(x) +Rdgk(h(x)) fX(x) ddx.

Portanto,

EYk 6

x


Por outro lado,

EYk = E[Yk 1h(X)6k] + E[Yk 1h(X)>k]=

xAk

gk(h(x)) pX(x) +Ak

gk(h(x)) fX(x) ddx + E[Yk 1h(X)>k]

>

xAkh(x) pX(x) +

Ak

h(x) fX(x) ddx 2k,

onde Ak = {x Rd : h(x) 6 k} Rd. Fazendo k , temos quelim infk

EYk >

x


Portanto, pelo Lema 4.2.12 temos

EY = limk

EYk =

x



Propriedades da Esperana Matemtica

Todas as propriedades da Esperana decorrem de trs propriedades fundamentais.

Teorema 4.2.13. Sejam X e Y variveis aleatrias em (,F , P ). Ento valemas seguintes propriedades:

(E1) Unitariedade. Se X = 1, ento EX = 1.

(E2) Monotonicidade. Se X 6 Y , ento EX 6 EY .

(E3) Linearidade. E[aX + bY ] = aEX + bEY para a, b R.Em (E2) basta que EY < + ou EX > para que ambas as esperanasestejam definidas e valha a desigualdade. A igualdade em (E3) vale se EX e EYesto definidas e aEX + bEY est definido, isto , no resulta em +.

Demonstrao. A unitariedade segue da Definio 4.1.1. Para a monotonicidade,suponha que 0 6 X 6 Y . Dada Z 6 X simples, temos Z 6 Y , e pela definio deEY , temos EZ 6 EY . Tomando o supremo em Z, pela definio de EX, temosEX 6 EY . Para o caso geral, observe que X 6 Y implica X+ 6 Y + e X > Y .

Para a linearidade, primeiro observamos que da definio de esperana segueque E[aX] = aEX. Resta ento mostrar que E[X + Y ] = EX + EY . Suponhainicialmente que X e Y sejam no-negativas. Usando a Proposio 4.1.5 e oLema 4.2.12, temos que E[X+Y ] = limk E[Xk+Yk] = limk[EXk+EYk] = EX+EY .Finalmente, sejam X e Y duas variveis aleatrias quaisquer. Temos que

(X + Y )+ (X + Y ) = X + Y = X+ X + Y + Y ,

logo(X + Y )+ +X + Y = (X + Y ) +X+ + Y +.

Como todas as variveis aleatrias acima so no-negativas, pelo caso anterior temos

E[(X + Y )+] + EX + EY = E[(X + Y )] + EX+ + EY +.

Supondo que EX+EY est definido, necessariamente temos que EX+EY


Proposio 4.2.14 (Propriedades da Esperana).

1. Se X = c ento EX = c.

2. E(aX + b) = aE(X) + b.

3. Se X integrvel ento E[X E(X)] = 0.4. Se a 6 X 6 b, ento a 6 E(X) 6 b.

5. |EX| 6 E|X|.6. Se 0 6 |X| 6 Y e Y integrvel, ento X integrvel.7. Se EX est definida e A F , ento E[X1A] est definida.8. Se EX finita, ento E[X1A] finita.

9. Se X > 0 e EX = 0 ento P (X = 0) = 1.

Demonstrao. Todas so conseqncias diretas das trs propriedades anteriores.Vamos mostrar apenas a ltima. Para k N, temos 0 = EX > E(X1[X> 1

k]) >

E( 1k1[X> 1

k]) =

1kP (X > 1

k). Logo, P (X > 1

k) = 0 para todo k, portanto P (X >

0) = limk P (X > 1k ) = 0.

Proposio 4.2.15 (Esperana de Variveis Aleatrias Independentes). Se X eY so independentes e integrveis, ento XY integrvel e E[XY ] = EX EY .

Demonstrao. Se X e Y so variveis aleatrias no-negativas, ento, usando aProposio 4.1.10 e o Lema 4.2.12,

E[XY ] = limkE[XkYk] = lim

k[EXk EYk] = EX EY.

No caso geral temos

E[XY ] = E[X+Y + X+Y XY + +XY ]= EX+EY + EX+EY EXEY + + EXEY = EX EY.

Notao Existem outras formas de se definir a esperana, todas elas equivalentes.Isso tambm se reflete em distintas notaes, que o leitor poder encontrar emdiferentes bibliografias:

EX =X dP, EX =

Rx dPX , EX =

Rx dFX(x).

A definio que usamos mais parecida primeira.


4.3 Momentos, Varincia e Covarincia

Definio 4.3.1. Dado k = 1, 2, 3, . . . , definimos o momento de ordem k, ouo k-simo momento da varivel aleatria X como EXk. Se X integrvel,definimos o k-simo momento central por E(X EX)k. O momento absolutode ordem k definido como E|X|k.

Exemplo 4.3.2. Se X U [0, 1], temos

EX = 10x dx =

12, EX2 =

10x2 dx =

13, EXk =

10xk dx =

1k + 1

,

e o segundo momento central dado por

E[(X 1

2

)2]= 10

(x 1

2

)2dx =

112.

O segundo momento central recebe o nome de varincia.

Definio 4.3.3 (Varincia). Seja X uma varivel aleatria integrvel. Define-se a varincia da varivel aleatria X, denotada por V X ou 2(X), como

V X = E[(X EX)2].

Exemplo 4.3.4. Pelo exemplo anterior, se X U [0, 1], ento EX = 12e V X = 1

12.

Proposio 4.3.5 (Propriedades da Varincia). Seja X uma varivel aleatriaintegrvel. Ento:

1. V X > 0.

2. V X = EX2 (EX)2.3. V X = 0 se e somente se P (X = c) = 1 para algum c R, neste caso X = EX.4. V X 6 EX2.

5. V (X b) = V X.6. V (aX) = a2V X.


4.3. MOMENTOS, VARINCIA E COVARINCIA 59

Exemplo 4.3.6. Se X Bernoulli(12), temos

EX =12, EX2 =

12, V X = EX2 (EX)2 = 1

4.

Definio 4.3.7 (Desvio-Padro). O desvio-padro (X) dado pela raizquadrada da varincia

(X) =V X,

e mede a disperso de X em torno de sua mdia. O desvio-padro tem a mesmaunidade de medida de X.

Exemplo 4.3.8. Se X Bernoulli(12), temos

(X) =V X =

1/4 =

12.

Ou seja, uma varivel Bernoulli(12) varia em mdia = 1

2unidade em torno de seu

valor esperado = 12.

As propriedades do desvio-padro so anlogas:

1. (X) > 0.

2. (X) = 0 se e somente se P (X = c) = 1 para algum c R.3. (X) 6

EX2.

4. (X b) = (X) para todo b R.5. (aX) = |a|(X) para todo a R.

Definio 4.3.9 (Covarincia). Dadas duas variveis aleatrias X e Y comsegundo momento finito, uma forma de medir a dependncia linear da dispersodessas variveis atravs da sua covarincia Cov(X,Y ), dada por

Cov(X,Y ) = E [(X EX)(Y EY )] .

Proposio 4.3.10 (Propriedades da Covarincia). Dadas X e Y com segundomomento finito:

1. Cov(X,Y ) = E[XY ] EX EY .2. Cov(X,Y ) = 0 se e somente se E[XY ] = EX EY .


3. Cov(cX, Y ) = cCov(X,Y ).

4. Cov(X,Y ) = Cov(Y,X).

5. Cov(X,X) = V X.

6. Cov(X, c) = 0 para todo c R.7. Cov(X,Y + Z) = Cov(X,Y ) + Cov(X,Z).

8. Cov(

i aiXi,

j bjYj) =

i

j aibj Cov(Xi, Yj).


Exemplo 4.3.11. Se fXY (x, y) = 1[0,1](x)1[0,1](y), Z = X Y , W = X Y , ento:

E[ZW ] = E[XY ] = 10

10xy dxdy =

14

EZ = 10

[ x0ydy +

1xxdy

]dx =

10(x

2

2+ x x2)dx = 1

2 1

6=

13

EW = 10

[ x0xdy +

1xydy

]dx =

10(x2 + 1

2 x2

2)dx =

13+

12 1

6=

23

Cov(Z,W ) = E[ZW ] EZ EW = 14 2

9=

136.

Observao 4.3.12. Se as variveis aleatrias X e Y so independentes e inte-grveis ento X e Y so no-correlacionadas, i.e., Cov(X,Y ) = 0. Entretanto, nemsempre vale a recproca, isto , E[XY ] = EX EY no implica X e Y independentes.Contra-Exemplo 4.3.13. Sejam X e Y variveis aleatrias tomando valores1, 0, 1 com distribuio conjunta dada por p(1,1) = p(1, 1) = p(1,1) =p(1, 1) = p(0, 0) = 1

5. Ento EXY = EX EY , mas X e Y no so independentes,

pois P (X = 0, Y = 0) 6= P (X = 0)P (Y = 0).

Definio 4.3.14 (Coeficiente de Correlao). Dadas X e Y com varinciasfinitas e positivas, o coeficiente de correlao (X,Y ) de X e Y uma medidapadronizada da dependncia linear entre X e Y :

(X,Y ) = Cov

(X

(X),

Y

(Y )

).

O coeficiente de correlao no tem unidade de medida.

Proposio 4.3.15 (Propriedades do Coeficiente de Correlao). Dadas X e Ycom varincias finitas e positivas, valem:

1. (X,Y ) = (Y,X).

4.3. MOMENTOS, VARINCIA E COVARINCIA 61

2. (X,Y ) = Cov(X,Y )(X)(Y )

.

3. (X,X) = 1.

4. (X,aY + b) = (X,Y ) se a > 0 e b R.


Exemplo 4.3.16. No Exemplo 4.3.11, temos

EZ2 = 10

[ x0y2dy +

1xx2dy

]dx =

10(x

3

3+ x2 x3)dx = 1

3 1

6=

16

V Z = EZ2 (EZ)2 = 16 1

9=

118

VW = exerccio = 118

(Z,W ) =Cov(Z,W )(Z)(W )

=1/36

1/181/18

=12.

Dada uma varivel aleatria X com EX2 0 e b R.3. Se Z a padronizao de X e W a padronizao de Y , ento

(Z,W ) = Cov(Z,W ) = E(ZW ) = (X,Y ).

Proposio 4.3.18. Sejam X e Y variveis aleatrias com varincias finitas e

positivas. Ento:

1.

apostila

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