apont_electro

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR DEPARTAMENTO DE ENGª ELECTROMECÂNICA

ELECTROTECNIA APONTAMENTOS DAS AULAS PRÁTICAS

JOÃO PAULO DA SILVA CATALÃO

SETEMBRO 2004

Índice

Capítulo 1 Introdução à Electrotecnia ...........................................1

1.1 Definições...........................................................1

1.2 Formas de Corrente Eléctrica.......................................3

1.3 Parâmetros Caracterizadores da Corrente Alternada Sinusoidal...5

1.4 Efeitos da Corrente Alternada ......................................7

1.5 Desfasamento entre Duas Correntes................................8

Capítulo 2 Receptores .............................................................10

2.1 Resistência.........................................................10

2.2 Bobina .............................................................11

2.3 Condensador .......................................................13

Capítulo 3 Circuitos Eléctricos ..................................................16

3.1 Circuito Puramente Óhmico.......................................16

3.2 Circuito Puramente Indutivo ......................................17

3.3 Circuito Puramente Capacitivo....................................18

3.4 Circuito RL ........................................................19

3.5 Circuito RC ........................................................20

3.6 Circuito RLC Série ................................................21

3.7 Impedâncias em Série .............................................22

3.8 Impedâncias em Paralelo ..........................................22

Capítulo 4 Potência em Sistemas Monofásicos ................................23

4.1 Circuito Puramente Óhmico.......................................23

4.2 Circuito Puramente Indutivo ......................................24

4.3 Circuito Puramente Capacitivo....................................25

4.4 Caso Geral .........................................................26

4.5 Importância do Factor de Potência ................................28

4.6 Compensação do Factor de Potência..............................30

Capítulo 5 Sistemas Trifásicos ...................................................33

5.1 Ligação em Estrela e Ligação em Triângulo......................33

5.2 Potência em Sistemas Trifásicos ..................................37

Introdução à Electrotecnia

1

Capítulo 1 – Introdução à Electrotecnia

1.1 Definições

Electrotecnia – Consiste no estudo de circuitos eléctricos em corrente alternada.

Corrente Eléctrica – Resultado de cargas eléctricas em movimento.

Corrente Alternada – Corrente com dois sentidos (alternadamente), periódica e de

valor algébrico médio nulo.

Sistema de Energia Eléctrica:

• Geração

• Transmissão

• Distribuição

Geração:

• Centrais Hidroeléctricas – O impacto da água nas pás da turbina (do tipo Pelton,

Francis ou Kaplan, conforme a queda de água e o caudal), coloca a turbina a

girar; a turbina é conectada a um gerador / alternador que, por sua vez, apresenta

uma tensão aos seus terminais em consequência do movimento da turbina.

• Centrais Termoeléctricas – Produção de electricidade através da queima de

combustíveis fósseis; neste caso, o vapor a alta pressão “substitui” a água.

• Energia Renováveis – Eólica ou solar, por exemplo, sendo que a primeira é de

natureza volátil e a segunda apresenta ainda um rendimento baixo.


2

Transmissão:

• As redes de transporte, em muito alta tensão, ligam os grandes centros

produtores até às subestações de interface com as redes de distribuição,

permitindo o aproveitamento de recursos energéticos distantes.

• A energia eléctrica é transmitida em muito alta tensão aos centros de consumo

por motivos económicos. Porquê? A potência eléctrica, P, é dada por: IVP =

sendo V a tensão e I a corrente. Mantendo a tensão constante, a potência surge

como proporcional à corrente, sendo que o transporte de potências elevadas

acarretaria a existência de correntes elevadas. Correntes elevadas implicam

grandes secções para os condutores e sobreaquecimento pelo efeito de Joule: 2IRP = com importante perda de energia. Deste modo realiza-se o transporte

de potências com correntes reduzidas a muito alta tensão!

Distribuição:

• As redes de distribuição levam a energia até junto dos consumidores,

domésticos ou industriais, para o que se usam três níveis de tensão: a baixa

tensão, a média tensão e a alta tensão.

• Estas redes também recebem a energia produzida pelos produtores

independentes, que usam fontes renováveis ou cogeração.

Níveis de Tensão:

• Baixa Tensão – Abaixo de 1000 [V]; tensão à qual estão directamente ligados

os aparelhos eléctricos; como valores típicos, tem-se 231 / 400 [V] na Europa e

120 / 240 [V] nos EUA.

• Média Tensão – Entre 1 e 45 [kV]; tensão que alimenta os postos de

transformação; nas redes de distribuição urbana ou rural usam-se, em Portugal,

10, 15 e 30 [kV].

• Alta Tensão – Entre 45 e 110 [kV]; fornece energia às subestações; em Portugal

utiliza-se a tensão de 60 [kV] designada de grande distribuição ou repartição.

• Muito Alta Tensão – Acima de 110 [kV]; este nível de tensão é usado nas redes

de transporte, sendo usados em Portugal 150, 220 e 400 [kV].


3

Transformador – Equipamento electromagnético que permite alterar a tensão de uma

rede para o nível mais adequado à função que desempenha. Assim, é usual a instalação

de transformadores à saída das centrais, os quais elevam a tensão para o nível

adequado ao transporte, ou à distribuição para a produção de baixa potência. Os

fenómenos de indução electromagnética do transformador apenas são possíveis com

corrente alternada e não com corrente contínua. Daí a preferência da corrente alternada

em detrimento da corrente contínua para o transporte de energia eléctrica.

Vantagens da Corrente Alternada versus Corrente Contínua:

• Aumento e redução da tensão com utilização de transformadores, só possível

em corrente alternada.

• Fácil transformação de corrente alternada em corrente contínua por intermédio

de rectificadores.

• Os geradores / alternadores são mais simples e têm maior rendimento.

• Os motores de indução são mais económicos e têm uma construção mais

simples que os motores de corrente contínua.

Vantagens da Corrente Trifásica versus Corrente Monofásica:

• Para a mesma potência transportada é menor a quantidade total de condutor

utilizado.

• Para a mesma potência transportada são menores as perdas na linha.

1.2 Formas de Corrente Eléctrica

Corrente Contínua – Corrente que circula sempre no mesmo sentido com uma

intensidade constante.

i (t)

0 t


4

Corrente Unidireccional – Corrente com sentido invariável mas cujo valor ao longo do

tempo não é necessariamente constante.

i (t)

0 t Corrente de Sentido Variável – Corrente que muda de sentido.

i (t)

0 t Corrente Alternada – Corrente de sentido variável com as seguintes propriedades:

• É periódica dado que o sentido da corrente muda, sucessivamente, em

intervalos de tempo iguais.

• O valor médio da intensidade é nulo, o que resulta de a corrente, quer no

sentido positivo quer no sentido negativo, passar sucessivamente pelos mesmos

valores de intensidade.

i (t)

0 t

Uma alternância ou semi-onda

(positiva ou negativa) é o conjunto

de valores assumidos pela corrente

num mesmo sentido. Ao conjunto

de uma alternância positiva e uma

alternância negativa consecutivas

chama-se ciclo ou onda.


5

Corrente Alternada Sinusoidal – Corrente alternada cujo valor é uma função

sinusoidal do tempo (seno ou coseno).

i (t)

0 t 1.3 Parâmetros Caracterizadores da Corrente Alternada

Sinusoidal

Período:

• Tempo que dura um ciclo ou onda.

• Símbolo: T

• Unidade: s (segundo)

• Valor típico de 20 [ms] na Europa.

Frequência:

• Número de ciclos efectuados pela corrente durante um segundo.

• Fórmula: T

f 1=

• Unidade: Hz (Hertz) ou s-1

• Valores típicos de 50 [Hz] na Europa e 60 [Hz] nos EUA.

Valor Máximo, Valor de Pico ou Amplitude:

• Valor instantâneo mais elevado obtido.

• Símbolo: mI


6

Valor de Pico a Pico:

• Fórmula: mPP II 2=

Valor Algébrico Médio:

• Valor médio do conjunto dos valores positivos e negativos.

• Fórmula: ∫=T

dttiT

I0

)(1

• Dado que alternância positiva é simétrica da alternância negativa, o valor

algébrico médio de uma corrente alternada sinusoidal é nulo: 0=I

Valor Aritmético Médio:

• Valor médio de apenas uma alternância (positiva ou negativa).

• Valor que uma corrente contínua deverá ter para transportar, no mesmo

intervalo de tempo, a mesma quantidade de electricidade que a corrente

alternada.

• Fórmula: ∫=2

0

)(2 /T

med dttiT

I

• No caso da corrente alternada sinusoidal: wtsenIti m=)( T

w π2= π2=T

∫=2

0

2 /T

mmed dtwtsenIT

I ⇔ ∫=π

π 0

dtwtsenII mmed ⇔

π

π 0⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=

wwtcosII m

med

⇔ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

wwcos

wcosII m

medπ

π0 ⇔ [ ])1(1 −−=

πm

medII ⇔ mmed II

π2

=

Valor Eficaz (do Inglês RMS – Root Mean Square):

• Valor que uma corrente contínua deverá ter para libertar a mesma quantidade de

calor que a corrente alternada, ou seja, que debite a mesma potência, no mesmo

receptor e durante o mesmo intervalo de tempo.

• Símbolo: efI , RMSI ou simplesmente I

• Fórmula: ∫=T

dttiT

I0

2 )(1


7

• No caso da corrente alternada sinusoidal: wtsenIti m=)( T

w π2= π2=T

∫=T

m dtwtsenIT

I0

222 1 ⇔ ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=π

π

2

0

22

221

2dtwtcosII m

⇔π

π

2

0

22

22

4 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

wwtsentII m ⇔ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

wwsenII m

242

4

22 ππ

π ⇔

2mII =

Factor de Forma:

• Fórmula: med

s IIK =

• No caso da corrente alternada sinusoidal:

meds I

IK = ⇔

πm

m

s I

I

K 22= ⇔

22π

=sK

• Se 22

π≠sK a onda não é sinusoidal.

Factor de Distorção ou Deformação de Forma:

• Fórmula: dtti

dttiK

ideal

distd

∫∫=

)(

)(

• No caso da corrente alternada sinusoidal, dK deve ser inferior a 5%.

1.4 Efeitos da Corrente Alternada

Efeito Térmico – Também conhecido como efeito de Joule (em homenagem a James

Prescott Joule que estudou o fenómeno em 1840), é causado pelo choque dos electrões

livres contra os átomos dos condutores.

Efeito Electromagnético – Constitui o princípio de funcionamento de, por exemplo,

bobinas, motores e geradores.


8

w 2I ϕ

1.5 Desfasamento entre Duas Correntes

wtsenIti m11 )( = ( )ϕ+= wtsenIti m22 )(

Diagrama Vectorial Diagrama Temporal:

ou Fasorial:

t0

No diagrama vectorial ou fasorial representam-se os vectores girantes da tensão e da

corrente nas mesmas posições relativas (i.e. a origem dos vectores é a mesma),

formando entre si um determinado ângulo de fase ϕ correspondente ao intervalo de

tempo t0 no diagrama temporal.

As correntes estão desfasadas dado que nem os respectivos máximos e zeros são

simultâneos:

• )(1 ti está atrasada em relação a )(2 ti de ϕ radianos porque o primeiro máximo

positivo de )(2 ti é anterior no tempo ao de )(1 ti

Numa situação geral:

( )θ+= wtsenIti m11 )( ( )φ+= wtsenIti m22 )(

• )(1 ti está em avanço em relação a )(2 ti de φθ − radianos, ou, )(2 ti está em

atraso em relação a )(1 ti de φθ − radianos.

• Se φθ = e 21 mm II = as correntes são idênticas.

• Se φθ = e 21 mm II ≠ as correntes estão em fase.

• Se φθ ≠ e 21 mm II ≠ as correntes estão desfasadas.

)(1 ti

1I 0 t

)(2 ti


9

Quando as correntes estão em fase:

Vectores têm a mesma

direcção e sentido

Quando as correntes estão desfasadas, podemos ter os seguintes casos particulares:

• Quadratura – Quando uma corrente está no máximo e a outra é nula,

e vice-versa.

Vectores fazem um

ângulo de 90º

• Oposição de Fase – Quando as correntes anulam-se ao mesmo tempo, mas uma

está num máximo positivo a outra está num máximo negativo.

Vectores têm a mesma

direcção mas sentidos

opostos fazendo entre si

um ângulo de 180º

)(1 ti

)(2 ti

1I 2I

0 t

w

)(1 ti )(2 ti

1I

2I

0 t

w

)(1 ti

1I 2I 0 t

w

)(2 ti

Receptores

10

Capítulo 2 – Receptores

Nos circuitos eléctricos existem tipicamente fontes e receptores. Os receptores,

isoladamente ou em associações diversas, do ponto de vista eléctrico são constituídos

por algum ou alguns dos seguintes elementos:

• Resistência

• Bobina

• Condensador

2.1 Resistência

Um exemplo típico de uma resistência – Um Filamento de uma lâmpada de

incandescência.

Apresenta as mesmas características de funcionamento, quer em corrente contínua

quer em corrente alternada.

Lei de Ohm:

• É constante o quociente entre a tensão aplicada a um elemento condutor e a

corrente que o percorre; a essa constante de proporcionalidade dá-se o nome de

resistência com o símbolo R.

• Fórmula: IVR = em que a unidade de R é o Ω (Ohm).

Receptores

11

Associações de Resistências:

• Série: neq RRRR +++= L21

• Paralelo: neq RRRR

1111

21

+++= L ; para duas resistências: 21

21

RRRRReq +

×=

2.2 Bobina

Uma bobina é geralmente constituída por um enrolamento à volta de um núcleo

ferromagnético.

O seu funcionamento é diferente em corrente contínua e em corrente alternada.

Porquê? A explicação para este facto provém das leis de Faraday e de Lenz: Uma

corrente variável provoca um fluxo magnético variável e origina na bobina uma f.e.m.

induzida, a qual cria uma corrente induzida que tende a opor-se à causa que lhe deu

origem, isto é, à variação do fluxo. Ora, em corrente contínua o fluxo é constante, não

havendo portanto correntes induzidas!

Em corrente contínua, a oposição que a bobina oferece à passagem da corrente é

menor do que em corrente alternada:

• Em corrente contínua, a bobina comporta-se como se fosse apenas uma

resistência, independentemente de ter ou não núcleo ferromagnético. Deste

modo, a corrente é limitada apenas pela resistência do fio do enrolamento, valor

este geralmente baixo. A resistência da bobina é, então, tipicamente obtida

através de um ensaio em corrente contínua.

• Em corrente alternada, a oposição suplementar à passagem da corrente devida

à reacção magnética da bobina, a qual se vai adicionar à resistência do

enrolamento, tem o nome de reactância indutiva ou indutância.

Receptores

12

Reactância Indutiva ou Indutância:

• Símbolo: LX

• Fórmula: LfLwX L π2==

• Unidade: Ω (Ohm)

Coeficiente de Auto-Indução da Bobina:

• Símbolo: L

• Fórmula: l

SNL2

μ= em que μ representa a permeabilidade magnética, N o

número de espiras, S a secção das espiras e l o comprimento da bobina

• Unidade: H (Henry)

F.e.m Induzida numa Bobina (Leis de Faraday e de Lenz):

• Símbolo: e

• Fórmula: dtdiL

tNe −=−=

ΔΔΦ com o fluxo magnético dado por iL=Φ

Associações de Bobinas:

• Série: neq LLLL +++= L21

• Paralelo: neq LLLL

1111

21

+++= L ; para duas bobinas: 21

21

LLLLLeq +

×=

Energia Magnética Armazenada nas Bobinas:

• Fórmula: 2

21 ILW =

• Unidade: J (Joule)

Aplicações das Bobinas:

• Electroímanes

• Aparelhos de medida

• Enrolamentos das máquinas eléctricas

• Limitadores de corrente em circuitos de corrente alternada

Receptores

13

2.3 Condensador

Um condensador é constituído por duas superfícies condutoras, chamadas armaduras,

separadas por um meio isolante designado dieléctrico. O papel do isolador é o de não

deixar passar corrente de uma armadura para a outra através de si.

Materiais Típicos Utilizados nas Armaduras:

• Alumínio

• Latão

• Cobre

• Estanho

Materiais Típicos Utilizados nos Dieléctricos:

• Ar

• Plástico

• Mica

• Papel

• Porcelana

• Óleos electrolíticos (ácido bárico, amónia e água)

A carga armazenada por um condutor é directamente proporcional à tensão aplicada

às armaduras: VCQ = em que Q é a carga (em Coulomb – C) e V a tensão. A

constante de proporcionalidade C representa a quantidade de electricidade

armazenada, chamada de capacidade do condensador.

Capacidade do Condensador:

• Símbolo: C

• Fórmula: dSC ε= em que ε representa a permitividade ou constante

dieléctrica, S a área da armadura e d a espessura do dieléctrico

• Unidade: F (Farad)

Receptores

14

Associações de Condensadores:

• Série: neq CCCC

1111

21

+++= L ; para dois condensadores: 21

21

CCCCCeq +

×=

• Paralelo: neq CCCC +++= L21

Em corrente contínua, a oposição que o condensador oferece à passagem da corrente é

maior do que em corrente alternada:

• Em corrente contínua, o condensador fica carregado ao fim de um certo tempo;

a corrente que percorre o circuito tende a anular-se quando o condensador fica

carregado, isto é, depois de carregado o condensador comporta-se como uma

resistência infinita (isolador), devido à existência do dieléctrico, não havendo

corrente no circuito. O condensador tem uma resistência praticamente nula,

contrariamente ao que acontece com a bobina, onde existe a resistência

associada aos seus enrolamentos.

• Em corrente alternada, dada a mudança frequente do sentido da tensão

aplicada, o condensador está continuamente a carregar e a descarregar,

alternadamente, ora armazenando energia eléctrica, ora devolvendo-a, havendo

por isso uma corrente permanente no circuito. A oposição à passagem da

corrente não é infinita, como no caso anterior, e tem o nome de reactância

capacitiva ou capacitância.

Reactância Capacitiva ou Capacitância:

• Símbolo: CX

• Fórmula: CfCw

X C π211

==

• Unidade: Ω (Ohm)

Energia Electrostática Armazenada nos Condensadores:

• Fórmula: 2

21

21 VCVQW ==

• Unidade: J (Joule)

Receptores

15

Aplicações dos Condensadores:

• Filtros

• Bloqueadores da corrente contínua

• Compensação do factor de potência

• Eliminação de ruídos (interferências) em circuitos áudio

• Armazenamento de energia eléctrica

• Protecção de interruptores

• Dispositivos temporizadores

Circuitos Eléctricos

16

~

Capítulo 3 – Circuitos Eléctricos

3.1 Circuito Puramente Óhmico

Desfazamento nulo

R )(tv

)(ti wtsenVvtv m==)(

wtsenIiti m==)(

Rvi = ⇔ wtsen

RV

i m=

RVI m

m = ou IRV =

)(tv

)(ti

V I

º0=ϕ

)(tv 0 t

w


17

~

3.2 Circuito Puramente Indutivo

Num circuito puramente

indutivo a corrente está

sempre atrasada de 90º

em relação à tensão

L )(tv

)(ti dtdiLe −= ⇒

dtdiLv =

⇔ dtdiLv = ⇔ wtsen

LV

dtdi m=

⇔ dtwtsenL

Vi m ∫= ⇔ wtcos

LwV

i m−=

⇔ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2πwtsen

LwVi m

LwVI m

m = ou ILwV =

I

)(tv

)(ti

V

2πϕ =

0 t w


18

~

3.3 Circuito Puramente Capacitivo

Num circuito puramente

capacitivo a tensão está

sempre atrasada de 90º

em relação à corrente

C )(tv

)(ti

dvCdq = dtidq =

Ci

dtdv

= ⇔ dtdvCi =

⇔ ( )wtsenVdtdCi m= ⇔ wtcoswVCi m=

⇔ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2πwtsenVCwi m

mm VCwI = ou ICw

V 1=

I

)(tv

)(ti

V

2πϕ −=

0 t

w


19

~

3.4 Circuito RL

Aplicações dos Circuitos RL:

• Produção de campos magnéticos em máquinas eléctricas

• Limitação de corrente

L )(tvL

)(ti

Lv+= Rvv ⇔ dtdiLiRv +=

⇔ wtcosILwwtsenIRv mm +=

⇔ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

2πwtsenILwwtsenIRv mm

( ) ( )22 ILwIRV +=

⇔ ( )22 LwRIV +=

IZV = 22LXRZ +=

Z representa a impedância do circuito, isto é, a

oposição total feita por um circuito à passagem

da corrente alternada em Ω (Ohm).

LwX L = R

Xtg L=ϕ

O inverso da impedância chama-se admitância:

Z

Y 1=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∈

20 πϕ ,

R

)(tvR

)(ti

I

w ϕ

0 t

)(tv

RV

V LV

Ensaio em corrente contínua:

IVR =

Ensaio em corrente alternada:

IVZ =

Logo:

fRZL

π2

22 −=


20

~

3.5 Circuito RC

C )(tvC

)(ti

Cv+= Rvv ⇔ ∫+= dtiC

iRv 1

⇔ ∫+= dtwtsenIC

wtsenIRv mm1

⇔ ( )wtcosCw

IwtsenIRv mm −+=

⇔ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

2πtwsen

CwIwtsenIRv m

m

( )2

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

CwIIRV ⇔

22 1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

CwRIV

IZV = 22CXRZ +=

Cw

X C1

= R

Xtg C=ϕ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈ 0

2,πϕ

R

)(tvR

)(ti

I

ϕ 0 t

RV

V CV

w

)(tv


21

~

3.6 Circuito RLC Série

Carácter Indutivo Cw

Lw 1>

Carácter Capacitivo Cw

Lw 1<

L )(tvL

)(ti

CL vv ++= Rvv ⇔ ∫++= dtiCdt

diLiRv 1

⇔ ( )wtcoswCIwtcoswLIsenwtRIv m

mm −++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

22ππ wtsen

wCIwtsenwLIsenwtRIv m

mm

2

2 1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

CwLwRIV IZV =

( )22CL XXRZ −+=

RXXtg CL −=ϕ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∈

20 πϕ ,

R

)(tvR

)(ti

I

w ϕ

0 t

)(tv

RV

V

LV

CV

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈ 0

2,πϕ

)(ti

I

ϕ 0 t

RV

V

CV

w

LV )(tv

C )(tvC

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈

22ππϕ ,


22

3.7 Impedâncias em Série

1V 2V nV

Neste caso, as impedâncias são atravessadas pela mesma corrente I :

nVVVV +++= L21 nZZZZ +++= L21

Triângulo de Impedâncias – Considerando 1Z e 2Z com carácter indutivo:

• A resistência total é dada pela soma aritmética das resistências parciais.

• A reactância total é dada pela soma algébrica das reactâncias parciais.

• A impedância total é dada pela soma vectorial das impedâncias parciais.

3.8 Impedâncias em Paralelo

Neste caso, as impedâncias estão sujeitas à mesma tensão V :

nIIII +++= L21 nZZZZ

1111

21

+++= L

1Z 2Z nZ I

V

Z 2Z X 2R

1Z

1R

R

1X

2X

ϕ

( ) ( )2211 XjRXjRZ +++=

⇔ ( ) ( )2121 XXjRRZ +++=

⇔ XjRZ += ⇒ 22 XRZ +=

RXtg =ϕ

1Z

1I

V 2Z

2I

nZ

nI I

Potência em Sistemas Monofásicos

23

Capítulo 4 – Potência em Sistemas Monofásicos

4.1 Circuito Puramente Óhmico

wtsenVv m=

wtsenIi m=

ivp = ⇔ wtsenIVp mm2= ⇔ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=2

21 wtcosIVp mm ⇔ ( )wtcosIVp 21−=

⇔ wtcosIVIVp 2−= ⇔ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

22 πwtsenIVIVp

A potência instantânea assume, neste caso, sempre valores positivos, dado que a

corrente e a tensão assumem valores positivos ou negativos simultaneamente. Deste

modo, diz-se que a energia é absorvida ou consumida pelo receptor, fornecida pelo

gerador. De notar que a frequência da potência é o dobro da frequência da corrente ou

da tensão.

0 t

)(tp )(tv

)(ti


24

Potência Média:

• Valor que uma potência de valor constante deverá ter para transportar, no

mesmo intervalo de tempo, a mesma quantidade de energia.

• Fórmula: ∫=T

dttpT

P0

)(1

• Neste caso: ( )wtcosIVtp 21)( −= T

w π2= π2=T

( )∫ −=T

dtwtcosIVT

P0

211 ⇔ T

wwtsent

TIVP

022

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

⇔ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

wwTsenT

TIVP

22 ⇔ IVP =

A potência média anteriormente calculada chama-se potência activa ou real.

4.2 Circuito Puramente Indutivo

wtsenVv m=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2πwtsenIi m

ivp = ⇔ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2πwtsenwtsenIVp mm ⇔ wtsenIVp mm 2

2−=

⇔ wtsenIVp 2−=

0 t

)(tp )(tv

)(ti


25

A potência instantânea assume, neste caso, valores positivos (energia armazenada sob

a forma de energia magnética) e negativos (energia restituída pelo campo magnético à

fonte de alimentação).

Potência Média:

• Neste caso: wtsenIVtp 2)( −= T

w π2= π2=T

∫ −=T

dtwtsenIVT

P0

21 ⇔ T

wwtcos

TIVP

022

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

⇔ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

wcos

wwTcos

TIVP

20

22 ⇔ 0=P

Verifica-se que não há consumo de potência activa. Os receptores puramente indutivos

consomem outro tipo de potência: potência reactiva.

4.3 Circuito Puramente Capacitivo

wtsenVv m=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2πwtsenIi m

ivp = ⇔ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2πwtsenwtsenIVp mm ⇔ wtsen

IVp mm 2

2=

⇔ wtsenIVp 2=

0 t

)(tp

)(ti

)(tv


26

A potência instantânea assume, como no caso anterior, valores positivos (energia

armazenada sob a forma de energia electrostática) e negativos (energia restituída pelo

campo eléctrico à fonte de alimentação).

Potência Média:

• Neste caso: wtsenIVtp 2)( = T

w π2= π2=T

∫=T

dtwtsenIVT

P0

21 ⇔ T

wwtcos

TIVP

022

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=

⇔ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−=

wcos

wwTcos

TIVP

20

22 ⇔ 0=P

Verifica-se também que não há consumo de potência activa. Os receptores puramente

capacitivos consomem outro tipo de potência: potência reactiva.

4.4 Caso Geral

wtsenVv m=

( )ϕ−= wtsenIi m

Num circuito com carácter indutivo, ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∈

20 πϕ , , enquanto que num circuito com

carácter capacitivo, ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈ 0

2,πϕ .

ivp = ⇔ ( )ϕ−= wtsenwtsenIVp mm ⇔ ( )[ ]ϕϕ coswtcosIVp mm −−−= 22

⇔ ( )ϕϕ −−= wtcosIVcosIVp 2


27

Potência Média:

• Neste caso: ( )ϕϕ −−= wtcosIVcosIVp 2 T

w π2= π2=T

( )∫ ∫ −−=T T

dtwtcosIVT

dtcosIVT

P0 0

211 ϕϕ

⇔ [ ] ( ) TT

wwtsen

TIVt

TcosIVP

00 2

2⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−=ϕϕ

⇔ ϕcosIVP =

Assim, num caso geral, tem-se:

• Potência Activa ou Real – Potência cuja energia se transforma efectivamente

em trabalho (energia calorífica nas resistências ou energia mecânica nos

motores, por exemplo): ϕcosIVP = [ ]W .

• Potência Reactiva – Potência que não se transforma em trabalho; potência

“flutuante” devida aos campos magnéticos nas bobinas ou aos campos

eléctricos nos condensadores: ϕsenIVQ = [ ]rVA .

• Potência Aparente – Não tem qualquer significado físico; dá-nos o máximo de

potência útil: IVS = [ ]VA .

0 t

)(tp )(tv )(ti

ϕ V

ϕcosI

ϕsenI I


28

Triângulo de Potências:

• A potência activa total é dada pela soma aritmética das potências activas

parciais.

• A potência reactiva total é dada pela soma algébrica das potências reactivas

parciais.

• A potência aparente total é dada pela soma vectorial das potências aparentes

parciais.

4.5 Importância do Factor de Potência

Aos circuitos indutivos e capacitivos está associada não só energia activa mas também

energia reactiva. Apenas os circuitos resistivos consomem exclusivamente energia

activa. A energia activa e a energia reactiva dependem do valor do F.P.

A energia reactiva:

• Não é consumida.

• Oscila entre gerador e consumidor.

• É uma necessidade imposta por determinado tipo de receptores.

S Q

P

ϕ

22 QPS += ϕtgPQ = ϕsenSQ =

ϕcosSP = ⇒ SPcos.P.F == ϕ

F.P. representa o Factor de Potência e ϕ representa o

desfasamento entre corrente e tensão.

Circuito puramente óhmico: 1=.P.F , 0=ϕ , PS = e 0=Q

Circuito com carácter indutivo: [ ]10,.P.F ∈ e ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∈

20 πϕ ,

Circuito com carácter capacitivo: [ ]10,.P.F ∈ e ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈ 0

2,πϕ


29

Circuitos constituídos por:

• Bobinas

• Motores

• Lâmpadas de descarga

• Condensadores

• Máquinas de soldar

Provocam na rede o trânsito dos dois tipos de energia.

Para se compreender a importância do factor de potência considere-se o seguinte

exemplo:

Duas fábricas operam com os mesmos valores de potência activa e tensão, 1 [MW] e

10 [kV] respectivamente, mas com factores de potência diferentes, nomeadamente

11 =ϕcos e 502 ,cos =ϕ . Quais são os valores de corrente, 1I e 2I , que se verificam

em cada uma das fábricas?

[ ]A1001

1 ==ϕcosV

PI e [ ]r11 MVA0== ϕtgPQ

[ ]A2002

2 ==ϕcosV

PI e [ ]r22 MVA731,tgPQ == ϕ

Deste modo, verifica-se que 2I é o dobro de 1I o que acarreta mais perdas na linha por

efeito de Joule, e implica a utilização de cabos de secção superior consequentemente

mais dispendiosos. O valor mínimo para a corrente é atingido com um factor de

potência igual à unidade, conforme se pode visualizar a seguir:

capacitivo indutivo

70 ,L 0,8 0,9 1 0,9 0,8 L70 , .P.F

I

minI


30

Um factor de potência baixo indica que existe uma circulação de energia que não é

consumida, a energia reactiva, e que se traduz numa corrente excessiva que ocupa a

rede. A seguir apresentam-se factores de potência típicos para diversos aparelhos

eléctricos e a variação da secção relativa dos condutores com o factor de potência:

Aparelhos Carga F.P.

Motores assíncronos

0 % 0,17 25 % 0,55 50 % 0,73 75 % 0,80 100 % 0,85

Lâmpadas incandescentes ± 1 Lâmpadas fluorescentes ± 0,5 Lâmpadas de descarga 0,4 a 0,6 Fornos de resistência ± 1 Fornos por indução com compensação integrada ± 0,85 Fornos com aquecimento dieléctrico ± 0,85 Máquinas de soldar com resistência 0,8 a 0,9 Postos estáticos monofásicos de soldadura por arco ± 0,5 Grupos rotativos de soldagem por arco 0,7 a 0,9 Transformadores-rectificadores de soldadura por arco 0,7 a 0,8 Fornos por arco ± 0,8

Factor de potência 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 Secção dos cabos (factor multiplicativo em relação à hipótese de resistência)

1,0 1,23 1,56 2,04 2,78 4,0 6,25 11,1

4.6 Compensação do Factor de Potência

A compensação do factor de potência consiste no aumento do factor de potência de

uma instalação, de modo a que este seja de, pelo menos, 0,93 correspondente ao valor

mínimo não penalizável pela empresa distribuidora. Para tal, utilizam-se:

• Baterias de condensadores em paralelo com a carga

• Motores síncronos ligados à rede

A compensação do factor de potência apresenta encargos financeiros que são,

tipicamente, rapidamente amortizados através da economia proporcionada pela

redução da factura energética.


31

O valor do condensador a colocar em paralelo com a carga, com um factor de potência

inicial calculável, depende do factor de potência final pretendido:

LwjRVI+

=1 ⇔ VZ

LwjVZRI 221 −=

Cwj

VI12

−= ⇔ VCwjI =2

21 IIIT += ⇔ VCZLwjV

ZRIT ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= 22

2

2

ZR

CZLw

tg f

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=ϕ ⇔ ftgZwR

ZLC ϕ22 −= ⇔ fi tg

ZwRtg

ZwRC ϕϕ 22 −=

( ) 2ZwRtgtgC fi ϕϕ −=

Se 1.. =fPF , Zw

senC iϕ= ⇒ Compensação Total

Do mesmo modo, Zw

senC iϕ< ⇒ Compensação Parcial

Zw

senC iϕ> ⇒ Sobrecompensação

~ R

C

L

1I 2I TI

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

RLwtgi

1ϕ

( )222 LwRZ +=

( )ff PF ..cos 1−=ϕ


32

iϕ

iϕ º0=fϕ

iϕ

fϕ

iϕ

fϕ

A empresa distribuidora não permite sobrecompensação pois tal poderá conduzir

novamente a um aumento excessivo da corrente nos condutores. Por outro lado, é um

desperdício para o próprio consumidor.

Antes da Compensação:

Depois da Compensação:

Compensação Parcial Compensação Total Sobrecompensação

V 1RI

1I 1LI

1I 1LI

2I

1RT II =

1I 1LI

TI

2I 1RI V

1I 1LI

TI

2I

1RI V V

Sistemas Trifásicos

33

º120

º120

º120

Capítulo 5 – Sistemas Trifásicos

5.1 Ligação em Estrela e Ligação em Triângulo

Um sistema trifásico corresponde a três sistemas monofásicos intimamente ligados,

como a seguir se apresenta:

w

IA R1, X1 I1 A

VAN IB VAB R2, X2 I2

B VAC VBN IC VBC R3, X3 I3

C VCN

N

VAN

VAN 0 t

VBN VCN

VCN

VBN


34

30º 60º

VAN, VBN e VCN são as tensões simples, medidas entre fase e neutro, VAB, VBC e VAC

são as tensões compostas, medidas entre fases, IA, IB e IC são as correntes na linha e

I1, I2 e I3 são as correntes na fase (ou nos enrolamentos).

Quando as cargas estão equilibradas:

0321 =++ III

e o neutro não é necessário.

Neste caso:

1II A = 2II B = 3IIC =

Por outro lado:

11 Z

VI AN= 2

2 ZVI BN=

33 Z

VI CN= 1

11 R

Xtg =ϕ 2

22 R

Xtg =ϕ 3

33 R

Xtg =ϕ

( )BNANAB VVV −+= ( )CNBNBC VVV −+= ( )CNANAC VVV −+=

Pelo Teorema de Carnot:

º60cos2222BNANBNANAB VVVVV ++= ou º120cos2222

BNANBNANAB VVVVV −+=

Considerando:

CAB VV = e SBNAN VVV == em que CV representa a tensão composta e

SV representa a tensão simples, vem:

º60cos222SSSSC VVVVV ++= ⇔ 23 SC VV =

SC VV 3=

VAN

VCN VBN

VAB

120º VAN

VBN VAB

w


35

30º

120º

2ϕ

Deste modo, tem-se um triângulo equilátero cujos lados correspondem às tensões

compostas

A ligação anterior chama-se ligação em estrela e apresenta as seguintes propriedades:

• A corrente na linha é igual à corrente na fase (ou no enrolamento)

• A tensão aplicada a cada enrolamento é a tensão simples

A

B

C

A ligação seguinte, onde não existe neutro, chama-se ligação em triângulo.

B B

VAN

VCN VBN

VAB

VBC

VCA

⇔

A

B

C

VAN

VCN

VBN

w

3IIC =

1II A =

2II B =

3ϕ

1ϕ

⇔

A

C

A

C


36

30º

120º

2ϕ

B

Neste caso:

( )31 III A −+= ( )12 III B −+= ( )23 IIIC −+=

Por outro lado:

11 Z

VI AB= 2

2 ZVI BC=

33 Z

VI CA= 1

11 R

Xtg =ϕ 2

22 R

Xtg =ϕ 3

33 R

Xtg =ϕ

Considerando:

LA II = e FIII == 31 em que LI representa a corrente na linha e

FI representa a corrente na fase (ou no enrolamento) vem:

FL II 3=

A ligação em triângulo apresenta, deste modo, as seguintes propriedades:

• A corrente na linha é 3 vezes superior à corrente na fase (ou no enrolamento)

• A tensão aplicada a cada enrolamento é a tensão composta

VA

VC VB

VAB

VBC

VCA

VAB

VCA

VBC

w

3I

1I

2I

3ϕ

1ϕ

A

C

R1, X1

R2, X2

R3, X3

I1

I2

I3

IA

IB

IC

AI

BI

CI


37

5.2 Potência em Sistemas Trifásicos

Sistema Monofásico:

ϕcosLS IVP =

em que ϕ é o desfasamento entre SV e LI .

Sistema Trifásico – Caso Geral:

333222111 coscoscos ϕϕϕ IVIVIVP ++=

se SVVVV === 321 , LIIII === 321 e ϕϕϕϕ === 321 então:

ϕcos3 LS IVP =

como SC VV 3= obtemos a expressão geral dada por:

ϕcos3 LC IVP =

Do mesmo modo vem:

ϕsenIVQ LC3=

LC IVP 3=

Sistemas Trifásicos com Neutro

• Cargas Equilibradas:

1W

A

B

C

N

13WP =


38

• Cargas Desequilibradas:

Sistemas Trifásicos sem Neutro

• Cargas Equilibradas:

neutro artificial

(caixa de neutros própria)

1W

A

B

B

N

321 WWWP ++=

2W

3W

1W

A

B

C

13WP =

32 rrrr va ==+

ar 2r 3r


39

• Cargas Desequilibradas – Ligação de Aron ou Método dos 2 Wattímetros:

Como não há neutro, verifica-se que:

0=++ CBA iii ⇔ ( )BAC iii +−=

A potência instantânea é dada por:

CCBBAA ivivivp ++= ⇔ ( )BACBBAA iivivivp +−+=

⇔ ( ) ( ) BCBACA ivvivvp −+−= ⇔ BBCAAC ivivp +=

pelo que:

( ) ( )º30cosº30cos 21 ++−= ϕϕ BBCAAC IVIVP

No caso de sistemas equilibrados e simétricos:

CCABCAB VVVV === , LCBA IIII === e ϕϕϕϕ === 321

pelo que:

( ) ( )º30cosº30cos ++−= ϕϕ LCLC IVIVP ou

21 WWP += com

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

= −

12

121 3tanWW

WWϕ

Sabendo que:

( ) º30sensenº30coscosº30cos ϕϕϕ +=− e

( ) º30sensenº30coscosº30cos ϕϕϕ −=+ obtém-se a já conhecida expressão geral

ϕcos3 LC IVP =

1W

A

B

C

21 WWP ±=

2W


40

Experimentalmente verifica-se que:

• º600 <<ϕ os dois wattímetros desviam no mesmo sentido e 21 WWP +=

• º60=ϕ o wattímetro 2W não acusa leitura e 1WP =

• º60>ϕ um dos wattímetros tende a dar leituras em sentido contrário;

é necessário inverter as ligações, ou da bobina voltimétrica, ou da

bobina amperimétrica e 21 WWP −=

• º0=ϕ a carga é óhmica pura e 12 WP =

apont_electro

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